Khóa luận Đường và mặt trong không gian R4

]′ B2 − k1 [k2 − (s+ c) k ′ 2] + k ′ 1 k2 (s+ c) k22 k3 (−k3 B1) = [ − [ k1 (s+ c) k2 ]′ + k1 [k2 − (s+ c) k′2] + k′1 k2 (s+ c) k22 ] B1 − [ k1 k3 (s+ c) k2 + ( k1 k2 + (s+ c) [k′1 k2 − k1 k′2] k22 k3 )′] B2 = [ − [ k1 (s+ c) k2 ]′ + k1 ( s+ c k2 )′ + k′1 ( s+ c k2 )] B1 + 0.B2 = 0. Suy ra X là một vector hằng. Vậy α là đường chỉnh lưu (được tịnh tiến bởi vectơ X). Mệnh đề 1.4.4 ([16, p. 24]). Không tồn tại đường chỉnh lưu trong không gian R4 với các độ cong hằng k1, k2, k3 khác không tại mọi s. Chứng minh. Giả sử α là một đường chỉnh lưu với các độ cong hằng k1, k2, k3 khác không tại mọi s. Theo Định lý trên, ta có k1 k3 k2 (s+ c) = 0 ⇒ s = −c. Khi đó α là một điểm, mâu thuẫn. Nếu hai trong ba độ cong là hằng số thì điều kiện của độ cong còn lại là gì để thu được đường chỉnh lưu? Đó chính là nội dung của mệnh đề sau. Mệnh đề 1.4.5. Cho α : I → R4 là một đường tham số độ dài cung trong không gian R4 với các độ cong k1, k2, k3. Khi đó α là đường chỉnh lưu nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn: 12 (a) k1(s) = const. > 0, k2(s) = const. > 0 và k3(s) = ±1√|−s2 − 2cs− 2c1| ; c0, c là hằng số. (b) k2(s) = const. > 0, k3(s) = k3 = const. 6= 0 và k1(s) = cos(|k3| s− c0) s+ c ; c0, c là hằng số. (c) k1(s) = const. > 0, k3(s) = k3 = const. 6= 0 và k2(s) = s+ c cos(|k3| s− c0); c0, c là hằng số. Chứng minh. (a) Giả sử k1(s) = k1 = const. > 0, k2(s) = k2 = const. > 0, k3(s) khác hàm hằng. Từ Định lý 1.4.3 ta có k1 k2 k3(s)(s+ c) + ( k1 k2 k22 k3(s) )′ = 0 ⇔ k3(s)(s+ c)− k ′ 3 k23(s) = 0 ⇔ k′3(s)− k33(s) (s+ c) = 0. Giải phương trình trên ta được k3(s) = ±1√|−s2 − 2cs− 2c1| ; c1, c là hằng số. (b) Giả sử k2(s) = k2 = const. > 0, k3(s) = k3 = const. 6= 0, k1(s) khác hàm hằng. Từ Định lý 1.4.3 ta có k3 k2 k1(s)(s+ c) + ( k2 k1(s) + (s+ c)k2k′1(s) k22 k3 )′ = 0 ⇔ k23k1(s)(s+ c) + [k1(s) + (s+ c)k′1(s)]′ = 0 ⇔ k23k1(s)(s+ c) + [k1(s)(s+ c)]′′ = 0. (1.4.5) Giải phương trình trên ta được k1(s)(s+ c) = c1 sin |k3| s+ c2 cos |k3|x; c1, c2 là hằng số hay k1(s) = cos(|k3| s− c0) s+ c ; c0, c là hằng số. 13 (c) Giả sử k1(s) = const. > 0, k3(s) = k3 = const. 6= 0, k2(s) khác hằng số. Theo Định lý 1.4.3 ta có k1k3 s+ c k2(s) + ( k1 k2(s)− (s+ c)k1k′2(s) k3k22(s) )′ = 0 ⇔ k23 s+ c k2(s) + ( k2(s)− (s+ c)k′2(s) k22(s) )′ = 0 ⇔ k23 s+ c k2(s) + ( s+ c k2(s) )′′ = 0. (1.4.6) Giải phương trình trên ta được k2(s) = s+ c cos(|k3| s− c0); c0, c là hằng số. Nhận xét 1.4.6. Trong [16, p. 25], K. I˙larslan,E. Nesˇovic´ đưa ra Định lý tương tự như Mệnh đề trên. Tuy nhiên, các tính toán của ông chưa chính xác. Trong trường hợp b) và c), các ông dẫn tới các phương trình k23k1(s)(s+ c) + [k1(s)(s+ c)] ′ = 0, k23 s+ c k2(s) + ( s+ c k2(s) )′ = 0. Các phương trình này không giống (1.4.5), (1.4.6) như ở chứng minh trên. Dưới đây là các điều kiện cần và đủ để một đường cong trong không gian R4 là đường chỉnh lưu. Mệnh đề 1.4.7 ([16, p. 25]). Cho α : I → R4 là một đường tham số độ dài cung trong không gian R4 với các độ cong k1, k2, k3 khác không tại mọi s. Khi đó, α là một đường chỉnh lưu nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn: (i) ‖α(s)‖2 = s2 + c1s+ c2, c1 ∈ R, c2 ∈ R0. (ii) 〈α(s), T (s)〉 = s+ c, c ∈ R. (iii) ‖αN(s)‖ = a, a ∈ R+0 , với αN(s) = µ(s)B1(s) + ν(s)B2(s) sao cho α(s) = λ(s) T (s) + µ(s)B1(s) + ν(s)B2(s); và ‖α(s)‖ khác hàm hằng. (iv) 〈α(s), B1(s)〉 = k1(s) (s+ c) k2(s) , 〈α(s), B2(s)〉 = k1(s) k2(s) + (s+ c) [k ′ 1(s) k2(s)− k1(s) k′2(s)] k22(s) k3(s) , c ∈ R. 14 Chứng minh. (i) Giả sử α là một đường chỉnh lưu. Khi đó, α(s) thỏa mãn đẳng thức (1.4.1) và (1.4.2). Nhân phương trình thứ ba trong (1.4.2) với −ν ′(s) và phương trình cuối cùng trong (1.4.2) với µ′(s), sau đó cộng vế theo vế ta được k3(s) [µ(s) µ ′(s) + ν(s) ν ′(s)] = 0 ⇒ µ(s) µ′(s) + ν(s) ν ′(s) = 0 ⇒ µ2(s) + ν2(s) = a2, a ∈ R+o . (1.4.7) Từ (1.4.1) ta có 〈α(s), α(s)〉 = λ2(s) + µ2(s) + ν2(s). Sử dụng (1.4.3) và (1.4.7), ta được 〈α(s), α(s)〉 = (s+ c)2 + a2 ⇒ ‖α(s)‖2 = s2 + c1s+ c2, c1 ∈ R, c2 ∈ R0. Ngược lại, giả sử 〈α(s), α(s)〉 = s2 + c1s+ c2, c1 ∈ R, c2 ∈ R0. Khi đó 2 〈 α′(s), α(s) 〉 = 2s+ c1 ⇒ 2 〈α′′(s), α(s)〉+ 2 〈α′(s), α′(s)〉 = 2 ⇒ 〈T ′(s), α(s)〉 = 0 ⇒ 〈k1(s)N(s), α(s)〉 = 0 ⇒ 〈N(s), α(s)〉 = 0. Do đó, α là một đường chỉnh lưu. (ii) Giả sử α là một đường chỉnh lưu. Từ (1.4.1) và (1.4.3), ta có 〈α(s), T (s)〉 = s+ c, c ∈ R. Ngược lại, giả sử 〈α(s), T (s)〉 = s+ c, c ∈ R. Khi đó〈 α′(s), T (s) 〉 + 〈 α(s), T ′(s) 〉 = 1 ⇒ 〈α(s), T ′(s)〉 = 0 ⇒ 〈α(s), k1(s)N(s)〉 = 0 ⇒ 〈α(s), N(s)〉 = 0. Do đó, α là một đường chỉnh lưu. (iii) Giả sử α là một đường chỉnh lưu. Ta có αN(s) = µ(s)B1(s) + ν(s)B2(s) ⇒ 〈 αN(s), αN(s) 〉 = µ2(s) + ν2(s) = a2, a ∈ R+0 (theo (1.4.7)) ⇒ ‖αN(s)‖ = a, a ∈ R+0 . 15 Từ (i), suy ra ‖α(s)‖ khác hàm hằng. Ngược lại, giả sử 〈 αN(s), αN(s) 〉 = b là một hằng số. Ta có α(s) = λ(s) T (s) + αN(s) ⇒ λ(s) = 〈α(s), T (s)〉 . Vì ‖α(s)‖ khác hàm hằng nên 〈α(s), α′(s)〉 6= 0 hay 〈α(s), T (s)〉 6= 0. b = 〈 αN(s), αN(s) 〉 = 〈α(s)− λ(s)T (s), α(s)− λ(s)T (s)〉 = 〈α(s), α(s)〉 − 2λ(s) 〈α(s), T (s)〉+ λ2(s) 〈T (s), T (s)〉 = 〈α(s), α(s)〉 − 2 〈α(s), T (s)〉2 + 〈α(s), T (s)〉2 = 〈α(s), α(s)〉 − 〈α(s), T (s)〉2 . Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức trên, ta được 2 〈 α′(s), α(s) 〉− 2 〈α(s), T (s)〉 (〈α′(s), T (s)〉+ 〈α(s), T ′(s)〉) = 0 ⇒ 〈α(s), T (s)〉 − 〈α(s), T (s)〉 (1 + 〈α(s), k1(s)N(s)〉) = 0 ⇒ k1(s) 〈α(s), T (s)〉 〈α(s), N(s)〉 = 0 ⇒ 〈α(s), N(s)〉 = 0. Do đó α là một đường chỉnh lưu. (iv) Giả sử α là một đường chỉnh lưu. Từ (1.4.1) và (1.4.3), ta có 〈α(s), B1(s)〉 = µ(s) = k1(s) (s+ c) k2(s) , 〈α(s), B2(s)〉 = ν(s) = k1(s) k2(s) + (s+ c) [k ′ 1(s) k2(s)− k1(s) k′2(s)] k22(s) k3(s) , c ∈ R. Ngược lại, giả sử hai đẳng thức trên xảy ra. Khi đó 〈α(s), B1(s)〉′ y = [ k1(s) (s+ c) k2(s) ]′ ⇒ 〈α′(s), B1(s)〉+ 〈α(s), B′1(s)〉 = [k1(s) (s+ c)k2(s) ]′ ⇒ 〈T (s), B1(s)〉+ 〈α(s),−k2(s)N(s) + k3(s)B2(s)〉 = [ k1(s) (s+ c) k2(s) ]′ ⇒ −k2(s) 〈α(s), N(s)〉+ k3(s) 〈α(s), B2(s)〉 = [ k1(s) (s+ c) k2(s) ]′ ⇒ −k2(s) 〈α(s), N(s)〉+ k3(s) k1(s) k2(s) + (s+ c) [k′1(s) k2(s)− k1(s) k′2(s)] k22(s) k3(s) = [ k1(s) (s+ c) k2(s) ]′ ⇒ 〈α(s), N(s)〉 = 0. Do đó, α là một đường chỉnh lưu. 16 Trong định lý tiếp theo, chúng ta tìm điều kiện của một đường có tính chất đặc biệt để nó là một đường chỉnh lưu. Định lí 1.4.8 ([16, p. 27]). Cho α : I → R4 là một đường cong trong không gian R4 cho bởi α(t) = ρ(t)y(t), với ρ(t) là hàm dương tùy ý và y(t) là đường tham số độ dài cung nằm trong siêu cầu đơn vị S3. Khi đó, α là một đường chỉnh lưu nếu và chỉ nếu ρ(t) = a cos(t+ t0) , a ∈ R0, t0 ∈ R. Chứng minh. Xét α(t) = ρ(t)y(t), với ρ(t) là hàm dương tùy ý và y(t) là đường tham số độ dài cung nằm trong siêu cầu đơn vị S3. Khi đó α′(t) = ρ′(t)y(t) + ρ(t)y′(t) ⇒T (t) = ρ ′(t) v(t) y(t) + ρ(t) v(t) y′(t), với v(t) = ‖α′(t)‖. Suy ra T ′ = (ρ′ v )′ y + ρ′ v y′ + ρ′v − ρv′ v2 y′ + ρ v y′′. (1.4.8) Xét Y là một trường vector đơn vị trong không gian R4 thỏa mãn 〈Y, y〉 = 〈Y, y′〉 = 〈Y, y ∧ y′〉 = 0. Khi đó {y, y′, y ∧ y′, Y } là một hệ trực chuẩn trong không gian R4. Ta có y′′ = 〈 y′′, y 〉 y + 〈 y′′, y′ 〉 y′ + 〈 y′′, y ∧ y′〉 y ∧ y′ + 〈y′′, Y 〉Y (1.4.9) Ta có 〈y, y〉 = 〈y′, y′〉 = 1 ⇒ 〈y′′, y〉 = −1 và 〈y′′, y′〉 = 0. Do đó, (1.4.9) được viết lại y′′ = −y + 〈y′′, y ∧ y′〉 y ∧ y′ + 〈y′′, Y 〉Y, thay vào (1.4.8) ta được vk1N = [(ρ′ v )′ − ρ ′ v ] y+ (2ρ′ v −ρv ′ v2 ) y′+ 1 v 〈 y′′, y ∧ y′〉α∧y′+ ρ v 〈 y′′, Y 〉 Y. (1.4.10) Ta có 〈y, y〉 = 1 ⇒ 〈y, y′〉 = 0 ⇒ 〈α, y′〉 = 0 ⇒〈α, Y 〉 = 0. 17 Do đó, sau khi nhân cả hai vế của (1.4.10) với α, ta có 〈α,N〉 = 0 nếu và chỉ nếu(ρ′ v )′ − ρ v = 0 ⇒ ρρ′′ − 2ρ′2 − ρ2 = 0. Giải phương trình trên, ta được ρ(t) = a cos(t+ t0) , a ∈ R0, t0 ∈ R. Từ Định lý 1.4.8, ta có ví dụ minh họa sau. Ví dụ 1.4.9. Xét đường cong trong không gian R4 cho bởi α(s) = a√ 2 cos(s+ s0) (sin s, cos s, sin s, cos s), a ∈ R0, s0 ∈ R. Đường cong này có dạng α(s) = ρ(s)y(s), với ρ(s) = a√ 2 cos(s+ s0) và y(s) = 1√ 2 (sin s, cos s, sin s, cos s) là đường cong nằm trên siêu cầu S3. Do đó, α là đường chỉnh lưu trong không gian R4. 1.4.2 Đường xoắn xiên Đường xoắn ốc tổng quát (curves of constant slope, general helices hay inclined curves) được nghiên cứu nhiều trong không gian R3. Chúng được định nghĩa bởi tính chất các tiếp tuyến của đường tạo một góc không đổi với một đường thẳng cố định (gọi là trục của đường xoắn ốc tổng quát). Gần đây, Izumiya và Takeuchi đã đưa ra khái niệm đường xoắn xiên (slant helix) trong không gian R3 được đặc trưng bởi trường vector pháp chính N tạo một góc không đổi với một hướng cố định [17]. Các ông đã tìm điều kiện cần và đủ để một đường tham số độ dài cung là một đường xoắn xiên, đó là k21 (k21 + k 2 2) 3 2 (k2 k1 )′ là một hàm hằng, với hàm độ cong k1(s) khác 0 tại mọi điểm s [17, p. 155]. Đường xoắn xiên trong không gian R3 cũng được nghiên cứu nhiều bởi Ali [1]; Kula, Ekmekci, Yayli và I˙larslan [18]; Babaarslan [4]. Trong mục này, ta sử dụng khái niệm độ cong điều hòa loại hai của đường để tìm điều kiện cần và đủ để một đường là đường xoắn xiên trong không gian R4 nhờ vào các hàm độ cong của đường. 18 Định nghĩa 1.4.10. Cho α : I ⊂ R→ R4 là một đường tham số độ dài cung trong không gian R4 với {T,N,B1, B2} là trường mục tiêu Frenet dọc theo α. Đường cong α được gọi là đường xoắn xiên nếu trường vector N hợp với một hướng cố định một góc ϕ không đổi, tức là 〈N,X〉 = cosϕ, ϕ 6= pi 2 , ϕ = const., với X là trường vector đơn vị cố định trong R4 và được gọi là trục của đường xoắn xiên. Định lí 1.4.11 ([3, p. 329]). Cho α : I ⊂ R → R4 đường tham số độ dài cung trong không gian R4. Khi đó, α là một đường xoắn xiên nếu và chỉ nếu tồn tại các hàm Gi(s), i = 1, 4 thỏa mãn Gi =  ∫ k1ds, i = 1, 1, i = 2, k1 k2 G1, i = 3, 1 k3 (k2 +G′3), i = 4, (1.4.11) và điều kiện G′4(s) = −k3(s)G3(s). (1.4.12) Chứng minh. Giả sử α là một đường xoắn xiên có tham số độ dài cung trong không gian R4. Gọi U là vector cố định tạo với N một góc không đổi θ với cos θ 6= 0. Không mất tính tổng quát, giả sử 〈U,U〉 = 1. Xét các hàm khả vi ai, i = 1, 4 xác định trên I, thỏa mãn U = a1(s)T (s) + a2(s)T (s) + a3(s)B1(s) + a4B2(s), s ∈ I. Khi đó a1 = 〈T, U〉 ⇒ a′1 = 〈 T ′, U 〉 = 〈k1N,U〉 ⇒ a′1 − k1a2 = 0 ⇒ a1 = a2 ∫ k1ds (vì a2 = const.) (1.4.13) a2 = 〈N,U〉 = const. ⇒ a′2 = 〈 N ′, U 〉 = 〈−k1T + k2B1, U〉 = 0 ⇒ k1a1 − k2a3 = 0. (1.4.14) 19 a3 = 〈B1, U〉 ⇒ a′3 = 〈 B′1, U 〉 = 〈−k2N + k3B2, U〉 = 0 ⇒ a′3 + k2a2 − k3a4 = 0. (1.4.15) a4 = 〈B2, U〉 ⇒ a′4 = 〈 B′2, U 〉 = 〈−k3B2, U〉 = 0 ⇒ a′4 + k3a3 = 0. (1.4.16) Vì a2 6= 0 nên tồn tại các hàm Gi(s), i = 1, 4 sao cho Gi(s) = ai(s) a2 , 1 ≤ i ≤ 4. Từ (1.4.13)-(1.4.16) ta có G1 = ∫ k1ds, G2 = 1, G3 = a3 a2 = k1a1 k2a2 = k1 k2 G1, G4 = a4 a2 = 1 k3 (k2 + a′3 a2 ) = 1 k3 (k2 +G ′ 3), G′4 = a′4 a2 = −k3a3 a2 = −k3G3. Ngược lại, giả sử α là đường tham số độ dài cung với các hàm Gi thỏa mãn (1.4.11) và (1.4.12). Xét vector đơn vị U cho bởi U = cos θ [G1T +G2N +G3B1 +G4B2], với θ là một góc không đổi thỏa mãn cos θ 6= 0. Khi đó U ′ = G′1T +G1T ′ +G′2N +G2N ′ +G′3B1 +G3B ′ 1 +G ′ 4B2 +G4B ′ 2 = k1T +G1k1N + 0N + 1(−k1T + k2B1) + (k1 k2 G1 )′ B1 +G3(−k2N + k3B2) + (−k3G3)B2 +G4(−k3B1) = [ k2 + (k1 k2 G1 )′ − k3G4 ] B1 = [ k2 +G ′ 3 − k3 1 k3 (k2 +G ′ 3) ] B1 = 0. Suy ra U là một vector hằng và 〈N,U〉 = G2 cos θ = cos θ. Do đó, α là một đường xoắn xiên. 20 Định nghĩa 1.4.12. Cho α : I ⊂ R → R4 là một đường tham số độ dài cung trong không gian R4. Các độ cong điều hòa loại hai của α là các hàm Gi : I → R4, i = 1, 2, 3, 4 thỏa mãn Gi =  ∫ k1ds, i = 1, 1, i = 2, k1 k2 G1, i = 3, 1 k3 (k2 +G′3), i = 4. Hệ quả 1.4.13. Cho α : I ⊂ R → R4 là một đường tham số độ dài cung trong không gian R4. Khi đó α là một đường xoắn xiên nếu và chỉ nếu các độ cong điều hòa loại hai G3, G4 thỏa mãn G′4(s) = −k3(s)G3(s). Định lí 1.4.14 ([3, p. 331]). Cho α : I ⊂ R → R4 là một đường tham số độ dài cung trong không gian R4. Khi đó α là một đường xoắn xiên nếu và chỉ nếu điều kiện sau được thỏa mãn G3(s) = ( A− ∫ [ k2G2 sin ∫ k3ds ] ds ) sin ∫ s k3(u)du − ( B + ∫ [ k2G2 cos ∫ k3ds ] ds ) cos ∫ s k3(u)du, với A,B là các hằng số. Định lí 1.4.15 ([3, p. 331]). Cho α : I ⊂ R → R4 là một đường tham số độ dài cung trong không gian R4. Nếu α là một đường xoắn xiên thì G21 +G 2 2 +G 2 3 +G 2 4 = C, với C là hằng số khác 0. Mệnh đề 1.4.16 ([3, p. 333]). Không tồn tại đường xoắn xiên với độ cong hằng trong không gian R4. Mệnh đề 1.4.17 ([3, p. 334]). Không tồn tại đường xoắn xiên với các tỷ số độ cong bằng hằng số trong không gian R4. 