Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 3: Phương pháp tuyến tính hóa điều hòa

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA ĐIỀU HÒA 3.1. PHƯƠNG PHÁP TTHĐH 3.1.1. Khái quát chung Ưu điểm: - có thể áp dụng với các HT bậc thấp và bậc cao; - do nó sử dụng phương pháp phân tích trên miền tần số của các HT tuyến tính nên rất dễ dàng áp dụng và cho phép đánh giá các tham số chuyển động trong HT; - áp dụng tương đối dễ dàng đối với các phần tử phi tuyến cứng có trong các HTĐKTĐ. Nhược điểm: là phương pháp tính toán gần đúng. Việc nghiên cứu HTĐKTĐ phi tuyến bằng phương pháp tuyến tính hóa điều hòa được thực hiện qua hai giai đoạn : - giai đoạn 1: thay thế khâu phi tuyến trong HT bằng khâu tuyến tính tương đương, có HST phụ thuộc vào các tham số chuyển động trong HT; bằng cách đó ta nhận được HST của HT được tuyến tính hóa điều hòa; - giai đoạn 2: bằng phương pháp bất kỳ của LTĐKTĐ tuyến tính, tìm chuyển động của HT đã tuyến tính hóa điều hòa. Để thực hiện phương pháp tuyến tính hóa điều hòa thì trong cấu trúc của HT được nghiên cứu cần tách ra phần tuyến tính và khâu phi tuyến F(x) (H.3-1). H. 3-1. Wtt(s) F(x) y(t) x(t) Điều kiện áp dụng phương pháp tuyến tính hóa điều hòa: - khâu phi tuyến tạo ra tín hiệu có hài bậc nhất trội hơn các hài bậc hai trở lên và không có thành phần một chiều; - phần tuyến tính có tính chất của bộ lọc thấp tần: loại bỏ các hài bậc cao. Lúc này tín hiệu x(t) được làm gần đúng với hài bậc nhất: ],)(sin[)()( 0ψψ += ttAtx (3.1) trong đó biên độ A(t) và pha Ψ( t) có thể được xác định như sau: ];)(exp[)( 0 0 ττξ dAtA t t∫= ∫= t dt 0 .)()( ττωψ ξt-hệ số suy giảm, phụ thuộc vào thời gian,ω-tần số dao động. Giả sử trong một chu kỳ dao động các giá trị của hệ số suy giảm ξt và tần số ω thay đổi không đáng kể, nên có thể cho rằng chúng không thay đổi. Khi đó, có thể biểu diễn tín hiệu y(t) bằng chuỗi Fourier: ,cos),(sin),()( RAAbAAaty ++= ψωψω trong đó R- tổng các hài bậc cao; a(A, ω), b(A, ω) – các hệ số tuyến tính hóa điều hòa của khâu phi tuyến ∫= pi ψψψ pi ω 2 0 sin)sin(1),( dAf A Aa ∫= pi ψψψ pi ω 2 0 .cos)sin(1),( dAf A Ab (3.2) Lúc này khâu phi tuyến được thay thế bằng HST tương đương. Để xác định nó cần thực hiện biến đổi Laplace (3.1) và (3.2): 122 0 ])[()( −+−= ωξω sAsX )].)(,(),([])[()( 1220 ξωωωωξ −++−= − sAbAasAsY Vì vậy, HST tương đương của khâu phi tuyến được xác định như sau: ).,()(),()( )( ),,,( 1 ωξωωωξ AbsAa sX sY AsW tđ −+== − (3.3) 3.1.2. Hệ số tuyến tính hóa điều hòa của một số khâu phi tuyến 3.1.2.1. Khâu rơle ba vị trí có trễ Trên H.3-2 biểu diễn tín hiệu đầu ra của khâu rơ le ba vị trí có trễ dưới tác động của tín hiệu hình sin ở đầu vào. a xma B -B -a -ma ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ωt