Khóa luận Phương trình Gauss-Codazzi và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ? ? ?F ? ?? NGUYỄN THỊ HOA PHƯƠNG TRÌNH GAUSS-CODAZZI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Bộ môn : Hình học vi phân KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Cán bộ hướng dẫn PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Huế, tháng 05 năm 2011 i LỜI CẢM ƠN Qua bốn năm học tập và rèn luyện tại giảng đường Đại học, được sự dìu dắt dạy dỗ của các Thầy cô giáo, tôi đã tiếp thu được nhiều kiến thức cơ bản hữu ích và quan trọng. Khóa luận tốt nghiệp này được xem là thành quả quan trọng của quá trình học tập và rèn luyện đó. Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Huế, những người đã giúp tôi có những kiến thức khoa học cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành công việc học tập nghiên cứu của mình. Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của PGS.TS Trần Đạo Dõng. Tôi xin phép gửi đến thầy lời cảm ơn chân thành, lòng biết ơn sâu sắc nhất. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè những người đã quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt thời gian qua. Xin chân thành cảm ơn! Huế, tháng 05 năm 2011 NGUYỄN THỊ HOA ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii MỤC LỤC 1 LỜI NÓI ĐẦU 1 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2 1.1 Mặt trong không gian R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Ánh xạ Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Độ cong Gauss và độ cong trung bình . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Dạng cơ bản thứ nhất, dạng cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . 4 1.4.1 Dạng cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4.2 Dạng cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Mặt kẻ, mặt dẹt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5.1 Mặt kẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5.2 Mặt dẹt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Các mặt đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 PHƯƠNG TRÌNH GAUSS- CODAZZI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 8 2.1 Phương trình Gauss- Codazzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.1 Định lý Bonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2 Mặt tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.3 Mặt tròn xoay có độ cong Gauss bằng 0, hằng dương, hằng âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 1 LỜI NÓI ĐẦU Dạng cơ bản thứ nhất và dạng cơ bản thứ hai là hai dạng toàn phương đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết mặt. Hầu hết các vấn đề của lý thuyết mặt đều liên quan đến hai dạng toàn phương này, trong đó có độ cong Gauss. Trong thực hành, chúng ta thường tính độ cong Gauss thông qua các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai. Liệu có cách nào khác để tính độ cong Gauss và cách tính đó như thế nào. Để tìm hiểu vấn đề này và được sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Đạo Dõng tôi chọn đề tài "Phương trình Gauss-Codazzi và một số ứng dụng". Ngoài lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận được chia làm hai chương: Trong chương I, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị cho chương II như ánh xạ Gauss, độ cong Gauss, dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai... Chương II chúng tôi tập trung khảo sát các phương trình Gauss-Codazzi của lý thuyết mặt và ứng dụng để xác định sự tồn tại của mặt dựa vào các dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai, tính độ cong Gauss thông qua hệ số dạng cơ bản thứ nhất của mặt và các đạo hàm của chúng. Dù đã rất cố gắng song khóa luận này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để khóa luận được hoàn thiện hơn. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện cho sinh viên thực hiện khóa luận và đặc biệt cảm ơn PGS.TS Trần Đạo Dõng đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm khóa luận này. 1 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức liên quan đến việc nghiên cứu chương II như mặt chính qui, ánh xạ Gauss, độ cong Gauss, dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai,...Các kiến thức được tham khảo từ tài liệu [3], [4]. 1.1 Mặt trong không gian R3 Cho U là một tập mở trong R2 và ánh xạ X : U → R3 (u, v) 7→ X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) khả vi (lớp Ck). Khi đó S = X(U) được gọi là một mặt tham số với tham số hóa X trong R3. Điểm (u0, v0) được gọi là điểm chính qui nếu {Xu(u0, v0), Xv(u0, v0)} độc lập tuyến tính. Ngược lại, (u0, v0) được gọi là điểm kì dị. S được gọi là mặt chính qui nếu mọi điểm đều là điểm chính qui, tức là {Xu(u, v), Xv(u, v)} độc lập tuyến tính với mọi (u, v) ∈ U . Giả sử mặt S chính qui tại (u0, v0), khi đó mặt phẳng qua X(u0, v0) nhận {Xu(u0, v0), Xv(u0, v0)} làm không gian vector chỉ phương gọi là mặt phẳng tiếp xúc với S tại (u0, v0). Kí hiệu T(u0,v0)S. Xét đường trên mặt tham số S với tham số hóa u→ (x(u, v0), y(u, v0), z(u, v0)). Đường này được gọi là đường tọa độ v = v0 đi qua p = X(u0, v0) và có vector tiếp xúc tại p là ∂X ∂u = ( ∂x ∂u , ∂y ∂u , ∂z ∂u ). Tương tự, đường tọa độ u = u0 là v → (x(u0, v), y(u0, v), z(u0, v)) đi qua p = X(u0, v0) có vector tiếp xúc là ∂X ∂v = ( ∂x ∂v , ∂y ∂v , ∂z ∂v ). Tập