Đề thi cuối kỳ học kỳ I năm học 2015 - 2016 môn: Toán cao cấp C2 - Mã môn học: Math 130901

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN CAO CẤP C2 Mã môn học: MATH 130901 Thời gian : 90 phút (11/1/2016) Đ ề thi gồm 2 trang Được phép sử dụng tài liệu Câu 1 (1 điểm) Tính đạo hàm riêng và vi phân cấp 1 hàm số zyeyxzyxf 3224),,( +++= Câu 2 (2 điểm) Một công ty sản xuất x ngàn sản phẩm loại và ngàn sản phẩm loại mỗi năm. Biết hàm doanh thu và hàm chi phí lần lượt là A y B (đơnvị ) yxyxR 23),( += 000,000,1$ (đơnvị ) 59622),( 22 +−++−= xyyxyxyxC 000,000,1$ Xác định số sản phẩm mỗi loại cần sản xuất để công ty đạt lợi nhuận lớn nhất. Câu 3 (1,5 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường xy = 1, xy = 6, 1 2 = y x , 4 2 = y x Câu 4 (1,5 điểm) Một vụ tai nạn tràn dầu trên một hồ nước làm cho dầu loan ra dạng gần giống hình tròn trên mặt nước có bán kính mét sau t phút tính từ lúc tai nạn xảy ra. Bán kính tăng với tốc độ )(tR )(tR 508,0 24)(' += ttR (mét/phút) a) Tìm bán kính )(tR theo t , với 0)0( =R . b) Ước tính diện tích phần dầu loan ra đúng 1 giờ sau tính từ lúc tai nạn xảy ra. Câu 5 (2 điểm) (Resale value problem) Giá trị bán lại của một máy sau t năm(tính từ lúc mua) sẽ giảm với tốc độ tỷ lệ với hiệu giữa giá trị hiện tại và giá trị phế liệu của máy. Tức là, nếu là giá trị phế liệu của máy thì thỏa phương trình )(tr S )(tr ( Srk dt dr −−= ) , với 0>= constk là hằng số tỷ lệ Xác định biết giá trị mua mới của máy là $80,000, giá trị 5 năm sau là $10,000 và giá trị phế liệu = $500. )(tr S Câu 6 (2 điểm) (thời gian t tính bằng tháng, giá p tính bằng USD) Biết giá )(tpp = của một loại sản phẩm(hàng hóa) tại thời điểm t thỏa phương trình vi phân teppp 2,018007'8'' −+=++ Giải phương trình vi phân trên. Ước tính giá của sản phẩm sau khoảng thời gian t đủ lớn. ? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) câu 1, câu 2 Tính được đạo hàm riêng, vi phân, tìm cực trị, GTLN >NN hàm nhiều biến và biết ứng dụng vào đời sống G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1, 2.2, , 2.1.4 ; Câu 3, câu 4 Tính được tích phân hàm một biến, tích phân kép và biết ứng dụng vào đời sống G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1, 2.2., G1: 3.1 Câu 5, câu 6 Giải được phương trình vi phân cấp 1, cấp hai và và biết ứng dụng vào đời sống G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1, 2.2., G1: 3.1 Ngày 8 tháng 1 năm 2016 THÔNG QUA BỘ MÔN TOÁN ĐÁP ÁN TOÁN C2 (ngày thi 11/1/2016) Câu hỏi Nội dung Điểm Câu1 zyeyxzyxf 3224),,( +++= 1đ ' xf = 224 yx x ++ , = 'yf ze yx y 3 224 + ++ , 'zf = zye33 ),,( zyxdf = dzfdyfdxf 'z ' y ' x ++ = 224 yx x ++ dx+ dye yx y z ) 4 ( 3 22 + ++ + zye33 dz 0.5đ 0.5đ Câu 2 1,5đ Hàm lợi nhuận ),( yxP = =− ),(),( yxCyxR 522412 22 −−−+− yxxyyx Tập xác định hàm số là: D = { R2 : } (lượng sản phẩm mỗi loại không âm) ∈),( yx 0,0 ≥≥ yx 0.5đ Đạo hàm riêng của theo biến x: ),( yxP ='xP xy 4212 −+ Đạo hàm riêng của theo biến y: ),( yxP ='yP yx 224 −+− Hệ phương trình xác định điểm dừng: ⎪⎩ ⎪⎨⎧ =−+−= =−+= 0224P 04212P ' y ' x yx xy Giải hệ ta được nghiệm: ⎩⎨ ⎧ = = 2 4 y x Đạo hàm riêng cấp hai: A = , B = , C = 4'' −=xxP 2'' =xyP 2'' −=yyP Tại điểm dừng (4;2): ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <−= >== 04 04 2- 2 2 4- C B BA A ⇒ Hàm số đạt cực đại tại (4;2), . 