Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế khối 12 chuyên

Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Khối 12 chuyên - năm học 2009-2010 Bài 1: (4 điểm) Cho hàm số: y = 36cosx+ 9cos2x+ 4cos3x a. Chứng minh rằng: y + 31 ≥ 0 đúng với mọi số thực x. b. Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho: y ≤ k đúng với mọi số thực x. Bài 2: (4 điểm) Cho hình vuông ABCD. Với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng chứa hình vuông ABCD, xét điểm M1 đối xứng của M qia đường thẳng AB, điểm M2 đối xứng của M1 qua đường thẳng BD, điểm M3 đối xứng của M2 qua đường thẳng AC và điểm M ′ đối xứng của M3 qua đường thẳng CD. Tìm tập hợp các điểm M sao cho độ dài đoạn MM ′ bằng độ dài cạnh hình vuông. Bài 3: (4 điểm) Cho dãy số thực (un) xác định bởi: u1 = 1, un+1 = √ 2un với n ≥ 1 Chứng minh dãy số (un) có giới hạn. Tìm giá trị giới hạn này. Bài 4: (4 điểm) Cho hình hộp IJKL.I ′J ′K ′L′có tất cả các cạnh bằng nhau và ÎI ′J ′ = ÎI ′L′ = Ĵ ′I ′L′ = 60o Chọn tùy ý điểm P trên đoạn IJ và gọi Q là điểm trên đoạn IL sao cho LQ=IP. a. Chứng minh rằng: ÎI ′P + ÎI ′Q+ P̂ I ′Q = 60o b. Chứng minh khoảng cách từ tâm O của hình hộp IJKL.I ′J ′K ′L′ đến mặt phẳng (I’PQ) không phụ thuộc vào cách chọn điểm P. Bài 5: (4 điểm) Xét hàm số f xác định trên tập số thực R thỏa mãn phương trình: (f(x)− 1)(f(y)− 1)(2− f(x+ y)) = (2− f(x))(2− f(y))(f(x+ y)− 1) (*) với mọi số thực x,y. a. Chứng minh tồn tại ít nhất ba hàm số f liên tục trên R thỏa mãn (*). b. Tìm tất cả các hàm số f liên tục trên R thỏa mãn (*). - - -phuchung- - - 1