x ωt f(x) f(x) ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 H.3-2 A Tính toán hệ số tuyến tính hóa điều hòa ∫ ∫== pi pi ψψψ pi ωωω pi ω 2 0 2 0 ),(sin)sin(1)()sin()]sin([1),( dAf A tdttAf A Aa tωψ = ).cos(cos2 sin2)(sin)sin(2),( 21 2 1 2 1 ψψ pi ψψ pi ψψψ pi ω ψ ψ ψ ψ −= == ∫ ∫ A B dB A dAf A Aa trong đó Từ H.3-2 ta có: 211 )(1cossin A a aA −=⇒= ψψ 2 22 )(1cossin A ma maA −−=⇒= ψψ ).)(1)(1(2),( 22 A ma A a A BAa −+−= pi ω Biến đổi tương tự, nhận được: ∫ −== 2 1 12 )sin(sin 2 cos 2),( ψ ψ ψψ pi ψψ pi ω A BdB A Ab ).1(2),( 2 −=⇒ mA BaAb pi ω 3.1.3. Khảo sát hiện tượng tự dao động Chuyển động riêng của HT đã tuyến tính hóa điều hòa được xác định bằng nghiệm phương trình đặc trưng: .01),,,()( =+ωξAsWsW tđtt Phương trình đặc trưng phụ thuộc vào các tham số chưa biết A, ξ, ω. Nghiệm của nó cũng phụ thuộc vào A, ξ, ω. Khi trong HT xảy ra chuyển động tuần hoàn (tự dao động) thì hệ số suy giảm ξ=0, lúc này HST tương đương của khâu phi tuyến có dạng (3.6) ).,(),(),,( ω ω ωω AbsAaAsW tđ += Khi này phương trình đặc trưng của HT (3.6) có dạng .01),,()( =+ωAsWsW tđtt (3.7) Từ đây nhận được .)( 1)( AW jW tđ tt − =ω (3.8) Cần tìm A, ω. 3.1.3.1. Phân tích tính ổn định của tự dao động và xác định biên độ, tần số dao động Phương pháp cân bằng điều hoà (phương pháp Gôlpharba L.C.) Re jIm )( 1 AW td − (A1,ω1) (A2,ω2) Giải PTĐT (3.8) bằng đồ họa: - dựng đồ thị của hàm -1/Wtđ(A) với chiều mũi tên chỉ chiều tăng của A; - dựng đồ thị của Wtt(jω) với chiều mũi tên chỉ chiều tăng của ω; H.3-5 )( ωjW tt (A3,ω3) (A4,ω4) 0 Dao động ổn định chỉ xảy ra tại giao điểm mà tại đó, nếu chuyển động theo đường cong -1/Wtđ(A) theo hướng tăng của biên độ A sẽ ra khỏi vùng kín được tạo ra bằng các đường cong đó, thí dụ, điểm (A1, ω1) trên H.3-5. Khi này dựa vào đường cong -1/Wtđ(A) xác định biên độ dao động A, còn theo đường cong Wtt(jω) xác định tần số dao động ω. Thí dụ 3.1. Xác định sự tồn tại tự dao động và biên độ dao động trong HTĐKTĐ phi tuyến trên H.1-3, trong đó phần tuyến tính có HST )1)(1()( 21 ++ = sTsTs k sW tt phần tử phi tuyến là khâu rơ le 3 vị trí không có trễ (H.1-6). Giả sử k=14 s-1; T1=0,1 s; T2=0,2 s. Khâu rơ le ba vị trí không có trễ có HST tương đương: .)(14)( 2 A a A BAW tđ −= pi Phương pháp sử dụng tiêu chuẩn ổn định Mikhailôp Phương pháp này được thực hiện qua các bước như sau: - tìm số phức đặc trưng của HT kín và tách nó ra thành phần thực U(A, ω) và phần ảo V(A, ω) )()()( ,,, AjVAUAjD ωωω += - tìm điều kiện để đường cong Mikhailốp bắt đầu tại (hoặc đi qua) gốc toạ độ, tức là giải hệ phương trình     = = ;0, 0, )( )( AV AU ω ω nhờ đó tìm được biên độ dao động A và tần số dao động ω; - tiến hành kiểm tra tính ổn định của tự dao động (tự dao động sẽ ổn định, nếu như khi tăng biên độ A sẽ làm cho HT kín ổn định, tức là hai phương trình U(A, ω)=0 và V(A, ω)=0 có đủ n nghiệm và ω1<ω2<...