Đề tài Phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh THPT khi giải toán

ên các sai lầm sửa chữa cho HS, nhằm không để các sai lầm tái diễn. B. 2. h ng châm : Tính chính xác Sự chính xác trong lời giải là đòi hỏi của toán học, cũng là sự đòi hỏi của nhiệm vụ dạy học môn toán trong nhà trường phổ thông để “ đào tạo có chất lượng những người lao động mới”. Các biện pháp đề xuất phải đi tới mục tiêu làm cho lời giải của HS bảo đảm độ chính xác cao. Tính chính xác đòi hỏi GV phải diễn đạt chính xác, từ ngôn ngữ thông thường đến ngôn ngữ toán học. GV phải là mẫu mực về phương pháp tư duy, tư duy chính xác, về lời giải chính xác cho các bài toán. Tính chính xác đòi hỏi GV phải chỉ ra chính xác nguyên nhân sai lầm của HS trong lời giải. GV không được phủ định lời giải sai của HS một cách chung chung. Tính chính xác đòi hỏi các bài toán của GV đưa ra không được sai lầm. Đối với HS giỏi thì có thể sự sai lầm của bài toán sẽ được HS phát hiện, nhưng đối với HS yếu hoặc trung bình thì bài toán dễ gây hoang mang và mất niềm tin vào GV. Tính chính xác đòi hỏi sự đánh giá chính xác mức độ sai lầm của HS. Chẳng hạn, khi HS viết thì thông th ờng c c V cho â l một sai lầm nghiêm trọng về kiến thức cơ bản. Tuy nhiên, đối với một số HS cụ thể thì sai lầm này có khi chỉ do sự vô ý thức gây nên. Tính chính xác đòi hỏi GV đánh giá bài giải của HS qua điểm số một cách công bằng. Tính chính xác đòi hỏi GV phải biết hướng dẫn điều chính, sửa chữa một lời giải sai để Hs tự tìm ra một lời giải đúng. Tính chính xác đòi hỏi GV phải lựa chọn đúng biện pháp tối ưu trong từng tình huống điển hình. : 2011 35 – B. 3. h ng châm : Tính giáo dục Tính giáo dục đòi hỏi GV phải lấy sự phát triển nhân cách của HS làm mục tiêu cho các biện pháp. Tính giáo dục giúp cho HS thấy được tầm quan trọng của sự chính xác trong lời giải. Tính giáo dục giúp cho HS tránh được các sai lầm khi sai lầm chưa xuất hiện. Tính giáo dục giúp cho HS xác định được động cơ học tập môn toán.Tính giáo dục đòi hỏi GV phải có phẩm chất và năng lực xứng đáng là người thầy. Tính giáo dục đòi hỏi GV không làm cho HS bị xúc phạm về nhân cách khi mắc sai lầm trong lời giải. Tính giáo dục làm cho HS có ý chí trong học toán, giải toán. HS không ngại khó, biết kiên trì và cẩn thận để đi tới lời giải đúng. Tính giáo dục giúp cho HS có những thói quen tốt, như biết tự kiểm tra việc làm của mình, biết phủ định sai lầm của chính mình và biết giúp bạn nhận ra sai lầm. Tính giáo dục giúp cho HS không giấu dốt, dám hỏi khi không hiểu, không biết, tránh gian lận quay cóp để mong lời giải đúng. Tính giáo dục giúp cho HS tích cực suy nghĩ, tăng cười hoạt động đưa đến sự ham mê chiếm lĩnh kiến thức chuẩn xác. Tính chính xác đòi hỏi GV phải biết khen ngợi, khích kệ HS khi đã sửa chữa được sai lầm. Tính giáo dục làm cho HS thấy được mọi sai lầm đề có thể sửa chữa được nếu ra tìm ra nguyên nhân và có ý chí khắc phục. Tính giáo dục làm cho HS biết được ưu điểm của trực giác là có thể giúp nghĩ ra, kiểm tra lời giải nhưng cũng chính trực giác có thể đưa HS đến các sai lầm. Tính giáo dục đòi hỏi GV đảm nhận ra sai lầm của mình trong lời giải, trong cách đánh giá HS. : 2011 36 – Tính giáo dục đòi hỏi GV không nóng vội trong việc thực hiện các biện pháp để mong muốn chấm dứt sai lầm của HS. Có những sai lầm đòi hỏi GV phải huy động nhiều biện pháp đồng bộ và qua một thời gian dài mới khắc phục nổi. Tính giáo dục đòi hỏi các biện pháp phải dựa trên tình thương yêu học sinh, mong HS tiến bộ và tuyệt đối không xúc phạm hay quy kết sai nguyên nhân sai lầm của HS. Ba phương châm trên hỗ trợ, bổ sung cho nhau làm cho các biện pháp thực hiện đúng mục đích và kết quả. Tính kịp thời làm cho tính giáo dục đạt được nhanh hơn và ngược lại tính giáo dục giúp cho các biện pháp thực hiện được kịp thời, thuận lợi hơn. Tính chính xác củng cố cho tính giáo dục và tạo điều kiện cho tính kịp thời. Ngược lại, tính kịp thời là chuẩn bị điều kiện thể hiện tính chính xác. Một biện pháp, một hoạt động của GV hay HS nhiều lúc thể hiện cả ba phương châm chỉ đạo quan trọng trên. Chẳng hạn sự tích cực hóa trong việc nhận thức các khái niệm vừa có tính kịp thời đề phòng các sai lầm, vừa có tính chính xác để đạt được sự hiểu biết sâu sắc khái niệm và có tính giáo dục trong việc giúp HS chủ động chiếm lĩnh các kiến thức chuẩn C. B n bi n ph p s phạm chủ y u nhằm hạn ch và sữa chữa sai lầm cho h c sinh C. 1. Bi n pháp 1: Trang bị đ y đ , chính xác các kiến th c về bộ môn toán. Biện pháp này giải quyết bốn tình huống cụ thể sau đây:  Tình huống 1: D y khái ni m Toán h tránh sai l m cho h c sinh khi gi i Toán? Ngoài các hoạt động dạy học khái niệm đã được trình bày chúng tôi còn muốn nhấn mạnh và hoàn thiện thêm một số biện pháp. Giáo viên cần dự đoán trước (bằng kinh nghiệm bản thân hoặc trao đổi với đồng nghiệp), các khả năng không hiểu hết các thuộc tính của khái niệm. Chẳng hạn đối với khái niệm hàm số ngược thì học sinh có khả năng nào không hiểu hết các thuộc tính của khái niệm? Dù xây dựng qua khái niệm song ánh đi chăng nữa, cuối cùng đối với học sinh trung học phổ thông, chúng ta đều dựa vào phương trình f(x) = y với y thuộc tập giá trị của hàm f cho trước. Nếu phương trình này có nghiệm duy nhất thì chúng ta có thể xây dựng được hàm g sao cho nếu f(x) = y thì g(y) = x và g gọi là hàm ngược : 2011 37 – của hàm f. Không những thế, người ta có thể thu hẹp tập xác định của f để tồn tại g. Nhiều học sinh khi nói tới hàm f cho bởi một biểu thức giải tích, mà không để ý tới hàm f cho bởi nhiều biểu thức giải tích, thậm chí cho bởi các cách khác như bảng giá trị, đồ thị vv… Nhiều học sinh không để ý tới tập xác định của f. Chẳng hạn y = f(x) = x 2 là không đơn điệu trên R nhưng đơn điệu trên R+. Học sinh coi hàm y = f(x) = x2 trên R và trên R + là như nhau vì cùng một cách tương ứng mỗi x với y = x2. Từ đó, học sinh hoạt động nhận dang và thực hiện dễ mắc sai lầm. Một số học sinh còn nói hàm y = arcsinx là hàm ngược của hàm y = sinx, chứ không nhấn mạnh là hàm ngược của hàm y = sinx với x ϵ [ ; ]. Học