Giáo trình Đại số tuyến tính - Chương 2: Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính

TÀI LIỆU MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH LÝ THUYẾT CHƢƠNG 2: MA TRẬN, ĐỊNH THỨC, HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1. Ma trận 2.1.1. Định nghĩa ma trận, các kiểu ma trận 2.1.1.1. Định nghĩa ma trận Ma trận m dòng, n cột trên trường số K ( , ) là một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng, n cột, mỗi số trong ma trận thuộc trường và được gọi là một phần tử của ma trận. Ta ký hiệu tập các ma trận là M(m, n; K) và mỗi ma trận thuộc M(m, n; K) được viết chi tiết là: 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n m m mn a a a a a a a a a             hoặc 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n m m mn a a a a a a a a a             Hay viết gọn là ( )ij m nA a  hoặc [ ]ij m nA a  trong đó 1,i m chỉ số dòng và 1,j n chỉ số cột của phần tử. Hai ma trận ( )ij m nA a  và ( )ij m nB b  được gọi là bằng nhau nếu ij ija b với mọi 1,i m và 1,j n Ví dụ: Ma trận 2x3 3 3 1 2 3 1 2 3 ; 4 5 6 4 5 6 7 8 9 x A B                2.1.1.2. Một số dạng ma trận đặc biệt a. Ma trận vuông Trong trường hợp số dòng và số cột của hai ma trận bằng nhau thì ta có khái niệm ma trận vuông. Ký hiệu tập các ma trận vuông là M(n; K), với n là cấp của ma trận vuông. A= 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n n n nn a a a a a a a a a             Trong ma trận vuông các phần tử 11 22, ,..., nna a a là các phần tử nằm trên đường chéo chính, các phần tử 1 ( 1)2 1, ,...,n n na a a là các phần tử nằm trên đường chéo phụ. Ví dụ: Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 1 1 2 3 4 A        là ma trận vuông cấp hai và 1 2 3 4 5 7 7 8 9 B          là một ma trận vuông cấp 3. Phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A là 1; 4. Phần tử nằm trên đường chó chính của ma trận B là 1, 5, 9. b. Ma trận dòng, ma trận cột: Nếu m = 1 thì ma trận chỉ có một dòng, được gọi là ma trận dòng. Tương tự, nếu n = 1 thì ta có ma trận chỉ có một cột, được gọi là ma trận cột. Ma trận dòng và ma trận cột thường được gọi là vectơ dòng và vectơ cột. Một số thuộc trường K được gọi là ma trận một dòng, một cột. Ví dụ: Ma trận dòng:  1 2 3 4A  và ma trận cột 1 5 7 B          c. Ma trận không Ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không. Ta dùng số 0 để biểu thị cho mọi ma trận không cấp m x n. Ví dụ: Ma trận 0 cấp 2x3: 0 0 0 0 0 0       d. Ma trận chéo Ma trận vuông có các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0 và các phần tử trên đường chéo chính khác không được gọi là ma trận chéo (hay ma trận đường chéo). Ma trận chéo cấp n có dạng A= 11 22 0 ... 0 0 ... 0 0 0 ... nn a a a              0, :1,iia i n  Ví dụ: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 4 C             Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 2 Nhận xét: Ma trận đường chéo thường được ký hiệu bởi 1 2diag( , ,..., )na a a với các phần tử trên đường chéo chính là 1 2, ,..., na a a e. Ma trận đơn vị: Ma trận chéo cấp n, có tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, được gọi là ma trận đơn vị, ký hiệu nI g. Ma trận tam giác Ma trận có các phần tử ở trên (hoặc dưới) đường chéo chính bằng 0 được gọi là ma trận tam giác A = 11 12 1 22 2 ... 0 ... 0 0 ... n n nn a a a a a a             Trong đó 0ija  khi i> j được gọi là ma trận tam giác trên. Ví dụ: 1 2 3 4 0 4 3 2 0 0 1 2 0 0 0 5 A             là ma trận tam giác trên B = 11 21 22 1 2 0 ... 0 ... 0 ...n n nn b b b b b b             Trong đó 0ijb  khi i < j được gọi là ma trận tam giác dưới. Ví dụ: 3 0 0 1 2 0 0 1 1 B          là ma trận tam giác dưới. Nhận xét: Ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới được gọi chung là ma trận tam giác. h. Ma trận đối xứng – Ma trận phản đối xứng: Nếu ma trận vuông A thỏa TA A thì ta nói A là ma trận đối xứng. Ví dụ: Ma trận 1 2 3 2 1 0 3 0 1 A          là một ma trận đối xứng cấp3. Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 3 Ma trận 1 2 3 4 2 0 1 2 3 1 1 0 4 2 0 3 A              là ma trận đối xứng cấp 4. Nếu ma trận vuông A thỏa TA A  thì A ma trận phản đối xứng. Ví dụ: Ma trận 0 2 3 4 2 0 5 1 3 5 0 3 4 1 3 0 B              là ma trận phản đối xứng. Định lý: Nếu A là ma trận đối xứng thì , , 1,ij jia a i j n   Nếu A là ma trận phản xứng thì , , 1,ij jia a i j n    , từ đây suy ra 0iia  (các phần tử trên đường chéo chính bằng 0). i. Ma trận bậc thang: Nếu một ma trận trên K có các dòng khác 0 nằm bên trên các dòng 0, đồng thời trên hai dòng khác 0, ta có các phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới nằm bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên thì ma trận đó được gọi là ma trận bậc thang trên K. Ví dụ: Ma trận 0 3 12 1 7 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 4 5 0 0 0 0 0 0 B             là ma trận bậc thang có ba dòng khác 0. 2.1.1.3. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận: Bao gồm các phép biến đổi sau: i. Đổi chổ hai dòng i và dòng j của ma trận cho nhau. ii. Nhân dòng thứ i với một số khác không. iii. Cộng dòng thứ i với dòng thứ j nhân với một số  với i j . Nếu thay từ dòng bằng từ cột ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột. Ma trận B được gọi là tương đương dòng với ma trận A nếu có một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp dòng biến ma trận A thành ma trận B. Nhận xét: Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, cột được gọi chung là các phép biến đổi sơ cấp. - Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương với các tính chất phản xạ; đối xứng; bắc cầu. Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 4 - Một ma trận vuông cấp n trên K nhận được từ ma trận đơn vị nI qua duy nhất một phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp. Ví dụ: 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I          thì có các ma trận sơ cấp nhận được từ 3I qua các phép biến đổi sơ cấp: 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 S          với 1 4 3 1 d d I S  2 1 0 0 0 1 0 0 0 4 S          với 3 34 3 2 d d I S  3 1 0 2 0 1 0 0 0 1 S          với 1 1 42 3 3 d d d I S   2.1.2. Các phép toán cơ bản với ma trận 2.1.2.1. Phép cộng các ma trận a. Định nghĩa: Tổng của hai ma trận ( )ij m nA a  và ( )ij m nB b  là một ma trận ( )ij m nC c  với ij ij ijc a b  . Tổng hai ma trận được ký hiệu C = A+B. 11 12 1 11 12 1 11 11 12 12 1 1 21 22 2 21 22 2 21 21 22 22 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... n n n n n n n n m m mn m m mn m m m m mn mn a a a b b b a b a b a b a a a b b b a b a b a b a a a b b b a b a b a b                                            b. Ví dụ: 1 2 3 2 1 4 A       và 0 2 1 1 3 4 B       . Khi đó, 1 0 4 3 2 0 A B         2.1.2.2. Phép nhân ma trận với một số: a. Định nghĩa: Tích của ma trận ( )ij m nA a  với số  thu được bằng cách nhân các phần tử của ma trận A với số  , ký hiệu A . Ta có, ( )ij m nA a   b. Ví dụ: Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 5 4 2 3 8 4 6 2 7 3 2 14 6 4                 Với A và B là hai ma trận cấp m x n, ta ký hiệu A + (-1)B = A – B, gọi là phép trừ của hai ma trận. 2 3 5 4 2 1 A        và 2 1 3 3 5 2 B       Thì 0 4 8 1 3 3 A B        c. Định lý: Với x, , ( )m nA B C M K và , K  ta có: 1) A + B = B + A 2) (A + B) + C = A + (B + C) 3) 0 + A = A + 0 = A 4) A + (-A ) = (-A) + A = 0 5)   T T TA B A B   6) ( )A B A B     7) ( )A A A      2.1.2.3. Phép nhân hai ma trận: a. Định nghĩa: Cho hai ma trận ( )ij m rA a  và ( )ij r nB b  , khi đó tích của hai ma trận A và B, ký hiệu là AB là một ma trận ( )ij m nC c  với các phần tử ijc là tổng của các tích các phần tử tương ứng dòng i của ma trận A với cột j của ma trận B. Tức là 1 1 2 2 1 ... r ij i j i j ir rj ik kj k c a b a b a b a b       11 12 1 11 12 121 22 2 11 12 1 21 22 2 21 22 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 ... ... ...... ... ... ...... ... . ... ... ... ... ... r nr n n n r r j j r rn m m mn m m mr r i iji j i a a a b b ba a a c c c b b c b b b c c b b a c b c c c a a a b a a                                         Chú ý: Tích của ma trận A và ma trận B chỉ được xác định khi số dòng của ma trận B bằng đúng số cột của ma trận A. Tức là nếu A là ma trận cấp m x p và B là ma trận cấp p x n thì AB là ma trận cấp m x n. Do đó, với Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 6 A và B là hai ma trận bất kỳ thì nếu có tích của AB, ta cũng không hẳn suy ra được tích của hai ma trận BA, nói cách khác, tích của hai ma trận không giao hoán. Ngoài ra, có những ma trận khác 0 nhưng tích của chúng lại là ma trận 0. b. Ví dụ: 1) Giả sử 1 2 1 3 A       và 2 1 0 1 B        khi đó; 2 3 2 2 AB       và 1 7 1 3 BA       . Vậy AB BA 2) Với 1 0 0 0 ; 0 0 1 0 C D              ta có 0 0 0 0 CD        mặc dù 0; 0C D  . Nếu tồn tại hai ma trận A, B thỏa AB = BA thì ta nói ma trận A và ma trận B có thể hoán vị với nhau. Ma trận đơn vị có thể hoán vị với mọi ma trận cùng cấp. 3) Cho 1 2 1 3 1 4 A        và thì 1.( 2) 2.4 ( 1).2 1.5 2.( 3) ( 1).1 4 2 3.( 2) 1.4 4.2 3.5 1.( 3) 4.1 6 16 AB                          4) Cho 1 3 2 1 1 x A       và 2 4B y          . Nếu 12 6 AB        hãy tìm x và y Giải: Ta có 2 1 3 2 4 3 12 4 2 1 1 6 x x y AB y y                          Suy ra y = 6 và x = -2. c. Định lý 1: Cho x, ' ( )m nA A M K và x, ' ( )n pB B M K và x ( )p qC M K và K  thì: 2 5 4 3 2 1 B           Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 7   x x x x 0 0 ; 0 0 ; ( ') '; ; ( ) ( ) ( ), n p m p r m r n T T T A A A B B AB AB AB B A AB A B A B K              e. Định lý 2: Với 1 2diag( , ,..., )nA a a a và 1 2diag( , ,..., )nB b b b thì 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 diag( , ,..., ) diag( , ,..., ) A B a b a b a b AB a b a b a b       g. Nhận xét: Cho các ma trận 1 2, ,..., nA A A là các ma trận có số cột của ma trận liền trước bằng số dòng của