Bài giảng Phân tích chuỗi thời gian - Bùi Dương Hải

Bài giảng PHÂN TÍCH CHUỖI THỜI GIAN ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN KHOA TOÁN KINH TẾ Bộ môn Toán Kinh tế 1 Bùi Dương Hải www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 2020 Thông tin học phần ▪ Tiếng Việt: Phân tích Chuỗi Thời gian ▪ Tiếng Anh: Time Series Analysis ▪ Số tín chỉ: 3 ▪ Giảng viên: Bùi Dương Hải ▪ Liên hệ: haibd@neu.edu.vn ▪ Website: www.mfe.edu.vn/buiduonghai ▪ Đánh giá: 10% chuyên cần, 30% bài kiểm tra, 60% bài thi Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 2 Tài liệu ▪ [1] Nguyễn Quang Dong, Nguyễn Thị Minh (2018), Giáo trình Kinh tế lượng, NXB ĐH KTQD. ▪ [2] Nguyễn Quang Dong, (2008), Kinh tế lượng nâng cao, NXB KHKT. ▪ [3] Phạm Thế Anh, (2013), Kinh tế lượng ứng dụng – Phân tích chuỗi thời gian, NXB Lao Động. ▪ Phần mềm thực hành: Eviews 10. ▪ Dữ liệu: www.mfe.edu.vn/buiduonghai → NEU – chuyên ngành → Phân tích chuỗi thời gian Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 3 Nội dung ▪ Bài 1. Nhắc lại về Kinh tế lượng ▪ Bài 2. Số liệu chuỗi thời gian ▪ Bài 3. Làm trơn và ngoại suy chuỗi thời gian ▪ Bài 4. Tính dừng và AR – MA ▪ Bài 5. Mô hình ARMA ▪ Bài 6. Tích hợp – đồng tích hợp ▪ Bài 7. Mô hình VAR ▪ Bài 8. Mô hình ARCH – GARCH Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 4 Bài 1. NHẮC LẠI VỀ KINH TẾ LƯỢNG ▪ Biến phụ thuộc 𝑌, biến độc lập 𝑋2, , 𝑋𝑘 ▪ Mô hình tổng thể • 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘 + 𝑢 • 𝑢: sai số ngẫu nhiên, rất quan trọng ▪ Số liệu chéo, hồi qui mẫu • ෠𝑌𝑖 = መ𝛽1 + መ𝛽2𝑋2𝑖 + ⋯ + መ𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖 • 𝑌𝑖 = መ𝛽1 + መ𝛽2𝑋2𝑖 + ⋯ + መ𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖 + 𝑒𝑖 ▪ Ước lượng OLS trên mẫu 𝑛 quan sát • Tìm መ𝛽𝑗 𝑗 = 1, 𝑘 : 𝑅𝑆𝑆 = σ𝑖=1 𝑛 𝑒𝑖 2 → min Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 5 Các giả thiết OLS với số liệu chéo ▪ Giả thiết 1. Mẫu ngẫu nhiên độc lập ▪ Giả thiết 2. Trung bình sai số bằng 0 ▪ Giả thiết 3. Phương sai sai số không đổi ▪ Giả thiết 4. Không có đa cộng tuyến hoàn hảo ▪ Giả thiết 5. Sai số phân phối Chuẩn → Các UL OLS là Tuyến tính, không chệch, hiệu quả. • 𝐸 መ𝛽𝑗 𝑂𝐿𝑆 = 𝛽𝑗; 𝑉𝑎𝑟( መ𝛽𝑗 𝑂𝐿𝑆) nhỏ nhất Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 6 Kiểm định T và F ▪ ൝ 𝐻0: 𝛽𝑗 = 0: hệ số không có ý nghĩa thống kê 𝐻1: 𝛽𝑗 ≠ 0 𝑇 = መ𝛽𝑗 − 0 𝑆𝑒( መ𝛽𝑗) so sánh với 𝑡𝛼/2 𝑛−𝑘 ▪ ቊ 𝐻0: 𝑚 hệ số = 0 𝐻1: ít nhất một hệ số ≠ 0 𝐹 = (𝑅𝑆𝑆𝑅 − 𝑅𝑆𝑆𝑈𝑅)/𝑚 𝑅𝑆𝑆𝑈𝑅/(𝑛 − 𝑘) so sánh với 𝑓𝛼 𝑚,𝑛−𝑘 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 7 Bài 2. SỐ LIỆU CHUỖI THỜI GIAN ▪ Biến ngẫu nhiên theo thời gian (𝑌|𝑡) ▪ Chuỗi thời gian 𝑌𝑡 , 𝑡 = 1,2, , 𝑇. ▪ Tần xuất (frequency): Năm, quí, tháng, tuần, ngày, • 𝐺𝐷𝑃1990 ⋯ 𝐺𝐷𝑃2019; • 𝐶𝑃𝐼2000𝑄1 ⋯ 𝐶𝑃𝐼2019𝑄3 • 𝐸𝑋2004𝑀1 ⋯ 𝐸𝑋2019𝑀12 ▪ Mô hình • 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑡 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑡 + 𝑢𝑡 • 𝑌𝑡 = መ𝛽1 + መ𝛽2𝑋2𝑡 + ⋯ + መ𝛽𝑘𝑋𝑘𝑡 + 𝑒𝑡 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 8 Đánh giá mô hình số liệu chuỗi TG ▪ Hàm hồi qui phù hợp? ▪ Hệ số xác định 𝑅2, ത𝑅2 ▪ Ước lượng các hệ số? ▪ Hệ số có ý nghĩa thống kê? ▪ Các hiện tượng • Dạng hàm • Phương sai sai số thay đổi • Đa cộng tuyến • Tự tương quan Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 9 Đánh giá mô hình số liệu chuỗi TG ▪ Tự tương quan thuần → Không hiệu quả ▪ Tự tương quan do dạng hàm sai → Chệch. ▪ Kiểm định tự tương quan ▪ Durbin-Watson • 𝐷𝑊 ≈ 2: không có tự tương quan • 𝐷𝑊 → 0 hoặc 4: có tự tương quan. ▪ Kđ Breusch-Godfrey • 𝐻0: không có tự tương quan • 𝐻1: có tự tương quan Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 10 Đánh giá mô hình số liệu chuỗi TG ▪ Tiêu chuẩn AIC, SIC, HQ (càng nhỏ càng tốt) ▪ Tiêu chuẩn Maximum likelihood ▪ Giá trị dự báo: 𝑌𝑡 𝐹 = ෠𝑌𝑡 ▪ Sai số dự báo cho m quan sát; 𝑒𝑡 = 𝑌𝑡 𝐹 − 𝑌𝑡 • 𝑀𝐴𝐸 = 1 𝑚 σ𝑖=1 𝑚 |𝑒𝑡| • 𝑅𝑀𝑆𝐸 = 1 𝑚 σ𝑖=1 𝑚 𝑒𝑡 2 • 𝑀𝐴𝑃𝐸 = 1 𝑚 σ𝑖=1 𝑚 |𝑒𝑡| 𝑌𝑡 ⋅ 100% Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 11 Trễ và Sai phân ▪ Trễ (Lag): 𝐿 𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−1 ; • 𝐿2 𝑌𝑡 = 𝐿 𝐿 𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−2 • 𝐿𝑝 𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−𝑝 ▪ Sai phân (Difference) Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 12 Bậc nhất Δ𝑌𝑡 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 1 − 𝐿 𝑌𝑡 Hai kì Δ2𝑌𝑡 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−2 1 − 𝐿 2 𝑌𝑡 Bậc hai Δ2𝑌𝑡 Δ(Δ𝑌𝑡) (1 − 𝐿)(1 − 𝐿)𝑌𝑡 𝑌𝑡 − 2𝑌𝑡−1 + 𝑌𝑡−2 1 − 𝐿 2𝑌𝑡 Sai phân và dạng xu thế Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 13 Δ𝑌𝑡 Δ 2𝑌𝑡 𝑌𝑡 Đồ thị 0 0 (+) 0 (+) (+) (+) (−) Bài 3. SAN CHUỖI VÀ NGOẠI SUY ▪ 3.1. Hồi qui theo xu thế thời gian (time trend) ▪ 3.2. San chuỗi đơn (single smoothing) ▪ 3.3. San mũ đơn và kép (exponential smoothing) ▪ 3.4. Lọc Hodrick – Prescott ▪ 3.5. Hiệu chỉnh mùa vụ (seasonal adjusted) ▪ 3.6. Mô hình Holt-Winters ▪ 3.7. Hồi qui xu thế và mùa vụ (seasonal dummies) Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 14 3.1. Hồi qui theo xu thế thời gian ▪ Tổng quát: 𝑌𝑡 = 𝑓 𝑡 + 𝑢𝑡 ▪ Chuỗi ෠𝑌𝑡 là chuỗi loại bỏ xu thế (detrended) ▪ Dự báo: 𝑌𝑡 𝐹 = መ𝑓(𝑡) Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 15 Lin-lin 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝑢𝑡 Lin-log 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2 ln 𝑡 + 𝑢𝑡 Log-lin ln 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝑢𝑡 𝑌𝑡 = 𝑒 𝛽1+𝛽2𝑡+𝑢𝑡 Log-log ln 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2 ln 𝑡 + 𝑢𝑡 𝑌𝑡 = 𝑒 𝛽1𝑡𝛽2𝑒𝑢𝑡 Inverse 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2 1 𝑡 + 𝑢𝑡 3.2. San chuỗi đơn ▪ Dùng trung bình trượt (moving average) 𝑌𝑡 𝑀𝐴3 = 𝑌𝑡−1 + 𝑌𝑡 + 𝑌𝑡+1 3 𝑌𝑡 𝑀𝐴 = 𝑌𝑡−𝑚 + ⋯ + 𝑌𝑡 + ⋯ + 𝑌𝑡+𝑚 2𝑚 + 1 ▪ Trung bình trượt có trọng số (weighted), ví dụ 𝑌𝑡 𝑊𝑀𝐴5 = 𝑌𝑡−2 + 2𝑌𝑡−1 + 4𝑌𝑡 + 2𝑌𝑡+1 + 𝑌𝑡+2 10 ▪ Lưu ý: mất đi một số quan sát đầu và cuối Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 16 3.3. San mũ ▪ San mũ đơn (Single exponential smoothing: SES) ▪ Chuỗi không có xu thế, không mùa vụ, biến đổi ít ▪ Không dùng để dự báo • 𝑌𝑡 𝑆𝐸𝑆 = 𝛼𝑌𝑡 + 𝛼 1 − 𝛼 𝑌𝑡−1 + 𝛼 1 − 𝛼 2𝑌𝑡−2 + ⋯ • 𝑌𝑡 𝑆𝐸𝑆 = 𝛼 σ𝑖=0 ∞ 1 − 𝛼 𝑖𝑌𝑡−𝑖 • 𝑌𝑡 𝑆𝐸𝑆 = 𝛼𝑌𝑡 + (1 − 𝛼)𝑌𝑡−1 𝑆𝐸𝑆 ▪ Hằng số san mũ 𝛼 ▪ Tìm 𝛼 sao cho 𝑅𝑆𝑆 = σ𝑖 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡 𝑆𝐸𝑆 2 → 𝑚𝑖𝑛 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 17 3.3. San mũ ▪ San mũ kép (double exponential smoothing - DES) ▪ San mũ đơn hai lần, có thể dự báo xu thế tuyến tính • San lần 1: 𝑌𝑡 𝑆𝐸𝑆 = 𝛼𝑌𝑡 + (1 − 𝛼)𝑌𝑡−1 𝑆𝐸𝑆 • San lần 2: 𝑌𝑡 𝐷𝐸𝑆 = 𝛼𝑌𝑡 𝑆𝐸𝑆 + (1 − 𝛼)𝑌𝑡−1 𝐷𝐸𝑆 • Công thức dự báo: 𝑌𝑇+𝑘 𝐹 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 Với 𝛽1 = 2𝑌𝑇 𝑆𝐸𝑆 − 𝑌𝑇 𝐷𝐸𝑆 ; 𝛽2 = 𝛼 1−𝛼 𝑌𝑇 𝐷𝐸𝑆 − 𝑌𝑇 𝑆𝐸𝑆 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 18 3.4. Mô hình lọc Hodrick - Prescott ▪ Tìm chuỗi 𝑌𝑡 𝐻𝑃 để tối thiểu hóa sai số, có ràng buộc về sai phân bậc 2 • 𝐻𝑃 = σ𝑡=0 𝑇 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡 𝐻𝑃 2 + 𝜆 σ𝑡=2 𝑇 Δ2𝑌𝑡 𝐻𝑃 2 → min ▪ 𝜆 càng lớn chuỗi càng gần tuyến tính ▪ Thông thường: • Số liệu năm: 𝜆 = 100 • Số liệu quí: 𝜆 = 1600 • Số liệu tháng: 𝜆 = 14400 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 19 3.5. Hiệu chỉnh mùa vụ ▪ Mùa vụ: chu kỳ lặp lại sau mỗi năm ▪ Số liệu quí: 4 mùa vụ; Tháng 12 mùa vụ, tuần 52 ▪ Dạng Cộng và dạng Nhân ▪ Dạng cộng: Yếu tố mùa vụ không chịu ảnh hưởng của thời gian: độ chênh lệch là như nhau trong các năm ▪ Dạng nhân: Yếu tố mùa vụ kết hợp với thời gian, độ chênh lệch càng về sau càng lớn (nếu chuỗi tăng dần) hoặc càng nhỏ (nếu chuỗi giảm dần) Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 20 3.5. Hiệu chỉnh mùa vụ | Số liệu quí ▪ Dạng cộng, tính chênh lệch so với trung bình trượt (difference from moving average) 4 hệ số mùa vụ • 𝑄1 𝐴 + 𝑄2 𝐴 + 𝑄3 𝐴 + 𝑄4 𝐴 = 0 • Chuỗi hiệu chỉnh, số liệu năm 𝑖, quí 𝑗 𝑌𝑡 𝑆𝐴𝐴 = 𝑌𝑖𝑗 𝑆𝐴𝐴 = 𝑌𝑖𝑗 − 𝑄𝑗 𝐴 ▪ Dạng nhân, tính tỉ số so với trung bình trượt (ratio from moving average): 𝑄1 𝑀 × 𝑄2 𝑀 × 𝑄3 𝑀 × 𝑄4 𝑀 = 1 𝑌𝑡 𝑆𝐴𝑀 = 𝑌𝑖𝑗 𝑆𝐴𝑀 = 𝑌𝑖𝑗 𝑄𝑗 𝑀 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 