sinh còn nghĩ rằng hai hàm ngược nhau f và g là khác nhau! Do đó khi tìm hàm ngược của hàm y = x hay hàm y = ; y = học sinh ngỡ ngàng không dám kết luận hàm ngược của f chính là f. Khi không có phương trình f(x) = y thì học sinh không biết tìm hàm ngược như thế nào. Chẳng hạn hàm số cho bởi bảng giá trị tương ứng: x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 8 7 6 5 4 3 2 1 Thì học sinh không tìm ra được hàm số ngược. Có khi học sinh không nắm được nếu hàm g là hàm ngược của hàm f thì hàm cũng là hàm ngược của hàm g. Nếu dự đoán được các sai lầm thì chắc chắn giáo viên sẽ chuẩn bị bài giảng của mình để đề phòng trước sai lầm cho học sinh. Sự chủ động đề phòng sai lầm bao giờ cũng tích cực hơn là lo sửa chữa sau này. Những sai lầm của học sinh về khái niệm Toán học mang dấu ấn khó phai và rất mất công chỉnh lại cho chính xác. Ở đây cũng lưu ý phân biệt chưa hiểu hết và hiểu sai. Có những khái niệm khó, học sinh không hiểu hết các thuộc tính ngay một lúc mà phải qua các hoạt động nhận dạng và cải thiện mới đi tới sự trọn vẹn. chính việc chưa hiểu hết các thuộc tính sẽ rất dễ dẫn đến việc hiểu sai khái niệm. Do đó có những sai lầm của học sinh phải làm cho học sinh hiểu hết các thuộc tính của khái niệm thì mới mong học sinh hết hiểu sai. Chẳng hạn khi dụng kí hiệu ymax, ymin từ lớp 10, lớp 11 học sinh coi đó là kí hiệu cho giá trị : 2011 38 – lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số , nhưng lúc đó học sinh chưa hiểu hết cái sai mà lớp 12 thì học sinh mới được giải thích thỏa đáng. Trong lí thuyết thông tin, để không nhiễu thông tin chúng tôi có đề ra phương pháp mà có thể vận dụng vào dạy học. Học sinh có nhiệm vụ giải mã thông tin mà giáo viên đưa đến. Làm sao để vừa sức giải mã của học sinh. Hay đổi mã để học sinh dễ giải mã hơn. Các biện pháp giáo dục trực quan đã được nhiều tác giả nghiên cứu, ở đây chúng tôi đề cập tới một biện pháp đổi mã cho học sinh bằng cách nâng giá mang của thông tin. Chẳng hạn khi dạy hàm số liên tục, chúng ta có định nghĩa: “ Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại đểm x = x0 nếu: 1) x0 là một điểm thuộc tập xác định của hàm số, 2) = f(x0)” Một định nghĩa khác: “Một hàm số f(x) xác định trên tập số D, gọi là liên tục tại điểm x ϵ D, nếu lim = f(x0)” Thực ra khi viết f(x0) đã mang thông tin x0 thuộc tập xác định, nhưng các định nghĩa trên đều nhấn mạnh riêng yêu cầu này chính là tạo điều kiện cho học sinh giải mã tốt hơn. Thậm chí theo chúng tôi là rất tốt. Chúng tôi còn lưu ý ngay dưới định nghĩa: Như vậy một hàm số liên tục tại x0 nếu và chỉ nếu 3 điều kiên sau: 1) f(x) xác định tại x = x0, 2) lim tồn tại, 3) lim = f(x0)” Với lưu ý này chúng tôi tạo điều kiện giải mã cho học sinh . Hãy hình dung lẽ ra chỉ cần 3 nhưng đã thêm 1, và cuối cùng thêm cả 2. Hiểu được dụng ý sư phạm và ý nghĩa thông tin này, giáp viên sẽ tổ chức hoạt động nhận dạng tốt hơn. Trong hoạt động nhận dạng thì các phản ví dụ rất quan trọng trong việc tránh các sai lầm của học sinh khi lãnh hội khái niệm. chẳng hạn, hàm số y = không liên tục tại x= -1 (vi phạm 1), y ={ ớ 1 ớ 1 không liên tục tại x= -1 : 2011 39 – ( vi phạm 3); y={ ớ ớ không liên tục tại x=0 ( vi phạm 2). Khi học sinh đã đi qua một loạt khái niệm bằng sơ đồ rất dễ gây dấu ấn cho học sinh. Chẳng hạn mối quan hệ giữa 3 khái niệm quan trọng của giải tích: Ngay việc phân loại khái niệm, giáo viên cũng cần chỉ ra sự phát triển theo con đường toán học đã đi để học sinh thấy được học sinh thấy được nội hàm và ngoại diên khái niệm. có thể giáo viên còn phải biết “ bức tranh toàn cảnh về các khái niệm quan trọng trong chương trình đại số-giải tích ở trung học phổ thông.  Tình huống 2: D ịnh lí Toán h h c sinh tránh các sai l m khi gi i Toán? Nói tới định lí Toán học là nói tới một khẳng định đúng. Tuy nhiên việc quan trọng mà giáo viên cần quan tâm đầu tiên là cấu trúc logic của định lý. Như chúng tôi đã phân tích việc không nắm vững các cấu trúc định lí sẽ dẫn tới sai lầm khi học sinh giải toán.các định lí toán học thường được diễn đạt theo cấu trúc A=> B. Ai cũng biết A là giả thuyết B là khẳng định,kết luận của định lí. Nhưng chúng tôi xin lưu ý thêm: A cho biết dùng định lí khi nào và B sẽ cho biết kết luận suy ra được gì khi có A. Dạy định lí toán học có thể đi theo 2 con đường: con đường suy diễn và con đường có khâu suy đoán. Nhằm hạn chế và đề phòng sai lầm của học sinh khi giải toán chúng tôi thấy cần phải phân tích rõ giả thiết của định lí.Học sinh nhiều khi không quan tâm đến giả thiết định lí mà chỉ quan tâm tới kết luận định lí dẫn tới sai lầm. Giáo viên cần nhấn mạnh giả thiết của định lí có cấu trúc hội hay tuyển. Chẳng hạn định lí Viete: Nếu phương trình bậc hai ax2+ bx+ c = 0 (a≠0) có nghiệm x1, x2 thì tổng và tích của nghiệm nó là: f(x) khả vi trên (a;b) f(x) liên tục trên (a;b) f(x) khả tích trên (a;b) : 2011 40 – { Cấu trúc của giả thiết có cấu trúc hội : { a≠0} và { 0}. Trước khi dùng định lí này phải kiểm tra hoặc đặt điều kiện để bài toán thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện của giả thiết. Học sinh rất hay quên điều kiện a≠0. Nhiều học sinh vẫn tính tổng và tích nghiệm của phương trình x2+x+1=0 mặc dù phương trình vô nghiệm. Giáo viên cần tạo ra các thí dụ mà các điều kiện của giả thiết chưa thỏa mãn hoàn toàn để học sinh thấy rằng mọi điều kiện của giả thiết là không thể thiếu được. Thí dụ hay định lí: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm f’(x)= 0 trên khoảng (a;b) thì y là một hàm hằng trên khoảng đó tức là f(x)=c với mọi x ϵ (a;b). Nhiều học sinh chỉ để ý tới f(x)=0 mà không để ý tới (a;b) nên dẫn tới sai lầm. Khi định lí có cấu trúc A  B thì A là điều kiện đủ để có B chứ chưa chắc là điều kiện cần. Giáo viên cũng cần nêu ra thí dụ để thuyết phục, chứ không chỉ dừng lại ở việc nhắc nhở. Các thí dụ mà đặc biệt là các phản ví dụ bao giờ cũng tạo ấn tượng sâu sắc đối với học sinh. Chẳng hạn khi dạy định lí: “Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) trên khoảng (a ; b. Nếu f’(x) > 0 với mọi x ϵ (a ; b) thì f(x) đồng