Bài tập Xác suất thống kê

Để thực hiện một công trình nghiên cứu về mối quan hệ giữa chiều cao Y(m) và đường kính X(cm) của một loại cây, người ta quan sát trên một mẫu ngẫu nhiên và có kết quả sau: xi 28 28 24 30 60 30 32 42 43 49 yi 5 6 5 6 10 5 7 8 9 10 (a). Hãy tính giá trị hệ số tương quan mẫu của X và Y và cho nhận xét. (b) Viết phương trình đường thẳng hồi quy mẫu của Y theo X. Hãy dự báo chiều cao của cây có đường kính 45 cm. Giải: (a) r = 0,939. Vì r rất gần 1 nên giữa X và Y có hồi qui tuyến tính. (b) y = 0,166x + 1,041. Dự báo chiều cao của cây có đường kính 45 cm là: y = 0,166 × 45 + 1,041 = 8,5 m X (%) và Y(kg/mm2) là hai chỉ tiêu chất lượng của một loại sản phẩm. Điều tra ở một số sản phẩm, bảng sau: X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8 Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tần số 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2 a) Hãy tính các giá trị trung bình mẫu của X, Y; phương sai mẫu của X, Y và hệ số tương quan mẫu giữa X và Y. b) Viết phương trình hồi quy mẫu của Y theo X. Từ đó dự đoán xem nếu chỉ tiêu X là 9 thì chỉ tiêu Y là bao nhiêu? Giải: a) Ta có trung bình mẫu:MATHEDUCARE.COM Bài tập Xác suất thống kê Diệp Hoàng Ân 121 x y = = 5,93; 15,17; Phương sai mẫu: σ σ X Y 2 2 = = 3,44; 28,42 Hệ số tương quan mẫu: r = 0,66 b) Phương trình hồi quy Y theo X: y x = + 3,86 1.91 Nếu X có giá trị là 9 thì Y sẽ nhận giá trị là 21.

pdf125 trang | Chia sẻ: hachi492 | Ngày: 08/01/2022 | Lượt xem: 48 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài tập Xác suất thống kê, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
u c th ta tính ñưc: 172− 156 t=5 = 2 > t 24 . V y H b bác b ngh ĩa là l ưng Cholesterol c a b nh 40 0,95 0 nhân m c b nh B cao h ơn bình th ưng. 6. 3. M t công ty bào ch m t lo i thu c ch a d ng tuyên b r ng thu c ca h có hi u qu không d ưi 90% trong vi c làm gi m c ơn d ng trong vòng 8 gi . M t m u g m 200 ng ưi b d ng s d ng lo i thu c trên, có 160 ng ưi gi m c ơn d ng. Hãy xác ñnh xem l i tuyên b c a công ty có giá tr không? ( m c ý ngh ĩa α = 0,07). Gi i: 94 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Gi p là t l ng ưi gi m d ng khi dùng thu c c a công ty trong vòng 8 gi . Ta cn xác ñ nh xem p có b ng 90% tr lên hay không. Mu n v y ta ki m ñ nh gi thi t: Hpp00:== 90%; Hpp 1 : <= 0 90% m c ý ngh ĩa α = 0,07. P− p 0 Nu H0 ñúng thì bi n ng u nhiên U= n~ N () 0, 1 p0()1− p 0 Vi m c α = 0,07 ta có gtth=− u1−α =− u 0,93 =− 1,4758 . 160/200− 0,9 Vi m u c th ta có: u=200 =−<=− 4,714 gtth 1,4758 . 0,9.0,1 Vy ta bác b gi thi t H0 ngh ĩa là tuyên b c a công ty không có giá tr . K t lu n m c ý ngh ĩa 0,07. 6. 4. (3 ñim) Tr ưc ñây, Nhà máy Alpha s n xu t ra m t lo i s n ph m v i t l ph ph m 5%. N ăm nay, sau ñ t c i ti n k thu t, ñ ki m tra hi u qu , ng ưi ta l y ra ra m t m u g m 800 s n ph m ñ ki m tra thì th y có 24 ph ph m. a) Vi m c ý ngh ĩa α = 5%, hãy ki m ñ nh xem ñ t c i ti n k thu t có th c s làm gi m t l ph ph m không?. b) Sau ñt c i ti n k thu t, n u nhà máy báo cáo t l ph ph m là 2% thì có ch p nh n ñưc không? ( m c ý ngh ĩa α = 3%). Gi i: a) Gi p là t l ph ph m sau ñ t c i ti n k ĩ thu t, t l m u . Ta c n ki m ñnh gi thi t sau: H0: p= p 0 = 5%; ñi thi t H1: p< p 0 m c ý ngh ĩa α = 5%. P− p 0 Nu H0 ñúng thì U= n~ N () 0,1 p0()1− p 0 Vi m c α = 5% ta có gtth=− u1−α =− u 0,95 =− 1,65 . Vi m u c th ta tính ñưc p− p 0,03− 0,05 u=0 n =800 =−< 2,6 gtth p0()1− p 0 0,05.0,95 Vy, ta bác b H0 ngh ĩa là ñt c i ti n k ĩ thu t th t s làm gi m t l ph ph m. b) Ta ki m ñ nh gi thi t H0: p= p 0 = 2%; ñi thi t H1: p≠ p 0 m c α = 3% . P− p 0 Nu H0 ñúng thì U= n~ N () 0,1 . p0()1− p 0 95 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Vơi s m c α = 3% ta có gtth= uα = u 0,985 = 2,17 . 1− 2 T m u c th ta tính ñưc. p− p 0,03− 0,02 u=0 n =800 =< 2,02 gtth p0()1− p 0 0,02.0,98 Vy ta ch p nh n H0 ngh ĩa là ch p nh n l i tuyên b c a công ty. 6. 5. Ti n l ươ ng hàng tu n trung bình trên m t m u g m 30 công nhân trong mt xí nghi p l n là 180 (ngàn ñng) v i v i ñ l ch chu n 14 (ngàn ñng). Trong m t xí nghi p l n khác, m t m u g m 40 công nhân ñưc ch n ng u nhiên có ti n l ươ ng hàng tu n trung bình là 170 (ngàn ñng) v i ñ l ch chu n 10 (ngàn ñng). Ti n l ươ ng hàng tu n trung bình hai xí nghi p trên có khác nhau không? ( m c ý ngh ĩa α = 5%). Gi s ti n l ươ ng hàng tu n c a hai xí nghi p là bi n ng u nhiên có phân ph i chu n có cùng ph ươ ng sai. Gi i: G i X, Y là ti n l ươ ng hàng tu n c a m i công nhân c a hai xí nghi p trên t ươ ng ng. Ki m ñ nh gi thi t H:0µµXY= ;H: 1 µµ XY ≠ m c α = 5% . X− Y Nu H0 ñúng thì T=~ tnm() + − 2 S 2 1 1 ()n+ m (n− 1) S2 + ( m − 1) S 2 vi S 2 = X Y n+ m − 2 ()()n+ m − 2 68 vi m c α = 5% ta có gtth= tα = t 0,975 = 1,9955 1− 2 2914.2+ 3910 . 2 Vi m u c th ta tính ñưc s2 = = 140 , 94 78 x− y 180 − 170 Do ñó ttn = = =>3, 4876 gtth s2 ()1+ 1 1 1  n m 140, 94 +  30 40  Vy ta bác b H0 ngh ĩa là ti n l ươ ng hàng tu n trung bình hai xí nghi p trên là khác nhau. 6. 6. Gi X và Y l n l ưt là bi n ng u nhiên ch kh i l ưng c a tr s ơ sinh trai và tr s ơ sinh gái. Cho bi t X và Y tuân theo lu t phân ph i chu n có cùng ph ươ ng sai. Kh o sát ng u nhiên 20 tr s ơ sinh trai, ng ưi ta tính ñưc x = 3200 g, sX = 400 g và 17 tr s ơ sinh gái, ng ưi ta tính ñưc y = 3000 g, sY = 380 g. Ph i ch ăng kh i l ưng c a tr s ơ sinh trai l n h ơn kh i l ưng c a tr s ơ sinh gái? (k t lu n v i m c ý ngh ĩa α = 5%) Gi i: 96 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Ki m ñ nh gi thi t H:0µµXY= ;H: 1 µµ XY > m c α = 5%. X− Y Nu H0 ñúng thì T=~ tnm() + − 2 S 2 1 1 ()n+ m (n− 1) S2 + ( m − 1) S 2 vi S 2 = X Y ; n=20 ; m = 17 . n+ m − 2 ()n+ m − 2 35 Giá tr t i h n gttht=1−α = t 095, = 1 , 6896 19400.2+ 16380 . 