21 3.6. Mô hình Holt-Winters ▪ Mô hình Holt-Winters không mùa vụ ▪ Dự báo xu thế tuyến tính, mô hình có hai hệ số • Bước 1: 𝜏1 = 𝑌1 − 𝑌0 và ෠𝑌1 = 𝑌1 • Bước 𝑡 : ቐ ෠𝑌𝑡 = 𝛼𝑌𝑡 + 1 − 𝛼 ෠𝑌𝑡−1 + 𝜏𝑡−1 𝜏𝑡 = 𝛽 ෠𝑌𝑡−1 + 𝜏𝑡−1 + 1 − 𝛽 𝜏𝑡−1 • Tìm 𝛼, 𝛽 sao cho 𝑅𝑆𝑆 nhỏ nhất ▪ Công thức dự báo 𝑌𝑇+𝑘 𝐹 = ෠𝑌𝑇 + 𝑘 ⋅ 𝜏𝑇 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 22 3.6. Mô hình Holt-Winters ▪ Mô hình Holt-Winters có mùa vụ: có ba hệ số 𝛼, 𝛽, 𝛾 ▪ Holt-Winters có mùa vụ dạng Cộng • Tổng các hệ số mùa vụ bằng 0 • Công thức dự báo 𝑌𝑇+𝑘 𝐹 = ෠𝑌𝑇 + 𝑘 ⋅ 𝜏𝑇 + 𝑆tương ứng ▪ Holt-Winters có mùa vụ dạng Nhân • Tích các hệ số mùa vụ bằng 1 • Công thức dự báo 𝑌𝑇+𝑘 𝐹 = ෠𝑌𝑇 + 𝑘 ⋅ 𝜏𝑇 𝑆tương ứng Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 23 3.7. Phân tích thành phần ▪ Yếu tố chu kì (Cyclical): 𝐶 ▪ Yếu tố xu thế (Trend): 𝑇 ▪ Yếu tố mùa vụ (Seasonal): 𝑆 ▪ Yếu tố bất qui tắc (Irregular): 𝐼 ▪ Mô hình dạng Cộng (additive) • 𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝑇𝑡 + 𝑆𝑡 + 𝐼𝑡 ▪ Mô hình dạng Nhân (multiplicative) • 𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 ⋅ 𝑇𝑡 ⋅ 𝑆𝑡 ⋅ 𝐼𝑡 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 24 Hồi qui với xu thế và biến giả mùa vụ ▪ Ví dụ: số liệu quí, đặt 4 biến giả, dùng tối đa 3 biến ▪ Giả sử lấy quí 1 làm gốc ▪ Mô hình xu thế tuyến tính • 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛼2𝑆2 + 𝛼3𝑆3 + 𝛼4𝑆4 + 𝑢𝑡 ▪ Mô hình xu thế tuyến tính và tương tác mùa vụ • 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛼2𝑡 ⋅ 𝑆2 + 𝛼3𝑡 ⋅ 𝑆3 + 𝛼4𝑡 ⋅ 𝑆4 + 𝑢𝑡 ▪ Mô hình xu thế log-lin • ln 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛼2𝑆2 + 𝛼3𝑆3 + 𝛼4𝑆4 + 𝑢𝑡 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 25 Bài 4. TÍNH DỪNG & CHUỖI ARMA ▪ Mục tiêu: phân tích ảnh hưởng của sốc quá khứ và dự báo cho chuỗi thời gian ▪ 4.1. Tính dừng ▪ 4.2. Hàm ACF và PACF ▪ 4.3. Nhiễu trắng ▪ 4.4. Quá trình Trung bình trượt (MA) ▪ 4.5. Quá trình Tự hồi qui (AR) ▪ 4.6. Tính khả nghịch ▪ 4.7. Dự báo chuỗi dừng Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 26 4.1. Tính dừng (stationary) ▪ Tính dừng (stationary) của chuỗi thời gian ▪ Dừng chặt (strongly stationary): không xét ▪ Dừng yếu (weakly stationary): với mọi 𝑡 • (1) 𝐸 𝑌𝑡 = 𝜇 ∀𝑡 • (2) 𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡 = 𝜎 2 ∀𝑡 • (3) 𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−𝑘 = 𝛾𝑘 ∀𝑡 ▪ Vi phạm ít nhất một: không dừng (non-stationary) ▪ Từ (2) và (3) 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−𝑘) = 𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡,𝑌𝑡−𝑘 𝜎 𝑌𝑡 𝜎(𝑌𝑡−𝑘) không đổi Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 27 4.2 Hàm ACF và PACF ▪ Hàm tự tương quan 𝐴𝐶𝐹 𝑘 = 𝜌𝑘 = 𝐶𝑜𝑣(𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−𝑘) 𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡) = 𝛾𝑘 𝛾0 ▪ Hàm tự tương quan riêng (partial ACF): loại bỏ tác động của các trễ khác • 𝑃𝐴𝐶𝐹 1 = 𝜌11 = 𝜌1 • 𝑃𝐴𝐶𝐹 2 = 𝜌22 = 𝜌2−𝜌11𝜌1 1−𝜌11𝜌1 ▪ Eviews tự động tính ො𝜌𝑘 và ො𝜌𝑘𝑘 trên mẫu Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 28 4.3. Nhiễu trắng ▪ Chuỗi 𝑢𝑡 là Nhiễu trắng (white noise) nếu • ൞ 𝐸 𝑢𝑡 = 0 ∀𝑡 𝑉𝑎𝑟 𝑢𝑡 = 𝜎 2 ∀𝑡 𝐶𝑜𝑣 𝑢𝑡 , 𝑢𝑡−𝑝 = 0 ∀𝑡 ▪ Nhiễu trắng là chuỗi dừng, i.i.d (independent identified distributed) • 𝐴𝐶𝐹 𝑘 = 𝑃𝐴𝐶𝐹 𝑘 = 0 ∀𝑘 ≠ 0 ▪ Tương tự nhiễu trắng: • 𝑌𝑡 = 𝛼1 + 𝛼2𝑢𝑡 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 29 4.4. Trung bình trượt (MA) ▪ Chuỗi là trung bình trượt bậc 1, kí hiệu 𝑀𝐴(1) nếu • 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡 + 𝜃1𝑢𝑡−1 • với 𝑢𝑡 là nhiễu trắng • 𝐸 𝑌𝑡 = 𝜇 𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡 = 𝜎 2(1 + 𝜃1 2) 𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−1 = 𝜎 2𝜃1 𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−𝑘 = 0 ∀𝑘 > 1 ▪ Chuỗi MA(1) là dừng • 𝐴𝐶𝐹 1 = 𝜃 1+𝜃2 ; 𝐴𝐶𝐹 𝑘 = 0 ∀𝑘 > 1 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 30 3.4. Trung bình trượt (MA) ▪ Trung bình trượt bậc q: MA(q), với 𝑢𝑡 là nhiễu trắng • 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡 + 𝜃1𝑢𝑡−1 + ⋯ + 𝜃𝑞𝑢𝑡−𝑞 • 𝐸 𝑌𝑡 = 𝜇; 𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡 = 𝜎 2(1 + 𝜃1 2 + ⋯ + 𝜃𝑞 2) 𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−1 = 𝜎 2 𝜃1 2 + 𝜃2𝜃1 + ⋯ ; 𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−2 = 𝜎 2 𝜃2 2 + 𝜃3𝜃1 + ⋯ ; 𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−𝑘 = 0 ∀𝑘 > q ▪ Chuỗi 𝑀𝐴(𝑞) là dừng • 𝐴𝐶𝐹 1 ≠ 0; 𝐴𝐶𝐹 2 ≠ 0; ; 𝐴𝐶𝐹 𝑞 ≠ 0 • 𝐴𝐶𝐹 𝑘 = 0 ∀𝑘 > 𝑞 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 31 4.4. Trung bình trượt (MA) ▪ Trung bình trượt vô hạn 𝑀𝐴(∞) ▪ 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡 + 𝜃1𝑢𝑡−1 + ⋯ = 𝜇 + σ𝑖=0 ∞ 𝜃𝑖𝑢𝑡−𝑖 ▪ Là chuỗi dừng nếu σ𝑖=0 ∞ |𝜃𝑖| < ∞ ▪ Biểu diễn dạng toán tử trễ • MA(1): 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡 + 𝜃1𝐿 𝑢𝑡 = 𝜇 + 1 + 𝜃1𝐿 𝑢𝑡 • MA(q): 𝑌𝑡 = 𝜇 + 1 + 𝜃1𝐿 + 𝜃2𝐿 2 + ⋯ + 𝜃𝑞𝐿 𝑞 𝑢𝑡 = 𝜇 + 𝜙 𝐿 𝑢𝑡 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 32 4.4. Trung bình trượt (MA) ▪ 𝑀𝐴 1 ▪ 𝑀𝐴(2) Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 33 𝑌𝑡 𝑌𝑡−1 𝑌𝑡−2 𝑌𝑡−3 𝑢𝑡 𝑢𝑡−1 𝑢𝑡−2 𝑢𝑡−3 𝑌𝑡 𝑌𝑡−1 𝑌𝑡−2 𝑌𝑡−3 𝑢𝑡 𝑢𝑡−1 𝑢𝑡−2 𝑢𝑡−3 4.5. Tự hồi qui (Autoregression) ▪ Bước ngẫu nhiên không hằng số (random walk without drift) • 𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡 với 𝑢𝑡 là nhiễu trắng • 𝑌𝑡 = 𝑌0 + (𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑡) • ൞ 𝐸 𝑌𝑡 = 𝑌0 𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡 = 𝑡𝜎 2 𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−𝑘 = 𝑡 − 𝑘 𝜎 2 ▪ Bước ngẫu nhiên là không dừng, sốc bảo tồn, không dự đoán được xu thế • 𝐴𝐶𝐹 𝑘 = 𝑡−𝑘 𝑡 xấp xỉ 1 nếu 𝑡 lớn, 𝑘 nhỏ Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 34 4.5. Tự hồi qui | Bước ngẫu nhiên ▪ Bước ngẫu nhiên có hằng số (r.w with drift) • 𝑌𝑡 = 𝝁 + 𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡 với 𝑢𝑡 là nhiễu trắng • 𝑌𝑡 = 𝑡𝜇 + 𝑌0 + (𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑡) • ൞ 𝐸 𝑢𝑡 = 𝑡𝜇 + 𝑌0 𝑉𝑎𝑟 𝑢𝑡 = 𝑡𝜎 2 𝐶𝑜𝑣 𝑢𝑡 , 𝑢𝑡−𝑘 = 𝑡 − 𝑘 𝜎 2 ▪ Là chuỗi không dừng ▪ Xu thế tăng 𝜇 > 0; giảm nếu 𝜇 < 0. • 𝐴𝐶𝐹 𝑘 = 𝑡−𝑘 𝑡 xấp xỉ 1 nếu 𝑡 lớn, 𝑘 nhỏ Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 35 4.5. Tự hồi qui | AR(1) ▪ Tự hồi qui bậc 1 – AR(1) không hằng số: • 𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡 • 𝑌𝑡 = 𝜙1 𝑡𝑌0 + (𝑢𝑡 + 𝜙1𝑢𝑡−1 + ⋯ + 𝜙1 𝑡−1𝑢1) ▪ 𝐸 𝑌𝑡 = 𝜙1 𝑡𝑌0 𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡 = 𝜎 2 1−𝜙1 2𝑡 1−𝜙1 2 𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−𝑘 = 𝜙1 𝑘𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡−𝑘 ) ▪ Tính dừng, 𝐴𝐶𝐹 phụ thuộc vào giá trị của 𝜙1 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 36 4.5. Tự hồi qui | AR(1) ▪ AR(1) không hằng số: 𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡 ▪ 𝜙1 > 1: bùng nổ, không xảy ra trong thực tế ▪ |𝜙1| = 1: bước ngẫu nhiên, không dừng ▪ |𝜙1| < 1: hội tụ về dừng khi 𝑡 tăng, khi đó • 𝐸 𝑌𝑡 → 0 𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡 → 𝜎2 1−𝜙1 2 𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−𝑘 → 𝜙1 𝑘𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡 ) • 𝐴𝐶𝐹 ≈ 𝜙1 𝑘 giảm dần về 0 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 37 4.5. Tự hồi qui | AR(1) ▪ AR(1) có hằng số: 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡 • 𝑌𝑡 = 𝜇 1 + 𝜙1 + ⋯ + 𝜙1 𝑡−1 + 𝜙1 𝑡𝑌0 +(𝑢𝑡 + 𝜙1𝑢𝑡−1 + ⋯ + 𝜙1 𝑡−1𝑢1) • 𝐸 𝑌𝑡 = 𝜇 1 + 𝜙1 + ⋯ + 𝜙1 𝑡−1 + 𝜙1 𝑡𝑌0 𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡 = 𝜎 2 1−𝜙1 2𝑡 1−𝜙1 2 𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−𝑘 = 𝜙1 𝑘𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡−𝑘 ▪ Tương tự chuỗi không hằng số ▪ 𝜙1 < 1 thì 𝑌𝑡 → dừng, 𝐸 𝑌𝑡 → 𝜇 1−𝜙1 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 38 4.5. Tự hồi qui | AR(2) ▪ Tự hồi qui bậc 2 ▪ 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 + 𝑢𝑡 ▪ Phương trình đặc trưng: 1 − 𝜙1𝑧 − 𝜙2𝑧 2 = 0 ▪ 𝑌𝑡 là chuỗi dừng  Nghiệm phương trình đặc trưng nằm ngoài vòng tròn đơn vị  các nghiệm phương trình nghịch đảo (inverted roots) nằm trong vòng tròn đơn vị. ▪ 𝑌𝑡 dừng thì 𝐸 