Giáo trình Kinh tế lượng 1 - Bài 6: Đánh giá các khuyết tật

v1.0015108225 BÀI 6 ĐÁNH GIÁ CÁC KHUYẾT TẬT ThS. Nguyễn Hải Dương và ThS. Vũ Thị Bích Ngọc Trường Đại học Kinh tế Quốc dân 1 v1.0015108225 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Tham khảo tình huống trong Bài giảng dạng text. 1. Mô hình 1 có bị thiếu biến số quan trọng hay không? (với bộ số liệu đang sử dụng) 2. Nếu có thêm số liệu về biến số người của hộ (SN) thì có nên đưa biến này vào mô hình 1 hay không? 3. Sai số ngẫu nhiên trong mô hình 1 có phương sai đồng đều hay không? 4. Sai số ngẫu nhiên của mô hình 1 có phân phối chuẩn hay không? Nếu không, điều này có ảnh hưởng đến các phân tích hồi quy hay không? 5. Có thể dùng các kết quả ước lượng từ mô hình 1 có đáng tin cậy để thực hiện phân tích hồi quy hay không? 2 v1.0015108225 MỤC TIÊU Sau khi học xong bài này, sinh viên cần đảm bảo được các yêu cầu sau: • Nắm được các tiêu chí cơ bản đánh giá một mô hình thích hợp cho phân tích thực nghiệm. • Hiểu rõ bản chất của các khuyết tật có thể gặp phải khi sử dụng một mô hình để phân tích. • Nắm được hậu quả và cách phát hiện một số khuyết tật cơ bản của mô hình hồi quy. • Nắm được một số phương pháp khắc phục đơn giản cho các khuyết tật của mô hình. 3 v1.0015108225 NỘI DUNG Tiêu chí đánh giá Kiểm định dạng hàm sai – kỳ vọng sai số khác 0 Kiểm định phương sai sai số thay đổi Kiểm định tính phân phối chuẩn của sai số ngẫu nhiên 4 v1.0015108225 1. TIÊU CHÍ ĐÁNH GIÁ 1.2. Một số kiểu định dạng hàm sai trong nghiên cứu thực nghiệm 1.1. Tiêu chí lựa chọn mô hình 5 v1.0015108225 1.1. TIÊU CHÍ LỰA CHỌN MÔ HÌNH (1) Độ chính xác của số liệu chấp nhận được (2) Độ vững của lý thuyết (3) Mô hình có dạng hàm được định dạng đúng (4) Tính bao quát D.F.Hendry và J.F.Richard (1983) 6 v1.0015108225 1.2. MỘT SỐ KIỂU ĐỊNH DẠNG HÀM SAI TRONG NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM (+) Mô hình bỏ sót biến giải thích quan trọng: Ví dụ Mô hình (1): Mô hình (2): Nếu dạng hàm của mô hình (2) là đúng thì: Như vậy: Mô hình (1) vi phạm giả thiết 2. 121 uTNCT   2321 uSNTNCT   231 uSNu   0),(),(],)([),( 23231  SNTNuESNTNSNESNTNuSNESNTNuE  7 v1.0015108225 1.2. MỘT SỐ KIỂU ĐỊNH DẠNG HÀM SAI TRONG NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 8 (+) Mô hình chứa các biến không cần thiết: Ví dụ Mô hình: Với các biến: TN – thu nhập của người lao động. KN – số năm kinh nghiệm làm việc trong công việc hiện tại. TUOI – tuổi đời của người lao động. Trong mô hình dễ thấy khi tuổi đời tăng lên thì số năm kinh nghiệm của người lao động cũng tăng lên điều này dẫn tới có thông tin trùng lặp trong mô hình, người nghiên cứu có thể bỏ bớt 1 trong 2 biến giải thích của mô hình. uTUOIKNTN  321  v1.0015108225 1.2. MỘT SỐ KIỂU ĐỊNH DẠNG HÀM SAI TRONG NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM (+) Xác định dạng hàm sai Ví dụ Mô hình (1): Mô hình (2): Giả sử dạng hàm đúng là mô hình (2), như vậy ta cũng gặp tình huống tương tự như trường hợp mô hình bị bỏ sót biến giải thích quan trọng và dẫn tới các ước lượng bị chệch. 