2 Vi m u c th ta có s2 = = 152868 , 57 35 x− y 3200 − 3000 ttn = = =<1, 55 gtth s2 ()1+ 1 1 1  n m 152868, 57 +  20 17  Ta ch p nh n H0 ngh ĩa là tr ng l ưng c a tr s ơ sinh trai không l n h ơn tr ng l ưng c a tr s ơ sinh gái ( α = 5%). 6. 7. Kh i l ưng c a m t lo i s n ph m do m t nhà máy s n xu t là m t bi n ng u nhiên tuân lu t phân ph i chu n N(500; (8,5) 2). Sau m t th i gian s n xu t, ban lãnh ño nhà máy nghi ng r ng kh i l ưng c a lo i s n ph m này có xu hưng gi m, nên ti n hành cân th 25 s n ph m và thu ñưc k t qu sau: Kh i l ưng (g) 480 485 490 495 500 510 S s n ph m 2 3 8 5 3 4 V i m c ý ngh ĩa α = 5% , hãy cho k t lu n v ñiu nghi ng trên. Gi i: T s li u ta tính ñưc x = 494 ; s= 8 , 9 n = 25 . Ta ki m ñ nh gi thi t H:0µµ= 0 =500 ;H: 1 µµ < 0 m c α = 5% . X − µ Nu H ñúng thì BNN U= 0 n~N,()0 1 v i n=25 ;σ = 85 ,; µ = 500 0 σ 0 Vi m c α = 5% ta có gtth=− u1−α =− u 095, =− 1 , 65 494− 500 Vi m u c th giá tr c a U là u= .5 =−< 353 , gtth nên H b bác 8, 5 0 b ngh ĩa là ñiu nghi ng trên là ñúng. 6. 8. M t công ty mu n ñánh giá v hi u qu c a m t ñ t qu ng cáo ñ i v i s s n ph m bán ra c a công ty. 10 c a hàng bán s n ph m c a công ty ñưc ch n ng u nhiên ñ theo dõi s l ưng s n ph m bán ra trong m t tu n tr ưc ñ t qu ng cáo (T ĐQC) và m t tu n sau ñ t qu ng cáo (S ĐQC). Ca 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 97 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân hàng TĐQC 53 114 81 86 34 66 89 113 88 111 SĐQC 137 135 83 125 47 46 114 157 57 144 Hãy cho k t lu n v hi u qu c a ñ t qu ng cáo ( m c α = 5%). Gi i: Gi D là hi u s gi a s s n ph m bán ra sau qu ng cáo và tr ưc qu ng cáo ca m i c a hàng. B ng hi u s : D 84 21 2 39 13 -20 25 44 -31 33 T ñó ta tính ñưc d=21 ;sD = 3298 , . Ta c n ki m ñ nh gi thi t sau m c α = 5% . H:0µD=0 ;H: 1 µ D > 0 D n Nu H0 ñúng thì T= ~tn() − 1 SD ()9 Vi α = 5% gtth= t 1−α = 1,8331 21 10 Vi m u c th ta có t= =2 , 01 > gtth 32, 98 Nên H0 b bác b . Vy, ñ t qu ng cáo th t s làm t ăng s l ưng s n ph m bán ra. 6. 9. M t máy s n xu t t ñ ng có t l s n xu t ra s n ph m lo i A lúc ñ u là 48%. Máy ñưc c i ti n và sau m t th i gian áp d ng, ng ưi ta ki m tra 40 h p, mi h p g m 10 s n ph m và ghi l i s s n ph m lo i A trong m i h p (SSPLA/h) nh ư sau : SSPLA/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 S h p 2 0 4 6 8 10 4 5 1 0 Hãy cho k t lu n v hi u qu c a vi c c i ti n máy m c ý ngh ĩa α = 0,05. Gi i: Gi p là t l s n ph m l o A sau ñ t c i ti n k thu t. T l s n ph m lo i A trên m u kh o sát: 215 43 p = = 400 80 Ki m ñ nh gi thi t: Hpp0:= 0 = 48%; Hpp 1 : > 0 m c α = 5% . 98 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Nu H0 ñúng thì BNN P− p U= 0 n~ N () 0,1 p0()1− p 0 Vi m c ý ngh ĩa α = 0,05 giá tr t i h n b ng: u1−α = u 0,95 = 1,6449 Vi m u c th , ta tính ñưc: 43 − 0,48 p− p u=0 n =80 400 = 2,3018 p0()1− p 0 0,4810,48() − Vì u> gtth nên H0 b bác b ngh ĩa là vi c c i ti n k thu t th t s mang l i hi u qu . 6. 10. Kh i l ưng trung bình khi xu t chu ng m t tr i ch ăn nuôi gà công nghi p năm tr ưc là 3,3 kg/con. N ăm nay ng ưi ta s d ng lo i th c ăn m i. Sau m t th i gian, cân th 15 con khi xu t chu ng, có các s li u sau: ( ñơn v kg) 3,25; 2,50; 4,00; 3,75; 3,80; 3,90; 4,02; 3,60; 3,80; 3,20; 3,82; 3,40; 3,75; 4,00; 3,50, Gi thi t kh i l ưng gà là bi n ng u nhiên phân ph i theo qui lu t chu n v i ph ươ ng sai 0,04. Vi m c ý ngh ĩa α = 0,05, hãy cho k t lu n v tác d ng c a lo i th c ăn m i. Gi i: Gi X là BNN ch kh i l ưng gà khi xu t chu ng. Theo gi thi t X~ N (µ ;0, 2 2 ) . T s li u ñã cho ta tính ñưc: x = 3,62 ; s = 0,405 . Nu th c ăn m i có tác d ng t t thì kh i l ưng trung bình c a gà xu t chu ng n ăm nay s cao h ơn. Mu n k t lu n v ñiu ñó ta ki m ñ nh gi thi t sau: H00:µµ= = 3,3(kg ) ; H 10 : µµ > m c ý ngh ĩa α = 5% . X − µ Nu H ñúng thì BNN U= 0 n~ N () 0,1 0 σ Vi m c ý ngh ĩa α = 0,05 gtth= u1−α = u 10,05 = = u 0,95 = 1,6449 Vi m u c th ta tính ñưc: x −µ 3,62 − 3,3 u=0 n =15 = 6,2 σ 0,2 Vì u> gtth nên H0 b bác b . Vy, kh i l ưng trung bình c a gà xu t chu ng n ăm nay cao h ơn n ăm tr ưc, ngh ĩa là th c ăn m i có tác d ng t ăng tr ng l ưng gà. 6. 11. Đ ñiu tra kh i l ưng gà xu t chu ng m t tr i ch ăn nuôi gà công nghi p năm nay. Ng ưi ta cân th 15 con khi xu t chu ng, có các s li u sau: ( ñơn v kg) 3,25; 2,50; 4,00; 3,75; 3,80; 3,90; 4,02; 99 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 3,60; 3,80; 3,20; 3,82; 3,40; 3,75; 4,00; 3,50, Gi thi t kh i l ưng gà là bi n ng u nhiên phân ph i theo qui lu t chu n v i ph ươ ng sai 0,04. Có nên báo cáo kh i l ưng trung bình c a gà xu t chu ng n ăm nay là 3,7 kg/con hay không? ( m c ý ngh ĩa α = 0,05). Gi i: Gi X là BNN ch kh i l ưng gà xu t chu ng n ăm nay. Ki m ñ nh gi thi t H00:µµ= = 3,7( kg) ; H 10 : µµ ≠ m c α = 5% . X − µ Nu H ñúng thì BNN U= 0 n~ N () 0,1 0 σ Vi m c ý ngh ĩa α = 0,05 gtthu=1−α /2 = u 10,025 = = u 0,975 = 1,96 Vi m u c th ta tính ñưc: x −µ 3,62 − 3,7 u=0 n =15 =− 1,55 σ 0,2 Vì |u | < gtth nên H0 không b bác b . Vy, m c ý ngh ĩa 5% ta công nh n báo cáo c a tr i ch ăn nuôi. 6. 