Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 6: Mô hình toán học của hệ thống điều khiển tự động gián đoạn tuyến tính

Phần 2 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG GIÁN ĐOẠN Chương 6 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG GIÁN ĐOẠN TUYẾN TÍNH 6.1. KHÁI NIỆM CHUNG VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG GIÁN ĐOẠN TUYẾN TÍNH 6.1.1. Khái niệm và phân loại hệ thống điều khiển tự động gián đoạn tuyến tính 6.1.1. Khái niệm và phân loại hệ thống điều khiển tự động gián đoạn tuyến tính HTĐKTĐGĐ là các HTĐKTĐ trong đó việc truyền và xử lý thông tin không được thực hiện một cách liên tục như trong các HTĐKTĐ liên tục mà vào từng thời điểm thời gian gián đoạn. Việc xuất hiện các HTĐKTĐGĐ là do các nguyên nhân sau đây: Một trong các phần tử của HT làm việc gián đoạn. Thí dụ, HT bám thời gian xung trong các đài điều khiển tên lửa. TS I KĐ r(t) cs2 cs1TT I TT II TS II HC TP MTX Trong các HTĐKTĐGĐ (HTĐKTĐ số) có thể thực hiện các thuật toán ĐK phức tạp nhằm nâng cao chất lượng ĐK. Mặt khác, có thể thay đổi thuật toán ĐK một cách linh hoạt bằng cách thay đổi chương trình máy tính mà không cần thay đổi phần cứng như trong các HTĐKTĐ liên tục. HTĐKTĐGĐ có nhược điểm ở chỗ có sai số gián đoạn, nhưng điều đó có thể được khắc phục bằng việc tăng độ phân giải của các bộ biến đổi tín hiệu từ dạng liên tục sang dạng số (AD) và giảm sai số dụng cụ. HTĐKTĐGĐ có thể được phân loại theo các dấu hiệu sau: Theo bản chất cấu tạo HTĐKTĐGĐ được phân chia thành: - HTĐKTĐ xung. HTĐKTĐ xung tuyến tính là HTĐKTĐ mà ngoài các khâu được mô tả bằng các phương trình vi phân (PTVP) tuyến tính bình thường (các khâu liên tục) còn chứa các khâu xung, biến đổi tác động đầu vào liên tục thành các xung đứng cách đều nhau theo thời gian. Trong lớp HTĐKTĐ này còn có dạng HTĐKTĐ liên tục-gián đoạn-đó là các HTĐKTĐ có cả các khâu liên tục và máy tính số; - HTĐKTĐ số. Đó là các HTĐKTĐ trong đó xảy ra quá trình lượng tử hoá tín hiệu liên tục theo thời gian và theo mức và có chứa máy tính số cùng các thiết bị vào ra để thực hiện thuật toán ĐK. Theo đặc tính phương trình toán học mô tả HT, HTĐKTĐGĐ được chia thành các nhóm sau: -HTĐKTĐGĐ tuyến tính: -HTĐKTĐGĐ phi tuyến Theo tính chất của các tham số, HTĐKTĐGĐ được chia ra thành các nhóm sau: - HTĐKTĐGĐ dừng - HTĐKTĐGĐ không dừng 6.1.2. Khái niệm lượng tử hoá các tín hiệu liên tục Để nghiên cứu sự cần thiết và bản chất quá trình lượng tử hoá các tín hiệu liên tục, ta xem xét cấu tạo và hoạt động của HTĐKTĐ khí cụ bay sử dụng máy tính trên khoang (MTTK), H.6-2. TB TTS TB LỌC T0 y(iT0) AD y(iT0) e(iT0) u(iT0) η(iT0) DA Máy tính trên khoang Hình 6-2. HT điều khiển khí cụ bay sử dụng máy tính trên khoang PTX Cơ quan chấp hành Đối tượng điều khiển Cảm biến Phần liên tục η(t) y(t) Việc biến đổi các tín hiệu liên tục, thí dụ y(t) thành mã máy có thể chia một cách quy ước ra thành 3 giai đoạn như sau: lượng tử hoá theo thời gian, lượng tử hoá theo mức và mã hoá. Lượng tử hoá theo thời gian Lượng tử hoá theo thời gian là sự biến đổi hàm liên tục ban đầu y(t) thành chuỗi các giá trị rời rạc y(ti), trong đó ti là các thời điểm thời gian. Khoảng cách giữa các thời điểm ti có thể là bất kỳ, nhưng thực tế thường không đổi ti=iT0, trong đó T0 là bước lượng tử, hay chu kỳ gián đoạn. Trên H.6-2 việc lượng tử hoá theo thời gian được biểu diễn quy ước bằng phần tử xung (PTX), đóng và mở mạch tức thời sau các khoảng thời gian T0. Ở đầu ra của PTX nhận được chuỗi các xung y(iT0), được điều chế bằng tín hiệu y(t). Quá trình điều chế xung được thực hiện bằng cách thay đổi một tham số nào đó của các xung lặp lại theo chu kỳ theo quy luật thời gian nhất định. Các tham số chính của chuỗi xung bị điều chế (H.6-3) là độ cao (hay biên độ) A, độ rộng xung (γT0), khoảng cách giữa các xung (hay chu kỳ) T0. Đại lượng y(t) xác định quy luật điều chế được gọi là đại lượng điều chế. Căn cứ vào tham số nào của xung bị thay đổi theo quy luật của đại lượng điều chế người ta phân biệt (H6-4): - điều chế biên độ (ĐCBĐ); - điều chế độ rộng xung (ĐCĐR); - điều chế thời gian xung (ĐCTG). tHình 6-3. Các tham số chính của chuỗi xung bị điều chế A γT0 T0 Hình 6-4. Các dạng chính điều chế xung T0 t y(t) ĐCBĐ ĐCĐR ĐCTS t y(t) t Lượng tử hoá theo mức Lượng tử hoá theo mức là sự thay thế các giá trị của đại lượng liên tục y(t) bằng các giá trị gián đoạn phân biệt gần nhất tại các thời điểm thời gian nhất định, phù hợp với đặc tính tĩnh của bộ biến đổi AD, H.6-5. Nếu bộ biến đổi AD có số bít là k, thì số mức lượng tử là N1=2k-1. Khi