𝑌𝑡 = 𝜇 1−𝜙1−𝜙2 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 39 3.5. Tự hồi qui ▪ Sơ đồ 𝐴𝑅 1 ▪ Sơ đồ 𝐴𝑅(2) Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 40 𝑌𝑡 𝑌𝑡−1 𝑌𝑡−2 𝑌𝑡−3 𝑢𝑡 𝑢𝑡−1 𝑢𝑡−2 𝑢𝑡−3 𝑌𝑡 𝑌𝑡−1 𝑌𝑡−2 𝑌𝑡−3 𝑢𝑡 𝑢𝑡−1 𝑢𝑡−2 𝑢𝑡−3 4.5. Tự hồi qui | AR(p) ▪ Tự hồi qui bậc p ▪ 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 + ⋯ + 𝜙𝑝𝑌𝑡−𝑝 + 𝑢𝑡 ▪ Phương trình đặc trưng: 1 − 𝜙1𝑧 − ⋯ − 𝜙𝑝𝑧 𝑝 = 0 ▪ 𝑌𝑡 dừng  Các nghiệm đặc trưng nằm ngoài vòng tròn đơn vị  các nghiệm nghịch đảo (inverted roots) nằm trong vòng tròn đơn vị. • 𝐸 𝑌𝑡 = 𝜇 1−𝜙1−𝜙2−⋯−𝜙𝑝 = 𝜇∗ là cân bằng dài hạn 𝑌𝑡 − 𝜇 ∗ = 𝜙1 𝑌𝑡−1 − 𝜇 ∗ + ⋯ + 𝜙𝑝 𝑌𝑡−𝑝 − 𝜇 ∗ + 𝑢𝑡 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 41 4.5. Tự hồi qui | AR(p) ▪ Biểu diễn qua toán tử trễ ▪ 𝐴𝑅(1): 𝑌𝑡 − 𝜙1𝑌𝑡−1 = 𝜇 + 𝑢𝑡 ⇔ 1 − 𝜙1𝐿 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡 ▪ 𝐴𝑅(𝑝): 𝑌𝑡 − 𝜙1𝑌𝑡−1 − ⋯ − 𝜙𝑝𝑌𝑡−𝑝 = 𝜇 + 𝑢𝑡 ⇔ 1 − 𝜙1𝐿 − ⋯ − 𝜙𝑝𝐿 𝑝 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡 ⇔ 𝜙(𝐿) 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 42 4.6. Tính khả nghịch ▪ 𝐴𝑅(1): 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡 = 𝜇∗ + 𝑢𝑡 + 𝜙1𝑢𝑡−1 + 𝜙1 2𝑢𝑡−2 + ⋯ ▪ AR có thể biểu diễn dưới dạng MA Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 43 3.7. Dự báo ▪ Chuỗi nhiễu trắng thuần ngẫu nhiên: không dự báo ▪ Dự báo cho chuỗi không dừng sai số rất lớn ▪ Thực hiện dự báo cho chuỗi dừng ▪ Dự báo trong mẫu: để đánh giá • 𝑌𝑡 𝐹 = ෠𝑌𝑡: 𝑡 = 0,1, , 𝑇 • Sai số 𝑒𝑡 = 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡 𝐹 ▪ Dự báo ngoài mẫu • 𝑌𝑇+𝑘 𝐹 : 𝑘 = 1,2, Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 44 4.7. Dự báo | MA ▪ MA(1):𝑌𝑡 𝐹 = ෠𝑌𝑡 = ො𝜇 + መ𝜃1𝑢𝑡−1 • 𝑌𝑇+1 𝐹 = ො𝜇 + መ𝜃1 ො𝑢𝑇 • 𝑌𝑇+2 𝐹 = ො𝜇 : dự báo chỉ sau 1 kì ▪ MA(q): 𝑌𝑡 𝐹 = ෠𝑌𝑡 = ො𝜇 + መ𝜃1𝑢𝑡−1 + ⋯ + መ𝜃1𝑢𝑡−𝑞 • 𝑌𝑇+1 𝐹 = ො𝜇 + መ𝜃1 ො𝑢𝑇 + መ𝜃2 ො𝑢𝑇−1 + መ𝜃3 ො𝑢𝑇−2 • 𝑌𝑇+2 𝐹 = ො𝜇 + መ𝜃2 ො𝑢𝑇 + መ𝜃3 ො𝑢𝑇−1 • ⋯ • 𝑌𝑇+𝑞 𝐹 = ො𝜇 + መ𝜃𝑞 ො𝑢𝑇 • 𝑌𝑇+𝑞+1 𝐹 = ො𝜇 : dự báo chỉ sau 𝑞 kì Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 45 4.7. Dự báo | AR(1) ▪ 𝐴𝑅(1) dừng: 𝑌𝑡 𝐹 = ෠𝑌𝑡 = ො𝜇 + ෠𝜙1𝑌𝑡−1 ▪ Dự báo tĩnh (static): dùng giá trị thực • Chỉ dự báo ngoài mẫu 1 kì • 𝑌𝑇+1 𝑆𝐹 = ො𝜇 + ෠𝜙1𝑌𝑇 ▪ Dự báo động (dynamic): dùng giá trị dự báo để tính • 𝑌𝑇+1 𝐷𝐹 = ො𝜇 + ෠𝜙1𝑌𝑇 𝐷𝐹 • 𝑌𝑇+2 𝐷𝐹 = ො𝜇 + ෠𝜙1𝑌𝑇+1 𝐷𝐹 • ⋯ • 𝑌𝑇+𝑘 𝐷𝐹 = ො𝜇 + ෠𝜙1𝑌𝑇+(𝑘−1) 𝐷𝐹 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 46 4.7. Dự báo | AR(p) ▪ 𝐴𝑅(𝑝) dừng: 𝑌𝑡 𝐹 = ෠𝑌𝑡 = ො𝜇 + ෠𝜙1𝑌𝑡−1 + ⋯ + ෠𝜙𝑝𝑌𝑡−𝑝 ▪ Dự báo tĩnh: chỉ sau 1 kì ▪ Dự báo động: vô hạn ▪ Kết hợp tĩnh và động: sử dụng số liệu thực cho đến khi còn dùng được, từ đó trở đi dùng số liệu dự báo ▪ Lưu ý: Qui đổi hệ số chặn từ kết quả Eviews ො𝜇thực = ො𝜇Eviews 1 − ෠𝜙1 − ⋯ − ෠𝜙𝑝 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 47 4.8. Mô hình ARMA ▪ 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) dạng đầy đủ ▪ 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝜙1𝑌𝑡−1 + ⋯ + 𝜙𝑝𝑌𝑡−𝑝 +𝑢𝑡 + 𝜃1𝑢𝑡−1 + ⋯ + 𝜃𝑞𝑢𝑡−𝑞 1 − 𝜙1𝐿 − ⋯ − 𝜙𝑝𝐿 𝑝 𝑌𝑡 = 𝜇 + 1 + 𝜃1𝐿 + ⋯ + 𝜃𝑞𝐿 𝑞 𝑢𝑡 ▪ 𝜙 𝐿 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝜃 𝐿 𝑢𝑡 ▪ Sơ đồ 𝐴𝑅𝑀𝐴(2,1) Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 48 𝑌𝑡 𝑌𝑡−1 𝑌𝑡−2 𝑌𝑡−3 𝑢𝑡 𝑢𝑡−1 𝑢𝑡−2 𝑢𝑡−3 4.8. Mô hình ARMA ▪ Nếu các phương trình đặc trưng có nghiệm nằm ngoài vòng tròn đơn vị  nghiệm nghịch đảo nằm trong vòng tròn đơn vị  chuỗi dừng. ▪ Dự báo chuỗi dừng: ▪ Với 𝑀𝐴(𝑞): chỉ dự báo 𝑞 kì ▪ Với 𝑀𝐴(𝑝): tĩnh chỉ 1 kì, động dự báo vô hạn ▪ Nhận biết bậc 𝑝, 𝑞 cần phân tích 𝐴𝐶𝐹, 𝑃𝐴𝐶𝐹 và các kiểm định Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 49 Bài 5. KIỂM ĐỊNH TÍNH DỪNG - ARIMA ▪ Để phân tích, dự báo, xây dựng mô hình cho chuỗi • (1) Chuỗi dừng→mô hình AR-MA và dự báo • (2) Chưa dừng→ đưa về dừng → (1) ▪ 5.1. Dừng sai phân, dừng xu thế ▪ 5.2. Kiểm định nghiệm đơn vị (Dickey-Fuller) ▪ 5.3. Kiểm định tự tương quan ▪ 5.4. Xác định bậc ARMA ▪ 5.5. Mô hình ARIMA ▪ 5.6. Phương pháp Box – Jenkins ▪ 5.7. Mô hình có yếu tố mùa vụ Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 50 5.1. Dừng sai phân – Dừng xu thế ▪ 𝑌𝑡 là dừng sai phân (bậc 