biến ( tức là tăng) trên khoảng đó”. Giáo viên cần chỉ ra hàm số y = x3 thực sự tăng trên R, nhưng y’ = 3x2 vẫn triệt tiêu tại x = 0 , thậm chí y = √ thực sự tăng trên [ 0 ; + ) nhưng y’ = √ không xác định tại x = 0, điều này chứng tỏ giả thiết f’(x) > 0 với mọi x ϵ (a ; b) chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần. Để khắc sâu định lí, giáo viên cần chỉ định lí này là khái quát cho định lí nào mà học sinh đã học trước đó. Chẳng hạn định lí hàm cosin khái quát cho định lí Pytago. Định lí hàm sin làm cho học sinh nhìn lại định lí hàm quỹ tích cung chứa góc. : 2011 41 – Khi dạy định lí cần chỉ cho học sinh các ứng dụng của định lí để tạo sự nhạy cảm cho học sinh khi đứng trước một bài toán biết nghĩ tới vận dụng định lí nào. Chẳng hạn định lí Lagrange ở chương trình giải tích lớp 12, giáo viên cần chỉ ra 3 hướng ứng dụng của định lí này: Chứng minh hệ thức hoặc rút gọn biểu thức, chứng minh phương trình có nghiệm, chứng minh bất đẳng thức. Chúng tôi xin dẫn ra 3 ví dụ cho 3 ứng dụng này: ớng 1: Cho m > 0 và a,b,c là các số thỏa mãn + = 0 Chứng minh: phương trình ax2 + bx +c = 0 có nghiệm thuộc (0 ; 1). Bài toán này học sinh lớp 10 giải nhờ định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai, Học sinh lớp 11 dựa vào định lí giá trị trung gian của hàm số liên tục, cả hai lời giải đều khá phức tạp, học sinh lớp 12 có thể dựa vào định lí Lagrange. Qua bài toán này giáo viên cần giúp học sinh thấy được một bài học thú vị: khi được cung cấp thêm các kiến thức ở lớp trên thì cũng có những cách nhìn mới về cùng một bài toán từ đó có những lời giải mới. Học sinh thấy rằng sự phát triển của kiến thức chính là mở rộng tầm nhìn, chứ không phải mang thêm gánh nặng trong trí óc. ớng 2: “Chứng minh rằng 0 < a < b thì < < . Có thể gợi ý học sinh viết đẳng thức cần chứng minh về dạng “gần với kết luận” của định Lagrange: < < . Từ đó học sinh thấy ngay; Xét hàm số y = lnx khả vi trên (0 ; + ) nên tồn tại c ϵ (b ; a) sao cho f’(c) = ( ) ( )f a f b a b   1 lna lnb c a b     . Mà 0 < b < c < a nên > > , từ kết quả trên suy ra điều phải chứng minh. : 2011 42 – Điều đặc biệt cần chú ý khi dạy toán học cho học sinh là: Giáo viên cho học sinh thấy rõ phương pháp phân tích để chứng định lí. Chính biện pháp này giúp học sinh dễ đi tới chứng minh đúng trong giải toán sau này. Dạy định lí chính nhằm mục đích truyền thụ những tri thức phương pháp liên quan tới phép chứng minh.  Tình huống 3: Cung c p các ki n th c v h c sinh tránh sai l m khi gi i toán? Nhằm giải quyết tình huống này, chương trình toán PTTH chuyên ban đã chính thức đưa “ một số hình thức suy luận toán học” vào phân môn Đại số lớp 10. Giáo viên khi dạy chương trình cải cách giáo dục cần tham khảo vấn đề này để tiến hành biện pháp cung cấp thêm các kiến thức về logic cho học sinh ngay từ đầu THPH. Trước hết cần lưu ý tới mệnh đề và các phép toán mệnh đề như phủ định, tuyển. hội, kéo theo, tương đương. Theo thực nghiệm của chúng tôi việc đưa ra các thí dụ theo ngôn ngữ tự nhiên cần đi trước các thí dụ theo ngôn ngữ toán học. Đây chính là con đường đi từ “trực quan sinh động” đến “tư duy trừu tượng” của nhận thức. Chẳng hạn, có thể theo mệnh đề A = {trời nắng} ; B = {đội mũ} thì thông thường học sinh được nhắc nhở “Nếu trời nắng thì đội mũ” nên học sinh dễ nhận thức ra ý nghĩa của phép kéo theo A  B. A là đủ để có B nhưng lưu ý nhiều học sinh vẫn đội mũ khi trời không nắng, nghĩa là A chưa phải là điều kiện cần để có B. Đặc biệt nếu A  B đúng thì đây là thí dụ để nhấn mạnh mệnh đề đảo B  A không đúng. Học sinh có thể thấy ngay việc đội mũ không làm cho trời nắng! Một thí dụ khác, để phủ định mệnh đề do một bạn nêu ra: Tớ thường xuyên tập thể dục buổi sáng” thì chỉ cần chỉ ra một buổi sáng mà bạn ấy không tập. Từ đó chỉ ra mối quan hệ giữa hai lượng từ “với mọi” và “tồn tại”. Từ ngôn ngữ thông thường, giáo viên bắt đầu sử dụng các khái niệm, tính chất,định lí toán học mà học sinh đã biết để phân tích chân lí của các mệnh đề hội, tuyển, phủ định, kéo theo, tương đương của các mệnh đề cho trước. Chẳng hạn, nếu A = {số tự nhiên có tận cùng bằng 0}; B = {số tự nhiên có tận cùng bằng 5}; : 2011 43 – C = {số tự nhiên chia hết cho 5} thì (A˅B)  C đồng thời C  (A ˅ B), do đó (A ˅ B)  C là tiêu chuẩn chia hết cho 5 của số tự nhiên. Khi kiểm tra một số chia hết cho 5 hay không chỉ cần kiểm tra A hoặc B. Từ đó phủ định mệnh đề này có ( )A B C  , qua đây học sinh thấy mối quan hệ của các phép tuyển, hội, phủ định, tương đương. Một sai lầm cần tránh là sử dụng các kí hiệu logic một cách tùy tiện. nhiều học sinh viết A  B mà A không phải là điều kiện để có B. Chẳng hạn có học sinh viết “x ≥ 1  x = 1, lẽ ra viết x ≥ 1 và x ≤ 1  x = 1” Kí hiệu kéo theo còn được viết trong câu văn: “Đoàn xe đi  một đám bụi mù mịt”. Việc trang bị lý thuyết không chỉ dừng lại ở một số biện pháp suy luận toán học trong phần đầu chương trình đại số lớp 10 mà cần được thường xuyên củng cố. Phép quy nạp toán học có nhiều dịp để giáo viên nhắc rõ cho học sinh, Chẳng hạn khi chứng minh hệ thức: 1 + 2 + 3 +….+ n = Thì ngoài cách đã được sách giáo khoa trình bày, GV cần yêu cầu thêm học sinh dùng thêm cách thứ 2 nhờ phương pháp quy nạp toán học. Khi dạy học sinh tính đạo hàm bậc cao, Giáo viên lại một lần nữa dùng phương pháp này để giải toán.Cần phân biệt suy đoán với suy diễn. Chẳng hạn tính đạo hàm bậc n của hàm số y = , học sinh có thể suy đoán y(n) = 2ne2x nhưng phải chứng minh tốt nhất ở đây là phương pháp quy nạp toán học. GV không cần tường minh dạy cho học sinh phép tam đoạn luận để khẳng định, phủ định, lựa chọn, bắc cầu. GV có thể chủ động đưa ra các suy luận sai để học sinh phân tích và tránh vấp phải sau này. Đặc biệt, cần làm cho học sinh nắm được phương pháp phân tích đi lên, phân tích,tổng hợp, phản chứng, quy nạp. : 2011 44 – GV cần tận dụng bất cứ cơ hội nào, miễn là hợp lí, để khắc sâu kiến thức logic cho học sinh. Chẳng hạn ở lớp 10 đối với hệ phương trình { Thì việc phân tích hai yêu cầu sau đây là khác nhau chính là tăng cường kiến thức logic: - Tìm a sao cho với mọi b luôn tồn tại c để hệ có nghiệm. - Tìm a sao cho tồn tại c để hệ có nghiệm với mọi b. Học sinh nắm vững các kiến thức về logic sẽ hạn chế được sai lầm khi giải toán.  