Đề thi cuối kỳ học kỳ I năm học 2016 - 2017 môn: Hàm biến phức và phép biến đổi laplace - Mã môn học: Math 121201

Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (21/12/2016) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M aõ ñeà: 0001-0010-1100-2016-2112-0402 (Noäp laïi ñeà naøy) PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6) - 1 - Câu 1 Ảnh của đường thẳng y = 0 qua phép biến hình w = e3- iz = u +iv là A) Đường tròn u2 + v2 = 6e B) Đường thẳng u = 0. C) Đường tròn u2 + v2 = 3e D) Đường thẳng v = 0 Câu 2 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên hình tròn mở  93:  izzD thì hàm )(zf = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D . B) Nếu hàm phức )(zf = u(x,y) + iv(x,y) khoâng khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) khoâng thỏa điều kiện Cauchy – Reimann trên miền D C) Hàm phức )(zf = u(x,y) + iv(x,y) liên tục trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) liên tục trên miền D. D) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D. 9 2 5 i i  -8iCaâu 3 Cho soá phöùc z = + e . Khi ñoù: A) Rez = 2 + cos8, Imz = -sin8 B) Rez = 10 + cos8, Imz = sin8 C) Rez = 2 + cos8, Imz = sin8 D) Rez = 2+ cos8, Imz = -2 – sin8 Caâu 4 Trong maët phaúng phöùc cho caùc taäp hôïp ñieåm  izizzE 62:  , F  651:  izz . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Taäp E khoâng bò chaën. B) Taäp F laø laø taäp compact. C) Taäp F laø hình troøn đóng taâm -1+5i baùn kính baèng 6. D) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái 2 -i vôùi 6i. Caâu 5 Haøm phöùc f(z) = 2 6 z z z  = u + iv coù phaàn thöïc vaø phaàn aûo laø: A) u = 22 7 yx x  , v = 22 7 yx y  B) u = 22 5 yx x  , v = 22 5 yx y   C) u = 22 7 yx x  , v = 22 7 yx y   D) moät keát quaû khaùc Caâu 6 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø  , Azf (vôùi  A0 ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z).  )(lim zfaz az m az  )()(lim B) 3z laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm 2)3()( 12   z ezf z z C)     42 2)3( 12 z dz z e zz = )12(2 3 e D) i     34 2)3( 12 iz dz z e zz = 2 i      3, )3( Re 2 12 z es z z Caâu 7 Ñeå giaûi heä phöông trình vi phaân: , vôùi ñieàu kieän x(0)= y(0)= 0 ta laøm nhö sau:     14' 03' yyx yx    yY,xX LL  vaø bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc:        p YPX YXP 14 03  Ñaët  Giaûi heä phöông trình vôùi X, Y laø aån ta ñöôïc          31 1 31 3 pp Y ppp X  Phaân tích thaønh caùc phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc      31 31 P E P DY P C P B p AX vôùi A, B, C, D, E laø caùc haèng soá maø ôû ñaây ta khoâng tìm.  Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm     tt tt EeDey CeBeAx 3 3 Khaúng ñònh naøo sau ñaây ñuùng? A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû ñuùng. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. Câu 8 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? A)Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) = 1 1 0  Tp pt f t dte e T ( ) B)Neáu vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) =      20 0sin )( tkhi tkhit tf tdtpt p ee sin 21 1 2π 0    C) L 0 ( )( ) t F pf u du p      D) L )4)3(( 32 2 0 3     pp puduche t u - 2 - Câu 9 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số , 2566),( 22  yyxyxu 2512  xxyv . Khẳng định nào sau đây đúng? A) u điều hòa, v không điều hòa. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp. C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa Caâu 10 Cho phöông trình vi phaân: = (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 4. yy 3' )2(5)2(   tetu Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L y(t)  Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: YpY 3 = 5 2   p e p + 4 (2)  Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y= )5)(3( 2   pp e p + 3 4 p (3)  Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =      3 1 5 1 2 1 2 pp e p + 3 4 p  Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y =   )2( 2 1 2(5)2(3    tuee tt + 4 te3 A) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. B)Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. C) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. D)Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) izeizzf  1 2)()(Caâu 11 (1 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp . iz     93 1 2)( iz iz dzeizIPhaân loại điểm bất thường cô lập . Tính tích phaân . iz  Caâu 12 (2 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình tích phân y(t)= duut t uy )(2cos 0 )(5   te 53 Tính roài döïa vaøo keát quaû ñoù xaùc ñònh giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa sau khoaûng thôøi gian ñuû lôùn. )(lim ty t  )(ty t Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân tyyy 3sin16'7''  vôùi ñieàu kieän 0)0( y vaø 0)0(' y b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, , biểu diễn xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian . Xác định vị trí cân bằng và biên độ dao động này. )(ty t --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. CHUAÅN ÑAÀU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Töø caâu 1 ñeán caâu 10 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Caâu 11: Khai trieån ñöôïc chuoãi Laurent, tính ñöôïc thaëng dö vaø aùp duïng tính tích phaân. Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng. G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngaøy 19 thaùng 12 naêm 2016 Thoâng qua Boä moân Toaùn - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0001-0010-1100-2016-2112-0402 Giaùm thò 1 Giaùm thò 2 Giaùo vieân chaám thi 1&2 ÑIEÅM Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: . Thôøi gian : 90 phuùt (21/12/2016) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm. BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Traû lôøi BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (21/12/2016) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M aõ ñeà: 0010-0010-1100-2016-2112-0402 (Noäp laïi ñeà naøy) PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6) - 1 - Câu 1 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số , 2566),( 22  yyxyxu 2512  xxyv . Khẳng định nào sau đây đúng? A) u điều hòa, v không điều hòa. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp. C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa Caâu 2 Cho phöông trình vi phaân: = (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 4. yy 3' )2(5)2(   tetu Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L y(t)  Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: YpY 3 = 5 2   p e p + 4 (2)  Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y= )5)(3( 2   pp e p + 3 4 p (3)  Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =      3 1 5 1 2 1 2 pp e p + 3 4 p  Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y =   )2( 2 1 2(5)2(3    tuee tt + 4 te3 A) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. B)Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. C) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. D)Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. Caâu 3 Haøm phöùc f(z) = 2 6 z z z  = u + iv coù phaàn thöïc vaø phaàn aûo laø: A) u = 22 7 yx x  , v = 22 7 yx y  B) u = 22 5 yx x  , v = 22 5 yx y   C) u = 22 7 yx x  , v = 22 7 yx y   D) moät keát quaû khaùc Câu 4 Ảnh của đường thẳng y = 0 qua phép biến hình w = e3- iz = u +iv là A) Đường tròn u2 + v2 = 6e B) Đường thẳng v = 0. C) Đường tròn u2 + v2 = 3e D) Đường thẳng u = 0. Câu 5 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên hình tròn mở  93:  izzD thì hàm )(zf = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D . B) Nếu hàm phức )(zf = u(x,y) + iv(x,y) khoâng khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) khoâng thỏa điều kiện Cauchy – Reimann trên miền D C) Hàm phức )(zf = u(x,y) + iv(x,y) liên tục trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) liên tục trên miền D. D) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D. 9 2 5 i i  -8i . Khi ñoù: Caâu 6 Cho soá phöùc z = + e A) Rez = 2 + cos8, Imz = -sin8 B) Rez = 10 + cos8, Imz = sin8 C) Rez = 2 + cos8, Imz = sin8 D) Rez = 2+ cos8, Imz = -2 – sin8 Caâu 7 Trong maët phaúng phöùc cho caùc taäp hôïp ñieåm  izizzE 62:  , F  651:  izz . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Taäp E khoâng bò chaën. B) Taäp F laø laø taäp compact. C) Taäp F laø hình troøn đóng taâm -1+5i baùn kính baèng 6. D) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái 2 -i vôùi 6i. Caâu 8 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø  , Azf (vôùi  A0 ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z).  )(lim zfaz az m az  )()(lim B) 3z laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm 2)3()( 12   z ezf z z C)     42 2)3( 12 z dz z e zz = )12(2 3 e D) i     34 2)3( 12 iz dz z e zz = 2 i      3, )3( Re 2 12 z es z z Caâu 9 Ñeå giaûi heä phöông trình vi phaân: , vôùi ñieàu kieän x(0)= y(0)= 0 ta laøm nhö sau:     14' 03' yyx yx    yY,xX LL  vaø bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc:        p YPX YXP 14 03  Ñaët  Giaûi heä phöông trình vôùi X, Y laø aån ta ñöôïc          31 1 31 3 pp Y ppp X  Phaân tích thaønh caùc phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc      31 31 P E P DY P C P B p AX vôùi A, B, C, D, E laø caùc haèng soá maø ôû ñaây ta khoâng tìm.  Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm     tt tt EeDey CeBeAx 3 3 Khaúng ñònh naøo sau ñaây ñuùng? A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû ñuùng. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. Câu 10 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? A)Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) = 1 1 0  Tp pt f t dte e T ( ) B)Neáu vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) =      20 0sin )( tkhi tkhit tf tdtpt p ee sin 21 1 2π 0    C) L 0 ( )( ) t F pf u du p      D) L )4)3(( 32 2 0 3     pp puduche t u - 2 - PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) izeizzf  1 2)()(Caâu 11 (1 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp . iz     93 1 2)( iz iz dzeizIPhaân loại điểm bất thường cô lập . Tính tích phaân . iz  Caâu 12 (2 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình tích phân y(t)= duut t uy )(2cos 0 )(5   te 53 Tính roài döïa vaøo keát quaû ñoù xaùc ñònh giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa sau khoaûng thôøi gian ñuû lôùn. )(lim ty t  )(ty t Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân tyyy 3sin16'7''  vôùi ñieàu kieän 0)0( y vaø 0)0(' y b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, , biểu diễn xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian . Xác định vị trí cân bằng và biên độ dao động này. )(ty t --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. CHUAÅN ÑAÀU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Töø caâu 1 ñeán caâu 10 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Caâu 11: Khai trieån ñöôïc chuoãi Laurent, tính ñöôïc thaëng dö vaø aùp duïng tính tích phaân. Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng. G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngaøy 19 thaùng 12 naêm 2016 Thoâng qua Boä moân Toaùn - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0010-0010-1100-2016-2112-0402 Giaùm thò 1 Giaùm thò 2 Giaùo vieân chaám thi 1&2 ÑIEÅM Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: . Thôøi gian : 90 phuùt (21/12/2016) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm. BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Traû lôøi BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (21/12/2016) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M aõ ñeà: 0011-0010-1100-2016-2112-0402 (Noäp laïi ñeà naøy) PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6) Caâu 1 Haøm phöùc f(z) = 2 6 z z z  = u + iv coù phaàn thöïc vaø phaàn aûo laø: A) u = 22 5 yx x  , v = 22 5 yx y   B) u = 22 7 yx x  , v = 22 7 yx y  C) u = 22 7 yx x  , v = 22 7 yx y   D) moät keát quaû khaùc Caâu 2 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø  , Azf (vôùi  A0 ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z).  )(lim zfaz az m az  )()(lim B) 3z laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm 2)3()( 12   z ezf z z C)     42 2)3( 12 z dz z e zz = )12(2 3 e D) i     34 2)3( 12 iz dz z e zz = 2 i      3, )3( Re 2 12 z es z z - 1 - Câu 3 Ảnh của đường thẳng y = 0 qua phép biến hình w = e3- iz = u +iv là A) Đường tròn u2 + v2 = 6e B) Đường thẳng u = 0. C) Đường tròn u2 + v2 = 3e D) Đường thẳng v = 0 Câu 4 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D. B) Nếu hàm phức )(zf = u(x,y) + iv(x,y) khoâng khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) khoâng thỏa điều kiện Cauchy – Reimann trên miền D C) Hàm phức )(zf = u(x,y) + iv(x,y) liên tục trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) liên tục trên miền D. D) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên hình tròn mở  93:  izzD thì hàm )(zf = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D . 9 2 5 i i  -8iCaâu 5 Cho soá phöùc z = + e . Khi ñoù: A) Rez = 2 + cos8, Imz = -sin8 B) Rez = 10 + cos8, Imz = -sin8 C) Rez = 2 + cos8, Imz = sin8 D) Rez = 2+ cos8, Imz = -2 – sin8 Caâu 6 Trong maët phaúng phöùc cho caùc taäp hôïp ñieåm  izizzE 62:  , F  651:  izz . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Taäp E khoâng bò chaën. B) Taäp F laø laø taäp compact. C) Taäp F laø hình troøn đóng taâm -1+5i baùn kính baèng 6. D) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái 2 -i vôùi 6i. Caâu 7 Cho phöông trình vi phaân: = (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 4. yy 3' )2(5)2(   tetu Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L y(t)  Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: YpY 3 = 5 2   p e p + 4 (2)  Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y= )5)(3( 2   pp e p + 3 4 p (3)  Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =      3 1 5 1 2 1 2 pp e p + 3 4 p  Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y =   )2( 2 1 2(5)2(3    tuee tt + 4 te3 A) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. B)Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. C) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. D)Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. Caâu 8 Ñeå giaûi heä phöông trình vi phaân: , vôùi ñieàu kieän x(0)= y(0)= 0 ta laøm nhö sau:     14' 03' yyx yx   Ñaët  yY,xX LL  vaø bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc:        p YPX YXP 14 03  Giaûi heä phöông trình vôùi X, Y laø aån ta ñöôïc          31 1 31 3 pp Y ppp X  Phaân tích thaønh caùc phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc      31 31 P E P DY P C P B p AX vôùi A, B, C, D, E laø caùc haèng soá maø ôû ñaây ta khoâng tìm.  Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm     tt tt EeDey CeBeAx 3 3 Khaúng ñònh naøo sau ñaây ñuùng? A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû ñuùng. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. Câu 9 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? A)Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) = 1 1 0  Tp pt f t dte e T ( ) B)Neáu vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) =      20 0sin )( tkhi tkhit tf tdtpt p ee sin 21 1 2π 0    C) L 0 ( )( ) t F pf u du p      D) L )4)3(( 32 2 0 3     pp puduche t u - 2 - Câu 10 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số , 2566),( 22  yyxyxu 2512  xxyv . Khẳng định nào sau đây đúng? A) u điều hòa, v không điều hòa. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp. C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) izeizzf  1 2)()(Caâu 11 (1 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp . iz     93 1 2)( iz iz dzeizIPhaân loại điểm bất thường cô lập . Tính tích phaân . iz  Caâu 12 (2 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình tích phân y(t)= duut t uy )(2cos 0 )(5   te 53 Tính roài döïa vaøo keát quaû ñoù xaùc ñònh giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa sau khoaûng thôøi gian ñuû lôùn. )(lim ty t  )(ty t Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân tyyy 3sin16'7''  vôùi ñieàu kieän 0)0( y vaø 0)0(' y b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, , biểu diễn xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian . Xác định vị trí cân bằng và biên độ dao động này. )(ty t --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. CHUAÅN ÑAÀU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Töø caâu 1 ñeán caâu 10 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Caâu 11: Khai trieån ñöôïc chuoãi Laurent, tính ñöôïc thaëng dö vaø aùp duïng tính tích phaân. Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng. G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngaøy 19 thaùng 12 naêm 2016 Thoâng qua Boä moân Toaùn - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0011-0010-1100-2016-2112-0402 Giaùm thò 1 Giaùm thò 2 Giaùo vieân chaám thi 1&2 ÑIEÅM Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: . Thôøi gian : 90 phuùt (21/12/2016) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm. BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Traû lôøi BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (21/12/2016) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M aõ ñeà: 0100-0010-1100-2016-2112-0402 (Noäp laïi ñeà naøy) PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6) - 1 - Câu 1 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số , 2566),( 22  yyxyxu 2512  xxyv . Khẳng định nào sau đây đúng? A) v điều hòa, u không điều hòa. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp. C) u điều hòa, v không điều hòa. D) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. Câu 2 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên hình tròn mở  93:  izzD thì hàm )(zf = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D . B) Nếu hàm phức )(zf = u(x,y) + iv(x,y) khoâng khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) khoâng thỏa điều kiện Cauchy – Reimann trên miền D C) Hàm phức )(zf = u(x,y) + iv(x,y) liên tục trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) liên tục trên miền D. D) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D. 9 2 5 i i  -8iCaâu 3 Cho soá phöùc z = + e . Khi ñoù: A) Rez = 2 + cos8, Imz = -sin8 B) Rez = 10 + cos8, Imz = sin8 C) Rez = 2 + cos8, Imz = sin8 D) Rez = 2+ cos8, Imz = -2 – sin8 Caâu 4 Cho phöông trình vi phaân: = (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 4. yy 3' )2(5)2(   tetu Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L y(t)  Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: YpY 3 = 5 2   p e p + 4 (2)  Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y= )5)(3( 2   pp e p + 3 4 p (3)  Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =      3 1 5 1 2 1 2 pp e p + 3 4 p  Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y =   )2( 2 1 2(5)2(3    tuee tt + 4 te3 A) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. B)Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. C) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. D)Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. Caâu 5 Haøm phöùc f(z) = 2 6 z z z  = u + iv coù phaàn thöïc vaø phaàn aûo laø: A) u = 22 7 yx x  , v = 22 7 yx y  B) u = 22 5 yx x  , v = 22 5 yx y   C) u = 22 7 yx x  , v = 22 7 yx y   D) moät keát quaû khaùc Câu 6 Ảnh của đường thẳng y = 0 qua phép biến hình w = e3- iz = u +iv là A) Đường tròn u2 + v2 = 6e B) Đường thẳng v = 0. C) Đường tròn u2 + v2 = 3e D) Đường thẳng u = 0. Câu 7 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? 