121 uPQ   22 1 uePQ  9 v1.0015108225 1.2. MỘT SỐ KIỂU ĐỊNH DẠNG HÀM SAI TRONG NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 10 (+) Sai số trong đo lường các biến số Nghiên cứu sự phụ thuộc của Lượng cầu hàng hóa vào giá bán hàng hóa. Trên thực tế ta cần sử dụng biến đại diện cho biến lượng cầu hàng hóa là “lượng bán của hàng hóa”. Thông thường trong trường hợp này biến đại diện là tốt. Ví dụ Mô hình: Tuy nhiên, biến Y và biến X trong mô hình trên phải đại diện bởi biến Y* = Y + w và biến X* = X + v. Khi đó mô hình thực tế: Thông thường, mức sai lệch v và w càng lớn dẫn tới sự tương quan cao giữa sai số trong mô hình thực tế và biến giải thích giả thiết 2 bị vi phạm. uXY  21  )( 221 wvuXY   v1.0015108225 2. KIỂM ĐỊNH DẠNG HÀM SAI – KỲ VỌNG SAI SỐ NGẪU NHIÊN KHÁC 0 11 2.2. Hậu quả của kỳ vọng sai số ngẫu nhiên khác không 2.1. Nguyên nhân 2.3. Phát hiện sự khác không của kỳ vọng của sai số ngẫu nhiên 2.4. Một số biện pháp khắc phục v1.0015108225 2.1. NGUYÊN NHÂN • Mô hình bỏ sót biến giải thích quan trọng; • Mô hình chứa các biến không cần thiết; • Xác định dạng hàm sai; • Sai số trong đo lường các biến số. 12 v1.0015108225 2.2. HẬU QUẢ CỦA KỲ VỌNG SAI SỐ NGẪU NHIÊN KHÁC 0 (+) Ước lượng OLS bị chệch (+) Các suy diễn thống kê không đáng tin cậy Các bài toán suy diễn thống kê đối với mô hình hồi quy như bài toán ước lượng hoặc bài toán kiểm định đều cần ước lượng của các là ước lượng tốt nhất. Tuy nhiên khi các là ước lượng chệch thì đương nhiên chúng cũng không phải là ước lượng tốt nhất. Các kết quả suy diễn thống kê nhận được đều không đáng tin cậy cho người nghiên cứu. (+) Phát sinh lượng chệch của ước lượng khi mô hình thiếu biến giải thích quan trọng Mô hình: Nếu sử dụng: Khi đó: với là ước lượng hệ số góc của mô hình: Lượng chệch của ước lượng chính là . Khi hệ số và càng lớn thì lượng chệch này cũng tăng lên. j jˆ ),1()ˆ( kjE jj   133221 uXXY   2221 uXY   2322 ˆ)ˆ( bE   2ˆb vXbbX  2213 2ˆ 3 2bˆ 3 2bˆ 13 v1.0015108225 2.3. PHÁT HIỆN SỰ KHÁC 0 CỦA KỲ VỌNG SAI SỐ NGẪU NHIÊN KHÁC 0 14 a) Trường hợp thông tin, số liệu của biến bị thiếu đã biết: Để kiểm tra mô hình trên có thiếu biến Z (đã có thông tin), ước lượng mô hình: Sau đó kiểm định: Chọn tiêu chuẩn kiểm định: Miền bác bỏ H0: uXXY kk  ..... 221        0:H 0:H 11 10 k k   )ˆ( ˆ 1 1   k k Se t    )1( 2 :  kntTTW  uZXXY kkk   ...... 1221  v1.0015108225 2.3. PHÁT HIỆN SỰ KHÁC 0 CỦA KỲ VỌNG SAI SỐ NGẪU NHIÊN KHÁC 0 15 Ví dụ Xét mô hình ban đầu (tình huống dẫn nhập): Kiểm tra biến bị thiếu, biến SN, mô hình mới: Dependent Variable: CT Method: Least Squares Sample(adjusted): 9 100 IF CT>200 Included observations: 66 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 5.263773 9.943290 0.529379 0.5984 TN 0.582662 0.023434 24.86352 0.0000 SN 18.62580 1.252190 14.87458 0.0000 R-squared 0.918755 F-statistic 356.2169 Adjusted R-squared 0.916176 Prob(F-statistic) 0.000000 121 uTNCT   2321 uSNTNCT   v1.0015108225 2.3. PHÁT HIỆN SỰ KHÁC 0 CỦA KỲ VỌNG SAI SỐ NGẪU NHIÊN KHÁC 0 16 b) Trường hợp thông tin, số liệu của biến bị thiếu, chưa