Bài giảng Toán rời rạc - Bài 17, Phần 2: Tìm kiếm trên đồ thị - Trần Vĩnh Đức

Tìm kiếm trên đồ thị (Version 0.5) Trần Vĩnh Đức HUST Ngày 16 tháng 9 năm 2019 1 / 58 Tài liệu tham khảo ▶ S. Dasgupta, C. H. Papadimitriou, and U. V. Vazirani, Algorithms, July 18, 2016. ▶ Chú ý: Nhiều hình vẽ trong tài liệu được lấy tùy tiện mà chưa xin phép. 2 / 58 Nội dung Biểu diễn đồ thị Tìm kiếm theo chiều sâu trên đồ thị vô hướng Tìm kiếm theo chiều sâu trên đồ thị có hướng Thành phần liên thông mạnh Đồ thị ▶ Một đồ thị xác định bởi một tập đỉnh (còn gọi là nút) V và bởi các cạnh E giữa các cặp đỉnh được chọn. ▶ Đồ thị có thể vô hướng: cạnh e = {u, v} ▶ hoặc có hướng e = (u, v). 4 / 58 Biểu diễn đồ thị dùng Ma trận kề Nếu đồ thị có n = |V| đỉnh v1, v2, . . . , vn, thì ma trận kề là một mảng n× n với phần tử (i, j) của nó là aij = { 1 nếu có cạnh từ vi tới vj 0 ngược lại. Ví dụ v1 v2 v3 A = 1 1 10 0 1 0 1 0  5 / 58 Dùng ma trận kề có hiệu quả? ▶ Có thể kiểm tra có cạnh nối giữa cặp đỉnh bất kỳ chỉ cần một lần truy cập bộ nhớ. ▶ Tuy nhiên, không gian lưu trữ là O(n2) 6 / 58 Biểu diễn đồ thị dùng danh sách kề ▶ Dùng một mảng Adj gồm |V| danh sách. ▶ Với mỗi đỉnh u ∈ V, phần tử Adj[u] lưu trữ danh sách các hàng xóm của u. Có nghĩa rằng: Adj[u] = {v ∈ V | (u, v) ∈ E}. Ví dụ 0 1 2 Adj[0] = {0, 1, 2} Adj[1] = {2} Adj[2] = {1} 7 / 58 Dùng danh sách kề có hiệu quả? ▶ Có thể liệt kê các đỉnh kề với một đỉnh cho trước một cách hiệu quả. ▶ Nó cần không gian lưu trữ là O(|V|+ |E|). Ít hơn O(|V|2) rất nhiều khi đồ thị ít cạnh. 8 / 58 Nội dung Biểu diễn đồ thị Tìm kiếm theo chiều sâu trên đồ thị vô hướng Tìm kiếm theo chiều sâu trên đồ thị có hướng Thành phần liên thông mạnh ptg12441863 Adjacency-lists data structure. 4HESTANDARDGRAPHREPRESENTATIONFORGRAPHSTHATARE NOT DENSE IS CALLED THEadjacency-lists data structureWHEREWE KEEP TRACK OF ALL THE VERTICESADJACENTTOEACHVERTEXONALINKEDLISTTHATISASSOCIATEDWITHTHATVERTEX7E MAINTAINANARRAYOFLISTSSOTHATGIVENAVERTEXWECANIMMEDIATELYACCESSITSLIST4O IMPLEMENTLISTSWEUSEOURBag!$4FROMSection 1.3WITHALINKED LISTIMPLEMENTA- TIONSOTHATWECANADDNEWEDGESINCONSTANTTIMEANDITERATETHROUGHADJACENTVERTI- CESINCONSTANTTIMEPERADJACENTVERTEX4HEGraphIMPLEMENTATIONONPAGEISBASED ONTHISAPPROACHANDTHElGUREONTHEFACINGPAGEDEPICTSTHEDATASTRUCTURESBUILTBY THISCODEFORtinyG.txt4OADDANEDGECONNECTINGv and w, we add w to vSADJACENCY list and v to wSADJACENCYLIST4HUSEACHEDGEAPPEARStwiceINTHEDATASTRUCTURE4HIS GraphIMPLEMENTATIONACHIEVESTHEFOLLOWINGPERFORMANCECHARACTERISTICS n 3PACEUSAGEPROPORTIONALTOV + E n #ONSTANTTIMETOADDANEDGE n 4IMEPROPORTIONALTOTHEDEGREEOFvTOITERATETHROUGHVERTICESADJACENTTOv CONSTANTTIMEPERADJACENTVERTEXPROCESSED 4HESECHARACTERISTICSAREOPTIMALFORTHISSETOFOPERATIONSWHICHSUFlCEFORTHEGRAPH PROCESSINGAPPLICATIONSTHATWECONSIDER0ARALLELEDGESANDSELF LOOPSAREALLOWEDWE DONOTCHECKFORTHEM Note)TISIMPORTANTTOREALIZETHATTHEORDERINWHICHEDGES AREADDEDTOTHEGRAPHDETERMINESTHEORDERINWHICHVERTICESAPPEARINTHEARRAYOF ADJACENCY LISTS BUILT BYGraph-ANY DIFFERENT AR- RAYSOFADJACENCYLISTSCANREPRESENTTHESAMEGRAPH 7HENUSINGTHECONSTRUCTORTHATREADSEDGESFROM ANINPUTSTREAMTHISMEANSTHATTHEINPUTFORMAT AND THE ORDER INWHICH EDGES ARE SPECIlED IN THE lLE DETERMINE THE ORDER INWHICH VERTICES APPEAR INTHEARRAYOFADJACENCYLISTSBUILTBYGraph3INCE OURALGORITHMSUSEadj()ANDPROCESSALLADJACENT VERTICESWITHOUTREGARDTOTHEORDERINWHICHTHEY APPEAR IN THE LISTS THIS DIFFERENCE DOES NOT AFFECT THEIR CORRECTNESS BUT IT IS IMPORTANT TOBEAR IT IN MINDWHENDEBUGGING OR FOLLOWING TRACES 4O FA- CILITATETHESEACTIVITIESWEASSUMETHATGraphHASA TESTCLIENTTHATREADSAGRAPHFROMTHEINPUTSTREAM NAMEDASCOMMAND LINEARGUMENTANDTHENPRINTS ITRELYINGONTHEtoString() IMPLEMENTATIONON PAGE TOSHOWTHEORDERINWHICHVERTICESAP- PEARINADJACENCYLISTSWHICHISTHEORDERINWHICH ALGORITHMSPROCESSTHEMSEEExercise 4.1.7  13 13 0 5 4 3 0 1 9 12 6 4 5 4 0 2 11 12 9 10 0 6 7 8 9 11 5 3 % java Graph tinyG.txt 13 vertices, 13 edges 0: 6 2 1 5 1: 0 2: 0 3: 5 4 4: 5 6 3 5: 3 4 0 6: 0 4 7: 8 8: 7 9: 11 10 12 10: 9 11: 9 12 12: 11 9 tinyG.txt Output for list-of-edges input V E first adjacent vertex in input is last on list second representation of each edge appears in red 5254.1 n Undirected Graphs Câu hỏi Từ một đỉnh của đồ thị ta có thể đi tới những đỉnh nào? 10 / 58 Tìm đường trong mê cung P1: OSO/OVY P2: OSO/OVY QC: OSO/OVY T1: OSO das23402 Ch03 GTBL020-Dasgupta-v10 August 10, 2006 19:18 Chapter 3 Algorithms 83 Figure 3.2 Exploring a graph is rather like navigating a maze. A C B F D H I J K E G L H G DA C F K L J I B E 3.2 Depth-first search in undirected graphs 3.2.1 Exploring mazes Depth-first search is a surprisingly versatile linear-time procedure that reveals a wealth of information