ma trận liền sau. Khi đó tích của n ma trận này được định nghĩa theo cách quy nạp sau: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 1 ( ) ( ) ... ( ... )n n n n A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A     Hơn thế bằng cách chứng minh quy nạp ta có: 1 2 1 2 1( .... ) ... T T T T T n n nA A A A A A A 2.1.2.4. Lũy thừa ma trận: a. Định nghĩa: Cho ma trận A, lũy thừa bậc k của ma trận A là: lâ . ...k k n A A A A . Cụ thể, 0 1 2 1; ; . ;..., .k knA I A A A A A A A A     b. Ví dụ: Cho 0 1 0 0 0 1 0 0 0 A          thì ta được 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A            và 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A            Nhận xét: Có những ma trận khác ma trận không nhưng lũy thừa k lần với k sẽ thành ma trận không. Một ma trận ( ; )A M n K thỏa tính chất tồn tại một số k , sao cho 0kA  thì khi đó ma trận A được gọi là ma trận lũy linh. Một ma trận ( ; )A M n K thỏa tính chất 2 0A  thì khi đó ma trận A được gọi là ma trận lũy đẳng. c. Tính chất: Cho ( ; )A M n K và ,r s , khi đó: Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 8   0 0; r     r n nI I  .r s r sA A A     s rs rA A d. Định lý: Giả sử A, B là hai ma trận giao hoán trong M(n;K) (nghĩa là AB = BA) và k , khi đó ta có: ( ) .k k kAB A B ; 1 2 1( )( ... )k k k k kA B A B A A B B        ; ( ) . i k i i k i k k A B C A B   2.1.2.5. Đa thức của ma trận: Cho f là một đa thức bậc n trên K có dạng 1 1 1 0( ) ... n n n nf x a x a x a x a       Giả sử ( ; )A M n K thì ta gọi 11 1 0( ) ... n n n n nf A a A a A a A a I       là đa thức của ma trận A. Ví dụ: Cho 3 2( ) 3 5f x x x   . Hãy tính f (A) với 1 2 3 2 0 ; 5 4 6 0 3 7 1 8 A B                Ta có 3 2 2 8 0 4 0 1 0 1 0 ( ) 3 5 3 5 0 27 0 9 0 1 0 5 f A A A I                               (Sinh viên tự giải f (B) như là bài tập nhỏ). 2.1.2.6. Chuyển vị ma trận a. Định nghĩa: Cho ma trận A, ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu TA là ma trận mà trong đó, vai trò của dòng và cột hoán chuyển cho nhau nhưng vẫn giữ nguyên chỉ số của chúng. Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 9 Giả sử ta có ma trận A= 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n m m mn a a a a a a a a a             thì khi đó ma trận chuyển vị của ma trận A là 11 21 1 12 22 2 1 2 ... ... ... m mT n n mn a a a a a a A a a a             Nếu ma trận A có cấp là m x n thì ma trận TA có cấp là n x m. Trường hợp đặc biệt chuyển vị của ma trận cột là ma trận dòng và ngược lại chuyển vị của ma trận dòng là ma trận cột. Ví dụ: Ma trận 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 A          thì ma trận chuyển vị của ma trận A là 1 5 9 2 6 1 3 7 2 4 8 3 TA             b. Định lý: Cho các ma trận x, ( )m nA B M K . Khi đó ta có các khẳng định sau:   T TA A . T TA B A B   2.2. Định thức 2.2.1. Định thức các cấp và công thức tính định thức cấp n bằng công thức truy hồi 2.2.1.1. Định thức các cấp a. Định thức cấp 2, 3 Định nghĩa: Định thức của ma trận A, ký hiệu là detA hay |A| được tính bằng 1 (1) 2 (2) ( )det sign ... n n n S A a a a        , trong đó nS là tập tất cả các phép thế của tập hợp gồm n số tự nhiên đầu tiên {1, 2,, n}. Nhận xét: Định thức của một ma trận vuông cấp n trên trường K thường được gọi là một định thức cấp n. Ví dụ: Khi n = 2 Ta có nhóm các phép thế 2 1 2 1 2 ; 1 2 2 1 S                 Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 10 Suy ra biểu thức tính định thức cấp 2 là: 11 12 11 22 12 21 21 22 a a a a a a a a   Khi n = 3 Ta có nhóm các phép thế 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ; ; ; ; ; 1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1 2 3 1 3 1 2 S                                         Suy ra: 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 21 33 23 32 11 13 22 31 12 23 31 13 21 32 31 32 33 11 22 33 12 23 31 13 21 32 12 21 33 23 32 11 13 22 31 a a a A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a               Cách tính định thức bậc 2 và bậc 3: Theo trên ta có Cho 11 12 21 22 a a A a a        ta có định thức của ma trận A là detA hay |A|, được tính bằng 2 1 (1) 2 (2) 11 22 12 21 11 22 12 21det sign ( 1) . S A a a a a a a a a a a           Cho 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a          khi đó ta có 3 1 (1) 2 (2) 3 (3) 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33det sign . S A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a             Công thức trên thường được nhớ theo quy tắc Sarrus như sau: Ta viết them cột thứ nhất và thứ hai vào bên phải định thức ta được 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 31 a a a a a a a a a a a a a a a Thì tích các phần tử trên ba đường chấm chấm sẽ có dấu như sau Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 11 Ví dụ: 1 2 3 2 1 3 1.1.2 2.1.3 2.3.3 3.1.3 3.1.1 2.2.2 6 3 1 2        2 1 2.3 2 4 2 3    b. Định thức cấp n Cho A là ma trận vuông cấp n: 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n n n nn a a a a a a A a a a  Định thức (cấp n) của ma trận A là một số, ký hiệu là detA (hoặc A ), xác định như sau: 11 11 12 12 1 1det ... n nA a A a A a A    2.2.1.2. Công thức tính định thứ cấp n bằng công thức truy hồi Áp dụng các tính chất của định thức, ta biến đổi, khai triển định thức theo dòng, hoặc theo cột để biểu diễn định thức cần tính qua các định thức có cấp bé hơn nhưng có cùng dạng. Từ đó ta sẽ nhận được công thức truy hồi. Sử dụng công thức truy hồi và tính trực tiếp các định thức cùng dạng cấp 1, cấp 2 để suy ra định thức cần tính. Ví dụ: Tính định thức sau 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 ... 