biết Trong trường hợp này cần sử dụng thông tin của các biến đại diện cho biến bị thiếu, đưa vào mô hình xuất phát và thực hiện kiểm định theo kỹ thuật đã nêu ở phần (a). c) Mô hình xác định dạng hàm sai Sử dụng kiểm định RAMSEY Các bước tiến hành của kiểm định RAMSEY: Bước 1: (1) Bước 2: Hồi quy phụ (2) Y = 1 + 2 X2+ +  k Xk +  k + 1 Bước 3: Kiểm định: H0: Mô hình ban đầu xác định đúng (không cần dạng bậc cao của các biến giải thích) H1: Mô hình ban đầu xác định sai (cần đưa các dạng bậc cao của các biến giải thích) Tiêu chuẩn kiểm định Miền bác bỏ H0 : YuXXY kk ˆ..... 221   2Yˆ u 1 1 1 22 2 1 2 2   kn R RRF  )1,1(:  knFFFW  v1.0015108225 2.3. PHÁT HIỆN SỰ KHÁC 0 CỦA KỲ VỌNG SAI SỐ NGẪU NHIÊN KHÁC 0 17 Ví dụ Tiếp tục với tình huống dẫn nhập, thực hiện kiểm định RAMSEY để kiểm tra khuyết tật mô hình: có bị thiếu biến hay không. Kết quả kiểm định cho thấy: Theo kết quả kiểm định, ta có Prob. của thống kê F trong kiểm định RAMSEY = 0,012285 < α = 0,05 bác bỏ H0 trong cặp giả thuyết nêu trên. Kết luận: mô hình xuất phát là xác định dạng hàm sai. 121 uTNCT   Ramsey RESET Test: F-statistic 6.646491 Probability 0.012285 v1.0015108225 2.4. MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC • Do nguyên nhân gây ra hiện tượng kỳ vọng sai số khác không trong mô hình hồi quy là khác nhau nên phương pháp khắc phục cũng khác nhau cho từng tình huống. • Nếu mô hình bị thiếu biến và thông tin của biến bị thiếu đã có, ta chỉ cần đưa biến bị thiếu vào mô hình và ước lượng mô hình mới. • Nếu nguyên nhân là dạng hàm bị xác định sai, phát hiện thông qua kiểm định RAMSEY thì ta cần thay đổi dạng hàm của mô hình, chẳng hạn chuyển dạng hàm của mô hình về dạng bậc cao, dạng tuyến tính với các biến logarith, • Nếu nguyên nhân là mô hình bị thiếu biến mà chưa có thông tin của biến bị thiếu thì có thể sử dụng các biến đại diện và đưa vào mô hình xuất phát để kiểm tra. 18 v1.0015108225 3. KIỂM ĐỊNH PHƯƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI 3.2. Hậu quả của phương sai sai số thay đổi 3.1. Nguyên nhân của phương sai sai số thay đổi 3.3. Phát hiện phương sai sai số thay đổi 3.4. Khắc phục vấn đề phương sai sai số thay đổi 19 v1.0015108225 3.1. NGUYÊN NHÂN CỦA PHƯƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI • Xét mô hình: ܻ ൌ ߚଵ ൅ ߚଶܺଶ ൅ ⋯൅ ߚ௞ܺ௞ ൅ ݑ (1) • Sai số ngẫu nhiên u có phương sai thay đổi, nghĩa là tại các bộ giá trị (X2i,..., Xki) khác nhau thì phương sai của sai số ngẫu nhiên nhận các giá trị khác nhau. • Nguyên nhân thường dẫn đến hiện tượng này là:  Bản chất của số liệu.  Mô hình thiếu biến quan trọng hoặc dạng hàm sai.  2 2,...,ar i kii x x iv u σ 20 v1.0015108225 3.2. HẬU QUẢ CỦA PHƯƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI • Các ước lượng OLS vẫn là ước lượng không chệch nhưng không còn là ước lượng tốt nhất. • Phương sai của hệ số ước lượng là chệch. • Khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết về các hệ số không còn giá trị sử dụng. 21 v1.0015108225 3.3. PHÁT HIỆN PHƯƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI a. Sử dụng