đó, giá trị của bít thấp nhất ∆1 chính là độ phân biệt của nó. Dải thay đổi lượng vào của nó được xác định là .11∆= Nym Hình 6-5. Đặc tính tĩnh của bộ biến đổi AD y y ∆1 2∆1 N1∆1 ym-ym Lượng tử hóa theo mức 0 Khi lượng tử hoá đồng thời theo thời gian và theo mức thì tại các thời điểm thời gian rời rạc iT0 tín hiệu liên tục y(t) được thay thế bằng các giá trị gián đoạn gần nhất với giá trị của nó, H.6-6. T0 y Hình 6-6. t ][ 0iTy 0 Mã hoá Mã hoá là sự biến đổi tín hiệu thành mã số trong máy tính. Việc biến đổi các tín hiệu từ dạng liên tục thành dạng số được thực hiện với tốc độ hạn chế và mang vào HTĐKTĐ một khoảng thời gian giữ chậm τ1, được xác định bằng thời gian cần thiết để tín hiệu ra của AD được thiết lập với độ chính xác nhất định. Do tín hiệu ra của máy tính là các xung hẹp, thậm trí là cực hẹp, nên khi thực hiện điều khiển đối tượng hoạt động liên tục cần phải biến đổi nó về dạng tín hiệu điều khiển liên tục η(t). Công việc này được thiết bị ra của máy tính (DA) thực hiện. Quá trình biến đổi tín hiệu từ dạng mã số thành dạng liên tục được thực hiện qua hai giai đoạn: giải mã và ghi nhớ (ngoại suy). )( 0iTη Giải mã Giải mã là sự biến đổi mã số thành tín hiệu xung điều chế biên độ. Giải mã đồng hành với lượng tử hoá tín hiệu theo mức phù hợp với đặc tính tĩnh của bộ biến đổi DA (H.6-7). Đặc tính tĩnh của nó có thể tuyến tính hoặc phi tuyến. Trường hợp đầu tiên tương ứng với lượng tử hoá đều theo mức, khi mà bước lượng tử không phụ thuộc vào giá trị của tín hiệu được biến đổi (H.6-7, a). Trong trường hợp thứ hai, số lượng mức của đặc tính tĩnh N2=2k-1, còn dải tuyến tính ηM<N2∆2, trong đó k là số bít, ∆2-giá trị của bít thấp nhất (H.6-7, b). Hình 6-7, a η η=Q(η) ηm -ηm ∆2 2∆2 N1∆2 Quá trình giải mã cũng gây ra thời gian giữ chậm τ2, thông thường τ2>τ1. 0 Hình 6-7, b η η=Q(η) ηm -ηm Hình 6-7, c η η=Q(η) ηm -ηm 0 0 Ghi nhớ Ghi nhớ (ngoại suy) chính là sự duy trì tín hiệu ra của máy tính ở mức không đổi trong toàn bộ chu kỳ gián đoạn T0. Trong một số trường hợp có thể sử dụng các dạng ngoại suy khác: tuyến tính, bình phương, để đảm bảo “là phẳng” tốt hơn các tín hiệu ra của máy tính. 6.2. CÔNG CỤ TOÁN HỌC NGHIÊN CỨU CÁC HTĐKTĐ GIÁN ĐOẠN 6.2.1. Phương trình HSHHTT (sai phân TT) Hàm chấn song Hàm chấn song, ký hiệu là x(iT0) hay x(i), là hàm được xác định từ hàm liên tục x(t) tại các thời điểm gián đoạn iT0, trong đó i là số nguyên. (i-1)T0 iT0 (i+1)T0 t x(iT0) x(t) )( 0iTx∇ )( 0iTx∆ 0 ii+1ii-10 Tương ứng với đạo hàm bậc nhất trong HTĐKTĐ liên tục là hiệu hữu hạn thuận bậc nhất, ký hiệu là ∆x(iT0) hay ∆x(i) hoặc hiệu hữu hạn ngược bậc nhất (H.6-8) )()()()( 10 ixixixiTx −== +∆∆ (6.1) Khái niệm các hiệu hữu hạn Hiệu hữu hạn thuận (ngược) bậc không chính là giá trị của hàm chấn song ).()()()( 10 −∇∇ −== ixixixiTx (6.2) ).()()()( 00000 ixixiTxiTx === ∇∇∆ Tương ứng với đạo hàm bậc hai trong HTĐKTĐ liên tục là hiệu hữu hạn thuận bậc hai, ký hiệu là ∆2x(iT0) hay ∆2x(i) )()()()( 1202 ixixixiTx ∆+∆∆∆ −== )()()( 122 ixixix +−= ++ (6.3, a) )( 02 iTx∇ )()()( 12 −∇∇∇ −= ixixix )()()( 212 −− +−= ixixix (6.3, b) hoặc hiệu hữu hạn ngược bậc hai, ký hiệu là hay )(2 ix∇ Có thể xác định các hiệu hữu hạn thuận và ngược bậc cao hơn. Để tính toán các hiệu hữu hạn bậc cao, có thể sử dụng các công thức truy hồi (đệ quy) )()()( 11 1 ixixix kkk ∆+∆∆ −− −= )()()( 111 −∇∇∇ −− −= ixixix kkk Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, nhận được công thức tổng quát )][()( 0 )1( rixcix k r r k r k −∑ −∇ = = )!(! ! rkr k c r k − = Thí dụ, hiệu hữu hạn ngược bậc ba )()()()()( 323133 −−−∇ −+−= ixixixixix Phương trình hiệu số hữu hạn tuyến tính (phương trình sai phân) Tương tự như PTVP trong HTĐKTĐ liên tục, ta đưa vào khái niệm PTHSHH. Khi sử dụng các hiệu hữu hạn ngược, PTHSHH có dạng )(...)()( ˆˆˆ 110 iyaiyaiya nnn +++ ∇∇ − )(...)()( ˆˆˆ 110 ixbixbixb mmm +++= ∇∇ − (6.6) Khái niệm HT dừng, không dừng, PTHSHH thuần nhất, không thuần nhất. Nghiệm của phương trình (6.6) cũng gồm có hai thành phần )()()( iyiyiy cbtd += Có thể viết lại phương trình (6.6) dưới dạng )(...)()( 110 niyaiyaiya n −++−+ )(...)()( 110 mixbixbixb m −++−+= (6.10) Phương trình (6.10) có chứa lượng vào và lượng ra trước đó một số hữu hạn các chu kỳ gián đoạn nên được gọi là các PTHSHH truy hồi (đệ quy). Có thể xác định được lượng ra y(i) từ (6.10) .1 1 1 )]}(...)([ )(...)