Luận án Tìm hiểu những khó khăn tâm lý trong quá trình giải bài tập hình học của học sinh phổ thông trung học cơ sở

, sử dụng các ký hiệu không chính xác làm cho hình vẽ không bộc lộ rõ mối quan hệ giữa các yếu tố hình hình học mà đầu bài đã nêu. 1.2.2- Đối với BT dựng hình: Trong chƣơng trình hình học lớp 7, các BT dựng hình chia làm 2 mức độ: Với yêu cầu của chƣơng trình hình 7 nhƣ thế, nên chúng tôi tiến hành tìm hiểu ở mức độ 2 (mức độ 1 thực chất là rèn luyện kỹ năng sử dụng các công cụ vẽ hình). Do cấu trúc của BT dựng hình ở lớp 7 rất rõ nên việc nhận thức đầu bài tỏ ra không có gì khó khăn đối với HS. Tuy vậy, quá trình phân tích các bài làm của HS cho phép chúng tôi nhận định rằng một số HS vẫn mắc sai lầm trong giai đoạn này, do không nhận thức đƣợc vai trò quan trọng của điều kiện trong BT dựng hình - Điều kiện của BT dựng hình thể hiện mối quan hệ giữa ẩn và dữ kiện của BT, đồng thời quy định hƣớng phân tích và là căn cứ để chứng minh tính đúng đắn của cách dựng - HS thƣờng bỏ qua việc xem xét điều kiện của BT là nguyên nhân của việc giải sai BT. Để kiểm chứng nhận định trên chúng tôi cho HS giải các dạng BT sau: Dạng 1: BT thông thƣờng (có nghiệm hình) Dạng 2: BT thiếu yếu tố trong dữ kiện (vô số nghiệm) Dạng 3: BT có dữ kiện đủ nhƣng không thể dựng đƣợc vì mâu thuẫn với tính chất của hình cần dựng. (vô nghiệm) Ví dụ: BT số 51 (dạng 2): Dựng tam giác ABC biết B = B, AB + BC = d BT số 52 (dạng 3): Dựng tam giác ABC biết AB = l0cm; BC = 6cm; AC = 3cm Và quan sát thái độ của HS khi tiếp nhận BT và hành vi giải BT Kết quả thu đƣợc: 52 Bảng 4: Các biểu hiện của thái độ của HS khi tiếp nhận các dạng BT dựng hình. (%). Dạng bài tập Thái độ tiếp nhận và hành vi giải BT Kết quả giải Băn khoăn, thắc mắc Không băn khoăn Đúng Sai Có giải Không giải Có giải Không giải 1 0 0 100 0 64,6 35,4 2 21,5 12,3 66,2 0 6,2 81,5 3 24,6 13,8 41,5 3,1 9,2 56,9 Bảng 4 cho thấy số HS không băn khoăn khi tiếp nhận và giải BT dạng 2 và 3 là 66,2% và 41,5% chứng tỏ họ không xem xét điều kiện của BT, chỉ một số HS giải đúng (6,2% và 9,2%) bằng cách chứng minh BT không dựng đƣợc. Qua đó có thể kết luận rằng HS mắc sai lầm khi nhận thức đầu bài do không nhận thức đƣợc quan hệ giữa điếu kiện với ẩn của BT (quy định BT dựng hình có nghiệm hay không) Đó là một khó khăn tâm lý của HS trong nhận thức đầu bài của quá trình giải BT dựng hình. 1.3- Những khó khăn tâm lý của học sinh trong việc xây dựng kế hoạch giải BT. 1.3.1- Sau khi nhận thức đầu bài HS lập kế hoạch giải BT. Giai đoạn xây dựng kế hoạch giải bắt đầu bằng việc đối chiếu yêu cầu với điều kiện của BT (phân tích thông qua tổng hợp) và kết thúc nhƣ đã có phƣơng hƣớng giải. Xây dựng kế hoạch là quá trình phân tích tổng hợp diễn ra liên tục, trong đó tổng hợp sơ bộ ban đầu (nhận thức đầu bài) là cơ sở định