Đề thi Xác suất thống kê - Học kì 20153 (Có đáp án)

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC 1 ĐỀ 1 ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ – Học kì 20153 Mã học phần: MI2020 Thời gian: 90 phút Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị phải ký xác nhận số đề vào bài thi Câu 1. Tung ngẫu nhiên 8 lần một đồng xu (khả năng ra mặt sấp và ngửa là như nhau ở mỗi lần tung). Tính xác suất để: a. Được mặt sấp ở các lần gieo chẵn. b. Chỉ được mặt sấp ở các lần gieo chẵn. Câu 2. Một hộp có 20 sản phẩm, số chính phẩm có trong 20 sản phẩm đó là ngẫu nhiên và có khả năng xảy ra như nhau. Người ta bỏ thêm vào hộp đó 1 chính phẩm, sau đó từ hộp này lại lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó là chính phẩm. Câu 3. Tuổi thọ của một loài côn trùng nào đó là biến ngẫu nhiên X (tháng tuổi) có hàm mật độ xác suất như sau: 2 (4 ) 0 4 ( ) 0 [0;4] ax x x f x x        a. Xác định a, tìm tỷ lệ côn trùng sống không quá 1 tháng tuổi. b. Xác định mod(X). Câu 4. Nghiên cứu số vụ tai nạn giao thông xảy ra hàng ngày ở một khu vực ta có bảng số liệu sau: Số vụ tai nạn 0 1 2 3 4 5 6 7 Số ngày 229 211 93 35 7 0 0 1 Với độ tin cậy 90%, hãy ước lượng khoảng đối xứng cho số tai nạn trung bình hàng ngày trong khu vực trên. Câu 5. Có người đưa ra ý kiến tỷ lệ ngày có xảy ra tai nạn bằng 60%. Với số liệu thu được ở trên và với mức ý nghĩa 5%, hãy kết luận về ý kiến trên. Chú ý: Không được sử dụng tài liệu Phụ lục. Trích các số Bảng hàm phân phối chuẩn    x t dtex 2/ 2 2 1 )(  x 1,282 1,645 1,96 2 3  x) 0,9 0,95 0,975 0,9772 0,9987 Hàm Laplace (x) = (x) – 0,5 VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC 2 ĐỀ 2 ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ – Học kì 20153 Mã học phần: MI2020 Thời gian: 90 phút Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị phải ký xác nhận số đề vào bài thi Câu 1. Tung ngẫu nhiên 9 lần một đồng xu (khả năng ra mặt sấp và ngửa là như nhau ở mỗi lần tung). Tính xác suất để: a. Được mặt sấp ở 4 lần gieo đầu. b. Chỉ được mặt sấp ở 4 lần gieo đầu. Câu 2. Một hộp có 24 sản phẩm, số phế phẩm có trong 24 sản phẩm đó là ngẫu nhiên và có khả năng xảy ra như nhau. Người ta bỏ thêm vào hộp đó một chính phẩm, sau đó từ hộp này lại lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó là phế phẩm. Câu 3. Tuổi thọ của một loài côn trùng nào đó là biến ngẫu nhiên X (tháng tuổi) có hàm mật độ xác suất như sau: 2(4 ) 0 2 ( ) 0 [0;2] ax x x f x x        a. Xác định a, tìm tỷ lệ côn trùng sống không quá 1 tháng tuổi. b. Xác định mod(X). Câu 4. Để xác định tốc độ của một phản ứng, người ta tiến hành 60 phép thử đo tốc