1.4.3 Đường B2-xoắn xiên Năm 2008, O¨nder là người đầu tiên đưa ra khái niệm đường B2-xoắn xiên trong không gian R4 [25]. Đường B2-xoắn xiên được đặc trưng bởi trường vector B2 tạo một góc không đổi với một hướng cố định. Năm 2009, Go¨k đã khảo sát đường Vn-xoắn xiên (trong không gian Rn) bằng cách sử dụng độ cong điều hòa tựa B2 và khái niệm vector Darboux [13]. Theo đó, với n = 4 thì ta thu được các kết quả cho đường B2-xoắn xiên. 21 Định nghĩa 1.4.18. Cho α : I ⊂ R→ R4 là một đường tham số độ dài cung với các hàm độ cong k1(s), k2(s), k3(s) khác không tại mọi s ∈ I và {T,N,B1, B2} là trường mục tiêu Frenet dọc α. Đường cong α được gọi là đường B2-xoắn xiên nếu trường vector B2 hợp với một hướng cố định X một góc ϕ không đổi (ϕ 6= pi2 ), tức là 〈B2, X〉 = cosϕ, ϕ 6= pi 2 , ϕ = const., với X là trường vector đơn vị cố định trong R4 và được gọi là trục của B2-xoắn xiên. Định nghĩa 1.4.19. Cho α : I ⊂ R → R4 là đường tham số độ dài cung với các hàm độ cong k1(s), k2(s), k3(s) khác không tại mọi s ∈ I. Ta gọi H1, H2 là các hàm độ cong điều hòa tựa B2 của α cho bởi Hi : I ⊂ R→ R, i = 1, 2, sao cho Hi =  k3 k2 , i = 1 − 1 k1 H ′1, i = 2 . Mệnh đề 1.4.20 ([13, p. 320]). Cho α : I ⊂ R → R4 là đường tham số độ dài cung với các hàm độ cong k1(s), k2(s), k3(s) khác không tại mọi s ∈ I, X là trường vector đơn vị cố định trong R4, {T,N,B1, B2} là trường mục tiêu Frenet dọc α và H1, H2 là các hàm độ cong điều hòa tựa B2 của α. Giả sử α : I → R4 là đường B2-xoắn xiên có trục X, khi đó 〈B1, X〉 = 0; 〈N,X〉 = H1 〈B2, X〉 ; 〈T,X〉 = H2 〈B2, X〉 . Chứng minh. Vì X là vector đơn vị cố định nên 〈B2, X〉 = const. ⇒ 〈B′2, X〉 = 0 ⇒〈−k3 B1, X〉 = 0 ⇒〈B1, X〉 = 0. Do đó 〈 B′1, X 〉 = 0 ⇒〈−k2N + k3B2, X〉 = 0 ⇒− k2 〈N,X〉+ k3 〈B2, X〉 = 0 ⇒〈N,X〉 = k3 k2 〈B2, X〉 = H1 〈B2, X〉 . 22 Vì vậy 〈 N ′, X 〉 = H ′1 〈B2, X〉+H1 〈 B′2, X 〉 ⇒〈−k1T + k2B1, X〉 = H ′1 〈B2, X〉 − k3H1 〈B1, X〉 ⇒ − k1 〈T,X〉+ k2 〈B1, X〉 = H ′1 〈B2, X〉 ⇒ 〈T,X〉 = H2 〈B2, X〉 . Hệ quả 1.4.21 ([13, p. 321]). Cho α : I ⊂ R→ R4 là đường tham số độ dài cung, X là trường vector đơn vị cố định trong không gian R4, {T,N,B1, B2} là trường mục tiêu Frenet dọc α và H1, H2 là các hàm độ cong điều hòa tựa B2 của α. Giả sử α : I ⊂ R→ R4 là đường B2-xoắn xiên có trục X, khi đó X = (H2T +H1N +B2) 〈B2, X〉 hay X = (H2T +H1N +B2) cosϕ. Chứng minh. Ta viết X = λ1T + λ2N + λ3B1 + λ4B2, với λi, i = 1, 4 là các hàm khả vi tùy ý. Sử dụng Mệnh đề 1.4.20, ta có λ1 = 〈T,X〉 = H2 〈B2, X〉 , λ2 = 〈N,X〉 = H1 〈B2, X〉 , λ3 = 〈B1, X〉 = 0, λ4 = 〈B2, X〉 . Do đó X = (H2T +H1N +B2) 〈B2, X〉 . Định nghĩa 1.4.22. Cho α : I ⊂ R → R4 là đường tham số độ dài cung, {T,N,B1, B2} là trường mục tiêu Frenet dọc α và H1, H2 là các hàm độ cong điều hòa tựa B2 của α. Khi đó D = H2 T +H1 N +B2 được gọi là vector Darboux của đường B2-xoắn xiên α. Định lí 1.4.23 ([13, p. 321]). Cho α : I ⊂ R→ R4 là đường tham số độ dài cung, {T,N,B1, B2} là trường mục tiêu Frenet dọc α và H1, H2 là các hàm độ cong điều hòa tựa B2 của α. Khi đó, α là đường B2-xoắn xiên nếu và chỉ nếu D là một trường vector hằng. 23 Chứng minh. Giả sử α là một B2-xoắn xiên có trục X. Theo Hệ quả 1.4.21, ta có X = (H2T +H1N +B2) cosϕ = D cosϕ, mà ϕ là một hằng số nên D là một trường vector hằng. Ngược lại, xét D là một trường vector hằng. Khi đó 〈D,B2〉 = 1 ⇒‖D‖‖B2‖ cosϕ = 1 ⇒‖D‖ cosϕ = 1. Suy ra cosϕ = 1 ‖D‖ , với ϕ là góc cố định giữa D và B2. Đặt X = cosϕD, khi đó X là trường vector cố định. Ta có 〈B2, X〉 = 〈D,B2〉 cosϕ = cosϕ = const. Vậy α là một đường B2-xoắn xiên. Định lí 1.4.24 ([13, p. 322]). Cho α : I ⊂ R→ R4 là đường tham số độ dài cung, {T,N,B1, B2} là trường mục tiêu Frenet dọc α và H1, H2 là các hàm độ cong điều hòa tựa B2 của α. Khi đó, α là đường B2-xoắn xiên nếu và chỉ nếu H ′2 − k1H1 = 0. Chứng minh. Ta có D = H2T +H1N +B2 ⇒ D′ = H ′2T +H2T ′ +H ′1N +H1N ′ +B′2 = H ′2T +H2k1N +H ′ 1N +H1(−k1T + k2B1)− k3B1 = (H ′2 − k1H1)T + (k1H2 +H ′1)N + (k2H1 − k3)B1 = (H ′2 − k1H1)T. Theo Định lí 1.4.23, α là đường B2-xoắn xiên nếu và chỉ nếu D là một trường vector hằng hay D′ = 0 hay H ′2 − k1H1 = 0. Hệ quả 1.4.25 ([13, p. 323]). Cho α : I ⊂ R→ R4 là đường tham số độ dài cung, {T,N,B1, B2} là trường mục tiêu Frenet dọc α và k1, k2, k3 là các hàm độ cong của α. Khi đó α là một đường B2-xoắn xiên nếu và chỉ nếu[ 1 k1 ( k3 k2 )′]′ + k1 k3 k2 = 0. 24 Chứng minh. Theo Định lý 1.4.24, ta có α là một đường B2-xoắn xiên ⇔ H ′2 − k1H1 = 0 ⇔ ( − 1 k1 H ′1 )′ − k1H1 = 0 ⇔ [ 1 k1 ( k3 k2 )′]′ + k1 k3 k2 = 0. Định lí 1.4.26 ([13, p. 324]). Cho α : I ⊂ R→ R4 là đường tham số độ dài cung, {T,N,B1, B2} là trường mục tiêu Frenet dọc α và H1, H2 là các hàm độ cong điều hòa tựa B2của α. Nếu α là đường B2-xoắn xiên thì H21 +H 2 2 = const. Chứng minh. Ta có X = (H2T +H1N +B2) cosϕ ⇒(H21 +H22 + 1) cos2 ϕ = 1 ⇒H21 +H22 = 1− cos2 ϕ cos2 ϕ = tan2 ϕ = const. Hệ quả 1.4.27 ([13, p. 325]). Nếu α : I ⊂ R→ R4 là đường tham số độ dài cung với k1(s), k2(s), k3(s) là các hàm độ cong khác không của α là đường B2-xoắn xiên, khi đó ( k3 k2 )2 + 1 k21 (( k3 k2 )′)2 = tan2 ϕ = const., với ϕ là góc không đổi tạo bởi trường vector B2 và trường vetor cố định X. Chứng minh. Theo Định lý 1.4.26, α là đường B2-xoắn xiên thì H21 +H 2 2 = tan 2 ϕ = const. ⇒ ( k3 k2 )2 + 1 k21 (( k3 k2 )′)2 = tan2 ϕ = const. Nhận xét 1.4.28. Chiều ngược lại nếu có, trong Hệ quả 1.4.27 không phải lúc nào cũng đúng. Go¨k,Cami,Hacisalihogˇlu đã chứng tỏ chiều ngược lại được phát biểu bởi Onder, Kaza, Kocayigit, Kilic [25, p. 1436] không đúng bằng cách đưa ra phản ví dụ sau đây. 25 Ví dụ 1.4.29. Xét đường tham số độ dài cung α trong không gian R4 cho bởi α(s) = (α1(s), α2(s), α3(s), α4(s)), với α1(s) = a cos ( r√ a2r2 + b2 s ) , α2(s) = a sin ( r√ a2r2 + b2 s ) , α3(s) = b cos ( r√ a2r2 + b2 s ) , α4(s) = b sin ( r√ a2r2 + b2 s ) . Đặt m = 1√ a2r2 + b2 và n = 1√ a2r4 + b2 . Ta tính T = (−amr sin(mrs), amr cos(mrs),−bm sin(ms), bm cos(ms)), N = (−anr2 cos(mrs),−anr2 sin(mrs),−bn cos(ms),−bn sin(ms)), B1 = (bm sin(mrs),−bm cos(mrs),−amr sin(ms), amr cos(ms)), B2 = (bn cos(mrs), bn sin(mrs),−anr2 cos(ms),−anr2 sin(ms)). Khi đó k1 = m2 n , k2 = m 2nabr(r2 − 1), k3 = nr. Suy ra ( k3 k2 )2 + 1 k21 (( k3 k2 )′)2 = const. Trường vector Darboux của đường α cho bởi D = − [ 1 k1 ( k3 k2 )′] T + k3 k2 N +B2. Vì ( k3 k2 )′ = 0, nên ta viết D = k3 k2 N +B2. Suy ra D′ = k3 k2 N ′ +B′2 = k3 k2 (−k1T + k2B1)− k3B1 = −k1k3 k2 T. Do đó, D không là một trường vectorhằng. Theo Định lí 1.4.23, α không là một đường B2-xoắn xiên. 26 Chương 2 MẶT TRONG KHÔNG GIAN R4 Trong chương này, chúng tôi giới thiệu sơ lược về mặt chính quy trong không gian R4, trình bày khái niệm ellipse độ cong, từ đó rút ra các bất biến địa phương trong không gian R4. Sau đó, chúng tôi tìm điều kiện để ellipse độ cong suy biến thành một điểm hay một đoạn thẳng của hai loại mặt tròn xoay trong không gian R4. Cuối cùng, chúng tôi khảo sát các loại mặt tròn xoay cực tiểu trong không gian R4. 2.1 Mặt chính quy Trong mục này, chúng tôi giới thiệu sơ lược về mặt chính quy trong không gian R4, dạng cơ bản thứ nhất, dạng cơ bản thứ hai của mặt chính quy trong không gian R4. Định nghĩa 2.1.1. Cho U là một miền trong không gian R2, tức là một tập mở liên thông và X : U → R4 là một ánh xạ trơn (đến lớp cần thiết). Ký hiệu M = X(U). Khi đó, M được gọi là mặt tham số và X được gọi là tham số hóa của M theo tham số (u, v) ∈ U. Mặt tham số M được gọi là chính quy nếu với mọi (u, v) ∈ U , hệ {Xu, Xv} độc lập tuyến tính. Từ đây trở về sau, ta ký hiệu M = X(U) là mặt chính quy với X : U → R4 là tham số hóa của M . Định nghĩa 2.1.2. Với mỗi điểm p = X(u, v) ∈M , ta kí hiệu TpM = {λXu + µXv : λ, µ ∈ R}, NpM = {N ∈ R4 : 〈N,Xu〉 = 〈N,Xv〉 = 0} lần lượt là không gian tiếp xúc và không gian pháp của M tại p. 27 Nhận xét 2.1.3. Không gian tiếp xúc và không gian pháp của mặt chính quy tại mỗi điểm đều có số chiều bằng 2. Gọi {e1, e2}, {e3, e4} lần lượt là các cơ sở trực chuẩn của TpM và NpM . Định nghĩa 2.1.4. Với mỗi điểm p = X(u, v), vector w = w1Xu + w2Xv ∈ TpM , dạng cơ bản thứ nhất của M tại p trong không gian R4 cho bởi: Ip : TpM −→ R w 7−→ Ip(w) = 〈w,w〉 = Ew21 + 2Fw1w2 +Gw22, trong đó E = 〈Xu, Xu〉 , F = 〈Xu, Xv〉 = 〈Xv, Xu〉 , G = 〈Xv, Xv〉 được gọi là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất. Nhận xét 2.1.5. Dạng cơ bản thứ nhất trong không gian R4 trùng với dạng cơ bản thứ nhất trong không gian R3. Định nghĩa 2.1.6. Với mỗi điểm p = X(u, v), vector w = w1Xu + w2Xv ∈ TpM , dạng cơ bản thứ hai IIp : TpM −→ NpM của M tại p trong không gian R4 cho bởi IIp(w) = (aw 2 1 + 2 bw1w2 + cw 2 2) e3 + (ew 2 1 + 2 f w1w2 + g w 2 2) e4, trong đó a = 〈Xuu, e3〉 , e = 〈Xuu, e4〉 , b = 〈Xuv, e3〉 , f = 〈Xuv, e4〉 , c = 〈Xvv, e3〉 , g = 〈Xvv, e4〉 được gọi là các hệ số của dạng cơ bản thứ hai. Nhận xét 2.1.7. Trong không gian R3, với mỗi điểm p = X(u, v), vector w = w1Xu + w2Xv ∈ TpM , dạng cơ bản thứ hai IIp : TpM −→ R của M tại p trong không gian R3 cho bởi IIp(w) = ew 2 1 + 2 f w1w2 + g w 2 2, trong đó e = 〈Xuu, N〉 , f = 〈Xuv, N〉 , g = 〈Xvv, N〉 (N là pháp vector đơn vị của mặt M tại p). Do đó, dạng cơ bản thứ hai của mặt trong không gian R4 là mở rộng của dạng cơ bản thứ hai của mặt trong không gian R3. 28 Mệnh đề 2.1.8. Dạng cơ bản thứ hai của mặt trong không gian R4 không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở trực chuẩn {e3, e4}. Chứng minh. Dạng cơ bản thứ hai của M tại p được viết lại như sau IIp(w) = (a e3 + e e4)w 2 1 + 2(b e3 + f e4)w1w2 + (c e3 + g e4)w 2 2. Giả sử {e′3, e′4} là một sơ sở trực chuẩn bất kỳ của NpM . Khi đó[ e′3 e′4 ] = [ a11 a12 a21 a22 ] [ e3 e4 ] , với A = [ a11 a12 a21 a22 ] là ma trận chuyển cơ sở từ {e′3, e′4} sang {e3, e4}. Ta chứng minh ae′3 + ee ′ 4 = ae3 + ee4. Ta có ae′3 + ee ′ 4 = 〈 Xuu, e ′ 3 〉 e′3 + 〈 Xuu, e ′ 4 〉 e′4 = 〈Xuu, a11e3 + a12e4〉 (a11e3 + a12e4) + 〈Xuu, a21e3 + a22e4〉 (a21e3 + a22e4) = 〈 Xuu, a 2 11e3 + a11a12e4 〉 e3 + 〈 Xuu, a11a12e3 + a 2 12e4 〉 e4 + 〈 Xuu, a 2 21e3 + a21a22e4 〉 e3 + 〈 Xuu, a21a22e3 + a 2 22e4 〉 e4 = 〈 Xuu, (a 2 11 + a 2 21)e3 + (a11a12 + a21a22)e4 〉 e3 + 〈 Xuu, (a11a12 + a21a22)e3 + (a 2 12 + a 2 22)e4 〉 e4. Vì A là ma trận trực giao nên AtA = I ⇔ [ a11 a21 a12 a22 ] [ a11 a12 a21 a22 ] = [ 1 0 0 1 ] . Suy ra a211 + a 2 21 = 1, a11a12 + a21a22 = 0, a 2 12 + a 2 22 = 1. Do đó ae′3 + ee ′ 4 = 〈Xuu, e3〉 e3 + 〈Xuu, e4〉 e4 = ae3 + ee4. Chứng minh tương tự, ta có b e′3 + f e ′ 4 = b e3 + f e4, c e′3 + g e ′ 4 = c e3 + g e4. 29 Do đó IIp(w) = (a e ′ 3 + e e ′ 4)w 2 1 + 2(b e ′ 3 + f e ′ 4)w1w2 + (c e ′ 3 + g e ′ 4)w 2 2 = (aw21 + 2 bw1w2 + cw 2 2) e ′ 3 + (ew 2 1 + 2 f w1w2 + g w 2 2) e ′ 4. Vậy dạng cơ bản thứ hai không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở trực chuẩn {e3, e4}. Nhận xét 2.1.9. Các đại lượng ae3 + ee4, be3 + fe4, ce3 + ge4 không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở trực chuẩn {e3, e4}. 