12. M t cu c ñiu tra c a H i ph n ñ ñánh giá v m t d ư lu n xã h i cho rng l ươ ng c a ph n th p h ơn l ươ ng c a nam gi i. M t m u nhiên g m 4 ñàn ông có l ươ ng trung bình là 78,0 (ngàn ñng), v i ñ l ch chu n m u là 24,4; m t mu ng u nhiên khác ñc l p v i m u trên g m 4 ph n có l ươ ng trung bình là 63,5 (ngàn ñng), v i ñ l ch chu n là 20,2. Gi s r ng l ươ ng c a c nam và n gi i ñ u là các bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i chu n có cùng ph ươ ng sai. Hãy cho k t lu n v cu c ñiu tra trên m c ý ngh ĩa 10%. Gi i: Gi X, Y theo th t là l ươ ng c a ñàn ông và ph n . Ta ki m ñ nh gi thi t: H0:µXY= µ ; H 1 : µ XY > µ m c α =10% . X− Y Nu H0 ñúng thì BNN U=~ tnm() + − 2 1 1  S 2 +  n m  (n−1) S2 +( m − 1 ) S 2 Vơi S 2 = X Y n+ m − 2 (n+ m − 2) ( 6 ) Vi m c ý ngh ĩa α =10% , gtth= t1−α = t 0,9 = 1,4398 Vi m u c th : s2= 22,4 2 x− y 78 − 63,5 Và t = = = 0,915 11  11 s2+22,4 2  + n m 4 4 100 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Vì t< gtth nên H0 không b bác b . Vy, k t lu n c a cu c ñiu tra ch ưa ñúng. 6. 13. Ng ưi ta mu n nghiên c u tác d ng c a vi c cho sinh viên ñi th c t xem s ti p thu ki n th c có t t h ơn không b ng cách so sánh ñim thi c a nhóm sinh viên không ñi th c t (SVK ĐTT) v i nhóm sinh viên có ñi th c t (SVC ĐTT). Kt qu nh ư sau: Đim 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 SVC ĐTT 0 0 3 9 7 5 17 10 11 4 1 SVK ĐTT 3 3 6 1 7 13 10 12 4 1 3 1 Gi X và Y l n l ưt là bi n ng u nhiên bi u th ñim s c a sinh viên có ñi th c t và sinh viên không ñi th c t . Đim thi c a nhóm sinh viên có ñi th c t có th c s t t h ơn không? (k t lu n m c ý ngh ĩa α = 0,01 ) Gi i: Ki m ñ nh gi thi t H:0µµXY= ;H: 1 µµ XY > m c ý ngh ĩa α = 0,01 X− Y Nu H0 ñúng thì BNN U= ~N,()0 1 s2 s 2 X+ Y n m Vi α = 0, 01 ta có gtthu=1−α = u 1001 − , = u 099 , = 2,3263 Vi m u c th ta tính ñưc T b ng s li u ta có: n = 67 x= 5 , 85 ; sX = 2 ; m = 73 ; y=488 ,;sY = 239 , . 585,− 488 , utn = =2 , 6116 > gtth 22 239, 2 + 67 73 Nên H0 b bác b ngh ĩa là SVC ĐTT có ñim cao h ơn SVK ĐTT. 6. 14. M t công ty v n t i, mu n ñánh giá tác d ng c a m t lo i ch t ph gia pha vào x ăng, ñã ch n 10 chi c xe. Cho m i chi c ch y hai l n v i cùng ñiu ki n nh ư nhau; nh ưng l n ñ u v i x ăng không có ch t ph gia (KPG), l n sau, v i cùng mt l ưng x ăng nh ư l n ñ u, có ch t ph gia (CPG). Ng ưi ta ghi l i s d m ñã ñi ñưc c a 10 chi c xe trên trong hai l n nh ư sau: Xe KPG CPG Xe KPG CPG 101 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 1 26,2 26,7 6 15,8 15,7 2 25,7 25,8 7 13,9 14,2 2 22,3 21,9 8 12,0 12,6 4 19,6 19,3 9 11,5 11,9 5 18,1 18,4 10 10,0 10,3 Có s khác nhau gi a s d m trung bình ñi ñưc v i x ăng không có ch t ph gia và có ch t ph gia không? (k t lu n m c ý ngh ĩa 5%) Gi i: Gi X, Y l n l ưt là các BNN ch s d ăm ñi ñưc c a xe KPG và xe CPG. Đt D= X − Y . B ng s li u cho D : Xe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 di -0,5 -0,1 0,4 0,3 -0,3 0,1 -0,3 -0,6 -0,4 -0,3 T ñó ta tính ñưc: d= −0,17, s D = 0,3368 Đ xét xem khác nhau v s d m trung bình gi a xe KPG và xe CPG ta ki m ñnh gi thi t sau: H0 :µD= 0; µ D ≠ 0 m c α = 5% . D Nu H0 ñúng thì BNN T= 10~ t () 9 SD (9) ( 9 ) Vi α =5% = 0,05 : gtth= t0,05 = t 0,975 = 2,2622 1− 2 −0,17 Vi m u c th ta có: t =10 = 1,596 0,3368 Vì |t | < gtth nên H0 ñưc ch p nh n. Vy, m c ý ngh ĩa α = 5% không có s khác nhau gi a s d m trung bình ñi ñưc v i x ăng không có ch t ph gia và có ch t ph gia. 6. 15. Kh i l ưng bao g o (KLBG) là bi n ng u nhiên có phân ph i chu n N (50;0,01 ) . Có nhi u ý ki n c a khách hàng ph n ánh là kh i l ưng b thi u. M t nhóm thanh tra ñã cân ng u nhiên 25 bao g o trong kho và ñưc k t qu nh ư sau: KLBG (kg) (48; 48,5] (48,5; 49] (49; 49,5] (49,5; 50] (50; 50,5] S bao g o 2 5 10 6 2 Hãy ki m ñ nh xem ý ki n c a khách hàng phn ánh có ñúng không? (k t lu n m c ý ngh ĩa α = 5%). Gi i: 102 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Gi X là BNN ch kh i l ưng bao g o. T s li u ñã cho ta tính ñưc x=49,27; s = 0,53 . Ta ki m ñ nh gi thi t sau: H00:µµ= = 50(kg ) ; H 10 : µµ < m c ý ngh ĩa α = 5% X − µ Nu H ñúng thì BNN U= 0 n~ N () 0,1 0 σ Vi m c ý ngh ĩa α = 5% gtth=− u 1− 0,05 =− 1,6449 49,27− 50 Vi m u c th : u =25 = − 36,5 0,1 Vì u< gtth nên H0 b bác b . Ngh ĩa là ý ki n c a khách hàng ph n ánh là ñúng ( α = 5%). 6. 16. Mt m u g m 300 c tri khu v c A và m t m u g m 200 c tri khu v c B cho th y có 56% và 48%, theo th t , ng h ng c viên X. m c ý ngh ĩa 5%, hãy ki m ñ nh gi thi t: a) Có s khác bi t gi a hai khu v c v s ng h ng c viên X. b) ng c viên X ñưc ng h h ơn khu v c A. Gi i: Gi pA và pB theo th t là t l ng h ng c viên X khu v c A và B. a) Ta ki m ñ nh gi thi t H:p0AB= p;H:p 1 AB ≠ p m c ý ngh ĩa α = 5% . PA− P B Nu H0 ñúng thì U= ~N,()0 1 v i 1 1  p()1− p  +  0 0 n m  np+ mp p=A B = 0 , 528 0 n+ m Vi α = 5% ta có gtthu=α = u0, 975 = 1 , 96 1− 2 056,− 0 , 48 Giá tr th c nghi m u= =1 ,gtth 755 < 1 1  0, 528 . 0 , 472 +  300 200  Do ñó H0 không b bác b ngh ĩa là s khác nhau gi a t l ng h gi a hai khu v c A, B ñ i v i ng c viên X không có ý ngh ĩa v m t th ng kê. b) Ta ki m ñ nh gi thi t H:p0AB= p;H:p 1 AB > p m c ý ngh ĩa α = 5% . PA− P B Nu H0 ñúng thì U= ~N,()0 1 1 1  p()1− p  +  0 0 n m  103 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân np+ mp p=A B = 0 , 528 0 n+ m Vi α = 5% ta có gtthu=1−α = u 095, = 1 , 65 056,− 0 , 48 u= =1 ,gtth 755 > 1 1  0, 528 . 0 , 472 +  300 200  Nên H0 b bác b ngh ĩa là ng c viên X ñưc ng h nhi u h ơn khu v c A. 6. 17. Điu tra ng u nhiên 200 ng ưi có hút thu c lá, th y có 28 ng ưi b lao ph i; 170 ng ưi không hút thu c lá, th y có 12 ng ưi b lao ph i. T l lao ph i gi a nh ng ng ưi có và không hút thu c lá có khác khau không? (k t lu n m c ý ngh ĩa α = 1%). Gi i: Gi p1 , p2 l n l ưt là t l lao ph i nh ng ng ưi có hút thu c lá và không hút thu c lá. Ta ki m ñ nh gi thi t sau: Hp01:= pHp 211 ; : ≠ p 2 m c α =1% . P1− P 2 Nu H0 ñúng thì BNN U= ~ N () 0,1 1 1  p()1− p  +  0 0 n m  np+ mp 28 + 12 40 4 Vi p =1 2 = == 0 n+ m 370 370 37 Vi m c α =1% , gtth= uα = u 0,995 = 2,5758 1− 2 Vi m u c th ta có: 28 12 − p− p u =1 2 =200 170 = 2,1428 11  4  411   p()1−+ p    1 −+   0 0 nm 37  37  nm  Ta có |u | < gtth nên H0 không b bác b ngh ĩa là t l lao ph i gi a nh ng ng ưi có và không hút thu c lá không khác khau ( α = 1%). 