Giáo trình Giải tích 1 - Chương 2: Giới hạn và vi phân hàm một biến số

TÀI LIỆU MÔN GIẢI TÍCH 1 LÝ THUYẾT CHƢƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ 2.1. Một số khái niệm cơ bản 2.1.1 Định nghĩa hàm số Cho X là tập rỗng của R , một hàm số f xác định trên X là một quy tắc sao cho ứng với mỗi giá trị của biến x thuộc X có duy nhất một giá trị thực của biến y . Kí hiệu y = f(x). Trong đó: - x được gọi là biến độc lập, y được gọi là biến phụ thuộc. - X được gọi là miền xác định của hàm số, kí hiệu là Df. Tập Y = {y ∈ R \ y = f (x), X ∈ Df } được gọi là miền giá trị của hàm số, kí hiệu Rf . 2.1.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ a. Tập đối xứng Tập X được gọi là tập đối xứng qua gốc toạ độ O nếu với bất kỳ x ∈ X thì - x ∈ X. Người ta thường gọi tắt là tập đối xứng. b . Hàm số chẵn, hàm số lẻ Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập đối xứng X, khi đó ta có: - Hàm số y = f(x) là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc X thì f(-x) = f(x). - Hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc X thì f(-x) = - f(x). 2.1.3 Hàm số bị chặn - Hàm số y = f(x) được gọi là bị chặn dưới trên tập XDf nếu tồn tại số a ∈ R sao cho f(x) ≥ a ∀x ∈ X. - Hàm số y = f(x) được gọi là bị chặn trên trên tập XDf nếu tồn tại số b ∈ R sao cho f(x) ≤b ∀x ∈ X. - Hàm số y = f(x) được gọi là bị chặn trên tập XDf nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại hai số a, b ∈ R sao cho a ≤ f(x) ≤ b ∀x ∈ X. 2.1.4 Hàm số hợp Cho hai hàm số f(x) và g(x) thoả RfDg , khi đó hàm số hợp của f(x) và g(x) là hàm số h(x) được xác định h(x) = g[f(x)] với mọi x ∈ Df . Kí hiệu h = gf. 2.1.5 Hàm số ngƣợc Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn với mọi x1, x2 ∈ Df và x1 ≠ x2 ta luôn có f(x1) ≠ f(x2). Khi đó hàm số f(x) có hàm số ngược, kí hiệu là g(y) và được xác đinh bởi: x = g(y) với y = f(x). Chú ý: - Nếu g là hàm ngược của hàm f thì Dg = Rf và Rg = Df . - Đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường thẳng y = x. - Điều kiện để hàm y = f(x) có hàm ngược là hàm f phải đơn điệu trong miền xác định của nó. 2.1.6 Hàm lƣợng giác ngƣợc - Hàm y = arcsinx là hàm ngược của y = sinx f : [-1,1] → , 2 2        x y = arcsinx - Hàm y = arccosx là hàm ngược của y = cosx f : [-1,1] →  0, Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 1 x y = arccosx - Hàm y = arctanx là hàm ngược của y = tanx f : R → 0 ( ) lim ( ) x x f x L f x L x    x y = arctanx - Hàm y = arccotx là hàm ngược của y = cotx f : R →  0, x y = arccotx 2.2 Giới hạn hàm số 2.2.1 Khái niệm về giới hạn hàm số a. Định nghĩa 1 Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x → x0 nếu với mọi ε > 0 cho trước (bé tùy ý) tồn tại số δ dương sao cho với mọi x thỏa mãn 0 < 0x x < δ ta có ( )f x L < ε. Kí hiệu: 0 lim ( ) x x f x L   hay f(x) → L khi x → x0 b. Định nghĩa 2 Số L được gọi là giới hạn phải (trái) của hàm số f(x) khi x → x0 nếu với mọi ε > 0 cho trước (bé tùy ý) tồn tại