Bài tập Dao động

1 BÀI TẬP CHƯƠNG 12. DAO ĐỘNG Tóm tắt lý thuyết: 1. Dao động điều hòa Phương trình dao động: ( )0x Acos t= ω + ϕ , A > 0 x – li độ (độ dời); A – biên độ; 0ω - tần số góc; 0tω + ϕ - pha dao động; ϕ - pha ban đầu; 0 0 2T π= ω - chu kỳ; 0 0 0 1 T 2 ω ν = = π - tần số. (chữ ν được phiên âm /nju:/ - đọc thế nào tùy các bạn) Vận tốc: ( )0 0 0 0 dxv Asin t Acos t dt 2 π = = −ω ω + ϕ = ω ω + ϕ+    Gia tốc: ( ) ( )2 2 20 0 0 0 0 dva Acos t x Acos t dt = = −ω ω + ϕ = −ω = ω ω + ϕ+ π Năng lượng dao động điều hòa: Cơ năng: d tW W W= + Con lắc lò xo: ( ) ( )2 2 2 2 2 2 20 0 0 1 1 1 1W kA sin t kA cos t kA m A 2 2 2 2 = ω + ϕ + ω + ϕ = = ω Con lắc vật lý Là một vật rắn khối lượng M, quay xung quanh một trục cố định O nằm ngang. G là khối tâm, cách O một đoạn d. Tần số góc: 0 Mgd I ω = I – là mômen quán tính của con lắc với trục O. Chu kỳ: 0 IT 2 Mgd = π Trường hợp riêng: con lắc đơn: 0 2 Mgd Mgl g I Ml l ω = = = 2. Dao động cơ tắt dần Phương trình dao động: ( )t0x A e cos t−β= ω + ϕ , 2 trong đó: 2 20ω= ω −β - tần số góc của dao động tắt dần 2 2 0 2 2T π π= = ω ω −β - chu kỳ của dao động tắt dần t 0A A e −β= - là biên độ của dao động tắt dần, giảm dần theo thời gian. Giảm lượng loga: ( ) ( ) ( ) t T0 t T 0 A t A eln ln ln e T A t T A e −β β −β +δ = = = = β+ 3. Dao động cơ cưỡng bức Phương trình: ( )x Acos t= Ω +Φ Biên độ: ( )22 2 2 20 HA m 4 = Ω −ω + β Ω ; Pha ban đâu: 2 2 0 2tan − βΩΦ = Ω −ω Với điều kiện: 2 20 2 0ω − β > Tần gố góc cộng hưởng: Giá trị: 2 2ch 0 2Ω = ω − β tại đó biên độ dao động cưỡng bức đạt trị số cực đại. max 2 2 0 HA 2m = β ω −β 4. Dao động điện từ điều hòa Phương trình dao động của dòng điện: ( )0 0I I cos t= ω + ϕ Tần số góc riêng: 0 1 LC ω = Chu kỳ riêng: 0 2T 2 LCπ= = π ω Phương trình dao động của điện tích: 0 0 0 Iq cos t 2 π = ω + ϕ− ω   Phương trình dao động của hiệu điện thế giữa 2 bản tụ: 0 0 0 q Iu cos t C C 2 π = = ω + ϕ− ω   5. Dao động điện từ tắt dần Phương trình dao động của dòng điện: ( )t0I I e cos t−β= ω + ϕ Tần số góc: 2 2 2 o 1 R LC 2L  ω = ω −β = −     3 Chu kỳ: 2 2 2T 1 R LC 2L π π = = ω  −     6. Dao động điện từ cưỡng bức Phương trình dao động của dòng điện: ( )0I I cos t= Ω +Φ 0 0 2 2 I 1R L C ε =  + Ω − Ω  và 1L Ccot R Ω − ΩΦ = − Đặt 2 2 1Z R L C  = + Ω − Ω  - gọi là tổng trở của mạch dao động. LZ L= Ω - cảm kháng C 1Z C = Ω - dung kháng Cộng hưởng điện: ch 0 1 1L 0 C LC Ω − = →Ω = = ω Ω  00maxI R ε = 7. Tổng hợp 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số ( )1 1 1x a cos t= ω + ϕ ( )2 2 2x a cos t= ω + ϕ 2 2 1 2 1 2a a a 2a a cos= + + ∆ϕ 1 1 2 2 1 1 2 2 a sin a sintan a cos a cos ϕ + ϕ ϕ = ϕ + ϕ 8. Tổng hợp hai dao động điều hòa có phương vuông góc với nhau ( )1 1 1x a cos t= ω + ϕ ( )2 2 2x a cos t= ω + ϕ ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 12 2 1 2 1 2 x y xy2 cos sin a a a a + − ϕ − ϕ = ϕ − ϕ Các trường hợp đặc biệt: a) 2 1 2kϕ −ϕ = π 1 2 x y 0 a a − = đường thẳng trên góc phần tư 1 và 3 b) ( )2 1 2k 1ϕ −ϕ = + π 4 1 2 x y 0 a a + = đường thẳng trên góc