about a graph. The most basic question it addresses is, What parts of the graph are reachable from a given vertex? To understand this task, try putting yourself in the position of a computer that has just been given a new graph, say in the form of an adjacency list. This representation offers just one basic operation: finding the neighbors of a vertex. With only this primitive, the reachability problem is rather like exploring a labyrinth (Figure 3.2). You start walking from a fixed place andwhenever you arrive at any junction (vertex) there are a variety of passages (edges) you can follow. A careless choice of passages might lead you around in circles or might cause you to overlook some accessible part of the maze. Clearly, you need to record some intermediate information during exploration. This classic challenge has amused people for centuries. Everybody knows that all you need to explore a labyrinth is a ball of string and a piece of chalk. The chalk prevents looping, by marking the junctions you have already visited. The string always takes you back to the starting place, enabling you to return to passages that you previously saw but did not yet investigate. How can we simulate these two primitives, chalk and string, on a computer? The chalk marks are easy: for each vertex, maintain a Boolean variable indicating whether it has been visited already. As for the ball of string, the correct cyber- analog is a stack. After all, the exact role of the string is to offer two primitive operations—unwind to get to a new junction (the stack equivalent is to push the new vertex) and rewind to return to the previous junction (pop the stack). Instead of explicitly maintaining a stack, we will do so implicitly via recursion (which is implemented using a stack of activation records). The resulting algorithm Hình: Tìm kiếm trên đồ thị cũng giống tìm đường trong mê cung 11 / 58 procedure explore(G, v) Input: đồ thị G = (V,E); v ∈ V Output: visited(u)=true với mọi đỉnh u có thể đến được từ v visited(v) = true previsit(v) for each edge (v, u) ∈ E: if not visited(u): explore(G, u) postvisit(v) 12 / 58 Ví dụ: Kết quả chạy explore(G,A) P1: OSO/OVY P2: OSO/OVY QC: OSO/OVY T1: OSO das23402 Ch03 GTBL020-Dasgupta-v10 August 10, 2006 19:18 Chapter 3 Algorithms 83 Figure 3.2 Exploring a graph is rather like navigating a maze. A C B F D H I J K E G L H G DA C F K L J I B E 3.2 Depth-first search in undirected graphs 3.2.1 Exploring mazes Depth-first search is a surprisingly versatile linear-time procedure that reveals a wealth of information about a graph. The most basic question it addresses is, What parts of the graph are reachable from a given vertex? To understand this task, try putting yourself in the position of a computer that has just been given a new graph, say in the form of an adjacency list. This representation offers just one basic operation: finding the neighbors of a vertex. With only this primitive, the reachability problem is rather like exploring a labyrinth (Figure 3.2). You start walking from a fixed place andwhenever you arrive at any junction (vertex) there are a variety of passages (edges) you can follow. A careless choice of passages might lead you around in circles or might cause you to overlook some accessible part of the maze. Clearly, you need to record some intermediate information during exploration. This classic challenge has amused people for centuries. Everybody knows that all you need to explore a labyrinth is a ball of string and a piece of chalk. The chalk prevents looping, by marking the junctions you have already visited. The string always takes you back to the starting place, enabling you to return to passages that you previously saw but did not yet investigate. How can we simulate these two primitives, chalk and string, on a computer? The chalk marks are easy: for each vertex, maintain a Boolean variable indicating whether it has been visited already. As for the ball of string, the correct cyber- analog is a stack. After all, the exact role of the string is to offer two primitive operations—unwind to get to a new junction (the stack equivalent is to push the new vertex) and rewind to return to the previous junction (pop the stack). Instead of explicitly maintaining a stack, we will do so implicitly via recursion (which is implemented using a stack of activation records). The resulting algorithm P1: OSO/OVY P2: OSO/OVY QC: OSO/OVY T1: OSO das23402 Ch03 GTBL020-Dasgupta-v10 August 10, 2006 19:18 Chapter 3 Algorithms 85 Figure 3.4 The result of explore(A) on the graph of Figure 3.2. I E J C F B A D G H For instance, while B was being visited, the edge B − E was noticed and, since E was as yet unknown, was traversed via a call to explore(E ). These solid edges form a tree (a connected graph with no cycles) and are therefore called tree edges. The dotted edges were ignored because they led back to familiar terrain, to vertices previously visited. They are c lled back edges. 