()({)( 1 10 0 niyaiya mixbixbixb a iy n m −++−− −−++−+= Thí dụ 6.1. Biến đổi PTHSHH sau về dạng truy hồi )()()()( 223 432 ixiyiyiy ∇∇∇∇ =+− Khai triển các hiệu số hữu hạn ngược và thay thế vào phương trình trên, nhận được )()()()( 3223143 −−−+−− iyiyiyiy )()()( 212 −+−−= ixixix 6.2.2. Mô hình toán học quá trình lượng tử hoá theo thời gian và phép biến đổi Laplace gián đoạn Quá trình lượng tử hoá tín hiệu liên tục theo thời gian là giai đoạn đặc trưng trong hoạt động của bộ biến đổi AD. Tiến hành mô tả toán học quá trình đó. Để thực hiện việc này, xem xét mô hình mạch xung đơn giản (H.6-9, a). Giả sử rằng quá trình lượng tử hoá theo thời gian được thực hiện bằng một PTX lý tưởng có khả năng đóng mở tức thì sau các khoảng thời gian bằng nhau T0 . Nếu hàm liên tục x(t) có dạng được mô tả như trên H.6-9, b thì tín hiệu ra x*(t) của PTX là chuỗi các xung δ được điều chế bằng hàm x(t), tức là các xung có độ rộng nhỏ vô hạn, có độ cao bằng x(t) tại các thời điểm thời gian gián đoạn iT0. Khi đó, x*(t) có thể được biểu diễn như sau: H. 6-9. b) x(t) x*(t) t a) 0 T0 x(t) x*(t) ,)()()( 0 * ttxtx Tδ= (6.13) trong đó ∑ − ∞ = = 0 0)()(0 i iTttT δδ (6.14) là chuỗi xung cách đều nhau, có độ cao bằng 1. Có thể xem phương trình (6.13) như là biểu thức mô tả tín hiệu điều chế biên độ xung có sóng mang là chuỗi xung δ và hàm điều chế x(t). Biểu thức này chính là mô tả toán học quá trình lượng tử hoá theo thời gian tín hiệu liên tục x(t) trong miền thời gian. Nghiên cứu quá trình lượng tử hoá theo thời gian trong miền tần số. Thực hiện biến đổi Laplace phương trình (6.13), nhận được biến đổi Laplace gián đoạn tín hiệu x*(t): ∫ ∞ − == 0 ** )()()]([)( 0 dtettxtxLsX st Tδ (6.15) Biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier:)( 0 tTδ ,)( 0 ∑ ∞ −∞= Ω = i tji iectTδ trong đó Ω=2π/T0-tần số đóng ngắt PTX; hệ số của chuỗi ∫ − Ω− = 2 2 )( / /0 0 0 0 1 T T T dtetTc tji i δ ∫ ∑ − − Ω−∞ −∞= = 2 2 )( / / 0 0 0 0 . 1 T T dteiTtT tji i δ Trong vùng lấy tích phân [-T0/2÷T0/2] chỉ có một xung δ=1. Như vậy Tci 0 1 = Do đó ∑ ∞ −∞= Ω = i tji eTtT 0 1)( 0δ (6.16) Từ (6.15) và (6.16), nhận được ∫ ∑ ∞ Ω−−∞ −∞= == 0 )( 0 ** )()]([)( 1 dtetxTtxLsX tjis i ∑ Ω− ∞ −∞= = i jisXTsX )()( 0 * 1 (6.17) dấu “*” trong ký hiệu X*(s) để phân biệt với phép biến đổi Laplace liên tục X(s) của hàm x(t). Phương trình (6.17) có dạng chuỗi vô hạn. Từ đây suy ra rằng, tín hiệu ra của PTX ngoài phổ của tín hiệu x(t) còn chứa các thành phần cao tần. Giả sử phổ của tín hiệu x(t) bị hạn chế và có dạng như trên H.6-10 thì phổ của tín hiệu ra x*(t) của PTX trong dải [–Ω/2, Ω/2] có chứa phổ của tín hiệu vào, ngoài ra còn có các thành phần cao tần khác, như trên H.6-11. H.6-10. Ω/2 ω -Ω/2 ωm-ωm 0 )( ωjX Từ H.6-11 có thể nhận thấy rằng, nếu tín hiệu vào x(t) có độ rộng phổ tần số ωm<Ω/2 thì nó có thể được khôi phục lại hoàn toàn bằng cách mắc sau PTX một bộ lọc dải thông hẹp lý tưởng với ĐTTS biên độ (ĐTTSBĐ) A(ω). Đó chính là ý nghĩa của định lý Kachenhikốp, được phát biểu như sau: Ω/2 ω-Ω/2 ωm-ωm 0 3Ω/2-3Ω/2 ΩΩ )(* ωjX A(ω) H.6-11 Để khôi phục được chính xác tín hiệu liên tục x(t) từ tín hiệu xung x*(t) thì PTX phải có tần số làm việc lớn hơn hoặc bằng hai lần thành phần cao tần nhất của phổ tín hiệu x(t) (Ω≥2ωm). Từ (6.13) và (6.14) nhận được ∑ − ∞ = = 0 00 * )()()( i iTtiTxtx δ Thực hiện biến đổi Laplace gián đoạn biểu thức trên, nhận được (6.18)∑∑ ∫ − ∫ ∑ − ∞ = − ∞ = − ∞ ∞ − ∞ = == == 00 0 00 0 0 000 * 0)()()( )()()]([)( ii st st i eixdteiTtiTx dteiTtiTxiTxLsX siTδ δ Một số tính chất của phép biến đổi Laplace gián đoạn - Tính tuần hoàn )()( ** Ω+= jksXsX Như vậy, trên mặt phẳng phức, hàm X*(s) có tính tuần hoàn theo trục ảo với chu kỳ jΩ. Do đó, chỉ cần nghiên cứu nó trong dải [–jΩ/2, jΩ/2]. Để đơn giản hoá việc sử dụng phép biến đổi Laplace gián đoạn, đặt , nhận được phép biến đổi Z. Từ (6.18) nhận được ∑ ∞ = − == 0 )()]([)( i zixixZzX i (6.19) ez sT 0= - Tính tuyến tính Nếu các hàm x1(i), x2(i) có các ảnh biến đổi z tương ứng bằng X1(z), X2(z), a và b là các hằng số thì )()()]()([ 2121 zXbzXaixbixaZ ±=± - Chuyển dịch trong miền thời gian Nếu hàm x(i) có ảnh biến đổi Z là X(z) và các ĐKBĐ x(0)=x(±1)==x[(±(k-1))]=x(±k)=0 thì ,)()]([ zXzkixZ k±=± trong đó, k là số nguyên. - Ảnh của hiệu hữu hạn bậc k + Đối với hiệu hữu hạn ngược bậc nhất (6.2) )]()([)]([ 1−∇ −= ixixZixZ Nếu ĐKBĐ bằng không thì nhận được ).()()]([ 11 zXzixZ −−=∇ )()()( 11 11 −−− +−= xzzXz + Tổng quát: ảnh của hiệu hữu hạn ngược bậc k với các ĐKBĐ bằng không )(1)]([ )1( zXzixZ kk −= −∇ Các công thức nhận được của ảnh các hiệu hữu hạn thuận và ngược về mặt hình thức gợi nhớ các công thức tính ảnh các đạo hàm các hàm liên tục. - Giá trị giới hạn của hàm chấn song + Khi sử dụng ảnh của hiệu hữu hạn ngược bậc nhất )].