1) ቊ 𝑌𝑡 không dừng Δ𝑌𝑡 dừng ▪ 𝑌𝑡 là dừng sai phân bậc 2  ൞ 𝑌𝑡 không dừng Δ𝑌𝑡 không dừng Δ2𝑌𝑡 dừng ▪ 𝑌𝑡 là dừng xu thế  𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝑢𝑡 , 𝑢𝑡 là dừng  ቊ 𝑌𝑡 không dừng 𝐷𝑒𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒𝑑(𝑌𝑡) dừng ▪ Dừng xu thế ⊂ Dừng sai phân ⊂ Không dừng Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 51 5.1. Dừng sai phân – Dừng xu thế Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 52 Δ𝑌𝑡 Δ 2𝑌𝑡 𝑌𝑡 ≈ 0, nhiễu trắng Dừng Dừng, (+) ≈ 0 Dừng sai phân bậc 1 Dừng xu thế Không dừng, (+) Dừng, (+) Dừng sai phân bậc 2 Tăng nhanh dần Không dừng, (+) Dừng, (−) Dừng sai phân bậc 2 Tăng chậm dần 5.2. Kiểm định Nghiệm đơn vị ▪ Kiểm định tính dừng của chuỗi 𝐴𝑅(1) • 𝑌𝑡 = 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡 • 𝜙 = 1: 𝑌𝑡 không dừng, nghiệm đơn vị (unit root) • 𝜙 < 1: 𝑌𝑡 dừng, không nghiệm đơn vị ▪ Kiểm định Dickey-Fuller • Δ𝑌𝑡 = 𝜙 − 1 𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡 = 𝛿𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡 • ቊ 𝐻0: 𝛿 = 0 𝐻1: 𝛿 < 0  ቊ 𝐻0: nghiệm đơn vị 𝐻1: không nghiệm đơn vị • 𝜏 = ෡𝛿 𝑆𝑒(෡𝛿) ; Nếu 𝜏 > |𝜏𝛼| thì bác bỏ 𝐻0 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 53 5.2. Kiểm định Nghiệm đơn vị ▪ Nếu መ𝛿 > 0: thêm yếu tố ▪ Có hệ số chặn • Δ𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝛿𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡 • ቊ 𝐻0: 𝛿 = 0: nghiệm đơn vị quanh 𝜇 𝐻1: 𝛿 < 0: dừng quanh 𝜇 ▪ Có hệ số chặn và xu thế • Δ𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝛿𝑌𝑡−1 + 𝛽𝑡 + 𝑢𝑡 • Nếu 𝛽 có ý nghĩa thống kê thì 𝑌𝑡 có xu thế • ቊ 𝐻0: 𝛿 = 0: nghiệm đơn vị quanh xu thế 𝐻1: 𝛿 < 0: dừng xu thế Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 54 5.2. Kiểm định Nghiệm đơn vị ▪ Nếu 𝑢𝑡 không phải nhiễu trắng, có tự tương quan, AR bậc cao hơn ▪ Kiểm định Augmented DF (ADF): thêm trễ • Δ𝑌𝑡 = 𝛿𝑌𝑡−1 + 𝛾1Δ𝑌𝑡−1 + 𝛾2Δ𝑌𝑡−2 + ⋯ + 𝑣𝑡 • Tiêu chí lựa chọn bậc trễ: AIC, BIC, HQ nhỏ, hết tự tương quan, hệ số của trễ có ý nghĩa thống kê Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 55 5.2. Kiểm định Nghiệm đơn vị Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 56 Trend + Constant Constant None ቊ 𝐻0: unit root around trend 𝐻1: trend stationary ቊ 𝐻0: unit root around const 𝐻1: stationary around const ቊ 𝐻0: unit root around 0 𝐻1: stationary around 0 Trend is significant Const is significant insig. insig. 5.3. Kiểm định tự tương quan ▪ Với chuỗi dừng, kiểm định tự tương quan 𝐴𝐶𝐹(𝑘) • ቊ 𝐻0: 𝜌𝑘 = 0 𝐻1: 𝜌𝑘 ≠ 0 | ො𝜌𝑘| > 𝑧𝛼/2 𝑛 → bác bỏ 𝐻0 ▪ Kiểm định tự tương quan riêng 𝑃𝐴𝐶𝐹(𝑘) • ቊ 𝐻0: 𝜌𝑘𝑘 = 0 𝐻1: 𝜌𝑘𝑘 ≠ 0 | ො𝜌𝑘𝑘| > 𝑧𝛼/2 𝑛 → bác bỏ 𝐻0 ▪ Lược đồ tự tương quan (Correlogram) thực hiện kiểm định này Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 57 5.3. Kiểm định tự tương quan ▪ Kiểm định tự tương quan đến bậc k • ቊ 𝐻0: 𝜌1 = ⋯ = 𝜌𝑘 = 0 𝐻1: ∃𝜌𝑗 ≠ 0 ▪ Kđ Box - Pierre • 𝜒2 = 𝑛 σ𝑗=1 𝑘 ො𝜌𝑗 2 > 𝜒𝛼 2(𝑘) thì bác bỏ 𝐻0 ▪ Kđ Ljung – Box • 𝑄 = 𝑛 𝑛 + 2 σ𝑗=1 𝑘 ෝ𝜌𝑗 2 𝑇−𝑗 > 𝜒𝛼 2(𝑘) thì bác bỏ 𝐻0 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 58 5.4. Xác định bậc AR-MA Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 59 Chuỗi 𝑨𝑪𝑭 𝑷𝑨𝑪𝑭 Nhiễu trắng = 0 = 0 Bước ngẫu nhiên, nghiệm đơn vị 𝐴𝐶𝐹 𝑘 ≈ 1 𝑃𝐴𝐶𝐹 1 = 1 𝑃𝐴𝐶𝐹 𝑘 > 1 = 0 𝐴𝑅(1) không nghiệm đơn vị 𝐴𝐶𝐹 giảm dần về 0 𝑃𝐴𝐶𝐹 1 ≠ 0 𝑃𝐴𝐶𝐹 𝑘 > 1 = 0 𝐴𝑅(2) không nghiệm đơn vị 𝐴𝐶𝐹 giảm dần về 0 𝑃𝐴𝐶𝐹 1 ≠ 0 𝑃𝐴𝐶𝐹 2 ≠ 0 𝑃𝐴𝐶𝐹 𝑘 > 2 = 0 5.4. Xác định bậc AR-MA Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 60 Chuỗi 𝑨𝑪𝑭 𝑷𝑨𝑪𝑭 𝑀𝐴(1) 𝐴𝐶𝐹 1 ≠ 0 𝐴𝐶𝐹 𝑘 > 1 = 0 𝑃𝐴𝐶𝐹(𝑘) giảm dần về 0 𝑀𝐴(2) 𝐴𝐶𝐹 1 ≠ 0 𝐴𝐶𝐹 2 ≠ 0 𝐴𝐶𝐹 𝑘 > 2 = 0 𝑃𝐴𝐶𝐹(𝑘) giảm dần về 0 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) 𝐴𝐶𝐹 1 ≠ 0 𝐴𝐶𝐹 𝑘 > 1 = 0 𝑃𝐴𝐶𝐹 1 ≠ 0 𝑃𝐴𝐶𝐹 𝑘 > 1 = 0 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) 𝐴𝐶𝐹 𝑘 ≤ 𝑝 ≠ 0 𝐴𝐶𝐹 𝑘 > 𝑝 = 0 𝑃𝐴𝐶𝐹 𝑘 ≤ 𝑞 ≠ 0 𝑃𝐴𝐶𝐹 𝑘 > 𝑞 = 0 5.4. Xác định bậc AR-MA ▪ Ước lượng mô hình theo bậc đã xác định ▪ Kiểm định về mô hình • Nghiệm nghịch đảo phải trong vòng tròn đơn vị • Hệ số không có ý nghĩa thống kê? → bỏ bớt • Còn tự tương quan?