con liên thông S trong R3 được gọi là một mặt chính qui nếu tại mỗi 2 điểm của S tồn tại một lân cận mở là mặt tham số chính qui, tham số hóa tương ứng được gọi là tham số hóa địa phương của S. 1.2 Ánh xạ Gauss Cho S là một mặt chính qui và X : U → S là một tham số hóa địa phương của S. Nếu chúng ta chọn các pháp vector đơn vị tại mỗi điểm của X(U) như sau n(p) = Xu ∧Xv |Xu ∧Xv|(p), p ∈ X(U); chúng ta nhận được một ánh xạ khả vi n : X(U)→ R3, p 7→ n(p). Khi đó ánh xạ n xác định như trên là một trường pháp vector đơn vị trên X(U). a) Mặt định hướng: Một mặt chính quy S gọi là định hướng được nếu có một trường pháp vector đơn vị liên tục n xác định trên toàn bộ mặt. Khi đó trường vector n được gọi là một định hướng của S. Một mặt chính qui định hướng là mặt chính qui định hướng được cùng hướng xác định n. Tại mỗi điểm của mặt chính qui, mỗi lân cận của mặt đều định hướng được bởi trường pháp vector đơn vị n = Xu ∧Xv |Xu ∧Xv| . b) ánh xạ Gauss: Cho (S, n) là mặt chính qui định hướng trong R3. Do |n(p)| = 1, ∀p ∈ S nên có thể xem n là ánh xạ khả vi từ mặt chính qui S vào mặt cầu đơn vị S2. ánh xạ n : S → S2 được gọi là ánh xạ Gauss của mặt định hướng S. c) Đạo hàm của ánh xạ Gauss: Đạo hàm của ánh xạ Gauss tại p là Dnp : TpS → Tn(p)S2. Do TpS và Tn(p)S 2 cùng vuông góc với n(p) nên ta có thể đồng nhất TpS và Tn(p)S 2. Như vậy Dnp là một tự đồng cấu tuyến tính của TpS. Hơn nữa, Dnp được xác định như sau: Lấy p ∈ S và ω ∈ TpS, ta có ω là vector tiếp xúc của một đường tham số khả vi α : (−ε, ε) → S, tức là ω = α′(0), p = α(0). Xét đường cong β = n ◦ α, ta có β ′ (0) ∈ TpS. Khi đó Dnp(ω) := β ′(0). 3 1.3 Độ cong Gauss và độ cong trung bình a) Định thức của tự đồng cấu Dnp được gọi là độ cong Gauss K tại p của S. b) −1 2 tr(Dnp) được gọi là độ cong trung bình H của S tại p. Ta có ma trận của Dnp là ma trận đối xứng. Nếu Dnp có hai giá trị riêng khác nhau thì TpS có cơ sở trực chuẩn gồm các vector riêng e1, e2 ứng với các giá trị riêng −k1,−k2. Các giá trị k1, k2 được gọi là độ cong chính của S tại p. Hai không gian con một chiều lần lượt xác định bởi e1, e2 được gọi là hai phương chính của S tại p. Từ định nghĩa suy ra H = 1 2 (k1 + k2), K = k1k2. Đường chính qui C trên S sao cho tại mọi điểm p ∈ C phương tiếp xúc tại của C là một phương chính của S tại p được gọi là một đường chính. Điểm p được gọi là điểm eliptic nếu K(p) > 0; Điểm p được gọi là điểm hypebolic nếu K(p) < 0; Điểm p được gọi là điểm parabolic nếu K(p) = 0; Điểm p được gọi là điểm phẳng nếu Dnp = 0; Điểm p được gọi là điểm rốn nếu k1 = k2. 1.4 Dạng cơ bản thứ nhất, dạng cơ bản thứ hai 1.4.1 Dạng cơ bản thứ nhất Với mỗi không gian tiếp xúc TpS, dạng toàn phương Ip : TpS → R. Ip(ω) =p= |ω|2, ω ∈ TpS được gọi là dạng cơ bản thứ nhất của S tại p. Ta có biểu thức tọa độ Ip(ω) = E(du) 2 + 2Fdudv +G(dv)2, với E =, F = G = là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất Ip. 1.4.2 Dạng cơ bản thứ hai Xét đạo hàm của ánh xạ Gauss Dnp : TpS → TpS. Khi đó, dạng toàn phương IIp(α) = − được gọi là dạng cơ bản thứ hai của S tại p. Ta có biểu thức tọa độ IIp(α) = L(du) 2 + 2Mdudv +N(dv)2, 4 với L =, M =, N = là các hệ số của dạng cơ bản thứ hai IIp. Hệ quả 1.4.2.1. Đối với cơ sở {Xu, Xv} của TpS, ta có ma trận chuyển vị của ma trận của Dnp là( a b c d ) = − ( L M M N )( E F F G )−1 . Chứng minh: Ta có pháp vector đơn vị n = Xu ∧Xv |Xu ∧Xv| Từ = 1, suy ra = 0 và = 0. Như vậy nu, nv ∈ TpS. Do đó: nu = aXu + bXv, nv = cXu + dXv. Ma trận của Dnp đối với cơ sở {Xu, Xv} là ( a c b d ) . Chúng ta xét ma trận của dạng cơ bản IIp. Ta có ma trận của IIp đối với cơ sở {Xu, Xv} là ( L M M N ) . Từ −L === aE + bF , −M === aF + bG, −M === cE + dF , −N === cF + dG. Suy ra − ( L M M N ) = ( a b c d )( E F F G ) . Do đó ( a b c d ) = − ( L M M N )( E F F G )−1 .  Nhận xét: Chú ý rằng ( E F F G )−1 = 1 EG− F 2 ( G −F −F E ) . Từ đó, ta có công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình là: K = LN −M2 EG− F 2 , H = 1 2 LG− 2MF +NE EG− F 2 . 5 Hệ quả 1.4.2.2. Nếu mặt tham số S không có điểm rốn và các đường tọa độ là các đường chính thì F = M = 0 và ta có các độ cong chính k1 = −L E và k2 = −N G . Ngược lại, nếu F = M = 0 thì các đường tọa độ là các đường chính. Chứng minh: Giả sử mặt tham số S không có điểm rốn và các đường tọa độ là các đường chính. Khi đó: F == 0, M = − = − = −k1 = 0, L = − = −k1|Xu|2 = −k1E. Suy ra k1 = −L E . Từ N = − = −k2|Xv|2 = −k2G, ta có k2 = −N G . Ngược lại, giả sử F = M = 0. Với F = 0, ta có = 0, Ngoài ra Dnp(Xu) = aXu + bXv và M = 0 Nên 0 == = a +b = aF + bG = bG. Hay b = 0. Suy ra Dnp(Xu) = aXu. Do đó, đường tọa độ v = v0 là đường chính. Tương tự ta cũng có đường tọa độ u = u0 là đường chính.  1.5 Mặt kẻ, mặt dẹt 1.5.1 Mặt kẻ Cho α, ω : I → R3 là hai hàm khả vi với I là một khoảng mở trong R và ω(u) 6= 0 với mọi u ∈ I. Chúng ta sẽ xem α(u), u ∈ I là các điểm, còn ω(u), u ∈ I là các vector trong R3. Mặt tham số X(u, v) = α(u) + vω(u), u ∈ I, v ∈ R được gọi là mặt kẻ sinh bởi α và ω. Các đường thẳng đi qua α(u) với vector chỉ phương ω(u) là các đường sinh và đường cong α(u) là đường chuẩn. 1.5.2 Mặt dẹt Mặt tham số chính qui X : U → R3 được gọi là mặt dẹt nếu độ cong Gauss tại mọi điểm bằng 0. 