2.2 Ellipse độ cong 2.2.1 Khái niệm Cho M là một mặt chính quy trong không gian R4, p là một điểm nằm trên M , vectơ v ∈ TpM . Gọi Hv = {λv} ⊕ NpM,λ ∈ R ({λv} là đường thẳng qua p theo phương v). Khi đó, Hv là một siêu phẳng. Giao của siêu phẳng này với mặt M là một đường cong γv trong không gian, được gọi là lát cắt chuẩn tắc của M theo phương v. Xét đường tròn đơn vị S1 trong TpM được tham số bởi góc θ, 0 ≤ θ ≤ 2pi. Khi v di chuyển trên đường tròn này, ta xác định được một họ các lát cắt chuẩn tắc, vector độ cong pháp η(v) của γv tại p tương ứng sẽ mô tả một ellipse trên NpM , gọi là ellipse độ cong của M tại p, ký hiệu là Ep. Ellipse độ cong của M tại p có thể được xem là ảnh của ánh xạ η : R −→ NpM θ 7−→ η(θ) = IIp(v), trong đó v = cos θe1 + sin θe2 với {e1, e2} là một cơ sở trực chuẩn của TpS. Ta có η(θ) = IIp(v) = (a cos 2 θ + 2b cos θ sin θ + c sin2 θ)e3+ + (e cos2 θ + 2f cos θ sin θ + g sin2 θ)e4 = 1 2 [(a+ c)e3 + (e+ g)e4] + + 1 2 [(a− c)e3 + (e− g)e4] cos 2θ + (be3 + fe4) sin 2θ. Đặt δ11 = ae3 +ee4, δ12 = be3 +fe4, δ22 = ce3 +ge4, công thức trên được viết ngắn gọn như sau η(θ) = 1 2 (δ11 + δ22) + 1 2 (δ11 − δ22) cos 2θ + δ12 sin 2θ. (2.2.1) 30 Nhận xét 2.2.1. Từ (2.2.1) ta thấy rằng khi v quay đúng một vòng quanh đường tròn S1 ⊂ TpM (θ biến thiên từ 0 đến 2pi) thì vector độ cong pháp η(v) quay hai vòng quanh một ellipse có tâm là H = 1 2 (δ11 + δ22). Như vậy mỗi điểm của Ep tương ứng với hai điểm trên đường tròn S1 đối xứng nhau qua tâm của S1. Nhận xét 2.2.2. Theo Mệnh đề 2.1.8, ellipse độ cong không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở trực chuẩn {e3, e4}. Khi δ11 = δ22 và δ12 = 0 đồng thời xảy ra thì ellipse độ cong suy biến thành một điểm, do đó ta có khẳng định sau đây. Mệnh đề 2.2.3 ([15, p. 22]). Ellipse độ cong suy biến thành một điểm khi và chỉ khi b = f = 0 và { a = c e = g . Khi δ11 = δ22 và δ12 = 0, tức là b = f = 0 hoặc { a = c e = g nhưng không đồng thời xảy ra thì ellipse độ cong suy biến thành một đoạn thẳng. Khi δ11 6= δ22 và δ12 6= 0, ta có khẳng định sau. Mệnh đề 2.2.4 ([15, p. 22]). Khi δ11 6= δ22 và δ12 6= 0, ellipse độ cong suy biến thành một đoạn thẳng nếu và chỉ nếu (a− c)f = (e− g)b. Chứng minh. Từ biểu diễn của ellipse độ cong η(θ) = 1 2 (δ11 + δ22) + 1 2 (δ11 − δ22) cos 2θ + δ12 sin 2θ, ta thấy rằng ellipse độ cong suy biến thành một đoạn thẳng thì δ11 − δ22 và δ12 phụ thuộc tuyến tính. Do đó tồn tại k 6= 0 sao cho δ11 − δ22 = kδ12. Từ đó a− c = kb và e− g = kf. Vì vậy (a− c)f = (e− g)b. Ngược lại, nếu (a− c)f = (e− g)b thì tồn tại k 6= 0 để a− c = kb và e− g = kf. Lúc này η(θ) = 1 2 [(a+ c)e3 + (e+ g)e4] + [ 1 2 kbe3 + 1 2 kfe4] cos 2θ + (be3 + fe4) sin 2θ = 1 2 [(a+ c)e3 + (e+ g)e4] + (be3 + fe4)ρ(θ), trong đó ρ(θ) = 1 2 k cos 2θ+ sin 2θ. Điều này chứng tỏ η(θ) là một đoạn thẳng, tức là ellipse độ cong suy biến thành một đoạn thẳng. 31 Mệnh đề 2.2.5 ([15, p. 23]). Nếu ellipse độ cong là một đường tròn thì (e− g)2 = 4b2. Định nghĩa 2.2.6. Vector H = 1 2 (δ11 + δ22) được gọi là vector độ cong trung bình của M tại p. Ta đã có η(θ) = 1 2 [(a+ c)e3 + (e+ g)e4] + 1 2 [(a− c)e3 + (e− g)e4] cos 2θ+ (be3 + fe4) sin 2θ. Biến đổi công thức lại như sau η(θ)−H = [1 2 (a− c) cos 2θ + b sin 2θ]e3 + [1 2 (e− g) cos 2θ + f sin 2θ]e4. Ta có thể biểu diễn dưới dạng ma trận η(θ)−H = [ 1 2(a− c) b 1 2(e− g) f ] [ cos 2θ sin 2θ ] . Nhận xét 2.2.7. Từ Nhận xét 2.1.9 ta thấy vector độ cong trung bình không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở trực chuẩn {e3, e4}. Nhận xét 2.2.8. Ta có thể hình dung ellipse độ cong một cách trực quan hình học như sau: ảnh của một đường tròn đơn vị được tham số bởi góc θ trong mặt phẳng tiếp xúc qua ánh xạ η là một ellipse, vector độ cong pháp của nhát cắt chuẩn tắc di chuyển trên một ellipse trong mặt phẳng pháp, quanh vectơ độ cong trung bình, ellipse này là ellipse độ cong. Mệnh đề 2.2.9 ([15, p. 24]). Ellipse độ cong không đổi qua phép đổi tham số của mặt. Nhận xét 2.2.10. Giả sử mặtM có tham số hóa trực giao, tức là F = 〈Xu, Xv〉 = 0, được cho bởi X : U ⊂ R2 −→ R4 (u, v) 7−→ X(u, v). Khi đó, { Xu√ E , Xu√ G } là một sơ sở trực chuẩn cho TpM . Lúc này, với mọi vector v = cos θ Xu√ E + sin θ Xu√ G , ellipse độ cong được viết η(θ) =( a E cos2 θ + 2 b√ EG cos θ sin θ + c G sin2 θ)e3 + ( e E cos2 θ + 2 f√ EG cos θ sin θ + g G sin2 θ)e4 = 1 2 [ ( a E + c G ) e3 + ( e E + g G ) e4 ] + 1 2 [ ( a E − c G ) e3 + 1 2 ( e E − g G ) e4 ] cos 2θ + ( b√ EG e3 + f√ EG e4 ) sin 2θ. 32 Ta sử dụng ellipse độ cong như trên để khảo sát mặt tham số trực giao X(u, v). Mệnh đề 2.2.11 ([15, p. 31]). Mặt M là một phần của mặt phẳng khi và chỉ khi các hệ số của dạng cơ bản thứ hai của M đều bằng 0. Định lí 2.2.12 ([15, p. 33]). Nếu mặt M nằm trên một siêu phẳng thì ellipse độ cong tại mọi điểm suy biến thành một đoạn thẳng hoặc một điểm. 2.2.2 Các bất biến địa phương Chọn {e1, e2} sao cho U = (η −H)(0) là vector nửa trục lớn, B = (η −H)(pi4 ) là vector nửa trục bé của ellipse độ cong của M thì [15, p. 25] U = 1 2 (a− c)e3 + 1 2 (e− g)e4, B = be3 + fe4. Khi đó, diện tích của ellipse độ cong là S = pi 2 |(a− c)f − (e− g)b| . Định nghĩa 2.2.13. N = (a− c)f − (e− g)b được gọi là độ cong pháp của M tại p. Trong tính toán cụ thể, nếu xét mặt tham số trực giao thì độ cong pháp được tính theo công thức sau N = ( a E − c G ) f√ EG − ( e E − g G ) b√ EG . Nhận xét 2.2.14. Vì S = pi 2 |N | mà ellipse độ cong là bất biến, nên độ cong pháp N là đại lượng bất biến. Ta có H2 − U2 − B2 = 1 4 (a+ c)2 − 1 4 (e+ g)2 − 1 4 (a− e)2 + 1 4 (e− g)2 − b2 − f2 = 1 4 [a2 + 2ac+ c2 + e2 + 2eg + g2 − a2 + 2ac− c2 − e2 + 2eg − g2]− b2 − f2 = ac− b2 + eg − f2. Định nghĩa 2.2.15. K = ac− b2 + eg − f2 được gọi là độ cong Gauss của M tại p. 33 Lúc này K = H2 − U2 − B2. Trong tính toán cụ thể, nếu xét mặt tham số bất kỳ thì độ cong Gauss được tính theo công thức sau K = ac− b2 + eg − f2 EG− F 2 . Nhận xét 2.2.16. Độ cong Gauss K là đại lượng bất biến. Định lí 2.2.17 ([15, p. 34]). Nếu tại mọi điểm p trên mặt M mà N = 0 và K 6= 0 thì M nằm trong một siêu phẳng. 2.3 Mặt tròn xoay Trong không gian R3, mặt tròn xoay được tham số bằng cách lấy một đường cong c trong mặt phẳng Oe1e2 c(u) = (x(u), r(u), 0), u ∈ R. Sau đó, quay đường cong c quanh trục Oe1 (hay quay đường cong c khi cố định trục Oe1) ta được mặt tròn xoay có tham số hóa X(u, v) = (x(u), r(u) cos v, r(u) sin v), u ∈ R, v ∈ [0, 2pi). Mặt tròn xoay trong không gian R4 được nghiên cứu bởi Cole [6] (1890), Moore [23, 24] (1919, 1920) và gần đây là Eisenberg [7] (2004), Ganchev, Milousheva [8, 9, 10, 11, 12] (2008-2010). Ta ký hiệu Oe1e2e3e4 là mục tiêu trực chuẩn của không gian R4. 