số δ dương sao cho với mọi x thỏa mãn x0 < x < x0 + δ (x0 −δ< x < x0) ta có ( )f x L < ε. Kí hiệu: 0 lim ( ) x x f x L   hay 0 lim ( ) x x f x L   c. Định nghĩa 3 Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x → ∞ nếu với mọi ε > 0 (bé tùy ý) tồn tại số M > 0 (lớn tùy ý) sao cho với mọi x thỏa mãn x > M ta có ( )f x L < ε. Kí hiệu: 0 0lim ( ) ( ) x x f x f x   hay f(x) → L khi x → ∞ 2.2.2 Các tính chất - Nếu f(x) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. - Nếu hàm số f(x) có giới hạn là L khi x → x0 và L > a (hay L < a) thì trong một lân cận nào đó của x0 (không kể x0) ta có f(x) > a ( hay f(x) < a). - Nếu f(x) ≤ g(x) trong một lân cận nào đó của điểm x0 và ta có 0 lim ( ) x x f x a   ; 0 lim x x g(x) = b thì a ≤ b. - Nếu f(x) = C (C là hằng số) thì 0 lim ( ) lim ( ) C x x x f x f x     - Nếu f(x) là một hàm số sơ cấp xác định tại điểm x0 và ở trong lân cận x0 thì 0 0lim ( ) ( ) x x f x f x   - Giả sử f(x), g(x) và h(x) là những hàm số được xác định trong một lân cận nào đó của điểm x0, không nhất thiết xác định tại x0. Khi đó, nếu các hàm số f(x), g(x) và h(x) thỏa mãn điều kiện: g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) và 0 lim x x g(x) = 0 lim x x h(x)= L thì 0 lim ( ) x x f x  =L - Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x dương lớn tùy ý, khi đó nếu hàm f(x) là hàm số đơn điệu tăng và bị chặn trên thì f(x) có giới hạn khi x → +∞. Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x âm lớn tùy ý về giá trị tuyệt đối, khi đó nếu hàm f(x) là hàm số đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì f(x) có giới hạn khi x → −∞. - Nếu các hàm số f(x) và g(x) có giới hạn khi x → x0 thì tổng, hiệu, tích thương của chúng có giới hạn khi x → x0 và ta có: lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x). lim [f(x). g(x)] = lim f(x) .lim g(x). Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 2 00 0 0 ' ' 1 lim ( ) lim(1 ) 1ln (lim( ) 0) lim ( ) ( ) ( ) lim lim lim ( ) 0 ( ) ( ) x x x x x x x x x x f x e a x x g x f x f x LL g x g x g x            - Giới hạn của hàm hợp: Cho f : X → R , g : Y → R và f(X) Y Nếu lim ( ) x a f x b   và lim (y) y b g l   thì lim (f(x)) x a g l   2.2.3 Các giới hạn cơ bản 0 sinx lim 1 x x  0 ln(1 ) lim 1 x x x   0 1 lim ln x x a a x   . Đặc biệt 0 1 lim 1 x x e x   . 0 (1 ) 1 lim 1 x x x      . 1 0 lim(1 ) x x x e    hay 1 lim(1 )x x e x   2.2.4 Quy tắc L’Hospital Cho hai hàm số f(x) và g(x) ≠ 0. - Nếu 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x      và 0 ' ' ( ) lim ( )x x f x L g x  thì 0 0 ' ' ( ) ( ) lim lim . ( ) ( )x x x x f x f x L g x g x   có thể hữu hạn hoặc vô hạn. - Nếu 00 0lim ( ) ( ) lim ( ) x xx x f x f x g x      và 0 ' ' ( ) lim ( )x x f x L g x  thì 0 0 ' ' ( ) ( ) lim lim . ( ) ( )x x x x f x f x L g x g x   có thể hữu hạn hoặc vô hạn. Điều kiện áp dụng quy tắc L’Hospital là giới hạn 0 ' ' ( ) lim ( )x x f x g x phải tồn tại. 2.3 Tính liên tục của hàm số 2.3.1 Các