Công thức toán học sơ cấp

               2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 1 2 2 1 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; 3 3 ; ; ; ; ... ; 2 2 2 ; 2 2 2 ; m m m m m m a b a ab b a b a a b ab b a b a b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a b a b a a b ab b a b a b a b a ab b a ab b a b c a b c ab ac bc a b c a b                                                                        2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 1 2 3 2 1 2 2 2 ; 2 2 2 ; 6 3 ; ... ... 2 ... ; ... . n n n n m m m m m m c ab ac bc a b c a b c ab ac bc a b c a b c abc a b ab b c bc c a ca a a a a a a a a a a a a a b a b a a b a b b                                                16 (nếu m là số tự nhiên lẻ) Các phép tốn với lũy thừa           . 0 ; . ; . ; ; 0 ; 1, 0 ; 1 , 0 ; . m m n n m n m n m m m n m m n m m m m m m n mn a a a a a a a b a b a a a a b b b a a a a a a a                    Các phép tốn với căn số (nếu căn cĩ nghĩa) . ... ma a a a m lần 17           . . . 1 ; . . ; , 0 ; ; ; ; , 0 ; , . n pn m m p n n n n n n m n m n m n m n m n mn n n n a a a b a b a a b b b a a a a a a x x a a aa x a bx a b a ba b               2. Tỷ lệ thức Định nghĩa: a c b d  Tính chất cơ bản: ad=bc Tìm các số hạng của tỷ lệ thức: ; bc ad a b d c   Các dẫn xuất: 18 ; ; ; ; ; ; ; . a b d c d b a b c d c d b a c a b d a b c d a b c d a b c d a c a c b d a b c d a b c d                     3. Số phức Các phép tốn trên số phức                   2 3 2 4 3 4 4 1 4 2 4 3 2 2 2 2 2 2 1, . , . . 1,..., 1, , 1, ; ' ' ' ' ; ' ' ' ' ' ' ; ; ' ' ' ' . ' ' ' ' ' ' n n n n i i i i i i i i i i i i i i i i a bi a b i a a b b i a bi a b i aa bb ab ba i a bi a bi a b a bi aa bb ba ab a b i a b a b                                            Biểu diễn hình học số phức Hình 1 1i   19 Điểm M(a,b) biểu diễn số phức a+bi (Hình 1) 2 2r OM a bi a b     là module của số phức. xOM  là argument của số phức, 2 2 2 2 tan ;cos ;sin b a b a a b a b        Dạng lượng giác của số phức:  cos sina bi r i    Cơng thức Moivre3:    cos sin cos sin n nr i r n i n        4. Phương trình a) Phương trình tương đương Nếu biểu thức C(x) cĩ nghĩa trong miền xác định của phương trình A(x)=B(x), thì:            A x B x A x C x B x C x     3 Abraham de Moivre (1667-1754) was a French mathematician famous for de Moivre's formula, which links complex numbers and trigonometry, and for his work on the normal distribution and probability theory. He was elected a Fellow of the Royal Society in 1697, and was a friend of Isaac Newton, Edmund Halley, and James Stirling. Among his fellow Huguenot exiles in England, he was a colleague of the editor and translator Pierre des Maizeaux. More… 20 Nếu biểu thức C(x) cĩ nghĩa và khác khơng trong miền xác định của phương trình A(x)=B(x), thì:            . .A x B x A x C x B x C x   Nếu n là số tự nhiên (n=1,2,3,…) thì:         2 1 2 1n n A x B x A x B x            b) Một số phương trình đại số  Phương trình bậc nhất ax+b=0, a  0; nghiệm b x a    Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c      Nếu 1 1 2 2 a b a b  hệ cĩ nghiệm duy nhất: 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 c b c b c b c b x a b a b a b a b a c a c a c a c y a b a b a b a b                    21 Nếu 1 1 1 2 2 2 a b c a b c   thì hệ vơ định:     1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 x c b x y b b y c b y x a a              tùy ý tùy ý Nếu 1 1 1 2 2 2 a b c a b c   hệ vơ nghiệm.  Phương trình bậc hai 2 0, 0ax bx c a    Nghiệm 2 4 2 b b ac x a     Nếu b2-4ac>0: Hai nghiệm thực và khác nhau; Nếu b2-4ac=0: Hai nghiệm thực và bằng nhau (nghiệm kép); Nếu b2-4ac<0: Hai nghiệm là cặp số phức liên hợp. Tính chất của nghiệm (cơng thức viết) 1 2 1 2 ; . . b x x a c x x a     22  Phương trình bậc ba Dạng tổng quát:  3 2 0, 0ax bx cx d a     Dạng chính tắc với 3 b x y a   3 0y py q   Trong đĩ 2 3 2 3 2 2 ; 3 27 3 b c b bc d p q a a a a a       Cơng thức Cardano4 2 3 2 3 3 3 2 4 27 2 4 27 q q p q q p y         Tính chất các nghiệm 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 ; ; . . . b x x x a c x x x x x x a d x x x a          4 Gerolamo Cardano or Girolamo Cardano (French Jerome Cardan, Latin Hieronymus Cardanus; September 24, 1501 — September 21, 1576) was an Italian Renaissance mathematician, physician, astrologer and gambler. More… 23 c) Phương trình mũ và phương trình logarith cơ bản  Phương trình mũ  , 0xa c a  Với c>0, a  1 cĩ duy nhất nghiệm log ;ax c c=1, a=1 vơ số nghiệm; c  1, a=1 vơ nghiệm; c  0 vơ nghiệm  Phương trình logarith  log , 0, 1a x c a a   Với mọi c phương trình cĩ nghiệm duy nhất x=ac. d) Phương trình lượng giác cơ bản cos x m 1m  cĩ vơ số nghiệm  2 , arccos ,0 ;x k m         |m|>1 vơ nghiệm sin x m 1m  cĩ vơ số nghiệm 24   1 1 2 2 2 2 arcsin , 2 2 x k x k m                         |m|>1 vơ nghiệm tan x m Với mọi m thực cĩ vơ số nghiệm: arctan , 2 2 x k m                  cot tan x m Với mọi m thực cĩ vơ số nghiệm  cot tan ,0 x k arc m           5. Bất đẳng thức và bất phương trình a) Bất đẳng thức Định nghĩa:    0 0a b a b a b      Các tính chất cơ bản: Nếu a>b thì ba. Nếu a>b và b>c thì a>c. Cũng như vậy, nếu a<b và b<c thì a<c. 25 Nếu a>b thì a+c>b+c Nếu a>b bà c>d thì a+c>b+d Nếu a>b bà cb-d Nếu a>b và m>0 thì . a b am bm m m   Nếu a>b và m<0 thì am<bm Nếu a>b>0 và c>d>0 thì ac>bd b) Bất phương trình  Bất phương trình tương đương A B B A   A B C A B C     (với C cĩ nghĩa trong miền xác định của bất phương trình A B ). Nếu C cĩ nghĩa và >0 trong miền xác định của bất phương trình A>B, thì: . .A B AC BC   Nếu C cĩ nghĩa và <0 trong miền xác định của bất phương trình A>B, thì: . .A B AC BC   Nếu 0B  trong miền xác định thì: 0 . 