Giáo trình Đại số tuyến tính - Chương 1: Logic, tập hợp, ánh xạ, số phức

g logic: Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 2 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ x y x y 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1.2. Sơ lược về lý thuyết tập hợp 1.2.1. Tập hợp và phần tử, cách cho tập hợp, tập hợp con, tập hợp bằng nhau 1.2.1.1. Tập hợp a. Khái niệm Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không được định nghĩa, mà được hiểu một cách trực giác như sau: “Một tập hợp là một sự quần tụ các đối tượng có cùng thuộc tính nào đó; những đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp đó. b. Ví dụ Ví dụ 1: - Tập hợp các sinh viên của một trường đại học. - Tập hợp các số nguyên tố. Ta thường ký hiệu tập hợp bởi chữ cái viết hoa như A, B, C, , X, Y, Z, và các phần tử của tập hợp thường được ký hiệu bởi một chữ cái viết thường a, b, x, y. Để chỉ phần tử a thuộc tập hợp A, ta viết a A và đọc là “a thuộc A”. Nếu b không phải là phần tử của A thì ta ký hiệu b A và đọc là “b không thuộc A”. Ví dụ 2: - N là tập hợp các số tự nhiên - Z là tập hợp các số nguyên - R là tập hợp các số thực - Q là tập hợp các số hữu tỉ -  1;2;3S = là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 4. - Tập rỗng là tập hợp không có phần tử nào. Ký hiệu:  . Ví dụ 3: tập hợp các số thực mà bình phương của số đó bằng – 1 là tập rỗng. 1.2.1.2. Cách cho một tập hợp Một tập hợp có thể được xác định bằng các cách như: - Phương pháp liệt kê: Một tập hợp có thể xác định bằng cách liệt kê ra hết các phần tử thuộc tập hợp đó. Phương pháp này chỉ dùng đối với tập hợp hữu hạn. Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 3 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ví dụ: A = {1; 3; 4; 5; 7} - Phương pháp chỉ ra thuộc tính đặc trưng: Một tập hợp có thể nhận biết bằng cách chỉ ra thuộc tính của đối tượng và dựa vào thuộc tính này ta có thể biết phần tử nào đó có thuộc tập hợp này hay không. Ví dụ:  |B M OM r= = là tập hợp các điểm nằm trên mặt cầu tâm O bán kính r.  | : 3C n N n=  là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3. 1.2.1.3. Tập hợp con a. Định nghĩa: Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì khi đó ta nói tập A chứa trong B, hay tập A là tập hợp con của tập hợp B. Ký hiệu: A B Ví dụ: - Z Q R  - Tập hợp {1; 3} là tập hợp con của tập hợp {1; 2; 3} - Tập hợp các tam giác đều là tập hợp con của tập hợp các tam giác. b. Tính chất: - Với mọi tập hợp A thì A A ; - Với mọi tập hợp A thì A ; - Nếu A B và B C thì A C (tính chất bắc cầu); - Nếu A B và B A thì A B= . 1.2.1.4. Tập hợp bằng nhau Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi mọi phần tử của A đều là phần tử của B và ngược lại mỗi phần tử của B đều là phần tử của A. Khi đó ta viết A = B. Từ định nghĩa muốn chứng minh A = B phải chứng minh các điều sau: - Nếu x A thì x B - Nếu x B thì x A 1.2.2. Các phép toán trên tập hợp 1.2.2.1. Hợp của các tập hợp a. Định nghĩa: Cho A và B là hai tập hợp tùy ý, ta gọi tập hợp C gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập A, B là hợp của hai tập A, B. Ký hiệu:C A B=  hoặc { |A B x x A =  hoặc }x B Biểu đồ Venn: A B A Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 4 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ví dụ: Nếu định nghĩa A, B, C là các tập như sau: { | ( ) 0}A x f x= = và { | ( ) 0}B x g x= = thì { | ( ). ( ) 0}C x f x g x= = . Khi đó C A B=  b. Định lý: Với A, B, C là các tập nào đó khi đó Nếu B A thì A B A = ; ii) Với mọi tập hợp A thì A A= và A A A = ; iii) A B B A =  ; iv) ( ) ( )A B C A B C  =   . 1.2.2.2 Giao của các tập hợp a. Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý. Ta gọi tập hợp C gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp A, B là giao của hai tập hợp A, B. Ký hiệu: { | à }C A B x x A v x B=  =   Biểu đồ Venn: Định lý: Với A, B, C là các tập hợp tùy ý thì ta có các khẳng định sau: Nếu B A thì A B B = . Với mọi tập hợp A thì A= và A A A = ; A B B A =  ; ( ) ( )A B C A B C  =   . b. Định lý: Cho A, B, C là các tập tùy ý khi đó: i) ( )A A B A  = ; ii) ( )A B B B  = ; iii) ( ) ( ) ( )A B C A B A C  =    ; iv) ( ) ( ) ( )A B C A B A C  =    . 1.2.2.3 Hiệu của hai tập hợp a. Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý. Ta gọi tập hợp C gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B là hiệu của tập A và tập B. Ký hiệu: C = A\B hoặc \ { | và }A B x x A x B=   A B A Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 5 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Biểu đồ Venn: b. Định lý: Với A, B, C, D là các tập nào đó, khi đó: i) \A B = khi và chỉ khi A B ; ii) Với A, B bất kỳ thì \A B A ; iii) Nếu A B và D C thì \ \A C B D ; iv) Nếu A B thì với tập C bất kỳ ta có \ \C B C A . 