độ phản ứng đó trong cùng điều kiện và bằng cùng một phương pháp đo. Kết quả thu được như sau: Tốc độ phản ứng 2,68 2,70 2,73 2,74 2,75 2,76 2,79 2,82 Số phép thử 1 4 12 18 17 5 2 1 Với độ tin cậy 90%, hãy ước lượng khoảng đối xứng cho tốc độ phản ứng trung bình theo cách trên. Câu 5. Có người đưa ra ý kiến cho rằng xác suất để “tốc độ phản ứng nhỏ hơn 2,72” là thấp hơn 10%. Với số liệu thu được ở trên và với mức ý nghĩa 5%, hãy kết luận về ý kiến trên. Phụ lục. Trích các số Bảng hàm phân phối chuẩn    x t dtex 2/ 2 2 1 )(  x 1,282 1,645 1,96 2 3 (x) 0,9 0,95 0,975 0,9772 0,9987 Hàm Laplace (x) = (x) – 0,5 VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC 3  ĐÁP ÁN ĐỀ 1 – XÁC SUẤT THỐNG KÊ Câu 1.(2đ) Gọi iA : “lần gieo thứ i được mặt sấp” , 1,2,...,8i  a. Gọi A: “trong 8 lần gieo ta được mặt sấp ở các lần gieo chẵn”, 4 2 4 6 8 2 4 6 8( ) ( . . . ) ( ). ( ). ( ). ( ) 0,5 0,0625P A P A A A A P A P A P A P A    (1đ) b. Gọi B: “trong 8 lần gieo ta chỉ được mặt sấp ở các lần gieo chẵn”, 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 7 8( ) ( . . . . . . . ) ( ). ( )... ( ). ( ) 0,5 0,00391P A P A A A A A A A A P A P A P A P A    (1đ) Câu 2.(2đ) Gọi iA : “trong hộp ban đầu có i chính phẩm”, 0,1,2,...,20i  0 1 20 1 ( ) ( ) ... ( ) 21 P A P A P A    (0,5đ) Gọi H: “sản phẩm lấy ra từ hộp là chính phẩm” 1 ( | ) 0,1,...,20 21 i i P H A i    (0,5đ) 20 20 0 0 1 1 ( ) ( ). ( | ) 21 21 i i i i i P H P A P H A        (0,5đ) 1 1 21.22 11 (1 2 ... 21) 21.21 21.21 2 21        (0,5đ) Câu 3.(2đ) a. 3 4 4 2 4 0 0 64 3 1 (4 ) (4 ) | . 3 4 3 64 x x ax x dx a a a       (0,5đ) 3 4 1 2 1 0 0 3 4 1 13 (4 ) (4 ) | ( ) 0,051 3 4 64 3 4 256 x x ax x dx a        (0,5đ) b. Xét (0;4)x 2 0 '( ) .(8 3 ) 0 8 / 3 x f x a x x x        (0,5đ) Ta có hàm f’(x) dương trong khoảng (0; 8/3) và âm trong khoảng ( ;0) (8 / 3; )   Do đó hàm số f(x) đạt cực đại tại x = 8/3 và đạt cực tiểu tại 0. Do hàm mật độ chỉ khác 0 trong (0;4)x , nên mod(X) = 8/3 (0,5đ) Câu 4.(2đ) Gọi X là số vụ tai nạn giao thông xảy ra trong một ngày, EX  . Chọn thống kê ~ (0;1) X n s  N  (0,5đ) Khoảng tin cậy đối xứng cho  : 1 1 2 2 ; s s x u x u n n               (0,5đ) Với 1 /2 0,951 0,9 0,1 1,645u u         Từ bảng số liệu ta tính được 576 ; 0,932 ; 0,985n x s   (0,5đ) Thay số ta có khoảng tin cậy: (0,8645 ; 0,9995) (0,5đ) VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC 4 Câu 5.