0 A A B B    26  Bất phương trình cĩ chứa giá trị tuyệt đối Giả sử 0  , khi đĩ:                                       2 2 ; 0 0 0 0 F F F F F B x A x B x A x B x B x B x A x B x A x B x B x A x B x B x A x B x A x B x                                                 Bất phương trình bậc nhất một ẩn  , 0ax b a  Nếu a>0 thì ; b x a  nếu a<0 thì b x a  27  Bất phương trình bậc hai một ẩn 2 2 2 12 2 2 2 1 2 0 4 0 0, 4 0 2 4 0 4 0 0, 4 0 ax bx c b ac x b a b ac x a x x b ac x x b ac a b ac x x x                            nghiệm đúng với mọi ; nghiệm đúng với mọi nghiệm đúng với mọi vo ânghiệm nghiệm đúng với ;    Ở đây x1, x2 là hai nghiệm thực của tam thức bậc hai 2ax bx c  .  Bất phương trình mũ và logarith cơ bản Bất phương trình mũ    A x B x a a với a>1 sẽ tương đương với bất phương trình A(x)>B(x); với 0<a<1 sẽ tương đương với bất phương trình A(x)<B(x). Bất phương trình logarith    log loga aA x B x Với a>1 sẽ tương đương với hệ:       0B x A x B x    Với 0<a<1 sẽ tương đương với hệ: 28       0A x A x B x     Bất phương trình lượng giác cơ bản cos 1 ; 1 1 2 2 , arccos ,0 x m m x m m k x k m                     Với nghiệm đúng với mọi Với vo ânghiệm; Với nghiệm đúng với trong đo ù   sin 1 ; 1 1 2 2 , arcsin , 2 2 x m m x m m k x k m                        Với nghiệ đúng với mọi Với vo ânghiệm; Với nghiệm đúng với trong đo ù   tan 2 1 , 2 arctan , . 2 2 x m k x k m               với mọi m nghiệm đúng với trong đo ù cot tan , arccottan ,0 . x m k x k m              với mọi m nghiệm đúng với trong đo ù 29 6. Cấp số; một số tổng hữu hạn  Cấp số cộng   1 2 1 2 1 3 1 1 , ,..., , ,... , 2 ,..., 1 n n n a a a a a a d a a d a a n d         Trong đĩ an là số hạng thứ n của cấp số cộng, d là cơng sai.    11 2 1 2 2 n n a n d na a n S       Trong đĩ Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số (tổng riêng thứ n).  Cấp số nhân 1 2 3 1 2 1 2 1 3 1 1 , , ,..., , ,... , ,..., n n n n a a a a a a a q a a q a a q     Trong đĩ an là số hạng thứ n của cấp số nhân, q là cơng bội. Tổng riêng thứ n:  1 2 1 1 ... . , 1 1 n n n q S a a a a q q          1, 1nS na q  Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn  1q  30 1 1 a S q    Một số tổng hữu hạn                                     2 22 2 2 2 22 33 3 3 3 22 2 22 2 2 33 3 3 1 1 2 3 ... 1 2 1 1 ... 1 2 1 3 5 ... 2 3 2 1 2 4 6 ... 2 2 2 1 1 2 1 1 2 3 ... 1 6 1 1 2 3 ... 1 4 1 1 3 5 ... 2 3 2 1 4 1 3 5 ... 2 3 2 n n n n q p q p p p q q n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                                                                             3 2 2 2 44 4 4 4 1 2 1 1 2 1 3 3 1 1 2 3 ... 1 30 n n n n n n n n n n               7. Logarith Định nghĩa: Cho N>0, 0<b, b  1 log xb N x b N   Tính chât 31               1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 log log log , 0 ; log log log , 0 ; log log , 0 ; 1 log log , 0 ; log log .log , 0, 1, 0 ; 1 log , 0, 1 log b b b b b b b b b b b b a b a N N N N N N N N N N N N N N N N N N N a N a a N a a a b                      Logarith thập phân:  lg 10 10xN x N b   cơ số Logarith tự nhiên ln 1 lim 1 2,718281828... x n n N x e N b e n             trong đo ù IV. HÌNH HỌC A. CÁC HÌNH PHẲNG 1. Tam giác a) Tam giác đều a là cạnh, h là đường cao, S là diện tích. 32 2 2 2 2 2 3 1,566 ; 3 3 0,866 ; 2 3 0,433 ; 4 3 0,578 . 3 a h h h a a a S a h S h         b) Tam giác vuơng Hình 2 b và c là cạnh gĩc vuơng; a là cạnh huyền;  và  là các gĩc nhọn; S là diện tích; h là đường cao hạ từ đỉnh gĩc vuơng xuống cạnh huyền; b’, c’ là hình chiếu của b và c lên cạnh huyền. 33 2 2 2 2 2 2 2 2 2 90 ; ; sin cos cot tan tan ; 1 ; 2 ' '; ' ; ' '; 1 1 1 . a b c b a a c c S bc c c a b b a h c b h b c                      c) Tam giác thường a, b, c là các cạnh;  là các gĩc đối tương ứng với các cạnh; r, R là bán kính vịng trịn nội tiếp, ngoại tiếp; p là nửa chu vi; S là diện tích. Hình 3 34     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; sin sin sin 2 cos ; 2 cos ; 2 cos ; tan cot tan 2 2 ; tan tan 2 2 cos 2 ; sin 2 sin 2 ; cos 2 4 1 1 1 sin sin sin ; 2 2 2 a b c R a b c bc b a c ac c a b ab a b a b a b c a b c abc S p p a p b p c pr R ab ac bc r p                                                               tan tan tan ; 2 2 2 a p b p c        Độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A: 2 2 21 2 2 ; 2 am b c a   Độ dài đường cao hạ từ đỉnh