6. 18. Mt nhà máy có hai phân x ưng A và B cùng s n xu t m t lo i tr c máy. Sau m t th i gian ho t ñ ng, ch n ng u nhiên 20 tr c máy do phân x ưng A s n xu t, ng ưi ta ño ñưc ñưng kính c a chúng nh ư sau ( ñơ n v mm) 250; 249; 251; 253; 248; 250; 250; 252; 257; 245; 248; 247; 249; 250; 280; 250; 247; 253; 256; 249. 104 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Gi s ñưng kính c a các tr c máy hai phân x ưng A và B tuân theo lu t phân ph i chu n có cùng ph ươ ng sai. Đo ng u nhiên ñưng kính 20 tr c máy do phân x ưng B s n xu t, ng ưi ta tính ñưc ñưng kính trung bình là 249,8 v i ph ươ ng sai 56,2. Hãy ki m ñ nh, mc ý ngh ĩa α = 5%, gi thi t H0 cho r ng ñưng kính trung bình các tr c máy ñưc s n xu t hai phân x ưng là nh ư nhau ñi v i gi thi t H1 cho r ng chúng khác nhau. Gi i: Gi X, Y l n l ưt là ñưng kính tr c máy do phân x ưng A, B t ươ ng ng s n xu t. Ki m ñ nh gi thi t H0:µµXY= ; H 1 : µµ XY ≠ m c ý ngh ĩa α = 5%. X− Y Nu H0 ñúng thì BNN T=~ tnm() + − 2 1 1  S 2 +  n m  (n−1) S2 +( m − 1 ) S 2 Vi n=20; m = 20 và S 2 = X Y n+ m − 2 (n+ m − 2) ( 38 ) Vi m c ý ngh ĩa α = 5%, gtth= tα = t 0,975 = 2,0244 1− 2 Vi m u c th : x = 251,25 và sX = 7,7111 19.s2+ 19 s 2 19.7,7111 2 + 19.56,2 s2 =X Y = = 57,83 38 38 x− y 251,25 − 249,8 t = = = 0,6029 11  11  s2 +57,83  +  n m 20 20  Vì |t | < gtth nên H0 ñưc ch p nh n. Đưng kính trung bình các tr c máy ñưc sn xu t hai phân x ưng là nh ư nhau ( m c ý ngh ĩa α = 5%). 6. 19. Phân x ưng A c a m t nhà máy s n xu t m t lo i tr c máy. Sau m t th i gian ho t ñ ng, ch n ng u nhiên 20 tr c máy do phân x ưng A s n xu t, ng ưi ta ño ñưc ñưng kính c a chúng nh ư sau ( ñơ n v mm) 250; 249; 251; 253; 248; 250; 250; 252; 257; 245; 248; 247; 249; 250; 280; 250; 247; 253; 256; 249. Gi s ñưng kính c a các tr c máy c a phân x ưng A tuân theo lu t phân ph i chu n. Bi t ñưng kính c a m t tr c máy do phân x ưng A s n xu t, theo qui ñnh là 250 mm. Hãy cho k t lu n v ch t l ưng s n xu t c a phân x ưng A mc ý ngh ĩa α = 5%. 105 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Gi i: Gi X l n l ưt là ñưng kính tr c máy do phân x ưng A s n xu t. T s li u ta có: x = 251,25 và s = 7,7111 Ta ki m ñnh gi thi t sau: H0:µµX= 0 = 250; H 1 : µµ X ≠ 0 m c α = 5%. X − µ Nu H ñúng thì BNN T=0 ntn~() − 1 0 S (19) ( 19 ) Vi m c α = 5% gtth= tα = t 0,975 = 2,0930 1− 2 251,25− 250 Vi m u c th ta có: t =20 = 0,786 7,111 Vì |t | < gtth nên H0 ñưc ch p nh n. Do ñó Tình hình s n xu t c a phân xưng A bình th ưng (k t lu n m c ý ngh ĩa α = 5%). 6. 20. S n ph m c a m t xí nghi p ñúc cho phép s khuy t t t trung bình cho mt s n ph m là 3. Sau m t ñ t c i ti n k thu t, ng ưi ta l y ng u nhiên 36 s n ph m ñ ki m tra s khuy t t t trên m i s n ph m (SKTTMSP). K t qu thu ñưc nh ư sau: SKTTMSP 0 1 2 3 4 5 6 S s n ph m 7 4 4 6 8 6 1 Hãy cho k t lu n v hi u qu c a ñt c i ti n k thu t ñi v i s khuy t t t trung bình c a m t s n ph m m c ý ngh ĩa α = 10%. Gi i: T s li u ta tính ñưc x=2,7222; s = 1,86 Đ k t lu n v hi u qu ñ t c i ti n k thu t ta ki m ñ nh gi thi t: H0:µµ= 0 = 3; H 1 : µµ < 0 m c ý ngh ĩa α = 10% X − µ Nu H ñúng thì BNN U= 0 n~ N () 0,1 0 s Vi m c ý ngh ĩa α = 10% gtth=− u1−α =− u 0,9 =− 1,2816 2,722− 3 Vi m u c th u =36 = − 0,896 1,86 Vì u> gtth nên H0 không b bác b ngh ĩa là ñt c i ti n k thu t không mang l i hi u qu (k t lu n m c ý ngh ĩa α = 10%). 106 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 6. 21. Sn ph m c a m t xí nghi p ñúc cho phép s khuy t t t trung bình cho m t sn ph m là 3. Sau m t ñ t c i ti n k thu t, ng ưi ta l y ng u nhiên 36 s n ph m ñ ki m tra s khuy t t t trên m i s n ph m (SKTTMSP). K t qu thu ñưc nh ư sau: SKTTMSP 0 1 2 3 4 5 6 S s n ph m 7 4 4 6 8 6 1 Sn ph m có không quá 2 khuy t t t ñưc g i là s n ph m lo i A. T l s n ph m lo i A tr ưc ñ t c i ti n k thu t là 40%. Đt c i ti n k thu t có th c s làm t ăng t l s n ph m lo i A không? (k t lu n m c ý ngh ĩa 5%). Gi i: 15 5 Gi p là t l s n ph m lo i A. T l m u: p = = . 36 12 Ki m ñ nh gi thi t Hpp0:= 0 = 40%; Hpp 1 : > 0 m c ý ngh ĩa α = 5% P− p 0 N N u H0 ñúng thì BNN U= n~ N () 0,1 p0()1− p 0 Vi m c ý ngh ĩa α = 5%, gtth= u1−α = u 0,95 = 1,6449 5/12− 0,4 Vi m u c th ta có: u =36 = 0,204 0, 4() 1− 0, 4 Vì u< gtth nên H0 không b bác b . Vy, ñ t c i ti n k thu t không làm t ăng t l s n ph m lo i A. (k t lu n m c ý ngh ĩa α = 5%). 6. 22. Nh ng th ng kê trong n ăm tr ưc cho th y m t ng ưi M ñi du l ch châu Âu trong vòng 3 tu n s chi h t 1010 USD cho vi c mua s m. N ăm nay, ng ưi ta th ng kê trên 50 khách du l ch thì th y s ti n trung bình mà h chi tiêu là 1090 USD và ñ l ch chu n là 300 USD. V i m c ý ngh ĩa α = 1% hãy cho bi t m c chi tiêu c a nh ng khách du l ch n ăm nay có t ăng so v i n ăm tr ưc không? Gi i: Gi X là BNN ch m c chi tiêu c a m i khách du l ch trong n ăm nay, µ = EX . Ta ki m ñ nh gi thi t H0:µ=µ= 0 1010; H 10 : µ>µ ý ngh ĩa α = 1% X − µ Nu H ñúng thì BNN U= 0 n~ N () 0,1 0 s Vi ý ngh ĩa α = 1% , gtth= u1−α = u 0,99 = 2,3263 107 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 1090− 1010 Vi m u c th ta có: u =50 = 1,8856 300 Vì u< gtth nên H0 không b bác b . Vy, ch ưa ñ c ơ s ñ k t lu n m c chi tiêu c a nh ng khách du l ch n ăm nay tăng. 6. 