đồ thị phần dư b. Kiểm định Breusch - Pagan (BP) c. Kiểm định White 22 v1.0015108225 3.3. PHÁT HIỆN PHƯƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI 23 a. Sử dụng đồ thị phần dư • Bước 1: Ước lượng mô hình ban đầu thu được phần dư ei • Bước 2: Vẽ đồ thị phần dư ei hoặc ei2 theo biến giải thích Xj • Bước 3: Quan sát và nhận xét. • Đồ thị cho thấy giá trị của phần dư tăng khi TN tăng MH có phương sai sai số thay đổi. -15 -10 -5 0 5 10 15 20 40 60 80 100 120 TN E 0 40 80 120 160 200 240 20 40 60 80 100 120 TN E 2 v1.0015108225 24 3.3. PHÁT HIỆN PHƯƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI (tiếp theo) v1.0015108225 25 3.3. PHÁT HIỆN PHƯƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI (tiếp theo) v1.0015108225 3.3. PHÁT HIỆN PHƯƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI 26 v1.0015108225 3.3. PHÁT HIỆN PHƯƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI 27 v1.0015108225 3.4. KHẮC PHỤC VẤN ĐỀ PHƯƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI a. Phương pháp bình phương bé nhất tổng quát (GLS- generalized least squares) b. Ước lượng sai số chuẩn vững 28 v1.0015108225 3.4. KHẮC PHỤC VẤN ĐỀ PHƯƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI 29 a. Phương pháp bình phương bé nhất tổng quát (GLS – generalized least squares) • Xét mô hình (1): ܻ ൌ ߚଵ ൅ ߚଶܺଶ ൅ ⋯൅ ߚ௞ܺ௞ ൅ ݑ • Giả sử mô hình (1) thỏa mãn các giả thiết 1-5, ngoại trừ giả thiết phương sai sai số không đổi. Và giả sử rằng phương sai sai số là thay đổi theo dạng: • Khi đó ta thực hiện như sau: • Chia hai vế của (1) cho X2i và thu được: (7) • Trong đó: • Ta dễ dàng chứng tỏ được rằng sai số ngẫu nhiên mới trong mô hình, u*, có phương sai là không đổi. • Do đó có thể áp dụng OLS để thu được các ước lượng tốt nhất cho các hệ số (j=1,k), và từ đó suy ra ước lượng cho các hệ số. 1 2 3 2 2 2 2 2 * * * * 1 2 2 ... : ... i ki ki i k i i i i i i i k ki i Y X X u X X X X X Hay Y X X u β β β β α α α            2 2 2 2i iXσ σ * * * * 2 2 2 2 2 1 , , ,i ki ii i ki i i i i i Y X uY X X u X X X X     v1.0015108225 3.4. KHẮC PHỤC VẤN ĐỀ PHƯƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI b. Ước lượng sai số chuẩn vững • Khi mô hình có hiện tượng phương sai sai số thay đổi, các ước lượng OLS cho các hệ số vẫn là ước lượng không chệch, chỉ có phương sai của các hệ số ước lượng và hiệp phương sai giữa các hệ số ước lượng thu được bằng phương pháp OLS là chệch. • Từ đó White (1980) đề xuất phương pháp sai số chuẩn vững (robust standard error) với tư tưởng như sau: vẫn sử dụng các hệ số ước lượng từ phương pháp OLS, tuy nhiên phương sai các hệ số ước lượng thì được tính toán lại mà không sử dụng đến giả thiết phương sai sai số không đổi. 30 v1.0015108225 4. SAI SỐ NGẪU NHIÊN KHÔNG TUÂN THEO QUY LUẬT CHUẨN 31 4.2. Phát hiện khi sai số ngẫu nhiên không tuân theo quy luật chuẩn 4.1. Hậu quả khi sai số ngẫu nhiên không tuân theo quy luật chuẩn v1.0015108225 4.1. HẬU QUẢ KHI SAI SỐ NGẪU NHIÊN KHÔNG TUÂN THEO QUY LUẬT CHUẨN Khi sai số ngẫu nhiên không tuân theo quy luật chuẩn thì các ước