<ωn, trong đó nghiệm của phương trình V(A, ω)=0 có chỉ số lẻ; nghiệm của phương trình U(A, ω)=0 có chỉ số chẵn). Thí dụ 3.2. Xác định biên độ và tần số dao động của HTĐKTĐ phi tuyến trong thí dụ 3.1. Sau khi thực hiện tuyến tính hoá điều hoà khâu phi tuyến, nhận được HST HT kín dưới dạng )1)(1()( 21 ++ = sTsTs k sW tt 1, , , )()( )()( )( + = ω ω AWsW AWsW AsW tđtt tđtt k )())(()( ,11, 21 ωAkWssTsTAsD tđ+++=⇒ )()()()( 212212 1,, TTjAkWTTAjD tđ ωωωωω −+++−=      =− =++−= = .01),( 0,, )( )()()( 21 2 21 2 TTAV AkWTTAU tđ ωωω ωωω Từ phương trình thứ hai nhận được nghiệm . 21 31 1 ;0 TT == ωω Do khi ω1=0 thì U(A, ω)=kWtđ (A, ω)>0, nên thay ω3 vào phương trình thứ nhất, sau đó biến đổi, nhận được Real jIm ω1 ω2 ω3 ω3 ;0)( =AM (3.9) (3.10) Phương trình trên có 2 nghiệm )( )(448 21 21 22 2222 2 2 1 22 21 2 2 2 1 22 2 2,1 TT aTTTTBkTTBkTTBk A + +−± = pi pi với điều kiện TTB aTTk 212 )( 21+≥ pi aTTBk ATTBkATTAM 22 2 2 1 22 22 2 2 1 22422 16 16)()( 21 +−= +pi )( )(448 21 21 22 2222 2 2 1 22 21 2 2 2 1 22 2 TT aTTTTBkTTBkTTBkA + +−+ = pi pi )( )(448 21 21 22 2222 2 2 1 22 21 2 2 2 1 22 1 TT aTTTTBkTTBkTTBkA + +−− = pi pi (3.11, a) (3.11, b) Trong đó chỉ có một nghiệm )( )(448 21 21 22 2222 2 2 1 22 21 2 2 2 1 22 2 TT aTTTTBkTTBkTTBkA + +−+ = pi pi là biên độ tự dao động trong HT. Chứng minh: HT trên là HT bậc 3. Phương trình 01),( )( 212 =−= TTAV ωωω đã có 2 nghiệm ω1=0 và ω3. Bây giờ, khi tăng biên độ dao động A, cần phải chỉ ra sự tồn tại nghiệm ω2 của phương trình 0,, )()()( 212 =++−= ωωω AkWTTAU tđ và ω1<ω2<ω3. Ta đã có ;0,, )()( 01 >= = ωω ω AkWAU tđ mà U(A, ω) là hàm bậc 2 đối với biến ω, vì vậy, chỉ cần chỉ ra rằng, khi tăng biên độ A so với giá trị A2 thì hàm ω U ω1 ω3 .0,, )()()( 321 2 3 3 <++−= = ωωω ωω AkWTTAU tđ (3.12) Sau khi biến đổi (3.12), nhận được ;0)( >AM trong đó M(A, ω3) được xác định từ (3.10). Xét dấu của (3.10). Biểu thức này có giá trị âm khi nằm trong khoảng , trong đó (3.13) ),( 2221 AA A22A21 A2 M )( )(448 21 21 22 2222 2 2 1 22 21 2 2 2 1 22 2 1 TT aTTTTBkTTBkTTBkA + +−− = pi pi A2 0 )( )(448 21 21 22 2222 2 2 1 22 21 2 2 2 1 22 2 2 TT aTTTTBkTTBkTTBk A + +−+ = pi pi và có giá trị dương khi khi A2 nằm ngoài khoảng đó. Rõ ràng chỉ có giá trị biên độ A2 mới thoả mãn điều kiện (3.13) khi nó tăng. Như vậy, A2 là biên độ tự dao động trong HT. Thay số vào (3.11,a), nhận được A=1,1841; thay số vào (3.11,b), nhận được A=0,10036. Phương pháp sử dụng tiêu chuẩn ổn định Nyquist cần thực hiện như sau: - xác định điều kiện để ĐTTSBĐP của HT hở đi qua điểm (-1, j0); từ đó xác định biên độ và