Bài tập môn Giải tích 1

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1 Chương 1. Giới hạn và liên tục Bài 1. Tính giới hạn 1. lim x→+∞( √ x2 + 2x+ 5− x) 2. lim x→−∞( √ x2 − 5x− 1−√x2 + 3x+ 3) 3. lim x→0 √ cosx− 3√cosx sin2 x 4. lim x→1 ( 3 1−√x − 2 1− 3√x ) 5. lim x→0 1 x ( 1 x− 1 + 1 x+ 1 ) 6. lim x→+∞ √ x+ √ x√ x+ 1 7. lim x→1 (1 + sinpix)cotgpix 8. lim x→∞x 2 ( 1− cos 1 x ) 9. lim x→0 √ 1 + 2x2 − cosx x2 10. lim x→∞ (3x2 + 1 3x2 + 5 )2x2+x 11. lim x→0 √ 5−√4 + cosx x2 12. lim x→0+ x √ cos √ x 13. lim x→2 2x − x2 x− 2 14. lim x→0 ex 3 − 1 + x2 xtgx 15. lim x→1 (1− x)tgpix 2 Bài 2. Vô cùng bé, vô cùng lớn 1. So sánh các VCB sau: (a) f(x) = √ 1 + x−√1− x và g(x) = x2 khi x→ 0. (b) f(x) = x− 1 và g(x) = cotgpix 2 khi x→ 1. (c) f(x) = 1− cos3 x và g(x) = ln(1 + arcsinx) khi x→ 0. 2. So sánh các VCL f(x) = ex + e−x, g(x) = ex − e−x khi (a) x→ +∞. (b) x→ −∞. 3. Hàm số f(x) = xx − 1 có là VCB khi x→ 0+ không? Bài 3. Tìm phần chính 1. Tìm phần chính dạng Cxα khi x→ 0 của VCB: (a) f(x) = √ 1− 2x− 1 + x. (b) f(x) = tgx− sinx. (c) f(x) = ex 2 − cosx. (d) f(x) = 1− cosx.√cos 2x. (e) f(x) = arcsin( √ 4 + x2 − 2). 2. Tìm phần chính dạng C(x− 1)α khi x→ 1 của VCB: (a) f(x) = ex − ex. (b) f(x) = ex − e. Bài 4. Xét tính liên tục 1. f(x) =  2x e2x − e−x với x 6= 0 a với x = 0 2. f(x) = arctg 1 |x| với x 6= 0 a với x = 0 3. f(x) = { (x2 − 1) sin pi x− 1 nếu x 6= 1 a nếu x = 1 4. f(x) =  3 √ 1 + 2x− 1 x nếu x > 0 a+ x2 nếu x ≤ 0 5. f(x) =  1− cos√x x nếu x > 0 a nếu x ≤ 0 6. f(x) =  1− esin x x− pi nếu x > pi a+ x2 nếu x ≤ pi 7. Cho f(x) là hàm liên tục tại x0. Chứng minh rằng |f(x)| cũng liên tục tại x0. Bài 5. Tìm và phân loại điểm gián đoạn 1. f(x) = 1 1 + e 1 x−1 . 2. f(x) =  sinx |x| nếu x 6= 0 1 nếu x = 0 3. f(x) = 1 ln |x| . 1 Chương 2. Đạo hàm và vi phân Bài 1. Tính đạo hàm 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: (a) y(x) = |(x− 1)2(x+ 1)|. (b) y(x) = |pi2 − x2| sin2 x. (c) f(x) = { arctgx với x ≥ 0 x2 + x với x < 0 (d) f(x) = { x2 − 2x nếu x < 2 2x− 4 nếu x ≥ 2 2. Tính y′(0) bằng định nghĩa. Biết: y = x(x− 1)(x− 2)...(x− 2015)(x− 2016) 3. Chứng minh rằng f(x) có đạo hàm gián đoạn tại x = 0. Biết: f(x) = x2 sin 1 x nếu x 6= 0 0 nếu x = 0 4. Tính f ′+(0), f ′ −(0) của: f(x) =  x 1 + e1/x nếu x 6= 0 0 nếu x = 0 5. Tính y′(x), y′′(x) của hàm số cho dưới dạng tham số: (a) { x = et cos t y = et sin t (b) { x = a(t− sin t) y = a(1− cos t) (c) { x = t+ et y = t2 + 2t3 Bài 2. Xét tính khả vi 1. y = (x+ 2)|x− 1|. 