định nghĩa a. Định nghĩa 1 Cho hàm số f(x) xác định tại x0 và ở trong lân cận x0, khi đó hàm f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim f(x) = f (x0). b . Định nghĩa 2 Hàm f(x) được gọi là liên tục trái (phải) tại điểm x0 nếu: - Hàm f(x) xác định tại điểm x0 và ở trong lân cận trái (phải) điểm x0. - 0 0lim ( ) ( ) x x f x f x   c. Định nghĩa 3 - Hàm f(x) được gọi là liên tục trong khoảng (a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi x thuộc khoảng (a; b). - Hàm f(x) được gọi là liên tục trên [a; b] nếu f(x) liên tục trong khoảng (a; b) và liên tục phải tại x = a Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 3 và liên tục trái tại x = b. d. Định nghĩa 4 - Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục tại x và x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm f(x). Người ta đã chia các điểm gián đoạn của f(x) làm hai loại: - Nếu x0 là điểm gián đoạn của hàm số và giới hạn trái, phải của hàm số f(x)khi x dần tới x0 đều là hữu hạn thì x0 gọi là điểm gián đoạn loại một của hàm số f(x),còn 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x      được gọi là bước nhảy của f(x) tại x0. Nếu 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x     được gọi là điểm gián đoạn bỏ được. - Các điểm gián đoạn không phải là điểm gián đoạn loại một thì gọi là điểm gián đoạn loại hai. Chú ý: Điều kiện cần và đủ để cho hàm f(x) liên tục tại x0 là hàm f(x) phải liên tục trái và liên tục phải tại x0 . Hàm sơ cấp f(x) liên tục tại mọi điểm trong miền xác định của nó. 2.3.2 Các định lý về sự liên tục của hàm số : a. Định lý 1 - Nếu f(x), g(x) là những hàm số liên tục tại điểm x0 thì tổng, hiệu (f(x) ± g(x));tích (f(x) . g(x)); thương (g(x) ≠ 0) cũng là những hàm số liên tục tại điểm x0. b. Định lý 2 - Nếu u = u(x) là hàm số liên tục tại x = x0, còn hàm f(u) liên tục tại u = u0 thì hàm f[u(x)] cũng là liên tục tại x0. c. Định lý 3 - Cho f(x) xác định, liên tục trong khoảng I=(α,β), cho a,b ∈ I và f(a).f(b) <0. Khi đó ∃c ∈ (a,b) sao cho f(c)=0 d. Hệ quả - Cho f(x) xác định, liên tục trong khoảng [a,b] khi đó f(x) lấy tất cả các giá trị từ f(a) đến f(b). e. Định lý 4 - Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì nó bị chặn trên [a, b]. - Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] thì nó đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. 2.4 Đạo hàm 2.4.1 Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y = f(x) có miền xác định D R; x0 ∈ D. f được gọi là có đạo hàm tại điểm x0 nếu 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x   tồn tại hữu hạn và ký hiệu giá trị giới hạn trên là f’(x). - Ký hiệu ∆y = f (x) − f (x0) là số gia của y, ∆x = x – x0 là số gia của x. Khi đó:   ,0 00 0 0 ( ) ( ) lim ( )' x f f x x f x f xx x          Chú ý: - Ta có thể kí hiệu đạo hàm của hàm số dưới các dạng sau: , , ( ) ; ; ;f ( ) dy df x y x dx dx . - Giá trị đạo hàm tại điểm x0 của hàm số được biểu diễn như sau: 0 0 0 , , 0 ( ) ; ; ; ( ) x x x x x x dy df x y f x dx dx   . 