phần tư 2 và 4 c) ( )2 1 2k 1 2 π ϕ − ϕ = + 2 2 2 2 1 2 x y 0 a a + = đường elip vuông Nếu a1 = a2 đường tròn BÀI TẬP 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.7, 8.8, 8.12, 8.13, 8.14, 8.15, 8.17, 8.18, 8.19, 8.21, 8.23, 8.24, 8.26, 8.27 Bài 8.2. một chất điểm dao động điều hòa với T = 24 s, pha ban đầu bằng 0. Hỏi tại những thời điểm nào (trong thời gian một chu kỳ đầu) li độ có giá trị tuyệt đối bằng 1/2 biên độ dao động. Bài giải: Phương trình dao động: 0x Acos t= ω Ta có: 0 2 2 rad/s T 24 12 π π π ω = = = 0 0 A 1 t 1 tx Acos t cos t cos k t 4 12k 2 2 12 2 12 3 π π π = ω = ± ⇒ ω = ± ⇒ = ± ⇒ = ± + π⇒ = ± + Với điều kiện trong 1 chu kỳ, 0 t T 24 s≤ ≤ = Dễ thấy các giá trị sau đây thỏa mãn: t = 4 + 0 = 4 s. t = +4 + 12 = 16 s. t = -4 + 12 = 8 s t = -4 + 24 = 20 s. Ngoài ra phương pháp đường tròn (hình vẽ). Dễ dàng xác định được góc 3 π α = . Ta thấy có 4 vị trí thỏa mãn điều kiện Ax 2 = ± . 5 Bài 8.3. một chất điểm dao động điều hòa với chu kỳ T = 2 s, biên độ a = 50 mm. Tìm vận tốc của chất điểm tại vị trí của li độ bằng 1/2 biên độ dao động. Bài giải: Sử dụng hệ thức độc lập: 2 2 2vx A + = ω  Suy ra: 2 2v A x= ω − Với 2 21 1 3 3 2 3 2x A v A A A A 50 136 mm/s 2 4 2 2 T 2 2 π π = ⇒ = ω − = ω = = = Bài 8.7. Một chất điểm dao động điều hòa với chu kỳ dao động T = 2 s, pha ban đầu 3 π ϕ = . Năng lượng toàn phần W = 3.10-5 J và lực tác dụng lên chất điểm lúc lớn nhất bằng 1,5.10-3 N. Viết phương trình dao động của chất điểm. Bài giải: Phương trình dao động sẽ có dạng: ( )x Acos t= ω + ϕ 2 2 rad/s T 2 π π ω = = = π Ta có: 2 2m AW 2 ω = Lực tác dụng: 2F ma m x= = − ω , lực tác dụng cực đại là 2maxF m A= ω Suy ra: 5 2 3 max 2W 2.3.10A 4.10 m = 4 cm. F 1,5.10 − − −= = = Phương trình dao động: x 4cos t cm. 3 π = π +    Bài 8.12. Biên độ dao động tắt dần sau thời gian 1t 20 s= giảm đi n1 = 2 lần. Hỏi sau thời gian t2 = 1 phút nó giảm đi bao nhiêu lần? Bài giải: Ta có: t t0 0 AA A e e A −β −β= ⇒ = Suy ra: 1 2t t1 2 0 0 A 1 Ae ;e A 2 A −β −β= = = Ta có: 2 1 2 1t 60 s, t 20 s t 3t= = ⇒ = ( )2 1 1 3t 3 t t2 0 A 1e e e A 8 −β − β −β= = = = Bài 8.13. Phương trình của một dao động tắt dần có dạng: 0,2tx 10.2 .cos8 t cm−= π Tìm biên độ dao động sau N = 10 dao động toàn phần. Bài giải: 6 Chu kỳ: 2 2T 0,25 s 8 π π = = = ω π Thời gian 10 dao động: t = 10T = 2,5 s Thay vào có: 0,2.2,5A 10.2 7,07 cm.−= = Bài 8.15. Cho hệ số tắt dần của dao động là 11 s 100 −β = . Tính thời gian để biên độ giảm đi e lần: Bài giải: t t0 0 A 1A A e e e t 1 t 100 s A −β β= ⇒ = = ⇒β = ⇒ = = β Bài 8.17. Biết rằng vận tốc v = 20 m/s thì khi chạy qua các chỗ nối của đường ray xe lửa bị rung nhiều nhất. Mỗi lò xo của toa xe chịu một khối lượng nén là M = 5 tấn. Chiều dài của mỗi thanh ray là l = 12,5 m. Hãy xác định hệ số đàn hồi của lò xo? Bài giải: Đây là một bài liên quan đến dao động cưỡng bức. Trong đó dao động riêng là dao động của lò xo toa xe, lực cưỡng bức là do đường ray tác dụng lên mỗi lúc xe lửa qua chỗ nối. Xe lửa bị rung nhiều nhất tức là xảy ra hiện tượng