1 ... ... ... ... ... ... 1 n n n n n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b     Giải Ta tách định thức theo cột thứ n, ta được Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 0 1 ... ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 0 ... 1 ... 1 ... n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b D a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b                    1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 0 1 ... ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 0 ... 1 ... 1 ... n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a b a b a b a                    Ta khai triển định thức đầu theo cột thứ n ta được định thức đầu bằng 1nD  . Nhân cột thứ n của định thức thứ 2 với ( )ib rồi cộng vào các cột thứ i với i tương ứng nhận các giá trị từ 1, 2, ., n-1. Ta có 1 2 1 1 1 1 0 ... 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 ... 1 0 0 ... 0 n n n n n n n n a a D D b D b a a a        Từ đó ta có công thức truy hồi 1n n n nD D b a  . Suy ra, 1 2 1 1 1 2 2 1 1( ) ... ...n n n n n n n n n n n n nD D b a D b a b a D b a b a b a                Mặt khác, 1 1 11D b a  . Do đó, 1 1 2 21 ...n n nD b a b a b a     Ví dụ 2: Cho , ,a b a b  . Hãy tính định thức sau 0 ... 0 0 1 ... 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 n a b ab a b ab D a b ab a b      Giải: Khai triển định thức theo dòng đầu ta được 1 1 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ( ) ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 n n ab a b ab D a b D ab a b ab a b        Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 13 Tiếp tục khai triển định thức sau theo cột 1 ta có 1 2( )n n nD a b D abD    với 3n  . Suy ra, 1 1 2( )n n n nD aD b D aD     (1) và 1 1 2( )n n n nD bD a D bD     (2) với 3n  Áp dụng công thức truy hồi trên ta suy ra được Từ (1) 2 2 1 1 2 2 3 2 1( ) ( ) .... ( ) n n n n n n n nD aD b D aD b D aD b D aD b               Từ (2) 2 2 1 1 2 2 3 2 1( ) ( ) ... ( ) n n n n n n n nD bD a D bD a D bD a D bD a               Với 2 2 2D a b ab   và 1D a b  Suy ra, 1 1n n n a b D a b     2.2.2. Các tính chất cơ bản của định thức và định thức của ma trận đƣờng chéo 2.2.2.1. Các tính chất cơ bản của định thức a. Tính chất 1: Định thức không đổi qua phép chuyển vị, tức là det det .TA A Chú ý: Từ tính chất này thì một mệnh đề về định thức nếu đúng với dòng thì cũng đúng với cột và ngược lại. Ví dụ: 2 0 2 1 6 1 3 0 3   b. Tính chất 2: Nếu ta đổi chỗ hai dòng ( )i j (hoặc hai cột khác nhau) bất kỳ của định thức thì định thức đổi dấu. Ví dụ: 1 3 5 3 1 7 2 7 9 2 7 9 3 1 7 1 3 5   c. Tính chất 3: Nếu tất cả các phần tử của một dòng (hoặc một cột) của định thức được nhân với  thì định thức mới bằng định thức ban đầu nhân với  . Ví dụ: 1 2 3 1 2 3 4 2 6 2. 2 1 3 9 8 6 9 8 6  Nhận xét: Từ tính chất này suy ra nếu A là ma trận vuông cấp n thì det( ) det( ).nA A  d. Tính chất 4: Cho A là ma trận vuông cấp n. Giả sử dòng thứ i của ma trận A có thể biểu diễn dưới dạng ' ''ij ij ija a a  với j = 1, 2, ,n. Khi đó ta có: Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 14 ' '' ' '' ' '' ' ' ' '' '' '' i1 i1 i2 i2 in in i1 i2 in i1 i2 in ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... det ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... A a a a a a a a a a a a a      Trong đó các dòng còn lại của 2 định thức ở hai vế là hoàn toàn như nhau và chính là các dòng còn lại của ma trận A. Ví dụ: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 6 5 4 2 0 2 7 8 9 7 8 9 7 8 9    Từ tính chất trên, ta cũng có kết quả tương tự đối với cột. Chú ý: Các tính chất 2, 3, 4 trên chính là tính đa tuyến tính thay phiên của định thức. Từ các tính chất trên ta có các kết quả sau: e. Tính chất 5: Định thức của ma trận A sẽ bằng 0 nếu thỏa một trong các điều kiện sau: Có một dòng mà tất cả các phần tử của dòng đó đều bằng 0, Có hai dòng bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau, Có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác. Tức là tồn tại dòng id mà 1 1 2 2 1 1 1 1... ... ...i i i i i k kd a d a d a d a d a d           với ia K. g. Tính chất 6: Định thức sẽ không thay đổi nếu:  Nhân một dòng với một số bất kỳ rồi cộng vào dòng.  Cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác. Nhận xét: - Nếu thay từ dòng bằng từ cột thì các tính chất trên vẫn đúng. - Đối với các ma trận A có cấp n (với n là một số rất lớn), khi đó việc tính detA bằng định nghĩa ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Do đó, ngoài cách vận dụng các tính chất trên của định thức, ta còn rất hay sử dụng định lý Laplace sau đây. Định lý Laplace Cho A là ma trận vuông cấp n 11 12 1 1 21 22 2 2 i1 i2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... j n j n ij in n n nj nn a a a a a a a a A a a a a a a a a                     . Khi đó Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 15 Nếu khai triển định thức A theo dòng thứ i thì detA được biểu diễn dưới dạng 1 2 i1 i1 i2 i2 1 det ( 1) ( 1) ... ( 1) ( 1) n i i i n i k in in ik ik k A a A a A a A a A              Nếu khai triển định thức A theo cột thứ j thì detA được biểu diễn dưới dạng 1 2 1 1 2 2 1 det ( 1) ( 1) ... ( 1) ( 1) n j j j n j k j j j j nj nj kj kj k A a A a A a A a A              Ví dụ: Xét ma trận 1 0 2 2 0 0 3 4 5 0 0 0 a b A c d  Nhận thấy dòng 4 có nhiều số 0, nên khai triển định thức theo dòng 4 ta có: 4 1 0 2 ( 1) 0 0 4 5 a A d b c   . Tiếp tục khai triển theo dòng thứ 3 của định thức 0 2 1 0 0 4 5 b c ta có: 2 . . ( ) 0 a A d c dc ab abcd b       Xét ma trận 0 3 0 5 2 3 1 1 1 1 3 0 0 4 0 5 B  Khai triển theo dòng 1 có 1 2 1 4 2 1 1 2 3 1 ( 1) 3 1 3 0 ( 1) 5 1 1 3 0 0 5 0 4 0 B      Khai triển theo dòng cuối của 2 định thức trên có: 1 2 3 3 1 4 2 3 2 1 2 1 ( 1) .3.5.( 1) ( 1) 4.( 1) .5 25 1 3 1 3 B           Định lý Laplace (tổng quát): Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 16 Cho ( )nA M K , chọn trong A các dòng 1 2 ... ki i i   . Khi đó, 1 2 ... det( ) ' kj j j A MM      , với M là các định thức con cấp k của A sinh bởi các dòng 1 2, ,..., ki i i và các cột 1 2, ,..., kj j j và M’ là phần bù đại số của M. Ví dụ: Tính 0 3 0 5 2 3 1 1 1 1 3 0 0 4 0 5 A  Chọn M là ma trận vuông cấp 2 tạo bởi các phần tử trên dòng 1 và dòng 4. Khi đó, 1 4 2 4 1 4 1 2 1 4 2 4 1 4 1 3 1 4 1 4 1 4 4 1 3 5 2 1 0 3 1 1 3 0 2 1 ( 1) . ( 1) . ( 1) . 4 5 1 3 0 4 3 0 4 0 1 0 0 0 3 1 0 5 2 1 0 5 2 3 ( 1) . ( 1) . ( 1) . 0 0 1 3 0 5 1 3 0 5 1 1 ( 1)( 5)5 25 A                                   Ta chọn ma trận con dựa trên dòng 1 và 3, cột 1 và cột 3. Áp dụng định lý Laplace ta có 1 3 1 3 2 8 9 1 1 det ( 1) 1 1 0 252 3 1 7 2 3 A       2.2.2.2. Định thức của ma trận đường chéo Định thức của ma trận chéo bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. Ví dụ: 11 11 2 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 2 0 5 0 0 0 5 0 0 0 1 0 0 0 1 5 0 2.( 3) 2.( 3).5.1 30 0 1 A a A            2.2.3. Phƣơng pháp biến đổi sơ cấp 2.2.3.1. Nhân một hàng của ma trận cho số 0  ( *i ih h ) Xét ma trận a b c d A e f g h i j k l          . Ta nhân 1 hàng của A cho số 0  bằng cách: Nhân ma trận Ni bên trái A với Ni là ma trận đơn vị có cấp là số hàng của A và thay phần tử iia  . Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 17 1 2 3 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 , 0 0 , 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 N N N                                   Ví dụ: 0 0 . .b . . 0 1 0 0 0 1 a b c d a c d e f g h e f g h i j k l i j k l                                  1 0 0 0 0 .e .f .g .h 0 0 1 a b c d a b c d e f g h i j k l i j k l                                   1 0 0 0 1 0 0 0 . . . . a b c d a b c d e f g h e f g h i j k l i j k l                                  2.2.3.2. Hoán đổi vị trí 2 hàng cho nhau ( i jh h ) Xét ma trận a b c d A e f g h i j k l          . Để hoán đổi 2 hàng của ma trận cho nhau, ta nhân bên trái của A với các ma trận Hịj có được bằng cách: đổi hàng i và j của ma trận đơn vị có cùng số hàng của A. 12 13 23 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 H H H                                Ví dụ: 0 1 0 1 0 0 0 0 1 a b c d e f g h e f g h a b c d i j k l i j k l                              0 0 1 0 1 0 1 0 0 a b c d i j k l e f g h e f g h i j k l a b c d                              1 0 0 0 0 1 0 1 0 a b c d a b c d e f g h i j k l i j k l e f g h                              Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 18 2.2.3.3. Cộng 1 hàng bởi lần hàng khác ( *j j ih h h  ) Xét ma trận a b c d A e f g h i j k l          . Để cộng  lần hàng i vào hàng j () bằng cách tạo ma trận Cij từ ma trận đơn vị và thay phần tử ijc  . 12 1 0 0 1 0 0 0 1 C           (cộng lần hàng 1 vào hàng 2) 13 23 1 0 0 1 0 C 0 1 0 ,C 0 1 0 0 1 0 0 1                       Ví dụ: 1 0 0 1 0 . . .c g . 0 0 1 a b c d a b c d e f g h a e b f d h i j k l i j k l                                       1 0 0 0 1 0 0 1 . . . . a b c d a b c d e f g h e f g h i j k l a i b j c k d l                                     1 0 0 1 0 . 