1.2.2.4. Phần bù a. Định nghĩa: Nếu B A thì A\B được gọi là phần bù của B trong A, ký hiệu ( )AC B hay ( ) { | }AC B x A x B=   . Thực chất phần bù ( )AC B là hiệu A\B với điều kiện B A nên mọi tính chất liên quan đến phần bù được suy ra từ tính chất của phép hiệu A\B. b. Định lý: Với các tập A, B, C tùy ý ta có - \ ( ) ( \ ) ( \ )A B C A B A C =  ; - \ ( ) ( \ ) ( \ )A B C A B A C =  . Công thức đối ngẫu De Morgan - ( ) ( ( ))A i A i i i C B C B= ; - ( ) ( ( ))A i A i i i C B C B= . Ta có thể phát biểu phần bù của hợp bằng giao các phần bù, phần bù của giao bằng hợp các phần bù. 1.2.2.5. Hiệu đối xứng của A và B: Ký hiệu: ( \ ) ( \ )A B A B B A =  Biểu đồ Venn: A B A B Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 6 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1.2.3. Tích Decartes của hai hay nhiều tập hợp Giả sử a và b là hai đối tượng bất kỳ, từ hai đối tượng này ta thành lập đối tượng thứ ba ký hiệu (a; b) và gọi là cặp (a; b). Hai cặp (a; b) và (c; d) được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi a = c và b = d. Nếu a b thì cặp (a; b) và (b; a) được coi là khác nhau. 1.2.3.1. Định nghĩa: Tích Descartes của n tập hợp 1 2, ,..., nA A A là tập hợp gồm tất cả các dãy sắp thứ tự 1 2( ; ;...; )na a a trong đó 1 1 2 2, ,..., n na A a A a A   . Ta ký hiệu tích Descartes trên là 1 2 ... nA A A   . Nếu 1 2 ... nA A A= = = thì tích Descartes của chúng được ký hiệu là nA . 1.2.3.2. Ví dụ: Cho 1 { ; }A a b= , 2 3{ ; }, {1;2}A c d A= = . Khi đó: 1 2 3 {( ; ;1), ( ; ;1), ( ; ;2), ( ; ;2), ( ; ;1), ( ; ;2), ( ; ;1), ( ; ;2)}A A A a c a d a c a d b c b c b d b d  = 1.2.3.3. Nhận xét: A B = khi và chỉ khi A= hoặc B = . Nếu A B  thì ' 'A B A B   khi và chỉ khi 'A A và 'B B . 1.3. Ánh xạ 1.3.1. Định nghĩa, ví dụ 1.3.1.1. Định nghĩa Cho hai tập hợp X và Y. Một quy tắc tương ứng f mỗi phần tử x X với một và chỉ một phần tử y Y được gọi là ánh xạ từ tập X vào tập Y. Ký hiệu: :f X Y→ hoặc fX Y⎯⎯→ . Phần tử y Y , tương ứng với phần tử x X qua ánh xạ f, khi đó, x được gọi là tạo ảnh của y và y được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f. Ngoài ra, X được gọi là tập nguồn (miền xác định), Y còn được gọi là tập đích (miền giá trị) của ánh xạ f. 1.3.1.2. Ví dụ Hàm số y = x – 1 là ánh xạ từ tập số thực vào Hàm số lgy x= là ánh xạ từ + vào Phép tương ứng mỗi số x + với một số y sao cho 2x y= không là ánh xạ vì với một giá trị 0x  ta sẽ có hai giá trị của y là: y x= và y x= − đều tương ứng với x. Phép tương ứng :f → sao cho 1 ( ) 1 f x x = + không phải là ánh xạ vì với 1x = −  thì không có y tương ứng với x đã cho. Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 7 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1.3.2. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh, tập ảnh, tập nghịch ảnh 1.3.2.1. Đơn ánh a. Định nghĩa: Ánh xạ :f X Y→ được gọi là một đơn ánh nếu với hai phần tử khác nhau 1x và 2x bất kỳ của X thì 1 2( ) ( )f x f x . Nói cách khác, f là một đơn ánh nếu mọi phần tử của tập đích chỉ có tối đa một tạo ảnh trong tập nguồn. Từ định nghĩa trên, để chứng minh f là một đơn ánh ta chứng minh: 1 2 1 2, ,x x X x x   thì 1 2( ) ( )f x f x . Hoặc 1 2 1 2, , ( ) ( )x x X f x f x  = thì 1 2x x= . b. Ví dụ: Ánh xạ :f → xác định bởi 2( )f x x= không là đơn ánh vì f(1) = f(-1) = 1. Ánh xạ :f → xác định bởi 1 ( )f n n = là một đơn ánh vì với hai số tự nhiên khác nhau m, n thì 1 1 n m  . Nếu A E , ánh xạ nhúng chính tắc : Ai A E x x → là một đơn ánh được gọi là đơn ánh chính tắc từ A vào E. 1.3.2.2. Toàn ánh a. Định nghĩa: Ánh xạ :f X Y→ được gọi là một toàn ánh nếu f(X) = Y. Nói cách khác :f X Y→ là toàn ánh nếu với mọi y Y đều tồn tại x X sao cho f(x) = y. Toàn ánh :f X Y→ còn được gọi là ánh xạ toàn ánh từ X lên Y. Từ định nghĩa trên, để chứng minh f là một toàn ánh thì ta cần chứng minh ,y Y x X    sao cho f(x) = y. Nhận xét: Nói cách khác một ánh xạ :f X Y→ là toàn ánh khi và chỉ khi mọi phần tử của Y có ít nhất một tạo ảnh trong X. b. Ví dụ: Ánh xạ :f → xác định bởi công thức ( ) cosf x x= không là toàn ánh vì tồn tại số 2 mà không có x để cos 2x = . Tuy nhiên nếu xét ánh xạ g từ tập số thực vào đoạn [-1, 1] thì g là toàn ánh. 1.3.2.3. Song ánh a. Định nghĩa: Ánh xạ :f X Y→ được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Để chứng minh một ánh xạ f là song ánh thì ta phải chứng minh f là đơn ánh và f là toàn ánh, hoặc chứng minh rằng y Y  tồn tại duy nhất x X sao cho ( )f x y= . b. Ví dụ: Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 8 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ánh xạ đồng nhất 1 :X X X→ là một song ánh. Ánh xạ 2 : f x x → không là song ánh vì nó không phải là toàn ánh (cũng không là đơn ánh). Nhận xét: Một ánh xạ bất kỳ từ E vào E gọi là một hoán vị của E. Ví dụ: Cho : 2 f x x → Và :g → 2 1 2 y y y    −  Khi đó f là