Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng loại (kiểu) I

ThS. ðoàn Vương Nguyên Trang 1 CHUYÊN ðỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) I TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I. Hệ ñối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát: f(x, y) = 0 g(x, y) = 0    , trong ñó f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)   Phương pháp giải chung: i) Bước 1: ðặt ñiều kiện (nếu có). ii) Bước 2: ðặt S = x + y, P = xy với ñiều kiện của S, P và 2S 4P≥ . iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et ñảo tìm x, y. Chú ý: i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP. ii) ðôi khi ta phải ñặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv. iii) Có những hệ phương trình trở thành ñối xứng loại I sau khi ñặt ẩn phụ. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 2 2 3 3 x y xy 30 x y 35  + =  + = . GIẢI ðặt S x y, P xy= + = , ñiều kiện 2S 4P≥ . Hệ phương trình trở thành: 2 2 30 PSP 30 S 90S(S 3P) 35 S S 35 S  = =  ⇔    − =   − =     S 5 x y 5 x 2 x 3 P 6 xy 6 y 3 y 2    = + = = =      ⇔ ⇔ ⇔ ∨       = = = =       . Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 3 3 xy(x y) 2 x y 2  − = −  − = . GIẢI ðặt t y, S x t, P xt= − = + = , ñiều kiện 2S 4P.≥ Hệ phương trình trở thành: 3 3 3 xt(x t) 2 SP 2 x t 2 S 3SP 2  + = =  ⇔   + = − =   S 2 x 1 x 1 P 1 t 1 y 1   = = =    ⇔ ⇔ ⇔     = = = −     . Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 1 1 x y 4 x y 1 1 x y 4 x y  + + + =  + + + = . GIẢI ThS. ðoàn Vương Nguyên Trang 2 ðiều kiện x 0, y 0≠ ≠ . Hệ phương trình tương ñương với: 2 2 1 1 x y 4 x y 1 1 x y 8 x y        + + + =                 + + + =          ðặt 2 1 1 1 1 S x y ,P x y ,S 4P x y x y             = + + + = + + ≥                      ta có: 2 1 1 x y 4 S 4 S 4 x y P 4 1 1S 2P 8 x y 4 x y        + + + =     = =         ⇔ ⇔      =− =      + + =         1 x 2 x 1x 1 y 1 y 2 y  + =  = ⇔ ⇔    = + = . Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 2 2x y 2xy 8 2 (1) x y 4 (2)  + + =   + = . GIẢI ðiều kiện x, y 0≥ . ðặt t xy 0= ≥ , ta có: 2xy t= và (2) x y 16 2t⇒ + = − . Thế vào (1), ta ñược: 2t 32t 128 8 t t 4− + = − ⇔ = Suy ra: xy 16 x 4 x y 8 y 4  = =  ⇔   + = =   . II. ðiều kiện tham số ñể hệ ñối xứng loại (kiểu) I có nghiệm Phương pháp giải chung: i) Bước 1: ðặt ñiều kiện (nếu có). ii) Bước 2: ðặt S = x + y, P = xy với ñiều kiện của S, P và 2S 4P≥ (*). iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ ñiều kiện (*) tìm m. Chú ý: Khi ta ñặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác ñiều kiện u, v. Ví dụ 1 (trích ñề thi ðH khối D – 2004). Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực: x y 1 x x y y 1 3m  + =   + = − . GIẢI ThS. ðoàn Vương Nguyên Trang 3 ðiều kiện x, y 0≥ ta có: 3 3 x y 1 x y 1 x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m   + = + =  ⇔   + = − + = −    ðặt S x y 0,P xy 0= + ≥ = ≥ , 2S 4P.≥ Hệ phương trình trở thành: 2 S 1 S 1 P mS 3SP 1 3m  = =  ⇔    =− = −  . Từ ñiều kiện 2S 0,P 0,S 4P≥ ≥ ≥ ta có 10 m 4 ≤ ≤ . Ví dụ 2. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình 2 2 x y xy m x y xy 3m 9  + + =  + = − có nghiệm thực. GIẢI 2 2 x y xy m (x y) xy m xy(x y) 3m 9x y xy 3m 9  + + = + + =  ⇔    + = −+ = −  . ðặt S = x + y, P = xy, 2S 4P.