3.2.2 Depth-first search The explore procedure visits only the portion of the graph reachable from its starting point. To examine the rest of the graph, we need to restart the procedure elsewhere, at some vertex that has not yet been visited. The algorithm of Figure 3.5, called depth-first search (DFS), does this repea edly until the entire graph h been traversed. Figure 3.5 Depth-first search. procedure dfs(G) for all v ∈ V: visited(v) = false for all v ∈ V: if not visited(v): explore(v) The first step in analyzing the running time of DFS is to observe that each vertex is explore’d just once, thanks to the visited array (the chalk marks). During the exploration of a vertex, there are the following steps: 1. Some fixed amount of work—marking the spot as visited, and the pre/postvisit. 13 / 58 Tìm kiếm theo chiều sâu procedure dfs(G) for all v ∈ V: visited(v) = false for all v ∈ V : if not visited(v): explore(G, v) 14 / 58 Ví dụ: Đồ thị và Rừng DFS P1: OSO/OVY P2: OSO/OVY QC: OSO/OVY T1: OSO das23402 Ch03 GTBL020-Dasgupta-v10 August 10, 2006 19:18 86 3.2 Depth-first search in undirected graphs 2. A loop in which adjacent edges are scanned, to see if they lead somewhere new. This loop takes a different amount of time for each vertex, so let’s consider all vertices together. The total work done in step 1 is then O(|V |). In step 2, over the course of the entire DFS, each edge {x, y} ∈ E is examined exactly twice, once during explore(x) and once during explore(y). The overall time for step 2 is therefore O(|E |) and so the depth-first search has a running time of O(|V | + |E |), linear in the size of its input. This is as efficient as we could possibly hope for, since it takes this long even just to read the adjacency list. Figure 3.6 (a) A 12-node graph. (b) DFS search forest. (a) A B C D E F G H I J K L (b) A B E I J G K FC D H L 1,10 2,3 4,9 5,8 6,7 11,22 23,24 12,21 13,20 14,17 15,16 18,19 Figure 3.6 shows the outcome of depth-first search on a 12-node graph, once again breaking ties alphabetically (ignore the pairs of numbers for the time being). The outer loop of DFS calls explore three times, on A, C , and finally F . As a result, there are three trees, each rooted at one of these starting points. Together they constitute a forest. 3.2.3 Connectivity in undirected graphs An undirected graph is connected if there is a path between any pair of vertices. The graph of Figure 3.6 is not connected because, for instance, there is no path from A to K . However, it does have three disjoint connected regions, corresponding to the following sets of vertices: {A, B, E , I , J } {C , D,G , H, K , L} {F }. These regions are called connected components: each of them is a subgraph that is internally connected but has no edges to the remaining vertices. When explore is started at a particular vertex, it identifies precisely the connected component containing that vertex. And each time the DFS outer loop calls explore, a new connected component is picked out. 15 / 58 Bài tập Xây dựng rừng DFS cho đồ thị sau với các đỉnh lấy theo thứ tự từ điển. Vẽ cả những cạnh nét đứt. 16 / 58 Rừng DFS và số thành phần liên thông P1: OSO/OVY P2: OSO/OVY QC: OSO/OVY T1: OSO das23402 Ch03 GTBL020-Dasgupta-v10 August 10, 2006 19:18 86 3.2 Depth-first search in undirected graphs 2. A loop in which adjacent edges are scanned, to see if they lead somewhere new. This loop takes a different amount of time for each vertex, so let’s consider all vertices together. The total work done in step 1 is then O(|V |). In step 2, over the course of the entire DFS, each edge {x, y} ∈ E is examined exactly twice, once during explore(x) and once during explore(y). The overall time for step 2 is therefore O(|E |) and so the depth-first search has a running time of O(|V | + |E |), linear in the size of its input. This is as efficient as we could possibly hope for, since it takes this long even just to read the adjacency list. Figure 3.6 (a) A 12-node graph. (b) DFS search forest. (a) A B C D E F G H I J K L (b) A B E I J G K FC D H L 1,10 2,3 4,9 5,8 6,7 11,22 23,24 12,21 13,20 14,17 15,16 18,19 Figure 3.6 shows the outcome of depth-first search on a 12-node graph, once again breaking ties alphabetically (ignore the pairs of numbers for the time being). The outer loop of DFS calls explore three times, on A, C , and finally F . As a result, there are three trees, each rooted at one of these starting points. Together they constitute a forest. 