23. Mt hãng bào ch thu c ñang th nghi m hai lo i thu c gây mê A và B mi. Vi c th nghi m ñưc ti n hành trên hai nhóm thú v t khác nhau. Nhóm th nh t g m 100 con dùng thu c A thì có 71 con b mê; nhóm th hai g m 90 con dùng thu c B thì có 58 con b mê. Hãng bào ch mu n ki m ñ nh xem tác d ng ca hai lo i thu c trên có khác nhau không m c ý ngh ĩa 5%. Hãy cho bi t k t lu n. Gi i: Gi p1 và p2 l n l ưt là t l con v t b mê khi dùng thu c A, B t ươ ng ng. Giá tr 71 58 t l m u ñ i v i 2 lo i thu c ñó là p=; p = . 1100 2 90 71+ 58 129 T l chung là p = = = 0,6789 . Ta ki m ñ nh gi thi t 190 190 Hp01:= pHp 2 ; 11 : ≠ p 2 m c ý ngh ĩa α = 5% . P1− P 2 Nu H0 ñúng thì BNN U= ~ N () 0,1 1 1  p()1− p  +  n m  Vi m c ý ngh ĩa α = 5% , gtth= uα = u 0,975 = 1,96 1− 2 Vi m u c th ta tính ñưc: 71 58 − p− p u =1 2 =100 90 = 0,017 1 1  129  129  1 1  p()1−+ p    1 −  +  n m 190  190  100 90  Vì |u | < gtth nên H0 không b bác b . Vy, tác d ng c a hai lo i thu c trên không khác nhau m c ý ngh ĩa 5%. 6. 24. Vi ý mu n làm t ăng ch s m s a c a lo i gi ng bò A, m t tr i ch ăn nuôi cho lai bò gi ng A v i m t lo i bò gi ng B. Đo ch s m s a c a 130 con bò lai gi ng ñưc ch n ng u nhiên trong ñàn bò c a tr i, ng ưi ta có k t Ch s m s a S bò lai 108 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân [3,0; 3,6) 2 [3,6; 4,2) 8 [4,2; 4,8) 35 [4,8; 5,4) 43 [5,4; 6,0) 22 [6,0; 6,6) 15 [6,6; 7,2) 5 Bi t r ng ch s m s a trung bình c a gi ng bò A thu n ch ng là 4,95. Hãy cho kt lu n v hi u qu c a vi c lai gi ng m c ý ngh ĩa 1%. Gi i: Gi X là BNN ch ch s m s a c a gi ng bò lai. T s li u ta tính ñưc: x = 5,15 và s = 0,77 . Ta ki m ñ nh gi thi t: H0:µ=µ= 0 4,95; H 10 : µ>µ m c ý ngh ĩa α = 1%. X − µ Nu H ñúng thì BNN U= 0 n~ N () 0,1 0 s Vi m c ý ngh ĩa α = 1%, gtth= u1−α = u 0,99 = 2,3263 Vi m u c th ta tính ñưc: 5,15− 4,95 u =130 = 2,96 0,77 Vì u> gtth nên H0 b bác b . Vy, ch s m s a c a gi ng bò lai cao h ơn bò thu n ch ng. 6. 25. Điu tra v m t nguyên nhân gây ung th ư ph i: Th ăm dò trong 200 ng ưi có hút thu c lá, th y có 28 ng ưi b K ph i; trong 170 ng ưi không không hút thu c lá, có 12 ng ưi b K ph i. H i t l ng ưi b K ph i trên nh ng ng ưi hút thu c lá có cao h ơn t l ñó trên nh ng ng ưi không hút thu c lá không? (K t lu n m c α = 5% ). Gi i: Gi p1, p 2 l n l ưt là t l ng ưi b K ph i trong s nh ng ng ưi hút thu c và không hút thu c. Ta ki m ñ nh gi thi t: Hp01:= pHp 2 ; 11 : > p 2 m c α = 5% P1− P 2 Nu H0 ñúng thì BNN U= ~ N () 0,1 1 1  p()1− p  +  n m  Vi α = 5% , gtth= u1−α = u 0,95 = 1,6449 Vi m u c th ta tính ñưc: 28 7 6 2812+ 4 p==; p == ; p = 1200 50 2 85 200+ 170 37 109 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân p− p u =1 2 = 2,14 1 1  p()1− p  +  200 170  Ta có u> gtth nên H0 b bác b . V y t l b K ph i trong s nh ng ng ưi hút thu c là cao h ơn t l ñó trên nh ng nguoif không hút thu c lá. 6. 26. Nu máy móc ho t ñng bình th ưng thì kh i l ưng m t s n ph m tuân theo lu t phân ph i chu n v i ñ l ch chu n không quá 1kg. Có th coi máy móc còn ho t ñng bình th ưng hay không n u cân th 30 s n ph m do máy ñó s n xu t ra, thì tính ñưc ñ l ch chu n là 1,1 kg. Yêu c u k t lu n m c ý ngh ĩa α =1% . Gi i: Ki m ñ nh gi thi t v ph ươ ng sai: 22 22 H:0σσ= 01 =1 ;H: σσ ≠ 0 m c ý ngh ĩa α =1% (n− 1) S 2 Nu H ñúng thì Y=~ χ2 n − 1 0 2 () σo 29. 1 , 1 2 Vi m u c th ta có y= = 35 , 09 1 2 2 Vi α = 0, 01 ta có χα (n −=χ 1)0,01 (29) = 13,121 2 2 2 2 χα (n −=χ 1)0,01 (29) = 52,336 1− 1− 2 2 Do χ2(n−<<1 )y χ 2 (n − 1 ) nên H không b bác b ngh ĩa là: α1− α 0 2 2 Ch ưa ñ c ơ s ñ nói r ng máy móc ho t ñ ng không bình th ưng. 6. 27. Mt nhà s n xu t bóng ñèn cho r ng ch t l ưng bóng ñèn ñưc coi là ñng ñu n u tu i th c a bóng ñèn có ñ l ch chu n b ng 1000 ho c ít h ơn. L y ng u nhiên 10 bóng ñ ki m tra, thì ñưc ñ l ch chu n m u là 1150, V y, v i m c ý ngh ĩa 5%, có th coi ch t l ưng bóng ñèn do công ty ñó s n xu t là ñng ñu không? Bi t r ng tu i th c a bóng ñèn là m t BNN có phân ph i chu n. Gi i: 22 2 22 Ki m ñ nh gi thi t v ph ươ ng sai d ng H:0σσ= 0 =1000 ;H: 1 σσ > 0 mc α = 5% . (n− 1) S 2 Nu H ñúng thì Y=~ χ2 n − 1 0 2 () σo 2 2 Giá tr t ơi h n: gtth=χ1−α ( n −=χ 1) 0,95 (9) = 16,919 9. 1150 2 Vi m u c th ta có y= =11 , 9025 < gtth 1000 2 110 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân H0 ñưc ch p nh n ngh ĩa là có th coi ch t l ưng bóng ñèn do công ty ñó sn xu t là ñng ñu. 6. 28. Ti m t nông tr ưng, ñ ñiu tra kh i l ưng c a m t lo i trái cây, sau m t ñt bón m t lo i phân m i, ng ưi ta cân th m t s trái cây ñưc ch n ng u nhiên và ñưc k t qu sau: Kh i l ưng (gam) S trái cây [45, 50) 2 [50, 55) 11 [55, 60) 25 [60, 65) 74 [65, 70) 187 [70, 75) 43 [75, 80) 16 ≥ 80 3 Tr ưc kia, kh i l ưng trung bình c a m i trái là 65 gam. Hãy ñánh giá xem lo i phân bón m i có mang l i hi u qu không? (k t lu n m c ý ngh ĩa α = 1%). Gi i: T s li u ñã cho ta tính ñưc n=361; x = 66,38; s = 5, 41 Ki m ñ nh gi thi t H00:µ=µ= 65(); g H 10 : µ>µ m c α =1% X − µ Nu H ñúng thì U= 0 n~ N () 0,1 0 s Vi α = 0,01 ta suy ra: gtth= u1−α = u 0,99 = 2,33 66,38− 65 Vi m u c th ta tính ñưc: u=361 = 4,85 > gtth 5,41 Vy H0 b bác b ngh ĩa là: loi phân bón m i có mang l i hi u qu . (k t lu n mc ý ngh ĩa α = 1%). 6. 