Inverse dynamic analyzing of flexible link manipulators with translational and rotational joints

42 SCIENCE & TECHNOLOGY DEVELOPMENT, Vol 20, No.K2- 2017  Abstract— Inverse dynamic problem analyzing of flexible link robot with translational and rotational joints is presented in this work. The new model is developed from single flexible link manipulator with only rotational joint. The dynamic equations are built by using finite element method and Lagrange approach. The approximate force of translational joint and torque of rotational joint are found based on rigid model. The simulation results show the values of driving forces at joints of flexible robot with desire path and errors of joint variables between flexible and rigid models. Elastic displacements of end-effector are shown, respectively. There are remaining issues which need be studied further in future work because the error joints variables in algorithm to solve inverse dynamic problem of flexible with translational joint has not been mentioned yet. Index Terms—Inverse Dynamic , flexible link manipulator, translational joint, elastic displacements. 1 INTRODUCTION ynamic analysis of mechanisms, especially robots, is very important. The dynamic equations of motion represent the behavior of system, so accurate modeling and equations are essential to successfully design of the control system. The analysis of robots considering the elastic characteristics of its members has been considerable attention in recent years. Flexibility in robots can affect position accuracy. Inverse Manuscript Received on July 13th, 2016. Manuscript Revised December 06th, 2016. Bien Xuan Duong, My Anh Chu are with Military Technical Academy. Email: xuanbien82@yahoo.com. Khoi Bui Phan is with Ha Noi University of Science and Technology, Ha Noi. dynamic of flexible robots is very essential for selecting the actuator and designing the proper control strategy. Most of the investigations on the dynamic modeling of robot manipulators with elastic arms have been confined to manipulators with only revolute joints. In the literature, most of the investigations on the inverse dynamics of the flexible robot manipulator copies with manipulators constructed with only rotational joints [1-3]. Kwon and Book [1] present a single link robot which is described and modeled by using assumed modes method (AMM). Inverse equation is derived in a state space form from direct dynamic equations and using definitions concepts which are causal system, anti-causal system and Non-causal system. Based on these concepts, the time-domain inverse dynamic method was interpreted in the frequency-domain in detail by using the two sided Laplace transform in the frequency-domain and the convolution integral. This method is limited to linear system. Stable inversion method is studied for the same robot configuration but the nonlinear effect is taken into account [2]. An inversion-based approach to exact nonlinear output tracking control is presented. Non- causal inversion is incorporated into tracking regulators and is a powerful tool for control. Eliodoro and Miguel [3] propose a new method based on the finite difference approach to discretize the time variable for solving the inverse dynamics of the robot. This method is a non-recursive and non-iterative approach carried out in the time domain in contrast with methods previously proposed. By using either the finite element method (FEM) or AMM, some other authors consider the dynamic modeling and analysis of the flexible robots with translational joint [4-8]. Pan et al [4] presented a model R-P with FEM approach. The Inverse dynamic analyzing of flexible link manipulators with translational and rotational joints Bien Xuan Duong, My Anh Chu, and Khoi Bui Phan D TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 20, SỐ K2-2017 43  result  is  differential  algebraic  equations  which  are  solved by using Newmark method. Al-Bedoor and  Khulief [5] presented a general dynamic model for  R-P  robot  based  on  FEM  and  Lagrange  approach.  