hƣớng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào, kết quả là cái toàn thể ban đầu đƣợc nhận thức sâu sắc hơn cho đến khi ngƣời giải hiểu đƣợc BT và giải đƣợc BT - có thể tóm tắt quá trình đó nhƣ sau: 53 Tổng hợp I - phân tích - tổng hợp II [21, 110] (Trƣờng hợp bế tắc hoặc phát hiện "ý chói lọi" đã đƣợc trình bày ở phần lý luận) Trên góc độ logic, xây dựng kế hoạch giải là thiết lập một dãy các phép suy luận hợp logic đi từ giả thiết đến kết luận của BT. A A1→...... AK → B. A: Giả thiết của BT; B: Kết luận của BT Ai → Ai+1 là phép suy luận hợp logic, với Ai là cái đã biết (giả thiết và tiền để, định lý, định nghĩa quy tắc đã học). Mối quan hệ giữa phân tích - tổng hợp (và cùng với nó là các thao tác xảy ra trên cơ sở đó) với suy luận là mối quan hệ giữa nội dung và hình thức của hoạt động trí tuệ. Chúng thống nhất hữu cơ với nhau, nếu phân tích -tổng hợp tạo nên nội dung của các phép biến đổi thì suy luận là hình thức tồn tại của nó. Nhƣ vậy HS không giải đƣợc BT (Ai → Ai+1 không diễn ra) hoặc giải sai BT (Ai → Ai+1 không hợp logic) là kết quả của quá trình phân tích tổng hợp không đúng hƣớng hoặc suy luận không hợp logic (hoặc không suy luận đƣợc) Điều đó có nghĩa tất cả các sai lầm (hoặc không giải đƣợc) trong việc xây dựng kế hoạch giải có thể quy về khó khăn tâm lý cơ bản: khả năng phân tích, tổng hợp và khả năng suy luận của HS. Trong đề tài của mình, chúng tôi xem xét trên cả hai bình diện nhằm làm nổi rõ các khó khăn ấy và cụ thể hóa chúng. Cách tiếp cận nhƣ thế cũng cho phép đề xuất những biện pháp khắc phục một cách cụ thể và có tính khả thi cao hơn. 1.3.2- Đối với BT chứng minh: Về mặt suy luận: Chúng tôi tiến hành phân tích các bài giải BT chứng minh của HS để thống kê các sai lầm lỗi logic. 54 Kết quả thu đƣợc: Bảng 5: Lỗi logic trong bài giải BT chứng minh của HS. (%) Các lỗi Dạng toán Lỗi logic Lỗi khác Kết quả giải Đúng Sai Khó 53,8 18,5 27,7 72,3 Dễ 12,3 6,2 81,5 18,5 Số liệu trong bảng 4 cho phép chúng tôi kết luận rằng: Sai lầm logic là sai lầm cơ bản, phổ biến của HS trong quá trình giải BT. Thể hiện ở chỗ đối với loại BT khó HS mắc lỗi logic chiếm 53,8% trên tổng số 72,3% bài giải sai, đối với loại BT dễ HS cũng mắc lỗi logic với tỉ lệ cao 12,3% trên 18,5% các bài giải sai. Sai lầm logic mà HS mắc phải tập trung vào hai loại: suy luận không hợp quy luật logic và suy luận dựa trên tiền đề sai. Chúng tôi phân chia các sai lầm này thành những dạng cụ thể hơn biểu biện trong bài giải của HS. Đó là: Suy luận căn cứ trên hình vẽ, suy luận không có căn cứ, suy luận dựa vào những căn cứ sai hoặc chƣa đƣợc chứng minh, suy luận không nêu căn cứ rõ ràng, suy luận lẩn quẩn lấy kết luận làm giả thiết. Sau đây là những BT cụ thể minh họa cho một số sai lầm logic nêu trên. - Suy luận căn cứ trên hình vẽ. Bài tập số 28: Cho M là điểm trong tam giác ABC cân ở A sao cho AMB > AMC. Chứng minh MC> MB. Bài giải: (Trần Phƣơng Nga 71 THCS Trần Hƣng Đạo). 