6 1.6 Các mặt đẳng cự Chúng ta nói mặt tham số chính qui S đẳng cự địa phương với mặt tham số chính qui S∗ nếu với mỗi p ∈ S, tồn tại một tham số hóa chính qui X : U → S với X(u0, v0) = p và một tham số hóa chính qui X∗ : U → S∗ (U là tập mở trong R2) thỏa mãn Ip = I∗p∗ với p = X(u, v) và p∗ = X∗(u, v), (u, v) ∈ U . 7 Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH GAUSS- CODAZZI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Trong chương này, trước hết chúng tôi tập trung tìm hiểu phương trình Gauss-Codazzi, các hệ quả có được từ các phương trình này và ứng dụng để tính độ cong Gauss của một số mặt chỉ với hệ số của dạng cơ bản thứ nhất. Tiếp đó chúng tôi giới thiệu định lý cơ bản của lý thuyết mặt và ứng dụng để xác định mặt dựa vào dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai. Cuối cùng, chúng tôi xác định các mặt tròn xoay lần lượt nhận giá trị độ cong Gauss bằng không, hằng dương, hằng âm. Các khái niệm và kết quả được nói đến ở đây được tham khảo trong các tài liệu [2], [4]. 2.1 Phương trình Gauss- Codazzi Cho S là một mặt chính qui và X : U → S là một tham số hóa địa phương của S. Kí hiệu Xu, Xv, n lần lượt là các vector tiếp xúc và vector pháp đơn vị của S tại điểm X(u, v). Tương tự như các công thức Frénet đối với đường cong, do các vector Xu, Xv, n lập thành một cơ sở trong không gian R3 nên mọi vector khác đều có thể biểu diễn qua Xu, Xv, n. Đặc biệt ta có: Xuu = Γ u uuXu+Γ v uuXv+λ1n (1) Xuv = Γ u uvXu+Γ v uvXv+λ2n (2) Xvv = Γ u vvXu + Γ v vvXv + λ3n (3) Các hàm Γ••• được gọi là các kí hiệu Christoffel. Dựa vào các phương trình (1), (2), (3) ta có kết quả quan trọng sau đây: Mệnh đề 2.1.1 ([4 Section 3, Chapter 2]): Cho S là một mặt chính 8 qui với X : U → S là một tham số hóa địa phương và Xu, Xv, n lần lượt là các vector tiếp xúc và vector pháp đơn vị của S tại điểm X(u, v). Khi đó ta có: ~ Các phương trình Gauss: EK = (Γvuu)v − (Γvuv)u + ΓuuuΓvuv + ΓvuuΓvvv − ΓuuvΓvuu − (Γvuv)2; FK = (Γuuv)u − (Γuuu)v + ΓvuvΓuuv − ΓvuuΓuvv; FK = (Γvuv)v − (Γvvv)u + ΓuuvΓvuv − ΓuvvΓvuu; GK = (Γuvv)u − (Γuuv)v + ΓuvvΓuuu + ΓvvvΓuuv − ΓvuvΓuvv − (Γuuv)2. ~ Các phương trình Codazzi: Lv −Mu = LΓuuv +M(Γvuv − Γuuu)−NΓvuu; Mv −Nu = LΓuvv +M(Γvvv − Γuuv)−NΓvuv. Chứng minh: Trước hết, ta xác định các hệ số λ1, λ2, λ3. Nhân hai vế của đẳng thức (1) với n ta được: n.Xuu = Γ u uuXu.n+ Γ v uuXv.n+ λ1 Suy ra λ1 = L. Tương tự, nhân hai vế của đẳng thức (2) và (3) với n ta được λ2 = M , λ3 = N . Nhân các đẳng thức (1), (2), (3) với Xu và Xv ta có: Xuu.Xu = Γ u uuXuXu + Γ v uuXuXv + LnXu = Γ u uuE + Γ v uuF, Xuu.Xv = Γ u uuF + Γ v uuG, Xuv.Xu = Γ u uvE + Γ v uvF, Xuv.Xv = Γ u uvF + Γ v uvG, Xvv.Xu = Γ u vvE + Γ v vvF, Xvv.Xv = Γ u vvF + Γ v vvG. Mặt khác: Xuu.Xu = 1 2 (Xu.Xu)u = 1 2 Eu, Xuv.Xu = 1 2 (Xu.Xu)v = 1 2 Ev, Xuv.Xv = 1 2 (Xv.Xv)u = 1 2 Gu, Xuu.Xv = (Xu.Xv)u −Xu.Xuv = Fu − 12Ev, Xvv.Xu = (Xu.Xv)v −Xuv.Xv = Fv − 12Gu, Xvv.Xv = 1 2 (Xv.Xv)v = 1 2 Gv. 9 Ta có thể viết lại như sau: ( E F F G )( Γuuu Γvuu ) = ( 1 2 Eu Fu − 12Ev ) ⇒ ( Γuuu Γvuu ) = ( E F F G )−1( 1 2 Eu Fu − 12Ev ) ( E F F G )( Γuuv Γvuv ) = ( 1 2 Ev 1 2 Gu ) ⇒ ( Γuuv Γvuv ) = ( E F F G )−1( 1 2 Ev 1 2 Gu ) ( E F F G )( Γuvv Γvvv ) = ( Fv − 12Gu 1 2 Gv ) ⇒ ( Γuvv Γvvv ) = ( E F F G )−1( Fv − 12Gu 1 2 Gv ) . Theo Hệ quả 1.4.2.1, đối với cơ sở {Xu, Xv} ma trận chuyển vị của ma trận của Dnp là ( a b c d ) = − ( L M M N )( E F F G )−1 = − 1 EG− F 2 ( L M M N )( G −F −F E ) = − 1 EG− F 2 ( GL−MF −LG+ME MG−NF −MF +NE ) . Ngoài ra nu = aXu + bXv, nv = cXu + dXv. Từ các phương trình (1), (2), (3) và lấy vi phân của các phương trình này lần nữa, ta có: Xuuv = (Γ u uuXu + Γ v uuXv + Ln)v =(Γuuu)vXu + Γ u uuXuv + (Γ v uu)vXv + Γ v uuXvv + Lvn+ Lnv =(Γuuu)vXu + Γ u uu(Γ u uvXu + Γ v uvXv +Mn) + (Γ v uu)vXv + Γvuu(Γ u vvXu + Γ v vvXv +Nn) + Lvn+ L(cXu + dXv) =((Γuuu)v + Γ u uuΓ u uv + Γ v uuΓ u vv +Lc)Xu + ((Γ v uu)v + Γ u uuΓ v uv + Γ v uuΓ v vv +Ld)Xv + (MΓuuu +NΓ v uu + Lv)n. Tương tự, ta tính được: Xuvu = ((Γ u uv)u + Γ u uvΓ u uu + Γ v uvΓ u uv +Ma)Xu + ((Γvuv)u + Γ u uvΓ v uu + Γ v uvΓ v uv +Mb)Xv + (Γ u uvL+ Γ v uvM +Mu)n. Do Xuuv = Xuvu nên suy ra: (Xu) : (Γ u uu)v + Γ u uuΓ u uv + Γ v uuΓ u vv + Lc = (Γ u uv)u + Γ u uvΓ u uu + Γ v uvΓ u uv +Ma, (Xv) : (Γ v uu)v + Γ u uuΓ v uv + Γ v uuΓ v vv + Ld = (Γ v uv)u + Γ u uvΓ v uu + Γ v uvΓ v uv +Mb, 10 (n) : Lv +MΓ u uu +NΓ v uu = Mu + LΓ u uv +MΓ v uv. Tương tự như trên, từ Xuvv = Xvvu, ta thu được: (Xu) : (Γ u uv)v + Γ u uvΓ u uv + Γ v uvΓ u vv +Mc = (Γ u vv)u + Γ u vvΓ u uu + Γ v vvΓ u uv +Na, (Xv) : (Γ v uv)v + Γ u uvΓ v uv +Md = (Γ v vv)u + Γ u vvΓ v uu +Nb, (n) : Mv +MΓ u uv +NΓ v uv = Nu + LΓ u vv +MΓ v vv. Từ việc đồng nhất các thành phần chứa pháp vector n ở trên, ta có các phương trình Codazzi: Lv −Mu = LΓuuv +M(Γvuv − Γuuu)−NΓvuu; Mv −Nu = LΓuvv +M(Γvvv − Γuuv)−NΓvuv. Từ các đẳng thức còn lại và sử dụng công thức K = LN −M2 EG− F 2 ta thu được các phương trình Gauss: EK = (Γvuu)v − (Γvuv)u + ΓuuuΓvuv + ΓvuuΓvvv − ΓuuvΓvuu − (Γvuv)2; FK = (Γuuv)u − (Γuuu)v + ΓvuvΓuuv − ΓvuuΓuvv; FK = (Γvuv)v − (Γvvv)u + ΓuuvΓvuv − ΓuvvΓvuu; GK = (Γuvv)u − (Γuuv)v + ΓuvvΓuuu + ΓvvvΓuuv − ΓvuvΓuvv − (Γuuv)2. Chúng ta sẽ kiểm tra cho trường hợp đầu tiên, các trường hợp còn lại tương tự. Từ việc đồng nhất các thành phần có chứa Xv của đẳng thức Xuuv = Xuvu, ta có: (Γvuu)v − (Γvuv)u + ΓuuuΓvuv + ΓvuuΓvvv − ΓuuvΓvuu − (Γvuv)2 = Mb− Ld = − 1 EG− F 2 [M(−LE +ME)− L(−MF +NE)] = − 1 EG− F 2 [−MLF +M 2E +MLF − LNE] = − E EG− F 2 (−LN +M 2) = E. LN −M2 EG− F 2 = EK.  