3.2.3 Connectivity in undirected graphs An undirected graph is connected if there is a path between any pair of vertices. The graph of Figure 3.6 is not connected because, for instance, there is no path from A to K . However, it does have three disjoint connected regions, corresponding to the following sets of vertices: {A, B, E , I , J } {C , D,G , H, K , L} {F }. These regions are called connected components: each of them is a subgraph that is internally connected but has no edges to the remaining vertices. When explore is started at a particular vertex, it identifies precisely the connected component containing that vertex. And each time the DFS outer loop calls explore, a new connected component is picked out. v ccnum[v] A 1 B 1 C 2 D 2 E 1 F 3 G 2 H 2 I 1 J 1 Biến ccnum[v] để xác định thành phần liên thông của đỉnh v. 17 / 58 Tính liên thông trong đồ thị vô hướng procedure dfs(G) cc = 0 for all v ∈ V: visited(v) = false for all v ∈ V: if not visited(v): cc = cc + 1 explore(G, v) procedure explore(G, v) visited(v) = true previsit(v) for each edge (v, u) ∈ E: if not visited(u): explore(G, u) postvisit(v) procedure previsit(v) ccnum[v] = cc 18 / 58 Bài tập Hãy cài đặt chương trình tìm số thành phần liên thông của một đồ thị vô hướng. 19 / 58 previsit và postvisit ▶ Lưu thời gian lần đầu đến đỉnh trong mảng pre ▶ Lưu thời gian lần cuối rời khỏi đỉnh trong mảng post ▶ Để tính hai thông tin này ta dùng một bộ đếm clock, khởi tạo bằng 1, và được cập nhật như sau: procedure previsit(v) pre[v] = clock clock = clock + 1 procedure postvisit(v) post[v] = clock clock = clock + 1 20 / 58 Bài tập Vẽ rừng DFS với cả số pre và post cho mỗi đỉnh cho đồ thị sau. 21 / 58 Tính chất của previsit và postvisit Mệnh đề Với mọi đỉnh u và v, hai khoảng [ pre(u), post(u) ] và [ pre(v), post(v) ] ▶ hoặc là rời nhau, ▶ hoặc là có một khoảng chứa một khoảng khác. Tại sao? vì [ pre(u), post(u) ] là khoảng thời gian đỉnh u nằm trong ngăn xếp. Cấu trúc vào-sau, ra-trước đảm bảo tính chất này. 22 / 58 Nội dung Biểu diễn đồ thị Tìm kiếm theo chiều sâu trên đồ thị vô hướng Tìm kiếm theo chiều sâu trên đồ thị có hướng Thành phần liên thông mạnh Bài tập Hãy vẽ rừng DFS với số pre và post trên mỗi đỉnh cho đồ thị có hướng sau. P1: OSO/OVY P2: OSO/OVY QC: OSO/OVY T1: OSO das23402 Ch03 GTBL020-Dasgupta-v10 August 10, 2006 19:18 88 3.3 Depth-first search in directed graphs Figure 3.7 DFS on a directed graph. AB C F DE G H A H B C E D F G 12,15 13,14 1,16 2,11 4,7 5,6 8,9 3,10 In further analyzing the directed case, it helps to have terminology for important relationships between nodes of a tree. A is the root of the search tree; everything else is its descendant. Similarly, E has descendants F , G , and H , and conversely, is an ancestor of these three nodes. The family analogy is carried further: C is the parent of D, which is its child. For undirected graphs we distinguished between tree edges and nontree edges. In the directed case, there is a slightly more elaborate taxonomy: B ac k Forw ard Cross Tr ee A B C D DFS tree Tree edges are actually part of the DFS forest. Forward edges lead from a node to a nonchild descendant in the DFS tree. Back edges lead to an ancestor in the DFS tree. Cross edges lead to neither descendant nor ancestor; they therefore lead to a node that has already been completely explored (that is, already postvisited). Figure 3.7 has two forward edges, two back edges, and two cross edges. Can you spot them? Ancestor and descendant relationships, as well as edge types, can be read off directly from pre and post numbers. Because of the depth-first exploration strategy, vertex u is an ancestor of vertex v exactly in those cases where u is discovered first and 24 / 58 Lời giải P1: OSO/OVY P2: OSO/OVY QC: OSO/OVY T1: OSO das23402 Ch03 GTBL020-Dasgupta-v10 August 10, 2006 19:18 88 3.3 Depth-first search in directed graphs Figure 3.7 DFS on a directed graph. AB C F DE G H A H B C E D F G 12,15 13,14 1,16 2,11 4,7 5,6 8,9 3,10 In further analyzing the directed case, it helps to have terminology for important relationships between nodes of a tree. A is the root of the search tree; everything else is its descendant. Similarly, E has descendants F , G , and H , and conversely, is an ancestor of these three nodes. The family analogy is carried further: C is the parent of D, which is its child. For undirected graphs we distinguished between tree edges and nontree edges. In the directed case, there is a slightly more elaborate taxonomy: B ac k Forw ard Cross Tr ee A B C D DFS tree Tree