They  defined  a  concept  which  is  translational  element.  The  stiffness  of  translational  element  is  changed.  The  prismatic  joint  variable  is  distance  from  origin  coordinate  system  to  translational  element. The number of element is small because it  is  hard  challenge  to  build  and  solve  differential  equations. Khadem [6] studied a three-dimensional  flexible  n-degree  of  freedom  manipulator  having  both revolute and prismatic joint. A novel approach  is  presented  using  the  perturbation  method.  The  dynamic equations are derived using the Jourdain’s  principle  and  the  Gibbs-Appell  notation.  Korayem  [7] also presented a systematic algorithm capable of  deriving  equations  of  motion  of  N-flexible  link  manipulators  with  revolute-prismatic  joints  by  using  recursive  Gibbs-Appell  formulation  and  AMM.  However,  the  inverse  dynamics  modeling  and  analysis  of  the  generalized  flexible  robot  constructed  with  translational  joint  has  not  been  much mentioned yet.   The  objective  of  the  described  work  in  what  follows was to present surveying inverse dynamics  problem of flexible link robot with translational and  rotational  joints.  The  Lagrange  approach  in  conjunction  with  the  finite  element  method  is  employed  in  deriving  the  equations  of  motion.  Inverse  dynamics  problem  of  model  with  flexible  link  can  be  approximately  solved  based  on  model  with  rigid  links.  The  forward  kinematic,  inverse  kinematic and inverse dynamics of rigid model are  used  to  find  joints  values  from  desire  path  and  driving  force  and  torque  which are  inputs data  for  flexible  model  problems.  The  force  and  torque  of  joints can be found in such a way that the end point  of link 2 can track the desire path even though link  2 is deformed.  2 DYNAMIC MODELING  2.1 Dynamic model  In  this work,  we concern  the dynamic model of  two link flexible robot which motions on horizontal  plane with translational joint for first rigid link and  rotational joint for second flexible link to formulate  the inverse dynamics problem. It is shown as Fig 1.  Figure 1. Flexible links robot with translational and rotational  joints  The coordinate system  XOY  is the fixed frame.  Coordinate system  1 1 1X O Y   is attached to end point  of link 1. Coordinate system  2 2 2X O Y  is attached to  first point of link 2. The translational joint variable   d t  is driven by   TF t  force. The rotational joint  variable   q t is driven by   t  torque. Both joints  are  assumed  rigid.  Link  1  with  length  1L   is  assumed rigid and link 2 with length  2L   is assumed  flexibility.  Link  2  is  divided  n   elements.  The  elements  are  assumed  interconnected  at  certain  points,  known  as  nodes.  Each  element  has  two  nodes.  Each  node  of  element  j   has  2  elastic  displacement  variables  which  are  the  flexural   2 1 2 1,j ju u-  and  the  slope  displacements   2 2 2,j ju u  . Symbol  tm  is the mass of payload on  the  end-effector  point.  The  coordinate  01r   of  end  point of link 1 on  XOY  is computed as    01 1 T L d t=   r (1) The coordinate  2 jr  of element  j  on  2 2 2X O Y  can  be given as       2 j1 , ; 0.. T j e j j j ej l x w x t x l = -  = r (2) Where,  length of  each  element  is  2e L l n =   and    ,j jw x t   is  the  total  elastic  displacement  of  element  j  which is defined by [10]       ,j j j j jw x t x t= N Q (3) The vector of shape function   j jxN  is defined  as  44          SCIENCE & TECHNOLOGY DEVELOPMENT, Vol 20, No.K2- 2017          1 2 3 4j j j j j jx x x x x =  N f f f f (4) Mode  shape  function   ; ( 1...4)i jx i =f   can  be  presented in [10]. The