Ví dụ 2.1.1. Cho mặt cầu đơn vị với tham số hóa X(u, v) = (sinucosv, sinusinv, cosu). Tính các kí hiệu Christoffel của nó. 11 Giải: Ta có thể tính các kí hiệu Christoffel của mặt cầu đã cho theo hai cách như sau. Cách 1: Ta có: Xu = (cosucosv, cosusinv,−sinu) Xv = (−sinusinv, sinucosv, 0) Xuu = (−sinucosv,−sinusinv,−cosu) = −X(u, v) Xuv = (−cosusinv, cosucosv, 0) Xvv = (−sinucosv,−sinusinv, 0) = −sinu(cosv, sinv, 0) Do Xuu cùng phương với n nên Γ u uu = Γ v uu = 0. Suy ra Xuv = cotu.Xv ⇒ Γuuv = 0, Γvuv = cotu Xvv = −sinu.cosv.Xu − sin2u.n⇒ Γuvv = −sinu.cosu, và Γvvv = 0. Cách 2: Ta có E = 1, F = 0, G = sin2u Do đó: ( Γuuu Γvuu ) = 1 sin2u ( sin2u 0 0 1 )( 0 0 ) = ( 0 0 ) ( Γuuv Γvuv ) = 1 sin2u ( sin2u 0 0 1 )( 0 sinu.cosu ) = ( 0 cotanu ) ( Γuvv Γvvv ) = 1 sin2u ( sin2u 0 0 1 )( −sinu.cosu 0 ) = ( −sinu.cosu 0 ) .  Ví dụ 2.1.2. Cho các mặt tham số hóa sau: a) Mặt phẳng được tham số hóa bởi hệ tọa độ cực: X(u, v) = (ucosv, usinv, 0). b) Mặt đinh ốc: X(u, v) = (ucosv, usinv, v). c) Mặt nón: X(u, v) = (ucosv, usinv, cu). c 6= 0 d) Mặt tròn xoay: X(u, v) = (f(u)cosv, f(u)sinv, g(u)) với f ′ (u)2 + g ′ (u)2 = 1. Khi đó, trong mỗi trường hợp, các phương trình Codazzi và phương trình thứ nhất của các phương trình Gauss được nghiệm đúng. 12 Giải: a)Ta có X(u, v) = (ucosv, usinv, 0), Xu = (cosv, sinv, 0), Xv = (−usinv, ucosv, 0), n = (0, 0, 1), Xuu = (0, 0, 0), Xuv = (−sinv, cosv, 0), Xvv = (−ucosv,−usinv, 0). Suy ra E = 1, F = 0, G = u2, L = 0, M = 0, N = 0. Các kí hiệu Christoffel: ( Γuuu Γvuu ) = 1 EG ( G 0 0 E )( 1 2 Eu −1 2 Ev ) = ( 0 0 ) ( Γuuv Γvuv ) = 1 EG ( G 0 0 E )( 1 2 Ev 1 2 Gu ) = 1 u2 ( u2 0 0 1 )( 0 u ) =  01 u  ( Γuvv Γvvv ) = 1 EG ( G 0 0 E )( −1 2 Gv 1 2 Gv ) = 1 u2 ( u2 0 0 1 )( −u 0 ) = ( −u 0 ) . Suy ra : 0 = Lv −Mu = 0.Γuuv + 0.(Γvuv − Γuuu)− 0.Γvuu = 0 0 = Mv −Nu = 0.Γuvv + 0.(Γvvv − Γuuv)− 0.Γvuv = 0 (Γvuu)v − (Γvuv)u + ΓuuuΓvuv + ΓvuuΓvvv − ΓuuvΓvuu − (Γvuv)2 = 0− (1 u )u + 0 + 0− 0− 1 u2 = 1 u2 − 1 u2 = 0 = EK. Vậy các phương trình Codazzi và phương trình thứ nhất của các phương trình Gauss được nghiệm đúng. b) Ta có X(u, v) = (ucosv, usinv, v), Xu = (cosv, sinv, 0), Xv = (−usinv, ucosv, 1), n = 1√ 1 + u2 (sinv,−cosv, u), Xuu = (0, 0, 0), 13 Xuv = (−sinv, cosv, 0), Xvv = (−ucosv,−usinv, 0). Suy ra E = 1, F = 0, G = u2 + 1, L = 0, M = − 1√ 1 + u2 , N = 0. Các kí hiệu Christoffel: ( Γuuu Γvuu ) = 1 EG ( G 0 0 E )( 1 2 Eu −1 2 Ev ) = ( 0 0 ) ( Γuuv Γvuv ) = 1 EG ( G 0 0 E )( 1 2 Ev 1 2 Gu ) = 1 u2 + 1 ( u2 + 1 0 0 1 )( 0 u ) =  0u u2 + 1  ( Γuvv Γvvv ) = 1 EG ( G 0 0 E )( −1 2 Gu 1 2 Gv ) = 1 u2 + 1 ( u2 + 1 0 0 1 )( −u 0 ) = ( −u 0 ) . Suy ra: Lv −Mu = − u√ 1 + u2 3 LΓuvv +M(Γ v uv − Γuuu)−NΓvuu = 0− 1√ 1 + u2 ( u u2 + 1 − 0)− 0 = − u√ 1 + u2 3 = Lv −Mu Mv −Nu = 0 LΓuuv +M(Γ v vv − Γuuv)−NΓvuv = 0− 1√ u2 + 1 (0− 0)− 0 = 0 = Mv −Nu = 0 EK = −1 u2 + 1 u2 + 1 = − 1 (u2 + 1)2 (Γvuu)v − (Γvuv)u + ΓuuuΓvuv + ΓvuuΓvvv − ΓuuvΓvuu − (Γvuv)2 = 0− ( u u2 + 1 )u + 0 + 0− 0− u 2 (u2 + 1)2 = u2 − 1 (u2 + 1)2 − u 2 (u1 + 1)2 14 = − 1 (u2 + 1)2 = EK. Vậy các phương trình Codazzi và phương trình thứ nhất của các phương trình Gauss được nghiệm đúng. c) Ta có X(u, v) = (ucosv, usinv, cu) c 6= 0, Xu = (cosv, sinv, c), Xv = (−usinv, ucosv, 0), n = 1 c2 + 1 (−ccosv,−csinv, 1), Xuu = (0, 0, 0), Xuv = (−sinv, cosv, 0), Xvv = (−ucosv,−usinv, 0). Suy ra E = 1 + c2, F = 0, G = u2, L = 0, M = 0, N = cu√ c2 + 1 . Các kí hiệu Christoffel: ( Γuuu Γvuu ) = 1 EG ( G 0 0 E )( 1 2 Eu −1 2 Ev ) = ( 0 0 ) ( Γuuv Γvuv ) = 1 EG ( G 0 0 E )( 1 2 Ev 1 2 Gu ) = 1 u2(1 + c2) ( u2 0 0 1 + c2 )( 0 u ) =  01 u  ( Γuvv Γvvv ) = 1 EG ( G 0 0 E )( −1 2 Gu 1 2 Gv ) = 1 u2(1 + c2) ( u2 0 0 1 + c2 )( −u 0 ) =  − u1 + c2 0  . Suy ra: LΓuuv +M(Γ v uv − Γuuu)−NΓvuu = 0 + 0− cu√ c2 + 1 .0 = 0 = Lv −Mu Mv −Nu = − c√ c2 + 1 LΓuvv +M(Γ v vv − Γuuv)−NΓvuv 15 = − cu√ c2 + 1 . 1 u = − c√ c2 + 1 = Mv −Nu (Γvuu)v − (Γvuv)u + ΓuuuΓvuv + ΓvuuΓvvv − ΓuuvΓvuu − (Γvuv)2 = 0 + 1 u2 + 0 + 0− 1 u2 = 0 = EK. Vậy các phương trình Codazzi và phương trình thứ nhất của các phương trình Gauss được nghiệm đúng. d) Ta có X(u, v) = (f(u)cosv, f(u)sinv, g(u)) với f ′ (u)2 + g ′ (u)2 = 1, Xu = (f ′ (u)cosv, f ′ (u)sinv, g ′ (u)), Xv = (−f(u)sinv, f(u)cosv, 0), n = (−g′(u)cosv,−g′(u)sinv, f ′(u)), Xuu = (f ′′ (u)cosv, f ′′ (u)sinv, g ′′ (u)), Xuv = (−f ′(u)sinv, f ′(u)cosv, 0), Xvv = (−f(u)cosv,−f(u)sinv, 0). Suy ra E = 1, F = 0, G = f 2(u), L = f ′ (u)g ′′ (u) − f ′′(u)g′(u), M = 0, N = f(u)g ′ (u). Ta có K = LN −M2 EG− F 2 = (f ′ (u)g ′′ (u)− f ′′(u)g′(u))g ′ (u) f(u) . Do f ′ (u)2 + g ′ (u)2 = 1 nên f ′ (u)f ′′ (u) + g ′ (u)g ′′ (u) = 0. Nên f ′ (u)g ′′ (u)g ′ (u)− f ′′(u)g′(u)2 = −(f ′(u)2 + g′(u)2)f ′′(u). Suy ra K = −f ′′ (u) f(u) . Các kí hiệu Christoffel: ( Γuuu Γvuu ) = 1 EG ( G 0 0 E )( 1 2 Eu −1 2 Ev ) = ( 0 0 ) ( Γuuv Γvuv ) = 1 EG ( G 0 0 E )( 1 2 Ev 1 2 Gu ) 16 = 1 f 2(u) ( f 2(u) 0 0 1 )( 0 f(u)f ′ (u) ) =  0f ′(u) f(u)  ( Γuvv Γvvv ) = 1 EG ( G 0 0 E )( −1 2 Gu 1 2 Gv ) = 1 f 2(u) ( f 2(u) 0 0 1 )( −f(u)f ′(u) 0 ) = ( −f(u)f ′(u) 0 ) . Suy ra LΓuuv +M(Γ v uv − Γuuu)−NΓvuu = 0 = Lv −Mu Mv −Nu = −f ′(u)g′(u)− f(u)g′′(u) LΓuvv +M(Γ v vv − Γuuv)−NΓvuv = [f ′ (u)g ′′ (u)− f ′′(u)g′(u)][−f(u)f ′(u)]− f(u)g′(u).f ′ (u) f(u) = −f(u)f ′(u)2g′′(u) + f(u)f ′(u)f ′′(u)g′(u)− f ′(u)g′(u) = −f(u)f ′(u)2g′′(u)− f(u)g′(u)g′′(u)g′(u)− f ′(u)g′(u) = −f(u)g′′(u)(f ′(u)2 + g′(u)2)− f ′(u)g′(u) = −f ′(u)g′(u)− f(u)g′′(u) = Mv −Nu (Γvuu)v − (Γvuv)u + ΓuuuΓvuv + ΓvuuΓvvv − ΓuuvΓvuu − (Γvuv)2 = 0− (f ′ (u) f(u) )u + 0 + 0− 0− f ′ (u)2 f(u)2 = f ′ (u)2 − f(u)f ′′(u) f(u)2 − f ′ (u)2 f(u)2 = −f ′′ (u) f(u) = EK. Vậy các phương trình Codazzi và phương trình thứ nhất của các phương trình Gauss được nghiệm đúng.  17 2.2 Các hệ quả Hệ quả 2.2.1. ([4 Theorem 3.1]) Độ cong Gauss của mặt được xác định chỉ với dạng cơ bản thứ nhất. Nói cách khác K có thể biểu diễn qua E, F , G và các đạo hàm của chúng. Chứng minh: Từ bất kỳ phương trình nào của các phương trình Gauss, ta thấy rằngK có thể biểu diễn qua E, F , hoặc G cùng với các kí hiệu Christoffel và các đạo hàm của chúng. Ngoài ra, các kí hiệu Christoffel này, như đã biết chúng có thể biểu diễn qua E, F , G và các đạo hàm của E, F , G.  Hệ quả 2.2.2. ([4, Section 3, Chapter 2]) Cho mặt tham số với tham số hóa trực giao (F = 0). Khi đó ta có: K = − 1 2 √ EG ( ( Ev√ EG ) v + ( Gu√ EG ) u ) . Chứng minh: Do F = 0 nên: Γuuu = 1 2 Eu E ; Γvuu = − 1 2 Ev G ; Γuuv = 1 2 Ev E ; Γvuv = 1 2 Gu G ; Γuvv = − 1 2 Gu E ; Γvvv = 1 2 Gv G . Từ phương trình thứ nhất của các phương trình Gauss ta có: EK = −1 2 ( Ev G )v − 1 2 ( Gu G )u + 1 2 Eu E . 1 2 Gu G − 1 2 Ev G . 1 2 Gv G + 1 2 Ev E . 1 2 Ev G − 1 4 ( Gu G )2 = −1 2 Evv G + 1 4 EvGv G2 − 1 2 Guu G + 1 4 G2u G2 + 1 4 EuGu EG + 1 4 E2v EG . Suy ra: K = − 1 2 √ EG ( Evv√ EG − 1 2 EvGv G √ EG + Guu√ EG − 1 2 G2u G √ EG − 1 2 EuGu E √ EG − 1 2 E2v E √ EG ) = − 1 2 √ EG ( 2EvvEG− EvEvG− EvGvE 2EG √ EG + 2GuuEG−GuEuG−G2uE 2EG √ EG ) = − 1 2 √ EG ( Evv √ EG− EvEvG+ EGv 2 √ EG EG + Guu √ EG−GuEuG+ EGu 2 √ EG EG ) 18 = − 1 2 √ EG ( Evv √ EG− Ev( √ EG)v EG + Guu √ EG−Gu( √ EG)u EG ) = − 1 2 √ EG (( Ev√ EG )v+( Gu√ EG )u).  áp dụng hệ quả trên, ta có ví dụ sau. Ví dụ 2.2.1. a) Mặt cầu với tham số hóa: X(u, v) = (Rcosucosv,Rcosusinv,Rsinu) Xu = (−Rsinucosv,−Rsinusinv,Rcosu) Xv = (−Rcosusinv,Rcosucosv, 0) Suy ra E = R2, F = 0, G = R2cos2u Do đó K = − 1 2 √ EG (( Ev√ EG )v + ( Gu√ EG )u) = − 1 2 √ R4cos2u ( −2R2cosusinu√ R4cos2u )u = 1 R2 . b) Mặt paraboloid tròn xoay với tham số hóa: X(u, v) = (ucosv, usinv, u2) Xu = (cosv, sinv, 2u) Xv = (−usinv, ucosv, 0) Suy ra E = 1 + 4u2, F = 0, G = u2 Do đó K = − 1 2 √ EG (( Ev√ EG )v + ( Gu√ EG )u) = − 1 2 √ u2(1 + 4u2) ( 2u√ u2(1 + 4u2) )u = 4 (1 + 4u2)2 . c) Mặt ellipsoid tròn xoay với tham số hóa: X(u, v) = (acosucosv, acosusinv, csinu) a, c > 0 Xu = (−asinucosv,−asinusinv, ccosu) Xv = (−acosusinv, acosucosv, 0) Suy ra E = a2sin2u+ c2cos2u, F = 0, G = a2cos2u Do đó K = − 1 2 √ EG (( Ev√ EG )v + ( Gu√ EG )u) 19 = − 1 2 √ a2cos2u(a2sin2u+ c2cos2u) ( −2a2cosu.sinu√ a2cos2u(a2sin2u+ c2cos2u) )u = c2 (a2sin2u+ c2cos2u)2 . d) Mặt giả cầu với tham số hóa: X(u, v) = (sinucosv, sinusinv, ln(tan u 2 ) + cosu) u 6= pi 2 Xu = (cosucosv, cosusinv, 1 sinu − sinu) Xv = (−asinusinv, sinucosv, 0) Suy ra E = 1 sin2u − 1, F = 0, G = sin2u Do đó K = − 1 2 √ EG (( Ev√ EG )v+( Gu√ EG )u) = − 1 2 √ 1− sin2u( 2cosusinu√ 1− sin2u)u = −1.  Hệ quả 2.2.3. ([4, Section 3, Chapter 2]) Xét mặt tham số có các hệ số E = G = λ(u, v) và F = 0. Khi đó, độ cong Gauss cho bởi K = − 1 2λ O2(lnλ), trong đó O2f = ∂ 2f ∂u2 + ∂2f ∂v2 . Chứng minh: Do F = 0, áp dụng Hệ quả 2.2.2 ta có: K = − 1 2 √ EG (( Ev√ EG )v + ( Gu√ EG )u) = − 1 2λ (( λv λ )v + ( λu λ )u) = − 1 2λ ( λvvλ− λ2v λ2 + λuuλ− λ2u λ2 ) = − 1 2λ (( 1 λ )v.λv + 1 λ λvv + ( 1 λ )u.λu + 1 λ λuu) = − 1 2λ (( 1 λ .λv)v + ( 1 λ .λu)u) = − 1 2λ ((lnλ)vv+(lnλ)uu) = − 1 2λ O2(lnλ).  Ví dụ 2.2.2. Cho mặt tham số có E = G = 1 (u2 + v2 + C)2 và F = 0. 20 Khi đó độ cong Gauss là hằng. Chứng minh: áp dụng Hệ quả 2.2.3 với λ = 1 (u2 + v2 + C)2 ta có: ∂ lnλ ∂u = (u2 + v2 + C)2. −2(u2 + v2 + C).2u (u2 + v2 + C)4 = −4u u2 + v2 + C ⇒ ∂ 2 lnλ ∂u2 = −4(u2 + v2 + C) + 4u.2u (u2 + v2 + C)2 = 4u2 − 4v2 − 4C (u2 + v2 + C)2) Tương tự, ta tính được ∂2 lnλ ∂v2 = −4u2 + 4v2 − 4C (u2 + v2 + C)2 Do đó K = − 1 2λ O2(lnλ) = −1 2 (u2 + v2 + C)2. −8C (u2 + v2 + C)2 = 4C Như vậy, độ cong Gauss là hằng.  Hệ quả 2.2.4. ([4, Corollary 3.2]) Độ cong Gauss tại các điểm tương ứng của hai mặt đẳng cự là bằng nhau. Chứng minh: Do tại các điểm tương ứng của hai mặt đẳng cự, dạng cơ bản thứ nhất là giống nhau. Tuy nhiên, điều ngược lại của hệ quả này không đúng. Để thấy rõ điều đó, ta xét ví dụ sau. Ví dụ 2.2.3. Xét hai mặt chính qui lần lượt được tham số hóa bởi X(u, v) = (ucosv, usinv, v). Y (u, v) = (ucosv, usinv, lnu). Với mỗi (u, v), ta có: Xu = (cosv, sinv, 0), Xv = (−usinv, ucosv, 1). Suy ra E(X) = 1, F(X) = 0, G(X) = u 2 + 1. Do đó K(X) = − 1 2 √ EG (( Ev√ EG )v+( Gu√ EG )u) = − 1 2 √ u2 + 1 ( 2u√ u2 + 1 )u = − 1 (u2 + 1)2 . Yu = (cosv, sinv, 1 u ), Yv = (−usinv, ucosv, 0). 21 Suy ra E(Y ) = 1 + 1 u2 , F(Y ) = 0, G(X) = u 2. Do đó K(Y ) = − 1 2 √ EG (( Ev√ EG )v+( Gu√ EG )u) = − 1 2 √ u2 + 1 ( 2u√ u2 + 1 )u = − 1 (u2 + 1)2 . Vậy K(X) = K(Y ). Tuy nhiên, dạng cơ bản thứ nhất của X và của Y là khác nhau nên chúng không đẳng cự với nhau.  