Tình huống 4: Trang bị tránh sai l m h c sinh khi gi i toán? Có thể nói rằng các loại toán cơ bản trong chương trình Đại số - Giải tích PTTH đều có phương pháp giải. Việc trang bị các phương pháp giải này chính làm cho học sinh nắm vững các loại toán cơ bản. Phương pháp giải hệ { Được đề cập trong chương trình phổ thông hai lần để cung cấp tới bốn cách giải: phép thế, phép cộng đại số, phương pháp đồ thị và phương pháp định thức. Nhiều học sinh thường tính ngay D = | | khi bắt đầu lời giải. Chúng tôi có sơ đồ sau: : 2011 45 – Hình 3: thuật toán giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Từ sơ đồ trên học sinh còn thấy được “ Nếu a1, a2, b1, b2 không đồng thời bằng 0 và D = 0 thì hệ có nghiêm khi chỉ khi Dx = Dy = 0” . Đây là kiến thức quan trọng để học sinh tránh sai lầm khi gặp bài toán “Tìm a sao cho với mọi b luôn tồn tại c để hệ sau có nghiệm: 2 • • • • • • • bx y a x by c c       Trong chương trình đại số 10, Học sinh cần nắm vững phương pháp giải để so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) với một số  . Giáo viên cần tổng kết theo sơ đồ sau: Vô nghiệm Vô số nghiệm phụ thuộc vào 1 phương trình. Vô nghiệm D =0 0 0 =0 =0 0 =0 0 : 2011 46 – Hình 4: Thuật toán so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) với một số  . Việc rèn luyện cho học sinh lập các sơ đồ trên vừa làm học sinh nắm vững phương pháp giải, vừa phát triển tư duy cho học tập nói chung và học bộ môn Toán học nói riêng. Từ đó học sinh có thể tránh sai lầm khi giải toán. Tuy nhiên cũng có thể lưu ý học sinh là với một loại toán có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau, học sinh cần biết lựa chọn phương pháp giải tối ưu để giải quyết bài toán cụ thể. Các phương pháp giải thường xuyên được củng cố để học sinh được nắm vững. Chẳng hạn bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với các số (lớp 10) còn được sử dụng để xét phương trình lượng giác, phương trình mũ, bất phương trình mũ, phương trình logarit, bất phương trình logarit, xét chiều biến thiên và cực trị hàm số. VN - - - - + + + : 2011 47 – Từ lời giải một bài toán cụ thể, GV cần gợi ý cho học sinh tìm ra phương pháp lời giải cho một lớp bài toán. Biện pháp này giúp học sinh hiểu bản chất lời giải cụ thể và tư duy khái quát được phát triển. Tránh tình trạng “làm bài nào biết bài ấy”; “thấy cây mà chẳng thấy rừng”. Làm được điều này giáo viên đã giúp học sinh “học một biết mười”. Thí dụ khi học sinh giải bài toán “Chứng minh sin20o > ” thì dựa vào sin60o = 3sin20 o – 4sin320o, học sinh đưa ra f(x) = 4x3 – 3x + √ nhận sin20o làm nghiệm, sau đó nhận thấy sin20o, thuộc (- ; ) là miền nghịch biến f(x) nên sin20o >  f(sin20 o ) < f( )  0 < √ - và từ đó dễ dàng giải xong. Không dừng lại giáo viên cho tiếp các bài tập ( có thể là về nhà): so sánh cos10o với ; √ +√9 vv… để học sinh tổng kết thành phương pháp giải lớp bài toán. Việc tổng kết và hệ thống lại các phương pháp giải sẽ giúp học sinh bớt lúng túng, đỡ vấp phải sai lầm đáng tiếc khi giải toán. C. 2. Bi n pháp 2 : Trang b các kiến thứ ơ bản về p ươ p áp iải toá , đặc bi t là vi c tự kiểm tra phát hi n ra các sai lầm trong các lời giải. Những kiến thức cần thiết về phương pháp giải toán đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước nghiên cứu khá sâu sắc. Nổi bật là những nghiên cứu của G.Poolya. Ngoài ra, các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Nguyễn Thái Hòe, Hoàng Chúng cũng đã nhấn mạnh và cụ thể hóa các tư tưởng của G.Poolya. Các tác giả đi sâu vào việc trả lời câu hỏi : Tìm tòi lời giải bài toán như thế nào: -Tìm hiểu nội dung bài toán -Xây dựng chương trình giải -Thực hiện chương trình giải -Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. : 2011 48 – Không những thế, G.Poolya còn đưa ra một bản gợi ý cụ thể rất có ích cho mọi người giải toán. Chúng tôi lưu ý thêm những ý kiến của L.M Phoritman – E.N.Turetki – V. la. Xtetxencô về sơ đồ các bước tìm kiếm lời giải của các bài toán như sau: -Trong khi đọc kĩ bài toán, cần phải cố gắng xác định được bài toán thuộc dạng nào -Nếu các bạn đã nhận được trong đó bài toán chuẩn của dạng quen thuộc, thì hãy vận dụng qui tắc đã biết để giải. -Nếu bài toán là không chuẩn thì cần phải hành động theo hai hướng: tách từ từ bài toán ra hoặc chia nhỏ bài toán ra thành những bài toán nhỏ có dạng chuẩn ( thủ pháp chia nhỏ) hoặc diễn đạt lại bài toán theo một cách khác, dẫn bài toán đến một bài toán có dạng chuẩn ( thủ pháp mô hình hóa) . Tuy nhiên các hướng dẫn trên cũng chỉ là con đường chung, chưa phải là con đường riêng hiệu quả cho mỗi bài toán cụ thể. Ngay G.Poolya cũng thừa nhận: “…..để đạt được kết quả thực sự thì anh ta cũng cần học tập cả cách suy luận có lý, là suy luận mà toàn bộ hoạt động sáng tạo của anh ta sẽ phụ thuộc vào đó….” . Áp dụng một cách có hiệu quả các suy luận có lý như là một kĩ năng thực hành và kĩ năng đó cũng như mọi kĩ năng thực hành khác đều học được bằng còn đường bắt chước và thực hành. Tôi dự định làm tất cả những gì tôi có thể làm được để giúp bạn đọc ham muốn học thông thạo cách suy luận có lý, song tất cả những gì tôi có thể đề nghị thì đó chỉ là những thí dụ mẫu và khả năng thực hành chu đáo” . Với mục đích hạn chế và sửa chữa các sai lầm của HS khi giải toán, chúng tôi chú ý tới hai bước cuối cùng trong bốn bước mà G.Poolya nêu ra: -Thực hiện chương trình giải với các gợi ý nhằm tránh sai lầm : hãy kiểm tra lại từng bước, có thể chứng minh được tính đúng đắn của từng bước làm hay không? -Trở lại cách giải với các gợi ý để kiểm tra: có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán không? Nhờ thực hiện biện pháp 1, trong đó có việc trang bị các kiến thức về lôgic cho HS mà việc thực hiện kiểm tra sự có lý của từng bước suy luận thực hiện được thuận lợi. : 2011 49 – Lời giải thí dụ 1, mục 1.4 trang 9 lại mắc sai lầm ở bước cuối cùng khi tưởng rằng từ F(x,y)  0 với mọi x,y thuộc R thì min F(x;y) = 0. Hs sẽ tránh được sai lầm nếu tìm cách chỉ ra x, y sao cho F(x;y) = 0. Rõ ràng, không có giá trị nào của x,y thỏa mãn điều đó,nên Hs sẽ thực hiện con đường khác để giải bài toán. Để thực hiện biện pháp 2, chúng tôi sẽ bàn kỹ tới nội dung sau: GV cần trang bị cho HS phương pháp nhận biết ra lời giải sai( một số dấu hiệu dẫn tới phản thí dụ, tuy nhiên đối với nhiều HS thì ngay việc hiểu như thế nào là một phản thí dụ cũng đang còn khó khăn).Tối thiểu, GV cần trang bị cho HS các dấu hiệu quan trọng sau đây.  