55 Kéo dài AM cắt BC tại N. Xét ABN và ∆ ANC Ta có: AN chung, AB = AC (gt) BN < NC Nên ̂ < ̂ (Định lý hai tam giác có 2 cạnh từng đôi một bằng nhau và góc xen giữa không bằng nhau... ) Tƣơng tự: Xét tam giác AMB và AMC Có: AM chung, AB = AC (gt), góc ̂ < ̂ (CM trên) Nên MC > MB (điều phải chứng minh) (Trong bài giải chúng tôi bỏ bớt cho gọn, không chép nguyên văn, chỉ để minh họa). Bƣớc suy luận BN < NC dựa trên hình vẽ - ở đây yếu tố thực quan là nguyên nhân trực tiếp gây ra sai lầm trên. Dựa vào trực giác mà HS kết luận BN < NC một cách không có căn cứ, đáng lẽ, HS phải chứng minh đƣợc tại sao BN < NC. - Suy luận không có căn cứ. Bài tập số 33: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) AH là đƣờng cao -Từ B và C ta kẻ đƣờng thẳng song song với AU chúng cắt đƣờng thẳng đi qua A tại M và R Chứng minh: = BM + CN 2 AH Một số HS giải nhƣ sau: 56 Bài giải: Nối BN cắt AH tại p Ta có } => HP là đƣờng trung bình của ∆ NBC (định lý về đƣờng thẳng đi qua trung điểm của cạnh tam giác và song song với cạnh kia.) => PH = 1/2 CN, PB = PN. Tƣơng tự ta có: AP = 1/2 BM và P là điểm nằm giữa hai điểm A và H, Do dó AM = 1 2 CN + 1 2 BM = CN + BM 2 P nằm giữa hai điểm A và M: Bƣớc suy luận không có căn cứ. Với phƣơng pháp phân tích nhƣ trên, chúng tôi đã tìm ra một số sai lầm logic (ngoài 2 sai lầm trên): Suy luận dựa trên tiền đề không đầy đủ hoặc sai (phần lớn HS vẽ trong những trƣờng hợp đặc biệt). Suy luận không nêu căn cứ rõ ràng (điều này còn do quá trình thực hiện kế hoạch giải), suy luận lẩn quẩn lấy giả thiết làm kết luận - Nguyên nhân chủ yếu là do HS không nắm đƣợc các quy kiệt, quy tắc suy luận, phƣơng pháp suy luận. Ở chƣơng trình hình học 7, tuy HS không đƣợc học riêng về các quy luật, quy tắc suy diễn nhƣng các quy luật, quy tắc suy diễn đƣợc lồng vào trong quá trình chứng minh định lý, giải BT hình học. Phân tích và thống kê những sai lầm trên, chúng tôi có thể kết luận rằng HS không nắm đƣợc các quy luật suy luận cơ bản nhƣ quy luật không mâu thuẫn, quy luật bài trung, quy luật "đảo phản'' và các quy tắc suy diễn là cơ sở của các phƣơng pháp chứng minh: 57 Tam đoạn luận khẳng định. là cơ sở của phƣơng pháp phân tích (ở chƣơng trình hình học lớp 7 chỉ sử dụng phƣơng pháp phân tích đi lên: từ giả thiết đến kết luận). Tam đoạn luận phủ định. ̅ ̅ cơ sở của phƣơng pháp chứng minh phản chứng Tam đoạn luận lựa chọn. ̅ hoặc ̅ cơ sở của phƣơng pháp loại dần Tam đoạn luận giả định. cơ sở để thực hiên tính bắc cầu trong chứng minh hình học. Về việc thực hiện các thao tác tƣ duy để lập chƣơng trình giải. Nhƣ đã trình bày trong mục 1.3.1 - Suy luận cho phép HS xác định trình tự thực hiện các phép biến đổi từ giả thiết đến kết luận của BT nhƣng chỉ với suy luận thì các bƣớc suy luận này