2.3.1 Mặt tròn xoay loại 1 Xét đường tham số độ dài cung c trong siêu phẳng Oe1e2e3 cho bởi c(u) = (x1(u), x2(u), r(u), 0); u ∈ J ⊂ R, với (x′1)2 + (x′2)2 + (r′)2 = 1 và r > 0. Lúc này, quay đường cong c khi cố định 2-phẳng Oe1e2 ta được mặt tròn xoay loại 1 trong không gian R4 có tham số hóa X(u, v) = (x1(u), x2(u), r(u) cos v, r(u) sin v); u ∈ J ⊂ R, v ∈ [0, 2pi). (2.3.1) Khi c không phải là đường thẳng, ta có Xu = (x ′ 1, x ′ 2, r ′ cos v, r′ sin v); Xv = (0, 0,−r sin v, r cos v); Xuu = (x ′′ 1, x ′′ 2, r ′′ cos v, r′′ sin v); Xuv = (0, 0,−r′ sin v, r′ cos v); Xvv = (0, 0,−r cos v,−r sin v). 34 Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất E = 〈Xu, Xu〉 = 1, F = 〈Xu, Xv〉 = 0, G = 〈Xv, Xv〉 = r2. Chọn e1 = Xu√ E , e2 = Xv√ G . Khi đó {e1, e2} là một cơ sở trực chuẩn của không gian tiếp xúc. Chọn e3 = 1 k (x′′1, x ′′ 2, r ′′ cos v, r′′ sin v), e4 = 1 k (x′2r ′′ − x′′2r′, x′′1r′ − x′1r′′, (x′1x′′2 − x′′1x′2) cos v, (x′1x′′2 − x′′1x′2) sin v), với k = √ (x′′1)2 + (x′′2)2 + (r′′)2. Khi đó {e3, e4} là một cơ sở trực chuẩn của không gian pháp. Các hệ số của dạng cơ bản thứ hai a = 〈Xuu, e3〉 = k; e = 〈Xuu, e4〉 = 0; b = 〈Xuv, e3〉 = 0; f = 〈Xuv, e4〉 = 0; c = 〈Xvv, e3〉 = −rr ′′ k ; g = 〈Xvv, e4〉 = −r(x ′ 1x ′′ 2 − x′′1x′2) k . Ta có δ11 = a e3 + e e4 = k e3; δ12 = b e3 + f e4 = 0; δ22 = c e3 + g e4 = −rr′′ k e3 + −r(x′1x′′2 − x′′1x′2) k e4. Vì mặt tròn xoay loại 1 có tham số hóa trực giao nên ellipse độ cong Ep có dạng η(θ) = 1 2 ( δ11 E + δ22 G ) + 1 2 ( δ11 E − δ22 G ) cos 2θ + δ12√ EG sin 2θ. Nhận xét 2.3.1. Vì δ12 = 0 nên ellipse độ cong của mặt tròn xoay loại 1 khi c khác đường thẳng suy biến thành một điểm hoặc một đoạn thẳng. 2.3.2 Mặt tròn xoay loại 2 Xét đường tham số c trong phẳng Oe1e3 được xác định như sau c(u) = (f(u), 0, g(u), 0);u ∈ J ⊂ R. Lúc này, quay đường cong trên khi cố định hai mặt phẳng Oe1e2 và Oe3e4 ta được mặt tròn xoay loại 2 trong không gian R4 có tham số hóa X(u, v) = (f(u) cosαv, f(u) sinαv, g(u) cos βv, g(u) sin βv); (2.3.2) 35 với u ∈ J ⊂ R, v ∈ [0, 2pi), α, β là các hằng số dương, f và g là hai hàm trơn thỏa mãn α2f2(u) + β2g2(u) > 0, f ′2(u) + g′2(u) > 0, u ∈ J. (2.3.3) Ta có Xu = (f ′ cosαv, f ′ sinαv, g′ cos βv, g′ sin βv); Xv = (−αf sinαv, αf cosαv,−βg sin βv, βg cos βv); Xuu = (f ′′ cosαv, f ′′ sinαv, g′′ cos βv, g′′ sin βv); Xuv = (−αf ′ sinαv, αf ′ cosαv,−βg′ sin βv, βg′ cos βv); Xvv = (−α2f cosαv,−α2f sinαv,−β2g cos βv,−β2g sin βv). Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất E = 〈Xu, Xu〉 = f ′2 + g′2, F = 〈Xu, Xv〉 = 0, G = 〈Xv, Xv〉 = α2f2 + β2g2. Chọn e1 = Xu√ E , e2 = Xv√ G . Khi đó {e1, e2} là một cơ sở trực chuẩn của không gian tiếp xúc. Chọn e3 = 1√ f ′2 + g′2 (g′ cosαv, g′ sinαv,−f ′ cos βv,−f ′ sin βv), e4 = 1√ α2f2 + β2g2 (−βg sinαv, βg cosαv, αf sin βv,−αf cos βv). Khi đó {e3, e4} là một cơ sở trực chuẩn của không gian pháp. Các hệ số của dạng cơ bản thứ hai a = 〈Xuu, e3〉 = g ′f ′′ − f ′g′′√ f ′2 + g′2 ; e = 〈Xuu, e4〉 = 0; b = 〈Xuv, e3〉 = 0; f = 〈Xuv, e4〉 = αβ(gf ′ − fg′)√ α2f2 + β2g2 ; c = 〈Xvv, e3〉 = β 2gf ′ − α2fg′√ f ′2 + g′2 ; g = 〈Xvv, e4〉 = 0. Ta có δ11 = a e3 + e e4 = g′f ′′ − f ′g′′√ f ′2 + g′2 e3; δ12 = b e3 + f e4 = αβ(gf ′ − fg′)√ α2f2 + β2g2 e4; δ22 = c e3 + g e4 = β2gf ′ − α2fg′√ f ′2 + g′2 e3. 36 Vì mặt tròn xoay loại 2 có tham số hóa trực giao nên ellipse độ cong Ep có dạng η(θ) = 1 2 ( δ11 E + δ22 G ) + 1 2 ( δ11 E − δ22 G ) cos 2θ + δ12√ EG sin 2θ. Mệnh đề 2.3.2. Ellipse độ cong của mặt tròn xoay loại 2 tại mọi điểm suy biến thành một điểm khi và chỉ khi nó là một phần của mặt phẳng. Chứng minh. Ellipse độ cong Ep suy biến thành một điểm khi và chỉ khi δ11 E = δ22 G δ12 = 0 ⇔  g′f ′′ − f ′g′′ f ′2 + g′2 = β2gf ′ − α2fg′ α2f2 + β2g2 gf ′ − fg′ = 0 . (2.3.4) Kết hợp với điều kiện (2.3.3) ta được  g′f ′′ − f ′g′′ f ′2 + g′2 = β2gf ′ − α2fg′ α2f2 + β2g2 gf ′ − fg′ = 0 f ′2 + g′2 6= 0, α2f2 + β2g2 6= 0, α > 0, β > 0 ⇔  g = 0, f 6= const. g 6= 0( f g )′ = 0 g′f ′′ − f ′g′′ f ′2 + g′2 = β2gf ′ − α2fg′ α2f2 + β2g2 f ′2 + g′2 6= 0, α2f2 + β2g2 6= 0, α > 0, β > 0 ⇔  g = 0, f 6= const. g 6= 0 f = kg, (k : const.) k(β2 − α2)gg′ = 0 f ′2 + g′2 6= 0, α2f2 + β2g2 6= 0, α > 0, β > 0 ⇔  g = 0, f 6= const. g 6= 0 f = kg, (k : const.) k = 0α2 = β2 g = const. (loại) f ′2 + g′2 6= 0, α2f2 + β2g2 6= 0, α > 0, β > 0 37 ⇔ g = 0, f 6= const. f = 0, g 6= const. α = β > 0 f = kg (k : const. 6= 0) g 6= const. . Trong các trường hợp trên, ta đều có các hệ số của dạng cơ bản thứ hai a = b = c = e = f = g = 0. Do đó theo Mệnh đề 2.2.11, mặt tròn xoay loại 2 là một phần của mặt phẳng. Nhận xét 2.3.3. Khi ellipse độ cong Ep của mặt tròn xoay loại 2 suy biến thành một điểm thì Ep có dạng η(θ) = 0, vector độ cong trung bình triệt tiêu, nghĩa là Ep suy biến thành điểm p. Nhận xét 2.3.4. Khi δ11 E 6= δ22 G và δ12√ EG 6= 0 thì Ep của mặt tròn xoay loại 2 không suy biến thành một đoạn thẳng. Thật vậy, theo Mệnh đề 2.2.4, Ep suy biến thành một đoạn thẳng khi và chỉ khi( a E − c G ) f = ( e E − g G ) b. Khi đó, vế phải luôn bằng 0. Vì δ11 E 6= δ22 G và δ12√ EG 6= 0 nên a E 6= c G và f 6= 0, suy ra vế trái luôn khác 0. Do đó, đẳng thức trên không xảy ra. Mệnh đề 2.3.5. Khi α 6= β và f = kg (k : const. 6= 0, g 6= const.) thì ellipse độ cong Ep của mặt tròn xoay loại 2 suy biến thành một đoạn thẳng. Chứng minh. Khi δ11 E 6= δ22 G và δ12 = 0 thì Ep suy biến thành một đoạn thẳng. Ta có  δ11 E 6= δ22 G δ12 = 0 ⇔  a E 6= c G f = 0 ⇔  g′f ′′ − f ′g′′ f ′2 + g′2 6= β 2gf ′ − α2fg′ α2f2 + β2g2 gf ′ − fg′ = 0 . (2.3.5) 38 Kết hợp phương trình thứ hai trong (2.3.5) và điều kiện (2.3.3) ta được{ gf ′ − fg′ = 0 f ′2 + g′2 6= 0, α2f2 + β2g2 6= 0, α > 0, β > 0 ⇔   g = 0 g 6= 0( f g )′ = 0 f ′2 + g′2 6= 0, α2f2 + β2g2 6= 0, α > 0, β > 0 ⇔   g = 0g 6= 0f = kg (k : const.) f ′2 + g′2 6= 0, α2f2 + β2g2 6= 0, α > 0, β > 0 ⇔  g = 0, f 6= const. f = 0, g 6= const.f = kg (k : const. 6= 0)g 6= const. . Khi đó (2.3.5) ⇔  g′f ′′ − f ′g′′ f ′2 + g′2 6= β 2gf ′ − α2fg′ α2f2 + β2g2 f = kg (k : const. 6= 0) g 6= const. ⇔  kg′g′′ − kg′g′′ k2g′2 + g′2 6= β 2kgg′ − α2kgg′ α2k2g2 + β2g2 f = kg (k : const. 6= 0) g 6= const. ⇔  (β2 − α2)kgg′ 6= 0 f = kg (k : const. 6= 0) g 6= const. ⇔  α 6= β (α, β > 0) f = kg (k : const. 