1 1 0  Tp pt f t dte e T ( )A)Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) = B)Neáu vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) =      20 0sin )( tkhi tkhit tf tdtpt p ee sin 21 1 2π 0    C) L 0 ( )( ) t F pf u du p      D) L )4)3(( 32 2 0 3     pp puduche t u Caâu 8 Trong maët phaúng phöùc cho caùc taäp hôïp ñieåm  izizzE 62:  , F  651:  izz . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Taäp E khoâng bò chaën. B) Taäp F laø laø taäp compact. C) Taäp F laø hình troøn đóng taâm -1+5i baùn kính baèng 6. D) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái 2 -i vôùi 6i. Caâu 9 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø  , Azf (vôùi  A0 ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z).  )(lim zfaz az m az  )()(lim B) 3z laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm 2)3()( 12   z ezf z z C)     42 2)3( 12 z dz z e zz = )12(2 3 e D) i     34 2)3( 12 iz dz z e zz = 2 i      3, )3( Re 2 12 z es z z Caâu 10 Ñeå giaûi heä phöông trình vi phaân: , vôùi ñieàu kieän x(0)= y(0)= 0 ta laøm nhö sau:     14' 03' yyx yx    yL vaø bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc: Y,xX L       p YPX YXP 14 03  Ñaët  Giaûi heä phöông trình vôùi X, Y laø aån ta ñöôïc          31 1 31 3 pp Y ppp X  Phaân tích thaønh caùc phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc      31 31 P E P DY P C P B p AX vôùi A, B, C, D, E laø caùc haèng soá maø ôû ñaây ta khoâng tìm.  Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm     tt tt EeDey CeBeAx 3 3 Khaúng ñònh naøo sau ñaây ñuùng? A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû ñuùng. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. - 2 - PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) izeizzf  1 2)()(Caâu 11 (1 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp . iz     93 1 2)( iz iz dzeizIPhaân loại điểm bất thường cô lập . Tính tích phaân . iz  Caâu 12 (2 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình tích phân y(t)= duut t uy )(2cos 0 )(5   te 53 Tính roài döïa vaøo keát quaû ñoù xaùc ñònh giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa sau khoaûng thôøi gian ñuû lôùn. )(lim ty t  )(ty t Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân tyyy 3sin16'7''  vôùi ñieàu kieän 0)0( y vaø 0)0(' y b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, , biểu diễn xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian . Xác định vị trí cân bằng và biên độ dao động này. )(ty t --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. CHUAÅN ÑAÀU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Töø caâu 1 ñeán caâu 10 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Caâu 11: Khai trieån ñöôïc chuoãi Laurent, tính ñöôïc thaëng dö vaø aùp duïng tính tích phaân. Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng. G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngaøy 19 thaùng 12 naêm 2016 Thoâng qua Boä moân Toaùn - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0100-0010-1100-2016-2112-0402 Giaùm thò 1 Giaùm thò 2 Giaùo vieân chaám thi 1&2 ÑIEÅM Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: . Thôøi gian : 90 phuùt (21/12/2016) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm. BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Traû lôøi BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN ÑAÙP AÙN MOÂN HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE (Ngaøy thi: 21/12/2016) PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM Maõ ñeà: 0001-0010-1100-2016-2112-0402 Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Traû lôøi A B A D C D A B B D Maõ ñeà: 0010-0010-1100-2016-2112-0402 Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Traû lôøi B D C A B A D D A B Maõ ñeà: 0011-0010-1100-2016-2112-0402 Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Traû lôøi C D A B A D D A B B Maõ ñeà: 0100-0010-1100-2016-2112-0402 Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Traû lôøi B B A D C A B D D A BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN Caâu hoûi Noäi dung Ñieåm Caâu 11 1 ñieåm Khai trieån Laurent Ta coù: ize  1 =   0 1 ! )( n n iz n =   0 )(! 