không thể xảy ra vì thiếu nội dung - Một bƣớc suy luận trung gian nào đấy Ai → Ai+1 chẳng hạn với Ai+1 là mục đích của bƣớc suy luận này và là một yêu cầu trung gian của BT. Muốn suy từ Ai → Ai+1 thì cẩn sử dụng các thao tác trí tuệ trong đó phân tích - tổng hợp đóng vai trò chủ yếu để tìm thấy các mối liên hệ trong bản thân Ai, giữa Ai với kinh nghiệm của ngƣời giải và đối chiếu với Ai+1, tiếp theo là chứng minh đƣợc Ai đúng mới có thể sử dụng quy tắc suy luận có P thì Q (P → Q) để thực hiện bƣớc suy luận Ai → Ai+1 - Nhƣ vây trong suốt quá trình lập kế 58 hoạch giải luôn luôn xẩy ra các thao tác trí tuệ (phân tích tổng hợp, so sánh khái quát hóa - trừu tƣợng hóa, cụ thể hóa...) và huy động vốn kinh nghiệm của ngƣời giải theo cùng một nguyên tắc nhƣ trên, còn các thao tác sử dụng và phối hợp nhƣ thế nào, kiến thức nào đƣợc huy động tham gia thì do chính đặc điểm BT quy định (cụ thể là chính đặc điểm của các bƣớc đó quy đinh). Mặt khác việc xác lập các bƣớc suy luận từ giả thiết đến kết luận là kết quả của quá trình thực hiện thao tác phân tích - tổng hợp và các thao tác khác. Điều đó chứng tỏ các sai lầm trong logic nêu trên cũng là biểu hiện chủ yếu của khó khăn trong việc thực hiện các thao tác trí tuệ của HS trong quá trình xây dựng kế hoạch giải BT. Trong thực tiễn giải BT của khách thể nghiên cứu, khó khăn này đƣợc biểu hiện ở tất cả các bài giải sai của HS - Nhƣng nổi rõ hơn cả là những BT cần phải sử dụng kỹ năng vẽ đƣờng phụ - Bởi lẽ,mục đích của vẽ đƣờng phụ là nhằm làm cho các yếu tố trong giả thiết của BT trở nên có quan hệ gần nhau hơn, rõ ràng hơn mà muốn vẽ đƣờng phụ thể hiện mối liên hệ các yếu tố trong BT cần phải phân tích - tổng hợp. Các BT không cần vẽ đƣờng phụ, dĩ nhiên cũng cẩn phải phân tích tổng hợp song với mức độ đơn giản hơn vì các mối liên hệ của BT đã thể hiện đủ trong hình vẽ. Chúng tôi sử dụng một số BT thực nghiệm và số BT trong vở BT mà HS đã giải để thống kê theo dạng BT có vẽ hay không vẽ đƣờng phụ. Bảng 6: Kết quả giải BT có vẽ đƣờng phụ Đƣờng phụ Kết quả giải Có vẽ đƣờng phụ Không vẽ đƣờng phụ Đúng 53,8 89,2 Sai 46,2 10,8 59 Sự biểu hiện trong bảng 6 cho thấy với những BT có vẽ đƣờng phụ (nghĩa là cần phân tích - tổng hợp phức tạp hơn) số HS sai lầm nhiều hơn dạng BT không cần vẽ đƣờng phụ (46,2% so với 10,8%). Các sai lầm mà HS mắc phải trong khi vẽ đƣờng phụ thƣờng là vẽ các đƣờng phụ tạo đƣợc mối liên hệ giữa các yếu tố nhƣng vẫn chƣa phù hợp với yêu cầu của BT do phân tích cục bộ nên một số yếu tố không đƣợc sử dụng trong khi tìm cách kết hợp (tổng hợp) giữa chúng với nhau. Ví dụ BT số 34: Trên các cạnh góc vuông AB, AC của tam giác vuông cân ABC, lấy các điểm D và E sao cho AD = AE. Qua D, vẽ dƣờng thẳng vuông góc với BE, cắt BC ở K. Qua A vẽ đƣờng thẳng vuông góc với BE, cắt BC ở H. Chứng minh rằng: KH = HC Em: Nguyễn Trần