≥ Hệ phương trình trở thành: S P m SP 3m 9  + =  = − . Suy ra S và P là nghiệm của phương trình 2t mt 3m 9 0− + − = S 3 S m 3 P m 3 P 3  = = −  ⇒ ∨   = − =   . Từ ñiều kiện ta suy ra hệ có nghiệm 2 2 3 4(m 3) 21 m m 3 2 3 (m 3) 12 4  ≥ − ⇔ ⇔ ≤ ∨ ≥ + − ≥ . Ví dụ 3. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình x 4 y 1 4 x y 3m  − + − =   + = có nghiệm. GIẢI ðặt u x 4 0, v y 1 0= − ≥ = − ≥ hệ trở thành: 2 2 u v 4u v 4 21 3mu v 3m 5 uv 2  + = + =  ⇔  − + = − =   . Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của 2 21 3mt 4t 0 2 − − + = (*). Hệ có nghiệm ⇔ (*) có 2 nghiệm không âm / 3m 130 0 132S 0 m 7 21 3m 3 0P 0 2  −∆ ≥  ≥ ⇔ ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤    −  ≥≥    . ThS. ðoàn Vương Nguyên Trang 4 Ví dụ 4. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình 2 2x y 4x 4y 10 xy(x 4)(y 4) m  + + + =  + + = có nghiệm thực. GIẢI 2 22 2 2 2 (x 4x) (y 4y) 10x y 4x 4y 10 xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m   + + + = + + + = ⇔   + + = + + =   . ðặt 2 2u (x 2) 0, v (y 2) 0= + ≥ = + ≥ . Hệ phương trình trở thành: u v 10 S 10 uv 4(u v) m 16 P m 24  + = =  ⇔   − + = − = +   (S = u + v, P = uv). ðiều kiện 2S 4P S 0 24 m 1 P 0  ≥ ≥ ⇔ − ≤ ≤  ≥ . BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau 1. 2 2 x y xy 5 x y xy 7  + + =  + + = . ðáp số: x 1 x 2 y 2 y 1  = =  ∨   = =   . 2. 2 2x xy y 3 2x xy 2y 3  + + =  + + = − . ðáp số: x 1 x 3 x 3 y 1 y 3 y 3    = − = = −   ∨ ∨     = − = − =      . 3. 3 3 x y 2xy 2 x y 8  + + =  + = . ðáp số: x 2 x 0 y 0 y 2  = =  ∨   = =   . 4. 3 3x y 7 xy(x y) 2  − =  − = . ðáp số: x 1 x 2 y 2 y 1  = − =  ∨   = − =   . 5. 2 2 x y 2xy 5 x y xy 7  − + =  + + = . ðáp số: 1 37 1 37 x xx 2 x 1 4 4 y 1 y 2 1 37 1 37 y y 4 4   − + = =  = = −      ∨ ∨ ∨       = = − − − − +     = =     . 6. 2 2 2 2 1 (x y)(1 ) 5 xy 1 (x y )(1 ) 49 x y  + + =  + + = . ðáp số: x 1 x 17 3 5 7 3 5 x x 2 2 7 3 5 7 3 5 y yy 1 y 1 2 2    = − = −   − +   = =   ∨ ∨ ∨   − +   = =   = − = −          . ThS. ðoàn Vương Nguyên Trang 5 7. x y y x 30 x x y y 35  + =   + = . ðáp số: x 4 x 9 y 9 y 4  = =  ∨   = =   . 8. x y 7 1 y x xy x xy y xy 78  + = +  + = (chú ý ñiều kiện x, y > 0). ðáp số: x 4 x 9 y 9 y 4  = =  ∨   = =   . 9. ( ) 2 23 3 3 3 2(x y) 3 x y xy x y 6  + = +  + = . ðáp số: x 8 x 64 y 64 y 8  = =  ∨   = =   . 10. Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình 2 2 2x y z 8 xy yz zx 4  + + =  + + = . Chứng minh 8 8x, y, z 3 3 − ≤ ≤ . HƯỚNG DẪN GIẢI Hệ phương trình 2 2 2 2 2x y 8 z (x y) 2xy 8 z xy z(x y) 4 xy z(x y) 4   + = −  + − = − ⇔ ⇔   + + = + + =   2 2(x y) 2[4 z(x y)] 8 z xy z(x y) 4  + − − + = −⇔   + + = 2 2(x y) 2z(x y) (z 16) 0 xy z(x y) 4  + + + + − =⇔   + + = 2 2 x y 4 z x y 4 z xy (z 2) xy (z 2)  + = − + = − −  ⇔ ∨   = − = +   . Do x, y, z là nghiệm của hệ nên: 2 2 2 2 2 (4 z) 4(z 2) 8 8 (x y) 4xy z ( 4 z) 4(z 2) 3 3  − ≥ − + ≥ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ − − ≥ + . ðổi vai trò x, y, z ta ñược 8 8x, y, z 3 3 − ≤ ≤ . 11. x y 1 1 1 16 16 2 x y 1        + =          + = . ðáp số: 1 x 2 1 y 2  =   = . 