29. Mt công ty th ươ ng m i, d a vào kinh nghi m quá kh , ñã xác ñnh r ng vào cu i n ăm thì 80% s hoá ñơn ñã ñưc thanh toán ñ y ñ , 10% kh t l i 1 tháng, 6% kh t l i 2 tháng, và 4% kh t l i h ơn 2 tháng. Vào cu i n ăm nay, công ty ki m tra m t m u ng u nhiên g m 400 hoá ñơn và th y r ng: 287 hoá ñơn ñã ñưc thanh toán ñy ñ , 49 kh t l i 1 tháng, 30 kh t l i 2 tháng và 34 kh t l i h ơn 2 tháng. Nh ư v y, vi c thanh toán hoá ñơn n ăm nay có còn theo qui lu t nh ư nh ng năm tr ưc không? (k t lu n m c ý ngh ĩa α = 5% ). Gi i: Ta ki m ñ nh gi thi t v phân ph i. H0 : Vi c thanh toán hoá ñơn n ăm nay theo qui lu t n ăm tr ưc 111 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân H1 : Vi c thanh toán hoá ñơn n ăm nay không theo qui lu t n ăm tr ưc. m c ý ngh ĩa α = 5%. Bng t n s lý thuy t và th c nghi m: Thanh toán Khu t l i 1 Khu t l i 2 Khu t l i ñy ñ ( x1 ) tháng ( x2 ) tháng ( x3 ) hơn 2 tháng ( x4 ) Tn s quan 287 49 30 34 sát Tn s lý 320 40 24 16 thuy t Ta có: 2 2 2 2 2 4 ()o− e ()287− 320() 49 − 40() 30 − 24() 34 − 16 Q2 =∑ i i = +++= 27,178 i=1 ei 320 40 24 16 2 2 Vi α = 5% , gtth = χ1−α (3) =χ 0,95 ( 3) = 7,815 2 2 Ta th y Q > χ 1−α (3) nên: Vic thanh toán hoá ñơn n ăm nay không còn theo qui lu t nh ư nh ng n ăm tr ưc. (k t lu n m c ý ngh ĩa α = 5%). 6. 30. Đ l p k ho ch s n xu t m t hàng m i, m t công ty ñã ti n hành ñiu tra v s thích c a khách hàng v 3 lo i m u khác nhau c a cùng m t lo i hàng. K t qu ñưc trình bày b ng sau: M u A B C hàng Ý ki n Thích 43 30 42 Không thích 35 53 39 Không có ý ki n 22 17 19 Có hay không s phân bi t v s thích c a khách hàng ñi v i 3 lo i m u nói trên? K t lu n m c ý ngh ĩa 5%. Gi i: Ta ki m ñ nh gi thi t v phân ph i. H0 : Không có s phân bi t v s thích H1 : Có s phân bi t v s thích ñ i v i 3 m t hàng (mc ý ngh ĩa 5%). Bng ñ i chi u t n s : Trong ngo c là t n s lý thuy t: M u A B C 112 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân hàng Ý ki n Thích 43 30 42 (38,33) (38,33) (38,33) Không thích 35 53 39 (42,33) (42,33) (42,33) Không có ý ki n 22 17 19 (19,33) (19,33) (19,33) 2 9 ()o− e Q2 =∑ i i = 7,606 i=1 ei 2 2 χ1−α (4) =χ 0,95 ( 4) = 9,488 2 2 Ta th y Q < χ 1−α (8) nên H0 ñưc ch p nh n ngh ĩa là: Không có s phân bi t v s thích ñ i v i 3 m t hàng. 6. 31. Điu tra m t s s n ph m c a m t xí nghi p v chi u dài (X (cm)) và hàm lưng ch t A (Y (%)), ng ưi ta có k t qu sau: Y 8 10 12 14 16 X 100 5 5 110 4 6 7 120 5 9 8 130 4 6 9 140 5 7 Các s n ph m có chi u dài không quá 110cm và hàm l ưng ch t A không hơn 12% ñưc g i là s n ph m lo i II. N u xí nghi p báo cáo r ng s n ph m lo i II có ch tiêu Y trung bình là 10% thì có th ch p nh n ñưc không? K t lu n mc ý ngh ĩa 5% (gi thi t hàm l ưng này có phân ph i chu n) Gi i: Bng s li u cho ch tiêu Y c a nh ng s n ph m lo i A. y j 8 10 12 n j 9 11 7 Giá tr trung bình m u: y = 9,85 và giá tr ñ l ch chu n m u: sY =1,56 , c m u n = 27 . 113 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Ta ki m ñ nh gi thi t sau: H0:µµY= 0 = 10( %) ; H 1 : µµ Y ≠ 0 m c ý ngh ĩa 5% Y − µ0 Nu H0 ñúng thì BNN T= ntn~() − 1 SY (26 ) Vi m c ý ngh ĩa α = 5% ta tính ñưc gtth= t 0,05 = 2,0555 1− 2 9,85− 10 Vi m u c th ta tính ñưc: t =27 = − 0,5 1,56 Ta có t< gtth nên H0 không b bác b . Vy, ch p nh n báo cáo c a xí nghi p ( m c ý ngh ĩa 5%). 6. 32. Go ñ tiêu chu n xu t kh u là g o có t l h t nguyên, h t v và t m, theo th t , là: 90%, 6% và 4%. Ki m tra 1000 h t g o c a m t lô g o, ng ưi ta th y trong ñó có: Ht nguyên: 880; h t v : 60 và t m: 60 Hi lô g o có ñ tiêu chu n xu t kh u không? Cho k t lu n m c ý ngh ĩa 5%. Gi i: Đ k t lu n v tiêu chu n c a lô g o ta ki m ñ nh gi thi t sau: H0 : Lô g o ñ tiêu chu n xu t kh u. H1 : Lô g o không ñ tiêu chu n xu t kh u ( m c ý ngh ĩa 5%). Nu H0 ñúng thì trong 1000 h t g o có 900 h t nguyên, 60 h t v và 40 h t tm. ()880− 9002() 60 − 60 2() 60 − 40 2 Ta có Q2 = + + = 10,44 900 60 40 (3) Vi α = 5%, gtth =χ1− 0,05 = 7,815 2 Vì Q> gtth nên H0 b bác b . Vy, lô g o không ñ tiêu chu n xu t kh u (k t lu n m c ý ngh ĩa 5%). 6. 33. Giám ñc tr i gà Alpha xem l i h s ơ c a m t ñ t kh o sát v kh i l ưng ca gà xu t chu ng tr i gà thì th y s li u ñưc ghi nh ư sau: Kh i l ưng (kg) S con gà 114 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân [2,3; 2,7) 5 [2,7; 2,9) 30 [2,9; 3,1) 41 [3,1; 3,3) 25 [3,3; 3,5) 10 [3,5; 3,7) 5 [3,7; 3,9) 5 Ban giám ñc tr i gà Alpha báo cáo r ng kh i l ưng trung bình c a gà trên 3 kg. Hãy cho nh n xét v báo cáo trên m c ý ngh ĩa 2%. Gi i: T s li u ta tính ñưc: n=121; x = 3,06; s = 0,2826 . Ta ki m ñ nh gi thi t sau: H0:µµX= 01 = 3; H : µµ X > 0 m c α = 2% . X − µ0 Nu H0 ñúng thì BNN U= n~ N () 0,1 sX Vi α = 2% , gtth= u1−α = u 0,95 = 1,6449 x − µ 3,06− 3 Vi m u c th : u=0 n =121 = 2,3354 sX 0, 2826 Vì u> gtth nên H0 b bác b ngh ĩa là báo cáo c a Ban giám ñ c là ñúng ( m c ý ngh ĩa 5%). 6. 34. Đ so sánh th i gian c t trung bình c a m t máy ti n lo i c ũ v i m t máy ti n lo i m i, ng ưi ta cho m i máy c t th 10 l n và ño th i gian c t (tính b ng giây) . K t qu thu ñưc nh ư sau: Máy lo i c ũ: 58, 58, 56, 38, 70, 38, 42, 75, 68, 67. Máy lo i m i: 57, 55, 63, 24, 67, 43, 33, 68, 56, 54.. Bi t r ng th i gian c t c a máy lo i c ũ và c a máy lo i m i là các bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i chu n có ñ l ch chu n, theo th t , là 13,5 giây và 14,5 giây. Vi m c ý ngh ĩa 5%, có th cho r ng máy lo i m i t t h ơn (có th i gian c t trung bình ít h ơn) máy lo i c ũ hay không? Gi i: Gi X, Y theo th t là BNN ch th i gian c t c a máy ti n c ũ và máy ti n mi. 115 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Ta ki m ñ nh gi thi t sau: H0:µµXY= ; H 1 ; µ XY > µ m c ý ngh ĩa 5%. X− Y Nu H0 ñúng thù BNN U= ~ N () 0,1 σ2 σ 2 X+ Y n m Vi α = 5% , gtth= u1−0 ,05 = u 0,95 = 1,6449 Vi m u c th ta tính ñưc: xs=57;X = 13,6; y = 52; s Y = 14,46 57− 52 Do ñó u = = 2,988 13,5 14,5 + 10 10 Vì u> gtth nên H0 b bác b . Vy, có th cho r ng máy lo i m i t t h ơn (có th i gian c t trung bình ít h ơn) máy lo i c ũ. 116 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân CH ƯƠ NG 7: TƯƠ NG QUAN VÀ H I QUY 7.1. Xem vect ơ ng u nhiên (X,Y) tuân theo lu t phân ph i chu n hai chi u mà mt m u ng u nhiên g m 8 c p ñưc ch n ra nh ư sau: xi 1 2 3 4 5 6 7 8 yi 5 7 11 17 21 25 29 32 a) Hãy tính giá tr h s t ươ ng quan m u c a X và Y và cho nh n xét. b) Hãy ki m ñ nh gi thi t v s t ươ ng quan gi a X à Y m c α = 5% . c) Hãy l p hàm h i quy tuy n tính m u và d ñoán n u X l y giá tr b ng 20 thì Y nh n giá tr bao nhiêu? Gi i: ∑ xy− nxy. a) r=i i = 0,996 . X và Y có quan h g n nh ư tuy n tính. (n− 1)sX .s Y b) Ki m ñ nh gi thi t H0:ρ= 0; H 1 : ρ ≠ 0 m c α = 5% n−2 Nu H 0 ñúng thì T=R ~ t() n − 2 1 − R2 n ∑(Xi− X ).