A: 35    2 ;a p p a p b p c h a     Độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A:   2 ;ag bcp p a b c    Tính chất của đưởng phân giác (AI là phân giác trong của gĩc A): ; BI IC AB AC  Trong một tam giác, giao điểm ba đường phân giác là tâm vịng trịn nội tiếp, giao điểm ba đường trung trực là tâm vịng trịn ngoại tiếp. 2. Đa giác a) Hình vuơng a là cạnh; d là đường chéo; S là diện tích. 2 2 2 0,707 ; 2 2 1,414 ; 1 . a d d d a a S d a a       b) Hình chữ nhật và hình bình hành a là cạnh đáy; h là đường cao; S là diện tích S=ah. 36 c) Hình thoi a là cạnh đáy; d là đường chéo lớn; d’ là đường chéo nhỏ; S là diện tích: 1 '; 2 S dd Nếu gĩc nhọn hình thoi bằng 60 thì a=d’ và: 2 21 3 0,866 ; 2 S a a  d) Hình thang a và b là cạnh đáy; b là đường cao; S là diện tích   1 . 2 S a b h  e) Tứ giác lồi bất kỳ d1, d2 là độ dài hai đường chéo;  là gĩc giữa chúng; S là diện tích. 1 2 1 sin . 2 S d d  f) Đa giác đều n cạnh n là số cạnh; a là cạnh;  là gĩc trong của đa giác;  là gĩc ở tâm; r và R là bán kính vịng trịn nội tiếp, ngoại tiếp; S là diện tích. 37 Hình 4 21 180 1cot tan ; 4 2 180 cot tan ; 2 180 cossec ; 180 2 2sin 2 tan 2 sin ; 2 2 2 .180 ; 360 . S na arn n a r n a R n n a r R n n n                      3. Hình trịn a) Hình trịn r là bán kính; C là độ dài vịng trịn; S là diện tích 38 2 2 2 6,283 ; 2 3,545 ; 3,142 ; . 2 C r r C S S S r r Cr S           b) Hình quạt trịn r là bán kính vịng trịn; l là độ dài cung; n là số đo gĩc ở tâm; S là diện tích Hình 5 2 2 2 0,1745 ; 360 0,00872 . 360 rn l rn r n S r n            c) Hình viên phân r là bán kính vịng trịn; l là độ dài cung; a là độ dài dây cung; n là số đo gĩc ở tâm; h là độ cao của viên phân; S là diện tích 39 Hình 6 2 2 sin ; 2 1 cos tan ; 2 2 4 0,01795 ; 180 sin . 2 180 n a r n a n h r n l r rn r n S n                             4. Phương tích a) Phương tích Phương tích của điểm I đối với vịng trịn tâm O, bán kính r là đại lượng 2 2d r , trong đĩ d là khoảng cách OI. Nếu I nằm ngồi hình trịn thì phương tích dương, I nằm trong đường trịn thì phương tích âm, I nằm trên đường trịn thì phương tích bằng 0. 40 Hình 7 Ký hiệu giá trị tuyệt đối của phương tích là p2, thì 2 2 2 2 2 ; . . p d r p IA IB IT     b) Trục đẳng phương – Tâm đẳng phương Trục đẳng phương của hai vịng trịn O1 và O2 ( 1 2O O ) là quỹ tích các điểm M cĩ phương tích bằng nhau đối với hai vịng trịn đã cho. Trục đẳng phương vuơng gĩc với đường nối hai tâm tại điểm N, mà: 2 2 1 2 1 2 2 r rd O N d    Hoặc 2 2 2 1 2 2 2 r rd NO d    Trong đĩ d là độ dài đường nối tâm; r1 và r2 là các bán kính của hai vịng trịn. 41 Đặc biệt nếu hai vịng trịn cắt nhau tại hai điểm thì trục đẳng phương đi qua hai điểm ấy; nếu hai vịng trịn tiếp xúc nhau thì trục đẳng phương là tiếp tuyến chung tại tiếp điểm. Tâm đẳng phương của ba vịng trịn là giao điểm của ba trục đẳng phương của từng cặp các vịng trịn đĩ. B. THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH Ký hiệu chung: h là đường cao; p là chu vi đáy; S là diện tích đáy; Sxq là diện tích xung quanh; V là thể tích. 1. Hình lăng trụ ; .xq V Sh S ph   2. Hình chĩp đều (Nhớ rằng chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy, đáy là đa giác đều). a là trung đoạn của hình chĩp đều: 1 ; 3 1 . 2 xq V Sh S pa   3. Hình chĩp cụt đều a là trung đoạn của hình chĩp cụt đều; S1 và S2 là các diện tích đáy; p1 và p2 là các chu vi đáy. Hình 8: Hình lăng trụ Hình 9: Hình chĩp đều 42     1 2 1 2 1 2 1 ; 3 1 . 2 xq V h S S S S S p p a      4. Hình trụ r là bán kính vịng trịn đáy. 2 ; 2 .xq V Sh r h S rh    5. Hình nĩn r là bán kính vịng trịn đáy; l là đường sinh. 21 1 ; 3 3 .xq V Sh r h S rl    6. Hình nĩn cụt R và r là các bán kính vịng trịn đáy dưới và đáy trên; h là đường cao nĩn cụt; H là đường cao hình nĩn; l là đường sinh nĩn cụt.     2 21 ; 3 ; . xp V h R r Rr S R r l hr H h R r           Hình 10: Hình chĩp cụt đều Hình 11: Hình trụ Hình 12: Hình nĩn Hình 13: Hình nĩn cụt 43 7. Hình cầu a) Hình cầu R là bán kính; V là thể tích; S là diện tích mặt cầu. 3 2 4 ; 3 4 . V R S R     b) Hình chỏm cầu R là bán kính cầu; r là bán kính vịng trịn đáy chỏm cầu; h là đường cao chỏm cầu; V là thể tích; S là diện tích mặt chỏm cầu.     2 2 2 2 2 1 1 3 ; 3 6 2 . V h R h h h r S Rh r h                c) Hình đới cầu R là bán kính hình cầu; r1 và r2 là các bán kính vịng trịn đáy đới cầu; h là đường cao đới cầu; V là thể tích; S là diện tích xung quanh đới cầu.  3 2 21 2 1 1 ; 6 2 2 . V h r r h S Rh        d) Hình quạt cầu Hình 14: Hình cầu Hình 15: Chỏm cầu Hình 16: Hình đới cầu 44 R là bán kính cầu; r là bán kính vịng trịn đáy chỏm cầu; h là đường cao chỏm cầu; V là thể tích; S là diện tích mặt quạt cầu.   22 ; 3 2 . V R h S R r h      V. LƯỢNG GIÁC 1. Hàm số lượng giác và dấu của nĩ a) Hàm số lượng giác của các gĩc nhọn sin ; tan ; sec ; c a c b a b       Hình 18 cos ; cot tan ; cossec . b a b c a c       Hình 19 b) Dấu của hàm số lượng giác của một gĩc bất kỳ Gĩc phần tư sin cos tan cottan sec cossec I       Hình 17: Hình quạt cầu 45 II       III       IV       2. Hàm