đơn ánh không là toàn ánh. g là toàn ánh không là đơn ánh. (Sinh viên tự kiểm tra.) 1.3.2.4. Tập ảnh a. Định nghĩa: Cho ánh xạ :f X Y→ và A là một tập con của X. Tập con của Y gồm ảnh của tất cả các phần tử của A được gọi là ảnh của tập A qua ánh xạ f. Ký hiệu: f(A). Hay, ( ) { ( ) | }f A f x x A=  . Khi đó, ( ) , ( )y f A x A y f x    = . b. Định lý: Cho ánh xạ :f X Y→ . Với hai tập con tùy ý A và B của X ta có: ( ) ( ) ( )f A B f A f B =  và ( ) ( ) ( )f A B f A f B   . (Sinh viên tự chứng minh như bài tập.) 1.3.2.5. Tập nghịch ảnh a. Định nghĩa: Cho ánh xạ :f X Y→ và U là một tập con tùy ý của Y. Tập con của X gồm các phần tử x X sao cho ( )f x U được gọi là tạo ảnh toàn phần của U qua ánh xạ f. Ký hiệu: 1( )f U− . Khi đó, 1( ) { | ( ) }f U x X f x U− =   và 1( ) ( )x f U f x U−   . b. Định lý: Cho ánh xạ :f X Y→ . Với hai tập con bất kỳ A, B của Y thì 1 1 1( ) ( ) ( )f A B f A f B− − − =  ; 1 1 1( ) ( ) ( )f A B f A f B− − − =  . (Sinh viên tự chứng minh như bài tập nhỏ). Nếu y lẻ Nếu y chẵn Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 9 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1.3.3. Tích ánh xạ, ánh xạ ngược 1.3.3.1. Tích các ánh xạ a. Định nghĩa: Cho hai ánh xạ :f X Y→ và :g Y Z→ . Ánh xạ : ( ( )) h X Z x g f x → được gọi là ánh xạ tích của hai ánh xạ f và g. Ký hiệu h g f= hay h = gf. Nhận xét: Theo định nghĩa ta chỉ xác định được tích gf khi tập đích của f chứa trong tập nguồn của g. Nếu :f X X→ và :g X X→ thì ta có thể xác định được tích fg và tích gf, tuy nhiên gf có thể khác với fg, hay tích của hai ánh xạ không giao hoán. Ví dụ: Nếu f và g là hai ví dụ cho ở trên thì Ng f Id= nhưng : 1 f g x x x →   − b. Định lý 1: Cho :f X Y→ , :g Y T→ và :h T U→ thì h(gf)=(hg)f. c. Định lý 2: Giả sử :f X Y→ và :g Y T→ là hai ánh xạ và :h gf X T= → . Khi đó: i) Nếu f, g là các đơn ánh thì h là đơn ánh; ii) Nếu h là đơn ánh thì f là đơn ánh; iii) Nếu h là đơn ánh và f là toàn ánh thì g là đơn ánh; iv) Nếu f, g là toàn ánh thì h là toàn ánh; v) Nếu h là toàn ánh thì g là toàn ánh; vi) Nếu h là toàn ánh và g là đơn ánh thì f là toàn ánh. d. Hệ quả: Giả sử :f X Y→ và :g Y T→ là các song ánh thì gf cũng là song ánh. 1.3.3.2. Ánh xạ ngược a. Định nghĩa: Giả sử :f X Y→ và :g Y X→ là hai ánh xạ thỏa: 1Xgf = và 1Yfg = thì khi đó g được gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f. Ví dụ: Ánh xạ 3 : f x x → có ánh xạ ngược 1 3 : y f y − → Trong trường hợp các hàm, khái niệm ánh xạ ngược chính là khái niệm hàm số ngược. b. Định lý 1: Ánh xạ :f X Y→ có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh. Nếu f là song ánh thì 1f − cũng là song ánh. c. Định lý 2: Ánh xạ ngược của một ánh xạ là duy nhất. d. Định lý 3: Nếu : f E F→ và :g F G→ là những song ánh, thì :g f E G→ là song ánh và ( ) 1 1 1g f f g − − −= Nếu y chẵn Nếu y lẻ Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 10 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1.4. Đại cương về Đại số cấu trúc 1.4.1. Phép toán hai ngôi 1.4.1.1. Định nghĩa: Cho X là một tập hợp, ta nói S là một quan hệ hai ngôi trên X nếu S là một tập con của tích Descartes 2X . Nếu hai phần tử a, b thỏa ( ; )a b S thì ta nói a có quan hệ S với b. Khi đó, thay vì viết ( ; )a b S ta có thể viết là aSb. 1.4.1.2.Ví dụ: - Quan hệ chia hết trong tập hợp số tự nhiên. - Quan hệ bằng nhau. - Quan hệ lớn hơn. 1.4.1.3. Một số quan hệ thường gặp: a. Quan hệ tương đương: Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi trên tập X được gọi là quan hệ tương đương nếu nó thỏa các tính chất sau: Phản xạ: xSx, với mọi x X , Đối xứng: Nếu xSy thì ySx, với mọi ,x y X . Bắc cầu: Nếu xSy và ySz thì xSz với mọi , ,x y z X . Khi trên tập X đã xác định một quan hệ tương đương, khi đó thay vì viết xSy ta thường ký hiệu x y . Ví dụ: Quan hệ bằng nhau ở các tập hợp số ; ; ; ... là một quan hệ tương đương vì thỏa các tính chất phản xạ; đối xứng; bắc cầu. Xét trong quan hệ S xác định bởi 2 2xSy x y x y − = − là một quan hệ tương đương. Gọi X là tập các đường thẳng trong mặt phẳng, quan hệ cùng phương của hai đường thẳng bất kỳ trong mặt phẳng là quan hệ tương đương. (Chú ý: Hai đường thẳng được gọi là cùng phương là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.) Quan hệ vuông góc giữa các đường thẳng trong mặt phẳng không phải là quan hệ tương đương vì không thỏa tính phản xạ. Quan hệ chia hết cho trong tập hợp số tự nhiên không phải là quan hệ tương đương vì không có tính chất đối xứng. Quan hệ “nguyên tố cùng nhau” trên tập hợp số tự nhiên không là quan hệ tương đương vì không có tính chất bắt cầu. Ví dụ (2, 3) = 1; (4, 3) = 1 nhưng (4, 2) 1 . Cho S là một quan hệ tương đương trên tập X và x X . Ta gọi tập hợp ( ) { | }S x y X y x=  là lớp tương đương của x theo quan hệ tương đương S. Khi đó ta