1 n nizn izezzf  1 2)()( =    0 2 )(! 1)( n nizn iz =  0 2)(! 1 n nizn 0,25ñ - 1 - - 2 -     !2 1 1 )( 2  iziz     ... )(!4 1 )(!3 1 2  iziz Phần đều Phần chính Vì phần chính có vô số số hạng nên iz  là điểm bất thường cốt yếu. Tính tích phaân: Vì hàm số )(zf izeiz  1 2)( giải tích trên \ i và đường tròn 93  iz bao quanh điểm bất thường cô lập iz  nên áp dụng thặng dư ta được    93 1 2)( iz iz dzeizI = 2 i ],)[(Re 2 ieizs iz   1 = 3!3 12 iπiπ  0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ Caâu 12 2ñ Aùp duïng tích chaäp, phöông trình ñöôïc vieát laïi y(t)=   te 53 tty 2cos*)(5 Ñaët Y = Y(p) = L y(t) bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình, aùp duïng tính chaát tuyeán tính vaø ñònh lyù Borel ta ñöôïc Y =  5 13 pp 5L y(t) L cos2t  Y =  5 13 pp 5Y 42 p p Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc Y = )4)(1)(5( )4)(154( 2   pppp pp (*) 415  p D p C p B p A Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm = =)(ty ][1 YL  ] 4 1 1 1 5 11[1   p D p C p B p AL  )(ty  A ttt DeCeBe 45    )(lim tyt t lim ( ) 9415   DeCeBeA tt 3 A (tính A beân dưới) neân sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn .3) t(y Tìm döïa vaøo ñaúng thöùc (*) DCBA ,,, )4)(1)(5( )4)(154( 2   pppp pp (*) 415  p D p C p B p A 3A , 4 29B , 12 55C , 3 5D Vậy nghiệm phương trình tích phân là )(ty  ttt eee 45 3 5 12 55 4 293   0.5ñ 0.5ñ 0.75ñ 0.25ñ Caâu 13 1,5ñ Ñaët = )( pYY   )t(y L . Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình, aùp duïng tính chaát tuyeán tính vaø tính chaát ñaïo haøm haøm goác ta ñöôïc: =   YypYypyYp 6)0(7)0(')0(2   t3sin1L   )67( ppY 2 9 31 2  pp  Y )9)(6)(1( 93 2 2   pppp pp 0.5ñ 0.5ñ Phân tích thành phân thức đơn giản Y  9 3 61)9)(6)(1( 93 2 (*) 2 2    p EDp p C p B p A pppp pp Bieái ñoåi Laplace ngöôïc hai veá vaø aùp duïng tính chaát tuyeán tính ta ñöôïc )(ty = ][YL 1 ] 9 3 96 1 1 11[ 22 1   p E p pD p C p B p AL  )(ty tEtDCeBeA tt 3sin3cos6   Tìm döïa vaøo ñaúng thöùc: DCBA ,,, 9 3 61)9)(6)(1( 93 2 (*) 2 2    p EDp p C p B p A pppp pp A 6 1 )90)(60)(10( 9030 2 2   , 50 7 )9)1)((61)(1( 9)1(3)1( 2 2  B 50 1 )9)6)((16)(6( 9)6(3)6( 2 2  C Từ đẳng thức (*)        9)2( 32 62122104 7:2 91 3 61111140 13:1 2 2 EDCBApCho EDCBApCho Thay 50 1, 50 7, 6 1  CBA vào hệ trên rồi giải tìm ta được ED, 150 1, 150 7  ED Vậy nghiệm phương trình vi phân là )(ty ttee tt 3sin 150 13cos 150 7 50 1 150 7 6 1 6   0.5ñ - 3 - b) Vì 0) 50 1 150 7(lim 6   tt t ee nên sau khoảng thời gian t đủ lớn thì nghiệm phương trình vi phân, ttty 3sin 150 13cos 150 7 6 1)(  . ttty 3sin 150 13cos 150 7 6 1)(  )3sin( 30 2 6 1)3sin 25 13cos 25 7( 30 2 6 1 αttt  (trong đó 25 1cos, 25 7sin  αα ) Vậy sau khoảng thời gian t đủ lớn thì nghiệm phương trình vi phân, , xấp xỉ dao động điều hòa theo thời gian có biên độ dao động )(ty t 30 2 quanh điểm cân bằng có tọa độ 6 1oy . . Cách giải tổng quát như sau: )(ty tEtDCeBeA tt 3sin3cos6   Vì nên sau khoảng thời gian t đủ lớn thì nghiệm phương trình vi phân 0)(lim 6   tt t CeBe )3sin3cos(3sin3cos)( 2222 22 t ED Dt ED DEDAtEtDAty     Đặt 2222 cos,sin ED D ED D      )3sin()3sincos3cos(sin)( 2222 αtEDAtαtαEDAty  Vậy sau khoảng thời gian t đủ lớn thì nghiệm phương trình vi phân, , xấp xỉ dao động điều hòa theo thời gian có biên độ dao động )(ty t 22 ED  quanh điểm cân bằng có tọa độ . Ayo  0.5ñ *** HEÁT*** - 4 -