6= 0) g 6= const. . Xét mặt tròn xoay loại 2 có ellipse độ cong Ep suy biến thành một đoạn thẳng 39 trong mệnh đề 2.3.5, khi đó a = g′kg′′ − kg′g′′√ k2g′2 + g′2 = 0; e = 0; b = 0; f = αβ(gkg′ − kgg′)√ α2k2g2 + β2g2 = 0; c = k(β2 − α2)gg′√ k2 + 1 |g′| ; g = 0; và Ep có dạng η(θ) = 1 2 c G e3 − 1 2 c G e3 cos 2θ = 1 2 c G (1− cos 2θ) e3 = 1 2 k(β2 − α2)g′√ k2 + 1(α2k2 + β2) |g′| g (1− cos 2θ) e3. Từ đó, ta có các nhận xét sau. Nhận xét 2.3.6. Ep của mặt tròn xoay loại 2 trong mệnh đề 2.3.5 là một đoạn thẳng cùng phương với vector e3, có độ dài∣∣∣ c G ∣∣∣ = ∣∣k(β2 − α2)∣∣√ k2 + 1(α2k2 + β2) |g| . Nhận xét 2.3.7. Với θ = kpi (k ∈ Z) thì η(θ) = 0, do đó Ep đi qua p. Ví dụ 2.3.8. Xét mặt tròn xoay loại 2 với g = u, f = ku (k : const. 6= 0) có tham số hóa X(u, v) = (ku cosαv, ku sinαv, u cos βv, u sin βv), với u ∈ R \ {0}, v ∈ [0, 2pi);α 6= β là các hằng số dương. Khi đó Ep có dạng η(θ) = 1 2 k(β2 − α2)√ k2 + 1(α2k2 + β2)u (1− cos2θ) e3. Ep là một đoạn thẳng qua p và có độ dài ∣∣∣ c G ∣∣∣ = ∣∣k(β2 − α2)∣∣√ k2 + 1(α2k2 + β2) |u| . Ví dụ 2.3.9. Xét mặt tròn xoay loại 2 với g = sinu, f = k sinu (k : const. 6= 0) có tham số hóa X(u, v) = (k sinu cosαv, k sinu sinαv, sinu cos βv, sinu sin βv), với u ∈ R \ { lpi 2 , l ∈ N}, v ∈ [0, 2pi) và α 6= β là các hằng số dương. 40 Khi đó Ep có dạng η(θ) = 1 2 k(β2 − α2) cosu√ k2 + 1(α2k2 + β2) |cosu| sinu (1− cos2θ) e3. Ep là một đoạn thẳng qua p và có độ dài ∣∣∣ c G ∣∣∣ = ∣∣k(β2 − α2)∣∣√ k2 + 1(α2k2 + β2) |sinu| . Nhận xét 2.3.10. Khi g′f ′′ − f ′g′′ f ′2 + g′2 = β2gf ′ − α2fg′ α2f2 + β2g2 gf ′ − fg′ 6= 0 f ′2 + g′2 6= 0, α2f2 + β2g2 6= 0, α > 0, β > 0 (2.3.6) thì ellipse độ cong suy biến thành một đoạn thẳng. Thật vậy, khi δ11 E = δ22 G và δ12 6= 0 thì epllipse độ cong suy biến thành một đoạn thẳng. Ta có δ11 E = δ22 G δ12 6= 0 ⇔  a E = c G f 6= 0 ⇔  g′f ′′ − f ′g′′ f ′2 + g′2 = β2gf ′ − α2fg′ α2f2 + β2g2 gf ′ − fg′ 6= 0 . Kết hợp với điều kiện (2.3.3) ta được hệ (2.3.6). 2.4 Mặt cực tiểu Định nghĩa 2.4.1. Mặt M được gọi là mặt cực tiểu trong không gian R4 nếu vector độ cong trung bình H triệt tiêu tại mọi điểm. Xét mặt M = X(U) với tham số hóa trực giao. Khi đó, vetor độ cong trung bình cho bởi H = 1 2 ( a E + c G ) e3 + 1 2 ( e E + g G ) e4. Lúc đó, H triệt tiêu khi và chỉ khi a E = − c G và e E = − g G . Nhận xét 2.4.2. Mặt phẳng là mặt cực tiểu trong không gian R4. Mệnh đề 2.4.3 ([15, p. 44]). M là mặt cực tiểu thỏa K = 0 khi và chỉ khi M là mặt phẳng. 41 2.4.1 Mặt tròn xoay loại 1 cực tiểu Nhận xét 2.4.4. Khi quay đường thẳng c khi cố định 2-phẳng Oe1e2, mặt tròn xoay cực tiểu nhận được là mặt phẳng. Thật vậy, khi quay đường thẳng c khi cố định 2-phẳng Oe1e2, ta được mặt tròn xoay với tham số hóa X(u, v) = (a1u+ b1, a2u+ b2, (a3u+ b3) cos v, (a3u+ b3) sin v), với ai, bi ∈ R, i = 1, 3; u ∈ J ⊂ R, v ∈ [0, 2pi); a21 + a22 + a23 = 1, a3u+ b3 > 0. Ta có Xu = (a1, a2, a3 cos v, a3 sin v); Xv = (0, 0,−(a3 + b3) sin v, (a3 + b3) cos v); Xuu = (0, 0, 0, 0); Xuv = (0, 0,−a3 sin v, a3 cos v); Xvv = (0, 0,−(a3 + b3) cos v,−(a3 + b3) sin v). Nếu a3 = 0 thì dễ thấy các hệ số của dạng cơ bản thứ hai a = b = e = f = 0. Nếu a3 6= 0, ta chọn cơ sở trực chuẩn cho không gian pháp là e3 =(a1, a2, a23 − 1 a3 cos v, a23 − 1 a3 sin v), e4 =(a2,−a1, 0, 0). Khi đó, ta cũng có a = b = e = f = 0. Như vậy, khi c là đường thẳng thì mặt nhận được có độ cong Gauss K = 0. Do đó theo Mệnh đề 2.4.3, mặt nhận được là mặt cực tiểu khi và chỉ khi nó là mặt phẳng. Nhận xét 2.4.5. Khi c là đường thẳng thì mặt tròn xoay loại 1 có các hệ số của dạng cơ bản thứ hai b = f = 0 nên ellipse độ cong suy biến thành một điểm hoặc một đoạn thẳng. Kết hợp các Nhận xét 2.3.1 và 2.4.5, ta được mệnh đề sau. Mệnh đề 2.4.6. Ellipse độ cong của mặt tròn xoay loại 1 luôn suy biến thành một điểm hoặc một đoạn thẳng. Nhận xét 2.4.7. Khi quay đường cong c khác đường thẳng khi cố định 2-phẳng Oe1e2 thì mặt tròn xoay nhận được trong không gian R4 là mặt cực tiểu khi và chỉ khi nó là mặt catenoid trong không gian R3. Thật vậy, khi c khác đường thẳng thì mặt tròn xoay loại 1 cho bởi X(u, v) = (x1(u), x2(u), r(u) cos v, r(u) sin v), 42 với u ∈ J ⊂ R, v ∈ [0, 2pi); r > 0. Mặt tròn xoay loại 1 là mặt cực tiểu khi và chỉ khi{ a E = − cG e E = − gG ⇔ { k2 − rr′′ = 0 x′1x′′2 − x′′1x′2 = 0 , với k = √ (x′′1)2 + (x′′2)2 + (r′′)2. Khi đó e = f = g = 0, suy ra N = 0 và K = −r′′ k . Vì c khác đường thẳng nên k > 0, mặt khác r > 0 nên theo hệ phương trình trên, ta có r′′ > 0. Suy ra K 6= 0. Khi đó theo Định lý 2.2.17, mặt tròn xoay loại 1 nằm trong một siêu phẳng. Suy ra, mặt tròn xoay loại 1 khi c khác đường thẳng là mặt cực tiểu khi và chỉ khi nó là mặt phẳng hoặc là mặt catenoid trong không gian R3. Từ đó ta có mệnh đề sau. Mệnh đề 2.4.8. Mặt tròn xoay loại 1 trong không gian R4 là mặt cực tiểu khi và chi khi nó là mặt phẳng hoặc là mặt catenoid trong không gian R3. 2.4.2 Mặt tròn xoay loại 2 cực tiểu Xét mặt tròn xoay loại 2 khi quay đường cong c(u) = (f(u), 0, g(u), 0);u ∈ J ⊂ R. khi cố định hai mặt phẳng Oe1e2 và Oe3e4 cho bởi X(u, v) = (f(u) cosαv, f(u) sinαv, g(u) cos βv, g(u) sin βv); với u ∈ J ⊂ R, v ∈ [0, 2pi), α, β là các hằng số dương, f và g là hai hàm trơn thỏa mãn α2f2(u) + β2g2(u) > 0, f ′2(u) + g′2(u) > 0, u ∈ J. Mặt tròn xoay loại 2 là mặt cực tiểu khi và chỉ khi{ a E = − cG e E = − gG ⇔ g ′f ′′ − f ′g′′ f ′2 + g′2 = − β 2gf ′ − α2fg′ α2f2 + β2g2 . (2.4.1) Kết hợp phương trình (2.4.1) và điều kiện (2.3.3), ta có nhận xét sau. Nhận xét 2.4.9. Nếu f(u) = 0 thì g 6= const. Khi đó, M là một phần của mặt phẳng. Nếu chọn α = β, f = kg, k 6= const., g 6= const. thì theo phần chứng minh của Mệnh đề 2.3.2, mặt thu được là mặt phẳng. Do đó, mặt phẳng là mặt tròn xoay loại 2 cực tiểu. 43 KẾT LUẬN Khóa luận bao gồm 3 phần: Mở đầu, nội dung và kết luận. Phần nội dung được trình bày trong hai chương. Trong chương 1, chúng tôi giới thiệu khái niệm đường tham số và trường mục tiêu Frenet của đường trong không gian R4. Trong không gian R4, đường tham số được đặc trưng bởi ba độ cong; nếu đường cong có độ cong thứ ba bằng 0 thì nó nằm trong siêu phẳng R3. Công thức