elastic displacement    j tQ   of element  j  is given as    2 1 2 2 1 2 2 T j j j jj t u u u u-   =  Q (5) The coordinate  21 jr  of element  j  on  1 1 1X O Y  can  be written as   1 21 2 2.j j=r T r (6) Where,          1 2 cos sin sin cos q t q t q t q t  -  =     T   is  the  transformation  matrix  from  2 2 2X O Y   to 1 1 1X O Y .The  coordinate  02 jr   of  element  j   on  XOY   can  be  computed as  02 1 21j j= r r r (7) The elastic displacement    n tQ  of element  n  is  given as     2 1 2 2 1 2 2 T n n n nn t u u u u-  =Q (8) The coordinate  0Er  of end point of flexible link 2  on  XOY  can be computed as            1 2 2 1 0 2 2 1 cos sin sin cos n E n L L q t u q t d t L q t u q t    -  =       r (9) If assumed  that  robot with all of  links are  rigid,  the coordinate  0 _E rigidr  on  XOY  can be written as         1 2 0 _ 2 cos sin E rigid L L q t d t L q t   =      r (10) The kinematic energy of link 1 can be computed  as  2 1 1 01 1 . 2 T m= r (11) Where  1m   is  the  mass  of  link  1.  The  kinetic  energy of element  j  is determined as      2 02 2 20 1 1 2 2 el j T j j jg j jgT m dx t t t   = =     r Q M Q  (12) Where  2m   is  mass  per  meter  of  link  2.  The  generalized  elastic  displacement    jg tQ   of  element  j   is given as         2 1 2 2 1 2 2 T j j j jjg t d t q t u u u u-   =  Q (13) Each element of inertial mass matrix  jM  can be  computed as    02 0220, ; , 1, 2,.., 6      = =             e T l j j j j js je s e m dx s e Q Q r r M (14) Where  jsQ  and  jeQ  are the  , th ths e  element of  jgQ   vector. It can be shown that  jM is of the form  11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 41 42 _ 51 52 61 62         =            j j base m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m M M (15) Where,  2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 _ 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 13 11 9 13 35 210 70 420 11 1 13 1 210 105 420 140 9 13 13 11 70 420 35 210 13 1 11 1 420 140 210 105   -     -   =    -      - - -   e e e e e e e e j base e e e e e e e e m l m l m l m l m l m l m l m l m l m l m l m l m l m l m l m l M (16) And,  2 1 2 1 2 11 2 12 2 2 2 2 13 15 2 14 16 2 21 12 2 3 2 23 2 24 2 25 2 22 2 (6 61 . ; . ; )sin 6 (1 2 ) cos12 1 1 cos ; cos ; ; 2 2 1 1 1 (10 7); (5 3); (10 3); 20 60 20 210 1 210 j j e j e e e j e e e e e e e u u l u m m l m m l l u q l j q m m m l q m m m l q m m m m l j m m l j m m l j m m l -      = = -   -  -   = = = = = = - = - = - = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3 26 2 31 13 32 23 41 14 42 24 51 15 ( 1) (2 3 2 ) 22 ( ) 13 ( ) ; 78( ) 70 54 1 (5 2); ; ; ; ; 60 ; e e j j j j e j j j j e j j j j j j e j j e l j j l u u u u l u u u u l u u u u u u l u u m m l j m m m m m m m m m m   -    -  -  -   -  -     -  -          = - - = = = = = 52 25 61 16 62 26; ;m m m m m m= = = The total elastic kinetic energy of link 2 is yielded  as      2 1 1 2 n T dh j dh j T T t t = = = Q M Q  (17) The inertial mass matrix  dhM  is constituted from  matrices  of  elements  follow  FEM  theory,  respectively.  Vector   tQ   represents  the  generalized coordinate of system and is given as        1 2 1 2 2. . T n nt d t q t u u u =   Q (18) The kinetic energy of payload is given as   TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 20, SỐ K2-2017 45  2 0 1 . 2 P t ET m= r (19) The kinetic energy of system is determined as     1 1 2 T dh PT T T T t t== + + Q MQ   (20) Matrix  M  is mass matrix of system. The gravity  effects  can  be  ignored  as  the  robot  movement  is  confined  to  the  horizontal  plane.  