()[()( 1 1 1limlim zXzkx zk − →∞→ −= - Biến đổi Z tích chập của hàm chấn song Nếu như và thì )()]([ 11 zFifZ = )()]([ 22 zFifZ = . )()( ])()([ )]()([ 21 0 21 0 21 zFzF kfkifZ kifkfZ i k i k = = ∑ − ∑ − = = 6.2.3. Các tác động điển hình 6.2.3.1. Phương pháp tính toán hàm ảnh z của các hàm gián đoạn - bước 1: xác định hàm ảnh X(s) của hàm liên tục x(t) tương ứng; - bước 2: tìm X(z) theo công thức sau: ∑ ∀         − = s Ts sc c sX ez z szX )()( 0 Re ∑ − −∀         −→ = − − s cTsssc c sssX ez z ds d k k k k ])([)( )(lim!1 1 0)1( )1( (6.27) trong đó: sc là các điểm cực của X(s); Res là thặng dư của hàm trong dấu ngoặc nhọn tại điểm cực sc của X(s); k là bội của cực sc. Lưu ý: sau bước 1 có thể phân tích hàm X(s) thành các phân thức đơn giản, sau đó sử dụng B.6-1 để tìm ảnh X(z). Thí dụ 6.2. Tìm hàm ảnh z của hàm gián đoạn x(i)=viT0. Hàm liên tục x(t)=vt có ảnh Laplace liên tục X(s)=v/s2. Hàm này có một cực kép s=0.         −→ = − − − − ][ 0)( )( )0(lim!12 1 2 2)12( )12( 0 s s v ez z ds d zX Ts s )1()( lim 2 0 2 0 00 0 − − = → = z zvT ez eTzv Ts Ts s 6.2.3.2. Các tác động tiền định Hàm chấn song bậc thang đơn vị 1(i) là hàm có dạng     < ≥ = .0,0 ;0,1 1 )( i i i (6.28) 2 H. 6-12. 0 1 3 i-1-2 1(i) 1 - đặt x(i)=1(i), khi đó X(s)=1/s; Hàm x(s) có một cực s=0. Như vậy 1lim )()( 00 − = − = → z z s s ez z zX Tss (6.29, a) z zX 11 1)( − − = (6.29, b) Hàm chấn song xung đơn vị δ(i) là hàm có dạng     ≠ = = .0,0 ;0,1)( i i iδ (6.30) H. 6-13. 0 1 3 i-1-2 δ(i) 1 2 Ảnh của hàm chấn song xung đơn vị: thay (6.30) vào (6.19), nhận được 1)]([ =iZ δ (6.31) Hàm đồng biến x(i)=viT0 Ảnh của hàm trên có dạng (xem thí dụ 6.2) )1( 2 0)( − = z zTv zX (6.32, a) )1( 1 )( 2 0 zz vT zX − = − (6.32, b) Hàm đồng biến )( 0)( 2Tiaix = Ảnh Laplace của hàm liên tục x(t)=at2 có dạng s a sX 3 2)( = Sử dụng (6.30) để xác định ảnh z của hàm trên         −→ = − − − − ][ 0)( )( )0(2lim!13 1 3 3)13( )13( 0 s s a ez z ds d zX Ts s )1( 1 3 2 0 )()( − + = z zzaT zX (6.33, a) )1( 1 12 )( )( 3 2 0 zz zaT zX − + = − (6.33, b) 6.3. CÁC ĐẶC TRƯNG ĐỘNG HỌC CỦA HTĐKTĐ GIÁN ĐOẠN 6.3.1. HST của HTĐKTĐ gián đoạn (khâu động học gián đoạn) Xét HTĐKTĐGĐ hoặc KĐHGĐ. HTĐKTĐGĐ (KĐHGĐ) x(i) y(i) ra nhận được hàm gián đoạn y(i). Các hàm này có các ảnh tương ứng là X(z) và Y(z). Giả sử ở đầu vào của nó có hàm gián đoạn x(i) tác động. Ở đầu HST của HTĐKTĐGĐ (KĐHGĐ) là tỉ số giữa hàm ảnh lượng ra Y(z) với hàm ảnh lượng vào X(z) trong phép biến đổi Z khi ĐKBĐ bằng không. PTHSHH của HTĐKTĐGĐ được thiết lập từ các hiệu hữu hạn ngược (6.6) )(...)()( ˆˆˆ 110 iyaiyaiya nnn +++ ∇∇ − )(...)()( ˆˆˆ 110 ixbixbixb mmm +++= ∇∇ − Thực hiện biến đổi Z hai vế phương trình trên khi ĐKBĐ bằng không, nhận được HST của HTĐKTĐGĐ (KĐHGĐ) azaza bzbzb zX zY zW n nn m mm ˆ)1(ˆ)1(ˆ ˆ)1(ˆ)1(ˆ ... 11 ... 11 )( )( )( 1 10 1 10 ++−+− ++−+− == −− −− − − (6.34) Các quy tắc tính HST tương đương của HTĐKTĐGĐ - Mắc nối tiếp các khâu động học gián đoạn W1(z) X(z) W2(z) Wn(z) Y(z) HST tương đương của các KĐHGĐ mắc nối tiếp được tính như sau ∏ = == n i itd zW zX zY zW 1 )()( )( )( - Mắc song song cùng chiều các khâu động học gián đoạn W1(z) X(z) W2(z) Wn(z) Y(z) Ʃ ∑ = == n i itd zW zX zY zW 1 )()( )( )( - Mắc phản hồi các khâu động học gián đoạn Wph(z) X(z) W(z) Y(z) +(-) )()( )( )( )( )( 1 zWzW zW zX zY zW ph td m == trong đó: dấu “+” khi phản hồi âm; dấu “-” khi phản hồi dương. Hai KĐH mắc phản hồi tạo thành vòng kín tính toán cơ bản. (6.36) Khi phản hồi âm và Wph(z)=1, nhận được vòng kín phản hồi âm đơn vị. Lúc này (6.36) có dạng )( )( )( )( )( 1 zW zW zX zY zWtd +== 6.3.2. Phép biến đổi ngược Z và các phương pháp tính toán lượng ra trong HTĐKTĐGĐ Phép biến đổi ngược Z Phép biến đổi Z (6.19) cho phép xác định hàm ảnh X(z) khi biết hàm gián đoạn gốc x(i). Phép biến đổi ngược Z cho phép xác định hàm gián đoạn gốc x(i) khi biết hàm ảnh X(z). Các phương pháp tính toán lượng ra trong miền thời gian của HTĐKTĐGĐ (KĐHGĐ): - Phương pháp thặng dư dzzzXjzXZix z i ∫ = −− == 1 11 )()]([)( 2 1 pi (6.37))()()( zXzWzY = Nếu Y(z) trong (6.37) có dạng Trường hợp m≤n: y(i) được xác định như sau: { }∑ ∀ = − z zc c zzYsiy i 1)()( Re ∑ − −∀         → = − − − z c zzc c zzzzY dz d k ik k k ])([)( 1 )1( )1( )(lim!1 1 (6.38) trong đó: zc-các điểm cực của hàm Y(z); k-bội của mỗi cực. ; 0 0)( ∑ ∑ = − = − = n l ln l m k km k za zb zY - Sử dụng phương trình hiệu số hữu hạn Biến đổi HST của KĐHGĐ về dạng ∑ ∑ = − = − == n l l l m k k k td za zb zX zY zW 0 0 )( )( )( trong đó a0=1. Biến đổi (6.39) về dạng sau (6.39) Sử dụng tính chất chuyển dịch trong miền thời gian của phép biến đổi Z với ĐKBĐ bằng không, nhận được zYazYazYaY nn zzzz −−− ++++ )(...)