Frenet của đường trong không gian R4 là mở rộng của công thức Frenet của đường trong không gian R3. Sau đó, chúng tôi trình bày điều kiện để một đường cong thuộc một siêu cầu. Cuối chương, chúng tôi tổng quan được một số đường có tính chất tương tự như các đường đặc biệt trong không gian R3. Trong chương 2, chúng tôi giới thiệu khái niệm mặt chính quy trong không gian R4, khái niệm ellipse độ cong và các bất biến địa phương trong không gian R4. Sau đó, chúng tôi khảo sát hai loại mặt tròn xoay trong không gian R4. Ellipse độ cong của mặt tròn xoay loại 1 luôn suy biến thành một điểm hoặc một đoạn thẳng. Trong Mệnh đề 2.3.2, chúng tôi tìm được điều kiện cần và đủ để ellipse độ cong của mặt tròn xoay loại 2 suy biến thành một điểm và trong Mệnh đề 2.3.5 là một trường hợp để ellipse độ cong suy biến thành một đoạn thẳng. Cuối chương, chúng tôi khảo sát các loại mặt tròn xoay cực tiểu. Mặt tròn xoay cực tiểu loại 1 chính là mặt phẳng hoặc là mặt catenoid trong không gian R3. Sau một thời gian tìm hiểu về đường và mặt trong không gian R4, chúng tôi nêu một số hướng phát triển của đề tài là tìm hiểu công thức tính các độ cong của đường trong không gian R4; tìm hiểu một số đường đặc biệt khác trong không gian R4 như đường xoắn trụ (cylindrical helices hay inclined curves), đường có tỉ số độ cong hằng (ccr-curves hay W-curves), đường túc bế, đường thân khai, . . .Mặt cực tiểu cũng là một lớp mặt khá thú vị, cần được quan tâm; có thể khảo sát thêm mặt tròn xoay cực tiểu loại 2, mặt kẻ khả triển cực tiểu. Do thời gian cũng như năng lực còn hạn chế nên còn nhiều vấn đề của khóa luận chưa được giải quyết triệt để. Kính mong quý thầy cô, các bạn đọc quan tâm góp ý, bổ sung để đề tài được hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các bạn đã góp ý cho tác giả và quan tâm đến khóa luận này. 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. A. T. Ali, Position vectors of slant helices in Euclidean space E3, preprint 2009: arXiv:0907.0750v1 [math.DG]. 2. A. T. Ali, R. Lo´pez, Slant helices in Euclidean 4-space E4, preprint 2009: arXiv:0901.3324v1 [math.DG]. 3. A. T. Ali, M. Turgut, Some characterizations of slant helices in the Euclidean space En, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, Volume 39 (3), 327-336, 2010. 4. M. Babaarslan, Y. Yayli, On helices and Bertrand curves in Euclidean 3-space, preprint 2010: arXiv:1010.3555v2 [math.DG]. 5. M. P. do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1976. 6. F. N. Cole, On rotations in space of four dimensions, American Journal of Mathematics, Vol. 12, No. 2, 191-210, 1890. 7. B. Eisenberg, Surfaces of revolution in four dimensions, Mathematics maga- zine, Vol. 77, No. 5, 379-386, 2004. 8. G. Ganchev, V. Milousheva, Chen rotational surfaces in R4 with meridians lying in two-dimensional plane, preprint 2010: arXiv:1003.0550v1 [math.DG]. 9. G. Ganchev, V. Milousheva, Geometric interpretation of the invariants of a surface in R4 via the tangent indicatrix and the normal curvature ellipse, preprint 2009: arXiv:0905.4453v1 [math.DG]. 10. G. Ganchev, V. Milousheva, Invariants of lines on surface in R4, preprint 2010: arXiv:1002.3749v1 [math.DG]. 11. G. Ganchev, V. Milousheva, Minimal surfaces in the four-dimensional Eu- clidean space, preprint 2008: arXiv:0806.3334v1 [math.DG]. 45 12. G. Ganchev, V. Milousheva, On the theory of surfaces in the four-dimensional Euclidean space, preprint 2007: arXiv:0708.3480v1 [math.DG], Kodai Math. J., 31 , 183-198, 2008. 13. I˙. Go¨k,C. Cami,H. H. Hacisalihogˇlu, Vn-slant helices in Euclidean n-space En, Math. Commun., Vol 14, No. 2, pp. 317-329, 2009. 14. L. Haizhong, C. Weihuan, Surfaces with spherical lines of curvature in R3, China Academic Journal Electronic Publishing House, Vol.28, No.3, 211-220, 1999. 15. N. V. Hoàng, Một số tính chất địa phương và toàn cục của mặt chính quy trong R4, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Đại học Sư phạm, Đại học Huế, 2008. 16. K. I˙larslan,E. Nesˇovic´, Some characterizations of rectifying curves in Eu- clidean space E4, Turk J Math, 2008. 17. S. Izumiya, N. Takeuchi, New special curves and developable surfaces, Turk J Math, 28, 153-163, 2004. 18. L. Kula, N. Ekmeckci, Y. Yayli, K. I˙larslan, Characterizations of slant helices in Euclidean 3-space, Turk J Math, 34, 261-273, 2010. 19. W. Ku¨hnel, Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds, Student Mathematical Library, vol. 16, 2006. 20. J. A. Little, On sigularities of submanifolds of higher dimensional Euclidean spaces, Ann. Mat. Pura Appl, 83, 261-335, 1969. 21. V. Milousheva, General rotational surfaces in R4 with meridians lying in two- dimensional planes, preprint 2009: arXiv:1003.0550v1 [math.DG]. 22. J. Monterde, Curves with constant curvature ratios, preprint 2004: arXiv:math0412323v1 [math.DG]. 23. C. L. E. Moore, Rotation surfaces of constant curvature in space of four di- mensions, Amer. Math Soc, 454-460, 1920. 24. C. L. E. Moore, Surfaces of revolution in four dimensions, The Annals of Mathematics, Seconseries, Vol. 21, No. 2, 81-93, 1919. 25. M. O¨nder,M. Kazaz,H. Kocayigˇit,O. Kilic, B2-slant helix in Eulidean 4- Space E4, Int. J. Contemp. Math. Sciences, Vol. 3, no. 29, 1433-1440, 2008. 46 26. M. C. Romeo-Fuster, E. Sanabria-Codesal, Generalized helices, twistings and flattenings of curves in n-space, Universitat de Valencia, Mat. Contemporanea, 17, 267-280, 1999. 27. R. Sulanke, The fundamental theorem for curves in the n-dimension Euclidean space, Mathematica Notebook, berlin.de/∼sulanke/diffgeo/euklid/ECTh.pdf, 2009. 28. M. Turgut, S. Yilmaz, Suur Nizamoglu, On the spherical curves and the components of the position vector of a space-like curve on the Frenet axis in E41, Volume 45, No. 3, 339-347, 2008. 29. M. Turgut, A. T. Ali, Some characterizations of special curves in the Euclidean space R4, Acta Univ. Sapientiae, Mathematica, 2, 111-122, 2010. Email address: ngocthangpro@gmail.com Tel: +841695377526 Typed by TEX 47