Hệ quả 2.2.5. ([4, Lemma 3.3]) Giả sử X là tham số hóa của một mặt có các đường tọa độ v = v0 và u = u0 là các đường chính với các độ cong chính lần lượt là k1, k2. Khi đó: (k1)v = Ev 2E (k2 − k1) và (k2)u = Gu 2G (k1 − k2) . Chứng minh: Theo Hệ quả 1.4.2.2 ta có: L = −k1E; N = −k2G và F = M = 0 Từ phương trình Codazzi ta có: ~ (−k1)vE + (−k1)Ev = Lv = −k1EΓuuv + k2GΓvuu Mà Γuuv = 1 2EG .(EvG); Γ v uu = − 1 2EG .(EEv) Do đó Lv = −k1E. 1 2EG .(EvG)− k2G. 1 2EG .(EEv) = −k1Ev 2 − k2Ev 2 = −Ev 2 (k1 + k2) Suy ra (k1)v = 1 2 Ev E (k1 + k2)− k1Ev E = Ev 2E (k2 − k1) ~ (−k2)uG+ (−k2)Gu = Nu = k1EΓuvv − k2GΓvuv Mà Γuvv = − 1 2 Gu E ; Γvuv = 1 2 Gu G Do đó Nu = −1 2 k1E. Gu E − 1 2 k2G. Gu G = −1 2 k1Gu − 1 2 k2Gu = −Gu 2 (k1 + k2) 22 Suy ra (k2)u = Gu 2G (k1 − k2).  Hệ quả 2.2.6. ([2, chương 3]) Cho mặt tham số có lưới tọa độ trên mặt là các đường tiệm cận. Khi đó : 1 2 (EG− F 2)(ln |K|)u − FEv + EGu = 0 1 2 (EG− F 2)(ln |K|)v − FEu + EGv = 0 trong đó K là độ cong Gauss của mặt. Chứng minh: Lưới tọa độ trên mặt là các đường tiệm cận nên L = N = 0. Từ phương trình thứ nhất của các phương trình Codazzi ta có: −Mu = M(Γvuv − Γuuu) ⇒ −Mu = M EG− F 2 (− 1 2 FEv + 1 2 EGu − 1 2 GEu + FFu − 1 2 FEv) ⇒ −Mu = M EG− F 2 (−FEv + 1 2 EGu − 1 2 EuG+ FFu) ⇒ −2Mu(EG− F 2)−M(−2FEv + EGu − EuG+ 2FFu) = 0 Nhân hai vế với M , ta được: −2MMu(EG− F 2)−M2(−2FEv + EGu −GEu + 2FFu) = 0 ⇒ −2MMu(EG− F 2) +M2(EGu +EuG− 2FFu)− 2M2EGu + 2M2FEv = 0 Nhân hai vế với lượng −1 2 (EG− F 2)2 (EG− F 2)2.M2 ⇒ 1 2 (EG− F 2).(EG− F 2) −M2 −2MMu(EG− F 2) +M2(EGu + EuG− 2FFu) (EG− F 2)2 + EGu − FEv = 0 ⇒ 1 2 (EG− F 2)(ln |K|)u − FEv + EGu = 0 23 Hoàn toàn tương tự như trên và sử dụng phương trình thứ hai của các phương trình Codazzi ta cũng có 1 2 (EG− F 2)(ln |K|)v − FEu + EGv = 0.  Hệ quả 2.2.7. ([2, chương 3]) Cho mặt tham số có lưới tọa độ trên mặt là các đường chính. Khi đó các phương trình Codazzi có dạng: Lv = HEv, Nu = HGu, trong đó H là độ cong trung bình của mặt. Chứng minh: Lưới tọa độ trên mặt là các đường chính nên F = M = 0. Từ phương trình thứ nhất của các phương trình Codazzi ta có: Lv = LΓ u uv −NΓvuu ⇒ Lv = L. 1 EG− F 2 ( 1 2 GEv − 1 2 FGu)−N. 1 EG− F 2 (− 1 2 FEu + EFu − 1 2 EEv) ⇒ Lv = L. 1 EG− F 2 . 1 2 GEv −N. 1 EG− F 2 . −1 2 EEv ⇒ Lv = 1 2 LG+NE EG− F 2 Ev = HEv. Từ phương trình thứ hai của các phương trình Codazzi ta có: −Nu = LΓuvv −NΓvuv ⇒ −Nu = L. 1 EG− F 2 .(GFv− 1 2 GGu− 1 2 FGv)−N. 1 EG− F 2 (− 1 2 FEv+ 1 2 EGu) ⇒ −Nu = L. 1 EG− F 2 − 1 2 GGu −N. 1 EG− F 2 + 1 2 .EGu ⇒ −Nu = −1 2 LG+NE EG− F 2 Gu = HGu. Hay Nu = HGu.  Hệ quả 2.2.8. ([4, Proposition 3.4]) Giả sử S là mặt dẹt không có điểm 24 phẳng có các đường tọa độ là các đường chính. Khi đó S là mặt kẻ có mặt phẳng tiếp tuyến là hằng dọc theo đường sinh. Chứng minh: S không có điểm phẳng nên ta có thể chọn k1 = 0, k2 6= 0. S có các đường tọa độ là các đường chính nên F = M = 0. Từ k1 = 0 suy ra Dnp(Xu) = 0. Nên nu = 0, tức n là hằng dọc theo đường tọa độ v = v0 Mặt khác L = II(Xu, Xu) = − = 0 L == 0 ⇒ Xuu là hằng dọc theo đường tọa độ v = v0 Do k1 = 0 nên (k1)v = 0 mà k2 6= k2. Suy ra Ev = 0, do đó Γvuu = 0 Từ Xuu = Γ u uuXu + Γ v uuXv + Ln = Γ u uuXu Do đó Xu là hằng dọc theo đường v = v0 Như vậy đường v = v0 là một phần của đường thẳng. Vậy S là mặt kẻ có tiếp tuyến là hằng dọc theo đường sinh.  2.3 Một số ứng dụng ở phần này, chúng tôi trình bày định lý Bonné ([2, Định lý 3.4.4]), định lý nói về sự tồn tại của mặt nhận hai dạng toàn phương cho trước làm dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai của mình. Tiếp đó chúng tôi giới thiệu về mặt tuyến tính. Cuối cùng, chúng tôi xác định các mặt tròn xoay lần lượt nhận giá trị độ cong Gauss bằng không, hằng dương, hằng âm. 2.3.1 Định lý Bonné Giả sử Edu2 + 2Fdudv+Gdv2 (a), Ldu2 + 2Mdudv+Ndv2 (b) là hai dạng toàn phương tùy ý, (a) là dạng toàn phương xác định dương. Nếu các hệ số của các dạng toàn phương này thỏa mãn phương trình Gauss-Codazzi thì tồn tại và duy nhất (sai khác một phép dời hình trong không gian) một mặt nhận các dạng (a), (b) làm dạng cơ bản I và II. Chứng minh: áp dụng định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính, người ta chứng minh được hệ phương trình vi phân: ξu = Γ u uuξ + Γ v uuη + Lζ ξv = Γ u uvξ + Γ v uvη +Mζ ηu = Γ u uvξ + Γ v uvη +Mζ 25 ηv = Γ u vvξ + Γ v vvη +Nζ ζu = α11ξ + α12η ζv = α21ξ + α22η tồn tại và duy nhất nghiệm nếu như các hệ số của hai dạng toàn phương đã cho thỏa mãn điều kiện Gauss-Codazzi. Chú ý rằng các Γ••• biểu diễn qua hệ số của hai dạng toàn phương đã cho và α11 = −LG+MF EG− F 2 ; α12 = LF +ME EG− F 2 ; α21 = NF −MG EG− F 2 ; α22 = −NE +MF EG− F 2 . Bây giờ, ta sẽ chứng minh mặt xác định bởi hệ phương trình vi phân trên nhận (a), (b) lần lượt làm dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai. ~ Giả sử ξ0, η0, ξ0 là ba vector thỏa mãn các điều kiện: ξ20 = E(u0, v0), ξ0η0 = F (u0, v0), η 2 0 = G(u0, v0), ξ0ζ0 = 0, η0ξ0 = 0, ζ 2 0 = 1 và ξ, η, ζ là ba nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện đầu ξ(u0, v0) = ξ0, η(u0, v0) = η0, ζ(u0, v0) = ζ0. Vì ξv = ηu nên tồn tại hàm vector X(u, v) thỏa mãn Xu = ξ, Xv = η. Ta sẽ chứng minh mặt xác định bởi (u, v) 7→ X(u, v) trong lân cận điểm (u0, v0) có dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai lần lượt là (a), (b). Thật vậy, biểu diễn đạo hàm theo u, v của sáu đại lượng ξ2, η2, ζ2, ξη, ηζ, ζξ qua chính các đại lượng này, ta nhận được 12 đẳng thức: (ξ2)u = R1(ξ 2, η2, ...) (ξ2)v = R2(ξ 2, η2, ...) ............................... ............................... (ζξ)v = R12(ξ 2, η2, ...), trong đó, Ri là các biểu thức tuyến tính thuần nhất của ξ 2, η2, ...