0 0 1 . . . . a b c d a b c d e f g h e f g d h i j k l e i f j g k d l                                        2.2.3.4. Rút gọn ma trận Xét mà trận ijA a    . Để rút gọn 1 cột của ma trận A thành cột j của ma trận đơn vị ta dùng ma trận Cj là ma trận đơn vị và ta thay cột j bằng cột j của A chia cho phần tử trụ là 0jja  trừ aij, sau đó đổi dấu các phần tử trên cột j khác vị trí hàng j, cột j là: ( ) kj j kj jj a C a   khi k j và 1 ( )j jj jj C a  Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 19 1j 1j nj 1 0 ... 0 ... 0 0 1 ... 0 ... 0 1 0 0 ... 0 ... 0 0 0 ... 0 ... 1 jj jj j jj jj a a a a C a a a                                 Ma trận kết quả CjA được tính như sau: * Cột j của CjA là cột j của ma trận đơn vị: ( ) 0j kjC A  và ( ) 1j jjC A  * Hàng j của CjA là hàng j của A chia cho aij: ( ) jk j jk jj a C A a  và ( ) 1j jjC A  * Để tính các phần tử còn lại, ta lấy aij làm trụ và tính theo quy tắc nhân chéo và trừ nhau của phần tử của 4 đỉnh hình chữ nhật có đường chéo là aij và phần tử ở vị trí cần tính, rồi chia cho phần tử trụ aij. Ví dụ: Tính phần tử hàng m, cột k như sau: ( ) jj mk mj jk j mk jj a a a a C A a    a) Rút gọn cột 1 của: 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 b c a a aa b c d ae bd af cd A d e f C C A a a a g h i g ah bg ai cg a a a                                                    b) Rút gọn cột 2 của: Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 20 2 2 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 b ae bd ce bf e e ea b c d f A d e f C C A e e e g h i h eg hd ei hf e e e                                                   c) Rút gọn cột 3 của: 3 3 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 c ai cg bi ch i i ia b c f di fg ei fh A d e f C C A i i i g h i g h i i i                                                    2.2.4. Tìm định thức bằng phƣơng pháp biến đổi sơ cấp Ví dụ 1: 1 2 1 3 1 2 1 3 2 3 1 5 0 1 3 1 1 6 5 2 1 6 5 2 3 4 2 7 3 4 2 7 D             (Hàng 2 trừ hai lần hàng 1) 11 11 1 2 1 3 1 3 1 0 1 3 1 1. 8 4 1 0 8 4 1 2 1 2 0 2 1 2 a A             (Hàng 3 cộng hàng 1, hàng 4 trừ ba lần hàng 1) Ví dụ 2: 0 2 3 5 1 0 2 2 1 0 2 2 0 2 3 5 2 3 0 6 2 3 0 6 4 1 7 0 4 1 7 0 D        (Hoán đổi vị trí hàng 1 và hàng 2) 1 0 2 2 2 3 5 0 2 3 5 1 3 4 2 0 3 4 2 1 1 8 0 1 1 8        (Hàng 3 cộng hai lần hàng 1, hàng 4 trừ bốn lần hàng 1) Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 21 2.3. Hạng ma trận 2.3.1. Hạng ma trận, hạng của ma trận bậc thang 2.3.1.1. Định nghĩa Cho A là ma trận cấp mxn khác không. Hạng của ma trận A là số tự nhiên r, 1 min{ , }r m n  thỏa mãn các điều kiện sau:  Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0.  Mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của ma trận A đều bằng 0. Nói cách khác hạng của ma trận 0A  chính là cấp cao nhất của các định thức con khác không của ma trận A. Hạng của ma trận A, ký hiệu là r(A) và rank(A). Quy ước: Hạng của ma trận 0 bằng 0. Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A sau: 1 2 3 0 3 2 1 0 0 0 5 0 4 4 4 0 A  Ma trận A có duy nhất một định thức cấp 4 và nó bằng 0. Tồn tại một định thức con cấp 3 của A là 1 2 3 3 2 1 20 0 0 0 5    . Vậy rank(A)=3 2.3.1.2. Hạng của ma trận bậc thang Tìm hạng của một ma trận bằng cách đưa về dạng hình thang: Các phép biến đổi sơ cấp sau không làm thay đổi hạng của ma trận. - Đổi chỗ 2 dòng (hoặc hai cột) của ma trận. - Nhân 1 dòng (hay cột) với một phần tử 0t  của trường K. Nhân 1 dòng (hay 1 cột) với t K rồi cộng vào một dòng (hay một cột) khác. Từ một ma trận cho trước luôn có thể sử dụng một số phép biến đổi sơ cấp để đưa về một ma trận có dạng hình thang, tức là một ma trận ij( )m nA a  có tính chất: min( , )r m n  để ij 0, ,a i j  thỏa mãn i j hay i r và 11 22a . ... 0rra a  Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 22 11 22 ... ... ... ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... ... 0 0 ... 0 ... ... 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 ... ... 0 rr a a A a                          Rõ ràng hạng của ma trận hình thang này là r. Ví dụ: Tìm hạng của ma trận 1 2 1 3 2 1 0 1 2 3 1 2 A            Biến đổi ma trận A về dạng hình thang 1 2 1 3 1 2 1 3 2 1 0 1 0 3 2 5 2 3 1 2 0 1 3 4 A                         1 2 1 3 0 1 3 4 0 0 7 7 B              Các bước biến đổi:  Nhân dòng 1 với (-2) rồi cộng vào dòng 2; nhân dòng 1 với (-2) rồi cộng vào dòng 3.  Đổi vị trí dòng 2 và dòng 3.  Nhân dòng 2 với ( - 3) rồi cộng vào dòng 3. Ma trận B có dạng hình thang và có hạng là 3. Từ đó ( ) 3r A  . 2.3.2. Tính hạng của ma trận bằng phƣơng pháp biến đổi sơ cấp (PP Gauss) 2.3.2.1. Nhận xét: Ma trận A cấp mxn khác không được gọi là ma trận bậc thang nếu tồn tại một số tự nhiên r thỏa 1 min{ , }r m n  thỏa các điều kiện sau: (1) r dòng đầu khác 0. Các dòng thứ r +1 trở đi (nếu có) đều bằng 0. (2) Xét dòng thứ k với 1 k r  . Nếu kki a là phần tử đầu tiên bên trái (tính từ trái sang phải) khác không của dòng k thì ta phải có 1 2 ... ri i i   . Các phần tử kki a được gọi là các phần tử đánh dấu của ma trận A. Các cột chứa các phần tử được đánh dấu 1 2{ , ,..., }ri i i gọi là cột đánh dấu của ma trận A. Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 23 Điều kiện (2) có thể phát biểu lại: Nếu đi từ trên xuống thì các phần tử được đánh dấu phải lùi dần về bên phải. Do đó, ma trận bậc thang có dạng như sau: 1 2 1 2 0...0 ... .... ... .... 0...0 0...0 ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... 0...0 0..0 0...0 ... 0...0 0...0 ... ... ... ... ... ... 0...0 0..0 0..0 0..0 0...0 0...0 r i i ri a a A a                         2.3.2.2 Nhận xét: Nếu A là ma trận bậc thang thì số r các dòng khác 0 trong định nghĩa chính là rankA. Hay rankA = r. Thật vậy chỉ có định thức con cấp r của A khác 0 chính là định thức rD tạo ra bởi r dòng đầu và r cột đánh dấu bởi các cột 1 2{ , ,..., }ri i i . Ngoài ra, các định thức con cấp r +1 của A đều tạo bởi r + 1 dòng nào đó nên có ít nhất một dòng bằng không. Do đó, chúng đều bằng 0. 2.3.2.3 Ví dụ: Các ma trận bậc thang 1 3 2 8 0 3 8 0 0 0 0 1 0 0 0 0 A             Khi đó rankA = 3 (bằng số dòng khác 0 của A) 1 1 2 3 4 0 0 1 8 0 0 7 0 0 0 3 0 6 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 B                 . Khi đó rank B = 4 (Bằng số dòng khác 0 của B). 2.3.2.4. Nhắc lại các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ba phép biến đổi sau đây được gọi là phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận:  Đổi chổ hai dòng cho nhau;  Nhân một dòng cho một số khác 0;  Nhân một dòng cho một số bất kỳ rồi cộng vào dòng khác.  Nếu thay từ dòng bằng từ cột, ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột. 2.3.2.5. Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đổi sơ cấp Nội dung của phương pháp này được dựa trên 2 nhận xét sau:  Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận; Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 24  Một ma trận khác ma trận 0 bất kỳ đều có thể đưa về dạng ma trận bậc thang sau một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Vậy muốn tìm hạng của ma trận A, ta sẽ dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng bậc thang, từ đó suy ra hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bậc thang và bằng đúng số dòng khác 0 của nó. 2.3.2.6. Thuật toán để đưa ma trận khác 0 bất kỳ về dạng ma trận bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp: a) Thuật toán: Xét ma trận 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n m m mn a a a a a a A a a a             Bước 1:  Bằng cách đổi chỗ hai dòng cho nhau nếu cần để 11 0a  .  Ta nhân dòng (1) với 21 11 a a  rồi cộng vào dòng (2).  Ta nhân dòng (1) với 31 11 a a  rồi cộng vào dòng (3).  Ta nhân dòng (1) với 1 11 ma a  rồi cộng vào dòng (m). Khi đó ta nhận được ma trận 11 12 1 22 2 1 32 3 2 ... ... 0 ... ... 0 ... ... 0 ... ... n n n m mn a a a b b A b b b b                Nhận xét: ở ma trận 1A thì chỉ có giá trị 11 0a  còn tất cả các phần tử khác của cột 1 đều bằng 0. Chú ý: Nếu ở ma trận A ban đầu mọi phần tử ở cột 1 đều bằng 0 thì ta có thể bỏ qua cột 1 mà thực hiện bước 1 đối với cột kế tiếp. Bước 2: Xét ma trận 22 23 2 32 33 3 2 3 ... ... ... n n m m mn b b b b b b B b b b             Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 25 Nếu ma trận B có dạng bậc thang, hoặc ma trận B = 0 thì suy ra ma trận A1 có dạng bậc thang và thuật toán kết thúc. Trong trường hợp ngược lại, thì thực hiện bước 1 cho ma trận B. Vì ma trận B có ít hơn ma trận A1 dòng và 1 cột, nên thuật toán sẽ kết thúc sau một số hữu hạn các bước lặp. b) Ví dụ: Tính hạng của ma trận 0 1 3 4 6 1 3 4 5 2 3 5 2 3 4 2 3 5 6 4 A                Giải: 3 1 31 2 4 1 4 3 2 1 3 4 5 2 1 3 4 5 2 0 1 3 4 6 0 1 3 4 6 3 5 2 3 4 0 4 10 12 2 2 3 5 6 4 0 3 13 16 8 d d dd d d d d A                                    3 2 3 4 4 3 4 2 4 4 3 1 3 4 5 2 1 3 4 5 2 0 1 3 4 6 0 1 3 4 6 0 0 22 28 26 0 0 22 28 26 0 0 22 28 26 0 0 0 0 0 d d d d d d d d d                                 Vậy rankA = 3 Ví dụ 2: Tính hạng của ma trận sau: 1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 1 1 ... a a B a             Giải: 2 2 1 1 2 3 3 3 1 1 ... ... ( 1) 1 1 ... 1 ( 1) 1 1 ... 1 ( 1) 1 ... 1 0 1 0 ... 0 ( 1) 1 1 ... 0 0 0 ... 1 n n n d d d c c c c d d d d d d a n a n a n a a B C a n a a                                            Nếu (1 ), 1a n a   thì ma trận C là ma trận bậc thang cấp n. Khi đó, rankB = rankC = n. Nếu a = 1 thì ma trận C là ma trận bậc thang. Khi đó rank B = rankC = 1. Nếu a = 1 – n thì khi đó Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 26 0 1 1 ... 1 0 0 ... 0 0 0 0 ... n C n             . Khi đó C là ma trận bậc thang có định thức cấp n – 1 khác 0, đó là định thức 1 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 n n n n n        và det C = 0. Do đó, rankB = rank C = n – 1. ■ Ví dụ 3 Tìm điều kiện của m để hạng ma trận sau bằng 1. 