2.4.2 Đạo hàm một phía và quan hệ với đạo hàm Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 4 - Giả sử hàm số y = f(x) xác định tại x0 và tại ∀x > x0 ( hay ∀x < x0). Nếu giới hạn ,0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) x f x x f x f x x         hay ,0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) x f x x f x f x x         tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm phải (hay đạo hàm trái) của hàm f(x) tại điểm x0. - Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a, b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó. - Hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a, b) và có đạo hàm phải tại a, có đạo hàm trái tại b. 2.4.3 Các định lý về đạo hàm a. Định lý 1 Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) có đạo hàm x là hàm số f(x) có đạo hàm trái và đạo hàm phải bằng nhau. b. Định lý 2 Giả sử hàm số f(x) xác định tại x0 và trong lân cận của nó, nếu hàm f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0. Chú ý: Nếu hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 thì chưa thể suy ra nó có đạo hàm tại x0. 2.4.4 Quy tắc tính đạo hàm a. Định lý về đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số Giả sử f(x), g(x) là các hàm số có đạo hàm tại x, khi đó các hàm tổng, hiệu, tích thương của chúng cũng có đạo hàm tại x và: 2 , , , , , , , , , ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ). ( ) f ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) f ( ). ( ) ( ). ( ) g ) ( ) ( ( ) 0 ( ) f x g x x g x f x g x x g x f x g x f x x g x f x g g g x x x x         b. Định lý đạo hàm của hàm hợp Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm tại x0, hàm f(u) xác định trong khoảng chứa điểm u0 = u(x0) và hàm f(u) có đạo hàm tại điểm u0 thì hàm hợp h(x) = f[u(x)] có đạo hàm tại điểm x0 và h’(x0) = h’(u0).u’(x0). c. Đạo hàm của hàm ngược Giả sử hàm y = f(x) có hàm ngược là x = g(y). Nếu hàm f(x) có đạo hàm tại x0 và f’(x0) ≠ 0 thì g(y) có đạo hàm tại y0 = f(x0) và g’(y0) = 0. 2.4.5 Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 5 2.4.6 Đạo hàm cấp cao của một biến a. Định nghĩa đạo hàm cấp hai của hàm một biến Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x) trong khoảng (a, b), ta gọi f’(x) là đạo hàm cấp 1của hàm f(x). Bản thân f’(x) cũng là hàm số nên nó có thể có đạo hàm, nếu hàm f’(x) có đạo hàm tại x thuộc khoảng (a, b) thì ta gọi đạo hàm của hàm f’(x) là đạo hàm cấp 2 của hàm f(x) và kí hiệu y” = f”(x) =   2 2 2 2 ( ) ” ” d y d f y f x dx dx    b. Định nghĩa đạo hàm cấp n của hàm một biến Đạo hàm cấp n của hàm f(x) là đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) của nó. ( )n n n n d y d f dx dx  Ký hiệu: ( ) ( ) ( )n ny f x c. Quy tắc - ( ) ( ) ( )( ) n n nf g f g   - ( ) ( ) (k) 0 ( ) n n k n k n k fg C f g   2.5 Vi phân 2.5.1 Định nghĩa (vi phân cấp 1) Cho hàm số f(x) xác định tại x0 và trong lân cận của nó. Cho x một số gia ∆x tuỳ ý, nếu tại x số gia của hàm số ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0) viết được dưới dạng : ∆y = A∆x +α(∆x), trong đó A là đại lượng không phụ thộc vào ∆x và α(∆x) là vô cùng bé bậc cao hơn ∆x (nghĩa là α(∆x)→0 khi ∆x →0 ) thì ta nói hàm số f(x) khả vi tại điểm x0 và đại lượng A∆x được gọi là vi phân của hàm số tại điểm x0. Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 6 Kí hiệu: dy = A∆x . Nhận xét: Từ định nghĩa ta suy ra ∆y = dy +α (∆x) hay ∆y − dy =α (∆x) . Vậy nếu f(x) khả vi thì số gia của hàm số sai khác vi phân một lượng vô cùng bé không đáng kể. Do đó ta có: ∆y ≈ dy khi ∆x →0. 2.5.2 Điều kiện khả vi a. Định lý về hàm khả vi Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) khả vi tại điểm x là f(x) có đạo hàm hữu hạn tại điểm x. Khi đó ta có: df = f '(x)∆x. b. Chú ý Ta xét hàm f(x) = x ⇒ f ' (x) = 1⇒ df = dx = 1.∆x = ∆x , tức là số gia ∆x của biến độc lập trùng với vi phân dx của nó. Khi đó công thức vi phân của hàm f(x) có dạng: df = f '(x) dx . 2.5.3 Quy tắc tính vi phân a. Định lý về tổng, hiệu, tích, thương các hàm khả vi Giả sử f(x), g(x) là các hàm số khả vi, khi đó ta có:     d f g df dg d fg gdf fdg      2 ( 0) f gdf fdg d g g g         b. Định lý vi phân của hàm hợp Giả sử y =f(u) và u = u(x) là những hàm số khả vi, khi đó ta có: df[u(x)] = f’[u(x)]dx = f’(u).u’(x).dx = f’(u).du 2.5.4 Định nghĩa vi phân cấp cao - Vi phân cấp hai của hàm f(x) là vi phân của vi phân cấp một, kí hiệu: d2f(x). - Vi phân cấp n của hàm f(x) là vi phân của vi phân cấp n - 1 của hàm f(x).Kí hiệu: dnf(x). Ta có: dn f(x) = f (n) (x).dx n . 2.6 Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 2.6.1 Các định lý Fermat, Cauchy, Lagrange, Rolle a. Định nghĩa Hàm số f(x) đạt cực đại (hay cực tiểu) tại điểm x0 ∈(a, b) ∈ Df nếu tồn tại một lân cận của điểm x0 sao cho với mọi x thuộc lân cận đó ta có: f(x) ≤ f(x0) (hay f(x) ≥ f(x0)) Điểm x0 gọi là điểm cực đại (hay cực tiểu) của hàm số, điểm cực đại hay cực tiểu gọi chung là điểm cực trị. Giá trị hàm số tại điểm cực đại (hay cực tiểu) gọi là giá trị cực đại (hay cực tiểu) và gọi chung là giá trị cực trị. b. Định lý Fermat Nếu hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b), đạt cực đại hay cực tiểu tại điểm x0 ∈(a, b) và tồn tại f '(x0) thì f '(x0) = 0. c. Định lý Cauchy Nếu các hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trên khoảng (a, b) và g'(x) ≠ 0 với ∀x ∈ (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈(a, b) sao cho: , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) f c f b f a g b g ag c    d. Định lý Lagrange Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và khả vi trong khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 7 b) sao cho , ( ) ( ) ( ) f b f a f c b a    Ý nghĩa: Trên cung AB (với A(a,f(a)) và B(b, f(b)) có thể tìm được ít nhất một điểm M mà tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng AB. e. Định lý Rolle Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trên