Defining  E   and  I   are  Young’s  modulus  and  inertial  moment  of  link 2,  the elastic potential energy of element  j   is  shown  as  jP   with  the  stiffness  matrix  jK   and  presented as [10]        2 2 20 ,1 1 2 2 el j j T j j j j j j w x t P EI dx t t x    = =     Q K Q (21) Where,   3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 6 12 6 0 0 6 4 6 2 0 0 12 6 12 6 0 0 6 2 6 4 0 0         -      -=       - - -       -    e e e e j e ee e e e e e e ee e EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l ll l EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l ll l K (22) The  total  elastic  potential  energy  of  system  is  yielded as      1 1 2 n T j j P P t t = = = Q KQ (23) The  stiffness  matrix  K is  constituted  from  matrices  of  elements  follow  FEM  theory  similar  M matrix, respectively.   2.2 Dynamic equations of motion  Fundamentally,  the  method  relies  on  the  Lagrange  equations  with  Lagrange  function  L T P= -  are given by       ( ) d L L t dt tt    - =    F QQ (24) Vector   tF   is  the  external  generalized  forces  acting on specific generalized coordinate   tQ  and  is determined as         0 . . 0 0 T Tt F t t=   F (25) Size of matrices  ,M K  is     2 4 2 4n n    and  size  of   tF and   tQ is   2 4 1n   .  The  rotational  joint  of  link  2  is  constrained  so  that  the  elastic displacements of  first node of element 1 on  link 2  can be  zero. Thus  variables  1 2,u u   are  zero.  By  enforcing  these  boundary  conditions  and  FEM  theory, the generalized coordinate   tQ  becomes        3 2 1 2 2. . T n nt d t q t u u u =   Q (26) So  now,  size  of  matrices  ,M K   is     2 2 2 2n n     and  size  of   tF and   tQ   is   2 2 1n   . When kinetic and potential energy are  known, it is possible to express Lagrange equations  as shown       tM Q Q + C Q,Q Q + DQ + KQ = F    (27) Where  structural  damping  D   and  coriolis  force  C  matrices are calculated as       1, ( ) 2 T = -    C Q Q Q M Q Q Q M Q Q Q      (28)  = D M K (29) Where     and     are  the damping  ratios of  the  system which are determined by experience.   3 INVERSE DYNAMIC ANALYZING  Solving  inverse  dynamics  problem  can  be  computed  a  feed-forward  control  to  follow  a  trajectory  more  accurately.  Inverse  dynamics  of  flexible  robot  is  the  process  of  determining  load  profiles  to  produce  given  displacement  profiles  as  function  of  time.  Forward  dynamics  of  flexible  robot is process of finding displacements given the  loads. This is much simpler  than  inverse dynamics  process  because  elastic  displacements  do  not  to  know before  if  there are not  external  forces which  effect on system. Unlike  the  rigid  link,  the  inverse  dynamics  of  flexible  robot  is  more  complex  because  of  links  deformations.  We  need  to  determine the force and torque of actuators in such  a way that the end point of link 2 can still track the  desire path even though link 2 is deformed. Inverse  dynamics problem of  model with  flexible  link  can  be approximately solved based on model with rigid  links. Steps to solve are shown as Fig 2. The detail  of blocks in Fig 2 is presented in Fig 3, Fig 4, Fig 5  and Fig 6.   46          SCIENCE & TECHNOLOGY DEVELOPMENT, Vol 20, No.K2- 2017 Figure 2. General diagram of inverse dynamic flexible robot algorithm  Figure 3. Diagram of inverse kinematic rigid model block  Fig. 4.Diagram of inverse dynamic rigid model block  Figure 5. Diagram of forward dynamic flexible robot block  Figure 6. Diagram of inverse dynamic flexible robot block  TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 20, SỐ K2-2017 47  Firstly,  assuming  that  two  link  is  rigid.  The  translational and rotational joints of rigid model are  computed  from  desire  path  by  solving  inverse  kinematic rigid problem [9] which is shown in Fig.  3. Then  driving  force  and  torque  at  joints  of  rigid  model  are  computed  by  solving  inverse  dynamic  rigid [9] (Fig. 4). Results are input data for forward  dynamic  flexible  model  follow  equation  (27)  and  are shown in Fig. 5. Finally, the approximates force  and  torque  of  joints  are  found  by  solving  inverse  dynamic  flexible  problem  with  inputs  data  which  are  joints  values  of  rigid  model  and  elastic  displacements. It is presented by block in Fig. 6.   