2. f(x) =  √ x− 1√ x− 1 nếu x > 1 sin(x− 1) nếu x ≤ 1 3. f(x) = { 1− cosx nếu x ≤ 0 ln(1 + x)− x nếu x > 0 4. f(x) =  x− 1 4 (x+ 1)2 nếu |x| ≥ 1 |x| − 1 nếu |x| < 1 5. Xét tính khả vi tại x = 1 của hàm số: y(x) = x 2e1−x 2 nếu x ≤ 1 1 x nếu x > 1 6. Xét tính khả vi tại x = 0 của hàm số: (a) f(x) = { x2 nếu x ≤ 0 ln(1 + x)− x nếu x > 0 (b) f(x) = x2arctg 1 x nếu x 6= 0 0 nếu x = 0 7. Cho ϕ(x) là hàm liên tục tại x = a. Xét tính khả vi tại x = a của hàm số f(x) = |x− a|ϕ(x) 8. Tìm a, b để hàm số sau khả vi trên R (a) f(x) = { x2 − 3x+ 4 nếu x < 2 ax+ b nếu x ≥ 2 (b) f(x) = { 1− x2 nếu x ≥ 1 ax+ b nếu x < 1 Bài 3. Tính gần đúng 1. A = √ (2, 037)2 + 5 2. C = sin 29o 3. D = 1 4 √ 0, 983 4. F = e−0.03 Bài 4. Đạo hàm cấp cao 1. Tính đạo hàm cấp n của hàm số (a) f(x) = x− 1 x2 + 5x+ 6 . (b) f(x) = ln 3 √ 1− 4x. (c) f(x) = cos4 x+ sin4 x. (d) f(x) = x+ 2 3 √ x− 1 . (e) f(x) = e2x(x2 + 3x+ 5). (f) f(x) = x3 sinx. 2. Cho hàm số f(x) = ln(1− 3x). Tính f (n)(0). 3. Cho hàm số f(x) = x3 sin 3x. Tính f (100)(0). 4. Cho y = x4 2− x . Tính d 4y. Bài 5. Các định lý giá trị trung bình và ứng dụng 1. Hàm số f(x) = 3 √ x2 có thoả mãn định lý Rolle trên [−1; 1] không? Tại sao? 2. Cho f(x) = (x−1)(x−2)(x−3)(x−4). Dùng định lý Rolle, chứng minh rằng phương trình f ′(x) = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt trên [1, 4]. 3. Kiểm tra các điều kiện của định lý Lagrange đối với hàm số sau trên [0; 3] f(x) = { 4x+ 1 nếu 0 ≤ x ≤ 2 x2 + 5 nếu 2 < x ≤ 3 2 4. Tìm điểmM trên cung _ AB của đường cong y = 2x− x2 sao cho tiếp tuyến tại đó song song với dây AB, với A(1, 1), B(3,−3). 5. Áp dụng định lý Lagrange, chứng minh rằng: (a) a− b a < ln a b < a− b b , 0 < b < a. (b) |arctgx− arctgy| ≤ |x− y|. (c) n(b− a)an−1 < bn − an < n(b− a)bn−1 với 0 < a < b, n ∈ N. Bài 6. Tính giới hạn 1. lim x→0 4arctg(1 + x)− pi x 2. lim x→0 arctgx− x x3 3. lim x→+∞ ln3 x x 4. lim x→0 ( sinx x )1/x2 5. lim x→+∞x ( pi 4 − arctan x x+ 1 ) 6. lim x→0+ (sinx)tg2x 7. lim x→+∞x(pi − 2arctgx) 8. lim x→0 x− sinx√ 1 + 2x− ex 9. lim x→0+ x2 lnx 10. lim x→0 x2 5 √ 1 + 5x− (1 + x) 11. lim x→+∞ x2014 ex 12. lim x→0 ( 1 x2 )sin x 13. lim x→0 ( 1 x2 − 1 sin2 x ) Bài 7. Công thức Taylor và Maclaurent 1. Khai triển Maclaurent đến cấp n của f(x) = x+ 1 x2 − 3x+ 2 . 2. Khai triển Maclaurent đến cấp n của f(x) = ln 5 √ 1 + 2x. 3. Khai triển Taylor đến cấp 3 hàm số f(x) = x x− 1 tại điểm x0 = 2. Chương 3. Tích phân Bài 1. Tính các tích phân suy rộng 1. +∞∫ 1 lnx x2 dx 2. +∞∫ 0 dx 1 + x4 3. +∞∫ 0 dx x4 + 3x2 + 2 4. +∞∫ 1 dx x √ x4 + 1 5. +∞∫ 0 dx ( √ x+ 1)3 6. +∞∫ 1 dx x 4 √ 1 + x3 7. +∞∫ 1 lnx x3 dx. 8. +∞∫ 1 arctgx x2 dx 9. +∞∫ 0 e− √ xdx 10. +∞∫ 0 x.arctgx√ (1 + x2)3 dx 11. +∞∫ √ 2 xdx (x2 + 1)3 12. +∞∫ 1 x3 ex2 dx 13. +∞∫ 0 xdx (x+ 1)3 14. +∞∫ 0 x2e−xdx 15. 