Lê HS lớp 71 trƣờng Trần Hƣng Đạo đã giải nhƣ sau: GT ABC ̂ = 900 AB = AC AD = AE DK BE, AH BE KL KH = HC Gọi M là giao điểm của DK và BE N là giao điểm của AH và BE Nối K với N và N với C - xét hai tam giác KNH và CNH. Bài làm chứng tỏ HS đã phân tích mối liên hệ của hai đoạn thẳng KH và HC và vẽ đƣờng phụ nhằm tạo ra hai tam giác chứa hai cạnh tƣơng ứng là KH và HC rồi chứng minh hai tam giác ấy bằng nhau để suy ra KH = HC nhƣng chƣa xét đến các yếu tố khác của giả thiết nên không giải đƣợc 60 Ở đây, HS đã không khai thác đƣợc các yếu tố khác: DK BE,AH BE, AB =AC Thực trạng các bài giải còn cho thấy, HS mắc phải những sai lầm do khả năng khái quát hoá, cụ thể hóa và so sánh còn hạn chế. Các thao tác tƣ duy này là cơ sở tâm lý của các phƣơng pháp đặc biệt hóa, tổng quát hóa và tƣơng tự trong giải BT. Khả năng của việc sử dụng các thao tác tiên đƣợc thể hiện rõ ở các BT tƣơng tự nhau, BT này là trƣờng hợp đặc biệt của BT kia chúng tôi tách riêng từng đôi một BT, mà BT này là trƣờng hợp đặc biệt của BT kia, BT này tƣơng tự với BT kia - Tƣơng tự ở đây đƣợc hiểu là những BT mà việc giải chúng đòi hỏi phải sử dụng các thao tác trí tuệ tƣơng tự. Tiến hành nghiên cứu bài giải của HS trong vở BT cũng nhƣ các bài giải trong hệ thống BT thực nghiệm cho thấy có mối tƣơng quan gần nhƣ nhau giữa các BT cùng nhóm (đôi một). Chúng tôi trình bày hai BT sau đây đại diện cho nhóm các BT, mà BT này là trƣờng hợp đặc biệt của BT kia để nghiên cứu mối quan hệ giữa hai thao tác khái quát hóa và cụ thể hóa (cơ sở của phƣơng pháp tổng quát hóa và đặc biệt trong giải toán). BT Số 36 (BT tổng quát) Cho tam giác ABC, trên nửa mặt phẳng không chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao AD = AB, trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC trên tia đó lấy điểm E sao cho AE = AC. Dựng AH vuông góc với BC, kéo dài AH cắt DE tại M. Chứng minh rằng: DM = ME. GT ABC, AH BC AD AB, AD = AB AE AC, AE = AC Kéo dài AH cắt DE tại M KL DM = ME 61 Bài tập số 37: (Trƣờng hợp đặc biệt của BT số 36). Nếu ở BT số 36 thì BAC bất kỳ còn BT số 37 thì BAC = 900 GT ABC, AH BC, BAC = 900 AD AB, AD = AB AE AC, AE = AC Kéo dài AH cắt DE tại M KT DM = ME Bảng 7: Kết quả giải BT số 36 và BT số 37 của khách thế nghiên cứu (n = 65) Bài tập số 36 Bài tập số 37 Đúng Sai Tổng số Đúng 5 14 19 Sai 3 43 46 Tổng số 8 57 57 Chúng tôi sử đụng công thức kiểm định tƣơng quan về độ khó của hai BT: Với = 0,05 giá trị tới hạn U = 1,96 Ta có: 2,68 > 1,96 U > U Do đó BT số 36 khó hơn BT số 37. Nghĩa là HS giải BT ở dạng tổng quát khó hơn là giải BT đặc biệt (thêm yếu tố trong giả thiết) do phải sử dụng thao tác tƣ duy khái quát hóa. Đây là những BT khó nên chất lƣợng giải chúng còn thấp là điều dễ hiểu, song ngay cả những HS giải đúng BT số 36 (8 em) vẫn còn giải sai BT 62 số 37 (3 em) và HS giải đúng BT số 