Đề thi học sinh giỏi Toán 12 - Trường THPT Vinh Lộc, Thừa Thiên Huế

SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI 12 Trường THPT Vinh Lộc NĂM HỌC 2008-2009 MÔN : TOÁN Thời gian: 180 phút ĐỀ: Câu 1: (3điểm) Giải phương trình: Câu 2: (3điểm) Tìm các cặp số (x;y) thỏa phương trình: Câu 3: (3điểm) Trong tất cả các tam giác ABC cho trước, tìm tam giác có: đạt giá trị lớn nhất Câu 4: (4điểm) Giải hệ phương trình: Câu 5: (3điểm) Chứng minh: với nN, n3 Câu 6: (4điểm) Trong mặt phẳng (P), cho . Dựng các đường thẳng Bx, Cy (P) Xác định điểm M trên Bx sao cho mặt cầu đường kính BM tiếp xúc với Cy, biết BC=2a L là một điểm di động trên Bx, L phải ở những vị trí nào để trên Cy có thể tìm được N sao cho vuông tại N? Trong các vị trí của L ở câu b, hãy xác định vị trí sao cho hình chóp ABLNC có thể tích nhỏ nhất. ----------------------------------------------Hết------------------------------------------------------- ĐÁP ÁN: CÂU 1 NỘI DUNG ĐIỂM 0,5 1 0,5 Vậy nghiệm cuả pt(1) là ; ,(kZ) 1 CÂU 2 NỘI DUNG ĐIỂM 0,5 Đặt (*) trở thành 1 Vì nên VT0,VP0 1 , kZ 0,5 CÂU 3 NỘI DUNG ĐIỂM 1 Suy ra f 0,5 Maxf= 0,5 1 CÂU 4 NỘI DUNG ĐIỂM Đặt t=2x-y 0,5 0,5 Đặt Ta có f(t) là hàm giảm, g(t) là hàm số tăng và f(t)=g(t) Do đó 1 Hệ phương trình đã cho 0,5 Đặt Suy ra h(y) là hàm tăng và h(-1)=0 1 Vậy hệ phương trình đã cho 0,5 CÂU 5 NỘI DUNG ĐIỂM Ta có: 0,5 Lấy đạo hàm 2 vế: Cho x=1, ta có: 1,5 Chứng minh 2n-1<n!, nN, n3 (2) bằng phương pháp qui nạp + Kiểm tra (2) đúng khi n=3 + Giả sử (2) đúng khi n=k>3,k N, tức là ta có: 2k-1<k! Ta chứng minh (2) đúng khi n=k+1, ta chứng minh: 2k<(k+1)! Vì 2<3k<k+1 nên:2k=2.2k-1<2.k!<(k+1)k!=(k+1)! Suy ra điều phải chứng minh 1 CÂU 6 NỘI DUNG ĐIỂM Câu a Mặt cầu đường kính BM tiếp xúcCy khi và chỉ khi d(Bx,Cy)=BC= Vậy BM=4a. Có 2 điểm M1, M2 trên đường Bx thỏa mãn điều kiện này 1 Câu b Muốn có điểm N để , thì mặt cầu đường kính BL phải cắt Cy. Suy ra BL4a, khi đó L phải nằm ngoài (M1,M2).Nếu L nằm ngoài đoạn [M1,M2], thì với mỗi điểm L trên Bx có 2 điểm N1,N2 thuộc Cy sao cho 1 Câu c Đặt BL=y, CN=x. Do tam giác BNL vuông tại N nên BL2=BN2+NL2 1 Hạ đường cao AH của tam giác ABC. AH cũng là đường cao của hình chóp ABLNC và , đáy BLNC là hình thang vuông nên: Giá trị y=BL=>4a, nên chấp nhận được 1