có: Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 11 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ - ( )S x   vì ( )x S x . - ( ) x X S x X  = . - ,x y X  thì hoặc S(x) = S(y) hoặc ( ) ( )S x S y = . Từ tính chất trên ta nhận được một phân hoạch của X qua các lớp tương đương S(x). Tập hợp tất cả các lớp tương đương này được ký hiệu là X/S và gọi là tập thương của X qua quan hệ tương đương S. b. Quan hệ thứ tự: Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi S trên tập X được gọi là quan hệ thứ tự nếu quan hệ đó có các tính chất: phản xạ, bắc cầu và phản đối xứng (tức là nếu xSy và ySx thì suy ra x = y với mọi ,x y X ). Nếu tập X có một quan hệ thứ tự bộ phận S thì ta nói X là một tập được sắp thứ tự bởi S. Ta thường dùng ký hiệu  để chỉ một quan hệ thứ tự bộ phận. Với hai phần tử ,x y X , nếu x có quan hệ với y ta viết x y (đọc là “x bé hơn hay bằng y”) hoặc viết y x (đọc là “y lớn hơn hay bằng x”). Khi x y thì thay cho x y (hay y x ) ta viết x x) và đọc là “x bé hơn y” (hay “y lớn hơn x”). Quan hệ thứ tự  trong X được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần (hay tuyến tính) nếu với mọi ,x y X ta đều có x y hoặc y x . Một quan hệ thứ tự không toàn phần gọi là quan hệ thứ tự bộ phận (hay từng phần). Các phần tử đặc biệt. Quan hệ thứ tự tốt. Cho X là tập được sắp thứ tự bởi  và A là một tập con của X. Phần tử a A được gọi là phần tử bé nhất (lớn nhất) của A nếu với mọi x A thì a x ( x a ). Phần tử a A được gọi là phần tử tối tiểu (tối đại) của A nếu với mọi , , ( )x A x a x a a x a x   =   = . Phần tử 0x X được gọi là cận dưới (cận trên) của A nếu với mọi 0 0: ( ).a A x a a x   Quan hệ thứ tự  trong X được gọi là một quan hệ thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của X đều có phần tử bé nhất. Khi đó, X gọi là được sắp tốt bởi  . Ví dụ: 1) Cho X là một tập hợp, trên P(X) ta xét quan hệ bao hàm  . Ta chứng minh được đây là một quan hệ thứ tự bộ phận trên P(X). Ngoài ra, nếu X chứa ít nhất hai phần tử x y thì quan hệ thứ tự trên không phải tuyến tính (hay quan hệ thứ tự toàn phần) vì {x} không so sánh được với {y}. Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 12 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2) Quan hệ thứ tự thông thường trên tập hợp các số nguyên là một quan hệ thứ tự tuyến tính, nhưng không phải quan hệ thứ tự tốt vì không phải mọi tập con khác rỗng của đều có phần tử bé nhất. Ví dụ: Tập {..., - 2, -1, 0} không có phần tử tối tiểu. 3) Quan hệ chia hết trên tập hợp số tự nhiên là một quan hệ thứ tự bộ phận, nhưng không phải là quan hệ tuyến tính. 4) Quan hệ thứ tự thông thường trên tập hợp số tự nhiên là một quan hệ thứ tự tuyến tính, hơn nữa đây còn là một quan hệ thứ tự tốt. Với phần tử bé nhất là phần tử 0, nhưng không có phần tử lớn nhất. 5) Trong tập các số tự nhiên lớn hơn 1, sắp thứ tự theo quan hệ chia hết các phần tử tối tiểu là các số nguyên tố. c. Các nguyên lý tương đương: Tiên đề chọn: Với mọi họ không rỗng ( ) IX  các tập hợp khác rỗng ,X I   đều có một ánh xạ : I f I X  → sao cho ( )f X  với mọi I . Nguyên lý sắp tốt: Mọi tập hợp không rỗng đều có thể được sắp tốt (tức là tồn tại một quan hệ thứ tự tốt trên tập đó). Bổ đề Zorn: Cho X là một tập không rỗng được sắp thứ tự bởi  . Nếu mọi tập con A của X được sắp toàn phần bởi  , đều có cận trên thì X có phần tử tối đại. 1.4.2. Giới thiệu cấu trúc nhóm, vành, trường 1.4.2.1. Nhóm a. Định nghĩa Nhóm là một vị nhóm mà mọi phần tử đều khả đối xứng. Nói cách khác, tập hợp G khác rỗng với phép toán nhân được gọi là một nhóm nếu các tính chất sau được thỏa: (G1) Với mọi , , , ( ) ( )x y z G xy z x yz = ; (G2) Tồn tại e G sao cho với mọi , exx G xe x = = ; (G3) Với mọi x G , tồn tại 1x G−  sao cho 1 1xx x x e− −= = . Nếu phép toán trên G là phép cộng thì các tính chất trên trở thành: (G1) Với mọi , , , ( ) ( )x y z G x y z x y z + + = + + ; (G2) Tồn tại 0 G sao cho với mọi ,0 x 0x G x x + = + = ; (G3) Với mọi x G , tồn tại 1x G−  sao cho ( ) ( ) x 0x x x+ − = − + = . Trường hợp phép toán trên nhóm G giao hoán thì ta nói G là nhóm giao hoán hay là nhóm Abel. Nhóm G được gọi là nhóm hữu hạn khi tập hợp G hữu hạn. Khi đó số phần tử của G được gọi là cấp của nhóm G. Nếu nhóm G không hữu hạn thì ta nói G là nhóm vô hạn. Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 13 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b. Định lý. Cho nhóm (G,.) và 1, , ,..., nx y x x G . Khi đó: i) Phần tử đơn vị e là duy nhất. ii) Phần tử nghịch đảo 1x− của x là duy nhất và ( ) 1 1x x − − = . iii) xy = e khỉ và chỉ khi yx = e. Hơn nữa khỉ đó 1y x−= iv) ( ) 1 11 1... ...n nx x x x − −= . Đặc biệt ( ) ( ) 1 1 1nx x − − −= với mọi n nguyên dương. v) Phép toán nhân có tính giản ước, nghĩa là với mọi , ,x y z G , từ đẳng thức xy = xz hay yx = zx đều dẫn đến y = z. c. Ký hiệu Trong nhóm nhân (G,.) ta dùng ký hiệu nx để chỉ phần tử ( )1 n x− với mọi n nguyên dương và đặt x0 = e. Như vậy ta đã định nghĩa lũy thừa bậc n của một phần tử bất kỳ trong một nhóm nhân với n nguyên. Chú ý rằng, do tính chất (iv) trong Định lý 1.4.2.1b, các công thức ( ) n m mnx x= (hay ( )mx nx m n x+ = + và ( ) ( )m nx mn x= đối với nhóm cộng) vẫn còn đúng với mọi m, n nguyên. d. Định lý. Cho (G,.) là một nửa nhóm khác rỗng. Các mệnh đề sau tương đương: i) (G,.) là một nhóm; ii) Với mọi ,a b G , các phương trình ax = b và ya = b đều có nghiệm trong G; iii) Trong G có phần tử đơn vị trái e và với mọi x G , tồn tại 'x G sao cho x'x = e; iv) Trong G có phần tử đơn vị phải e' và với mọi x G , tồn tại ''x G sao cho xx" = e'. 1.4.2.2. Vành a. Định nghĩa Vành là một tập hợp R cùng với hai phép toán cộng và nhân thỏa các tính chất sau: (R1) (R, +) là nhóm Abel; (R2) (R,.) là nửa nhóm; (R3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, nghĩa là với mọi , ,x y z R , ta có ( ) ; ( ) yx . x y z xy xz y z x zx + = + + = + Phần tử trung hòa của phép cộng đuợc gọi là phần tử không, ký hiệu là 0; phần tử đối xứng của phần tử x R là phần tử đối của x ký hiệu là -x. Nếu phép nhân giao hoán thì ta nói vành R giao hoán; nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì vành R đuợc gọi là vành có đơn vị. Phần tử đơn vị đuợc ký hiệu là e hay 1. b. Nhận xét Cho R là vành có đơn vị e. Phần tử x R được gọi là khả nghịch nếu x khả đối xứng với phép nhân, nghĩa là tồn tại y R sao cho xy = yx = e. Ký hiệu * { |R x R x=  khả nghịch}. Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 14 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Khi đó R* lằ một nhóm đối với phép nhân, gọi là nhóm các phần tử khả nghịch của R. c. Ví dụ 1) Tập hợp các số nguyên Z với phép cộng và phép nhân thông thường là vành giao hoán, có đơn vị, gọi là vành các số nguyên. Tương tự ta cũng có vành các số hữu tỷ Q, vành các số thực vành các số phức C. 2) Trên nhóm cộng Zn các số nguyên modulo n, ta định nghĩa phép toán nhân như sau: với mọi: , ,nx y Z xy xy = . Khi đó Zn trở thành vành giao hoán có đơn vị 1 . 3) Tập M(n,R) các ma trận vuông cấp n với hệ số thực cùng với phép cộng và nhân ma trận thông thường là vành có đơn vị. Vành này không giao hoán nếu 2n  . 4) Cho (G, +) là một nhóm Abel. Tập hợp End(G) các tự đồng cấu của nhóm G là vành có đơn vị với phép cộng định bởi: ( )( ) ( ) ( ), , ( ),f g x f x g x f g End G x G+ = +     và phép nhân là phép hợp nối ánh xạ. Vành này không giao hoán nếu 2G  . 5) Giả sử 1 2,R ,..., nR R là các vành. Khi đó tích Descartes  1 2 1 1 2 2 1 ( , ,..., x ) | , ,..., n i n n n i R x x x R x R x R = =    cùng với phép cộng ( ) ( ) ( )i i i ix y x y+ = + và phép nhân ( )(y ) ( y )i i i ix x= , là một vành, gọi là vành tích trực tiếp của 1 2,R ,..., nR R . Hiển nhiên nếu mọi vành R i đều giao hoán (tương ứng, có đơn vị) thì vành tích trực tiếp cũng giao hoán (tương ứng, có đơn vị). Từ Định nghĩa 1.4.2.2a ta có mệnh đề sau : 1.4.2.4. Mệnh đề. Cho R là một vành. Khi đó với mọi , ,x y z R và n Z ta có: i) ( )x y z xy xz− = − và ( ) yxy z x zx− = − . ii) 0 0 0x x= = . iii) ( ) ( ) ( )x y x y xy− = − = − và ( )( y) xyx− − = . iv) (nx) y x(ny) n(xy)= = . Đặc biệt, nếu R có đơn vị e thì nx (ne) x x(ne)= = . 1.4.2.3. Trường a. Định nghĩa trường Cho tập hợp K có ít nhất hai phần tử. Trên K có hai phép toán là phép cộng (ký hiệu là +) và phép nhân (ký hiệu là . hoặc  ). K cùng với hai phép toán đó được gọi là một trường nếu thỏa mãn 9 tính chất sau: 1. Phép cộng có tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c), , ,a b c K  . 2. Có phần tử 0 K sao cho: 0 + a = a + 0 = a, a K  . Phần tử 0 được gọi là phần tử trung lập. Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 15 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3. Với mỗi phần tử a K luôn tồn tại một phần tử 'a K sao cho: ( ') ( ') a 0a a a+ = + = . Phần tử a' được gọi là phần tử đối của a và được ký hiệu là -a. 4. Phép cộng có tính chất giao hoán: a + b = b + a, ,a b K  . 5. Phép nhân có tính chất kết hợp: (a.b).c = a.(b.c), , ,a b c K  . 6. Có phần tử 1 K sao cho với mọi phần tử a ta có: .1 1.a a a= = . Phần tử 1 được gọi là phần tử đơn vị của phép nhân trên K . 7. Với mỗi phần tử 0a  luôn có phần tử 'a K sao cho . ' '. 1a a a a= = . Phần tử a' được gọi là phần tử nghịch đảo của a và được ký hiệu là 1a− . 8. Phép nhân có tính chất giao hoán: a.b = b.a, ,a b K  . 9. Phép nhân phân phối đối vớiphép cộng: .