()()( 2211 zXbzXbzXbbX mm zzzz −−− ++++= )(...)()()( 22110 )][(...)][()][()( 21 21 niyaiyaiyaiy n −++−+−+ )][(...)][()][()( 21 210 mixbixbixbbix m −−− ++++= Viết lại phương trình trên về dạng sau: ∑∑ == −+−−= m k k n l l kixbliyaiy 01 )][()][()( (6.40) Tiếp theo, cho i=0, 1, 2, ..., n và sử dụng các ĐKBĐ để xác định hàm y(i). Thí dụ 6.3. Tìm hàm gốc của tín hiệu gián đoạn khi biết ảnh của nó )1( 1 3 2 0 )()( − + = z zzT zY Phương pháp 1: sử dụng (6.38). Hàm Y(z) có một cực z=1 bội 3.         + → = − − − − − − ] )( [ 1)( )( 133 2 0 )13( )13( )1()1( 1 lim!13 1 zz z zzT dz diy i z         + → = + ][ 1 1 2 22 0 lim2 zzdz dT ii z         + → = −+ ])[( 1 1 2 0 1lim2 zizidz dT ii z { } )(11lim2 0])()[(1 221 2 0 TiziiziiT ii z =+ → = −− −+ Phương pháp 2: sử dụng (6.39) và (6.40). Cho rằng )1( 1 3 2 0 )( )( 1 )()()( − + == = z zzT zXzWzY zX (6.41) trong đó     ≠ = == .0,0 ;0,1)()( i i iix δ Biến đổi (6.41) về dạng zzz zTzT zX zY 321 22 0 12 0 331 0 )( )( −−− −− −+− ++ = ])[(])[( 220120321 0331 zTzTzXzzzzY −−−−− ++=−+− )1()2()1()( 32020 −+−+−= iyiTiTiy δδ )3()2(3 −+−− iyiy Khi các ĐKBĐ bằng không, nhận được 000 )( =⇒= yi ;)( 2020 000011 TTyi =++++=⇒= ;0)( )2(003022 22020 TTTyi =+−++=⇒= Tổng quát )( 0)( 2iTiy = 6.3.3. Các đặc tính thời gian của HTĐKTĐGĐ Các ĐTTG là phản ứng của HTĐKTĐGĐ (KĐHGĐ) với tác động nào đó khi ĐKBĐ bằng không. Các tác động được sử dụng để nghiên cứu các ĐTTG là hàm chấn song bậc thang đơn vị và hàm chấn song xung đơn vị. 6.3.3.1. Đặc tính quá độ xung Hàm quá độ xung (hàm trọng lượng) g(i) của HTĐKTĐGĐ (KĐHGĐ) là phản ứng của nó với hàm chấn song xung đơn vị δ(i) (6.30) khi ĐKBĐ bằng không. W(z)x(i) y(i) δ(i) g(i)Từ định nghĩa HST )( )( )( zX zY zW = 1)()()( =⇒= zXiix δ )()( zYzW =⇒ Mặt khác, khi đưa vào đầu vào HTĐKTĐGĐ tín hiệu x(i)=δ(i), ở đầu ra nhận được tín hiệu y(i) lại chính là g(i) (H.6-18). Theo định nghĩa phép biến đổi Z ∑ ∞ = − == 0 )()()( i i zigzGzY ∑ ∞ = − =⇒ 0 )()( i i zigzW Vì vậy, HST là biến đổi Laplace gián đoạn của hàm quá độ xung. (6.42) . )]([)( 1 zWZig −= Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của hàm quá độ xung g(iT0) vào thời gian (t=iT0) là đặc tính quá độ xung của HTĐKTĐGĐ (KĐHGĐ) (H.6-19). H. 6-19 0 T0 2T0 3T0 t g(iT0) từ hàm quá độ xung g(i) có thể tìm được phản ứng của hệ thống dưới tác động bất kỳ cho trước: 6.3.3.2. Đặc tính quá độ Hàm quá độ h(i) của HTĐKTĐGĐ (KĐHGĐ) là phản ứng của nó với hàm chấn song bậc thang đơn vị 1(i) (6.28) khi ĐKBĐ bằng không. Ta tìm mối liên hệ giữa hàm quá độ và hàm quá độ xung. W(z)x(i) y(i) 1(i) h(i) . )()( )()()( 0 0 kgkix kigkxiy i k i k ∑ ∑ = = −= −= (6.43) ∑∑ == −=−= i k i k kigkigkih 00 )()()()( 1 Đặt r=i-k (khi k=0 thì r=i, k=i thì r=0) vào phương trình trên, nhận được ∑∑ == == i rir rgrgih 0 0 )()()( Như vậy, hàm quá độ là tổng các giá trị của hàm quá độ xung. - Các phương pháp tính toán hàm quá độ + Phương pháp sử dụng biến đổi ngược Z Từ định nghĩa HST, nhận được (6.47) );()()( zXzWzY = 1 )( − = z z zX 1 )()( − =⇒ z z zWzY ])([)()( 1 1 − ==⇒ − z z zWZiyih Tiếp theo sử dụng (6.38) hoặc (6.40) để nhận được kết quả cuối cùng của hàm quá độ. + Sử dụng (6.47) khi đã biết g(i) Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của hàm quá độ h(iT0) vào thời gian (t=iT0) là đặc tính quá độ của HTĐKTĐGĐ (KĐHGĐ). 0 T0 t h(iT0) 2T03T0 4T0 5T0 + Phương pháp sử dụng Control System Toolbox trong Matlab để dựng ĐTQĐ 1- biến đổi SĐCT của HTĐKTĐGĐ về dạng chỉ chứa các mối liên hệ cơ bản, và mỗi KĐHGĐ có biểu thức HST dưới dạng sau ∑∑ = − = − = n l ln l m k km k za zb zW 0 0)( 2- mở Matlab 3- mô tả các KĐHGĐ bằng các lệnh tf, dùng các phép tính “+”, “*”, lệnh feedback để mô tả mối liên hệ giữa các KĐHGĐ; - lệnh tf có cú pháp như sau sys=tf([b0 b1 b2 bm], [a0 a1 a2 an], T0), trong đó T0 là chu kỳ gián đoạn; - dùng phép nhân để mô tả các KĐHGĐ mắc nối tiếp; - dùng phép cộng để mô tả các KĐHGĐ mắc song song cùng chiều; - dùng lệnh feedback để mô tả một vòng kín; 4- dùng lệnh step để dựng ĐTQĐ. Thí dụ 6.4. Dựng ĐTQĐ của HT bám gián đoạn có SĐCT như trên H.6-22; chu kỳ gián đoạn T0=0,02 s. 6.3.4. Các đặc tính tần số của HT điều khiển tự động gián đoạn Khái niệm hàm số truyền tần số Có thể nhận được HST tần số của HTĐKTĐGĐ từ biểu thức HST bằng cách thay ez Tjω 0= ez TjzWjW ωω 0)()( * = = (6.48) Có thể viết biểu thức HST tần số dưới dạng eAQjPjW j )(**** * )()()()( ωϕωωωω =+= trong đó P*(ω)-hàm tần số phần thực; Q*(ω)-hàm tần số phần ảo; A*(ω)-hàm tần số biên độ; φ*(ω)-hàm tần số phần pha. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của P*(ω) vào tần số được gọi là ĐTTS phần thực. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của Q*(ω) vào tần số được gọi là ĐTTS phần ảo. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của A*(ω) vào tần số được gọi là ĐTTS biên độ. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của φ*(ω) vào tần số được gọi là ĐTTS pha. Từ (6.42) và (6.48), ta có ∑ ∞ = − = 0 * 0)()( i eigjW Tjiωω (6.49) Xét biểu thức ∑ ∞ = +− Ω 0 )( 0)( i j eig iTkjω trong đó Ω=2π/T0. ∑∑ ∞ = −− ∞ = +− Ω = Ω 00 )( 000 )()( i j i j eeigeig iTkiTjiTkj ωω ∑ ∞ = −− = 0 2)( 0 i j eeig kiiTj piω Do 1sincos )2()2(2 =−=− pipipi kikiki je j Vì vậy ∑∑ ∞ = − ∞ = +− = Ω 00 )( 00 )()( ii j eigeig TjiiTkj ωω Từ (6.49) và (6.50) suy ra rằng HST tần số của HTĐKTĐGĐ có tính tuần hoàn với chu kỳ jΩ. Dễ dàng nhận thấy rằng, hàm tần số biên độ, hàm tần số phần thực là các hàm chẵn: A*(-ω)=A*(ω), P*(-ω)=P*(ω); các hàm tần số phần ảo, hàm tần số pha là hàm lẻ: Q*(-ω)=-Q*(ω), φ*(-ω)=-φ*(ω). Từ tính chất này (6.50) và tính tuần hoàn của HST tần số suy ra rằng ĐTTS của HTĐKTĐGĐ hoàn toàn được xác định khi biết các giá trị của nó trong dải [0, π/T0]. Các đặc tính tần số giả Việc xây dựng các ĐTTS logarit tiệm cận được thực hiện với hàm của tần số giả tương đối hay tuyệt đối λ. Để chuyển sang tần số giả tương đối hay tuyệt đối λ người ta sử dụng phép thay thế song tuyến tính ϑ ϑ (6.51) w w z − + = 1 1 hay thay thế ngược (6.52)1 1 + − = z z w được gọi là phép biến đổi w. Biến đổi (6.52) như sau 1sincos 1sincos 1 1 1 1 )()( )()( 00 00 0 0 ++ −+ = + − = + − = TjT TjT e e z z w Tj Tj ωω ωω ω ω ϑω jTtgj == )( 2 0 Phép biến đổi (6.51) thực hiện một ánh xạ phía trong đường tròn bán kính đơn vị, tâm tại gốc toạ độ ( |z|<1) của mặt phẳng phức z vào nửa trái mặt phẳng phức w, phía ngoài đường tròn bán kính đơn vị ( |z|>1) vào nửa phải mặt phẳng phức w, đường tròn bán kính đơn vị ( |z|=1) thành trục ảo mặt phẳng phức w (H.6-26). CM: Nếu w nằm ở nửa trái mặt phẳng phức, tức là w=-α±jβ (trong đó α>0), từ (6.51) nhận được βα βα j j z m+ ±− = 1 1 1 )1( )1( 22 22 < + + = + − βα βα z Real j1 jIm Mặt phẳng z Mặt phẳng w H. 6-26. Ý nghĩa toán học của phép biến đổi w Real jIm w w z − + = 1 1 Bằng cách chứng minh tương tự, nhận thấy rằng khi w nằm ở nửa bên phải mặt phẳng phức thì |z|>1, còn khi w nằm trên trục ảo thì |z|=1. 1 0 0 1 3 1 2 23 Khi xây dựng ĐTTS logarit tiệm cận của các HTĐKTĐGĐ, người ta thường sử dụng tần số giả tuyệt đối λ hơn sử dụng tần số giả tương đối Tần số giả tuyệt đối λ được xác định như sau: ϑ ω λ T T tg T 0 0 0 2 2 2 )( == Tương ứng với nó, phép biến đổi w, lúc này có dạng w T w T z 21 21 0 0 − + = (6.53) 1 12 0 + − = z z Tw (6.54) Khi tần số ω nhỏ, tần số giả tuyệt đối λ≈ω vì , tức là ĐTTS ở vùng tần số thấp thực tế trùng với ĐTTS tương ứng của )()( 22 00 TTtg ωω ≈ )( ωjW HTĐKTĐ liên tục. Khi tần số ω thay đổi trong dải [0, π/T0] các tần số giả , λ thay đổi trong dải [0, ∞[. 0 π/T0ω λ, ϑ ϑ Sử dụng Control System Toolbox để thực hiện biến đổi song tuyến tính: bước 1: khai báo KĐHGĐ bằng lệnh tf; bước 2: Sử dụng lệnh d2c để tìm HST w của KĐHLT. Cú pháp của lệnh này như sau: d2c(sys,'tustin') trong đó sys-KĐHGĐ đã được khai báo bằng lệnh tf; ‘tustin’-sử dụng phương pháp tích phân tustin. Thí dụ 6.5. Sử dụng Control System Toolbox để thực hiện biến đổi song tuyến tính hai chiều KĐHGĐ có HST như sau (T0=0.1s): .1 05,005,0 )( − + = z z zW clear all; clc; T0=0.1; sys1=tf([0.05 0.05],[1 -1],T0) sys2=d2c(sys1,'tustin') sys3=c2d(sys2,T0,'tustin') Sử dụng Control System Toolbox để dựng ĐTTS logarit của HTĐKTĐGĐ Mô tả HTĐKTĐGĐ hở mà HT kín có phản hồi âm đơn vị. Tiếp theo sử dụng lệnh bode hoặc margin để dựng ĐTTS logarit (lưu ý rằng khi này sử dụng tần số ω như trong HTĐKTĐ liên tục). 6.4. CÁC KHÂU GIÁN ĐOẠN ĐIỂN HÌNH 6.4.1. Khâu tổng Khái niệm Khâu tổng là KĐHGĐ có PTHSHH )()( ˆˆ 110 ixbiya =∇ hoặc dưới dạng )()(1 ixkiy =∇ (6.55) a bk ˆ ˆ 0 1 = trong đó: x(i)-lượng vào; y(i)-lượng ra hệ số biến đổi (hay hệ số truyền). Hàm số truyền Thực hiện biến đổi Z hai vế phương trình (6.55) khi ĐKBĐ bằng không, nhận được )()()( 11 zXkzYz =− − Vì vậy, HST của khâu tổng có dạng: )()( )( )( 11 z k zX zY zW − − == (6.56) hay dưới dạng )( )( 1− = z zk zW (6.57) HST của khâu tổng (6.56) có dạng giống với HST của khâu tích phân liên tục. Đặc tính tần số Đặc tính tần số biên độ Thay vào biểu thức HST (6.56) hoặc (6.57), nhận được HST tần số của khâu tổng ez Tjω 0= )( )( 01 * e kjW Tjωω − − = Để dựng ĐTTS biên độ (ĐTTSBĐ) của các KĐHGĐ có thể sử dụng công thức Euler )()( 00 sincos0 