1∫ 0 dx (2− x)√1− x 3 Bài 2. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng 1. +∞∫ 1 √ x ln ( 1 + 1 x2 ) dx 2. +∞∫ 0 x cosxdx 3. +∞∫ 1 √ xdx x2 + sinx 4. +∞∫ 1 ln(1 + x2) x dx 5. +∞∫ 0 arctgx x √ x dx 6. +∞∫ 1 dx x √ x4 + x2 + 1 . 7. +∞∫ 1 sinx x dx. 8. +∞∫ 1 | sinx| x dx. 9. +∞∫ 4 dx x(lnx)p . 10. +∞∫ 1 x 1 + xp dx 11. 1∫ 0 dx ex − e−x 12. 1∫ 0 dx√ tgx 13. 1∫ 0 sinx√ 1− x2 dx 14. 1∫ 0 sin √ x√ 1 + x− ex dx 15. 1∫ 0 √ x esin x − 1dx 16. 1∫ 0 dx e 4 √ x − 1 17. 1∫ 0 xdx tgx− sinx 18. 3∫ 0 dx√|4− x2| 19. 1∫ 0 arctgx√ 1− x2 dx 20. 1∫ 0 √ x esin 2x − 1dx 21. 1∫ 0 arctgx x− sinxdx 22. 1∫ 0 sin √ x e 3√ x2 − 1 dx 23. pi/2∫ 0 dx√ cosx 24. 1∫ 0 1− cosx xα dx; α > 2. 25. 1∫ 0 ln(1 + √ x) esin x − 1 dx Bài 3. Ứng dụng của tích phân xác định 1. Tính độ dài của các đường cong sau: (a) x = 1 4 y2 − 1 2 ln y, 1 ≤ y ≤ e. (b) x2/3 + y2/3 = a2/3, a > 0. (c) r = a(1 + cosϕ), a > 0. (d) y = arcsin (e−x) ; 0 ≤ x ≤ 1 (e) r = 2ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2pi. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (a) (E): x2 a2 + y2 b2 = 1. (b) Một cung (một nhịp) Xicloit{ x = a(t− sin t) y = a(1− cos t) (0 ≤ t ≤ 2pi) và trục Ox. (c) x2/3 + y2/3 = a2/3, a > 0. (d) r = a(1 + cosϕ); 0 ≤ ϕ ≤ 2pi, a > 0. (e) y = x2, y = 4x2, y = 4. (f) (x2 + y2)2 = a2(x2 − y2). 4 (g) y = −√4− x2 và x2 + 3y = 0. (h) y = |x2 − 1|, y = |x|+ 5. 3. Tính thể tích của vật thể tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi: (a) y = 2x− x2, y = 0 quanh trục Ox. (b) x2/3 + y2/3 = a2/3, a > 0 quanh trục Ox. (c) x2 + (y − 2)2 = 1 quanh Ox. (d) y = x, x = 0, y = √ 1− x2 quanh trục Oy. (e) x2 + y2 = 4x− 3 quanh trục Oy. (f) y2 + x = 9 và x = 0 quanh trục Oy. 4. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt Elípxôit: x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1. 5. Tính thể tích hình cầu: x2 + y2 + z2 ≤ R2, R > 0. Chương 4. Chuỗi Bài 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1. +∞∑ n=1 ( √ n+ 2− 2√n+ 1 +√n) 2. +∞∑ n=1 lnn n3 + n2 + 2 3. +∞∑ n=2 n lnn n2 − 1 4. +∞∑ n=1 nn (n+ 1)n.2n−1 5. +∞∑ n=1 1 n. n √ n 6. +∞∑ n=1 3.5.7...(2n+ 1) 2.5.8...