số lượng giác của một số gĩc đặc biệt  0 30 45 60 90 120 180 270 360 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 0 -1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2  -1 0 1 tan 0 1 3 1 3  3 0  0 cottan  3 1 1 3 0 1 3   0  sec 1 2 3 2 2  -2 -1  1 cossec  2 2 2 3 1 2 3  -1  46 3. Một số cơng thức đổi gĩc                     sin sin cos cos tan tan cot tan cot tan sin 180 sin cos 180 cos tan 180 tan cot tan 180 cot tan sin 360 sin cos 360 cos                                                                           tan 360 tan cot tan 360 cot tan sin 90 cos cos 90 sin tan 90 cot tan cot tan 90 tan sin 270 cos cos 270 sin tan 270 cot tan cot tan 270 tan                                                            4. Các cơng thức cơ bản 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 1; tan .cot tan 1; sin 1 tan ; cos cot tan cos 1 cot tan ; sin tan 1 1 tan sec ; cos 1 1 cot tan cossec . sin                                47 5. Hàm số lượng giác của gĩc bội 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 sin 2 2sin cos ; cos 2 2cos 1 1 2sin cos sin ; 2 tan tan 2 ; 1 tan cot tan 1 cot tan tan cot tan 2 ; 2cot tan 2 sin 3 3sin 4sin ; cos3 4cos 3cos ; 3 tan tan tan 3 ; 1 3tan cot tan 3cot t cot tan 3                                                           2 an ; 3cot tan 1 sin 2sin 1 cos sin 2 ; cos 2cos 1 cos cos 2 . n n n na n n                   48 6. Cơng thức hạ bậc             2 2 3 3 4 4 5 5 1 sin 1 cos 2 ; 2 1 cos 1 cos 2 ; 2 1 sin 3sin sin 3 ; 4 1 cos 3cos cos3 ; 4 1 6 sin cos 4 4cos 2 ; 8 2 1 6 cos cos 4 4cos 2 ; 8 2 1 sin sin 5 5sin 3 10sin ; 16 1 cos cos5 5cos3 10cos . 16                                                       7. Hàm số lượng giác của tổng và hiệu các gĩc         sin sin cos cos sin ; cos cos cos sin sin ; tan tan tan ; 1 tan tan cot tan cot tan 1 cot tan . cot tan cot tan                                       49 8. Biến đổi tổng và hiệu của hai hàm số lượng giác sin sin 2sin cos ; 2 2 sin sin 2cos sin ; 2 2 cos cos 2cos cos ; 2 2 cos cos 2sin sin ; 2 2 sin cos 2 sin 2 cos ; 4 4 sin cos 2 sin 2 cos ; 4 4 sin tan tan                                                                                                    ; cos cos sin tan tan ; cos cos sin cot tan cot tan ; sin sin sin cot tan cot tan ; sin sin tan cot tan 2cossec 2 ; tan cot tan 2cot tan 2 .                                           50 9. Biến đổi tích của hai hàm số lượng giác             1 sin sin cos cos ; 2 1 cos cos cos cos ; 2 1 sin cos sin sin ; 2 tan tan tan tan tan tan ; cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan cot t cot tan cot tan tan tan                                                                   an ; tan tan cot tan tan cot tan tan cot tan tan . tan cot tan tan cot tan                      51 10. Cơng thức gĩc chia đơi 2 2 2 2 2 1 cos sin ; 2 2 1 cos cos ; 2 2 sin 1 cos 1 cos tan ; 2 1 cos sin 1 cos sin 1 cos 1 cos cot tan ; 2 1 cos sin 1 cos 2 tan 2sin ; 1 tan 2 1 tan 2cos ; 1 tan 2 2 tan 2tan ; 1 tan 2 cot tan 1 2cos 2cot t                                                             ; an 2 cos sin 1 sin 2 .       52 11. Một số cơng thức đối với các gĩc trong một tam giác ( là các gĩc trong một tam giác) 2 2 2 2 2 2 sin sin sin 4cos cos cos ; 2 2 2 cos cos cos 4sin sin sin 1; 2 2 2 sin sin sin 4sin sin cos ; 2 2 2 cos cos cos 4cos cos sin 1; 2 2 2 sin sin sin 2cos cos cos 2; sin sin sin 2sin sin cos ; si                                                          n 2 sin 2 sin 2 4sin sin sin ; sin 2 sin 2 sin 2 4cos cos sin ; tan tan tan tan tan tan ; cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan ; 2 2 2 2 2 2 cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan 1.                                              12. Một số cơng thức khác 53 2 2 2 2 2 2 1 cos 2cos ; 2 1 cos 2sin ; 2 1 sin sin cos 2cos ; 2 2 4 2 1 sin sin cos 2sin ; 2 2 4 2 sin 2 sin 4 4 1 tan ; cos cos cos 4 2 sin 4 1 cot tan ; sin sin s                                                                                             2 2 2 2 2 1 cos cos 2 2in 2 sin 3 ... sin ; 2sin 2 2 1 sin sin 2 2cos cos 2 cos3 ... cos ; 2sin 2 sin cos sin cos n n n n a x b x a b x a b x                                   54 2 2 2 2 2 2 2 2 cos , sin ; sin , cos . a a b b a b a a b b a b             trong đó 55 13. Cơng thức liên hệ giữa các hàm số lượng giác Hàm sin cos tan cottan sec cossec sin 21 cos   2 tan 1 tan     2 1 1 cot tan    2sec 1 sec     1 cossec cos 21 sin   2 1 1 tan    2 cot tan 1 cot tan     1 sec 2cossec 1 cossec     tan 2 sin 1 sin     21 cos cos     1 cot tan 2sec 1  2 1 cossec 1   cottan=  21 sin sin     2 cos 1 cos     1 tan 2 1 sec 1   2cossec 1  sec 2 1 1 sin    1 cos 21 tan   21 cot tan cot tan     2 cossec cossec 1     cossec  1 sin 2 1 1 cos    21 tan tan     21 cot tan   2 sec sec 1     56 VI. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG 1. Điểm Khoảng cách giữa hai điểm (x1, y1) và (x2, y2):     2 2 2 1 2 1d x x y y    Khoảng cách từ một điểm (x, y) đến gốc tọa độ: 2 2d x y  Dạng tổng quát của khoảng cách giữa hai điểm (x1, y1) và (x2, y2) trong hệ tọa độ xiên gĩc         2 2 2 1 2 1 2 1 2 12 cosd x x y y x x y y        Tọa độ của điểm chia đoạn thẳng theo tỷ lệ m/n 1 2 1 2 ; . nx mx x m n ny my y m n       2. Phép đổi trục tọa độ (Hình 20) 1 1 1 1 x a x x x a y b y y y b             hoặc 57 Hình 20 3. Tọa độ cực (Hình 21) Ox: Trục cực; O: Cực; r: Bán kính vector; : Gĩc cực. 2 2 cos ; sin ; . x r y r r x y       4. Phép quay các trục tọa độ x,y: Tọa độ cũ của điểm M; x1, y1: Tọa độ mới của điểm M. : Gĩc quay. 1 1 1 1 cos sin ; sin cos . x x y y x y          Hình 21 y x 0 M   Hình 22 58 5. Phương trình đường thẳng Phương trình tổng quát Ax+By+C=0. Phương trình chính tắc y=kx+b Phương trình theo các đoạn chắn trên các trục tọa độ 1 x y a b   Phương trình pháp dạng cos sin 0x y p    Hệ số pháp dạng 2 2 1 M A B    (dấu được chọn sao cho ngược dấu với dầu của C). 6. Hai đường thẳng Các phương trình ở dạng tổng quát 1 1 1 2 2 2 0 A x B y C C A x B y C       Gĩc giữa hai đường thẳng đã cho (với hệ số gĩc k1, k2) 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 tan 1 k k A B A B k k A A B B       Điều kiện để hai đường thẳng song song 1 2k k hoặc 1 1 2 2 A B A B  Điều kiện để hai đường thẳng vuơng gĩc 59 1 2 1k k   hoặc 1 2 1 2 0A A B B  Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 C B C B x B A B A C B C A y B A B A         Đường thẳng thứ ba 3 3 3 0A x B y C   đi qua giao điểm của hai đường thẳng trên nếu: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 A B C A B C A B C  7. Đường thẳng và điểm Phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước  0 0,M x y theo một hướng đã cho:  0 0y y k x x   tank  ( là gĩc lập bởi đường thẳng với chiều dương trục hồnh) Khoảng cách từ điểm  1 1,x y tới một đường thẳng 1 1cos sind x y p    (a là gĩc lập bởi đường thẳng với chiều dương trục hồnh) hoặc 1 1 2 2 Ax By C d A B      (dấu được chọn ngược dấu với C). 60 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đã cho    0 0 2 2, , ,A x y B x y : 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x      Phương trình đường thẳng đi qua điểm  0 0 0,M x y và song song với đường thẳng y=ax+b  0 0y y a x x   Phương trình đường thẳng đi qua điểm  1 1,M x y và vuơng gĩc với đường thẳng y=ax+b  1 1 1 y y x x a     8. Diện tích tam giác Tam giác cĩ một đỉnh ở gốc tọa độ  1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 x y S x y y x x y      Tam giác cĩ vị trí bất kỳ      1 1 2 2 3 3, , , , ,A x y B x y C x y 61             2 1 2 1 3 1 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 x x y y S x x y y x x y y x x y y x y y x y y x y y                           9. Phương trình đường trịn Đường trịn cĩ tâm trùng với gốc tọa độ, bán kính r 2 2 2x y r  Đường trịn với tâm cĩ tọa độ (a,b) bán kính r     2 2 2x a y b r    Phương trình tham số của đường trịn   cos 0 2 sin x r t t y r t      10. Ellipse (Hình 23) O: Tâm; AA1=2a: Trục lớn; BB1=2b: Trục nhỏ; F, F1: Các tiêu điểm; FM, F1M: Các bán kính vector; FF1=2c: Tiêu cự; 62 BF=BF1=AO=a; FM+F1M=AA1=2a; a 2 -c 2 =b 2 . Phương trình chính tắc của Ellipse: 2 2 2 2 1 x y a b   Tâm sai của Ellipse: 2 2 1 c a b a a     Bán kính vector của điểm M(x, y) của Ellipse r a x  Diện tích của Ellipse S=ab Phương trình tiếp tuyến với Ellipse tại điểm  1 1 1,M x y 1 1 2 2 1 x x y y a b   Phương trình pháp tuyến với Ellipse tại điểm  0 0 0,M x y   2 0 0 02 0 a y y y x x b x    y x0 M B A1A F F1 B1 2a cc y r r1 Hình 23: Hình Ellipse 63 Tham số tiêu của Ellipse 2b p a  Phương trình các đường chuẩn của Ellipse 2a x c   hoặc a x    Phương trình đường kính của Ellipse 2 2 b y x a k  Trong đĩ k là hệ số gĩc của đường kính liên hợp. Phương trình tham số của Ellipse: cos sin x a t y b t    11. Hyperbola (Hình 24) O: Tâm; F, F1: Các tiêu điểm; FM, F1M: Các bán kính vector; FM-F1M=AA1-2a; y x0 2c 2a F F1 A A1 M r1 r Hình 24: Hyperbola 64 FF1=2c; c 2 -a 2 =b 2 . Phương trình chính tắc của Hyperbola 2 2 2 2 1 x y a b   Tâm sai của Hyperbola 2 2 1 c a b a a     Bán kính vector của điểm thuộc Hyperbola 1 c r x a x a a c r x a x a a           Phương trình các đường tiệm cận của Hyperbola b y x a   Phương trình tiếp tuyến tại điểm  1 1 1,M x y 1 1 2 2 1 x x y y a b   Phương trình pháp tuyến tại điểm  0 0 0,M x y 65   2 0 0 02 0 a y y y x x b x     Hoặc 2 2 2 0 0 a x b y c x y   Tham số tiêu của Hyperbola 2b p a  Phương trình đường kính của Hyperbola 2 2 b y x a k  Trong đĩ k là hệ số gĩc của đường kính liên hợp. Phương trình của Hyperbola cân 2 2 a xy  hoặc k y x  12. Parabola(Hình 25) AN: Đường chuẩn O: Đỉnh F: Tiêu điểm AF=p: Tham số của Parabola y x 0A F F1 M N K p c l r Hình 25: Parabola 66 S: Diện tích Phương trình chính tắc của parabola y 2 =2px Diện tích của parabola 2 3 S lc Tâm sai của parabola 1 FM MK    Bán kính vector của parabola 2 p r x  Phương trình đường chuẩn của parabola 2 p x   Phương trình tiếp tuyến của parabola  1 1yy p x x  Hoặc  11 1 0 y y y x x y     Phương trình pháp tuyến của parabola 67  11 1 y y y x x p     Hoặc    1 1 1 0y x x p y