Dấu hiệu th nhất : K t qu l i gi i mâu thu n v i k t qu ng h p riêng. Một loạt thí dụ mà chúng tôi trình bày ở chương 1 đã minh họa cho dấu hiệu quan trọng này.  Dấu hiệu th hai : - ng h p riêng ở k t qu không th a mãn bài toán Chẳng hạn với chú ý này HS có thể thấy các nghiệm ngoại lai của phương trình , bất phương trình hoặc các loại hệ. Các nghiệm ngoại lai xuất hiện chứng tỏ việc biến đổi không tương đương hoặc còn thiếu một bước quan trọng trong lời giải.  Dấu hiệu th ba: K t qu l i gi i bài toán không ch a k t qu ng h p riêng. Đôi khi dấu hiệu này thể hiện như dấu hiệu thứ nhất. Khi đặc biệt hóa bài toán sẽ dẫn tới một kết quả cụ thể mà kết quả cụ thể này phải thuộc trong kết quả của toàn bộ bài toán. Nếu điều này không xảy ra thì lời giải có sai lầm. Chẳng hạn, khi giải bài toán “ Tìm m để đồ thị y=x4 – mx3 + x2 có trục đối xứng thẳng đứng” có thể thấy rằng trong trường hợp đặc biệt m=0 thì hàm số trở thành hàm chẵn nên có trục đối xứng x=0 thỏa mãn bài toán. Chứng tỏ trong các giá trị cần tìm của m phải “tối thiểu” có m=0. Nếu kết quả lời giải thiếu m=0 thì chắc chắn lời giải có sai lầm. : 2011 50 –  Dấu hiệu th : K t qu bài toán cụ th khác k t qu bài toán tổ bi t. Nhiều bài toán mà HS giải có thể tổng quát và có kết quả tổng quát. Nếu kết quả của bài toán cụ thể mâu thuẫn với kết quả của bài toán tổng quát thì rõ rãng lời giải có sai lầm. Chẳng hạn, đường hypepol, 2ax ' ' bx c y a x b     có hai tiếp tuyến vuông góc khi và chỉ khi có điểm cực đại và cực tiểu. Đó là kết quả tổng quát. HS tìm m để đồ thị m y x x   có hai tiếp tuyến vuông góc thì dứt khoát đáp số phải là m>0 ( tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu là bài toán đơn giản hơn), nếu đáp số khác thì chắc chắn lời giải có sai lầm. Một thí dụ khác, quỹ tích các điểm kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới parabol y= ax 2 +bx + c là đường thẳng cùng phương với trục hoành (có thể viết được phương trình tổng quát). Vậy khi HS tìm quỹ tích này đối với hàm bậc hai cụ thể gặp kết quả mâu thuẫn thì lời giải có sai lầm. Hay là, hàm số 2ax ' ' bx c y a x b     nếu y’ có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thì 1 2 2 x x b a    Nếu HS tính đạo hàm của hàm số 2 1 2 x x y x     được y’ có hai nghiệm không thỏa mãn 1 2 2 2 x x   thì phép tính đạo hàm y’ hoặc phép tìm nghiệm của y’ bị sai lầm. Do đó trong những loại toán có thể được, GV nên cung cấp cho HS kết quả tổng quát bằng cách làm bài toán tổng quát hoặc dừng lại ở mức độ thông báo kết quả để HS có vốn kiến thức kiểm tra lại lời giải cụ thể.  Dấu hiệu th ă : K t qu c mâu thu n v i th c t . Tất nhiên, nhiều khi dấu hiệu này xuất hiện do chính bài toán ban đầu mâu thuẫn với thực tế. Ở đây, giả sử rằng bài toán đã cho phù hợp với thực tế mà kết quả mâu thuẩn với thực tế thì lời giải mắc sai lầm. : 2011 51 – Lời giải ngụy biện nổi tiếng để chứng minh lực sĩ Asin chạy thua một con rùa, không bao giờ đuổi kịp con rùa nếu con rùa chạy trước là mâu thuẫn với thực tế, do đó sai lầm. Tất nhiên từ việc biết tới lời giải sai đến việc chỉ ra được lỗi sai, nguyên nhân sai là một quá trình rèn luyện tích cực mới đạt được. Thực tế lời giải mâu thuẫn nhiều khi là thực tế của thực nghiệm trên mô hình. Toán học chủ yếu là khoa học suy diễn và quy nạp. Thế nhưng đã gặp những HS thực nghiệm trên mô hình để dự đoán kết quả và kiểm tra lời giải của mình. Khi chúng tôi cho bài toán “ Cho hai điểm A và B chuyển động trên đường parabol y =x2 sao cho AB =1, tìm quỹ tích trung điểm I của AB”, có HS đã lấy đoạn thước kẻ cho 2 đầu trượt trên parabol để nhận định kết quả của bài toán là đường thẳng hay đường cong là sai ( tuy HS không giải được nhưng vẫn dự đoán đúng những kết quả không thể có). Trong các bài toán tính số người, tính số các khả năng mà kết quả không phải số nguyên dương thì chắc chắn lời giải sai lầm.  Dấu hiệu th sáu: K t lu ng gi a các y u t ng c a gi thi t. Việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài toán và cả kết quả của nó giúp cho người giải toán thấy rõ quá trình xãy ra có quy luật của mọi bài toán. Nói cụ thể hơn là người giải toán sẽ biết được với các giả thiết, các điều kiện đã cho như vậy thì tất yếu kết quả phải diễn ra như thế nào?. Ở đây chúng tôi nhấn mạnh sự bình đẳng của các yếu tố ở giả thiết bài toán sẽ tất yếu thể hiện tiếp tục sự bình đẳng đó ở kết luận. Không xảy ra điều này thì chắc chắn lời giải sai.  Dấu hiệu th b y: K t qu c a l i gi i này khác k t qu c a l i gi i khác, mà l i gi i sau có hình nh tin c y. Nhiều khi để kiểm tra lời giải, người ta giải bài toán theo một cách khác. Nếu kết quả của hai cách giải mâu thuẫn thì có ít nhất một trong hai lời giải là sai. Khi đó : 2011 52 – phải tiến hành kiểm tra từng bước thao tác của mỗi lời giải hoặc dùng các dấu hiệu đã trình bày trên để xem xét lời giải nào sai( có khi cả hai lời giả đều sai). Thông thường người ta hay kiểm tra lời giải bằng một cách nhìn khác, chẳng hạn bằng hình vẽ, tuy có thể cách nhìn này không cho kết quả cụ thể cho lời giải, nhưng có thể báo hiệu cho chúng ta một dấu hiệu lời giải sai.  