15=CDP Vì là hàm số bậc hai nên giá trị cực đại cũng là giá trị lớn nhất, . ),( yxP 15max =P Vậy công ty cần sản xuất 4000 sản phẩm loại A và 2000 sản phẩm loại B để đạt lợi nhuận lớn nhất là . 000,000,15$ 0.5đ 0.5đ 0.5đ - 1 - Câu 3 1.5đ Diện tích hình phẳng: =S dxdy 1 D ∫∫ Đổi biến: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = y x v xyu 2 v y x y x 3 y x-3 2 xy y)D(x, v)D(u, 2 2 2 −==−= , J = v)D(u, y)D(x, = y)D(x, v)D(u, 1 = v3 1 − vJ 3 1= Viết lại trong hệ tọa độ D’: uvo' ⎩⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ 41 61 v u =S dxdy 1 D ∫∫ = ∫∫ 4 1 6 1 3 1 dv v du = 1 4 ln. 1 6 3 1 vu = 3 4ln5 (đvdt) 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Câu 4 1đ Bán kính ∫∫ +=+= dttCdttRtR 508,0 24)(')( + = C Ct ++ )508,0ln(300 0)0( =R ⇒ 5ln30005ln300 −=⇒=+ CC Vậy = =)(tR )508,0ln(300 +t 5ln300− ) 5 508,0ln(300 +t Ước tính diện tích phần dầu loan ra đúng 1 giờ sau tính từ lúc tai nạn xảy ra: =≈ 2)]60([RS π 22 56,128041] 5 56008,0ln300[ m≈+×π 0.5đ 0.5đ Câu5 2đ Cách 1 Phương trình được viết lại kkrtr 5,0)(' =+ , với (đơn vị $1000) ⎩⎨ ⎧ = = 10)5( 80)0( r r Nghiệm tổng quát phương trình 0.5đ - 2 - )(tr = = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +− ∫ ∫∫ Cdtkdtkekdte 5,0 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +− ∫ Cdtktkekte 5,0 = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− Cktekte 5,0 = ktCe−+5,0 (đơn vị $1000) 0.5đ 0.5đ ⎩⎨ ⎧ = = 10)5( 80)0( r r ⇔ ⎩⎨ ⎧ =−+ =+ 1035,0 805,0 kC C e ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≈−= = 708155,0) 5,79 5'9ln( 3 1 5,79 k C Vậy = (đơn vị $1000) )(tr te 7081,05,795,0 −+ hay = (đơn vị $1) )(tr te 7081,079500500 −+ 0.5đ Cách 2 Phương trình được viết lại k Sr dr −=− Tích phân hai vế Ckdt Sr dy ln+−=− ∫∫ ⇔ CktSr lnln +−=− ⇔ CkteSr ln+−=− ⇔ ktCeSr −=− ⇔ ktCeSr −+= Hay = (đơn vị $1000) )(tr ktCe−+5,0 ⎩⎨ ⎧ = = 10)5( 80)0( r r ⇔ ⎩⎨ ⎧ =−+ =+ 1035,0 805,0 kC C e ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≈−= = 708155,0) 5,79 5'9ln( 3 1 5,79 k C Vậy = (đơn vị $1000) )(tr te 7081,05,795,0 −+ hay = (đơn vị $1) )(tr te 7081,079500500 −+ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu 6 2đ teppp 2,018007'8'' −+=++ Phương trình thuần nhất tương ứng : =++ ppp 7'8'' 0 Phương trình đặc trưng: 0782 =++ kk 1−=⇔ k hay 7−=k 0.5đ Nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất: = )(tPo tt eCeC 721 −− + 0.25đ - 3 - Nghiệm riêng phương trình 18007'8'' =++ ppp (1) dạng AY =1 Tính được . Thay vào (1) được 0,0 ''1'1 == YY 7 1800=A . Suy ra =1Y 7 1800 0.25đ Nghiệm riêng phương trình (2) dạng teppp 2,07'8'' −=++ tBeY 2,02 −= Tính được . Thay vào (2) được tt BeYBeY 2,0''22,0'2 04,0,2,0 −− =−= 136 25=B . Suy ra teY 2,02 136 25 −= Theo nguyên lý chồng chất nghiệm thì nghiệm riêng của phương trình là teppp 2,018007'8'' −+=++ =)(tP +1Y 2Y = 7 1800 + te 2,0 136 25 − 0.25đ Nghiệm tổng quát phương trình teppp 2,018007'8'' −+=++ là )(tp = +)(tPo =)(tP tt eCeC 721 −− + + 7 1800 + te 2,0 136 25 − 0.25đ Khi t đủ lớn tt eCeC 721 −− + te 25 1 −− 0≈ nên )(tp 7 1800≈ (USD) Sau khoảng thời gian t đủ lớn, giá sản phẩm xấp xỉ $ 7 1800 . 0.5đ Hết - 4 -