ζξ. Mười hai đẳng thức trên có thể xét như một hệ phương trình vi phân đối với ξ2, η2, ...ζξ. Hệ cũng thỏa mãn nếu thay ξ2, η2, ...ζξ bởi E, G, 1, F , 0, 0 ( có thể kiểm chứng trực tiếp). Cả hai nghiệm này đều có cùng giá trị đầu ( tại (u0, v0)). Từ đó, theo tính duy nhất nghiệm ta có: ξ2 = E, η2 = G, ξη = F , ξζ = 0, ζη = 0, ζ2 = 1. Do Xu = ξ, Xv = η nên X 2 u = ξ 2 = E, XuXv = ξη = F , X 2 v = η 2 = G. Từ đó mặt nhận (a) làm dạng cơ bản thứ nhất. Mặt khác Xu.ζ = ξ.ζ = 0, Xv.ζ = η.ζ = 0, ζ 2 = 1 nên ζ là pháp vector đơn vị của mặt. 26 Do đó các hệ số của dạng cơ bản thứ hai là Xuuζ = ξuζ = L, Xuvζ = M , Xvvζ = N. Như vậy mặt nhận (b) làm dạng cơ bản thứ hai. ~ Giả sử S1, S2 là hai mặt cùng nhận (a) và (b) làm dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai. Ta dịch chuyển hai mặt S1, S2 sao cho các điểm tương ứng, các phương tương ứng, pháp tuyến tương ứng. Việc dịch chuyển này có thể làm được vì hai mặt này có dạng cơ bản thứ nhất trùng nhau. Giả sử S1, S2 nhậnX1(u, v),X2(u, v) làm tham số hóa sau khi dịch chuyển. Hệ phương trình vi phân đối với ξ, η, ζ thỏa mãn nếu lấy ξ = X1u, η = X1v , ζ = n1 hay ξ = X2u, η = X2v , ζ = n2. Nhưng vì cả hai nghiệm này trùng nhau tại điểm (u0, v0) nên chúng đồng nhất. Tức là: X1u(u, v) = X2u(u, v), X1v(u, v) = X2v(u, v). Suy ra d(X1(u, v)) = d(X2(u, v)). Do đó X1(u, v) = X2(u, v) + C. Mặt khác, u = u0, v = v0 thì X1 = X2 ⇒ C = 0. Suy ra X1(u, v) = X2(u, v). Vậy S1, S2 trùng nhau, sai khác một phép dời hình.  Ví dụ 2.3.1.1. Xác định xem có tồn tại mặt tham số nhận E, F , G, L, M , N làm hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai trong mỗi trường hợp sau. a) E = G = 1, F = 0, L = 1 = −N , M = 0. Ta có các Γ••• đều bằng 0. Hiển nhiên E, F , G, L, M , N đều thỏa mãn các phương trình Gauss và Co- dazzi. Do đo tồn tại mặt tham số nhận chúng làm dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai. b) E = G = 1, F = 0, L = eu = N , M = 0. Các Γ••• đều bằng 0. Ta có Mv −Nu = −eu, trong khi đó LΓuvv + M(Γvvv − Γuuv)−NΓvuv = 0, tức là các hệ số này không thỏa mãn phương trình thứ hai của phương trình Codazzi nên không tồn tại mặt nhận chúng làm hệ số dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai. c) E = 1, F = 0, G = cos2u, L = cos2u, M = 0, N = 1 . Ta có: 27 ( Γuuu Γvuu ) = 1 EG ( G 0 0 E )( 1 2 Eu −1 2 Ev ) = ( 0 0 ) ( Γuuv Γvuv ) = 1 EG ( G 0 0 E )( 1 2 Ev 1 2 Gu ) = 1 cos2u ( cos2u 0 0 1 )( 0 −cosu.sinu ) = ( 0 −tanu ) ( Γuvv Γvvv ) = 1 EG ( G 0 0 E )( −1 2 Gu 1 2 Gv ) = 1 cos2u ( cos2u 0 0 1 )( cosu.sinu 0 ) = ( cosu.sinu 0 ) . Ta có Mv −Nu = 0. Mặt khác: LΓuvv +M(Γ v vv − Γuuv)−NΓvuv = cos2u.cosu.sinu+ 0 + tanu 6= 0. Tức là các hệ số đã cho không thỏa mãn phương trình Codazzi nên không tồn tại mặt tham số nhận chúng làm dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai.  Định lý trên đã nói đến sự tồn tại của mặt nhận các dạng toàn phương cho trước làm dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai. Bây giờ chúng ta sẽ đi tìm phương trình của các mặt đó trong một số trường hợp đơn giản qua ví dụ sau. Ví dụ 2.3.1.2. Trong mỗi trường hợp, xác định mặt tham số nhận các hệ số cho trước làm dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai. a) E = 1, F = 0, G = sin2u, L = −1, M = 0, N = −sin2u Ta có: Γuuu = Γ v uu = Γ u uv = 0, Γ v uv = cotu, Γ u vv = − 1 2 sin2u, Γvvv = 0 α11 = 1, α12 = 0, α21 = 0, α22 = 1 Ta có hệ phương trình vi phân: ξu = −ζ ξv = cotuη ηu = cotuη ηv = −sinucosuξ − sin2uζ ζu = ξ ζv = η Từ ξv = ηu = cotuη, chọn η = (−sinusinv, sinucosv, 0) ξ = (cosucosv, cosusinv,−sinu) Vậy mặt tham số cần tìm: X(u, v) = (sinucosv, sinusinv, cosu) (Mặt cầu đơn vị). 28 b) E = 1, F = 0, G = u2, L = M = N = 0 Ta có: Γuuu = Γ v uu = Γ u uv = Γ v vv = 0; Γ u uv = 1 u ; Γuvv = −u, α11 = α12 = 0α21 = α22 = 0 Ta có hệ phương trình vi phân: ξu = 0 ξv = 1 u η ηu = 1 u η ηv = −uξ ζu = 0 ζv = 0 Từ ξv = ηu = 1 u η, chọn η = (−usinv, ucosv, 0) ξ = (cosv, sinv, 0) Vậy mặt tham số cần tìm: X(u, v) = (ucosv, usinv, 0) (Mặt phẳng).  2.3.2 Mặt tuyến tính Mặt S được gọi là mặt tuyến tính sơ cấp nếu qua mỗi điểm p của mặt kẻ được một đường thẳng có chung một đoạn thẳng (chứa p) với mặt nhưng hai đầu mút của đoạn thẳng không thuộc mặt. Ví dụ 2.3.2.1. Giả sử α(u), ω(u) là hai hàm vector xác định trong lân cận điểm u = u0, thỏa mãn ω(u0) 6= 0, ω(u0) ∧ α(u0) 6= −→0 . Khi đó, phương trình vector: X(u, v) = α(u) + vω(u), |u− u0| < ε, |v| < ε với ε đủ nhỏ xác định một mặt tuyến tính sơ cấp. Chứng minh: Ta có Xu ∧ Xv 6= −→0 với ε đủ nhỏ vì khi (u, v) = (u0, 0) thì Xu ∧ Xv = α(u0) ∧ ω(u0) 6= −→0 . Mặt này là mặt tuyến tính sơ cấp vì qua điểm tùy ý (u ′ , v ′ ) có đường thẳng M: α(u ′ ) + vω(u ′ ), có chung đoạn thẳng xác định bởi |v| ≤ ε với mặt nhưng hai đầu mút của đoạn thẳng này không thuộc mặt. Mặt S được gọi là mặt tuyến tính tổng quát nếu tại mỗi điểm của nó có lân cận là mặt tuyến tính sơ cấp. 29 Các đoạn thẳng nằm trên mặt tuyến tính được gọi là các đường sinh thẳng. Vì mỗi điểm của mặt tuyến tính đều có đường sinh thẳng đi qua nên tại mỗi điểm của mặt tuyến