Dấu hiệu th tám: ị ở hai v c a m ng th c khác nhau( sai l m v th nguyên). Trong các bài toán có nội dung tính toán một đại lượng khác, cần lưu ý tới đơn vị đo của các đại lượng này. C. 3. Bi n pháp 3 HS được thử t á t ường xuyên với những bài toán dể dẫn đến sai lầm khi giải toán. Đây là biện pháp thường trực, kể cả khi sai lầm nào đó đã được phân tích và sửa chữa cho HS. Để thực hiện biện pháp này, giáo viên phải biết đặt các bài toán có chứa các “bẫy”. Chúng tôi xin định nghĩa dưới dạng mô tả khái niệm “ bẫy” nhằm theo nghĩa tích cực và có tính sư phạm. Chúng tôi không thiên về sự đánh đố học trò. Bởi sự đánh đố quá mức sẽ dẫn HS đến bế tắc chứ không “sa bẫy”, khi đó các biện pháp có chủ định về sư phạm sẽ không thực hiện được. Chúng tôi cho rắng “bẫy” phải làm cho bài toán có tính hấp dẫn. chính đặc trưng này làm cho HS tích cực tham gia hoạt động giải toán. HS chủ quan nghĩ rằng bài toán không có gì uẩn khúc và dễ dàng đưa ra lời giải của mình cùng với sai lầm do giáo viên dự kiến trước. Chúng tôi đã thực nghiệm về “bẫy” trong một đợt điều tra 43 học sinh lớp 11A2 trường THPT Quốc Học. Với bài toán “Chứng minh với mọi a, b,c thì : (a 2 + b 2 )(b 2 + c 2 )(c 2 + b 2) ≥ 8a2b2c2 đã lôi cuốn 98,5% HS tham gia giải và có lời giải. Hầu hết HS lớp 11 đều nhận xét là bài toán dễ, chỉ làm chưa đến 10 phút. Nhưng đã có tới 42% (195 HS) bị chung một sai lầm khi nhân vế theo vế của 3 bất đẳng thức: a 2 + b 2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ca : 2011 53 – để có điều phải chứng minh, mặc dù 2ab, 2bc, 2ca chưa phải đồng thời là các số không âm. Khi biết mình bị sai lầm do lỗi này, nhiều HS rất thấm thía về một quy tắc suy luận sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức, mặc dù hầu hết HS là HS các lớp chuyên. Như vậy, để đạt mục đích sư phạm thì “bẫy” phải làm cho bài toán có tính thử thách để đo độ vững vàng về những kiến thức cụ thể của HS. Có những bài toán được cài đặt liên tiếp các “bẫy”. HS vượt qua được tất cả các “bẫy” để đi đến lời giải chính xác, chính là đã qua một hình thức đo kiến thức. Bài toán tuy nhiều “bẫy” nhưng HS khó nhận ra. Chẳng hạn, bài toán “Giải bất phương trình + 3( > 12” liên tiếp được cài các bẫy sau đây : - HS đặt t=( > 0 đưa về giải t2 + t – 12 > 0 và viết t1 = 3; t2 = -4 (loại). Ở đây điều kiện t > 0 là điều kiện của nghiệm bất phương trình chứ không phải điều kiện cho nghiệm tam thức bậc nên không thể nói đến việc loại giá trị t2 = -4. - HS viết ( 1 bị sai lầm vì không chú ý đến cơ số (0;1). - HS viết < -1 1< -x bị sai lầm vì không thể nhân hai vế của bất phương trình với x khi chưa biết dấu của x. Bài toán trên hoàn toàn không quá khó nhưng đã kiểm tra được nhiều kiến thức của HS. Vậy cuối cùng, “bẫy” trong các bài toán là các kiến thức mà HS dễ bị sai lầm ở một bước nào đó của lời giải, các kiến thức này được sự chuẩn bị có chủ định của GV nhằm đạt được tính hấp dẫn cùng với tính thử thách đối với HS. Tạo ra được “bẫy” trong một bài toán chính là một nghệ thuật sư phạm của GV. Việc tạo các “bẫy” để HS mắc sai lầm chính là sự phòng tránh chủ động các sai lầm có thể xuất hiện. Các “bẫy” này còn cũng cố lại, nhằm xóa hẳn những sai lầm của HS đã được sữa chửa trước đó. Tuy nhiên cần sử dụng các “bẫy” có mức độ. Sự lạm dụng quá biện pháp này sẽ dẫn đến sự đánh đố chứ không phải thử thách HS vì mục đích sư phạm. C. 4. Bi n pháp 4: Theo dõi một sai lầm của HS khi giải toá q á i i đoạn. : 2011 54 – Để tăng cường hiệu quả của các biện pháp trên, GV phải nhận thức được các giai đoạn cụ thể của một sai lầm nào đó. Đối với một sai lầm (GV có thể dự đoán trước) thì tính giai đoạn thể hiện khá rõ.  G đ ạn 1: Sai l t hi n. Ở giai đoạn này, các biện pháp được huy động nhằm “phòng tránh” sai lầm xuất hiện. Không có ý thức về việc này chúng ta dễ thiếu tích cực trong giai đoạn 1. Biện pháp sử dụng chủ yếu trong giiai đoạn này là trang bị tốt kiến thức cho bộ môn toán (biện pháp 1), kiến thức về phương pháp giải toán (biện pháp 2). Một điều cần lưu ý ở giai đoạn này là GV có thể dự báo trước các sai lầm và thể hiện ở các chú ý đối với HS. Chẳng hạn, GV có thể chú ý bất đẳng thức Cauchy chỉ được áp dụng cho các số không âm, vì vậy để chứng minh a(1 – a) ≤ bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a vầ 1 – a là sai lầm. Tất nhiên, để dự báo tốt, GV phải được trang bị hiểu biết về các sai lầm của HS khi giải toán và phải có năng lực chuyên môn, kinh nghiệm sư phạm.  Giai đ ạn 2: Sai l m xu t hi n trong l i gi i c a HS. Đây là giai đoạn đòi hỏi GV phải kết hợp được ba nguyên tắc kịp thời, chính xác và giáo dục, cùng với sự tích cực hóa của HS để vận dụng các hiểu biết về việc kiểm tra lời giải (biện pháp 2) nhằm tìm ra sai lầm, phân tích nguyên nhân và sữa chữa lời giải. Quy trình ở giai đoạn này là GV theo dõi thấy sai lầm GV gợi ý để HS tự tìm ra sai lầm HS tự tìm ra sai lầm GV gợi ý điều chỉnh lời giải HS thể hiện lời giải đúng GV tổng kết và nhấn mạnh sai lầm đã bị mắc. Nhiều sai lầm của HS khá tinh vi, có khi GV không phát hiện kịp thời. Giai đoạn này đòi hỏi GV phải có thái độ đối xử khéo léo sư phạm để tăng hiệu giáo dục. : 2011 55 – Tùy theo mức độ sai lầm mà GV quyết định sử dụng các biện pháp sư phạm thích hợp. Có khi GV càn đưa ra lời giải đúng để HS đối chiếu và tìm ra sai lầm của lời giải sai, đây cũng là một cách gợi ý để HS nhận ra sai lầm. Có khi GV chủ động đưa ra lời giải sai để HS nhận dạng các dấu hiệu tìm ra sai lầm. Có khi GV đưa ra nhiều lời giải khác nhau để HS phân biệt sự đúng sai của các lời giải, có thể sử dụng phương pháp trắc nghiệm để mọi HS đều phải suy nghĩ và có ý kiến. Giai đoạn này, GV dễ tạo ra được những tình huống thú vị, có thể hát huy ưu diểm của nhiều phương pháp dạy học như : dạy học giải quyết vấn đề, dạy học phân hóa, dạy học theo lí thuyết tình huống, dạy học đàm thoại,… trên quan điểm hoạt động của quá trình dạy học. Ngược lại, nếu giai đoạn này GV không kịp thời phân tích và sửa chữa các sai lầm của HS khi giả toán thì các sai lầm sẽ ngày càng trầm trọng , GV không hoàn thành nhiệm vụ dạy học, HS sẽ sút kém về kết quả.  