( ) . .a b c a b a c+ = + và ( ). . .b c a b a c a+ = + , , ,a b c K  Các tính chất trên còn được gọi là các tiên đề của trường. Ví dụ: • Tập hợp các số thực R với phép toán cộng và nhân thông thường là một trường. • Xét các tập hợp số N, Z , Q cùng hai phép toán cộng và nhân thông thường. • Phần tử 4 N nhưng không có phần tử a N sao cho 4 + a = 0 nên tập số tự nhiên N không phải là một trường (tiên đề 3 không được thoả mãn). • Số nguyên 2 0 nhưng không có một số nguyên x nào thỏa mãn 2.x = 1, do đó tập số nguyên Z không phải là một trường (tiên đề7 không được thoả mãn). • Tập hợp số hữu tỷ Q với các phép toán cộng và nhân thông thường là một trường vì nó thỏa mãn cả 9 tiên đề của trường. Số 0 chính là phần tử trung lập, số 1 chính là phần tử đơn vị của trường Q . Nếu a Q thì đối của a là -a, nghịch đảo của 0a  là 1 a . b. Một số tính chất của trường Cho K là một trường, , ,a b c K , khi đó: Tính chất 1 (Luật giản ước đối với phép cộng) Nếu a + b = a + c (1) thì b = c. Tính chất 2 (Quy tắc chuyển vế) Định nghĩa a - b = a + (-b). Khi đó nếu a + b = c (2) thì a = c - b. Tính chất 3 a.0 = 0.a = 0. Tính chất 4 Nếu a.b = 0 thì a = 0 hoặc b = 0. Tính chất 5 a.(-b) = (-a).b = -(a.b) Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 16 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Tính chất 6 ( )a b c ab ac− = − Tính chất 7 Nếu a.b = a.c và 0a  thì b = c. 1.5. Số phức 1.5.1. Nhắc lại một số kiến thức về số phức Số phức được sử dụng để giải phương trình bậc hai 2 0ax bx c+ + = khi 2 4 0b ac = −  . Ta xét tập hợp sau: { | , }a bi a b= +  , trong đó i được gọi là đơn vị ảo thỏa mãn 2 1i = − . Trong tập hợp này, ta xác định hai phép toán như sau: Phép cộng +: Với mọi ,a bi c di+ +  thì ( ) ( ) ( ) ( ) .a bi c di a c b d i+ + + = + + + Phép nhân .: Với mọi ,a bi c di+ +  thì ( )( ) ( ) ( )a bi c di ac bd ad bc i+ + = − + + Nhận xét: Nếu z a bi= + và ' ' 'z a b i= + thì ' ( ') ( ')z z a a b b i− = − + − và 2 2 2 2' z ac bd bc ad i z c d c d + −    = +    + +    Định nghĩa: Tập hợp với hai phép toán như trên được gọi là trường số phức. Ký hiệu: . Một số dạng a + bi, với 2 1i = − được gọi là số phức. Nhận xét:  Ta gọi biểu thức dạng c = a + bi là dạng đại số của số phức c trong đó a là phần thực, ký hiệu là Re( )c và b được gọi là phần ảo của số phức c, ký hiệu Im( )c . Khi đó, c a bi= − được gọi là số phức liên hợp của số phức c. Im( ) 0c c  = . Nếu 0c  và Re( ) 0c = thì ta nói c là số thuần ảo. Số 2 2.c c a b= + được gọi là modul của số phức c (hay còn gọi là chuẩn của số phức c). Ký hiệu: |c|. Hai số phức a bi = + và c di = + được gọi là bằng nhau nếu a = c và b = d. Ví dụ: 2 3z i= + thì 2 3z i= − và | | 4 9 13z = + = Một số tính chất của số phức: Với mọi số phức  và  thì: Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 17 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ a)     =  và  = . b)  = c)   =   . d) | | | | = . e) | | | || |  = . f) Nếu 0  thì 1 1   = và    = . g) | | | | | |   +  + (bất đẳng thức tam giác) 1.5.1.1. Biểu diễn hình học của số phức: Ta xét một ánh xạ từ tập số phức vào mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho một số phức a + bi ứng với một điểm có tọa độ (a; b). Khi đó, ta nói điểm (a; b) là ảnh của số phức a + bi còn số phức a + bi là tạo ảnh của điểm (a; b). Ảnh của một số thực a nằm trên trục hoành Ox, một số thuần ảo bi có ảnh nằm trên trục tung Oy. Do đó, ta gọi Ox là trục thực và trục Oy là trục ảo còn mặt phẳng Oxy là mặt phẳng phức. Về mặt hình học số phức liên hợp c a bi= − chính là ảnh của số phức c = a + bi qua phép đối xứng qua trục thực. Hình: Biểu diễn dạng đại số của số phức trên mặt phẳng phức 1.5.1.2. Dạng lượng giác của số phức: Cho số phức a bi = + , khi đó | | là khoảng cách từ điểm (a; b) đến gốc tọa độ O. Hình: Dạng lượng giác của số phức Với 2 2| | 0a b r = + =  thì cosa r = và sinb r = suy ra 2 2 cos a a b  = + và 2 2 sin b a b  = + trong đó  là góc định hướng tạo thành giữa tia Ox và tia đi từ gốc tọa độ O đến điểm (a; b). Khi đó,  được viết dưới dạng: (cos sin )r i  = + với 0 | |r  = . Đây gọi là dạng lượng giác của số phức  . Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 18 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ta thấy rằng, vị trí điểm (a; b) trong mặt phẳng hoàn toàn xác định bởi modul | |r = và góc định hướng  . Góc định hướng  được gọi là biến của số phức  và ký hiệu là arg( ) . Giá trị arg( ) có thể nhận bất kỳ giá trị nào khác 0, với quy định hướng dương của góc định hướng là hướng ngược chiều kim đồng hồ. Do đó, nếu hai góc hơn kém nhau 2 ,k k  thì chúng cùng xác định một số phức. Ví dụ: Tìm dạng lượng giác của số phức 1 i = + Giải: Ta có 2 2 1 1 2r a b= + = + = , suy ra 1 1 cos ,sin 2 2  = = Nên ta chọn được 4   = . Vậy 2(cos sin ) 4 4 i    = + . ■ Ngoài ra số phức a bi = + còn có thể biểu diễn tương ứng với một số phức khác là (cos sin )ae e b i b = + . Suy ra, nếu  là một số thực thì cos sinie i  = + . Vì vậy, nếu số phức  được viết dưới dạng lượng giác (cos sin )r i  = + thì  có thể được biểu diễn dưới dạng khác là ire  = , trong đó r là modul và  là biến của  . Công thức Euler: cos 2 i ie e   −+ = , sin , 2 i ie e i     −− =   . 