khoảng (a, b) và f(a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f’(c) = 0. Ý nghĩa: Trên cung AB (với A(a,f(a)) và B(b, f(b)) có thể tìm được ít nhất một điểm M mà tại đó tiếp tuyến song song với trục Ox. f. Định lý Qui tắc L’Hospital thứ hai Giả sử : - f(x) và g(x) là các hàm số khả vi trong lân cận của điểm x0 . - 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x      - g'(x) ≠ 0 ở trong lân cận của x0. - 0 , , ( ) lim ( )x x f x A g x  Khi đó: 0 ( ) lim ( )x x f x A g x  2.6.2 Các công thức khai triển Taylor, Maclaurin - Cho hàm f khả vi đến cấp (n+1) tại a ∈ X. Gọi đa thức Pn(x) với deg Pn(x) ≤ n thỏa mãn điều kiện: ( ) ( )( ) ( )k knP a f a k 0,n là đa thức Taylor của f(x) tại lân cận điểm a, hay là phần chính quy của khai triển hữu hạn bậc n tại a của f(x) - Nếu a = 0 thì Pn(x) gọi là đa thức Maclaurin của f(x) Định lý: Nếu Pn(x) là đa thức Taylor của f(x) tại lân cận của a thì nó là duy nhất và có dạng: , ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) 1! n! n n n f a f a P x f a x a x a      - Công thức Taylor Cho Pn(x) là đa thức Taylor của f(x) tại lân cận điểm a 1. Gọi ( ) ( ) ( )n nr x f x P x  là phần dư Taylor bậc n tại a của f(x) Hệ quả: Phần dư ( )nr x có dạng: ( 1) 1( )( ) ( ) ( 1)! n n n f c r x x a n     với c ∈ (a,x) tức là c = a + θ(x-a), 0 < θ < 1, gọi là phần dư trong dạng Lagrange 2. (k) (n 1) 1 0 (a) (a (x a)) f(x) ( ) ( ) k! (n 1)! n k n k f f x a x a            được gọi là công thức Taylor bậc n, hay khai triển hữu hạn bậc n hàm f(x) tại lân cận của a. 3. (k) (n 1) 1 0 (0) ( x) f(x) k! (n 1)! n k n k f f x x        được gọi là công thức Maclaurin bậc n, hay khai triển hữu hạn bậc n của f(x) tại lân cận của 0. Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 8 2.6.3 Sự biến thiên của hàm số a. Tính đơn điệu của hàm khả vi Định lý 1: Cho f ∈ R[a,b] thỏa mãn: - f liên tục trên đoạn [a,b] - f(x) khả vi trên khoảng (a,b) - ,f (x) = 0, ∀x ∈ (a,b) khi đó f(x) không đổi trên [a,b] Chứng minh: Lấy bất kỳ x1, x2 ∈ [a,b]. Theo định lý Lagrange tồn tại c ∈ (x1, x2) sao cho , 2 1 2 1 1 2( ) ( ) f ( )( ) 0 ( ) ( )f x f x c x x f x f x      vì x1, x2 tùy ý vậy f(x) không đổi trên đoạn [a,b], tức là f(x) = const trên [a,b] Định lý 2: Cho f liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b). Để f(x) tăng trên [a,b] thì cần và đủ là ,f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a,b) - Giả sử f tăng trên [a,b]. Cho x0 ∈ (a,b), ∀h ∈ R * sao cho x0 + h ∈ (a,b), ta có: 0 0( ) ( ) 0 f x h f x h    Qua giới hạn khi h → 0 nhận được 0'(x ) 0f  - Ngược lại, giả sử ∀x ∈ (a,b), 0'(x ) 0f  . Lấy tùy ý x1, x2 ∈ [a,b]. Áp dụng định lý Lagrange trên [x1, x2] sẽ có c ∈ (x1, x2) sao cho: 2 1 2 1( ) ( ) ( ) '( )f x f x x x f c   2 1 2 1( )( ( ) ( )) 0 ( )x x f x f x f x     tăng trên [a,b] Thay f(x) bởi –f(x) sẽ nhận được định lý trong trường hợp hàm giảm. b. Điều kiện hàm số đạt cực trị Định lý: Cho f ∈ RX. Nếu tồn tại lân cận ( )a X  và 0'(x ) 0f  trên (a – δ,a) và 0'(x ) 0f  trên (a + δ,a) thì f có một cực đại tại a. Định lý: Cho có đạo hàm liên tục đến cấp n tại lân cận ( )a và thỏa mãn điều kiện: ( 1) ( )'(a) ... (a) 0,f ( ) 0n nf f a    Khi đó: - Nếu n chẵn thì f(x) đạt cực trị tại a: đạt cực tiểu nếu ( )f ( ) 0n a  , đạt cực tiểu nếu ( )f ( ) 0n a  - Nếu n lẻ thì f(x) không đạt cực trị tại a. 2.6.4 Hàm lồi a. Khái niệm hàm lồi, hàm lõm và điểm uốn - Ánh xạ f : X →R được gọi là lồi nếu ∀ x1, x2 ∈ X, ∀ ∈ [0,1], 1 2 1 2( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )f x x f x f x        Nói rằng f là lõm khi và chỉ khi –f lồi. - Cho f ∈ RX. Giả sử X = [a,b] ∪ [b,c] mà f lồi (lõm) trên [a,b], f lõm (lồi) trên [b,c]. Khi đó điểm U(b, f(b)) gọi là điểm uốn của đồ thị Cf của hàm số. Như vậy điểm uốn là là điểm phân biệt giữa cung lồi và cung lõm của đồ thị hàm số. b. Định lý Để f là lồi trên X điều kiện cần và đủ là ∀a ∈ X, tỷ số gia tại a của f tăng trên X \{a}, tức là: ( ) ( ) ( )a f x f a x x a     tăng trên X \{a}. Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 9 c. Điều kiện hàm lồi Định lý: Giả sử f là lồi trên X khi đó f khả vi phải và trái tại mọi điểm trong của X và ∀ a,b,c ∈ X sao cho a < b < c, ta có: ' '(b) (a) (c) (b)( ) ( )t p f f f f f b f b b a c b        Định lý: Cho f ∈ RX khả vi. Để f lồi trên X điều kiện cần và đủ là f’ tăng trên X. Hệ quả 1: Cho f khả vi hai lần trên X. Để f là lồi điều kiện cần và đủ là f”(x) ≥ 0. Hệ quả 2: Để u(a, f(a)) là điểm uốn của đồ thị hàm f ∈ RX với a ∈ X, f khả vi hai lần trên X, điều kiện cần và đủ là f”(a) =0 và f”(x) đổi dấu khi x đi qua điểm a. 2.7 Tìm giới hạn hàm số bằng vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL) a. Định nghĩa 1 Hàm f(x) được gọi là vô cùng bé (hay vô cùng lớn) khi x → x0 nếu 0 lim ( ) 0 x x f x   (hay 0 lim ( ) x x f x    ). (Ở đây x0 có thể hữu hạn hoặc vô hạn). Nhận xét : Nếu hàm f(x) là một VCB khi 0 x → x và khác 0 thì 1 ( )f x là một VCL Khi x → x0. Nếu f(x) là một VCL khi x → x0 thì 1 ( )f x là một VCB x → x0. - Một hằng số có trị tuyệt đối bé đến đâu thì cũng không được coi là hàm VCB, một hằng số dù có trị tuyệt đối lớn đến đâu thì nó cũng chỉ là một số lớn chứ không phải là VCL. b. Định nghĩa 2 Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi x → x0. Ta bảo chúng là các VCB (VCL) so sánh được nếu tồn tại giới hạn 0 ( ) lim g( )x x f x c x  khi đó - Nếu c ≠ 0 ,c ≠ ∞ thì ta nói rằng f(x) và g(x) là những VCB (VCL) cùng cấp. - Nếu c = 0 thì ta nói rằng f(x) một VCB cấp cao hơn (VCL cấp thấp hơn) so với g(x). - Nếu tồn tại r > 0 sao cho f(x) cùng cấp với [g(x)]r thì ta nói rằng f(x) là VCB (VCL) cấp r đối với g(x). c. Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi x → x0, đồng thời f(x), g(x) đều là tổng của nhiều VCB thì giới hạn của tỉ số ( ) g( ) f x x bằng giới hạn của tỉ số giữa hai VCB có cấp thấp nhất ở tử số và ở mẫu số. Ví dụ: 2 3 3 70 0 sin tan 1 lim lim 3 33 4 5x x x x x x xx x x        d. Vô cùng bé tương đương Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi x → x0, ta bảo chúng là các VCB tương đương khi x → x0 . nếu: 0 ( ) lim 1 g( )x x f x x  . Kí hiệu ( )f x ~ g( )x . Ví dụ: Khi x → 0 thì sin x ~ x ; ex -1 ~ x; ln (1 + x) ~ x. e. Các tính chất - Tổng của hai VCB là một VCB (khi x → x0) . - Tích của một VCB với một đại lương bị chặn là một VCB (khi x→ x0). - 0 lim ( ) x x f x L   (hữu hạn) khi và chỉ khi f(x) – L = α(x) là VCB khi x→ x0. 2.8 Khảo sát hàm số, đƣờng cong 2.8.1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) Sơ đồ khảo sát: Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 10 1. Tìm miền xác định của hàm số, nhận xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn của hàm số. 2. Xác định chiều biến thiên: tìm các khoảng tăng, giảm của hàm số. 3. Tìm cực trị (nếu có). 4. Xét tính lồi, lõm (nếu cần thiết), điểm uốn (nếu có). 5. Tìm các tiệm cận của hàm số (nếu có). 6. Lập bảng biến thiên. 7. Tìm một số điểm đặc biệt mà hàm số đi qua (ví dụ như giao điểm với các trục tọa độ,...) và vẽ đồ thị của hàm số. 2.8.2 Khảo sát và vẽ đƣờng cong cho dƣới dạng tham số Giả sử cần khảo sát và vẽ đường cong cho dưới dạng tham số ( ) ( ) x x t y y t    1. Tìm miền xác định, nhận xét tính chẵn lẻ, tuần hoàn của các hàm số x(t), y(t). 2. Xác định chiều biến thiên của các hàm số x(t), y(t) theo biến t bằng xét dấu các đạo hàm của nó. 3. Tìm các tiệm cận của đường cong - Tiệm cận đứng: Nếu 0 ( ) lim ( ) t t y t     và 0 0 ( ) lim x( ) t t t x    thì x = x0 là một tiệm cận đứng của đường cong. - Tiệm cận ngang: Nếu 0 ( ) lim x( ) t t t     và 0 0 ( ) lim y( ) t t t y    thì y = y0 là một tiệm cận ngang của đường cong. - Tiệm cận xiên: Nếu 0 ( ) lim y( ) t t t     và 0 ( ) lim x( ) t t t     thì đường cong có thể có tiệm cận xiên. 0 ( ) y( ) lim x( )t t t a t   , 0 ( ) lim [ y(t) ( )] t t b ax t     thì y = ax + b là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. 4. Để vẽ đường cong chính xác hơn, ta xác định tiếp tuyến của đường cong tại các điểm đặc biệt. Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong tại mỗi điểm bằng: ' ' t t ydy dx x  5. Xác định một số điểm đặc biệt mà đồ thị hàm số đi qua và vẽ đồ thị hàm số. 2.8.3 Khảo sát và vẽ đƣờng cong trong hệ tọa độ cực r = r (φ) 1. Tìm miền xác định, tính tuần hoàn, chẵn (đồ thị đối xứng qua Ox, lẻ: đối xứng qua Oy). Nếu hàm tuần hoàn chu kỳ T thì chỉ cần khảo sát trên một chu kỳ [ 0,T] hoặc ; 2 2 T T      rồi quay đồ thị quanh gốc O một góc T đến khi không sinh ra nhánh mới. 2. Tính đạo hàm của r theo φ 3. Lập bảng biến thiên của hàm r (φ) 4. Tìm tiệm cận. Để đơn giản dùng đổi biến: x = r (φ). cos(φ), y = r (φ). sin(φ) và dùng cách tìm tiệm cận của hàm tham số φ. Nếu lim ( )r a     , thì r = a là đường tròn tiệm cận. 5. Tìm các điểm đặc biệt, dựa vào bảng biến thiên vẽ. Chú ý: Nếu r < 0 thì lấy điểm nằm đối xứng qua gốc O. Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 11