y     VII. ĐẠI SỐ VECTOR 1. Các phép tốn tuyến tính trên các vector Vector A  là một đoạn thẳng cĩ độ dài xác định và hướng xác định. A A  là độ dài hoặc module của vector A . Các vector bằng nhau (Hình 26) A B A B A B          Cộng các vector (các hình 27, 28, 29) ;A B C A B C D E               Hình 27 Hình 28 Hình 29 Vector đối (Hình 30) A C BA C B A B C D E A  B  Hình 26 68 1 1 1 A A A A A A               Trừ các vector (Hình 32, 31) 1A B A B C         Hình 31 Trong đĩ 1B B    Nhân vector với một số k A B   Vector B  luơn thỏa mãn các điều kiện: , , B k A B A B A    nếu k > 0 nếu k < 0       Nếu k=0 hoặc 0A   , thì 0B   2. Phép chiếu vector lên trục hoặc vector (Hình 33)  cos cos ,x Bhc A hc A MN A A A B       A C BB1 Hình 32 A  B  C  Hình 30 A  1A A    69 Hình 33 3. Các thành phần và tọa độ của vector (Hình 34) 1 2 3A OM OM OM       Hoặc A Xi Y j Zk       Trong đĩ 1 2 3 OM X i OM Y j OM Z k          là các thành phần của vector; cos , cos , cosX A Y A Z A     là các tọa độ của vector (chiếu vector này lên các trục tọa độ). 4. Các phép tốn tuyến tính trên các vector được cho nhờ các tọa độ Nếu 1 2A A A     thì 1 2 1 2 1 2, , .X X X Y Y Y Z Z Z      Nếu 2 1A A   thì 2 1 2 1 2 1, , .X X Y Y Z Z     5. Tích vơ hướng của hai vector Định nghĩa A B M1 N1 M NO x  O M M M2 1 3    i k j x z y A Hình 34 70    , cos , A BA B AB AB A B Ach B Bhc A            Các tính chất của tích vơ hướng       AB BA mA B m AB A B C AC BC      (tính giao hoán) (tính phân phối)           Tích vơ hướng của các vector dưới dạng tọa độ 1 2 1 2 1 2.AB X X YY Z Z    Bình phương vơ hướng của vector 2 2cos0A AA AA A     Bình phương module của vector 2 2 2 2 2A A X Y Z     Module (độ dài) của vector 2 2 2 2A A X Y Z     Điều kiện để hai vector trực giao  A B   1 2 1 2 1 2 0AB X X YY Z Z     Gĩc giữa hai vector  1 1 1, ,A X Y Z  và  2 2 2, ,B X Y Z  71 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cos X X YY Z ZAB A B X Y Z X Y Z            Các cosin chỉ phương của vector  , ,A X Y Z  2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos X X Y Z Y X Y Z Z X Y Z             6. Tích vector của hai vector Định nghĩa Tích vector của hai vector ,A B   (ký hiệu A B  hoặc ,A B     ) là vector C  thỏa mãn các điều kiện sau:  sin , , ,C AB A B C A C B          Và các vector , ,A B C    lập thành bộ ba vector thuận (nghịch) nếu hệ tọa độ là thuận (nghịch). Các tính chất của tích vector 72             A B B A mA B m A B A nB n A B A B C A C B C C A B C A C B                                                 Tích vector dưới dạng tọa độ       1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 . i j k A B X Y Z X Y Z Y Z Y Z i Z X Z X j X Y X Y k                  Gĩc giữa vector         2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 sin , A B A B A B Y Z Y Z Z X Z X X Y X Y X Y Z X Y Z                    7. Tích hỗn hợp của ba vector Định nghĩa  ABC A B C      Các tính chất của tích hỗn hợp 73             ABC BC A C AB BAC ACB CBA A B CD ACD BCD mA BC m ABC                           Ý nghĩa hình học của tích hỗn hợp ABC  bằng thể tích của hình hộp cĩ ba cạnh là ba vector ấy. Điều kiện đồng phẳng của ba vector 0ABC   Tích hỗn hợp dưới dạng tọa độ       1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 2 3 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 . X Y Z ABC X Y Z X Y Z X Y Z Z Y Y Z X Z X Z X Y X Y          VIII. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 1. Giới hạn lim(x+y-z)=limx+limy-limz (nếu các giới hạn ở vế phải tồn tại) lim(xyz)=limx limy limz (nếu giới hạn ở vế phải tồn tại) lim lim lim lim 0 li x x x y y y        nếu tồn tại và 74     1 0 0 0 sin lim 1; lim 1 , 2.718281828... ; lim 0; ! tan lim 1; lim 1 ; lim 1; ! lim 2 . a x a n a x x n x x n nn x x a e e a n x x x n e n a n n e n                        2. Đạo hàm và vi phân Các đạo hàm đơn giản 75                      ' 2 ' 1 , 2 ' '; ' ' ' '; ' ' ' ' ; ' ' ; ' ' ; ' 0; ' 1; ' ; 1 1 ; 1 ' ; 2 n n Cu Cu u v w u v w uvw u vw v uw w uv u u v v u v v f u x f u u x C x x nx x x x x                                76                               2 2 2 2 2 2 1 1 ln ' ; 1 lg ' lg ; ' ; ' ln ; sin ' cos ; cos ' sin ; 1 tan ' ; cos 1 cot tan ' ; sin 1 arcsin ' ; 1 1 arccos ' ; 1 1 arctan ' ; 1 1 arccottan ' ; 1 ' ' ln '. x x x x v v v x x x e x e e a a a x x x x x x x x x x x x x x x x u vu u u u v                       Vi phân của hàm và các tính chất đơn giản; dy=y’dx 77             2 ; ; ; . d Cu Cdu d u v w du dv dw d uvw vw du uw dv uv dw u vdu udv d v v                3. Ứng dụng hình học của đạo hàm Phương trình tiếp tuyến với đường cong y=y(x) tại điểm (x0, y0)   0 0 0'y y y x x x   Phương trình tiếp tuyến với đường cong và đi qua một điểm cho trước bất kỳ  1 1 1,M x y   1 0 1'y y y x x x   Trong đĩ x0 là nghiệm kép của phương trình    0 0 0 1 ' y y x x y x    4. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số y=f(x) được gọi là chẵn nếu f(x)=f(-x) được gọi là lẻ nếu f(x)=-f(x) 78 Hàm số tuần hồn Hàm số y=f(x) được gọi là tuần hồn nếu cĩ số dương l sao cho        2 ...f x f x l f x l f x kl       Số dương p nhỏ nhất cĩ tính chất trên được gọi là chu kỳ của hàm số. Hàm số đơn điệu Hàm số y=f(x) được gọi là đơn điệu tăng thật sự (đồng biến) nếu từ x1<x2 suy ra f(x1)<f(x2); Hàm số y=f(x) được gọi là đơn điệu giảm thật sự (nghịch biến) nếu từ xf(x2); Nếu ở trên tất cả các dấu ) được thay bởi dấu    thì hàm được gọi là đơn điệu tăng (giảm) theo nghĩa rộng; Điều kiện để hàm số y=f(x) đơn điệu tăng (giảm) trong khoảng xác định là     ' 0 ' 0f x f x  trong khoảng xác định. Hàm liên tục Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại x=a nếu    lim x a f x f a   Cực đại, cực tiểu của một hàm số Hàm số y=f(x) cĩ cực đại (cực tiểu) tại điểm x0 nếu cĩ một số a dương sao cho         0 0f x f x f x f x  với 0 0x a x x a    79 Nếu x0 thỏa mãn hệ phương trình:     0 0 ' 0 '' 0 f x f x    Thì x0 là hồnh độ điểm cực đại; Nếu x0 thỏa mãn hệ phương trình:     0 0 ' 0 '' 0 f x f x    Thì x0 là hồnh độ điểm cực tiểu; Hàm lồi Hàm số y=f(x) gọi là lồi nếu với ,0 1   thì         1 2 1 21 1 ;f ax x af x f x      Hàm số y=f(x) lồi khi và chỉ khi đạo hàm f’(x) tăng theo nghĩa rộng (hoặc tương đương đạo hàm bậc hai f’’(x)  0) Điểm uốn Điểm x0 là điểm uốn của đồ thị hàm số y=f(x) nếu f’’(x0)=0 và f’’(x) đổi dấu khi đi qua x0. Các đường tiệm cận Hình 35: Tiệm cận ngang 80 Tiệm cận ngang (Hình 35): Đường cong y=f(x) cĩ tiệm cận ngang y=b nếu  lim x f x b   Tiệm cận xiên (Hình 36): Đường cong y=f(x) cĩ tiệm cận xiên y=ax+b nếu  lim 0 x f x ax b       Cách tìm tiện cận xiên y=ax+b: Tiệm cận đứng (Hình 37): Đường cong y=f(x) cĩ tiệm cận đứng x=x0 nếu   0 lim x x f x    Trục và tâm đối xứng: Đồ thị hàm số y=f(x) nhận đường thẳng x= làm trục đối xứng khi và chỉ khi    2f x f x   Đồ thị hàm số y=f(x) nhận điểm  ,I   làm tâm đối xứng khi và chỉ khi    2 2f x f x    Khảo sát hàm số  3 2 0y ax bx cx d a     2' 3 2 ; '' 6 2 . y ax bx c y ax b          lim ; lim x x f x a x b f x ax        Hình 36: Tiệm cận xiên Hình 37: Tiệm cận đứng 81 Nếu 2 0 3 0 a b ac     thì hàm số luơn đồng biến; Nếu 2 0 3 0 a b ac     thì hàm số luơn nghịch biến. 2 3 0, ' 0b ac y   cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2, hàm số cĩ cực đại và cực tiểu. Các giao điểm với trục hồnh: Phương trình 3 2y ax bx cx d    luơn cĩ nghiệm thực. Nếu 2 3 0b ac  hoặc 2 3 0 0cd ct b ac y y      thì phương trình cĩ và chỉ cĩ một nghiệm và đồ thị chỉ cắt trục hồnh tại một điểm. Nếu 2 3 0 0cd ct b ac y y      thì phương trình cĩ một nghiệm đơn và một nghiệm kép; đồ thị cắt và tiếp xúc với trục hồnh tại hai điểm. Nếu 2 3 0 0cd ct b ac y y      thì phương trình cĩ ba nghiệm phân biệt; đồ thị cắt trục hồnh tại ba điểm khác nhau. Điểm uốn , 3 3 b b y a a           là tâm đối xứng của đồ thị. Hàm số  4 2 0y ax bx c a    82 3 2 ' 4 2 ; '' 12 2 . y ax bx y ax b     Trong trường hợp 0ab  hàm số chỉ cĩ một điểm cực trị là (0,c) (cực đại nếu b0). Trường hợp ab<0: Nếu b<0, hàm số cĩ cực đại tại (0,c) và hai điểm cực tiểu 2 , 2 4 b b c a a          ; Nếu b>0 hàm số cĩ cực tiểu (0,c) và hai điểm cực đại 2 , 2 4 b b c a a          . Trong trường hợp này các điểm , 6 6 b b y a a              là các điểm uốn. Hàm số , ', ' 0 ' ' ax b y a b a x b     Hàm số xác định với ' ; ' b x a     2 ' ' ' , ' ' ab a b y a x b    83 ab’-a’b=0, hàm số khơng đổi ; ' a y a  ab’-a’b>0 hàm số đồng biến; ab’-a’b<0 hàm số nghịch biến; Tiệm cận ngang: ; ' a y a  Tiệm cận đứng: ' ; ' b x a   Tâm đối xứng là giao điểm ' , ' ' b a A a a       của hai đường tiệm cận. Hàm số 2 ' ' ax bx c y a x b     Tiệm cận xiên: ' ' ; ' ' a a b ab y x a a    Tiệm cận đứng ' ' b x a   . Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm hai đường tiệm cận. 84 IX. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN A. TÍCH PHÂN KHƠNG XÁC ĐỊNH 1. Định nghĩa    f x dx F x C  Trong đĩ F’(x)=f(x), C là hằng số tùy ý. 2. Các tính chất đơn giản nhất       ; , ... ... ' ' ; . dx x C kf x dx k f x dx u v w dx udx vdx wdx uv dx uv vu dx udv uv vdu                        k là hằng số; 85 3. Tích phân các hàm hữu tỷ                       1 1 2 2 2 , 1 ; 1 ln ; , 1 ; 1 1 ln ; ln ; 1 ln , 1 ln ; 2 1 ln ln , ; m m n n x x dx C m m dx x C x ax b ax b dx C n a n dx ax b C ax b a ax b a bc ad dx x cx d C cx d c c dx x b C a b x a x b a b x a dx x d C x a a x a xdx a x a b x b C a b x a x b a b xdx                                                            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ln ; 2 1 arctan ; 1 ln ; 2 x a C x a dx x C x a a a xdx x a C x a               86           2 2 2 2 32 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 arctan ; 2 2 1 1 ; 2 1 ln arctan ; 1 arctan ln ; 1 2 4 ln 4 2 4 dx x x C a x a a ax a xdx C x ax a x bdx b x C a b a ax a x b x a x bxdx x b C a b ax a x b x a dx ax b b ac ax bx c b ac ax b b ac                                             22 2 2 2 2 2 ; 1 2 arctan , 4 0 ; 4 4 1 ln . 