(3n− 1) 7. +∞∑ n=1 3n.n! nn 8. +∞∑ n=1 1 2n ( 1 + 1 n+ 1 )n2 9. +∞∑ n=1 ln(n5 + n)√ n5 + n 10. +∞∑ n=1 ( tg 1 3n − sin 1 3n ) 11. +∞∑ n=1 (n+ 1)n 2 nn23n 12. +∞∑ n=1 lnn√ 2n5 + 3n 13. +∞∑ n=1 1 n ln ( 1 + 1 np ) 14. +∞∑ n=1 1 np sin pi n 15. +∞∑ n=1 1 (n+ 1) ln(n2 + n+ 1) 16. +∞∑ n=2 1 n. lnk n 17. +∞∑ n=2 (−1)n n n2 − 1 18. +∞∑ n=1 (−1)n. ( 3n+ 2 2n+ 7 )n 19. +∞∑ n=1 (−1)n.3 n n3 20. +∞∑ n=1 (−1)n. ( n n+ 1 )n Bài 2. Xét sự hội tụ tuyệt đối, hội tụ tương đối 1. +∞∑ n=1 cos(npi) (n+ 1)(n+ 2) 2. +∞∑ n=1 (−1)n−1.2 n n! 3. +∞∑ n=1 (−1)n n ln(n2 + 1) 4. +∞∑ n=1 sin pin2 n+ 1 5. +∞∑ n=1 (−1)n (1 + n n2 ) 6. +∞∑ n=1 (−1)n ln(n+ 1) 7. +∞∑ n=1 (−1)n(√n+ 1−√n− 1) 5 Bài 3. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm 1. +∞∑ n=0 (−4)n arcsinn x pin(n+ 1) 2. +∞∑ n=1 1 n2n ( x x+ 1 )n 3. +∞∑ n=1 (− lnx)n 2n+ 1 4. +∞∑ n=1 (−1)nn2 3n enx 5. +∞∑ n=1 1 n(lnx)n 6. +∞∑ n=1 2n sinn x n2 7. +∞∑ n=1 n n+ 1 ( x 2x+ 1 )n 8. +∞∑ n=1 2n sinn x (n+ 1)2 9. +∞∑ n=1 2n(sinx)n n 10. +∞∑ n=1 1 n2 lnn x 11. +∞∑ n=1 1 2n (2x+ 1 x+ 2 )n 12. +∞∑ n=1 (−1)n 2n+ 1 ( 1− x 1 + x )n 13. +∞∑ n=1 (−1)n n(2x− 3)n 14. +∞∑ n=1 (x− 1)2n n4n 15. +∞∑ n=1 (−1)nx2n n(2n− 1) 16. +∞∑ n=1 xntg 1 n 17. +∞∑ n=1 (−2)n npin xn 18. +∞∑ n=1 lnn n2 + 1 xn 19. +∞∑ n=1 (−1)n (1 + n n2 ) xn 20. +∞∑ n=1 (x+ 1)n 2n(2n+ 1) 21. +∞∑ n=1 (−1)nxn n(2n+ 1) 22. +∞∑ n=0 (−1)n(x+ 2)n√ n2 + 1 Bài 4. Tìm miền hội tụ và tính tổng 1. +∞∑ n=1 (−2)nxn+1 2. +∞∑ n=1 n n+ 1 (x 2 )2n 3. +∞∑ n=1 (−1)nxn+1 n+ 2 4. +∞∑ n=0 x2n 2n+ 1 5. +∞∑ n=1 (−1)nxn+1 n 6. +∞∑ n=1 (−1)nnxn+1 7. +∞∑ n=1 (2n − n)xn+1 8. +∞∑ n=0 (n+ 2)xn 9. +∞∑ n=1 (−1)n+1 x n+1 n+ 2 10. +∞∑ n=1 x2n+5 32n(2n+ 1) 11. +∞∑ n=1 x4n+3 4n+ 3 Bài 5. Chuỗi Fourier 1. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2pi, trong đó f(x) = { −1 nếu − pi ≤ x < 0 1 nếu 0 ≤ x ≤ pi 2. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ bằng 2pi, trong đó f(x) = |x|, x ∈ [−pi, pi]. 6 3. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2pi, trong đó f(x) = x2 khi x ∈ [−pi, pi]. Áp dụng tính tổng các chuỗi số (a) ∞∑ n=1 (−1)n−1 1 n2 (b) ∞∑ n=1 1 n2 (c) ∞∑ n=1 1 (2n− 1)2 4. Khai triển hàm f(x) = | cosx| thành chuỗi Fourier. 5. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2l = 2, trong đó f(x) = x2 khi x ∈ [−1, 1]. 6. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ bằng 2pi, trong đó f(x) = cosx, x ∈ [0, pi]. 7. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2pi, trong đó f(x) = { 1 nếu − pi < x ≤ 0 1− x nếu 0 < x ≤ pi 8. Khai triển hàm f(x) = 2x − 1 thành chuỗi Fourier trên đoạn [0, pi] chỉ chứa sin. 9. Khai triển hàm f(x) = x+1 thành chuỗi Fourier trên đoạn [0, pi] chỉ chứa cos. 10. Cho hàm số f(x) = { 1 nếu 0 ≤ x < 1 2− x nếu 1 ≤ x ≤ 2 Hãy khai triển f(x) thành chuỗi Fourier (a) chỉ chứa sin. (b) chỉ chứa cos. 7