edges are actually part of the DFS forest. Forward edges lead from a node to a nonchild descendant in the DFS tree. Back edges lead to an ancestor in the DFS tree. Cross edges lead to neither descendant nor ancestor; they therefore lead to a node that has already been completely explored (that is, already postvisited). Figure 3.7 has two forward edges, two back edges, and two cross edges. Can you spot them? Ancestor and descendant relationships, as well as edge types, can be read off directly from pre and post numbers. Because of the depth-first exploration strategy, vertex u is an ancestor of vertex v exactly in those cases where u is discovered first and 25 / 58 Các kiểu cạnh P1: OSO/OVY P2: OSO/OVY QC: OSO/OVY T1: OSO das23402 Ch03 GTBL020-Dasgupta-v10 August 10, 2006 19:18 88 3.3 Depth-first search in directed graphs Figure 3.7 DFS on a directed graph. AB C F DE G H A H B C E D F G 12,15 13,14 1,16 2,11 4,7 5,6 8,9 3,10 In further analyzing the directed case, it helps to have terminology for important relationships between nodes of a tree. A is the root of the search tree; everything else is its descendant. Similarly, E has descendants F , G , and H , and conversely, is an ancestor of these three nodes. The family analogy is carried further: C is the parent of D, which is its child. For undirected graphs we distinguished between tree edges and nontree edges. In the directed case, there is a slightly more elaborate taxonomy: B ac k Forw ard Cross Tr ee A B C D DFS tree Tree edges are actually part of the DFS forest. Forward edges lead from a node to a nonchild descendant in the DFS tree. Back edges lead to an ancestor in the DFS tree. Cross edges lead to neither descendant nor ancestor; they therefore lead to a node that has already been completely explored (that is, already postvisited). Figure 3.7 has two forward edges, two back edges, and two cross edges. Can you spot them? Ancestor and descendant relationships, as well as edge types, can be read off directly from pre and post numbers. Because of the depth-first exploration strategy, vertex u is an ancestor of vertex v exactly in those cases where u is discovered first and Tree Edges (Cạnh cây) là cạnh thuộc rừng DFS. Forward Edges (Cạnh tới) là cạnh dẫn từ một nút tới một nút con cháu của nó nhưng không thuộc rừng DFS. Back Edges (Cạnh ngược) là cạnh dẫn từ một nút tới một tổ tiên của nó. Cross Edges (Cạnh ngang) là cạnh dẫn từ một nút tới một nút không phải tổ tiên cũng k ông phải con cháu của nó. 26 / 58 Bài tập Thực hiện thuật toán DFS trên mỗi đồ thị sau; nếu phải thực hiện lựa chọn đỉnh, chọn đỉnh theo thứ tự từ điển. Phân loại mỗi cạnh (tree edge, forward edge, back edge, hay cross edge) và đưa ra số pre và post cho mỗi đỉnh. 27 / 58 Các khả năng cho cạnh (u, v) Thứ tự pre/post của (u, v) Kiểu cạnh[ u [ v ] v ] u Tree/forward[ v [ u ] u ] v Back[ v ] v [ u ] u Cross Câu hỏi Tại sao các kiểu thứ tự khác không thể xảy ra? 28 / 58 Mệnh đề Một đồ thị có hướng có chu trình nếu và chỉ nếu thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu tạo ra back edge. Chứng minh. P1: OSO/OVY P2: OSO/OVY QC: OSO/OVY T1: OSO das23402 Ch03 GTBL020-Dasgupta-v10 August 10, 2006 19:18 88 3.3 Depth-first search in directed graphs Figure 3.7 DFS on a directed graph. AB C F DE G H A H B C E D F G 12,15 13,14 1,16 2,11 4,7 5,6 8,9 3,10 In further analyzing the directed case, it helps to have terminology for important relationships between nodes of a tree. A is the root of the search tree; everything else is its descendant. Similarly, E has descendants F , G , and H , and conversely, is an ancestor of these three nodes. The family analogy is carried further: C is the parent of D, which is its child. For undirected graphs we distinguished between tree edges and nontree edges. In the directed case, there is a slightly more elaborate taxonomy: B ac k Forw ard Cross Tr ee A B C D DFS tree Tree edges are actually part of the DFS forest. Forward edges lead from a node to a nonchild descendant in the DFS tree. Back edges lead to an ancestor in the DFS tree. Cross edges lead to neither descendant nor ancestor; they therefore lead to a node that has already been completely explored (that is, already postvisited). Figure 3.7 has two forward edges, two back edges, and two cross edges. Can you spot them? Ancestor and descendant relationships, as well as edge types, can be read off directly from pre and post numbers. Because of the depth-first exploration strategy, vertex u is an ancestor of vertex v exactly in those cases where u is discovered first and ▶ Nếu (u, v) là back edge, thì u; v→ u là một chu trình. ▶ Ngược lại, giả sử đồ thị có chu trình C = v0 → v1 → · · · → vk → v0. Xét vi là đỉnh đầu tiên trong C được thăm theo DFS. Mọi đỉnh khác trong chu trình sẽ đạt được từ vi. Vậy thì vi−1 → vi là back edge. 29 / 58 Bài tập 1. Hãy mô tả một thuật toán kiểm tra liệu đồ thị có hướng cho trước có chu trình hay không. 