→ thêm bậc 𝐴𝑅 • Phần dư không nhiễu trắng? → thêm bậc 𝑀𝐴 ▪ Đánh giá mô hình • Hệ số xác định lớn, maximum likelihood lớn • AIC, BIC, HQ nhỏ, Sai số dự báo nhỏ Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 61 5.5. Mô hình ARIMA ▪ Tích hợp (integrate) • 𝑌𝑡~𝐼(0) 𝑌𝑡 dừng • 𝑌𝑡~𝐼(1) 𝑌𝑡 không và Δ𝑌𝑡 dừng • 𝑌𝑡~𝐼(2) 𝑌𝑡 không, Δ𝑌𝑡 không, Δ 2𝑌𝑡 dừng • 𝑌𝑡~𝐼(𝑑) dừng sau khi lấy sai phân bậc 𝑑 ▪ Chuỗi 𝑌𝑡 đưa về dừng sau sai phân bậc 𝑑, áp dụng 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞)→ 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(𝑝, 𝑑, 𝑞) • Phương trình tổng quát 𝜙 𝐿 1 − 𝐿 𝑑𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝜃 𝐿 𝑢𝑡 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 62 5.6. Phương pháp Box-Jenkins Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 63 Chuỗi gốc 𝑌𝑡 Dừng? Sai phân 𝐼(𝑑) Xác định bậc 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) Ước lượng MH MH tốt? Dự báo chuỗi dừng → Dự báo chuỗi gốc KĐ ADF Lược đồ T. quan OLS / ML KĐ đánh giá S S Đ Đ 5.7. Mô hình có mùa vụ ▪ Chẳng hạn mùa vụ theo quí, 𝑠 = 4 ▪ Chênh lệch theo mùa: 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−𝑠 = 1 − 𝐿 𝑠 𝑌𝑡 ▪ Sai phân có mùa vụ: Δ𝑌𝑡 − Δ𝑌𝑡−𝑠 = 1 − 𝐿 1 − 𝐿 𝑠 𝑌𝑡 ▪ Sai phân bậc 𝑑 có mùa vụ: 1 − 𝐿𝑑 1 − 𝐿𝑠 𝑌𝑡 ▪ Trung bình trượt có mùa vụ • 𝑀𝐴(1): 𝑌𝑡 = 𝜇 + 1 + 𝜃1𝐿 𝑢𝑡 • 𝑆𝑀𝐴 1 1 𝑠: 𝑌𝑡 = 𝜇 + (1 + 𝛾𝐿 𝑠) 1 + 𝜃1𝐿 𝑢𝑡 • 𝑠 = 4: 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡 + 𝜃1𝑢𝑡−1 + 𝛾𝑢𝑡−4 + 𝛾𝜃1𝑢𝑡−5 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 64 5.7. Mô hình có mùa vụ ▪ Tự hồi qui có mùa vụ • 𝐴𝑅(1): 1 − 𝜙1𝐿 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡 • 𝑆𝐴𝑅 1 1 𝑠: 1 − 𝜆𝐿 𝑠 1 − 𝜙1𝐿 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡 • 𝑠 = 4: 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜆𝑌𝑡−4 − 𝜆𝜙1𝑌𝑡−5 + 𝑢𝑡 ▪ Mô hình 𝑆𝐴𝑅𝑀𝐴 𝑝, 𝑞 𝑃, 𝑄 𝑠 • 1 − 𝜆𝐿𝑠 𝜙 𝐿 𝑌𝑡 = 𝜇 + 1 + 𝛾𝐿 𝑠 𝜃 𝐿 𝑢𝑡 ▪ Tổng quát 𝑆𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴 𝑝, 𝑑, 𝑞 𝑃, 𝐷, 𝑄 𝑠 1 − 𝜆𝐿𝑠 𝜙 𝐿 1 − 𝐿𝑠 1 − 𝐿 𝑑𝑌𝑡 = 𝜇 + 1 + 𝛾𝐿 𝑠 𝜃 𝐿 𝑢𝑡 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 65 Bài 6. Tích hợp – Đồng tích hợp ▪ 6.1. Hồi qui cổ điển với chuỗi thời gian ▪ 6.2. Tích hợp - đồng tích hợp ▪ 6.3. Mô hình hiệu chỉnh sai số ECM Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 66 6.1. Hồi qui cổ điển với chuỗi thời gian ▪ Giả thiết 1 phương pháp OLS với chuỗi thời gian: Chuỗi dừng, phụ thuộc yếu ▪ Hai chuỗi không có quan hệ, cùng không dừng, cùng xu thế, hồi qui có ý nghĩa thống kê, 𝑅2 cao → Hồi qui giả mạo (spurious regression) Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 67 6.2. Tích hợp - đồng tích hợp ▪ 𝑌𝑡~𝐼(𝑑): tích hợp (integrated) bậc 𝑑, 𝑑 = 0,1,2,3 ▪ Tính chất ▪ Nếu 𝑋𝑡~𝐼 𝑑1 ; 𝑌𝑡~𝑌 𝑑2 ; 𝑍𝑡 = 𝛼1𝑋 + 𝛼2𝑌 • 𝑑1 ≠ 𝑑2 thì 𝑍𝑡~𝐼 max 𝑑1, 𝑑2 • 𝑑1 = 𝑑2 = 𝑑 thì 𝑍𝑡~𝐼(𝑑) hoặc 𝑍𝑡~𝐼(0) ▪ Trường hợp 𝑍~𝐼(0) thì 𝑋𝑡 và 𝑌𝑡 là đồng tích hợp (cointegrated) Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 68 6.2. Tích hợp - đồng tích hợp ▪ Đồng tích hợp bậc 1: • 𝑋𝑡~𝐼 1 ; 𝑌𝑡~𝐼(1) • Hồi qui 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 • Sai số 𝑢𝑡~𝐼(0) ▪ Nếu đủ lí thuyết kinh tế → quan hệ cân bằng dài hạn ▪ Khi 𝑋 hội tụ về trạng thái cân bằng 𝑋∗ thì 𝑌 hội tụ về cân bằng 𝑌∗ = 𝛽1 + 𝛽2𝑋 ∗ Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 69 6.2. Tích hợp – đồng tích hợp ▪ Kiểm định Johansen với 𝑘 chuỗi (𝑘 ≥ 3), có dạng chỉ có hệ số chặn và có xu thế • ቊ 𝐻0: số mối quan hệ đồng tích hợp = 0 𝐻1: số mối quan hệ đồng tích hợp > 0 • ቊ 𝐻0: số mối quan hệ đồng tích hợp ≤ 1 𝐻1: số mối quan hệ đồng tích hợp > 1 • ⋯ ▪ Nếu 𝜆𝑇𝑟𝑎𝑐𝑒 hoặc 𝜆𝑚𝑎𝑥 𝑒𝑖𝑔𝑒𝑛 > giá trị tới hạn thì bác bỏ 𝐻0. Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 70 6.3. Mô hình Hiệu chỉnh sai số (ECM) ▪ Cân bằng dài hạn 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 ▪ Sai lệch khỏi cân bằng: 𝑢𝑡 ▪ Mất cân bằng kì trước: 𝑢𝑡−1 ▪ Mô hình • Δ𝑌𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1Δ𝑋𝑡 + 𝛾𝑢𝑡−1 + 𝑣𝑡 ▪ Nếu có cơ chế tự hiệu chỉnh sai số thì −1 < 𝛾 < 0, hệ số hiệu chỉnh là 𝛾 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 71 Bài 7. Mô hình VAR ▪ Vector Autoregressive Model ▪ Các biến tác động qua lại với nhau, không còn biến phụ thuộc và độc lập riêng biệt ▪ Mô hình không cần lí thuyết kinh tế chi tiết ▪ 7.1. Mô hình ▪ 7.2. Kiểm định nhân quả Granger ▪ 7.3. Phân tích tác động qua lại Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 72 7.1. Mô hình ▪ Mô hình hai biến, trễ 1 • 𝑌𝑡 = 𝛽10 + 𝛽11𝑌𝑡−1 + 𝛼11𝑋𝑡−1 + 𝑢1𝑡 • 𝑋𝑡 = 𝛽20 + 𝛽21𝑌𝑡−1 + 𝛼21𝑋𝑡−1 + 𝑢2𝑡 ▪ Dạng vectơ • 𝑌𝑡 𝑋𝑡 = 𝛽10 𝛽20 + 𝛽11 𝛼11 𝛽21 𝛼22 𝑌𝑡−1 𝑋𝑡−1 + 𝑢1𝑡 𝑢2𝑡 • 𝐘𝑡 = 𝛃0 + 𝐀1𝐘𝑡−1 + 𝐮 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 73 7.1. Mô hình ▪ Sơ đồ mô hình 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 74 𝑋𝑡 𝑋𝑡−1 𝑋𝑡−2 𝑋𝑡−3 𝑢2𝑡 𝑢2𝑡−1 𝑢2𝑡−2 𝑢2𝑡−3 𝑌𝑡 𝑌𝑡−1 𝑌𝑡−2 𝑌𝑡−3 𝑢1𝑡 𝑢1𝑡−1 𝑢1𝑡−2 𝑢1𝑡−3 7.1. Mô hình ▪ Mô hình 2 biến trễ 2 kì 𝑌1𝑡 = 𝛽10 + 𝛽111𝑌𝑡−1 + 𝛽112𝑌𝑡−2 + 𝛽121𝑌2𝑡−1 + 𝛽122𝑌2𝑡−2 + 𝑢1𝑡 𝑌2𝑡 = 𝛽20 + 𝛽211𝑌𝑡−1 + 𝛽212𝑌𝑡−2 + 𝛽221𝑌2𝑡−1 + 𝛽222𝑌2𝑡−2 + 𝑢2𝑡 • Dạng vectơ 𝐘𝑡 = 𝛃0 + 𝐀1𝐘𝑡−1 + 𝐀2𝐘𝑡−2 + 𝐮𝑡 ▪ Mô hình 𝑘 biến trễ 𝑝 kì • 𝐘𝑡 = 𝛃0 + 𝐀1𝐘𝑡−1 + 𝐀2𝐘𝑡−2 + ⋯ + 𝐀p𝐘𝑡−p + 𝐮𝑡 𝐘 = 𝑌1 ⋮ 𝑌𝑘 ; 𝛃0 = 𝑌1 ⋮ 𝑌𝑘 ; 𝐀𝑗 = 𝛽11𝑗 ⋯ 𝛽1𝑘𝑗 ⋮ ⋱ ⋮ 𝛽𝑘1𝑗 ⋯ 𝛽𝑘𝑘𝑗 ; 𝐮 = 𝑢1 ⋮ 𝑢𝑘 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 75 7.2. Kiểm định nhân quả Granger ▪ Kiểm định đến trễ bậc 𝑝 • 𝑌𝑡 = 𝛽10 + 𝛽11𝑌𝑡−1 + ⋯ + 𝛽1𝑝𝑌𝑡−𝑝 + 𝛼11𝑋𝑡−1 + ⋯ + 𝛼1𝑝𝑋𝑡−𝑝 + 𝑢1𝑡 • 𝑋𝑡 = 𝛽20 + 𝛽21𝑌𝑡−1 + ⋯ + 𝛽2𝑝𝑌𝑡−𝑝 + 𝛼21𝑋𝑡−1 + ⋯ + 𝛼2𝑝𝑋𝑡−𝑝 + 𝑢1𝑡 ▪ ቐ𝐻0: 𝛼11 = ⋯ = 𝛼1𝑝 = 0: 𝑋 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑝ℎả𝑖 𝑌 𝐻1: 𝑐ó ℎệ 𝑠ố ≠ 0 ▪ ቐ𝐻0: 𝛽21 = ⋯ = 𝛽2𝑝 = 0: 𝑌 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑝ℎả𝑖 𝑋 𝐻1: 𝑐ó ℎệ 𝑠ố ≠ 0 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 76 7.3. Phân tích ảnh hưởng qua lại ▪ Phân tích phản ứng (impulse response) • 𝐼𝑃𝑗𝑖𝑝 là phản ứng của 𝑌𝑗𝑡 (biến 𝑌𝑗 kì 𝑡) khi có sốc xảy ra với 𝑌𝑖.𝑡−𝑝 (biến 𝑌𝑖 kì 𝑡 − 𝑝) • 𝑖 = 𝑗: phản ứng với sốc của chính nó • 𝑖 ≠ 𝑗: phản ứng với sốc của biến khác. ▪ Phân rã phương sai (variance decomposition) • 𝑣𝑗𝑖𝑡 là tỉ lệ (%) biến động của biến 𝑌𝑗 vào kì 𝑡 được giải thích bởi biến động của 𝑌𝑖 cùng kì • σ𝑖=1 𝑘 𝑣𝑗𝑖𝑡 = 100%, ∀𝑗, 𝑡 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 77 Bài 8. MÔ HÌNH ARCH – GARCH ▪ Đo lường rủi ro (risk) trong tài chính bởi sự biến thiên (volatility) của sai số mô hình. ▪ Thông thường đo bởi 𝑉𝑎𝑟(𝑢𝑡) ▪ 8.1. Tự hồi qui của phương sai thay đổi có điều kiện (ARCH) ▪ 8.2. ARCH tổng quát (GARCH) Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 78 8.1. Mô hình ARCH ▪ Mô hình: 𝑌𝑡 = + 𝑢𝑡 • [] thường là AR • Giả thiết 𝑉𝑎𝑟(𝑢𝑡) không đổi có thể sai • 𝑉𝑎𝑟 𝑢𝑡 = 𝜎𝑡 2 thay đổi (heteroscedasticity) ▪ Giả thiết: Phương sai có điều kiện thay đổi có dạng tự hồi qui (autoregressive conditional heter.) • 𝐴𝑅𝐶𝐻(1): 𝜎𝑡 2 = 𝛼0 + 𝛼1𝑢𝑡−1 2 + 𝑣𝑡 • 𝐴𝑅𝐶𝐻(𝑞): 𝜎𝑡 2 = 𝛼0 + 𝛼1𝑢𝑡−1 2 + ⋯ + 𝛼𝑞𝑢𝑡−𝑝 2 + 𝑣𝑡 ▪ Xác định 𝑞 theo PACF của 𝑢𝑡 2 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 79 8.1. Mô hình ARCH ▪ Qui trình ước lượng ▪ Ước lượng mô hình: 𝑌𝑡 = + 𝑢𝑡 → phần dư ො𝑢𝑡 ▪ Ước lượng mô hình hồi qui phụ: • ො𝑢𝑡 2 = 𝛼0 + 𝛼1 ො𝑢𝑡−1 2 + ⋯ + 𝛼𝑞 ො𝑢𝑡−𝑞 2 + 𝑣𝑡 (∗) • ൝ 𝐻0: 𝛼1 = ⋯ = 𝛼𝑞 = 0: Không có 𝐴𝑅𝐶𝐻 𝑞 𝐻1: 𝑐ó ℎệ 𝑠ố ≠ 0 ∶ có 𝐴𝑅𝐶𝐻 ở bậc tương ứng • 𝜒2 = 𝑇 − 𝑞 𝑅(∗) 2 > 𝜒𝛼 2(𝑞) thì bác bỏ 𝐻0 ▪ Dùng mô hình để dự báo chuỗi biến thiên Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 80 8.2. Mô hình GARCH ▪ 𝑌𝑡 = + 𝑢𝑡 với [] là ARMA ▪ 𝐺𝐴𝑅𝐶𝐻 1,1 : 𝜎𝑡 2 = 𝛼0 + 𝛽1𝜎𝑡−1 2 + 𝛼1𝑢𝑡−1 2 + 𝑣𝑡 • Nếu 𝛽1 + 𝛼1 ≥ 1: phương sai không dừng • Nếu 𝛽1 + 𝛼1 < 1: phương sai dừng, còn gọi là GARCH tích hợp, và phương sai không điều kiện 𝜎2 = 𝛼0 1 − (𝛽1 + 𝛼1) ▪ Ước lượng (∗) thu được ෠ො𝑢𝑡 • ෠ො𝑢𝑡 2 = 𝛼0 + 𝛽1 ෠ො𝑢𝑡−1 2 + 𝛼1 ො𝑢𝑡−1 2 + 𝑤𝑡 Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 81 8.2. Mô hình GARCH ▪ 𝐺𝐴𝑅𝐶𝐻(𝑝, 𝑞) ▪ 𝜎𝑡 2 = 𝛼0 + 𝛽1𝜎𝑡−1 2 + ⋯ + 𝛽𝑝𝜎𝑡−𝑝 2 +(𝛼1𝑢𝑡−1 2 + ⋯ + 𝛼𝑞𝑢𝑡−𝑞 2 ) + 𝑣𝑡 ▪ Khi phương sai dừng, tính phương sai không điều kiện 𝜎2 = 𝛼0 1 − σ𝑖 𝛽𝑖 + σ𝑗 𝛼𝑗 ▪ Từ đó dự báo cho phương sai (volatility) để đánh giá rủi ro. Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 82