TjTe Tj ωωω −=− và thực hiện các biến đổi tiếp theo. Tuy nhiên, công việc này phức tạp, và từ biểu thức giải tích nhận được cũng khó đưa ra phán xét về dạng ĐTTSBĐ của chúng, nhất là với các KĐHGĐ có HST phức tạp. Dưới đây, giới thiệu phương pháp dựng ĐTTSBĐ của các KĐHGĐ bằng Matlab. Đặc tính tần số logarit Để nhận được HTSBĐ logarit và HTS pha logarit của khâu tổng có thể sử dụng phép biến đổi song tuyến tính (6.51) hoặc công thức (6.53) để biến đổi công thức (6.56) về dạng cần thiết, sau đó dựng các ĐTTS giả. Dưới đây, sử dụng công cụ Control System Toolbox trong Matlab để dựng các ĐTTS logarit. Khi đó cần sử dụng HST dưới dạng (6.57). Các đặc tính thời gian - Đặc tính quá độ Đưa vào đầu vào khâu tổng hàm chấn song bậc thang đơn vị 1(i) và tính toán giá trị của hàm quá độ h(i) khi ĐKBĐ bằng không. Từ (6.55) và (6.2), nhận được h(i)=h[(i-1)]+k.1(i) i=0 h(0)=h(-1)+k.1(0) =k; i=1 h(1)=h(0)+k.1(1)=k+k=2.k=(i+1).k; i=2 h(2)=h(1)+k.1(2)=2.k+k=(i+1).k; Tổng quát, hàm quá độ của khâu tổng có dạng .1 )()( kiih += - Đặc tính quá độ xung Đưa vào đầu vào của khâu tổng hàm chấn song xung đơn vị δ(i) và tính toán giá trị hàm quá độ xung g(i) khi ĐKBĐ bằng không. Thực hiện biến đổi như trên, nhận được hàm quá độ xung . )( kig = 6.5. CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG LIÊN TỤC-GIÁN ĐOẠN 6.5.1. Khái niệm và phân loại Đa số các thiết bị chấp hành và ĐTĐK trong các HTĐKTĐ là các phần tử hoạt động liên tục. Việc sử dụng các tính năng ưu việt của phương pháp xử lý tín hiệu gián đoạn để ĐK các phần tử này tạo ra một lớp các HTĐKTĐ liên tục-gián đoạn. Trong HTĐKTĐ này, như trên H.6-2 ta thấy có các phần tử đặc trưng sau: - máy tính số thực hiện chức năng lưu giữ chương trình, tính toán và hiệu chỉnh; - phần tử AD thực hiện biến đổi tín hiệu từ dạng liên tục về dạng số; - phần tử DA thực hiện biến đổi tín hiệu từ dạng số về dạng liên tục; - các phần tử chức năng liên tục cần thiết khác. HTĐKTĐ liên tục-gián đoạn về cấu trúc có thể được chia ra thành hai loại: - đo sai lệch gián đoạn, xử lý tín hiệu gián đoạn Xử lý tín hiệu Phần liên tụcAD x(t) e(t) DA y(t) Xử lý tín hiệu Phần liên tụcAD x(t) e(i) DA y(t) AD - đo sai lệch liên tục, xử lý tín hiệu gián đoạn x(i) y(i) 6.5.2. Mô tả toán học khâu ghi nhớ (ngoại suy) Trong phần 6.2.2 đã chỉ ra rằng, phổ tần số của tín hiệu gián đoạn có chứa phổ tần số của tín hiệu liên tục và các thành phần cao tần bổ sung. Để khôi phục hình dáng gần đúng của tín hiệu một chiều thì trước phần tử liên tục phải đặt một khâu ghi nhớ. ĐTTSBĐ của khâu này phải có dạng của bộ lọc thấp tần để loại trừ các thành phần phổ cao tần không mong muốn của tín hiệu gián đoạn. Hiện nay có nhiều dạng và sơ đồ khâu ghi nhớ. Ở đây chúng ta nghiên cứu khâu ghi nhớ bậc không. Khâu ghi nhớ này biến đổi chuỗi xung lý tưởng (các mã) thành hàm bậc thang η(t). η(t)a) b) T0 2T03T0 t0 T0 1 -1 t 0 η(t) Khi đưa tới đầu vào khâu ghi nhớ tín hiệu x(i)=δ(i), ở đầu ra nhận được xung vuông có độ rộng T0. Hàm η(t) có thể được biểu diễn như sau )()()( 011 Tttt −−=η Thực hiện biến đổi Laplace hai vế phương trình trên với ĐKBĐ bằng không, nhận được hàm ảnh tín hiệu ra của khâu ghi nhớ )]([)( tLs ηη = s e e ss sT sT − − = − −= 0 0 111 Từ đây nhận được HST của khâu ghi nhớ )( )( )( sX s sW ghn η = . 0 0 111 s e e ss sT sT − − = − −= ĐTTSBĐ của khâu ghi nhớ ejWA Tjghnghn ωωωω − −== 01 1)()( )(0 0 22 sin)]cos(1[1 TT ωω ω += − )( )( 2 2 sin 0 0 0 T T T ω ω = ĐTTS pha của khâu ghi nhớ 0 T0 ω2π/T0 4π/T0 6π/T0 φghn(ω) Wghn(jω) ))(()( arg ωωϕ jW ghnghn = 22cos1 sin 0 0 0 )( )( T T T arctg ωpi ω ω −=− − = Các thành phần phổ cao tần của tín hiệu gián đoạn bị giảm đi đáng kể khi đi qua khâu ghi nhớ. Khâu ghi nhớ đưa vào HT độ trễ pha tỉ lệ với T0/2. Các mạch ngoại suy bậc cao hơn đưa vào HT độ trễ pha nhiều hơn. 6.5.3. HST z HTĐKTĐ liên tục-gián đoạn Xét khâu động học liên tục (KĐHLT) với HST W(s). PTX với chu kỳ gián đoạn T0 mô tả thao tác lượng tử hoá theo thời gian tín hiệu x(t). Tín hiệu đã được lượng tử hoá x(iT0) đi qua khâu ghi nhớ và được đưa đến KĐHLT với HST W(s). Tại đầu ra của nó nhận được tín hiệu liên tục y(t). x(t) y(t)T0 x(iT0) ghi nhớ W(s) T0 y(iT0) W1(s) Nếu chỉ xem xét lượng ra ở các thời điểm trùng với thời điểm lượng tử hoá theo thời gian của lượng vào x(t), thì để nhận được hàm chấn song y(iT0) cần đưa vào đầu ra của KĐHLT một PTX giả định làm việc đồng bộ với PTX ở đầu vào. Thực hiện biến đổi Laplace gián đoạn hàm y(iT0) và x(iT0), nhận được các hàm ảnh Y(z) và X(z). Từ đây nhận được HST tương đương của khâu ghi nhớ và KĐHLT W(z) (6.70) trong đó F(s)=W(s)/s-HST quy đổi; )].