(2đ) Gọi p là tỷ lệ số ngày có xảy ra tai nạn. Kiểm định cặp giả thuyết: 0 0 0 1 0 : 0,6 : H p p p H p p    (0,5đ) Chọn thống kê 0 0 0 ~ (0;1) (1 ) f p n p p   N khi 0H đúng Từ bảng số liệu ta tính được 347 576 ; 347 0,6024 576 m n m f n       suy ra giá trị quan sát 0 0 0 0 6024 0 6 576 0 118 1 0 6 0 4 f p , , k n , p ( p ) , . ,       (0,5đ) Với  = 0,05 ta có miền bác bỏ H0: 1 /2 1 /2 0,975 0,975( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; 1,96) (1,96; )w u u u u                 (0,5đ) Do k w nên ta không có cơ sở bác bỏ 0H . Vậy ý kiến đưa ra là đúng. (0,5đ) VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC 5  ĐÁP ÁN ĐỀ 2 – XÁC SUẤT THỐNG KÊ Câu 1.(2đ) Gọi iA : “lần gieo thứ i được mặt sấp” , 1,2,...,9i  a. Gọi A: “trong 9 lần gieo ta được mặt sấp trong 4 lần gieo đầu”, 4 1 2 3 4 1 2 3 4( ) ( . . . ) ( ). ( ). ( ). ( ) 0,5 0,0625P A P A A A A P A P A P A P A    (1đ) b. Gọi B: “trong 9 lần gieo ta chỉ được mặt sấp trong 4 lần gieo đầu”, 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 8 9( ) ( . . . . . . . . ) ( ). ( )... ( ). ( ) 0,5 .0,5 0,00195P A P A A A A A A A A A P A P A P A P A    (1đ) Câu 2.(2đ) Gọi iA : “trong hộp ban đầu có i phế phẩm”, 0,1,2,...,24i  0 1 24 1 ( ) ( ) ... ( ) 25 P A P A P A    (0,5đ) Gọi H: “sản phẩm lấy ra từ hộp là phế phẩm” ( | ) 0,1,...,24 25 i i P H A i  (0,5đ) 24 24 0 0 1 ( ) ( ). ( | ) 25 25 i i i i i P H P A P H A       (0,5đ) 1 1 24.25 12 (0 1 2 ... 24) 25.25 25.25 2 25         (0,5đ) Câu 3.(2đ) a. 4 2 2 2 2 0 0 1 1 (4 ) (2 ) | 4 4 4 x ax x dx a x a a       (0,5đ) 4 1 2 2 1 0 0 1 1 7 (4 ) (2 ) | (2 ) 0,4375 4 4 4 16 x ax x dx a x        (0,5đ) b. Xét (0;2)x 2 4 / 3 2 3 / 3 '( ) .(4 3 ) 0 4 / 3 2 3 / 3 x f x a x x             (0,5đ) Ta có hàm f’(x) dương trong khoảng ( 2 3 / 3 , 2 3 / 3) và âm trong khoảng ( ; 2 3 / 3) (2 3 / 3; )    Do đó hàm số f(x) đạt cực đại tại 2 3 / 3x  và đạt cực tiểu tại 2 3 / 3x   . Do hàm mật độ chỉ khác 0 trong (0;2)x , nên ( ) 2 3 / 3Mod X  (0,5đ) Câu 4.(2đ) Gọi X là tốc độ của phản ứng đang xét, EX  . Chọn thống kê ~ (0;1) X n s  N  (0,5đ) Khoảng tin cậy đối xứng cho  : 1 1 2 2 ; s s x u x u n n               (0,5đ) Với 1 /2 0,951 0,9 0,1 1,645u u         Từ bảng số liệu ta tính được 60 ; 2,742 ; 0,021n x s   (0,5đ) VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC 6 Thay số ta có khoảng tin cậy: (2,738 ; 2,746) (0,5đ) Câu 5.(2đ) Gọi p là xác suất để “tốc độ phản ứng nhỏ hơn 2,72”. Kiểm định cặp giả thuyết: 0 0 0 1 0 : 0,1 : H p p p H p p    (0,5đ) Chọn thống kê 0 0 0 ~ (0;1) (1 ) f p n p p   N khi 0H đúng Từ bảng số liệu ta tính được 5 60 ; 5 60 m n m f n      suy ra giá trị quan sát 0 0 0 1 12 0 1 60 0 43 1 0 1 0 9 f p / , k n , p ( p ) , . ,        (0,5đ) Với  = 0,05 ta có miền bác bỏ H0: 1 0,95( ; ) ( ; ) ( ; 1,645)w u u          (0,5đ) Do k w nên ta không có cơ sở bác bỏ 0H . Vậy ý kiến đưa ra là sai. (0,5đ)