( Y i − Y ) (n = 8 và R = i =1 là h s t ươ ng quan m u) (n− 1) SX S Y (6) Vi α = 5% , gtth =t1−α / 2 = 2,4469 . n − 2 6 Vi m u c th , ta có r = 0,996 và t= r =0,996 = 27,3 1−r 2 10,996 − 2 Vì t> gtth nên H 0 b bác b ngh ĩa là X, Y th t s t ươ ng quan. c) Ph ươ ng trình h i quy tuy n tính m u: y= −0.107 + 4,107 x . T ñó, n u X = 20 thì Y = 82,036 . 7.2. Mt c ơ s s n xu t ñã ghi l i s ti n ñã chi cho vi c nghiên c u phát tri n và l i nhu n hàng n ăm c a c ơ s trong 6 n ăm v a qua nh ư sau: ( ñơ n v 10 6 VN Đ) Chi nghiên c u 5 11 4 5 3 2 Li nhu n 31 40 30 34 25 20 117 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân a) Hãy tính giá tr h s t ươ ng quan m u gi a chi nghiên c u và l i nhu n. b) Chi nghiên c u và l i nhu n có th c s t ươ ng quan không? (k t lu n m c ý ngh ĩa α = 2%). c) Vi t ph ươ ng trình ñưng h i qui tuy n tính m u c a l i nhu n theo chi phí nghiên c u. Gi i: a) r = 0,909 b) Ki m ñ nh gi thi t H0:ρ= 0; H 1 : ρ≠ 0 m c ý ngh ĩa α = 1% n −2 Nu H0 ñúng thì BNN T=R ~ t() n − 2 1 − R2 gtth= t1/2−α ( t −=2) t 0,99 ( 4) = 3,7469 4 Vi m u c th ta có t =0,909 = 4,361 1− 0,909 2 Vì t> gthh nên H0 b bác b . Ngh ĩa là X và Y th c s t ươ ng quan. (k t lu n m c ý ngh ĩa α = 2%). c) Ph ươ ng trình ñưng h i quy tuy n tính m u: y = 2 x + 20 7.3. Đo chi u cao Y (cm) và chi u dài chi d ưi X (cm) c a m t nhóm thanh niên, ng ưi ta thu ñưc s li u sau: yi 160 161,5 163 165 167 168 171 172 xi 78 79 80 81 82 83 84 85 (a). Tính giá tr h s t ươ ng quan m u c a X và Y. (b). m c ý ngh ĩa α = 5%, hãy cho nh n xét v tài li u cho r ng h s tươ ng quan c a X và Y là 0,9. (c). Vi t ph ươ ng trình ñưng h i quy m u c a Y theo X. Đáp s : (a) r = 0,996 (b) Ki m ñ nh gi thi t H 0: ρ = 0,9 ñi v i H 1: ρ ≠ 0,9. Tr c nghi m U 2 ñuôi ñưc s d ng, v i 118 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Z − µ U= Z ~ N (0,1) . σZ Vi m c α = 5% , gtth=u0,975 = 1,96 ; vi m u c th , chúng ta có : 1+ 0,996 z =1 ln = 3,106 , 2( 1− 0,996 ) 1 1+ 0,9 0,9 1 µ=Z ln + = 1,5365; σ=Z , 2( 1− 0,9) 2(81) − 5 z − µ và u =Z = 3,509 σZ Vì u > gtth nên m c ý ngh ĩa α = 5%, gi thi t H 0 b bác b , ngh ĩa là tài li u không ñưc ch p nh n ( m c ý ngh ĩa α = 5%). (c) y = 1,768x + 21,857. 7.4. Mt gi ng viên d y môn th ng kê yêu c u m i sinh viên ph i làm m t ñ án phân tích d li u và d k ỳ thi h t môn. Sau ñó, m t m u g m 10 sinh viên ñưc ch n ng u nhiên, ñim s ñưc ghi l i nh ư sau: Đim thi 81 62 74 78 93 69 72 83 90 84 Đim ñ 92 79 76 71 69 76 87 62 80 75 án (a) Tìm kho ng tin c y 95% cho ñim thi trung bình c a m t sinh viên (gi thi t ñim thi c a sinh viên tuân theo lu t phân ph i chu n). (b) m c ý ngh ĩa 5%, hãy ñánh giá v s t ươ ng quan tuy n tính gi a hai lo i ñim trên. Gi i: (a) G i X là ñim thi c a sinh viên. Ta có: x = 78,6 s = 9,57 . Kho ng tin c y 95% cho ñim thi trung bình c a m t sinh viên: (x− ex; + e ) ()9 s 5,97 e= t 1+γ . = 2,2622. = 4,27 2 10 10 Kho ng tin c y c n tìm (74,33; 82,87 ). (b) G i Y là ñim ñ án c a sinh viên. Đt ρ= ρ X, Y . Chúng ta ph i có quy t ñ nh gi a hai gi thi t: H0: ρ = 0 và H 1: ρ ≠ 0, Nu H 0 ñúng thì BNN 119 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 10− 2 T = R ~ t(8) 1 − R2 (8) Vi m c α = 5% , giá tr t i h n là: t0,975 = 2,3060 ; vi m u c th , chúng ta có h s t ươ ng quan m u: r = 0,776 . Do ñó: 0,776. 8 t = = 3, 48 1− (0,776) 2 Vì |t| >2,306 nên gi thi t H 0 b bác b m c ý ngh ĩa α = 5%. Nói cách khác, chúng ta ch p nh n r ng X và Y t ươ ng quan m c ý ngh ĩa 5%. 7.5. Đ th c hi n m t công trình nghiên c u v m i quan h gi a chi u cao Y(m) và ñưng kính X(cm) c a m t lo i cây, ng ưi ta quan sát trên m t m u ng u nhiên và có k t qu sau: xi 28 28 24 30 60 30 32 42 43 49 yi 5 6 5 6 10 5 7 8 9 10 (a). Hãy tính giá tr h s t ươ ng quan m u c a X và Y và cho nh n xét. (b) Vi t ph ươ ng trình ñưng th ng h i quy m u c a Y theo X. Hãy d báo chi u cao c a cây có ñưng kính 45 cm. Gi i: (a) r = 0,939. Vì r r t g n 1 nên gi a X và Y có h i qui tuy n tính. (b) y = 0,166 x + 1,041. D báo chi u cao c a cây có ñưng kính 45 cm là: y = 0,166 × 45 + 1,041 = 8,5 m 7.6. X (%) và Y(kg/mm 2) là hai ch tiêu ch t l ưng c a m t lo i s n ph m. Điu tra m t s s n ph m, b ng sau: X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8 Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tn s 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2 a) Hãy tính các giá tr trung bình m u c a X, Y; ph ươ ng sai m u c a X, Y và h s t ươ ng quan m u gi a X và Y. b) Vi t ph ươ ng trình h i quy m u c a Y theo X. T ñó d ñoán xem n u ch tiêu X là 9 thì ch tiêu Y là bao nhiêu? Gi i: a) Ta có trung bình m u: 120 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân x=5,93; y = 15,17; Ph ươ ng sai m u: 2 2 σX=3,44; σ Y = 28,42 H s t ươ ng quan m u: r = 0,66 b) Ph ươ ng trình h i quy Y theo X: y=3,86 + 1.91 x Nu X có giá tr là 9 thì Y s nh n giá tr là 21. 