37 (19 em) lại chỉ có 5 HS giải đúng BT số 36 - Điều đó chứng tỏ khả năng khái quát hóa cụ thể hóa và so sánh của HS còn yếu trong khi giải BT. BT số 38 đƣợc tạo ra bằng cách lƣợt bỏ bớt ở giả thiết yếu tố AH thay vào đó là trung tuyến AM và kết luận: AM = 1/2 DE của BT số 36 GT ∆ ABC, AM là trung tuyến AD AB, AD = AH AE AC, AE = AC KL AM = 1/2 DE Với BT số 38, HS nếu giải đƣợc BT số 36 và có khả năng phân tích tìm ra sự tƣơng tự là có thể giải đƣợc bài này. Tuy nhiên, thực tế lại không diễn ra nhƣ vậy. Chúng tôi cho HS ( n = 65) giải BT số 8 và so sánh kết quả với kết quả giải BT Số 36. Bảng 8: Kết quả giải BT số 36 và BT số 38 của khách thể (n = 65) Bài tập số 36 Bài tập số 98 Đúng Sai Tổng số Đúng 6 11 17 Sai 2 46 48 Tổng số 8 57 Tƣơng tự nhƣ trên chúng tôi tính đƣợc U 2,5 > U0,05 = 1,96 nhƣ vậy khả năng so sánh (và do đó cũng kéo theo phân tích tổng hợp, khái quát hóa, cụ thể hóa do chúng liên hệ mật thiết) của HS trong quá trình thiết lập kế hoạch giải còn hạn chế, kết quả giải BT số 36 cũng kém hơn BT số 38. Tuy vậy có 8 em giải đúng BT số 36, thì cũng có 2 em giải sai BT số 38 và ngƣợc lại có 17 em giải đúng BT số 38 thì có 11 em giải sai BT số 36. 63 1.3.3 - Đối với BT dựng hình thì giai đoạn thiết lập kế hoạch giải chính là bƣớc phân tích - Kết quả của bƣớc phân tích là xây dựng đƣợc một số hữu hạn lần các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản theo một trật tự nào đó tùy thuộc vào dữ kiện, điều kiện, ẩn của BT. Và do vậy giai đoạn này đóng vai trò quyết định chất lƣợng giải BT dựng hình -Tuy nhiên, do yêu cầu của chƣơng trình hình học 7 là chỉ ra cách dựng và chứng minh hình vừa dựng thỏa mãn điều kiện BT, không cần phải biện luận nghiệm hình, còn bƣớc phân tích không cần trình bày - Cụ thể, ở mức độ một yêu cầu HS sử dụng thành thạo các công cụ (thƣớc kẻ, thƣớc chia khoảng, thƣớc đo góc, compa, ê ke) để dựng đƣợc những hình hình học đã đƣợc học, ở mức độ 2: Tiếp tục củng cố kỹ năng sử dụng các công cụ dựng hình (chỉ với thƣớc kẻ và compa) và quan trọng hơn là bƣớc đầu giúp HS khả năng giải BT dựng hình với mức độ nêu trên. Chuẩn bị cho việc hình thành khả năng giải BT dựng hình hoàn chỉnh với đầy đủ bốn bƣớc (phân tích, cách dựng chứng minh, biện luận) - Điều đó đƣợc phản ánh trong việc xây dựng hệ thống BT dựng hình trong sách giáo khoa hình học 7: - Các BT dựng hình trƣớc mục 17 chƣơng III nhằm đáp ứng yêu cầu ở mức độ một. - Các BT dựng hình từ mục 18 chƣơng III nhằm đáp ứng yêu cẩu ở mức độ hai. Ở mức độ 1 chỉ có hai yếu tố cơ bản ảnh hƣởng đến chất lƣợng giải BT dựng hình là: Khả năng nắm vững các đặc điểm của hình hình học đã đƣợc học và kỹ năng sử dụng thành thạo các công cụ vẽ hình - Ở mức độ này khó khăn chủ yếu là kỹ năng sử dụng các công cụ để vẽ hình và trình tự thực hiện các bƣớc vẽ. 64 Ở mức độ hai: phẩn lớn các BT chỉ yêu