2. Hãy cài đặt thuật toán này. 30 / 58 Đồ thị phi chu trình và sắp xếp topo ▶ Đồ thị phi chu trình (DAG) cho phép sắp thứ tự các đỉnh sao cho: Có cạnh (u, v) nếu và chỉ nếu u đứng trước v. ▶ Cách sắp thứ tự các đỉnh này gọi là sắp xếp topo. ▶ DAG cho phép mô hình hiệu quả các bài toán liên quan đến quan hệ nhân quả, phân cấp, phụ thuộc thời gian. ▶ Ví dụ: Mỗi môn học có môn tiên quyết (môn cần học trước). Một cách lựa chọn thứ tự học các môn là một cách sắp topo. 31 / 58 Đồ thị phi chu trình (DAG) P1: OSO/OVY P2: OSO/OVY QC: OSO/OVY T1: OSO das23402 Ch03 GTBL020-Dasgupta-v10 August 10, 2006 19:18 90 3.3 Depth-first search in directed graphs Figure 3.8 A directed acyclic graph with one source, two sinks, and four possible linearizations. A B C D E F out of bed; you have to be out of bed, but not yet dressed, to take a shower; and so on). The question then is, what is a valid order in which to perform the tasks? Such constraints are conveniently represented by a directed graph in which each task is a node, and there is an edge from u to v if u is a precondition for v. In other words, before performing a task, all the tasks pointing to it must be completed. If this graph has a cycle, there is no hope: no ordering can possibly work. If on the other hand the graph is a dag, we would like if possible to linearize (or topologically sort) it, to order the vertices one after the other in such a way that each edge goes from an earlier vertex to a later vertex, so that all precedence constraints are satisfied. In Figure 3.8, for instance, one valid ordering is B, A, D,C , E , F . (Can you spot the other three?) What types of dags can be linearized? Simple: All of them. And once again depth- first search tells us exactly how to do it: simply perform tasks in decreasing or- der of their post numbers. After all, the only edges (u, v) in a graph for which post(u) <post(v) are back edges (recall the table of edge types on page 88)—and we have seen that a dag cannot have back edges. Therefore: Property In a dag, every edge leads to a vertex with a lower post number. This gives us a linear-time algorithm for ordering the nodes of a dag. And, to- gether with our earlier observations, it tells us that three rather different-sounding properties—acyclicity, linearizability, and the absence of back edges during a depth- first search—are in fact one and the same thing. Since a dag is linearized by decreasing post numbers, the vertex with the smallest post number comes last in this linearization, and it must be a sink—no outgoing edges. Symmetrically, the one with the highest post is a source, a node with no incoming edges. Property Every dag has at least one source and at least one sink. The guaranteed existence of a source suggests an alternative approach to lineariza- tion: Phi chu trình⇐⇒ Không có Back Edge⇐⇒ Sắp topo 32 / 58 Bài tập Hãy đưa ra mọi cách sắp topo cho đồ thị phi chu trình sau: P1: OSO/OVY P2: OSO/OVY QC: OSO/OVY T1: OSO das23402 Ch03 GTBL020-Dasgupta-v10 August 10, 2006 19:18 90 3.3 Depth-first search in directed graphs Figure 3.8 A directed acyclic graph with one source, two sinks, and four possible linearizations. A B C D E F out of bed; you have to be out of bed, but not yet dressed, to take a shower; and so on). The question then is, what is a valid order in which to perform the tasks? Such constraints are conveniently represented by a directed graph in which each task is a node, and there is an edge from u to v if u is a precondition for v. In other words, before performing a task, all the tasks pointing to it must be completed. If this graph has a cycle, there is no hope: no ordering can possibly work. If on the other hand the graph is a dag, we would like if possible to linearize (or topologically sort) it, to order the vertices one after the other in such a way that each edge goes from an earlier vertex to a later vertex, so that all precedence constraints are satisfied. In Figure 3.8, for instance, one valid ordering is B, A, D,C , E , F . (Can you spot the other three?) What types of dags can be linearized? Simple: All of them. And once again depth- first search tells us exactly how to do it: simply perform tasks in decreasing or- der of their post numbers. After all, the only edges (u, v) in a graph for which post(u) <post(v) are back edges (recall the table of edge types on page 88)—and we have seen that a dag