Đề tài Góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học một số nội dung phương trình

h©n ho¸ (néi t¹i) nh»m kÝch thÝch mçi häc sinh häc tËp víi sù nç lùc trÝ tuÖ phï hîp víi tr×nh ®é vµ n¨ng lùc nhËn thøc cña b¶n th©n. D¹y häc ph©n ho¸ xuÊt ph¸t tõ sù biÖn chøng cña thèng nhÊt vµ ph©n ho¸, tõ yªu cÇu ®¶m b¶o thùc hiÖn tèt c¸c môc tiªu d¹y häc ®èi víi tÊt c¶ mäi häc sinh lµ ®µo t¹o con ng­êi lao ®éng tù chñ, n¨ng ®éng, s¸ng t¹o, t¹o ®iÒu kiÖn cho mçi thµnh viªn ho¹t ®éng trong mét lÜnh vùc phï hîp víi n¨ng lùc c¸ nh©n, khai th¸c tiÒm n¨ng, t¹o ®iÒu kiÖn tèi ­u cho sù ph¸t triÓn n¨ng lùc cña hä. Ph©n ho¸ néi t¹i (cßn gäi lµ ph©n ho¸ trong), tøc lµ dïng nh÷ng biÖn ph¸p ph©n ho¸ thÝch hîp trong mét líp häc thèng nhÊt víi cïng mét kÕ ho¹ch häc tËp, cïng mét ch­¬ng tr×nh vµ s¸ch gi¸o khoa. §Ó viÖc d¹y häc ph©n ho¸ theo h­íng ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i ®¹t hiÖu qu¶ cao ®ßi hái ph¶i x¸c ®Þnh ®­îc møc ®é tËp luyÖn s¸t sao víi tr×nh ®é häc sinh. Muèn vËy cÇn ph¶i thùc hiÖn ph©n bËc ho¹t ®éng t­ duy thuËt gi¶i. Sù ph©n bËc ho¹t ®éng dùa vµo c¸c c¨n cø sau: Ph©n bËc theo b×nh diÖn nhËn thøc §Æc tÝnh cô thÓ hay trõu t­îng cña ®èi t­îng lµ mét c¨n cø ®Ó ph©n bËc ho¹t ®éng t­ duy thuËt gi¶i. BËc thÊp: TiÕn hµnh ho¹t ®éng trªn nh÷ng ®èi t­îng cô thÓ. VÝ dô 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: a. x2 – x – 6 = 0; b. 2x2 – 3x + 5 = 0; c. 4x2 + 12x + 9 = 0 BËc cao: TiÕn hµnh ho¹t ®éng t­ duy thuËt gi¶i trªn ®èi t­îng trõu t­îng h¬n. VÝ dô 2. Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè chøa tham sè. Ch¼ng h¹n: Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh sau theo tham sè m: mx2 – 2(m + 3)x + m + 1 = 0 (*). Gi¶i: HÖ sè a = m, nªn ta xÐt hai tr­êng hîp: + Tr­êng hîp 1. NÕu m = 0. Khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: 6x + 1 = 0 + Tr­êng hîp 2. NÕu m 0. Ta cã : * NÕu ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. * NÕu ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. * NÕu ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt KÕt luËn: + m = 0 Þ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm + ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. + ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. + ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. Ph©n bËc theo néi dung cña ho¹t ®éng t­ duy thuËt gi¶i C¸c ho¹t ®éng t­ duy thuËt gi¶i cã thÓ ®­îc ph©n bËc dùa trªn néi dung cña ho¹t ®éng. Néi dung cña ho¹t ®äng lµ nh÷ng tri thøc liªn quan tíi ho¹t ®éng vµ nh÷ng ®iÒu kiÖn kh¸c cña ho¹t ®éng. BËc thÊp: M« t¶ thuËt gi¶i b»ng ng«n ng÷ to¸n häc: Ch¼ng h¹n trong s¸ch gi¸o khoa ®¹i sè 10 (n¨m 2000) ®· nªu thuËt gi¶i gi¶i ph­¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 vµ : ax + b = 0. S¸ch gi¸o khoa ®¹i sè - Gi¶i tÝch 11 nªu thuËt gi¶i gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c c¬ b¶n, ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ ph­¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi mét hµm sè l­îng gi¸c: ph­¬ng tr×nh asinx + bcosx = c; asin2x + bsinxcosx + c.cos2x = 0; a (sinx+cosx) + bsinxcosx = c; ph­¬ng tr×nh mò c¬ b¶n; ph­¬ng tr×nh logarit c¬ b¶n. BËc cao: M« t¶ thuËt gi¶i b»ng ng«n ng÷ s¬ ®å khèi hoÆc ng«n ng÷ pháng tr×nh. B¾t ®Çu NhËp c¸c hÖ sè a, b, c, a, b ÎR; k ÎZ HÖ sè a, b kh«ng tho¶ m·n gi¶ thiÕt PT cã 2 nghiÖm lµ: x:=x1; x:=x2 a 0 b 0 a: = ; b: = c: = a: = cosa ; b: = sina a: = 1; b: = 0; x: = x + a Tho¸t + |c| > 1 sinb: = c x1: = b - a + k2p; x2: = p - b - a + k2p + www.vnmath.com BËc cao h¬n n÷a: M« t¶ thuËt gi¶i b»ng ng«n ng÷ lËp tr×nh. 2.2.3.3. Ph©n bËc theo sù phøc hîp cña ho¹t ®éng t­ duy thuËt gi¶i Sù phøc hîp cña ho¹t ®éng còng lµ mét c¨n cø ®Ó ph©n bËc c¸c ho¹t ®éng t­ duy thuËt gi¶i. BËc thÊp: X©y dùng mét thuËt gi¶i. BËc cao: X©y dùng thuËt gi¶i tèi ­u h¬n. VÝ dô 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: sinx + cosx = 1. Cã thÓ gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy theo thuËt gi¶i ®· cã ë s¸ch gi¸o khoa. Tuy nhiªn, ta cÇn h­íng dÉn häc sinh t×m thuËt gi¶i tèi ­u h¬n ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy nh­ sau: B­íc 1. §¸nh gi¸: (1) (2) B­íc 2. thùc hiÖn céng hai vÕ (1) vµ (2) ta cã: Hay sinx + cosx 1. DÊu “=” x¶y ra Chóng ta cÇn cho häc sinh so s¸nh thuËt gi¶i nµy víi thuËt gi¶i ®· biÕt ë s¸ch gi¸o khoa khi ¸p dông vµo gi¶i ph­¬ng tr×nh. ThuËt gi¶i trªn tèi ­u h¬n ë chç ng¾n gän vµ ®Æc biÖt lµ cã thÓ ¸p dông cho bµi to¸n tæng qu¸t gi¶i ph­¬ng tr×nh: sinnx + cosnx = 1 C¸ch gi¶i: B­íc 1. NhËp n; B­íc 2. NÕu n < 2 th×: B­íc 2.1. NhËn xÐt: sinn x ³ sin2 x (1) cosn x ³ cos2x (2) B­íc 2.2. Thùc hiÖn céng theo hai vÕ bÊt ®¼ng thøc (1), (2). Ta ®­îc: . B­íc 2.3. DÊu “=” x¶y ra Ng­îc l¹i. B­íc 3. NÕu n 2 th×: B­íc 3.1. NhËn xÐt: sinn x £ sin2 x (1) cosn x £ cos2x (2) B­íc 3.2. Thùc hiÖn céng theo hai vÕ bÊt ®¼ng thøc (1), (2). Ta ®­îc: . B­íc 3.3. DÊu “=” x¶y ra Ng­îc l¹i: Cã thÓ ph©n bËc sù phøc hîp cña ho¹t ®éng t­ duy thuËt gi¶i theo c¨n cø: b. BËc thÊp: BiÕt c¸ch lµm trªn mét lo¹t tr­êng hîp t­¬ng tù víi tr­êng hîp ®· lµm. BËc cao: Kh¸i qu¸t ho¸ c¸ch lµm trªn c¸c tr­êng hîp cô thÓ thµnh c¸ch lµm cho tr­êng hîp tæng qu¸t. VÝ dô 2. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: Tõ c¸ch gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh trªn, ta ®­a ra thuËt gi¶i ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t nh­ sau: B­íc 1. BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh thµnh d¹ng: B­íc 2. §Æt ®iÒu kiÖn B­íc 3. Khö c¨n thøc b»ng c¸ch b×nh ph­¬ng hai vÕ. B­íc 4. Gi¶i ph­¬ng tr×nh B­íc 5. T×m nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn b­íc 2 B­íc 6. Tr¶ lêi. 2.2.3.4. Ph©n bËc theo chÊt l­îng cña ho¹t ®éng t­ duy thuËt gi¶i Sù ph©n bËc c¸c ho¹t ®éng t­ duy thuËt gi¶i cßn dùa trªn chÊt l­îng cña ho¹t ®éng. BËc thÊp: BiÕt tiÕn hµnh ho¹t ®éng t­ duy thuËt gi¶i. BËc cao: Cã kü n¨ng tiÕn hµnh ho¹t ®éng t­ duy thuËt gi¶i. BËc cao h¬n n÷a: Cã kü x¶o tiÕn hµnh ho¹t ®éng t­ duy thuËt gi¶i. C¸ch kh¸c. b. BËc thÊp: TiÕn hµnh ho¹t ®éng t­ duy thuËt gi¶i víi sù gióp ®ì cña gi¸o viªn. BËc cao: §éc lËp tiÕn hµnh ho¹t ®éng t­ duy thuËt gi¶i. B¶ng sau ®©y cho biÕt mçi ho¹t ®éng t­ duy thuËt gi¶i th­êng ®­îc ph©n bËc theo kh¶ n¨ng nµo. Ho¹t ®éng t­ duy thuËt gi¶i Kh¶ n¨ng ph©n bËc T1 3.1; 3.4 T2 3.1; 3.3a; 3.4a; 3.4b T3 3.1; 3.3b; 3.4a; 3.4b T4 3.1; 3.2; 3.4a; 3.4b T5 3.1; 3.3a; 3.4a; 3.4b Sù ph©n bËc c¸c ho¹t ®éng t­ duy thuËt gi¶i gióp cho gi¸o viªn n¾m b¾t ®­îc t×nh h×nh ho¹t ®éng to¸n häc cña häc sinh trong qu¸ tr×nh d¹y häc gi¶i to¸n ph­¬ng tr×nh. Trªn c¬ së nhËn thøc cña häc sinh ®Ó gi¸o viªn lùa chän c¸c ho¹t ®éng ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i phï hîp víi tr×nh ®é nhËn thøc cña häc sinh. RÌn luyÖn kü n¨ng biÕn ®æi ph­¬ng tr×nh cho häc sinh BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh ®· cho vÒ ph­¬ng tr×nh ®· cã thuËt gi¶i lµ viÖc rÊt quan träng. HÇu hÕt c¸c ph­¬ng tr×nh ®Òu cho ë d¹ng phøc t¹p, g©y khã kh¨n cho häc sinh trong qu¸ tr×nh gi¶i. Do ®ã ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh ®ßi hái häc sinh ph¶i cã kü n¨ng biÕn ®æi ph­¬ng tr×nh. Kü n¨ng biÕn ®æi ph­¬ng tr×nh ®­îc hiÓu lµ kh¶ n¨ng thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi c¬ së ®Ó ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng ®¬n gi¶n nhÊt mét c¸ch cã ®Þnh h­íng. Chóng ta cã thÓ chia viÖc rÌn luyÖn kü n¨ng biÕn ®æi ph­¬ng tr×nh theo hai cÊp ®é. Kü n¨ng biÕn ®æi c¸c tri thøc liªn quan ®Õn viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh VÝ dô 1. Sau khi d¹y xong c¸c phÐp biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng hai ph­¬ng tr×nh, gi¸o viªn cã thÓ ra bµi tËp ®Ó häc sinh tËp luyÖn vµ n¾m v÷ng c¸c phÐp biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: §ång thêi tËp luyÖn cho häc sinh ph¸t hiÖn c¸c sai lÇm khi ¸p dông. VÝ dô 2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: Ta cho häc sinh kiÓm tra lêi gi¶i sau, yªu cÇu häc sinh t×m sai lÇm cña lêi gi¶i vµ c¸ch kh¾c phôc sai lÇm. Lêi gi¶i. §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: Ph­¬ng tr×nh 2x – 2 = 4 x =3. VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 3. VÝ dô 3. Khi d¹y vÒ c«ng thøc l­îng gi¸c, phÇn c«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh lµm c¸c bµi tËp. 1.TÝnh: 2. BiÕn ®æi thµnh tæng c¸c biÓu thøc: a. A = cos5x.cos3x b. B = 4sinx.sin2x.sin3x Bµi tËp (1) gióp häc sinh tËp luyÖn ho¹t ®éng thø nhÊt cña t­ duy thuËt gi¶i. Bµi tËp (2) tËp luyÖn ho¹t ®éng quy l¹ vÒ quen, gióp häc sinh cñng cè ®­îc kiÕn thøc mét c¸ch bÒn v÷ng. Trong qu¸ tr×nh d¹y häc c¸c c«ng thøc liªn quan ®Õn ®Õn viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh, cÇn chó ý ®Õn ho¹t ®éng nhËn d¹ng vµ thÓ hiÖn c«ng thøc nh»m kh¾c phôc t×nh tr¹ng häc mét c¸ch m¸y mãc, thuéc vÑt c«ng thøc mµ kh«ng hiÓu ®óng b¶n chÊt cña c«ng thøc. Ch¼ng h¹n khi häc c«ng thøc: , ta®­a ra c«ng thøc vµ hái häc sinh b»ng bao nhiªu, th× häc sinh cã thÓ tr¶ lêi: Hay khi d¹y c«ng thøc nh©n ®«i: sin2a = 2sinacosa nh­ng häc sinh l¹i kh«ng biÕt biÓu diÔn sin a theo vµ §Ó kh¾c phôc ®iÒu nµy, gi¸o viªn cÇn cho häc sinh tËp luyÖn c¸c ho¹t ®éng nhËn d¹ng vµ thÓ hiÖn c«ng thøc theo hai chiÒu xu«i vµ ng­îc. Gi¸o viªn cã thÓ cho häc sinh: (1). NhËn xÐt vµ rót ra dÊu hiÖu b¶n chÊt cña c«ng thøc. (2). §èi chiÕu chÝnh x¸c, ch¾c ch¾n mäi chi tiÕt cña c«ng thøc. (3). BiÕn ®æi vµ tËp sö dông thµnh th¹o ®ång nhÊt thøc. VÝ dô. Gi¸o viªn h­íng dÉn häc sinh chiÕm lÜnh c«ng thøc: sin2x + cos2x = 1 theo c¸c ho¹t ®éng sau. C¸c c«ng thøc nµo cho d­íi ®©y lµ ®óng? a. cos22x + sin22x = 1 (§óng) b. (Sai) c. (Sai) d. sin2(a-b)+ cos2(a-b) =1 (§óng) e. cos2x + sin2x = 1 (Sai) g. sin4x – cos4x = 1 (Sai) Ta c¨n cø vµo ho¹t ®éng (1) ®Ó nhËn biÕt (a) vµ (d). Ho¹t ®éng (2) nhËn ®­îc (b), (c), (e) vµ ho¹t ®éng (3) nhËn ®­îc (g). Tõ ho¹t ®éng (2), gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh rót ra 4 dÊu hiÖu ®Ó nhËn biÕt c«ng thøc lµ: * Trong c«ng thøc ph¶i cã hai hµm sè sin vµ cos. * C¸c hµm sin vµ cos cña cïng mét gãc (hoÆc cïng mét cung) * Sè mò lµ 2. * Tæng b»ng 1. §Ó t¨ng c­êng kh¶ n¨ng nhËn d¹ng vµ thÓ hiÖn c«ng thøc, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh: Sè “1” cã thÓ ®­îc viÕt d­íi d¹ng c«ng thøc l­îng gi¸c nµo? 1 = sin2x + cos2x cos2x = 1 – sin2x sin2x = 1 – cos2x Nh­ vËy, viÖc rÌn luyÖn cho häc sinh kü n¨ng biÕn ®æi c¸c tri thøc liªn quan ®Õn ph­¬ng tr×nh mét mÆt ph¸t triÓn c¸c ho¹t ®éng cña t­ duy thuËt gi¶i (sö dông ®óng phÐp biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng, vËn dông thµnh th¹o c«ng thøc chÝnh lµ ph¸t triÓn ho¹t ®éng (T1) cña t­ duy thuËt gi¶i), ®ång thêi cã kü n¨ng biÕn ®æi th× häc sinh míi hiÓu vµ thùc hiÖn tèt c¸c d¹ng ph­¬ng tr×nh ®· cã thuËt gi¶i còng nh­ x©y dùng thuËt gi¶i ®Ó gi¶i c¸c d¹ng ph­¬ng tr×nh ch­a cã thuËt gi¶i. VÝ dô 3. NÕu trong qu¸ tr×nh d¹y häc c«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch, gi¸o viªn cho häc sinh vËn dông ®Ó biÕn ®æi: sinx + cosx thµnh vµ tËp luyÖn cho häc sinh n¾m v÷ng c«ng thøc nh©n ®«i, c«ng thøc h¹ bËc... th× sÏ t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho viÖc thùc hiÖn c¸c thuËt gi¶i 5, 6, 7 (môc 2.2.2.) VÝ dô 4. Gi¶i ph­¬ng tr×nh. B­íc 1. H¹ bËc vÕ tr¸i: B­íc 2. TiÕp tôc h¹ bËc vÕ tr¸i ta cã: B­íc 3. §­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng: Û cos6x + cos4x = 0 B­íc 4. §­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch. 2cos5x.cosx = 0 B­íc 5. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n ®Æc biÖt. RÌn luyÖn kü n¨ng biÕn ®æi ph­¬ng tr×nh Kh«ng ph¶i ph­¬ng tr×nh nµo còng cã thÓ nh×n ra ngay ®­îc cÇn sö dông phÐp biÕn ®æi hay c«ng thøc nµo ®Ó biÕn ®æi mang l¹i kÕt qu¶. Do ®ã, rÌn luyÖn kü n¨ng biÕn ®æi ph­¬ng tr×nh chÝnh lµ rÌn luyÖn c¸ch nh×n nhËn ph­¬ng tr×nh d­íi nhiÒu gãc ®é kh¸c nhau. Mét sè c¸ch biÕn ®æi ph­¬ng tr×nh th­êng ¸p dông. BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh tõ d¹ng phøc t¹p thµnh d¹ng ®¬n gi¶n h¬n. §Æc biÖt ho¸ ®Ó dù ®o¸n kÕt qu¶ bµi to¸n. RÌn luyÖn kü n¨ng biÕn ®æi ph­¬ng tr×nh võa lµ môc ®Ých cña d¹y häc néi dung ph­¬ng tr×nh võa gãp phÇn ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i cña häc sinh. TruyÒn thô cho häc sinh nh÷ng tri thøc ph­¬ng ph¸p vÒ t­ duy thuËt gi¶i trong khi tæ chøc, ®iÒu khiÓn tËp luyÖn c¸c ho¹t ®éng th«ng qua d¹y häc gi¶i ph­¬ng tr×nh Trong khi d¹y häc sinh x©y dùng thuËt gi¶i cô thÓ cho mét d¹ng ph­¬ng tr×nh nµo ®ã, gi¸o viªn cÇn ph¶i truyÒn thô cho häc sinh nh÷ng kinh nghiÖm vµ nghÖ thuËt trong ph­¬ng ph¸p suy nghÜ, gióp häc sinh tù x©y dùng ®­îc thuËt gi¶i trong nh÷ng t×nh huèng míi. Qu¸ tr×nh x©y dùng mét thuËt gi¶i còng lµ qu¸ tr×nh gi¶i mét bµi to¸n ch­a cã thuËt gi¶i. V× vËy, nh÷ng tri thøc ph­¬ng ph¸p vÒ t­ duy thuËt gi¶i ph¶i lµ bé phËn hîp thµnh tri thøc ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n nãi chung vµ ph¶i ph¶n ¸nh ®­îc nÐt ®Æc thï riªng biÖt cña qu¸ tr×nh nµy. Sau ®©y lµ nh÷ng tri thøc ph­¬ng ph¸p cÇn truyÒn thô cho häc sinh: + T×m hiÓu bµi to¸n mét c¸ch tæng hîp, ph¸t hiÖn nh÷ng ®Æc thï, dÊu hiÖu riªng biÖt cña bµi to¸n. + Ph©n tÝch bµi to¸n ®Ó thÊy râ gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn cña bµi to¸n. + Ph©n tÝch bµi to¸n thµnh tõng bé phËn hoÆc thµnh nh÷ng bµi to¸n ®¬n gi¶n h¬n. + Mß mÉm vµ dù ®o¸n b»ng c¸ch ph©n chia thµnh c¸c tr­êng hîp. Xem xÐt c¸c tr­êng hîp (kÕt hîp víi suy luËn) b»ng c¸ch xÐt c¸c tr­êng hîp ®Æc biÖt, t­¬ng tù, kh¸i qu¸t.... + Quy l¹ vÒ quen. + KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i, t×m c¸ch gi¶i hîp lý h¬n b»ng c¸ch kh¾c phôc ®iÒu ch­a hîp lý cña lêi gi¶i cò hoÆc thay ®æi c¸ch nh×n ®èi víi bµi to¸n; sö dông kÕt qu¶ hay c¸ch gi¶i bµi to¸n cho bµi to¸n kh¸c; ®Ò xuÊt bµi to¸n míi. T×m hiÓu bµi to¸n mét c¸ch tæng hîp T×m hiÓu bµi to¸n mét c¸ch tæng hîp, ph¸t hiÖn nh÷ng ®Æc ®iÓm, dÊu hiÖu riªng biÖt cña bµi to¸n. VÝ dô 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh. x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24. Míi nh×n ta thÊy ph­¬ng tr×nh cã d¹ng kh«ng b×nh th­êng. Tuy nhiªn, nÕu ®Ó ý kü h¬n ta thÊy ph­¬ng tr×nh cã ®Æc ®iÓm ®Æc biÖt lµ: VÕ tr¸i = x(x + 3)(x + 1)(x + 2) = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 3) Tõ ®Æc ®iÓm nµy ta ®Æt: t = x2 + 3x, víi ®iÒu kiÖn th× ph­¬ng tr×nh ®­a vÒ d¹ng: t( t2 + 3) = 24 Hay t2 + 3t - 24 = 0 VÝ dô 2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: Tho¹t nh×n th× cã lÏ ai còng ho¶ng sî v× tr­íc m¾t chóng ta lµ mét ph­¬ng tr×nh mò v« tû víi c¬ sè phøc t¹p. Nh­ng nÕu ta xem xÐt kü hai c¬ sè th× thÊy chóng cã mèi liªn hÖ ®Æc biÖt: Tõ ®Æc ®iÓm nµy, ta thÊy cã thÓ biÓu diÔn vµ ta ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng víi t =, t > 0. hay t2 - 14t + 1 = 0. Nh­ vËy, mét sè ph­¬ng tr×nh chóng ta sÏ t×m ®­îc thuËt gi¶i nÕu xem xÐt kü ®Ó ph¸t hiÖn ra nh÷ng ®Æc ®iÓm riªng biÖt cña chóng. Ph©n tÝch gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn cña bµi to¸n Trong mét sè bµi to¸n th× gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn bao giê còng cã mèi liªn hÖ víi nhau. ë mét sè bµi to¸n mèi liªn hÖ Êy dÔ dµng thÊy ®­îc nh­ng còng cã nhiÒu bµi to¸n míi nh×n qua khã cã thÓ thÊy d­îc mèi liªn hÖ Êy. V× vËy, viÖc ph©n tÝch bµi to¸n ®Ó thÊy rã gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn ®Ó tõ ®ã t×m ra mèi liªn hÖ gi÷a chóng sÏ gãp phÇn x©y dùng thuËt gi¶i. VÝ dô: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 + 5x + 2 = 0 cã 2 nghiÖm x1, x2. Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M = x13 + x23. Ph©n tÝch: Ta thÊy biÓu thøc M chøa hai nghiÖm x1, x2 cña ph­¬ng tr×nh ®· cho. §Ó tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M ta cÇn ph¶i tÝnh gi¸ trÞ cô thÓ 2 nghiÖm x1, x2. Nh­ng yªu cÇu bµi to¸n lµ kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh cã nghÜa lµ kh«ng ®­îc tÝnh cô thÓ x1, x2 b»ng bao nhiªu th× ta còng ph¶i tÝnh ®­îc gi¸ trÞ cña biÓu thøc M. Ta ®Ó ý ®Õn ®Æc ®iÓm cña biÓu thøc M dÉn ®Õn chóng ta biÕn ®æi biÓu thøc M nh­ sau: M =(x1 + x2)(x12 - x1x2 + x22). MÆt kh¸c theo gi¶ thiÕt x1, x2 lµ 2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh nªn: . §iÒu nµy gîi ý cho ta biÕn ®æi biÓu thøc M vÒ chØ chøa (x1+ x2) vµ (x1.x2). Tõ ®ã, ta tiÕp tôc biÕn ®æi Tõ sù ph©n tÝch trªn, ta ®­a ra thuËt gi¶i tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc M nh­ sau: B­íc 1: BiÕn ®æi biÓu thøc M vÒ chØ chøa tæng (x1 + x2) vµ tÝnh x1.x2: M = (x1 + x2)(x12 - x1x2 + x22) = (x1 + x2)[(x1 + x2)2 - 3x1x2] B­íc 2: TÝnh tæng (x1 + x2) vµ x1.x2 theo Viet: . B­íc 3: Thay vµo biÓu thøc M vµ rót gän. Ph©n tÝch bµi to¸n thµnh tõng bé phËn §èi víi nh÷ng ph­¬ng tr×nh phøc t¹p (chøa c¨n thøc, chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, chøa nhiÒu hµm sè l­îng gi¸c, sè mò lín...) th­êng g©y rÊt nhiÒu khã kh¨n cho häc sinh trong qu¸ tr×nh gi¶i. V× vËy, trong qu¸ tr×nh d¹y häc gi¶i ph­¬ng tr×nh, gi¸o viªn cÇn rÌn luyÖn cho häc sinh c¸ch ®¬n gi¶n ho¸ bµi to¸n hoÆc ph©n chia thµnh c¸c bµi to¸n riªng lÎ ®Ó dÔ t×m c¸ch gi¶i. VÝ dô. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: Khi gÆp bµi to¸n nµy, c¸ch gi¶i häc sinh th­êng dïng lµ quy ®ång mÊt mÉu hai vÕ. Víi c¸ch lµm nµy dÉn ®Õn häc sinh cïng mét lóc thùc hiÖn nhiÒu phÐp biÕn ®æi vµ ¸p dông nhiÒu c«ng thøc l­îng gi¸c. C¸ch lµm nµy ®­a häc sinh gÆp nhiÒu khã kh¨n vµ dÔ m¾c sai lÇm trong biÕn ®æi. Gi¸o viªn cã thÓ t¸ch thµnh nhiÒu bµi to¸n nhá tõ bµi to¸n nµy ®Ó víi mçi bµi to¸n ®ã häc sinh thùc hiÖn Ýt phÐp tÝnh, phÐp biÕn ®æi ®¬n gi¶n, ¸p dông Ýt c«ng thøc vµ cuèi cïng ®­a ra biÓu thøc ®¬n gi¶n. Víi ®Þnh h­íng ®ã, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh gi¶i lÇn l­ît nh­ sau: B­íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn: B­íc 2: Rót gän biÓu thøc: B­íc 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 5cosx = cos2x + 3 Û 2cos2x – 5cosx + 2 = 0 Víi cosx =2 ( lo¹i) Víi + §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn: . T×m nghiÖm thÝch hîp. VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ: RÌn luyÖn n¨ng lùc ph¸n ®o¸n Mß mÉm vµ dù ®o¸n c¸ch gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch ph©n chia thµnh c¸c tr­êng hîp, hoÆc xÐt tr­êng hîp ®Æc biÖt, t­¬ng tù, kh¸i qu¸t,... VÝ dô 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: sin2nx + cos2m x = 1 , (m, n ) Ta xÐt mét sè tr­êng hîp ®Æc biÖt cña n vµ m. + NÕu m = n = 1. Ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: sin2x + cos2x =1. VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi x. + NÕu m = n = 2. Ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: sin4x + cos4x = 1. Ta cã nhËn xÐt: sin4x sin2x cos4x cos2x sin4x + cos4x sin2x + cos2x = 1. DÊu “ = ” x¶y ra + Ta xÐt c¸c tr­êng hîp tæng qu¸t: m = n > 2, ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: sin2nx + cos2mx = 1. LËp luËn t­¬ng tù, ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm Tõ ®ã ta cã thÓ kh¸i qu¸t cho tr­êng hîp tæng qu¸t m, n bÊt kú víi m, n ÎN*. RÌn luyÖn n¨ng lùc “quy l¹ vÒ quen” PhÇn lín c¸c ph­¬ng tr×nh ®Òu kh«ng cã d¹ng cã thÓ sö dông c¸c thuËt gi¶i quen thuéc ngay mµ ®ßi hái ng­êi gi¶i ph¶i biÕt ph©n tÝch, biÕn ®æi, biÕt nhËn ra mét sè ®Æc ®iÓm ®Æc biÖt cña ph­¬ng tr×nh ®Ó cã thÓ ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ ph­¬ng tr×nh ®· biÕt thuËt gi¶i. §èi víi c¸c ph­¬ng tr×nh d¹ng nµy, trong qu¸ tr×nh d¹y häc gi¸o viªn cÇn rÌn luyÖn cho häc sinh kü n¨ng huy ®éng c¸c thuËt gi¶i ®· biÕt. §Ó ®¹t ®­îc môc ®Ých nµy, ph­¬ng ph¸p quen thuéc hay sö dông lµ x©y dùng hÖ thèng bµi to¸n gèc cho tõng d¹ng ph­¬ng tr×nh. (VÊn ®Ò nµy sÏ ®­îc ®Ò cËp kü h¬n ë môc 2.3 cña ch­¬ng). Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô minh ho¹ ®¬n gi¶n: VÝ dô 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: §©y lµ ph­¬ng tr×nh ch­a cã thuËt gi¶i nh­ng chóng ta cã thÓ chuyÓn vÒ ph­¬ng tr×nh ®· cã thuËt gi¶i nh­ sau: (1) §Æt t = , ®iÒu kiÖn: t > 0. Ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: t2 – t - 12 = 0. (§©y lµ ph­¬ng tr×nh ®· cã thuËt gi¶i). Víi t = - 3 (lo¹i) Víi t = 4 VÝ dô 2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh; Míi nh×n, ta thÊy ph­¬ng tr×nh ch­a cã d¹ng quen thuéc nµo, nh­ng chóng ta cã thÓ ®­a nã vÒ d¹ng quen thuéc nÕu trong qu¸ tr×nh d¹y häc gi¸o viªn cho häc sinh tËp luyÖn tèt c¸c yªu cÇu cña biÖn ph¸p 4. Gi¸o viªn lµm nh­ thÕ chÝnh lµ ®· truyÒn cho häc sinh tri thøc ph­¬ng ph¸p quy l¹ vÒ quen. Theo ®Þnh h­íng ®ã, chóng ta ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng: (Quy vÒ ph­¬ng tr×nh d¹ng gÇn c¬ b¶n: sinx = sina) VÝ dô 3. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 52x+1- 3x+1 = 52x + 3x (3) §©y còng lµ mét ph­¬ng tr×nh kh«ng cã d¹ng quen thuéc. Tuy nhiªn chóng ta cã thÓ ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh d¹ng quen thuéc. (3) Û 5.52x - 3.3x = 52x + 3x Û 4.52x = 4.3x Û 25x = 3x (Quy vÒ ph­¬ng tr×nh d¹ng: ax = c) Û x = 0. KiÓm tra kÕt qu¶ vµ ph¸t hiÖn thuËt gi¶i tèi ­u KiÓm tra l¹i kÕt qu¶, t×m c¸ch gi¶i hîp lý h¬n b»ng c¸ch kh¾c phôc chç ch­a hîp lý cña lêi gi¶i cò hoÆc thay ®æi c¸ch nh×n ®èi víi bµi to¸n. Sö dông kÕt qu¶ hay c¸ch gi¶i bµi to¸n nµy cho bµi to¸n kh¸c, ®Ò xuÊt bµi to¸n míi. ViÖc nhËn ra vµ kh¾c phôc chç ch­a hîp lý cña mét lêi gi¶i ®Ó t×m ra c¸ch gi¶i hîp lý h¬n sÏ gãp phÇn ph¸t triÓn ho¹t ®éng (T5) cña t­ duy thuËt gi¶i (ho¹t ®éng t×m thuËt gi¶i tèi ­u). VÝ dô 1. Sau khi d¹y thuËt gi¶i gi¶i ph­¬ng tr×nh: asinx + bcosx = c. Gi¸o viªn cã thÓ nªu c©u hái. ? Víi ®iÒu kiÖn nµo cña a, b, c, th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm? Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm Tõ ®iÒu kiÖn nªu trªn, ta cã: . Gi¸o viªn cã thÓ cho häc sinh nh×n nhËn bµi to¸n: asinx + bcosx = c d­íi gãc ®é kh¸c nh­: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: y = asinx + bcosx. Gi¸o viªn cßn cã thÓ h­íng dÉn häc sinh ¸p dông bµi to¸n trªn ®Ó gi¶i bµi to¸n: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: y = Asin2x + Bsinxcosx + Ccos2x Nh­ vËy ®Ò xuÊt bµi to¸n míi tõ mét bµi to¸n ®· cã thuËt gi¶i lµ mét c¸ch ®Ó n¾m v÷ng thuËt gi¶i, biÕt biÕn ®æi linh ho¹t trong khi thùc hiÖn thuËt gi¶i. Do ®ã, ngay sau khi d¹y mét thuËt gi¶i nµo ®ã (cã thÓ lµ mét quy t¾c, mét c«ng thøc...), gi¸o viªn cã thÓ ra cho häc sinh mét sè bµi to¸n míi ®­îc suy ra tõ thuËt gi¶i ®· biÕt hoÆc h­íng dÉn häc sinh ®Ò xuÊt bµi to¸n míi. viÖc lµm nµy sÏ lµ mét biÖn ph¸p tèt ®Ó ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i cho häc sinh. VÝ dô 2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: cos2x + cos22x + cos23x =1. §øng tr­íc bµi to¸n nµy, häc sinh cã thÓ gi¶i nh­ sau: Û 1 + cos2x + cos4x + cos6x = 0 Û 2cos2x + 2cos5xcosx = 0 cosx (cos5x + cosx) = 0 2cosxcos2x.cos3x = 0 §èi víi häc sinh, c¸ch gi¶i trªn lµ phï hîp víi nhËn thøc cña hä khi ®øng tr­íc bµi to¸n nµy. Tuy nhiªn, gi¸o viªn cã thÓ h­íng dÉn häc sinh t×m c¸ch gi¶i tèi ­u h¬n vµ cã thÓ ¸p dông ®Ó gi¶i cho bµi to¸n tæng qu¸t h¬n nh­ sau: Sau khi biÕn ®æi ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 1 + cos2x + cos4x + cos6x = 0. Gi¸o viªn gîi ®éng c¬ ®Ó häc sinh ho¹t ®éng biÕn ®æi ph­ong tr×nh thµnh d¹ng tÝch theo c¸ch sau: Nh©n c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh víi 2sinx 0 ta ®­îc: 2sinx + 2 cos2xsinx + 2cos4xsinx + 2cos6xsinx = 0. Û 2sinx + sin3x – sinx + sin5x – sin3x + sin7x – sin5x = 0 Û sinx + sin7x = 0. Tõ c¸ch gi¶i nµy, häc sinh cã thÓ x©y dùng thuËt gi¶i cho bµi to¸n tæng qu¸t h¬n (xem thuËt gi¶i 9, môc 2.3). X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè d¹ng ph­¬ng tr×nh Trong qu¸ tr×nh d¹y häc gi¶i ph­¬ng tr×nh, cã nh÷ng ph­¬ng tr×nh thuéc d¹ng ph­¬ng tr×nh ®· cã thuËt gi¶i. Nh­ng ®a sè ph­¬ng tr×nh chóng ta gÆp ch­a cã ngay thuËt gi¶i. §Ó gi¶i nh÷ng d¹ng ph­¬ng tr×nh nµy, chóng ta ph¶i biÕn ®æi ®Ó ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh ®· cã thuËt gi¶i. §èi víi nh÷ng ph­¬ng tr×nh nµy cã thÓ h­íng dÉn häc sinh c¸ch suy nghÜ, c¸ch t×m tßi lêi gi¶i vµ h­íng ®Õn x©y dùng thuËt to¸n cho bµi to¸n ®ã nÕu cã thÓ. Theo A.N. Kolmogrov (X« viÕt b¸ch khoa toµn th­ tËp 2) th×: “Trong mäi tr­êng hîp cã thÓ ®­îc, viÖc ®i t×m c¸c alg«rit gi¶i lµ mét môc ®Ých thùc sù cña to¸n häc”. Do ®ã, viÖc ph¸t hiÖn ra vµ x©y dùng c¸c alg«rit lµ mét trong nh÷ng vÊn ®Ò quan träng nhÊt cña viÖc t×m c¸c alg«rit ngµy cµng tæng qu¸t ®Ó gi¶i líp c¸c bµi to¸n ngµy cµng réng theo mét c¸ch thèng nhÊt. Trong khu«n khæ cña luËn v¨n, dï rÊt muèn cã mét thuËt gi¶i tæng qu¸t ®Ó gi¶i mäi ph­¬ng tr×nh nh­ng ®iÒu ®ã lµ ¶o t­ëng. V× vËy chóng t«i chØ ®Ò xuÊt h­íng x©y dùng mét sè quy tr×nh cã tÝnh chÊt thuËt gi¶i cho mét sè d¹ng to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh. Th«ng qua viÖc rÌn luyÖn cho häc sinh biÕt c¸ch x©y dùng vµ vËn dông c¸c quy tr×nh ®ã th× t­ duy thuËt gi¶i cña c¸c em sÏ ®­îc ph¸t triÓn. Sau ®©y, chóng t«i ®­a ra thuËt gi¶i mét sè d¹ng ph­¬ng tr×nh th­êng gÆp ë ch­¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng. X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè ph­¬ng tr×nh quy vÒ bËc hai Khi d¹y néi dung Ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh quy vÒ bËc hai, d¹ng ph­¬ng tr×nh chøa c¨n thøc bËc hai lµ d¹ng ph­¬ng tr×nh g©y cho häc sinh rÊt nhiÒu khã kh¨n. Tuy nhiªn s¸ch gi¸o khoa ®· nªu hai ph­¬ng ph¸p khö c¨n lµ b×nh ph­¬ng hai vÕ vµ ®Æt Èn phô. C¸ch nãi cña s¸ch gi¸o khoa mang tÝnh chung chung, ch­a h­íng dÉn cho häc sinh cô thÓ d¹ng ph­¬ng tr×nh nµo th× b×nh ph­¬ng hai vÕ, d¹ng ph­¬ng tr×nh nµo th× ®Æt Èn phô. Trong qóa tr×nh d¹y, gi¸o viªn cã thÓ cho häc sinh nhËn d¹ng tõng lo¹i vµ tõ ®ã h­íng dÉn häc sinh t×m thuËt gi¶i cho d¹ng ph­¬ng tr×nh ®ã. Ch¼ng h¹n: VÝ dô 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: Gi¸o viªn cã thÓ h­íng dÉn häc sinh gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy nh­ sau: B­íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn: x – 1 0 Û x 1. B­íc 2: B×nh ph­¬ng hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh: 2x2 – 3x + 1 = (x – 1)2 B­íc 3: BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng: x2 – x = 0 B­íc 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x2 – x = 0 B­íc 5: §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn: x = 1 lµ nghiÖm. B­íc 6: KÕt luËn: Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 1. T­¬ng tù, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh gi¶i bµi tËp sau: VÝ dô 2: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: Gi¸o viªn h­íng dÉn häc sinh gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh trªn: Tõ h­íng dÉn gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh trªn, gi¸o viªn cã thÓ h­íng dÉn häc sinh ®­a ra thuËt gi¶i gi¶i ph­¬ng tr×nh d¹ng: . ThuËt gi¶i 1: B­íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn: g(x) 0. B­íc 2: B×nh ph­¬ng hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh: f(x) = g2(x) B­íc 3: BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng: h(x) = 0 B­íc 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: h(x) = 0 B­íc 5: T×m nghiÖm tho¶ m·n b­íc 1. B­íc 6: KÕt luËn. Víi thuËt gi¶i 1, gi¸o viªn cã thÓ h­íng dÉn häc sinh ®­a ra thuËt gi¶i ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t h¬n, d¹ng: nÕu f(x), g(x), h(x) lµ c¸c biÓu thøc bËc nhÊt. ThuËt gi¶i 2. B­íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn: B­íc 2: B×nh ph­¬ng hai vÕ: B­íc 3: BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng: B­íc 4: ¸p dông thuËt gi¶i 1. VÝ dô 3. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: VÝ dô 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: Gi¸o viªn huíng dÉn gi¶i theo tr×nh tù sau: B­íc 1. §Æt ®iÒu kiÖn: x2 – 6x + 6 0 B­íc 2. §Æt Èn phô: , ( t 0) B­íc 3. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: t2 – 4t + 3 = 0 B­íc 4: §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn cña t ë b­íc 2: t = 1 vµ t = 3 tho¶ m·n. B­íc 5: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: + + B­íc 6: T×m nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn b­íc 1. x = 1, x = 5, x =3 tho¶ m·n. B­íc 7: KÕt luËn: VËy ph­¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm: x = 1, x = 5, x =3 Gi¸o viªn cã thÓ yªu cÇu häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n sau: VÝ dô 5: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: c. Tõ c¸c vÝ dô nµy, gi¸o viªn cã thÓ h­íng dÉn häc sinh ®­a ra thuËt gi¶i cho ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t d¹ng: Af(x) + B + C = 0 ThuËt gi¶i 3: B­íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn: f(x) 0 B­íc 2: §Æt Èn phô: t = , (t 0) B­íc 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: At2 + Bt + C = 0 B­íc 4: T×m nghiÖm thÝch hîp t0 tho¶ m·n b­íc 2. B­íc 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: f(x) = t02 B­íc 6: T×m nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn b­íc 1. B­íc 7: Tr¶ lêi. Nh­ vËy, nÕu trong qu¸ tr×nh d¹y häc gi¶i ph­¬ng tr×nh, gi¸o viªn cã thÓ h­íng dÉn häc sinh nhËn d¹ng ph­¬ng tr×nh ®Ó tõ ®ã häc sinh t×m ra thuËt gi¶i ph­¬ng tr×nh. §©y lµ biÖn ph¸p tèt ®Ó rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i cho häc sinh. Khi d¹y häc sinh gi¶i ph­¬ng tr×nh - bÊt ph­¬ng tr×nh quy vÒ bËc hai th× mét sè d¹ng ph­¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu g©y cho häc sinh gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n. §èi víi nh÷ng ph­¬ng tr×nh d¹ng nµy, chóng ta cÇn cho häc sinh theo mét tr×nh tù vµ trªn c¸c vÝ dô t­¬ng tù. Trªn c¬ së ®ã cho häc sinh nhËn d¹ng cña ph­¬ng tr×nh vµ quy tr×nh gi¶i ph­¬ng tr×nh, tõ ®ã rót ra thuËt gi¶i cho d¹ng ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t. Ch¼ng h¹n: VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: Gi¸o viªn cã thÓ h­íng dÉn häc sinh gi¶i ph­¬ng tr×nh nh­ sau: B­íc 1: T×m tËp x¸c ®Þnh cña ph­¬ng tr×nh. §iÒu kiÖn: 3x2+5x+2 ≠ 0 B­íc 2: NhËn xÐt x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh, chia c¶ hai vÕ cho x ≠ 0 ta ®­îc. B­íc 3: §Æt B­íc 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: víi t ≠ 1 vµ t ≠ -5. Ph­¬ng tr×nh B­íc 5: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh. + , ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. + B­íc 6: Tr¶ lêi, ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm VÝ dô 2. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a.; b. Tõ hai vÝ dô trªn ta h­íng dÉn häc sinh ®­a ra bµi to¸n tæng qu¸t vµ thuËt gi¶i cho bµi to¸n ®ã nh­ sau: ThuËt gi¶i 4. ThuËt gi¶i ph­¬ng tr×nh: , víi p ≠ 0 B­íc 1: T×m tËp x¸c ®Þnh cña ph­¬ng tr×nh. B­íc 2: NhËn xÐt x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm, chia c¶ hai vÕ cho x ≠ 0 ta ®­îc. B­íc 3: §Æt , ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: B­íc 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: t×m nghiÖm t0. B­íc 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: B­íc 6: §èi chiÕu nghiÖm x0 víi ®iÒu kiÖn ë B­íc 1. B­íc 7: Tr¶ lêi. X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c Khi d¹y néi dung: c¸c ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c th­êng gÆp, häc sinh ®· biÕt thuËt gi¶i ph­¬ng tr×nh: asinx + bcosx = c. Gi¸o viªn cã thÓ yªu cÇu häc sinh gi¶i bµi to¸n sau: VÝ dô 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 3sinx + 4cosx = 4sin3x – 3cos3x. §©y lµ ph­¬ng tr×nh ch­a cã thuËt gi¶i. Tuy nhiªn gi¸o viªn h­íng dÉn häc sinh quy vÒ gi¶i ph­¬ng tr×nh d¹ng quen thuéc nh­ sau: Ta thÊy: 32 + 42 = 42 + (-3)2 = 25, nªn chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng t×nh cho ta ®­îc: NhËn thÊy: §Æt vµ Thay vµo ph­¬ng tr×nh ta ®­îc: (§©y lµ ph­¬ng tr×nh gÇn c¬ b¶n). Víi c¸ch gi¶i vÝ dô trªn, gi¸o viªn cã thÓ h­íng dÉn häc sinh ®­a ra thuËt to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t h¬n sau: asin(kx) + bcos(kx) = csin(mx) + dcos(mx) ThuËt to¸n 5: B­íc 1: KiÓm tra ®iÒu kiÖn: a2 + b2 = c2 + d2 B­íc 2: Chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh cho: B­íc 3: §Æt vµ B­íc 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: sin(kx + a) = sin(mx + b) VÝ dô 2: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: a. cosxcos2x = b. cosx.cos2x.cos4x = Gi¶i: §øng tr­íc ph­¬ng tr×nh: cosxcos2x = , häc sinh cã thÓ gi¶i nh­ sau: (a) Û 2cosxcos2x = 2 Û cos3x + cosx – 2 =0 4cos3x – 2cosx – 2 = 0 §Æt t = cosx, 4t3 – 2t -2 = 0 (t – 1)(4t2 + 4t + 2) = 0 Víi t – 1 = 0 t = 1. Víi 4t2 + 4t + 2 = 0 Þ ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. Víi t = 1 Þ cosx = 1 C¸ch gi¶i nµy phï hîp víi tr×nh ®é nhËn thøc cña häc sinh. Tuy nhiªn, nÕu ¸p dông c¸ch gi¶i nµy ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh (b) th× häc sinh sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n. Chóng ta cã thÓ h­íng dÉn häc sinh c¸ch gi¶i ph­¬ng tr×nh (a) ®¬n gi¶n h¬n, tõ ®ã cã thÓ ¸p dông cho ph­¬ng tr×nh (b). + NÕu sinx = 0, ph­¬ng tr×nh (a) v« nghiÖm. + Nh©n c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh víi 2sinx 0, ta ®­îc: Û 2sinxcosx.cos2x = sinx. Û 2sin2xcos2x = sinx. sin4x = sinx §©y lµ ph­¬ng tr×nh ®· cã thuËt gi¶i, häc sinh dÔ dµng ¸p dông thuËt gi¶i ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh. Lµm t­¬ng tù nh­ trªn, häc sinh dÔ dµng gi¶i ®­îc ph­¬ng tr×nh (b). Tõ ®ã chóng ta cã thÓ h­íng dÉn häc sinh ®­a ra thuËt gi¶i gi¶i ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t: cosx.cos2x.cos4x....cos2n-1x = ThuËt gi¶i 6: B­íc 1: NhËn xÐt sinx = 0 kh«ng tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh. B­íc 2: Nh©n c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh víi 2sinx 0. B­íc 3: BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng: B­íc 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: sin2nx = sinx B­íc 5: Tr¶ lêi. ë phÇn tr­íc, chóng ta ®· biÕt thuËt gi¶i ph­¬ng tr×nh: sinx + sin2x + sin3x = 0. Dùa vµo thuËt gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy, gi¸o viªn cã thÓ h­íng dÉn häc sinh ®­a ra thuËt gi¶i cho bµi to¸n tæng qu¸t. ThuËt gi¶i 7: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: asinx + bsin2x + csin3x = 0 nh­ sau: B­íc 1: BiÓu diÔn sin2x, sin 3x qua sinx. B­íc 2: BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch. sinx(4c.cos2x + 2b.cosx + a – c ) = 0 B­íc 3: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c c¬ b¶n. + sinx = 0 (1) + 4c.cos2x + 2b.cosx + a – c ) = 0 (2) B­íc 4: LÊy hîp cña hai hä nghiÖm (1) vµ (2) Chóng ta ®· h­íng dÉn cho häc sinh ®­a ra thuËt gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn. ThÕ nh­ng chóng ta kh«ng thÓ ¸p dông thuËt gi¶i nµy ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh: sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0. Bëi v× khi ta t¨ng sè h¹ng cña ph­¬ng tr×nh lªn th× viÖc biÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch cµng phøc t¹p vµ cµng kh«ng thÓ thùc hiÖn ®­îc khi ph­¬ng tr×nh ë d¹ng tæng qu¸t. §iÒu ®ã cã nghÜa lµ khi n > 3, chóng ta cÇn t×m thuËt gi¶i phï hîp cho ph­¬ng tr×nh: = 0 §Ó x©y dùng thuËt gi¶i cho ph­¬ng tr×nh nµy, chóng ta cã thÓ h­íng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n sau: Bµi to¸n: Rót gän biÓu thøc sau: A = sinx + sin2x + sin3x + ... + sinnx Rót gän biÓu thøc A thùc chÊt lµ tÝnh tæng cña A. V× biÓu thøc A chøa n sè h¹ng nªn chóng ta kh«ng thÓ biÕn ®æi th«ng th­êng mµ ta ph¶i ®­a ra mét quy luËt hoÆc biÕn ®æi ®Ó c¸c sè h¹ng cña tæng cã thÓ khö ®­îc lÉn nhau. B»ng kü thuËt nh©n vµ chia cho 2sin0, chóng ta biÕn ®æi biÓu thøc A nh­ sau: A = VËy A = Tõ kÕt qu¶ bµi to¸n trªn, gi¸o viªn cã thÓ h­íng dÉn häc sinh ®­a ra ®­îc thuËt gi¶i gi¶i ph­¬ng tr×nh sau: ThuËt gi¶i 8: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: sinx + sin2x + sin3x+ ... + sinnx = 0. B­íc 1: XÐt sin = 0 Û x = k2p cã lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh kh«ng Víi x = k2p Þ sinnx = 0 Þ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x = k2p B­íc 2: Víi sin 0 Û x ¹ k2p BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng: = 0 B­íc 3: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: B­íc 4: KÕt luËn: Ph­¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm lµ: vµ B»ng c¸ch lµm t­¬ng tù, ta tÝnh ®­îc tæng: * cosx + cos2x + cos3x + ...