lượng OLS sẽ không tuân theo quy luật chuẩn và do đó các thống kê t sẽ không tuân theo quy luật Student, thống kê F sẽ không tuân theo quy luật Fisher. Khi đó: • Kích thước mẫu là nhỏ thì các suy diễn thống kê là không đáng tin cậy. • Mẫu kích thước lớn thì các suy diễn thống kê vẫn có giá trị. 32 v1.0015108225 4.2. PHÁT HIỆN KHI SAI SỐ NGẪU NHIÊN KHÔNG TUÂN THEO QUY LUẬT CHUẨN Xem xét đồ thị phần dư Nếu phân phối quá lệch về bên phải hoặc bên trái, quá nhọn hoặc quá dẹt, thì đấy là các dấu hiệu cho rằng sai số ngẫu nhiên của mô hình là không tuân theo quy luật chuẩn. Kiểm định Jacque - Bera (JB) • Cho cặp giả thuyết: H0: u tuân theo phân phối chuẩn. H1: u không tuân theo phân phối chuẩn. • Bước 1. Ước lượng mô hình hồi quy gốc, thu được các phần dư ei • Bước 2. Tính giá trị quan sát của thống kê kiểm định: • trong đó S là độ bất đối xứng (Skewness), K là độ nhọn (Kurtosis) của phần dư, n là kích thước mẫu, k là số hệ số có trong mô hình. • Bước 3. Kết luận: Nếu thì bác bỏ giả thuyết H0 và thừa nhận giả thuyết H1. • Ngược lại, nếu thì chưa có cơ sở bác bỏ giả thuyết H0 • Đồng thời, ta cũng có thể sử dụng giá trị xác suất để kết luận. 33     22 3 6 24 KSJB n k         2 2JB αχ  2 2JB αχ v1.0015108225 VÍ DỤ • Xét tình huống dẫn nhập, ta có bộ số liệu của 66 hộ gia đình có chi tiêu năm 2012 trên 200 triệu. Bộ số liệu rút ra từ cuộc điều tra VHLSS 2012. Mô hình ban đầu là: • Thực hiện kiểm định Jarque – Bera cho mô hình này ta thu được kết quả sau: • Với mức ý nghĩa 5% hãy cho biết sai số ngẫu nhiên trong mô hình này có phân phối chuẩn hay không? 34 1 2 1CT TN uβ β   v1.0015108225 VÍ DỤ 35 Lời giải: • Để trả lời câu hỏi này ta cần kiểm định cặp giả thuyết sau: H0: u tuân theo phân phối chuẩn, H1: u không tuân theo phân phối chuẩn • Kết quả ước lượng ta có: Prob (JB) = 0,290065 • Mà ߙ = 5% nên Prob > ߙ suy ra chưa có cơ sở bác bỏ H0. Kết luận: Mô hình có sai số ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn. v1.0015108225 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG 1. Mô hình 1 có bị thiếu biến số quan trọng hay không? (với bộ số liệu đang sử dụng) Mô hình có thiếu biến giải thích quan trọng. (Kiểm định RAMSEY) 2. Nếu có thêm số liệu về biến số người của hộ (SN) thì có nên đưa biến này vào mô hình 1 hay không? Mô hình có thiếu biến số người của hộ (SN). Nên đưa thêm biến này vào mô hình. 3. Sai số ngẫu nhiên trong mô hình 1 có phương sai đồng đều hay không? Mô hình có phương sai sai số đồng đều. (Kiểm định White) 4. Sai số ngẫu nhiên của mô hình 1 có phân phối chuẩn hay không? Nếu không, điều này có ảnh hưởng đến các phân tích hồi quy hay không? Mô hình có sai số ngẫu nhiên phân phối chuẩn. (Kiểm định JB) 5. Có thể dùng các kết quả ước lượng từ mô hình 1 có đáng tin cậy để thực hiện phân tích hồi quy hay không? Các kết quả ước lượng không đáng tin cậy vì mô hình bị thiếu biến quan trọng. 