cannot have back edges. Therefore: Property In a dag, every edge leads to a vertex with a lower post number. This gives us a linear-time algorithm for ordering the nodes of a dag. And, to- gether with our earlier observations, it tells us that three rather different-sounding properties—acyclicity, linearizability, and the absence of back edges during a depth- first search—are in fact one and the same thing. Since a dag is linearized by decreasing post numbers, the vertex with the smallest post number comes last in this linearization, and it must be a sink—no outgoing edges. Symmetrically, the one with the highest post is a source, a node with no incoming edges. Property Every dag has at least one source and at least one sink. The guaranteed existence of a source suggests an alternative approach to lineariza- tion: 33 / 58 Tính chất của DAG Mệnh đề Trong DAG, nếu (u, v) ∈ E thì post(u) > post(v). Vậy thì các đỉnh của DAG có thể sắp topo theo thứ tự giảm dần của post. 34 / 58 Bài tập Xét một DAG có pre và post như dưới đây. Hãy đưa ra một thứ tự topo cho các đỉnh. 10 3 2 54 0 : [1, 12] 1 : [2, 7] 2 : [8, 9] 3 : [3, 6] 4 : [4, 5] 5 : [10, 11] 35 / 58 Bài tập 1. Hãy mô tả một thuật toán sắp Topo cho một DAG. 2. Hãy cài đặt thuật toán này. 36 / 58 Đỉnh nguồn và đỉnh hút P1: OSO/OVY P2: OSO/OVY QC: OSO/OVY T1: OSO das23402 Ch03 GTBL020-Dasgupta-v10 August 10, 2006 19:18 90 3.3 Depth-first search in directed graphs Figure 3.8 A directed acyclic graph with one source, two sinks, and four possible linearizations. A B C D E F out of bed; you have to be out of bed, but not yet dressed, to take a shower; and so on). The question then is, what is a valid order in which to perform the tasks? Such constraints are conveniently represented by a directed graph in which each task is a node, and there is an edge from u to v if u is a precondition for v. In other words, before performing a task, all the tasks pointing to it must be completed. If this graph has a cycle, there is no hope: no ordering can possibly work. If on the other hand the graph is a dag, we would like if possible to linearize (or topologically sort) it, to order the vertices one after the other in such a way that each edge goes from an earlier vertex to a later vertex, so that all precedence constraints are satisfied. In Figure 3.8, for instance, one valid ordering is B, A, D,C , E , F . (Can you spot the other three?) What types of dags can be linearized? Simple: All of them. And once again depth- first search tells us exactly how to do it: simply perform tasks in decreasing or- der of their post numbers. After all, the only edges (u, v) in a graph for which post(u) <post(v) are back edges (recall the table of edge types on page 88)—and we have seen that a dag cannot have back edges. Therefore: Property In a dag, every edge leads to a vertex with a lower post number. This gives us a linear-time algorithm for ordering the nodes of a dag. And, to- gether with our earlier observations, it tells us that three rather different-sounding properties—acyclicity, linearizability, and the absence of back edges during a depth- first search—are in fact one and the same thing. Since a dag is linearized by decreasing post numbers, the vertex with the smallest post number comes last in this linearization, and it must be a sink—no outgoing edges. Symmetrically, the one with the highest post is a source, a node with no incoming edges. Property Every dag has at least one source and at least one sink. The guaranteed existence of a source suggests an alternative approach to lineariza- tion: Trong đồ thị có hướng, ▶ Đỉnh nguồn (source) là đỉnh không có cạnh đi vào. ▶ Đỉnh hút (sink) là đỉnh không có cạnh đi ra. 37 / 58 Tính chất của DAG Mệnh đề (Nhắc lại) Trong DAG, nếu (u, v) ∈ E thì post(u) > post(v). Vậy thì các đỉnh của DAG có thể sắp topo theo thứ tự giảm dần của post. Và khi đó, đỉnh có post nhỏ nhất sẽ nằm cuối danh sách, và vậy thì nó phải là đỉnh hút. Tương tự, đỉnh có post lớn nhất là đỉnh nguồn. 