G đ ạn 3 : Sai l c phân tích và sửa ch a. Một sai lầm của HS tuy đã được GV phân tích và sửa chữa, vẫn còn có thể tái diễn. Chúng ta lưu ý “tính ỳ” của tư duy. Đặc biệt là các sai lầm gây ra từ các thói quen không tốt. Việc dứt bỏ thói quen không đơn giản vì thói quen nằm trong nếp sống của một con người. Song song với việc dứt bỏ một thói quen, GV cần xóa bỏ hẳn sai lầm đó của HS. Việc chia ba giai đoạn đối với một sai lầm chỉ có ý nghĩa nhấn mạnh thời điểm của sai lầm. Trong một thời điểm dạy học GV có khi đồng thời tác động đến cả ba giai đoạn, bởi vì vừa “phòng tránh” các sai lầm chưa xuất hiện, vừa lo phân tích và sửa chữa các sai lầm đang xuất hiện, đồng thời lo xóa hẳn những sai lầm đã sửa chữa. Sơ đồ sau chỉ rõ sự kiên trì để xóa bỏ một sai lầm của HS: : 2011 56 – Hình 5: Quá trình xóa bỏ một sai lầm của HS. D. Các yêu cầu i với h c sinh và giáo viên Các biện pháp sư phạm được đề xuất chỉ đạt được hiệu quả khi có sự đảm bảo của các yêu cầu về HS và GV. Đây là hai đối tượng chủ yếu tham gia thực hiện các biện pháp sư phạm. GV cần lưu ý các yêu cầu sau: D. 1. Rèn luyện ý th c và ý chí h c tập cho h c sinh. Việc xác định mục đích học tập môn toán sẽ ảnh hưởng rất lớn tới điều kiện để có ý thức học tập môn toán của HS. Mục đích chung nhất của việc học tập chính là động cơ học tập. Nhiều HS chưa xác định được động cơ cũng như mục đích của việc học toán. Thậm chí có HS chỉ quan niệm toán là môn học để thi cử nên bắt buộc phải học. HS không biết rằng toán là môn h c giúp rèn luyện trí tuệ đ n và hiệu qu nhất. Sự đơn điệu về phương pháp giảng dạy của GV càng làm cho HS coi môn toán là một gánh nặng trong việc học tập ở phổ thông. Sai lầm chưa xuất hiện Sai lầm xuất hiện Phong tránh Phân tích sữa chữa Củng cố thử thách Sai lầm được xóa bỏ : 2011 57 – HS chưa ý thức được rằng sau khi tốt nghiệp THPT, dù làm nghề gì trong xã hội cũng cần đến học vấn toán phổ thông ( kiến thức, phương pháp, kỹ năng) . Theo lý thuyết thông tin thì một trong 3 nguyên nhân để dẫn đến tình trạng mất thông tin là ý thức kém của người thu nhận thông tin ( hai nguyên nhân còn lại là tổ chức thông tin và kỹ thuật thông tin). Chính từ đó HS nhận thức bài giảng của GV không đầy đủ, không chính xác và dẫn đến tới sai lầm khi giải toán. Thiếu ý thức học tập, HS không có kế hoạch thường xuyên ôn tập lại các kiến thức đã được học. Do đó các kiến thức cơ bản dần dần mờ nhạt trong nhận thức của HS, nhiều “lỗ hổng” về kiến thức xuất hiện, thậm chí ý chí học tập cũng dần sút kém. Nhiều HS khi giải toán không có tinh thần vượt khó, không chịu tính toán cẩn thận, không chịu kiểm tra lại kết quả đã làm và từ đó dẫn đến sai lầm. D. 2. Hình thành hoạt động h c cho h c sinh. Dạy học tập trung vào HS, nghĩa là lấy HS làm mục tiêu phấn đấu của sự nghiệp GD và lấy HS làm động lực chính để tiến hành toàn bộ quá trình dạy học. Từ quan điểm dạy học này nên có phương pháp dạy học phát huy tính tích cực của HS. Chính vì dạy học tập trung vào HS và nhằm khắc phục các nguyên nhân sai lầm của HS khi giải toán, chúng tôi rất chú ý đến hình thành hoạt động học cho HS theo mục đích này. Chúng ta biết rằng hoạt động học của HS bao gồm 3 yếu tố chủ yếu là hoạt động học tập, mục đích học tập và hành động học tập. GV nên thấy rằng động cơ học tập của HS không thể áp đặt từ bên ngoài mà phải dưới sự hướng dẫn của người thầy. GV cần làm cho HS thấy được sự hấp dẫn của môn toán. Sự hấp dẫn này kích thích sự mong muốn chiếm lĩnh kiến thức. D. 3. Xây dựng uy tín c a giáo viên dựa trên sự bồ d ỡ ă ực chuyên môn và phẩm chất nghề nghiệp. Chúng ta biết rằng: “ Nhân cách của người GV là nhân tố có ý nghĩa to lớn đối với chất lượng GD” : 2011 58 – Nhân cách giáo viên có cấu trúc như sau: Hình 6: Cấu trúc của nhân cách giáo viên. GV không tự thường xuyên rèn luyện năng lực chuyên môn của mình nên dạy HS khó hiểu, thậm chí nhiều GV đôi lúc giải sai các bài toán. GV b ết áp dụng dạy r ă ực cu HS phân cự đậm nét. Có những GV vững kiến thức chuyên môn nhưng lại yếu về mặt năng lực sư phạm, nên càng dạy, HS càng khó hiểu, càng thấy vấn đề phức tạp và dẫn HS đến các sai lầm. Nhiều GV khi dạy định lý, khái niệm, quy tắc chưa có khả năng phân tích rõ cấu trúc toán học rõ ràng và chưa dự kiến được các sai lầm dễ mắc phải của HS. K t luận: Bốn biện pháp và ba phương châm chỉ đạo nhằm mục đích làm cho HS có được kiến thức chuẩn xác thể hiện qua sơ đồ: Nhân cách Xu hướng Tự tưởng Kiến thức cơ bản Tính chất khí chất Phương pháp dạy học Hiểu học sinh Tổ chức Giao tiếp Năng lực Phẩm chất : 2011 59 – Hình 7: Quá trình HS có được kiến thức chuẩn. Xây dựng uy tín thực hiện biện pháp sư phạm Rèn luyện ý thức, ý chí. Hình thành hoạt động học. Bổ sung kiến thức. Tìm ra, sữa chữa sai lầm Kiến thức chuẩn Giáo viên Học sinh Phẩm chất và năng lực Yếu tố tâm lí và kiến thức chưa tốt Truyền thụ kiến thức và phương pháp Lĩnh hội kiến thức và phương pháp Học sinh sai lầm khi giải toán : 2011 60 – h ng III THỰC NGHIỆM SƯ ẠM 1. Mục ch thực nghi m  Sáng tỏ thêm sai lầm của học sinh khi giải toán là tình trạng phổ biến hiện nay, kể cả học sinh chuyên Toán( những học sinh được coi là có trình độ khá giỏi về toán).  Thực nghiệm còn nhằm thử nghiệm các biện pháp dạy học thích hợp để phát hiện, phân tích, hạn chế và sữa chữa các sai lầm của học sinh khi giải toán. Từ đó có thể xem xét tính khả thi và tính có hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất. 2. Nội dung thực nghi m  Sáng tỏ thêm sai lầm của học sinh khi giải toán là tình trạng phổ biến hiện nay, kể cả học sinh chuyên Toán (những học sinh được coi là có trình độ khá giỏi về toán).  Trang bị cho học sinh các kiến thức về phương pháp giải toán, đặc biệt là các dấu hiệu phát hiện lời giải giải sai, tạo các “bẫy” trong các bài toán, nhằm rèn luyện cho học sinh hạn chế các sai lầm khi giải toán. 3. Tổ ch c thực nghi m Được sự đồng ý của các Ban giám hiệu nhà trường, chúng tôi đã chọn đối tượng thực nghiệm là học sinh lớp 11A2 chuyên Toán trường THPT chuyên Quốc Học. Đặc điểm của đối tượng thực nghiệm: là học sinh lớp chuyên Toán của một ngôi trường đạt chuẩn quốc gia, kinh nghiệm dạy môn chuyên rất dày dặn, có thể nói là một môi trường đào tạo rất tốt cho học sinh chuyên. Chúng tôi đã tiến hành điều tra chất lượng đầu của 43 học sinh ở trong lớp này bằng cùng một phiếu điều tra ( Phụ lục 1). 4. h ng ph p ti n h nh Phương pháp điều tra:  Lập phiếu điều tra gồm 10 câu hỏi được giải sai hoàn toàn.  