1.5.1.3. Các phép toán a. Lũy thừa - Công thức Moivre: Dựa vào dạng lượng giác của số phức ta có thể thực hiện một cách dễ dàng phép tính nâng lên lũy thừa của một số phức dựa vào các công thức sau: Với hai số phức 1 1 1 1(cos sin )r i  = + và 2 2 2 2(cos sin )r i  = + , khi đó: 1 2 1 2 1 2 1 2. (cos( ) sin( ))r r i     = + + + . Từ công thức này ta có thể suy ra trường hợp 1 2  = = thì 2 2 (cos 2 sin 2 )r i  = + . Bằng quy nạp ta có công thức tổng quát, gọi là công thức Moivre để tính lũy thừa của một số phức (cos sin )n nr n i n  = + hoặc nếu  được viết dưới dạng ire  = thì n n inr e  = . Ví dụ: Cho 1 3z i= + . Khi đó, dạng lượng giác của z là: 2 cos sin 3 3 z i    = +    suy ra 2 cos sin 3 3 n n n nz i    = +    hoặc có thể viết 32 iz e = và 32n n inz e = b. Khai căn - Căn bậc n của đơn vị: Khai căn bậc n: Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 19 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Định nghĩa: Căn bậc n ( 1)n  của số phức  là tập hợp tất cả các số phức thỏa mãn phương trình nx = Việc tìm tập hợp ấy được gọi là việc khai căn bậc n của số phức  . Giả sử cần khai căn bậc n của số phức (cos sin )r i  = + thì ta cần tìm số phức (cos sin )p i  = + sao cho n = . Áp dụng công thức Moivre ta tìm được np r= và 2k n    + = .Từ đó suy ra: 2 2 cos sin , 0, 1n k k r i k n n n      + +  = + = −    Ví dụ: Khai căn bậc 3 của số phức sau: 3 3 3 cos sin 4 4 i      = +    Giải: Ta có 3 3 3 3 2 2 4 43 cos sin 3 3 k k i         + +  = = +      Với k = 0 thì 30 2(cos sin ) 4 4 i    = + Với k = 1 thì 3 1 11 11 2 cos sin 12 12 i      = +    Với k = 2 thì 3 2 19 19 2 cos sin 12 12 i      = +    Căn bậc n của đơn vị: Ta có 1 cos0 sin0i= + nên 2 2 1 cos sin , : 0, 1n k k i k n n n   = + = − . Ký hiệu 0 1 2 1, , ,..., n    − là các căn bậc n của đơn vị. Vì | | 1, : 0, 1k k n =  − nên trong mặt phẳng phức các số k nằm trên đa giác đều n cạnh nội tiếp trong đường tròn đơn vị. Ví dụ: Các căn bậc 6 của 1 là 0 cos0 sin 0 1i = + = 1 1 3 cos sin 3 3 2 2 i i    = + = + 2 2 2 1 3 cos sin 3 3 2 2 i i    = + = − + 3 cos sin 1i  = + = − Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 20 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4 4 4 1 3 cos sin 3 3 2 2 i i    = + = − − 5 5 5 1 3 cos sin 3 3 2 2 i i    = + = − 1.5.2. Định lý cơ bản của đại số Mọi đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 1 với hệ số phức đều có nghiệm phức. Hay Trường các số phức là trường đóng đại số. Bài tập A. Về tập hợp 1. Chứng minh với mọi tập A, B, C ta luôn có: a) \ ( \ )A A B A B=  ; b) ( \ ) ( ) \ ( )A B C A B A C =   ; c) ( \ ) ( \ ) \ ( )A B A C A B C =  ; d) ( \ ) ( \ ) ( ) \ ( );A B B A A B A B =   e) ( \ )A B A = f) \ \ ( ) ( ) \A B A A B A B B=  =  2. Các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? a) \A A= ; b) ( \ ) \ \ ( \ );A B C A B C= c) ( \ ) ( ) \ ( )A B C A B A C =   . 3. Chứng minh rằng: a) ( ) ( ) ( ) ( )A B C D A C B D   =    ; b) ( ) ( ) ( )A B C A B A C  =    c) ( ) ( ) ( )A B C A B A C  =    d) ( \ ) ( ) \ ( )A B C A B A C =   e) ( ) ( ) ( ) ( )A C B D A B C D   =    4. Tích Descartes có tính chất kết hợp không? Vì sao? 5. Giả sử X là tập có n phần tử và r là số tự nhiên khác không bé hơn bằng n. Tính Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 21 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ a) Số các tập con của X gồm r phần tử; b) Số các phần tử của P(X). B. Về phép thế 1. Tìm tất cả các phép thế của mỗi tập sau và xác định dấu của mỗi phép thế: a) 3 {1,2,3}X = b) 4 {1,2,3,4}X = 2. Cho các phép thế sau: i) 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1    =     ii) 1 2 3 4 5 6 4 1 3 6 5 2    =     iii) 1 2 3 4 5 6 3 4 1 2 6 5    =     a) Với mỗi phép thế trên hãy xác định dấu của nó, tìm phép thế nghịch đảo và dấu của phép thế nghịch đảo đó. b) Tính  và  3. Chứng minh rằng: a) Mỗi phép thế bậc n (n>1) đều có thể phân tích thành tích các chuyển trí dạng (k, k+1) trong đó 1 k n  . b) Mỗi phép thế bậc n (n>1) đều có thể phân tích thành tích các chuyển trí dạng (1, k) trong đó 1 k n  . 4. Chứng minh rằng mỗi phép thế chẵn đều có thể phân tích thành tích các vòng xích độ dài 3. 5. Xác định dấu của các phép thế sau: a) 1 2 3 2 3 1       b) 1 2 3 4 3 2 4 1       c) 1 2 3 4 5 2 1 5 3 4       d) 1 2 3 4 5 4 3 2 5 1       6. Tính 2 2 1, , , ,     − trong các trường hợp sau: a) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 , 2 1 5 3 4 3 5 2 4 1       = =        Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 22 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) 1 2 3 4 1 2 3 4 , 3 4 2 1 4 1 2 3       = =        7. Tìm số nghịch thế của phép thế sau, từ đó suy ra đâu là phép thế chẵn, đâu là phép thế lẻ: a) 1 2 3 4 5 5 3 2 4 1       b) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9 6 3 2 5 4 7 8       c) 1 2 ... 