38 / 58 Mệnh đề Mọi DAG đều có ít nhất một đỉnh nguồn và ít nhất một đỉnh hút. Bài tập Hãy chứng minh mệnh đề trên. 39 / 58 Thuật toán sắp topo (thứ 2) ▶ Tìm một đỉnh nguồn, ghi ra nó, và xóa nó khỏi đồ thị. ▶ Lặp lại cho đến khi đồ thị trở thành rỗng. 40 / 58 Thuật toán sắp topo (thứ 2) ▶ Tìm một đỉnh nguồn, ghi ra nó, và xóa nó khỏi đồ thị. ▶ Lặp lại cho đến khi đồ thị trở thành rỗng. 41 / 58 Thuật toán sắp topo (thứ 2) ▶ Tìm một đỉnh nguồn, ghi ra nó, và xóa nó khỏi đồ thị. ▶ Lặp lại cho đến khi đồ thị trở thành rỗng. 42 / 58 Thuật toán sắp topo (thứ 2) ▶ Tìm một đỉnh nguồn, ghi ra nó, và xóa nó khỏi đồ thị. ▶ Lặp lại cho đến khi đồ thị trở thành rỗng. 43 / 58 Bài tập Chạy thuật toán sắp topo trên đồ thị sau: 1. Chỉ ra số pre và post của mỗi đỉnh. 2. Tìm các đỉnh nguồn và đỉnh hút của đồ thị. 3. Tìm thứ tự topo theo thuật toán. 4. Đồ thị này có bao nhiêu thứ tự topo? 44 / 58 Câu hỏi ▶ Tại sao thuật toán trước cho một thứ tự topo? ▶ Nếu đồ thị có chu trình thì thuật toán gặp vấn gì? ▶ Làm thế nào để cài đặt thuật toán này trong thời gian tuyến tính? 45 / 58 Nội dung Biểu diễn đồ thị Tìm kiếm theo chiều sâu trên đồ thị vô hướng Tìm kiếm theo chiều sâu trên đồ thị có hướng Thành phần liên thông mạnh Thành phần liên thông mạnh Định nghĩa Hai đỉnh u và v của một đồ thị có hướng là liên thông nếu có một đường đi từ u tới v và một đường đi từ v tới u. Quan hệ này phân hoạch tập đỉnh V thành các tập rời nhau và ta gọi các tập rời nhau này là các thành phần liên thông mạnh. 47 / 58 Thành phần liên thông mạnh P1: OSO/OVY P2: OSO/OVY QC: OSO/OVY T1: OSO das23402 Ch03 GTBL020-Dasgupta-v10 August 10, 2006 19:18 Chapter 3 Algorithms 91 Find a source, output it, and delete it from the graph. Repeat until the graph is empty. Can you see why this generates a valid linearization for any dag? What happens if the graph has cycles? And, how can this algorithm be implemented in linear time? (Exercise 3.14.) 3.4 Strongly connected components 3.4.1 Defining connectivity for directed graphs Connectivity in undirected graphs is pretty straightforward: a graph that is not con- nected can be decomposed in a natural and obvious manner into several connected components (Figure 3.6 is a case in point). As we saw in Section 3.2.3, depth-first search does this handily, with each restart marking a new connected component. In directed graphs, connectivity is more subtle. In some primitive sense, the directed graph of Figure 3.9(a) is “connected”—it can’t be “pulled apart,” so to speak, with- out breaking edges. But this notion is hardly interesting or informative. The graph cannot be considered connected, because for instance there is no path from G to B or from F to A. The right way to define connectivity for directed graphs is this: Two nodes u and v of a directed graph are connected if there is a path from u to v and a path from v to u. Figure 3.9 (a) A directed graph and its strongly connected components. (b) The meta-graph. (a) A D E C F B HG K L JI (b) A B,E C,F D J,K,L G,H,I Hình: (a) Đồ thị có hướng và các thành phần liên thông mạnh. (b) Các thành phần liên thông mạnh tạo thành một DAG 48 / 58 Các thành phần liên thông mạnh trong đồ thị Mệnh đề Mọi đồ thị có hướng đều là một DAG của các thành phần liên thông mạnh. Vì nếu có chu trình đi qua một số thành phần liên thông mạnh thì các thành phần này phải được gộp chung lại thành một thành phần liên thông mạnh. 49 / 58 Một số tính chất Mệnh đề Nếu thủ tục con explore bắt đầu từ một đỉnh u, thì nó sẽ kết thúc khi mọi đỉnh có thể đến được từ u đã được thăm. 50 / 58 Một số tính chất Nếu ta gọi explore từ một đỉnh thuộc một thành phần liên thông mạnh hút, vậy thì ta sẽ nhận được đúng thành phần này. 51 / 58 Câu hỏi 1. Làm thế nào ta có thể tìm được một đỉnh mà ta chắc chắn nó thuộc vào thành phần liên thông mạnh hút? 2. Ta sẽ tiếp tục thế nào khi đã tìm được một thành phần liên thông mạnh? 52 / 58 Câu hỏi 1 Làm thế nào ta có thể tìm được một đỉnh mà ta chắc chắn nó thuộc vào thành phần liên thông mạnh hút? Xét GR là đồ thị ngược của G, tức là đồ thị GR đạt được từ G bằng cách đảo hướng các cạnh. Thành phần liên thông mạnh của G cũng là của GR. Tại sao? Và thành phần liên thông mạnh hút trong G sẽ là thành phần liên thông mạnh nguồn trong GR. Mệnh đề Đỉnh có số post lớn nhất theo DFS phải thuộc một thành phần liên thông mạnh nguồn. 53 / 58 Hình: Đồ thị G Hình: Đồ thị ngược GR của G 54 / 58 Câu hỏi 2 Ta sẽ tiếp tục thế nào khi đã tìm được một thành phần liên thông mạnh? Mệnh đề Nếu C và D là các thành phần liên thông mạnh, và có một cạnh từ một đỉnh trong C tới một đỉnh trong D, vậy thì số post lớn nhất trong C phải lớn hơn số post lớn nhất trong D. Khi ta tìm thấy một thành phần liên thông mạnh và xóa nó khỏi đồ thị G, vậy thì đỉnh với số post lớn nhất trong các đỉnh còn lại sẽ thuộc vào thành phần liên thông mạnh hút của đồ thị còn lại của G. 55 / 58 Thuật toán tìm thành phần liên thông mạnh 1. Chạy DFS trên đồ thị ngược GR của G. 2. Chạy thuật toán tìm thành phần liên thông (tương tự như của đồ thị vô hướng) trên đồ thị có hướng G; và trong khi chạy DFS, xử lý các đỉnh theo thức tự giảm dần theo số post của mỗi đỉnh (tìm được theo bước 1). 56 / 58 Bài tập Chạy thuật toán tìm thành phần liên thông mạnh trên đồ thị sau. 57 / 58 Bài tập Chạy thuật toán tìm thành phần liên thông mạnh trên đồ thị sau. 58 / 58