Phát phiếu cho 43 học sinh trong lớp 11A2.  Yêu cầu các em đánh giá bài làm trong phiếu điều tra thông qua việc chấm điểm (1điểm/câu).  Thu phiếu điều tra và đánh giá mức độ nhận thức các sai lầm của học sinh theo cách thức:  Học sinh cho điểm càng cao chứng tỏ các em vẩn bị nhầm lẩn khá cao. : 2011 61 –  Học sinh cho điểm càng thấp thì mức độ nhận thức sai lầm của các em càng tốt. 5. t luận thực nghi m - Tuy là các học sinh ưu tú, có thành tích học tập tốt nhưng các em vẫn mắc các sai lầm khá phổ biến. - Một số em vẫn bị nhầm lẫn khá trầm trọng. - Theo dõi sơ đồ thu được từ cuộc khảo sát: ả Số liệu thống kê số lượng học sinh cho điểm bài làm trong phiếu điều tra. Đi m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 S h c sinh cho i m ng ời) 3 0 6 4 9 8 7 4 1 1 0 Tỉ l (%) 7 0 14 9.3 20.9 18.6 16.3 9.3 2.3 2.3 0 : 2011 62 – ả 2: T lệ cho điểm bài làm trong phiếu điều tra. (%) 6. Đ nghị v một s hi u bi t qu n tr ng củ sinh viên s phạm to n Qua nghiên cứu và quan sát của mình, chúng tôi có một kiến nghị tha thiết sau đây: “Nh ng sai l m c a h c sinh khi gi i toán là một hiểu biết quan tr ng c ạm” . Thật vậy, nhìn lại chương trình học của các sinh viên sư phạm toán, chúng tôi thấy các môn có tính chất đào tạo nghề dạy học như Tâm lí học, Giáo dục học được giảng chưa sâu sắc và ít có thí dụ vận dụng vào việc giảng dạy toán. Từ đó sinh viên không thích học hoặc học đối phó với môn này. Điểm 0 Điểm1 Điểm 2 Điểm 3 Điểm 4 Điểm 5 Điểm 6 Điểm 7 Điểm 8 Điểm 9 : 2011 63 – Những kiến thức về các sai lầm của học sinh khi giải toán, thục sự là một hiểu biết có tính nghề nghiệp cần được trang bị cho sinh viên sư phạm toán. Chúng tôi đề xuất 3 con đường để đưa hiểu biết này đến sinh viên sư phạm toán.  đ ờng th nhất : Các nghiên cứu, đưa ra trong đề tài được bổ sung xen vào trong chương trình các môn học liên quan tới chương trình toán ở PTTH. Giảng viên các môn này được trang bị các tài liệu cần thiết để khéo léo đưa vào chương trình dạy ở các thời diểm thích hợp. Có thể đưa những hiểu biết này vào trong chương trình ngoại khóa.  đ ờng th hai: Biên thành một chuyên đề trong chương trình rèn luyện nghiệp vụ sư phạm cho sinh viên năm thứ ba.  đ ờng th ba: Đặt vấn đề cho sinh viên làm các điều tra về những dạng sai lầm của học sinh trung học phổ thông khi giải toán từ đó hướng dẫn sinh viên làm niên luận, khóa luận về các vấn đề tỉ mỉ hơn. Đây là con đường gắn sinh viên với thực tế và tập dược cho sinh viên nghiên cứu khoa học giáo dục. Từ đó chúng tôi sẽ gắn chặt thêm ba đỉnh của ”tam giác đào tạo sư phạm” : Phản ánh thực tiễn Đào tạo đội ngũ Học nghề sư phạm Thực Tập Sư Phạm Trang bị kiến thức Thực tiễn Hình 8: Tam giác đào tạo sư phạm. Trường Sư Phạm Trường Phổ Thông Sinh Viên : 2011 64 – VIII. Tài li u tham kh o. [1] Nguyễn Ngọc Bảo, M tính tích c c l p nhân th c và m i liên h gi a chúng, H i th o: ổi m i gi ng d y, nghiên c u tâm lí h c và giáo dục h Đại học Quốc gia Hà Nội, Trường Đại Học Sư Phạm, Khoa Tâm Lí Giáo Dục, H.1995. [2] Nguyễn Thanh Bình, Kh ă p c m trong th c t p t t nghi p, NCGD, 12-1994, tr23. [3] Phạm Thanh Bình, ổi m i m nh mẽ c ở ng phổ thông- yêu c u c p bách c a giáo dục hi n nay, NCGD, 3-1995, tr10. [4] Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thụy, Nghiên c u xây d ng h th ng bài t p y h c toán, NCGD, 11-1986, tr. 9-11 [5] Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang, Sai l m phổ bi n khi gi i toán, NXB Giáo dục, H 1996. [6] Phan Hữu Châu, Trần Lâm Hách, Nh p môn lý thuy t t p h p và logic. NXB Giáo dục, H.1997. [7] Hoàng Chúng, y h c toán h c, NXB Giáo dục, H.1978. [8] Hoàng Chủng, Rèn luy n kh ă t o Toán h c ở phổ thông, NXB Giáo dục, H. 1969. [9] Nguyễn Nghĩa Dân, ục tích c c v i mục tiêu nhân cách sáng t o, NCGD, 8-1996, tr5. [10] Phạm Tất Dong, C ă t cho h c sinh phổ thông, NCGD, 11-1977, tr 27-30. [11] Phạm văn Đồng, y h c phát huy tính tích c c – m pháp vô cùng quí báu, NCGD, 12-1994, tr 1-2. [12] Phạm Minh Hạc p ti p c n ho ng nhân cách- m ở lí lu n c y h c hi i, Thông tin KHGD, tr 7-10. [13] Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Rèn luy i qua d y toán, NCGD, 10-1975, tr17-25. [14] Trần Bá Hoành, Bàn ti p v d y h c l y h c sinh làm trung tâm. Thông tin KHGD 49 (1995), tr22-27. [15] Nguyễn Thài Hòe, Rèn luy i bài t p toán, NXB Giáo dục, H.1995. [16] Nguyễn Bá Kim, Chính xác hóa m t s khái ni m liê n d y h c gi i quy t v , NCGD, 9-1991, tr2-3. : 2011 65 – IX. hụ lục.  P I PHIẾU ĐIỀU TRA NGHIÊN CỨU VÀ SỮA CHỮA SAI LẦM CHO HS THPT KHI GIẢI TOÁN Họ và tên: Lớp:  Nhận xét và cho điểm từng câu (1điểm/câu) x √x 16 Bài 1: Giải Phương trình: Giải: ĐK: √ 16 4 64 56 4 65 59 * Bài 2: Giải phương trình: √ 1 √ 1 1 Giải: ĐK: 1 Lúc đó ta có: √ 1 1 √ 1 Với 1 thì √ 1 √ 1 Vậy pt vô nghiệm. 1 Bài 3: Giải bất phương trình: Tổng điểm: : 2011 66 – Bài 4: Chứng minh rằng với a, b, c >0 thì: √ Giải: áp dụng BDT cauchy ta có: √ √ Vì các vế đều dương nên: √ √ √ Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của : F(x,y) = (x+y) 2 + (x+1) 2 + (y+1) 2 Giải: Với mọi x, y R thì: (x+y) 2 (x+1) 2 (y+1) 2 Vậy F(x,y) hay min x Bài 6: Tính: L = lim √ √ √ Giải: Ta có: lim √ =0, lim √ =0 …. lim √ Nên L = 0 Bài 7:Tìm đường tiệm cận của đường 1 1 Đặt f(x) = . Khi đó f(x) đồng biến trên R nên với x>-1 thì: Vậy nghiệm của BPT là 1 : 2011 67 – y = √ Giải: Vì lim = nên đồ thị có hai đường tiệm cận đứng là x = 1. Vì tập xác định của hàm số là (-1; 1) nên lim không tồn tại. Suy ra đồ thị không có đường tiệm cận ngang. Bài 8: Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ đều khiêu vũ giỏi. Người ta chọn 3 nam 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy. Hỏi có bao nhiêu cách ghép 3 cặp nhảy ? Giải: Mỗi cách ghép 3 bạn nam trong 10 bạn nam là một chỉnh hợp 3 của 10 nên số cách chọn 3 bạn nam có thứ tự là 8 9 1 7 cách. Tương tự số cách chọn 3 bạn nữ có thứ tự là 4 5 6 1 cách. Vậy số cách bố trí 3 cặp nhảy là: 7 1 864 Bài 9:Tính giới hạn: L = lim √ Giải: L = lim √ = lim √ = 1. Bài 10: Tính tích phân: I = ∫ Giải: I = ∫ = | = -4/3. : 2011 68 –