tính đều có phương mà theo đó độ cong pháp dạng bằng 0. Từ đó, mặt tuyến tính không có điểm eliptic, độ cong Gauss của nó luôn âm hoặc bằng 0, các đường sinh thẳng đều là các đường tiệm cận. Một tính chất cơ bản của mặt tuyến tính là tại lân cận đủ nhỏ của mỗi điểm trên mặt tuyến tính đều tồn tại tham số hóa dạng X(u, v) = α(u)+vω(u). Có một lớp quan trọng các mặt tuyến tính là mặt khả triển. Mặt S được gọi là mặt khả triển nếu nó đẳng cấu địa phương với mặt phẳng, tức là tại mỗi điểm của mặt có lân cận đẳng cấu với một miền trong mặt phẳng. Như thế, độ cong Gauss tại mỗi điểm bằng 0 là cần và đủ để một mặt thành mặt khả triển. Giả sử S(Fα) là họ mặt trơn một tham số. Mặt trơn F được gọi là hình bao của họ S nếu tại mỗi điểm, F tiếp xúc với ít nhất một mặt của họ và tại mỗi miền của mặt có vô số mặt của họ tiếp xúc với nó. Từ đó, ta có các kết quả sau: Bổ đề ([2, Định lý 3.1.7]): Hình bao của họ các mặt phẳng một tham số trong các trường hợp cơ bản hoặc là mặt trụ hoặc là mặt nón hoặc là mặt tạo bởi các tiếp tuyến của một đường cong trong không gian. Hệ quả 2.3.2.1. ([2, nhận xét 3.4.4]) Mặt là hình bao của họ mặt phẳng một tham số luôn luôn là mặt khả triển. Hệ quả 2.3.2.2. ([2, nhận xét 3.4.4]) Mặt khả triển là mặt tuyến tính mà mặt phẳng tiếp xúc dọc theo các đường sinh thẳng không thay đổi. Chứng minh: Chọn một tham số hóa địa phương của mặt là X(u, v) = α(u) + vω(u). Mặt phẳng tiếp xúc dọc theo đường sinh thẳng không thay đổi nên n là hằng số. Do đó nv = 0. Khi đó N = − = − = 0. M = − = − = 0. Từ đây suy ra K = LN −M2 EG− F 2 = 0. Vậy mặt khả triển là mặt tuyến tính mà mặt phẳng tiếp xúc dọc theo các đường sinh thẳng không thay đổi. 30 2.3.3 Mặt tròn xoay có độ cong Gauss bằng 0, hằng dương, hằng âm Trong mặt phẳng xOz, xét đường cong (γ) có phương trình x = x(z). Khi quay đường này quanh trục Oz ta nhận được mặt tròn xoay có phương trình tham số X(u, v) = (x(u)cosv, x(u)sinv, u). Ta có: Xu = (x ′ (u)cosv, x ′ (u)sinv, 1), Xv = (−x(u)sinv, x(u)cosv, 0). Suy ra E = x ′ (u)2 + 1, F = 0, G = x2(u). Khi đó: K = − 1 2 √ EG (( Ev√ EG )v + ( Gu√ EG )u) = − x ′′ x(1 + x′2)2 . Bây giờ, ta sẽ xác định mặt tròn xoay có độ cong Gauss K = 0, K hằng dương, K hằng âm. a) Mặt tròn xoay có độ cong Gauss K = 0 Trường hợp 1: z = a, a là hằng số. Khi đó mặt tròn xoay nhận được là mặt phẳng qua điểm (0, 0, a), và vuông góc với trục Oz. Trường hợp 2: z = a, x = bz, a, b ∈ R. Khi đó, "mặt tròn xoay" là một đường tròn bán kính ab, tọa độ tâm (0, 0, a), nằm trên mặt phẳng vuông góc với Ox. Trường hợp 3: z không là hằng số. Khi đó K = 0 ⇔ x′′(u) = 0 ⇒ x′u = 0 hoặc x ′ u = a. Nếu x(u) = c, mặt tròn xoay nhận được là mặt trụ. Nếu x(u) = au, mặt tròn xoay nhận được là mặt nón. b) Mặt tròn xoay có độ cong Gauss K là hằng số dương Từ K = − x ′′ x(1 + x′2)2 Nhân hai vế với xx ′ , ta được: Kxx ′ = − x ′ x ′′ (1 + x′2)2 . 31 Suy ra ⇒ Kx2 = 1 1 + x′2 + C. Chọn C = 0 ⇒ Kx2 = 1 1 + x′2 . Đặt x ′ = tanu. Khi đó Kx2 = cos2u ⇒ x = 1√ K cosu. dx dz = tanu ⇒ dz = 1 tanu dx = cosu sinu . 1√ K (−sinu)du = − 1√ K cosudu. Từ đó z = − 1√ K sinu. Suy ra (γ) là đường tròn. Mặt tham số nhận được là mặt cầu bán kính 1√ K X(u, v) = ( 1√ K cosucosv, 1√ K cosusinv,− 1√ K sinu). c) Mặt tròn xoay có độ cong Gauss K là hằng số âm Từ K = − x ′′ x(1 + x′2)2 Nhân hai vế với xx ′ , ta được: Kxx ′ = − x ′ x ′′ (1 + x′2)2 Suy ra Kx2 = 1 1 + x′2 + C. Chọn C = −1 ⇒ Kx2 = − −x ′2 1 + x′2 . Đặt x ′ = tanu. Khi đó Kx2 = −sin2u ⇒ x = 1√−Ksinu. dx dz = tanu ⇒ dz = 1√−K cos2u sinu du = 1√−K ( 1 sinu − sinu)du. Do đó z = 1√−K (cosu+ ln(tan u 2 )). Suy ra (γ) là đường tractris, mặt nhận được là mặt giả cầu X(u, v) = ( 1√−Ksinucosv, 1√−Ksinusinv, 1√−K (cosu+ lntan( u 2 )).  32 KẾT LUẬN Trong khóa luận này, chúng tôi đã thu được một số kết quả thể hiện trong chương 2, cụ thể như sau: 1. Khảo sát hệ phương trình Gauss-Codazzi của mặt chính qui trong R3, một số hệ quả có được từ các phương trình này và ứng dụng để xác định độ cong Gauss theo các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất qua một số ví dụ. 2. Trình bày định lý cơ bản của lý thuyết mặt và ứng dụng để xác định mặt dựa vào dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của một số mặt đơn giản. Từ đó, ứng dụng để xác định mặt tròn xoay nhận giá trị độ cong Gauss bằng không, hằng âm, hằng dương. Do điều kiện không cho phép, trong khóa luận này tôi chưa nêu được phương pháp ứng dụng định lý cơ bản của lý thuyết mặt để xác định mặt dựa vào dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai cho trường hợp tổng quát. Do khả năng và thời gian có hạn nên khóa luận này không thể tránh khỏi những thiếu sót cả về nội dung lẫn cách trình bày. Tôi rất mong nhận được ý kiến của quý thầy cô và bạn đọc. Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các bạn đã giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Huế, ngày 05 tháng 05 năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Hoa 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Đạo Dõng (2001), Cơ sở hình học vi phân, NXBGD. [2] Nguyễn Việt Hải (2005), Hình học vi phân, NXB Hải Phòng. [3] Đoàn Thế Hiếu (2009), Bài giảng hình học vi phân , Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế. [4] Theodore Shifrin(2010), A First Course in Curves and Surfaces , Lecture Notes. 34