1 ... 1 n n n     −  8. Cho  là một phép thế thuộc nS , chứng minh rằng 1( ) s ( )sign ign  −= C. Về quan hệ 1. Cho X là tập các điểm trong không gian và O là một điểm cố định của X. Trong X ta xác định quan hệ R như sau: PRP’ khi và chỉ khi O, P, P’ thẳng hàng. a/ R có phải là quan hệ tương đương trong X hay không? b/ R có phải là quan hệ tương đương trong X\{O} hay không? 2. Trong tập các số nguyên xác định các quan hệ R và T như sau: a R b khi và chỉ khi a + b lẻ a T b khi và chỉ khi a + b chẵn. Hãy xét xem các quan hệ trên có những tính chất gì? 3. Cho tập 0X  . Trên tập ( )P X các tập con của X xác định các quan hệ P, Q, R, S như sau: P B Q B A\B = A A R B A B A S B A B= A A B A A   =       Hãy xét xem những quan hệ trên có những tính chất gì? 4. Trên tập số thực cho quan hệ T như sau: aTb nếu 2 2a b= Chứng minh T là một quan hệ tương đương. E. Về ánh xạ 1. Trong các ánh xạ từ X vào Y sau, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh. Trong trường hợp song ánh, hãy tìm ánh xạ ngược. Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 23 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ a. , (0, ), ( ) cotX Y f x arc x= = = b. X = [1; 2], Y = [1, 7], 2( ) 3 3f x x x= + − c. , ( ) 3 4 | |;X Y f x x x= = = − d. 2 2 4 , [0;5], ( ) ; 1 x X Y f x x x = = = + + e. X = (-1; 0) 1 , ( ) ln . 1 x Y f x x +  = =   −  2. Đưa ra ví dụ về ánh xạ f, g sao cho a. gf tồn tại nhưng fg không tồn tại b. gf và fg đều tồn tại nhưng khác nhau. 3. Cho :f X Y→ là ánh xạ, A và B là các tập con của X, C và D là các tập con của Y. Chứng minh: a. ( ) ( ) ( );f A B f A f B =  b. ( ) ( ) ( );f A B f A f B   1 1 1c. ( ) ( ) ( );f C D f C f D− − − =  1 1 1d. ( ) ( ) ( );f C D f C f D− − − =  e. ( \ ) ( ) \ ( );f X A f X f A 1 1f. ( \ ) \ ( ).f Y C X f C− −= 4. Cho ánh xạ :f A B→ . Chứng minh: a) f là đơn ánh khi và chỉ khi với mọi tập hợp X và với mọi cặp ánh xạ : , ' :g X A g X A→ → thì fg = fg’suy ra g = g’. b) f là toàn ánh khi và chỉ khi với mọi tập hợp Y và với mọi cặp ánh xạ : ; ' :h B Y h B Y→ → thì 'hf h f= suy ra h = h’. 5. Giả sử :f X Y→ là ánh xạ và ;A X B Y  . Chứng minh: a) 1( ( ))f f A A−  và 1( ( ))f f B B−  ; b) 1( ( ))f f A A− = , với mọi A X khi và chỉ khi f là đơn ánh. c) 1( ( ))f f B B− = , với mọi B Y khi và chỉ khi f là toàn ánh. 6. Cho ánh xạ 2 : f x x → . Hãy tìm: Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 24 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ a) Ảnh của các đoạn [-1, 1]; (-2; 1] b) Tạo ảnh của các đoạn [-1, 1], [1,  ) 7. Cho ánh xạ :f → bởi 3( ) 24 2f x x x= − + a) Xác định ( )f ; b) Cho A = [-1; 1], xác định 1( )f A− . 8. Cho hai ánh xạ :f A C→ và :g B D→ . Gọi h là ánh xạ thỏa: : ( ; ) ( ( ); ( )), ( , ) h A B C D h a b f a g b a b A B  →  =    Chứng minh rằng: Nếu f, g là đơn ánh thì h là đơn ánh; Nếu f, g là toàn ánh thì h là toàn ánh; Các mệnh đề đảo của hai mệnh đề trên có đúng không? 9. Giả sử X  là tập hợp các tam giác, 0X là tập hợp các đường tròn trong mặt phẳng. a) Quy tắc cho tương ứng mỗi tam giác với đường tròn ngoại tiếp tam giác đó có phải là ánh xạ từ X  đến 0X không? Tại sao? b) Quy tắc cho tương ứng mỗi đường tròn với tam giác nội tiếp trong nó có phải là ánh xạ từ 0X đến X  không? Tại sao? F. Số phức 1. Tính các biểu thức sau: 3 3 5 3 a. (2 )(3 ) (3 2 )(4 ); (5 )(7 6 ) b. ; 3 c. (2 ) (2 ) ; (1 ) d. (1 ) e. , .n i i i i i i i i i i i i n + − + + + + − + + + − + −  2. Tìm các số thực x, y thỏa mãn phương trình sau: a. (2 ) (1 2 ) 1 4 ;i x i y i+ + + = − b. (3 2 ) (1 3 ) 4 9 .i x i y i+ + + = − 3. Tìm dạng lượng giác của số phức sau: Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 25 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ a. 5; b. – 2; c. -3i; d. 1 + i; e. 1 – i; ( ) f. 3 ; g. 1 2 3 . i i − − + 4. Biến đổi về dạng lượng giác để tính các biểu thức sau: 1000 150 30 24 a) (1 ) ; b) (1 3) ; c) ( 3 ) ; 3 d) 1 2 2 i i i i + + +   + +     e) 12 1 3 1 i i  −   +  5. Tính các giá trị sau theo cos và sin a) cos5 b) sin7 c) cos n và sin n 6. Hãy giải các phương trình sau trên 2 2 2 2 2 a. ; b. 3 4 ; c. 12 ; d. 5 4 10 0; e. (2 7) 13 0. x i x i x i x x i x i x i = = − = − − + + = + + + − = 7. Viết dưới dạng lượng giác những phần tử của tập hợp sau: 6 8 3 4 . ; . 8 2(1 ); . 1; . 4; a i b i c d − − Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 26 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ e. 3 1 ;i+ f. 3 2 2i− g. 3 8 24 3 i i + − h. 4 72(1 3)i− − 8. Biểu diễn trên mặt phẳng phức các tập hợp sau: a. { | | 3}; b. { | 1 | 2}; z z z z i = − +    3 c. 1 | | 2, arg(z) 4 d. | 1| 1,| 1 | 1 z z z z z i            −  − −  Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 27