7.7. X (%) và Y(kg/mm 2) là hai ch tiêu ch t l ưng c a m t lo i s n ph m. Điu tra m t s s n ph m, b ng sau: X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8 Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tn s 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2 a) Tính giá tr h s t ươ ng quan m u gi X và Y. Vi t Vi t ph ươ ng trình h i quy m u c a Y theo X. b) Ki m ñ nh gi thi t xem X và Y có t ươ ng quan không m c ý ngh ĩa 5%? Gi i: a) Giá tr h s t ươ ng quan m u: r = 0,66 . Ph ươ ng trình h i quy Y theo X: y=3,86 + 1.91 x . b) Ki m ñ nh gi thi t H0:ρ= 0; H 1 : ρ ≠ 0 m c ý ngh ĩa 5% Nu H0 ñúng thì BNN n − 2 T=R ~(2) t n − 1 − R2 (28 ) Vi m c ý ngh ĩa 5%, gtth= t 0,975 = 2,0484 Vi m u c th ta có n − 2 t= r = 4,69 1− r 2 Vì t> gtth nên H0 b bác b , ngh ĩa là X và Y t ươ ng quan m c ý ngh ĩa 5%. 7.8. X (%) và Y(kg/mm 2) là hai ch tiêu ch t l ưng c a m t lo i s n ph m. Điu tra m t s s n ph m, b ng sau: X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8 Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tn s 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2 a) Tìm kho ng tin c y 95% cho ch tiêu Y (gi thi t ch tiêu Y tuân theo lu t phân ph i chu n). 121 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân b) Vi t ph ươ ng trình h i quy m u c a Y theo X. T ñó d ñoán xem n u ch tiêu X là 9 thì ch tiêu Y là bao nhiêu? Gi i: a) Trung bình m u ch tiêu Y là: y=15,17; s Y = 5,33 Kho ng tin c y 95% cho trung bình ch tiêu Y là: ( y− ey; + e ) s 5,33 Vi e= t ()29 .Y = 2,0452. =≈ 1,99 2 0,975 30 30 Vy kho ng tin c y c n tìm là: (13,18;17,16 ) b) Ph ươ ng trình h i quy Y theo X: y=3,86 + 1.91 x Nu X có giá tr là 9 thì Y s nh n giá tr là 21. 7.9. X (%) và Y(kg/mm 2) là hai ch tiêu ch t l ưng c a m t lo i s n ph m. Điu tra m t s s n ph m, b ng sau: X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8 Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tn s 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2 a) Có tài li u cho r ng trung bình ch tiêu X là 6,5%. Hãy cho nh n xét v tài li u trên m c ý ngh ĩa 5%. Gi thi t các ch tiêu X, Y tuân theo lu t phân ph i chu n. b) Tính giá tr h s t ương quan m u c a X và Y. Vi t ph ươ ng trình ñưng th ng h i quy m u c a Y theo X. Gi i: a) Ki m ñ nh gi thi t H0:µµX= 0 = 6,5; H 1 : µµ X ≠ 0 m c ý ngh ĩa 5%. X − µ Nu H ñúng thì BNN T=0 ntn~() − 1 0 S (29 ) Vi m c ý ngh ĩa 5%, gtth= t 0,975 = 2,0452 5,93− 6,5 Vói m u c th ta tính ñưc: t =30 = 0,908 3,44 Vì t< gtth nên H0 không b bác b ngh ĩa là ta ch p nh n tài liêu trên mc ý ngh ĩa 5%. b) Giá tr h s t ươ ng quan m u: r = 0,66 . Ph ươ ng trình h i quy Y theo X: y=3,86 + 1.91 x . 122 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 7.10. Nghiên c u l ưng phân bón (X kg) ñưc dùng ñ bón cho ru ng trong mt v ; Y(kg/1000m2) là n ăng su t lúa. Th ng kê 30 h gia ñình, k t qu nh ư sau: S h 3 5 2 6 4 3 5 2 xi 40 40 50 50 50 60 60 60 yi 270 280 280 290 300 300 310 320 a) Tính giá tr h s t ươ ng quan m u c a X và Y. Vi t ph ươ ng trình h i quy mu Y theo X. b) Ki m ñ nh gi thi t cho r ng h s t ươ ng quan c a X và Y b ng 0,9 mc ý ngh ĩa α = 5%. Gi i: a) Giá tr h s t ươ ng quan m u: r = 0,891 . Ph ươ ng trình ñưng h i quy m u: Y=210,15 + 1,64 X . b) Ki m ñ nh gi thi t H0:ρρ= 0 = 0,9; H 1 : ρρ ≠ 0 m c ý ngh ĩa α = 5%. Tr c nghi m U 2 ñuôi ñưc s d ng, v i Z − µ U= Z ~ N (0,1) . σZ Vi m c α = 5% , gtth=u0,975 = 1,96 ; Vi m u c th , ta có 1 1+ 0,891  z= z =2 ln  = 1,427 1− 0,891  1 1+ 0,9 0,9 1 µ=Z ln + = 1,488; σ=Z 2( 1− 0,9) 2(30 − 1) 27 z − µ u =Z = 0,317 σZ Vì |u | < gtth nên H0 ñưc ch p nh n ngh ĩa là gi thi t h s t ương quan c a X và Y b ng 0,9 là ñúng m c ý ngh ĩa α = 5%. 7.11. Đ nghiên c u s t ươ ng quan gi a chi u cao X (cm) và s c n ngY (kg) con ng ưi, quan sát trên m t m u ng u nhiên, ng ưi ta có k t qu sau: yk [40, 45) [45, 50) [50, 55) [55, 60) [60, xi 65) 123 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân [140, 145) 1 4 [145, 150) 2 6 1 [150, 155) 10 8 2 [155, 160) 8 6 3 [160, 165) 1 1 (a) Hãy l p b ng phân b t n s , t n su t cho các giá tr c a X, Y. (b) Tính các giá tr trung bình m u, ñ l ch chu n m u và h s t ươ ng quan mu c a X và Y. Vi t ph ươ ng trình ñưng th ng h i quy tuy n tính m u c a Y theo X. Gi i: a) B ng t n s , t n su t c a X và Y: Bi n X Bi n Y Lp Tn s Tn su t Lp Tn s Tn su t [140, 145) 5 0,094 [40, 45) 1 0,019 [145, 150) 9 0,170 [45, 50) 6 0,113 [150, 155) 20 0,377 [50, 55) 24 0,453 [155, 160) 17 0,321 [55, 60) 16 0,302 [160, 165) 2 0,038 [60, 65) 6 0,113 b) x=152,69; y = 54,23; sX = 5,14; s Y = 4,41 r = 0,6544 Ph ươ ng trình h i quy: y= −31,59 + 0,56 x 7.12. Đ nghiên c u s t ươ ng quan gi a chi u cao X (cm) và s c n ngY (kg) con ng ưi, quan sát trên m t m u ng u nhiên, ng ưi ta có k t qu sau: yk [40, 45) [45, 50) [50, 55) [55, 60) [60, xi 65) 124 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân [140, 145) 1 4 [145, 150) 2 6 1 [150, 155) 10 8 2 [155, 160) 8 6 3 [160, 165) 1 1 a) Tính giá tr h s t ươ ng quan m u c a X và Y. Vi t ph ươ ng trình ñưng th ng hi quy tuy n tính m u c a Y theo X. b) Có tài li u cho bi t h s t ươ ng quan gi a X và Y là 0,65. Hãy cho nh n xét v tài li u ñó, m c α = 5%. Gi i: a) r = 0,6544 Ph ươ ng trình h i quy: y= −31,59 + 0,56 x b) Ki m ñ nh gi thi t H 0 : ρ = 0,65 ñi v i H 1: ρ ≠ 0,65 m c α = 5%. Tr c nghi m U 2 ñuôi ñưc s d ng, v i Z − µ U= Z ~ N (0,1) . σZ Vi m c α = 5% , gtth=u0,975 = 1,96 ; vi m u c th , chúng ta có : 1+ 0,6544 z =1 ln = 0,783 , 2( 1− 0,6544 ) 1 1+ 0,65 0,65 1 µ=Z ln + = 0,7816; σ=Z , 2( 1− 0,65) 2(53 − 1) 50 z − µ và u =Z = 0,01 σZ Vì u < gtth nên m c ý ngh ĩa α = 5%, gi thi t H 0 ñưc ch p nh n, ngh ĩa là tài li u ñưc ch p nh n ( m c ý ngh ĩa α = 5%). 125 MATHEDUCARE.COM

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfbai_tap_xac_suat_thong_ke.pdf
Tài liệu liên quan