+ cosnx = * 1 + cosx + cos2x + cos3x + ...+ cosnx = Vµ h­íng dÉn häc sinh t×m ®­îc thuËt gi¶i gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: * cosx + cos2x + cos3x + ...+ cosnx = 0. * sinx + sin2x + sin3x +... + sinnx = cosx + cos2x + cos3x + ... + cosnx * 1 + cosx + cos2x + cos3x + ...+ cosnx = 0 Dùa vµo tæng thø 3, gi¸o viªn h­íng dÉn häc sinh nªu c¸c b­íc gi¶i ph­¬ng tr×nh: 1 + cos2x + cos4x + cos6x = 0, (1) nh­ sau: B­íc 1: NhËn xÐt: sinx = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) B­íc 2: Nh©n c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh víi 2sinx 0, ta ®­îc: Û 2sinx + 2cos2xsinx + 2cos4xsinx + 2cos6xsinx = 0 Û 2sinx = sin3x – sinx + sin5x – sin3x + sin7x – sin5x = 0 Û sinx + sin7x = 0 2sin4xcos3x = 0 B­íc 3: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: * sin4x = 0 cos3x = 0 B­íc 4: §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn ë b­íc 2: Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = k víi k 4m, m Z vµ x = Tõ c¸ch gi¶i ph­¬ng tr×nh (1), chóng ta x©y dùng thuËt gi¶i gi¶i ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t h¬n nh­ sau: ThuËt gi¶i 9. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: cos2x + cos22x + ... + cos2nx = B­íc 1: H¹ bËc ®èi víi tõng h¹ng tö: cos2ix = Ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi: B­íc 2: BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 1 + cos2x + cos4x + ... + cos2nx = 0 B­íc 3: NhËn xÐt: sinx = 0 th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. B­íc 4: Nh©n hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh víi 2sinx ¹ 0. BiÕn ®æi thu ®­îc ph­¬ng tr×nh: sinx + sin(2n + 1)x = 0 B­íc 5: §­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch: sin(n + 1)x cosnx = 0 B­íc 6: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: + sin(n + 1) = 0 + cosnx = 0. B­íc 7: §èi chiÕu nghiÖm víi ®iÒu kiÖn ë b­íc 4. B­íc 8: KÕt luËn. §Ó rÌn luyÖn kü n¨ng ¸p dông thuËt gi¶i vµ x©y dùng thuËt gi¶i, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh gi¶i bµi to¸n sau: 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a. cos2x + cos22x = b. cos2x + cos22x + cos23x = 1 c. cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2. H·y x©y dùng thuËt gi¶i gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a. sin2x + sin22x + ... + sin2nx = b.sin2x + sin22x + ... + sin2(n + 1)x = cos2x + cos22x + cos22nx. 3. C¸c ph­¬ng tr×nh sau cã thÓ gi¶i theo thuËt gi¶i trªn hay kh«ng. a. cos2x + cos22x + cos23x = 0 b. cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3. 2.3.3. X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè ph­¬ng tr×nh mò Trong c¸c t×nh huèng d¹y häc th× d¹y häc gi¶i ph­¬ng tr×nh lµ t×nh huèng tèt nhÊt ®Ó ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i cña häc sinh. Th«ng qua hÖ thèng bµi tËp t­¬ng tù, häc sinh cã thÓ kh¸i qu¸t ho¸ thµnh thuËt gi¶i tæng qu¸t cho d¹ng ph­¬ng tr×nh ®ã, ®ång thêi rÌn luyÖn c¸c ho¹t ®éng thµnh phÇn cña t­ duy thuËt gi¶i cña häc sinh. VÝ dô: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a. b. Tõ ®Æc ®iÓm cña ph­¬ng tr×nh vµ c¸ch gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh trªn, chóng ta ®­a ra thuËt gi¶i gi¶i ph­¬ng tr×nh nh­ sau: ThuËt gi¶i 10. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: A.af(x) + C.bf(x) = B B­íc 1: KiÓm tra: ab = 1. B­íc 2: §Æt t = af(x), t > 0. B­íc 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: At + = B hay: At2 – Bt + C = 0 B­íc 4: T×m nghiÖm t0 tho¶ m·n b­íc 2. B­íc 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: af(x) = t0 B­íc 6: KÕt luËn. Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a. b. 2.4. KÕt luËn ch­¬ng 2 Trong ch­¬ng nµy chóng t«i ®· ®­a ra c¸c nguyªn t¾c d¹y häc theo h­íng ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i vµ dùa trªn hÖ thèng c¸c nguyªn t¾c ®ã ®Ò ra 5 ®Þnh h­íng ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i cho häc sinh th«ng qua d¹y häc néi dung ph­¬ng tr×nh. §Ó ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i cho häc sinh ®¹t hiÖu qu¶ cao ®ßi hái ng­êi gi¸o viªn ph¶i cã kü n¨ng s­ ph¹m, cã nghÖ thuËt biÕn qu¸ tr×nh d¹y häc nãi chung thµnh mét hÖ thèng lµm viÖc ®Þnh h×nh, cã tæ chøc, kiÓm so¸t chÆt chÏ c¸c ho¹t ®éng To¸n häc cña häc sinh mang tÝnh thuËt gi¶i còng nh­ x©y dùng thuËt gi¶i. Mét trong nh÷ng yÕu tè h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i cho häc sinh cã hiÖu qu¶ lµ trong qu¸ tr×nh d¹y häc gi¸o viªn ph¶i x©y dùng ®­îc c¸c quy tr×nh d¹y häc theo h­íng ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i, cho häc sinh ho¹t ®éng tÝch cùc trong c¸c t×nh huèng d¹y häc ®ã. Nh­ vËy, viÖc ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i cho häc sinh trong qu¸ tr×nh d¹y häc m«n To¸n nãi chung vµ d¹y häc néi dung ph­¬ng tr×nh nãi riªng lµ hÕt søc quan träng. Nã gióp chóng ta ®¹t ®­îc môc ®Ých cña gi¸o dôc vµ yªu cÇu cña x· héi ®Æt ra. Ch­¬ng 3 Thùc nghiÖm s­ ph¹m 3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm Thùc nghiÖm s­ ph¹m nh»m môc ®Ých kiÓm tra tÝnh kh¶ thi vµ tÝnh hiÖu qu¶ cña viÖc sö dông c¸c ®Þnh h­íng ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i cho häc sinh trong qu¸ tr×nh d¹y häc néi dung ph­¬ng tr×nh. (§Æc biÖt lµ c¸c quy tr×nh d¹y häc theo h­íng ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i). 3.2. Tæ chøc vµ néi dung thùc nghiÖm 3.2.1. Tæ chøc thùc nghiÖm Thùc nghiÖm s­ ph¹m ®­îc tiÕn hµnh t¹i tr­êng trung häc phæ th«ng DiÔn Ch©u 3, huyÖn DiÔn Ch©u. Líp thùc nghiÖm: 11A3. Líp ®èi chøng: 11A4. C¶ hai líp nµy ®Òu häc theo Ban khoa häc tù nhiªn. Thêi gian thùc nghiÖm ®­îc tiÕn hµnh tõ 15 th¸ng 9 ®Õn 20 th¸ng 10 n¨m 2007. Gi¸o viªn d¹y líp thùc nghiÖm: ThÇy NguyÔn V¨n Dòng. Gi¸o viªn d¹y líp thùc nghiÖm: ThÇy NguyÔn §¨ng Qu¶ng. §­îc sù ®ång ý cña Ban gi¸m hiÖu tr­êng Trung häc phæ th«ng DiÔn Ch©u 3, chóng t«i ®· t×m hiÓu kÕt qu¶ häc tËp cña c¸c líp khèi 11 cña tr­êng vµ nhËn thÊy tr×nh ®é chung vÒ m«n To¸n cña hai líp 11A3 vµ 11A4 lµ t­¬ng ®­¬ng nhau. Trªn c¬ së ®ã, chóng t«i ®­îc thùc nghiÖm t¹i líp 11A3 vµ lÊy líp 11A4 lµm ®èi chøng. Ban gi¸m hiÖu nhµ tr­êng, c¸c thÇy (c«) trong tæ to¸n, thÇy tæ tr­ëng vµ c¸c thÇy d¹y hai líp 11A3, 11A4 chÊp nhËn ®Ò xuÊt nµy vµ t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho chóng t«i tiÕn hµnh thùc nghiÖm. ViÖc d¹y thùc nghiÖm vµ ®èi chøng thùc hiÖn ®óng kÕ ho¹ch gi¶ng d¹y cña nhµ tr­êng. 3.2.2. Néi dung thùc nghiÖm Thùc nghiÖm ®­îc tiÕn hµnh trong bµi 2 vµ bµi 3. Ch­¬ng1: Hµm sè l­îng gi¸c vµ ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c (S¸ch §¹i sè & Gi¶i tÝch 11, N©ng cao). Sau khi d¹y thùc nghiÖm, chóng t«i cho häc sinh lµm bµi kiÓm tra. Sau ®©y lµ néi dung ®Ò kiÓm tra. §Ò kiÓm tra thùc nghiÖm: (Thêi gian 60 phót). C©u 1: (4 ®iÓm). H·y nªu c¸c b­íc gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau. 2sin2x - 3cosx = 2 C©u 2: (3 ®iÓm). Gi¶i ph­¬ng tr×nh. Sin2x + sin22x + sin23x = C©u 3: (3 ®iÓm). a. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: cosx.cos2x.cos4x = b. H·y nªu bµi to¸n tæng qu¸t vµ thuËt gi¶i cho bµi to¸n ®ã. 3.2.3. ý ®Þnh s­ ph¹m cña ®Ò kiÓm tra §Ò kiÓm tra ®­îc ra víi dông ý kiÓm tra tÝmh hiÖu qu¶ cña c¸c ®Þnh h­íng ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i cho häc sinh vµ sù thÓ hiÖn t­ duy thuËt gi¶i cña häc sinh trong gi¶i to¸n. C©u 1 nh»m kiÓm tra kü n¨ng vËn dông c¸c thuËt gi¶i ®· biÕt ®ång thêi kiÓm tra kü n¨ng thùc hiÖn c¸c ho¹t ®éng (T1), (T2) vµ (T4) cña häc sinh. Tuy nhiªn, häc sinh ph¶i biÕt biÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ ph­¬ng tr×nh ®· biÕt thuËt gi¶i. C©u 2 nh»m môc ®Ých kiÓm tra kü n¨ng biÕn ®æi ph­¬ng tr×nh, kü n¨ng quy l¹ vÒ quen. C©u 3 nh»m kiÓm tra kü n¨ng thùc hiÖn c¸c ho¹t ®éng (T3), (T4) vµ (T5) cña häc sinh. 3.3. §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm 3.3.1. §¸p ¸n ®Ò kiÓm tra C©u 1a. B­íc1: BiÓu diÔn sin2x theo cos2x. sin2x = 1 - cos2x B­íc 2: BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng. cosx(2cosx + 3) = 0 B­íc 3: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n. + cosx = 0 + ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. B­íc 4: Tr¶ lêi. Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm C©u 1b. B­íc 1: BiÓu diÔn theo cosx. B­íc 2: BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng. B­íc 3: KiÓm tra c¸c hÖ sè a, b, c. C¸c hÖ sè a, b, c tho¶ m·n a2 + b2 ≥ c2. B­íc 4: Chia c¶ hai vÕ cho B­íc 5: §Æt B­íc 6: Gi¶i ph­¬ng tr×nh. B­íc 7: Tr¶ lêi. Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm. C©u 2. Û (1- 2sin2x) + (1- 2sin22x) + (1- 2sin23x) = 0 Û cos2x + cos4x + cos6x = 0 2cos4x.cos2x + cos4x = 0 cos4x(2cos2x + 1) = 0 Û KÕt luËn: ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm vµ C©u 3a. C¸ch 1: cosx.cos2x.cos4x = Û 2(cos3x + cosx)cos4x = cos7x Û 2cos3x.cos4x + 2cosx.cos4x = cos7x Û cos7x + cosx + 2cosx.cos4x = cos7x Û cosx(2cos4x + 1) = 0 Û C¸ch 2: NhËn xÐt. sinx = 0 th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. Nh©n c¶ hai vÕ ph­¬ng tr×nh víi 2sinx 0, ta ®­îc. 8sinx.cosx.cos2x.cos4x = 2sinx.cos7x Û 4sin2x.co2x.co4x = 2sinx.cos7x Û 2sin4x.cos4x = 2sinx.cos7x Û sin8x = sin8x – sin6x Û sin6x = 0 §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn sinx 0 Þ m ¹ 6k. Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm víi m ¹ 6k C©u 3b. Bµi to¸n tæng qu¸t. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: cosx.cos2x.cos4x...cos2n-1x = ThuËt gi¶i: B­íc 1: NhËn xÐt. sinx = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. B­íc 2: Nh©n c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh víi 2sinx 0, ta ®­îc. 2nsinx.cosx.cos2x.cos4x...cos2n-1x = 2sinx.cos(2n-1)x Û sin(2n-2)x = 0 B­íc 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh. sin(2n-2)x = 0 B­íc 4: §èi chiÕu nghiÖm t×m ®­îc víi ®iÒu kiÖn ë B­íc 2. B­íc 5: Tr¶ lêi. 3.3.2. §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm KÕt qu¶ lµm bµi kiÓm tra cña häc sinh líp thùc nghiÖm (TN) vµ häc sinh líp ®èi chøng (§C) ®­îc thèng kª th«ng qua b¶ng sau: §iÓm Líp 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tæng sè HS TN 0 0 0 0 1 12 16 10 5 3 1 48 §C 0 0 0 2 4 18 14 8 2 0 0 48 Líp TN: YÕu (2,1%); Trung b×nh (58,3%); Kh¸ (31,3%); Giái (8,3%). Líp §C: YÕu (12,5%); Trung b×nh (66,7%); Kh¸ (20,8%); Giái (0%). NhËn xÐt. KÕt qu¶ thèng kª ë b¶ng cho ta thÊy sè häc sinh líp thùc nghiÖm lµm bµi kiÓm tra tèt h¬n h¼n häc sinh líp ®èi chøng. Sù h¬n h¼n ®ã lµ hîp lý v× nh÷ng lý do sau: Thø nhÊt: néi dung bµi kiÓm tra ph¶n ¸nh ®Çy ®ñ c¸c yªu cÇu d¹y häc theo quy ®Þnh cña ch­¬ng tr×nh. Thø hai: C¸c ph­¬ng tr×nh ®­îc ra theo h­íng ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i. Thø ba: Häc sinh ®· ®­îc lµm quen víi c¸c d¹ng bµi tËp nªu trong c¸c ®Ò kiÓm tra. ViÖc lµm quen víi c¸c d¹ng bµi tËp míi kh«ng hÒ lµm gi¶m kü n¨ng gi¶i to¸n mµ tr¸i l¹i cñng cè ph¸t triÓn kü n¨ng nµy cïng víi c¸c thµnh tè cña t­ duy thuËt gi¶i. Thø t­: Bªn c¹nh thùc hiÖn c¸c yªu cÇu to¸n häc, häc sinh líp thùc nghiÖm cßn ®­îc khuyÕn khÝch ph¸t triÓn c¸c yÕu tè cña t­ duy thuËt gi¶i. Häc sinh ®­îc häc gi¶i to¸n theo mét quy tr×nh hîp lý...v.v... 3.4. KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm Qu¸ tr×nh thùc nghiÖm cïng víi nh÷ng kÕt qu¶ thu ®­îc tõ thùc nghiÖm cho thÊy môc ®Ých cña thùc nghiÖm ®· ®­îc hoµn thµnh, tÝnh kh¶ thi vµ hiÖu qu¶ cña viÖc d¹y häc theo h­íng ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i ®· ®­îc kh¼ng ®Þnh. §iÒu ®ã gãp phÇn quan träng vµo viÖc n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y häc néi dung ph­¬ng tr×nh trong m«n to¸n ë tr­êng phæ th«ng. KÕt luËn C¸c kÕt qu¶ chÝnh cña luËn v¨n lµ: 1. Gãp phÇn lµm s¸ng tá néi dung kh¸i niÖm t­ duy thuËt gi¶i vµ vai trß, vÞ trÝ cña viÖc ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i trong d¹y häc to¸n. 2. X¸c ®Þnh ®­îc c¸c nguyªn t¾c d¹y häc theo h­íng ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i. 3. X¸c ®Þnh ®­îc mét sè ®Þnh h­íng d¹y häc theo h­íng ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i th«ng qua d¹y häc néi dung ph­¬ng tr×nh. 4. X©y dùng ®­îc mét sè thuËt gi¶i ®Ó gi¶i mét sè d¹ng ph­¬ng tr×nh. 5. §· tæ chøc thùc nghiÖm s­ ph¹m ®Ó minh ho¹ tÝnh kh¶ thi vµ hiÖu qu¶ cña c¸c nguyªn t¾c d¹y häc theo h­íng ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i còng nh­ c¸c ®Þnh h­íng d¹y häc theo h­íng ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i. Nh­ vËy cã thÓ kh¼ng ®Þnh môc ®Ých nghiªn cøu ®· ®­îc thùc hiÖn, nhiÖm vô nghiªn cøu ®· hoµn thµnh vµ gi¶ thiÕt khoa häc ®· nªu trong phÇn më ®Çu lµ chÊp nhËn ®­îc. Tµi liÖu tham kh¶o 1. NguyÔn ThÞ Thanh B×nh (2002), Gãp phÇn ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i cña häc sinh THPT th«ng qua d¹y häc néi dung l­îng gi¸c, LuËn v¨n th¹c sü gi¸o dôc häc. 2. NguyÔn VÜnh CËn, Lª Thèng NhÊt, Phan Thanh Quang (2002), Sai lÇm phæ biÕn khi gi¶i to¸n, NXB gi¸o dôc. 3. Phan §øc ChÝnh, Ph¹m TÊn D­¬ng, Lª §×nh ThÞnh (1988) TuyÓn tËp c¸c bµi to¸n s¬ cÊp (tËp 2), NXBGD. 4. Phan §øc ChÝnh, Vò D­¬ng Thôy, §µo Tam, Lª Thèng NhÊt (1999), C¸c bµi gi¶ng luyÖn thi m«n to¸n, TËp 1, 2, NXB Gi¸o dôc. 5. Hoµng Chóng (1978), Ph­¬ng ph¸p d¹y häc to¸n häc, NXBGD. 6. Do·n Minh C­êng (1997), NhËn d¹ng trong ho¹t ®éng d¹y häc gi¶i ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c, NCGD sè 10/1997. 7. Do·n Minh C­êng (1997), VÒ c¸c sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i bµi tËp ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c, NCGD. 8. Ng« ViÕt DiÔn (2000), Ph­¬ng ph¸p chän läc gi¶i to¸n hµm sè mò vµ l«garit, NXB§HQG. 9. Lª M¹nh Dòng (12/2001), Nãi chuyÖn víi b¹n trÎ yªu to¸n, Tin häc vµ nhµ tr­êng. 10. Hå Sü §µm, Hå CÈm Hµ, TrÇn §ç Hïng, NguyÔn Xu©n My, NguyÔn §øc NghÜa, NguyÔn Thanh Tïng, Ng« ¸nh TuyÕt (2006), Tin häc 10, NXBGD. 11. Hå Sü §µm, Hå CÈm Hµ, TrÇn §ç Hïng, NguyÔn §øc NghÜa, NguyÔn Thanh Tïng, Ng« ¸nh TuyÕt (2006), Tin häc 11, NXBGD. 12. NguyÔn §øc §ång (2000), TuyÓn tËp 599 bµi to¸n l­îng gi¸c chän läc, NXB H¶i Phßng. 13. Ph¹m Gia §øc, NguyÔn M¹nh C¶ng, Bïi Huy Ngäc, Vò D­¬ng Thôy (2001), Ph­¬ng ph¸p d¹y häc m«n to¸n, TËp 1,2, NXBGD. 14. TrÞnh Thanh H¶i (8/2000), Hç trî h×nh häc 10 b»ng gi¶i bµi tËp th«ng qua ng«n ng÷ lËp tr×nh Pascal, NCGD. 15. TrÇn V¨n H¹o, Cam Duy LÔ (2000), §¹i sè 10, NXBGD. 