([)( sFZzF = )]([ )]()([)( )( )]( 01 sW s e Z sWsWZ zX zY zW sT gnh − − = == )()]([])([)( 111 )( )( zF z z sFZ z z s sWZ z z zW zF sF −−− === 43421 43421 Phương pháp tính HST z W(z) của KĐHLT: a) Phương pháp thặng dư - bước 1: tìm HST quy đổi F(s)=W(s)/s; - bước 2: tìm tất cả các cực sc của F(s); -bước 3: tìm F(z) theo công thức (6.27), như sau: ∑ ∀         − = s Ts sc c sF ez z szF )()( 0 Re ∑ − −∀         −→ = − − s cTs ssc c sssF ez z ds d k k k k ])([)( )(lim!1 1 0)1( )1( trong đó: sc- các điểm cực của F(s); k là bội của cực sc; - bước 4: tìm W(z) theo công thức (6.70). Thí dụ 6.6. Tìm HST z của khâu tích phân liên tục W(s)=k/s. s k s sW sF 2 )( )( == Hàm F(s) có một cực kép s=0, vì vậy         −→ = − − − − ][ 0)( )( )0(lim!12 1 2 2)12( )12( 0 s s k ez z ds d zF Ts s )1( 2 0)( − = z zkT zF )1( 1 0)()( − − == z kT zF z z zW b) Phương pháp tra bảng Thí dụ 6.7. Tìm HST z của KĐH liên tục )()( 1+ = Tss k sW bằng phương pháp tra bảng. ))(()( )( 1 1 1 2 22 ++ +−== Ts T s T s k Tss k sF ][)( 01)1( 2 0 ez Tz z Tz z zT kzF T T − −− − +−= Từ B.6.1 nhận được Phương pháp sử dụng Control System Toolbox để tính HST z của khâu động học liên tục: bước 1: khai báo KĐHLT bằng lệnh tf; bước 2: Sử dụng lệnh c2d để tìm HST z của KĐHLT. Cú pháp của lệnh này như sau: c2d(sys,T0,'zoh') trong đó sys-KĐH đã được khai báo bằng lệnh tf; T0-chu kỳ gián đoạn, ‘zoh’-sử dụng khâu ghi nhớ bậc không. Thí dụ 6.8. Sử dụng Control System Toolbox để tính HST z trong thí dụ 6.4 khi k=12, T0=0,1 s. k=12; sys=tf(k,[1 0]); T0=0.1; c2d(sys,T0,'zoh') 6.5.4. Các quy tắc biến đổi SĐCT của các HT điều khiển tự động liên tục-gián đoạn Các quy tắc biến đổi SĐCT trong các HTĐKTĐ liên tục-gián đoạn cũng giống các quy tắc tương ứng trong các HTĐKTĐ liên tục. Sự khác biệt liên quan đến sự có mặt của PTX và khâu ghi nhớ. Quy tắc cơ bản được phát biểu như sau: các KĐHLT được mắc nối tiếp trong HT mà không bị cách ly bằng PTX cần phải được xem xét như một KĐHLT. Mắc nối tiếp các khâu động học được cách ly bằng các phần tử xung Giả sử có hai KĐHLT được mắc bị cách ly bởi PTX. Ta tìm HST tương đương của chúng. x(t) T0 x(iT0) GN W1(s) y(iT0) r(t) r(iT0)GN W2(s) y(t)T0 T0 Các PTX làm việc đồng bộ với nhau. Ta có )()()( 1 zWzXzR = ] )( [)( 11 1 s sW Z z z zW − = )()()( 2 zWzRzY = ] )( [)( 22 1 s sW Z z z zW − = )()()()()()( 21 zWzXzWzWzXzY td==⇒ ] )()( [)()()( )( )( 2121 1 s sWsW Z z z zWzW zX zY zW td − ≠== Mắc nối tiếp các khâu động học không được cách ly bằng các phần tử xung Giả sử có hai KĐHLT được mắc không bị cách ly bởi PTX. Ta tìm HST tương đương của chúng. x(t) T0 x(iT0) GN W1(s) y(iT0) W2(s) y(t) T0 Các PTX làm việc đồng bộ với nhau. Ta có )()()( zWzXzY td= )()(] )()( [)( )( )( 21 211 zWzW s sWsW Z z z zX zY zW td ≠== − HT kín có rời rạc tín hiệu sai số Xét HTĐKTĐGĐ có SĐCT như sau. e(t) T0 e(iT0) GN W(s) y(iT0) y(t) T0 W1(s)→W1(z) H(s) W2(s)→W2(z) x(t) )]([)( 11 1 sFZ z z zW − = )]([)( 22 1 sFZ z z zW − = s sW sF )( )(1 = s sHsW sF )()( )(2 = Khi này xảy ra hai trường hợp. Trường hợp 1. Nếu hàm F2(s) có bậc của mẫu số lớn hơn bậc của tử số từ hai đơn vị trở lên, thì hàm quá độ xung của nó liên tục tại thời điểm t=0 (khi PTX làm việc), tức là 0lim0 )]([)( 22 == ∞→ sFsg s Khi đó HST kín của HT được xác định như sau (6.72) )()()()( 2 zWzEzXzE −= )( )( )( 21 zW zX zE + =⇒ )( )()( )()()( 2 1 1 1 zW zWzX zWzEzY + == )( )( )( )( )( 2 1 1 zW zW zX zY zW k +==⇒ Khi H(s)=1 công thức trên có dạng )( )( )]([ )]([ )( 11 1 1 1 1 zW zW zF z z zF z z zW h h k + = + = − − (6.73) Thí dụ 6.9. Tìm HST của HTĐKTĐ có sơ đồ như sau e(t) T0 e(iT0) GN W(s) y(t) x(t) s k sW =)( Ta có s k sFsF 221 )()( == Hàm F2(s) có bậc của mẫu số lớn hơn bậc của tử số hai đơn vị, vì vậy HST kín được xác định theo (6.73) )( )( )( 1 zW zW zW h h k + = trong đó 1 1 0 1 )]([)( − − == z Tk zF z z zW h 10 0)( −+ =⇒ Tkz Tk zW k Trường hợp 2. Nếu hàm F2(s) có bậc của mẫu số lớn hơn bậc của tử số một đơn vị thì hàm quá độ xung của nó sẽ đột biến (gián đoạn) tại thời điểm t=0 (khi PTX làm việc), tức là )]([)( 212 sFLtg −= 0lim0 )]([)( 22 ≠= ∞→ sFsg s Sự đột biến tín hiệu này dẫn đến sự không đơn trị của sai lệch tác động lên PTX, đến lượt mình nó gây ra các tính chất khác nhau của các quá trình trong HTĐKTĐGĐ kín. Để xác định đơn trị các quá trình trong HTĐKTĐ gián đoạn kín người ta đưa thêm một khâu giữ chậm một chu kỳ gián đoạn z-1 vào mạch phản hồi. Như vậy, HST của HTĐKTĐGĐ kín trong trường hợp này được xác định như sau )( )( )( 2 1 1 1 zWz zW zW k −+ =⇒ Tuy nhiên, trường hợp này ít xảy ra.