12. sin (x y) 2 2 2 1 2(x y ) 1 π + =  + = HƯỚNG DẪN GIẢI Cách 1: sin (x y) 2 2 2 22 2 sin (x y) 0 x y (1)2 1 2(x y ) 1 2(x y ) 1 (2)2(x y ) 1 π +  π + = + ∈ =    ⇔ ⇔     + = + =+ =    Z 2 2 2 2 1 2 2 x x1 2 2 2(2) x y 2 x y 2 12 2 2y y 2 2 2    ≤ − ≤ ≤  ⇔ + = ⇒ ⇒ ⇒ − ≤ + ≤    ≤ − ≤ ≤    . x y 0 (1) x y 1  + = ⇒  + = ± thế vào (2) ñể giải. ThS. ðoàn Vương Nguyên Trang 6 Cách 2: ðặt S = x + y, P = xy. Hệ trở thành: sinS 22 S2 1 4P 2S 12(S 2P) 1 π  ∈ =  ⇔    = −− =  Z . Từ ñiều kiện 2S 4P≥ ta suy ra kết quả tương tự. Hệ có 4 nghiệm phân biệt 1 1 1 1 x x x x 2 2 2 2 1 1 1 1 y y y y 2 2 2 2          = = − = = −      ∨ ∨ ∨          = = − = − =          . Tìm ñiều kiện của m ñể các hệ phương trình thỏa yêu cầu 1. Tìm m ñể hệ phương trình 2 2x xy y m 6 2x xy 2y m  + + = +  + + = có nghiệm thực duy nhất. HƯỚNG DẪN GIẢI Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành: 2 2 2 2 2 3x m 6 3x 6 m m 3 m 21x 4x m x 4x 3x 6    = +  − = = −  ⇔ ⇒    =+ = + = −     . + m = – 3: 2 2 2x xy y 3 (x y) xy 3 2(x y) xy 3 2(x y) xy 3   + + =  + − = ⇔   + + = − + + = −   x y 0 x y 2 x 3 x 3 x 1 xy 3 xy 1 y 1y 3 y 3     + = + = − = = − = −     ⇔ ∨ ⇔ ∨ ∨         = − = = −= − =         (loại). + m = 21: 2 2 2x xy y 27 (x y) xy 27 2x xy 2y 21 2(x y) xy 21   + + =  + − = ⇔   + + = + + =   x y 8 x y 6 x 3 xy 37 xy 9 y 3   + = − + = =    ⇔ ∨ ⇔     = = =     (nhận). Vậy m = 21. 2. Tìm m ñể hệ phương trình: 2 2 x xy y m 1 x y xy m  + + = +  + = có nghiệm thực x > 0, y > 0. HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 x xy y m 1 (x y) xy m 1 xy(x y) mx y xy m  + + = + + + = +  ⇔    + =+ =  x y 1 x y m xy m xy 1  + = + =  ⇔ ∨   = =   . Hệ có nghiệm thực dương 2 m 0 1 0 m m 2 1 4m m 4 4  >⇔ ⇔ < ≤ ∨ ≥  ≥ ∨ ≥ . Vậy 10 m m 2 4 < ≤ ∨ ≥ . ThS. ðoàn Vương Nguyên Trang 7 3. Tìm m ñể hệ phương trình x y m x y xy m  + =   + − = có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI ( ) 22 x y mx y mx y m m m x y xy m xyx y 3 xy m 3  + =  + = + =  ⇔ ⇔   −  + − = =+ − =      . Suy ra x, y là nghiệm (không âm) của phương trình 2 2 m mt mt 0 3 − − + = (*). Hệ có nghiệm ⇔ (*) có 2 nghiệm không âm / 2 2 0 m 4m 0 m 0 S 0 m 0 1 m 4 P 0 m m 0  ∆ ≥ − ≤  =  ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔    ≤ ≤  ≥ − ≥    . Vậy m 0 1 m 4= ∨ ≤ ≤ . 4. Tìm m ñể hệ phương trình 2 2 2 x y 2(1 m) (x y) 4  + = +  + = có ñúng 2 nghiệm thực phân biệt. HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 2 2 x y 2(1 m) (x y) 2xy 2(1 m) (x y) 4 (x y) 4   + = +  + − = + ⇔   + = + =   xy 1 m xy 1 m x y 2 x y 2  = − = −  ⇔ ∨   + = + = −   . Hệ có ñúng 2 nghiệm thực phân biệt khi ( ) 2 2 4(1 m) m 0± = − ⇔ = . 5. Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình 2 2 2 x y 2m 1 x y m 2m 3  + = −  + = + − . Tìm m ñể P = xy nhỏ nhất. HƯỚNG DẪN GIẢI ðặt S x y, P xy= + = , ñiều kiện 2S 4P.≥ 2 2 2 2 2 x y 2m 1 S 2m 1 x y m 2m 3 S 2P m 2m 3  + = − = −  ⇔   + = + − − = + −   2 2 2 S 2m 1S 2m 1 3(2m 1) 2P m 2m 3 P m 3m 2 2  = − = − ⇔ ⇔   − − = + − = − +   Từ ñiều kiện suy ra 2 2 4 2 4 2(2m 1) 6m 12m 8 m . 2 2 − + − ≥ − + ⇔ ≤ ≤ Xét hàm số 23 4 2 4 2f(m) m 3m 2, m 2 2 2 − + = − + ≤ ≤ . Ta có 4 2 11 6 2 4 2 4 2min f(m) f , m ; 2 4 2 2    − − − +  = = ∀ ∈        Vậy 11 6 2 4 2min P m 4 2 − − = ⇔ = .