4 NUMERICAL SIMULATIONS   Simulation  specifications  of  flexible  model  are  given by Table 1.   TABLE 1  PARAMETERS OF DYNAMIC MODEL  Property  Symbol  Value  Length of link 1 (m)  L1  0.05  Mass  of  link  1  and  base  (kg)  m1  1.4  Parameters of link 2  Length of link (m)  L2  0.3  Width (m)  b  0.02  Thickness (m)  h  0.001  Number of element  n  5  Cross section area (m2)  A=b.h  2.10-5  Mass density (kg/m3)    7850  Mass per meter (kg/m)  m=.A  0.157  Young’s  modulus  (N/m2)  E  2.1010  Inertial moment of cross  section (m4)  I=b.h3/12  1.67x10-12  Damping ratios   α, β  0.005;0.007  Mass of payload (g)  mt  10  Desire  path  on  workspace  in  OX  axis  (m)  xE  0.25-0.1sin(t- π/2)  Desire  path  on  workspace  in  OX  axis  (y)  yE  0.1sin(t)  Time simulation (s)  T  2  Simulation  results  for  inverse  dynamic  of  flexible  robot  with  translational  and  rotational  joints  are  shown  from  Fig  7  to  Fig  16.  It  is  noteworthy  to  mention  that  we  need  to  find  the  initial values of joints variable at t=0 when inverse  kinematic of rigid model is solved.  Figure 7. Translational joint values of rigid and flexible model  Figure 8. Rotational joint values of rigid and flexible model  Figure 9. Deviation of translational joint variables between rigid  and flexible model  Fig.  7  and  fig.  8  show  the  values  of  joint  variables  between  rigid  and  flexible  model.  Translational and  rotational  joints values are small  because of short time simulation. Fig. 9 and fig. 10  describe  deviation  of  these  values.  Maximum  deviation value of translational  joint is 25 mm and  rotational  joint  variable  is  0.17  rad.  These  deviations  appear  from  effect  of  elastic  displacements  and  error  of  numerical  method  which is used to solving problems.  48          SCIENCE & TECHNOLOGY DEVELOPMENT, Vol 20, No.K2- 2017 Figure 10. Deviation of rotational joint variables between rigid  and flexible model  Figure 11. Driving force values of rigid and flexible model  Figure 12. Driving torque values of rigid and flexible model  Figure 13. Deviation of driving force between rigid and flexible  model  Figure 14. Deviation of driving force between rigid and flexible  model    Fig.  10  to  fig  14  present  values  of  driving  forces  at  joints  and  these deviations between  rigid  and  flexible  model.  The  values of driving  force  at  translational  joint  are  not  too  difference  because  first  link  of  both  models  is  assumed  rigid.  Maximum force is 0.6 N. Driving torque  values at  rotational  joint  are  more  difference  because  of  effect of elastic displacements of flexible link.  Figure 15. Flexural displacement value at end-effector point in  flexible model  TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 20, SỐ K2-2017 49  Figure 16. Slope displacement value at end-effector point in  flexible model  Fig.  15  shows  flexural  displacement  value  at  end-effect  point.  Maximum  value  is  0.7  mm.  Fig.  16  shown  slope  displacement  at  end-effect  point.  Maximum value is 0.035 rad. Both values are small  because  of  short  time  simulation  and  small  values  of joint variables.  In  general,  simulation  results  show  that  elastic  displacements  of  flexible  link  effect  on  dynamic  behaviors of system. Different between rigid model  and flexible model are clearly visible.  5 CONCLUSION   Nonlinear  dynamic  modeling  and  equations  of  motion  of  flexible  manipulators  with  translational  and  rotational  joints  are  built  by  using  finite  element  method  and  Lagrange  approach. Model  is  developed  based  on  single  link  manipulator  with  only  rotational  joint.  