36 v1.0015108225 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 Cho kết quả ước lượng: Ta có thể kết luận mô hình ban đầu có dạng hàm như thế nào? A. Mô hình ban đầu có dạng hàm đúng. B. Mô hình ban đầu có dạng hàm sai. C. Mô hình ban đầu có phương sai sai số đồng đều. D. Mô hình ban đầu có phương sai sai số thay đổi. Trả lời: Đáp án đúng là: A. Mô hình ban đầu có dạng hàm đúng. Ramsey RESET Test: F-statistic 0,099149 Probability 0,753536 37 v1.0015108225 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2 Cho kết quả ước lượng: Ta có thể kết luận mô hình ban đầu có phương sai sai số như thế nào? A. Mô hình ban đầu có dạng hàm đúng. B. Mô hình ban đầu có dạng hàm sai. C. Mô hình ban đầu có phương sai sai số đồng đều. D. Mô hình ban đầu có phương sai sai số thay đổi. Trả lời: Đáp án đúng là: D. Mô hình ban đầu có phương sai sai số thay đổi. White Heteroskedasticity Test: F-statistic 4,848264 Probability 0,007262 Obs*R-squared 12,12285 Probability 0,016461 38 v1.0015108225 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Tiêu chí đánh giá mô hình thích hợp cho phân tích thực nghiệm: • Độ chính xác của số liệu; • Độ vững về lý thuyết; • Dạng hàm định dạng đúng; • Tính bao quát. Kỳ vọng sai số ngẫu nhiên khác không • Hiện tượng kỳ vọng sai số ngẫu nhiên khác không là sai số ngâu nhiên, tại một giá trị nào đó của biến giải thích, có kỳ vọng khác không. • Nguyên nhân chính dẫn tới hiện tượng kỳ vọng sai số ngẫu nhiên khác không là mô hình bị bỏ sót biến hoặc có dạng hàm xác định sai. • Phát hiện: kiểm định ý nghĩa thống kê của hệ số tương ứng với biến bị thiếu, kiểm định RAMSEY. • Phương pháp khắc phục: thêm thông tin của các biến số mới hoặc đổi dạng hàm của mô hình hồi quy. 39 v1.0015108225 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Phương sai sai số thay đổi • Phương sai sai số thay đổi là hiện tượng phương sai của sai số ngẫu nhiên nhận các giá trị khác nhau tại các bộ giá trị (X2i ,..., Xki) khác nhau. • Nguyên nhân chủ yếu dẫn đến hiện tượng phương sai sai số thay đổi là do bản chất của số liệu và do mô hình thiếu biến quan trọng hoặc dạng hàm sai. • Hậu quả của hiện tượng phương sai sai số thay đổi là các ước lượng OLS vẫn là ước lượng không chệch nhưng không còn là ước lượng tốt nhất, phương sai của hệ số ước lượng là chệch dẫn đến khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết về các hệ số không còn giá trị sử dụng. • Phát hiện: sử dụng đồ thị phần dư, kiểm định Breusch – Pagan, kiểm định White. • Khắc phục: phương pháp GLS hoặc phương pháp ước lượng sai số chuẩn vững. 40 v1.0015108225 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Sai số chuẩn không tuân theo quy luật chuẩn • Các biến số trong kinh tế có thể có phân phối lệch đuôi, quá nhọn hoặc quá bẹt nên không phân phối chuẩn. Khi biến phụ thuộc không phân phối chuẩn sẽ dẫn đến sai số ngẫu nhiên không phân phối chuẩn. • Khi xảy ra hiện tượng này, các ước lượng OLS vẫn là các ước lượng tuyến tính không chệch và tốt nhất. Tuy nhiên các suy diễn thống kê về các hệ số không còn đáng tin cậy khi có ít quan sát trong mẫu. • Để kiểm định sai số chuẩn có tuân theo quy luật chuẩn hay không ta có thể vẽ đồ thị tần suất của phần dư hoặc thực hiện kiểm định Jarque - Bera. 41