2 2 C dx ax b C b ac ax bx c ac b ac b xdx b dx ax bx c ax bx c a a ax bx c                      87 4. Tích phân các hàm vơ tỷ                 3 2 2 3 2 2 2 ; 2 ; 3 2 2 ; 3 2 3 2 ; 15 1 ln , 0 ; 1 arctan , 0 ; dx ax b C aax b ax bdx ax b C a ax bxdx ax b C aax b ax b x ax bdx ax b C a dx ax b b ac C b ac x c ax b b ac ax b b ac dx ax b b ac ac bx c ax b ac b                                                      1 ln , 0 ; ax b dx ax b cx d cx d c ad bc a ax b a ax b C ac c ac                           1 arctan , 0; 0 ; ax b dx ax b cx d cx d c a cx dad bc C c a c ax bc ac              88                 3 2 32 2 2 3 2 2 2 22 3 2 2 2 3 ; 15 2 8 12 15 ; 105 2 2 ; 3 2 8 4 3 ; 15 1 ln , 0 ; 2 arctan , 0 ; a bx a bx x a bxdx C b a abx b a bx x a bxdx C b a bxxdx a bx C ba bx a abx b xx dx a bx C ba bx dx a bx a C a x a bx a a bx a dx a bx C a ax a bx a dx x a bx                                              ; 2 2 ; a bx b dx ax a x a bx a bxdx dx a bx a x x a bx               89             3 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 22 2 1 2 2 2 2 1 2 2 ; 1 2 12 ; 2 2 22 3 2 ; 2 3 2 3 2 . 2 m m m m m m m m m x ax x m a x ax x dx x ax x dx m m m ax dx x ax x x dx m max x ax x ax xax x m ax x dx dx x m ax m a x dx ax x C axx ax x                                        90 5. Tích phân của hàm lượng giác 2 2 3 3 3 3 1 2 1 2 sin cos ; cos sin ; 1 sin sin 2 ; 2 4 1 cos sin 2 ; 2 4 1 sin cos cos ; 2 1 cos sin sin ; 3 1 1 sin sin cos sin ; 1 1 cos cos sin cos ; n n n n n n xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x C xdx x x C xdx x x C n xdx x x xdx n n n xdx x x xdx n n                                       cossec ln tan ; sin 2 sec ln tan ; cos 2 4 dx x xdx C x dx x xdx C x                  91 2 2 2 3 2 3 2 2 cot tan ; sin tan ; cos 1 sin cos cos 2 ; 4 1 sin cos sin ; 3 1 sin cos cos ; 3 1 1 sin cos sin 4 ; 8 32 dx x C x dx x C x x xdx x C x xdx x C x xdx x C x xdx x x C                                                       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin sin sin , ; 2 2 cos cos sin cos , ; 2 2 sin sin cos cos , ; 2 2 1 sin arcsin , ; sin sin m n x m n x mx nxdx C m n m n m n m n x m n x mx nxdx C m n m n m n m n x m n x mx nxdx C m n m n m n dx a x b C a b a b x a b xa b                                      2 2 2 2 2 2 1 sin cos ln , ; sin sin dx b a x b a x C b a a b x a b xb a              2 2 2 2 2 2 1 cos arcsin , 0, 0 ; cos cos 1 cos sin ln , ; cos cos dx a x b C a b a b a b xb a dx b a x b a x C a b a b a b xb a                   92 2 2 2 2 1 sin cos ln . sin cos sin cos dx b x a x a b C a x b x a x b xa b         B. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1. Định nghĩa         b a b f x dx F x F b F a a    Trong đĩ F’(x)=f(x) 2. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định (Hình 38)   b aABb a g x dx S 3. Một số ứng dụng của tích phân xác định a) Tính diện tích hình phẳng Diện tích của hình giới hạn bởi đường cong y=f(x) và các đường y=0, x=a, x=b, trong đĩ y cĩ cùng một dấu với mọi giá trị của x trong khoảng (a, b) là:   b a S f x dx  (xem Hình 38) b) Tính độ dài cung Độ dài (s) của một cung của đường cong phẳng f(x,y)=0 từ điểm (a,c) đến điểm (b,d) là: y xa bO A B y=f(x) Hình 38 93 22 1 1 b d a c dy dx s dx dy dx dy                 Nếu phương trình của đường cong x=f(t), y=g(t) thì độ dài của cung từ t=a đến t=b là: 2 2b a dx dy s dt dt dt               c) Tính thể tích khối trịn xoay Thể tích của khối trịn xoay được sinh ra do phần đường cong y=f(x) trong khoảng x=a và x=b chuyển động quay xung quanh o Trục x là 2 b a V y dx  o Trục y là 2 d c V x dy  Trong đĩ c và d là các giá trị của y tương ứng với các giá trị của a và b của x. d) Thể tích tạo bởi tiết diện song song Nếu mặt phẳng vuơng gĩc với trục x tại điểm (x,0,0) cắt vật thể theo một tiết diện cĩ diện tích là S(x) thì thể tích của phần vật thể trong khoảng x=a và x=b là: y=f(x) y xx A B a b Hình 39 94   b a V S x dx  e) Diện tích mặt của khối trịn xoay Diện tích mặt của vật thể được sinh ra bởi phần đường cong y=f(x) trong khoảng x=a và x=b chuyển động quay o Đối với trục x là 2 2 1 ; b a dy S y dx dx          o Đối với trục y là 2 2 1 . d c dx S x dy dy           Trong đĩ c và d là các giá trị của y tương ứng với các giá trị a và b của x. 95 CHỈ MỤC C Cấp số Cấp số cộng · 29 Cấp số nhân · 29 Cấp số nhân lùi vơ hạn · 30 Cơng bội · 29 Cơng sai · 29 Tổng hữu hạn · 30 D Đại số Căn số · 16 Đa thức · 13 Đẳng thức (đồng nhất thức) · 14 Lũy thừa · 15 Phân thức · 13 Số e · 74 G Giải tích kết hợp Giai thừa · 8 Nhị thức Newton · 11 Tam giác Pascal · 12 H Hàm số Cực đại · 79 Cực tiểu · 79 Điểm uốn · 79 Đồng biến · 78 Hàm liện tục · 78 Hàm lồi · 79 Hàm số chẵn · 77 Hàm số lẻ · 77 Hàm tuần hồn · 78 Nghịch biến · 78 Tâm đối xứng · 80 Tiệm cận đứng · 80 Tiệm cận ngang · 79 Tiệm cận xiên · 80 Trục đối xứng · 80 Hình học phẳng Phương tích · 39 Quạt trịn · 38 Tâm đẳng phương · 40 Trục đẳng phương · 40 Viên phân · 38 L Lượng giác Gĩc bội · 47 Gĩc trong tam giác · 52 S Số phức Argument · 19 Biểu diễn hình học · 18 Module · 19 96 V Vector Chiếu vector · 68 Gĩc giữa hai vector · 71 Tích hỗn hợp · 72 Tích vơ hướng · 70 Tọa độ · 69 Vector đối · 67