cộng hưởng, tức là tần số dao động riêng của lò xo toa xe với tần số lực cưỡng bức của đường ray tác dụng lên toa xe là bằng nhau. Chu kỳ của lực cưỡng bức là: l 12,5T 0,625 s v 20 = = = , khi xảy ra cộng hưởng thì đây là chu kỳ của dao động riêng: 2 2 2 2 2 k 2 4 M 4 .5000k 512000 N/m T M T T 0,625 π π π π ω = ⇒ = ⇒ = = = Bài 8.23. Một mạch dao động điện từ có điện dung C 0,25 F= µ , hệ số tự cảm L = 1,015 H và điện trở r = 0. Ban đầu hai cốt của tụ điện được tích điện đến 60Q 2,5.10 C −= a) Viết phương rình dao động điện từ của mạch đối với điện tích Q và dòng điện i; b) Năng lượng của mạch; c) Tần số dao động của mạch. Bài giải: 3 6 1 1 2.10 s LC 1,015.0,25.10− ω = = ≈ Phương trình dao động của q có dạng: ( )0q Q cos t= ω + ϕ Tại thời điểm ban đầu t = 0: q = Q0 suy ra: cos 1 0ϕ = →ϕ = ( ) ( ) ( ) ( )3 6 3q 2,5cos 2.10 t C 2,5.10 cos 2.10 t F−= µ = Dòng điện: ( ) ( )6 3 3 3 3dqi 2,5.10 .2.10 sin 2.10 t 5.10 cos 2.10 t Adt 2 − − π = = − = +    7 Năng lượng: ( ) ( ) 262 50 6 2,5.10QW 1,25.10 J 2C 2.0,25.10 − − −= = = Tần số: 32.10 318,3 Hz 2 2 ω ν = = ≈ π π Bài 8.24. Một mạch dao động có hệ số tự cảm là 1 H, điện trở của mạch có thể bỏ qua. Điện tích trên cốt của tụ điện biến thiên theo phương trình: ( )55q .10 cos400 t C− = π π  Tìm: a) Chu kỳ dao động của mạch; b) Điện dung của mạch; c) Cường độ dòng điện trong mạch; d) Năng lượng điện từ của mạch. Bài giải: a) chu kỳ dao động: ( )2 2T 0,005 s 400 π π = = = ω π b) điện dung của mạch: ( ) ( ) ( )622 1 1 1C 0,633.10 F 0,633 F LLC 400 .1 −ω = ⇒ = = = = µ ω π c) Cường độ dòng điện: ( )5dq 5i 400 10 sin 400 t 0,02cos 400 t A dt 2 − π   = = − π π = π +   π    d) Năng lượng điện từ: ( ) 2 5 2 40 6 5 .10 QW 2.10 J 2C 2.0,633.10 − − −    π = = = Bài 8.26. Một mạch dao động có điện dung C = 0,405 Fµ , hệ số tự cảm L = 10-2 H và điện trở R = 2 Ω . Tìm: a) Chu kỳ dao động của mạch; b) Sau thời gian một chu kỳ, hiệu điện thế giữa 2 cốt của tụ điện giảm bao nhiêu lần? Bài giải: a) Chu kỳ dao động của mạch: ( )4 2 2 2 2 0 2 6 2 2 2 2 2T 4.10 s 1 R 1 2 LC 2L 10 .0,405.10 2.10 − − − − π π π π = = = = = ω ω −β    − −        b) ta có: ( ) ( ) ( )t Tt0 0U t U e ;U t U e−β +−β= + Τ = 8 Suy ra: ( ) ( ) 4 2 2.4.10RT T 2.102L U t e e e 1,04 U t T − −β= = = = + (lần) Bài 8.27. Một mạch dao động có điện dung C = 1,1.10-9 F, hệ số tự cảm L = 5.10-5 H và giảm lượng loga 0,005δ = . Hỏi sau thời gian bao lâu thì năng lượng điện từ trong mạch giảm đi 99%. Bài giải: Chu kỳ dao động riêng: 60 5 9 1 1 4,264.10 rad/s LC 5.10 .1,1.10− − ω = = = Năng lượng: ( ) ( ) ( )2 t t2 2 2 t 2 2 t 0 t t 0Q Q e Q Q eW t ;W t t 2C 2C 2C 2C − β +∆− β +∆= = + ∆ = = Năng lượng giảm đi 99% nghĩa là: ( ) ( ) ( )2 t t 2 t 2 t W t t 1 e 1 1e W t 100 e 100 100 − β +∆ − β∆ − β + ∆ = ⇒ = ⇒ = ln10t ln10 t⇒β∆ = ⇒ ∆ = β Việc còn lại là đi tính β : ( )2 2 2 2 2 2 20 02 2 0 2T 2 4πδ = β = β ⇒ δ ω −β = πβ⇒ δ ω −β = π β ω −β 2 2 6 2 0 0 2 2 2 2 2 2 0,005.4,264.10 4 4 4 0,005 δ ω δω ⇒β = ⇒β = = = π + δ π + δ π + 3393 (s-1) ( )4ln10t 6,79.10 s 3393 −∆ = =