Inverse  dynamic  problem  of  flexible  link  manipulator  is  surveyed  with  an  algorithm  which  is  based  on  rigid  model.  Approximate  driving  force  and  torque  at  joints  of  flexible  link  manipulator  are  found  with  desire  path.  Derivation  values  of  these  also  are  shown.  Elastic  displacements  at  end-effector  point  are  presented.  However,  there  are  remaining  issues  which  need  be  studied  further  in  future  work  because  the  error  joints  variables  in  algorithm  to  solve  inverse  dynamic  problem  of  flexible  with  translational joint has not been mentioned yet.  REFERENCES  [1] D.  S.  Kwon  and  W.  J.  Book,  “A  time-domain  inverse  dynamic  tracking  control  of  a  single  link  flexible  manipulator”, Journal of Dynamic Systems, Measurement  and Control, vol. 116, pp. 193–200, 1994.  [2] S. Devasia, D. Chen and B. Paden, “Non-linear inversion- based output  tracking”, IEEE Transactions on Automatic  Control, vol. 41, no. 7, 1996.  [3] C. Eliodoro and Miguel. A. Serna, “Inverse dynamics of  flexible  robots”,  Mathematics  and  computers  in  simulation, 41, pp. 485-508, 1996.  [4] B.  O.  Al-Bedoor  and  Y.  A.  Khulief,  “General  planar  dynamics of a sliding flexible link”, Sound and Vibration.  206(5), pp. 641–661, 1997.  [5] Y.  C.  Pan,  R.  A.  Scott,  “Dynamic  modeling  and  simulation  of  flexible  robots  with  prismatic  joints”,  J.  Mech. Design, 112, pp. 307–314, 1990.  [6] S.  E.  Khadem  and  A.  A.  Pirmohammadi,  “Analytical  development of dynamic equations of motion for a three- dimensional  flexible  manipulator  with  revolute  and  prismatic  joints”,  IEEE  Trans.  Syst.  Man  Cybern.  B  Cybern, 33(2), pp. 237–249, 2003.  [7] M.  H.  Korayem,  A.  M.  Shafei  and  S.  F.  Dehkordi,  “Systematic  modeling  of  a  chain  of  N-flexible  link  manipulators  connected  by  revolute–prismatic  joints  using  recursive  Gibbs-Appell  formulation”,  Archive  of  Applied  Mechanics,  Volume  84,  Issue  2,  pp.  187–206,  2014.   [8] W.  Chen,  “Dynamic  modeling  of  multi-link  of  flexible  robotic manipulators”, Computers and Structures, 79, pp.  183 -195, 2001.  [9] Nguyen Van Khang and Chu Anh My, Fundamentals of  Industrial Robot. Education Publisher, Ha Noi, Viet Nam,  2010, pp. 82-112.  [10] S. S. Ge,  T. H. Lee and G. Zhu, “A Nonlinear  feedback  controller for a single link flexible manipulator based on a  finite element method”, Journal of robotics system, 14(3),  pp. 165-178, 1997.  [11] M.  O.  Tokhi  and  A.  K.  M.  Azad,  Flexible  robot  manipulators–Modeling,  simulation  and  control.  Published by  Institution of Engineering and Technology,  London, United Kingdom, 2008, pp. 113-117.  50          SCIENCE & TECHNOLOGY DEVELOPMENT, Vol 20, No.K2- 2017 Tóm tắt - Bài báo này trình bày việc phân tích bài toán động lực học ngược của hệ rô bốt có khâu đàn hồi với các khớp tịnh tiến và khớp quay. Mô hình động lực học mới được phát triển từ hệ rô bốt có 1 khâu đàn hồi với chỉ một khớp quay. Hệ phương trình động lực học được xây dựng dựa trên phương pháp Phần tử hữu hạn và hệ phương trình Lagrange. Lực dẫn động cho khớp tịnh tiến và mô men dẫn động cho khớp quay được tính xấp xỉ dựa trên mô hình rô bốt với các khâu giả thiết cứng tuyệt đối. Kết quả mô phỏng việc phân tích động lực học ngược mô tả giá trị lực/mô men dẫn động giữa mô hình cứng và mô hình đàn hồi cùng với giá trị sai lệch giữa chúng. Giá trị chuyển vị đàn hồi tại điểm thao tác cuối cũng được thể hiện. Tuy nhiên, vẫn còn rất nhiều vấn đề cần nghiên cứu thêm trong tương lai bởi giá trị sai lệch của biến khớp trong thuật toán giải động lực học ngược vẫn chưa được xét đến trong bài báo này. Từ khóa - Động lực học ngược, khâu đàn hồi, khớp tịnh tiến, chuyển vị đàn hồi  Dương Xuân Biên, Chu Anh Mỳ, Phan Bùi Khôi  Phân tích động lực học rô bốt có khâu đàn hồi  với các khớp tịnh tiến và khớp quay