1 3 4 2 6 3 9 12 A m          Giải Nhận thấy ma trận A có hai dòng 1 và 3 tỉ lệ với nhau, do đó để ma trận có hạng bằng 1 thì m = 8. Nhận xét: Do ( ) ( )Trank A rank A nên ta có thể thay thế các phép biến đổi trên dòng bởi các phép biến đổi trên cột để đưa ma trận A về dạng bậc thang từ đó suy ra hạng của ma trận A. 2.4. Ma trận nghịch đảo Các khái niệm: Cho ( )nA M K , ma trận A được gọi là khả nghịch trái nếu tồn tại ma trận ( )nB M K sao cho . nB A I . Tương tự ma trận A được gọi là khả nghịch phải nếu tồn tại ma trận ( )nC M K sao cho . nAC I . Ma trận A được gọi là ma trận khả nghịch nếu A là ma trận khả nghịch trái và khả nghịch phải tức là tồn tại ma trận B vuông cấp n sao cho AB = BA = In (1), với In là ma trận đơn vị. Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận B thỏa điều kiện (1) là duy nhất và ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1. Vậy 1 1 nAA A A I    . Ví dụ: Cho ma trận 3 4 6 0 1 1 2 3 4 A            và 1 2 2 2 0 3 2 1 3 B            Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 27 Ta có thể kiểm tra được nAB BA I  . Do đó ma trận A khả nghịch và ma trận nghịch đảo của nó là ma trận B. 2.4.1. Điều kiện của ma trận khả nghịch - A khả nghịch A là ma trận không suy biến, tức là det 0.A - Nếu A và B là hai ma trận khả nghịch thì tích AB cũng là ma trận khả nghịch và 1 1 1( )AB B A   . Nhận xét: Cho ( )nA M K khi đó, i) A khả nghịch trái A khả nghịch phải A khả nghịch. ii) Nếu A khả nghịch thì 1 1| | | |A A  iii) Nếu A có 1 dòng (hoặc 1 cột ) bằng 0 thì A không khả nghịch. iv) Nếu A khả nghịch thì 1, , ( , 0)TA A A K     cũng khả nghịch và     1 1 1 1 1 11;( ) ;( ) T TA A A A A A          Định lý: Nếu 1 2, ,..., ( )k nA A A M K khả nghịch thì tích 1 2... kA A A cũng khả nghịch và 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1( .... ) . ... .k k kA A A A A A A       2.4.2. Tìm ma trận nghịch đảo qua phần phụ đại số * Cho m nA  có det(A)D  và Dij là định thức con của D bỏ đi hàng i cột j * Ma trận m nA  khả đảo det(A) 0  11 12 1 21 22 21 1 2 ... ...1 det( ) ... T n n n n nn A A A A A A A A A A A              với ij ij( 1) i jA D  Ví dụ: Cho ma trận 1 2 3 0 2 2 0 4 A m           . Tính A-1. Giải * Tính 1 2 3 1 2 3 2 det(A) 0 2 0 2 4 4 4 2 2 0 4 0 4 2 m m m m             * Nếu m = -1 thì det(A) = 0 không tồn tại A-1 *Nếu 1m   thì det( ) 0A  suy ra A-1 tồn tại, nên ta tính các phần phụ đại số Aij Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 28 11 12 13 2 0 0 2 8, 2 , 4 0 4 2 4 2 0 m m A A m A           21 22 23 2 3 1 3 1 2 8, 2, 4 0 4 2 4 2 0 A A A          31 32 33 2 3 1 3 1 2 2 6, , 2 2 0 0 2 A m A m A m m             1 8 2 4 8 8 2 6 1 1 8 2 4 2 2 ( 1) 4 4 4 4 2 6 2 4 4 2 T m m A m m m m m m m                                    1 2 2 3 1 1 2( 1) 1 2( 1) 2( 1) 4( 4) 1 1 1 1 1 2( 1) m m m m m m A m m m m m m                                2.4.3. Tìm ma trận nghịch đảo biến đổi sơ cấp (PP Gauss) Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n ta lập ma trận có cấp nx2n sau đây: 11 12 1 21 22 2 1 2 ... 1 0 ... 0 ... 0 1 ... 0 ... 0 0 ... 1 n n n n n nn a a a a a a A I a a a                 Sau đó ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận  | nA I về dạng  |nI B . Khi đó, ma trận B chính là ma trận nghịch đảo của ma trận A. Chú ý: Nếu trong quá trình biến đổi nếu vế bên trái của ma trận xuất hiện toàn số 0 thì ma trận A không khả nghịch. Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 A             Giải: Xét ma trận sau: Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 29 1 1 2 3 4 0 1 1 1 1 0 0 0 3 3 3 3 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 d d d d d                               1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 1 3 1 1 1 1 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1 1 1 1 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1/ 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1/ 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 d d d d d d d d d d d                                             1 1 2 3 4 1 0 0 0 2 / 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 0 1 0 0 1/ 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3 0 0 1 0 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 0 0 0 1 1/ 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 d d d d d                           2 2 3 3 4 4 1 0 0 0 2 / 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 0 1 0 0 1/ 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3 0 0 1 0 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 0 0 0 1 1/ 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 d d d d d d                  Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là 1 2 / 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 A             (Sinh viên có thể dùng phương pháp 1 để tính lại ma trận nghịch đảo của ma trận A). trong bài tập 4. Chú ý: tất cả các phần tử trên đường chéo chính là a, tất cả các phần tử trên đường chéo phụ là b còn tất cả các phần tử còn lại là bằng 0. Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 30