16. TrÇn V¨n H¹o, Cam Duy LÔ, Ng« Thóc Lanh, Ng« Xu©n S¬n, Vò TuÊn (2000), §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, NXBGD. 17. TrÇn V¨n H¹o, Cam Duy LÔ, Ng« Thóc Lanh, Ng« Xu©n S¬n, Vò TuÊn (2000), Bµi tËp §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, NXBGD. 18. NguyÔn Th¸i Hße (1998), RÌn luyÖn t­ duy qua viÖc gi¶i bµi tËp to¸n, NXBGD. 18. NguyÔn Xu©n Huy (1988), ThuËt to¸n, NXB thèng kª. 20. NguyÔn Xu©n Huy (4/1992), ThuËt to¸n vµ m¸y turing, THTT. 21. Hoµng KiÕm (2001), Gi¶i mét bµi to¸n trªn m¸y tÝnh nh­ thÕ nµo (T1), NXBGD. 22. NguyÔn B¸ Kim, Lª Kh¾c Thµnh (1993), D¹y häc mét sè yÕu tè cña to¸n häc tÝnh to¸n vµ tin häc (dïng cho líp 10 THPT), H. GD. 23. NguyÔn B¸ Kim (2006), Ph­¬ng ph¸p d¹y häc m«n to¸n, NXB§HSP. 24. NguyÔn B¸ Kim (1999), LËp tr×nh gi¶i to¸n THPT (Tµi liÖu båi d­ìng th­êng xuyªn chu kú 1997-2000), H. GD. 25. NguyÔn B¸ Kim (1999), Häc tËp trong ho¹t ®éng vµ b»ng ho¹t ®éng, NXBGD. 26. NguyÔn B¸ Kim, Vò D­¬ng Thôy (2000), Ph­¬ng ph¸p d¹y häc m«n to¸n (TËp 1), NXBGD. 27. NguyÔn B¸ Kim (2001), Gi¸o tr×nh gi¸o dôc tin häc, NXBGD. 28. Phan Huy Kh¶i (1997), To¸n n©ng cao cho häc sinh, §¹i sè 10, NXB §HQG Hµ Néi. 29. Hµ Huy Kho¸i (1997), NhËp m«n sè häc thuËt to¸n, H. KHKT. 30. TrÇn V¨n Kû (1996), Ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n l­îng gi¸c, NXBTPHCM. 31. NguyÔn V¨n Léc (1997), Quy tr×nh gi¶i c¸c bµi to¸n b»ng ph­¬ng ph¸p vect¬, NXBGD. 32. Tr­¬ng Quang Linh (2001), Ph­¬ng ph¸p míi gi¶i to¸n l­îng gi¸c, NXBGD. 33. §ç Xu©n L«i (2000), CÊu tróc d÷ liÖu vµ gi¶i thuËt, NXBGD. 34. V­¬ng D­¬ng Minh (20/1990), Nh÷ng yÕu tè néi dung vµ ph­¬ng ph¸p ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i trong d¹y häc to¸n ë tr­êng phæ th«ng, T¹p chÝ th«ng tin KHGD, ViÖn KHGD. 35. V­¬ng D­¬ng Minh (1/1991), TDTG vµ quan ®iÓm ho¹t ®éng, Th«ng b¸o khoa häc, §HSP 1 Hµ Néi. 36. V­¬ng D­¬ng Minh, Oukchiªng (11/1998), Ph¸t triÓn TDTG trong m«n to¸n, NCGD. 37. V­¬ng D­¬ng Minh (1996), Ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i cña häc sinh trong khi d¹y häc c¸c hÖ thèng sè ë tr­êng phæ th«ng, LuËn ¸n PTS khoa häc s­ ph¹m - t©m lý. 38. V. M. M«nakhèp (1978), H×nh thµnh v¨n hãa thuËt gi¶i cho häc sinh trong khi d¹y häc m«n to¸n, NXB “Tia s¸ng”, MOSKAVA. 39. Phan Träng Ngä (2005), D¹y häc vµ ph­¬ng ph¸p d¹y häc trong nhµ tr­êng, NXB§HSP. 40. Qu¸ch TuÊn Ngäc (1993), Ng«n ng÷ lËp tr×nh Pascal, Tr­êng §HBKHN. H. 41. G.Polia (1968), To¸n häc vµ nh÷ng suy luËn cã lý, NXBGD. 42. G.Polia (1975), Gi¶i mét bµi to¸n nh­ thÕ nµo, NXBGD. 43. G.Polia (1975), S¸ng t¹o to¸n häc, NXBGD. 44. NguyÔn §¹o Ph­¬ng, Phan Huy Kh¶i, Lª Thèng NhÊt (1999), C¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n l­îng gi¸c, NXB Hµ Néi. 45. TrÇn Ph­¬ng, NguyÔn §øc TÊn (2004), Sai lÇm th­êng gÆp vµ c¸c s¸ng t¹o khi gi¶i to¸n, NXB Hµ Néi. 46. NguyÔn V¨n Quý, NguyÔn TiÕn Dòng, NguyÔn ViÖt Hµ (1998), Gi¶i to¸n trªn m¸y vi tÝnh, NXB §µ N½ng. 47. §oµn Quúnh, NguyÔn Huy §oan, NguyÔn Xu©n Liªm, §Æng Hïng Th¾ng, TrÇn V¨n Vu«ng (2006), §¹i sè 10 n©ng cao, NXBGD. 48. §oµn Quúnh, NguyÔn Huy §oan, NguyÔn Xu©n Liªm, §Æng Hïng Th¾ng, TrÇn V¨n Vu«ng (2006), §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 n©ng cao, NXBGD. 49. Lª V¨n TiÕn (12/2000), Vai trß cña gi¶i gÇn ®óng c¸c ph­¬ng tr×nh trong d¹y häc to¸n ë tr­êng phæ th«ng, NCGD. 50. NguyÔn C¶nh Toµn (1997), Ph­¬ng ph¸p luËn duy vËt biÖn chøng trong viÖc häc, d¹y, nghiªn cøu to¸n häc, NXB§HQG Hµ Néi. 51. NguyÔn C¶nh Toµn (10/1995), ThÕ nµo lµ hiÖn ®¹i trong d¹y vµ häc to¸n, NCGD. 52. NguyÔn C¶nh Toµn (1998), Nh÷ng vÊn ®Ò chiÕn l­îc trong thêi kú CNH - H§H, H. GD. 53. NguyÔn ThÞ H­¬ng Trang (7/1998), Gi¶i bµi tËp l­îng gi¸c theo h­íng ph¸t huy tÝnh s¸ng t¹o cña häc sinh PTTH, NCGD. 54. NguyÔn ThÞ H­¬ng Trang (1/2000), Mét sè vÊn ®Ò rÌn luyÖn n¨ng lùc gi¶i to¸n cho häc sinh THPT, NCGD. 55. NguyÔn ThÞ H­¬ng Trang (11/2001), Mèi liªn hÖ gi÷a t­ duy s¸ng t¹o vµ t­ duy thuËt to¸n trong d¹y häc gi¶i to¸n THPT, NCGD. 56. TrÇn Thóc Tr×nh (1998), T­ duy vµ ho¹t ®éng to¸n häc, ViÖn KHGD. 57. §µo V¨n Trung (2001), Lµm thÕ nµo ®Ó häc tèt m«n to¸n phæ th«ng, NXB§HQG Hµ Néi. 58. Ng« ViÖt Trung (4/1992), Sö dông m¸y tÝnh ®Ó gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò sè häc, THTT sè 184. 59. §inh H¶i TruyÒn (1998), H×nh Thµnh vµ ph¸t triÓn TDTG cña häc sinh th«ng qua d¹y häc c¸c ph©n m«n to¸n, LuËn v¨n th¹c sü khoa häc gi¸o dôc. Môc lôc Trang Më ®Çu 1 1. Lý do chän ®Ò tµi 1 2. Môc ®Ých nghiªn cøu 3 3. Gi¶ thuyÕt khoa häc 3 4. NhiÖm vô nghiªn cøu 3 5. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu 4 6. §ãng gãp cña luËn v¨n 4 7. CÊu tróc luËn v¨n 5 Ch­¬ng 1: T­ duy thuËt gi¶i vµ vÊn ®Ò ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i cho häc sinh th«ng qua m«n To¸n 6 1.1. C¬ së lý luËn 6 1.1.1. Quan ®iÓm ho¹t ®éng trong ph­¬ng ph¸p d¹y häc 6 1.1.2. Mét sè quan ®iÓm kh¸c 7 1.2. Kh¸i niÖm thuËt to¸n 7 1.2.1. Nghiªn cøu kh¸i niÖm thuËt to¸n 8 1.2.2. C¸c ®Æc tr­ng cña thuËt to¸n 11 1.2.3. C¸c ph­¬ng ph¸p biÓu diÔn thuËt to¸n 13 1.2.4. §é phøc t¹p cña thuËt to¸n 19 1.3. Kh¸i niÖm t­ duy thuËt gi¶i 20 1.3.1. Kh¸i niÖm thuËt gi¶i 20 1.3.2. Kh¸i niÖm t­ duy thuËt gi¶i 21 1.3.3. Mét sè vÝ dô d¹y häc ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i khi d¹y néi dung ph­¬ng tr×nh 22 1.4. VÊn ®Ò ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i trong d¹y häc To¸n 30 1.4.1. Vai trß cña viÖc ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i trong d¹y häc To¸n ë tr­êng phæ th«ng 30 1.4.2. Nh÷ng t­ t­ëng chñ ®¹o ®Ó ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i trong d¹y häc To¸n 32 1.5. KÕt luËn ch­¬ng 1 33 Ch­¬ng 2: Mét sè ®Þnh h­íng gãp phÇn ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i cho häc sinh th«ng qua d¹y häc mét sè néi dung ph­¬ng tr×nh 34 2.1. Mét sè nguyªn t¾c d¹y häc theo h­íng ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i cho häc sinh 34 2.2. Mét sè ®Þnh h­íng s­ ph¹m gãp phÇn ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i cho häc sinh th«ng qua d¹y häc néi dung ph­¬ng tr×nh 36 2.2.1. X©y dùng quy tr×nh d¹y häc ph­¬ng tr×nh theo h­íng ph¸t triÓn t­ duy thuËt gi¶i 37 2.2.2. Tæ chøc luyÖn tËp cho häc sinh gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh ®· biÕt thuËt gi¶i 61 2.2.3. Sö dông hîp lý h×nh thøc d¹y häc ph©n ho¸ 66 2.2.4. RÌn luyÖn kü n¨ng biÕn ®æi ph­¬ng tr×nh cho häc sinh 73 2.2.5. TruyÒn thô cho häc sinh nh÷ng tri thøc ph­¬ng ph¸p vÒ t­ duy thuËt gi¶i trong khi tæ chøc, ®iÒu khiÓn c¸c ho¹t ®éng th«ng qua d¹y häc gi¶i ph­¬ng tr×nh 77 2.3. X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè d¹ng ph­¬ng tr×nh 85 2.3.1. X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè ph­¬ng tr×nh quy vÒ bËc hai 86 2.3.2. X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c 91 2.3.3. X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè ph­¬ng tr×nh mò 97 2.4. KÕt luËn ch­¬ng 2 98 Ch­¬ng 3: Thùc nghiÖm s­ ph¹m 100 3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm 100 3.2. Tæ chøc vµ néi dung thùc nghiÖm 100 3.3. §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm 101 3.4. KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm 105 KÕt luËn 106 Tµi liÖu tham kh¶o 107