tần số dao động; - tiến hành kiểm tra tính ổn định của tự dao động. (tự dao động sẽ ổn định, nếu như khi tăng biên độ A sẽ làm cho HT kín ổn định, tức là, ĐTTSBĐP của HT hở không bao điểm (-1, j0) hoặc bao điểm này l/2 lần theo chiều dương, với l là số nghiệm PTĐT của HT hở nằm ở nửa bên phải mặt phẳng nghiệm). Thí dụ 3.3. Xác định biên độ và tần số dao động của HTĐKTĐ phi tuyến trong thí dụ 3.1. Sau khi thực hiện tuyến tính hoá điều hoà khâu phi tuyến, nhận được HST của HT hở như sau ;))(()( 11 21 ssTsT K sW h ++= trong đó K=kWtđ(A). Hàm số truyền tần số của HT hở có dạng . ))(( )( 11 , 21 ++ = TjTjj KAjW h ωωωω ))(( ))(( ))(( )( 2 2 22 1 2 21 21 11 11 11 TT TjTjjK TjTjj KjW h ωωω ωω ωωω ω ++ −− −= ++ = ).()( 11 1 ))(( )()( 2 2 22 1 2 21 2 21 ωω ωωω ωω jvu TT TTjKTTK += ++ −++ −= u(ω) jv(ω) ω=0 ω→∞ Wh(jω) ωπ Khi ω=ωπ thì v(ω)=0, vì vậy: . 1 01 21 21 2 )( TT TTK =⇒ =− ω ω pi pi 0 Để HT nằm trên biên giới ổn định (tồn tại tự dao động) hàm tần số phần thực của HT hở tại tần số ωπ phải bằng -1. Từ đây nhận được phương trình có dạng (3.9) và nghiệm của nó có dạng (3.11). Để tự dao động trong HT ổn định thì khi tăng giá trị biên độ, tại tần số ωπ, hàm tần số phần thực của HT hở phải lớn hơn -1. Từ đây nhận được bất đẳng thức dạng (3.13). Xác định biên độ dao động bằng tiêu chuẩn ổn định Hurwitz Các bước thực hiện như sau: - tìm PTĐT của HT kín (3.7): .01),,()( =+ωAsWsW tđtt - sử dụng tiêu chuẩn Hurwitz để viết điều kiện HT nằm trên biên giới ổn định (a0>0; an>0; ∆1÷∆n-2>0; ∆n-1=0; hoặc a0>0; an=0; ∆1÷∆n-1>0); từ đó xác định biên độ dao động A; - tiến hành kiểm tra tính ổn định của tự dao động. (tự dao động trong HT sẽ ổn định, nếu như khi tăng biên độ dao động A sẽ làm cho HT trở nên ổn định (a0>0 và tất cả các định thức Hurwitz trở nên dương)) Thí dụ 3.4. Xác định biên độ dao động của HTĐKTĐ trong thí dụ 3.1. Sau khi thay thế HST tương đương của khâu phi tuyến vào phương trình đặc trưng (3.7) và biến đổi, nhận được ;210 TTAa pi= 04 2 2 2 21 3 21 1)( =−++++ A akBsAsTTAsTTA pipipi );( 211 TTAa +=pi ;2 Aa pi= A akBa 2 2 3 14 −= Tất cả các hệ số đều dương. Bậc của HT bằng 3 và ai>0 (i=0÷3) nên nó nằm trên biên giới ổn định khi ∆1>0 ; ∆2=0 ;0),(11 >∆ = ωAa ),(),(),(),( 30212 ωωωω AaAaAaAa −=∆ Từ đây nhận được kết quả như trong thí dụ 3.2. Thay A=1,1841 vào (3.14) nhận được ∆1=1,116; ∆2=0; thay A=1,1842 vào (3.14) nhận được ∆1=1,1161; ∆2=0,0003. Như vậy, dao động với biên độ A=1,1841 là dao động ổn định. (3.14,a) (3.14,b) Thay A=0,10036 vào (3.14) nhận được ∆1=0,0946; ∆2=-1,1161.10-14; thay A=0,1004 vào (3.14) nhận được ∆1=0,0946; ∆2=-0,0017; thay A=0,1005 vào (3.14) nhận được ∆1=0,0947; ∆2=-0,0053. Như vậy, không thể tồn tại dao động với biên độ A=0,10036.