cầu nắm vững các phép dựng cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản và áp dụng vào việc giải các BT có các dữ kiện đầy đủ rõ ràng. Trong chƣơng trình sách giáo khoa hình học 7 chỉ có 3 BT dựng hình (BT số 5 trang 62, BT số 3 trang 82 và một BT thực hành trang 80) là cần đến thao tác phân tích tìm ra mối liên hệ để xác định tìm tòi yếu tố chƣa đƣợc xác định rõ ràng trong dữ kiện của BT để quy về phép dựng cơ bàn, BT dựng hình cơ bản - Thực chất của việc xác định yếu tố là biến đổi các yếu tố đã cho (dữ kiện) thành các yếu tố mới (thƣờng chỉ là một) thỏa mãn điều kiện BT. Nghĩa là cùng một nguyên tắc với việc giải BT chứng minh. Do đó khi thực hiện bƣớc phân tích của quá trình giải BT dựng hình HS cũng gặp những khó khăn nhƣ giai đoạn lập kế hoạch giải của quá trình giải BT chứng minh. 1.4 - Những khó khăn tâm lý trong giai đoạn thực hiện kế hoạch giải. Kế hoạch giải chỉ là những ý tổng quát về cách giải cẩn đƣa vào những chi tiết và hoàn thiện nó phù hợp với kế hoạch. Đó là nhiệm vụ chính của giai đoạn thực hiện kế hoạch giải. Ở giai đoạn này, HS ít gặp khó khăn hơn các giai đoạn trƣớc vì hành dộng thực hiện kế hoạch giải phần nhiều mang tính kỹ thuật. Qua thực tiễn bài làm của HS cho thấy phần lớn các BT (27,7%) mắc phải các lỗi nhƣ: Trình bày không ngắn gọn, chặt chẽ, sử dụng từ ngữ để diễn đạt các yếu tố hình học và mối quan hệ giữa chúng thiếu chính xác - Đặc biệt, trong khi thực hiện kế hoạch giải BT dựng hình, HS trình bày các thao tác dựng không cụ thể không mô tả cách dựng làm cho việc chứng minh nên khó khăn. BT số 19: Dựng tam giác ABC. Biết B = 300, C = 450 và BC - AB = 2cm. Bài giải của HS Hồ Thị Thúy Diễm lớp 71 THCS Trần Hƣng Đạo nhƣ sau: 65 Cách dựng: Ta dựng góc C = 450, dựng đoạn DC = 2cm, dựng góc D = 300 + 900/2 = 75 0 ta gọi giao điểm của 2 tia của góc D và C là A. Dựng điểm B sao cho AB = BD và D nằm trên đƣờng thẳng CD. Tam giác ABC là tam giác phải dựng. Chứng minh: Tam giác ABC có: C = 450 (theo cách dựng), B = 1800 - 2ADB (AABD cân) ADB = D = 75 0 . Nên B= 180 0 - 150 0 = 30 0 BC - BD = DC = 2cm Tam giác ABC là tam giác phải dựng. Bài giải trên chứng tỏ HS biết cách phân tích xác định các yếu tố của hình cần dựng (xác định A, B) Nhƣng do trình bày cách dựng không không đầy đủ (Dựng điểm A, B nhƣ thế nào ?) hậu quả là cách chứng minh dựa theo cách dựng cũng mắc phải những thiếu sót - Những sai lầm này là do HS chƣa thành thạo các cách dựng cơ bản, khả năng sử dụng ngôn ngữ hình học còn hạn chế. Điều đáng chú ý nhất trong giải BT dựng hình của HS lớp 7 cả ở khâu phân tích lẫn cách dựng điều có nhiều sai lầm do không nắm đƣợc phƣơng pháp quỹ tính tƣơng giao và vận dụng chúng. 1 .5- Những khó khăn tâm lý trong giai đoạn phân tích cách giải: Chức năng của giai đoạn này là nhằm nhận xét cách giải, kiểm tra lại các bƣớc đã thực hiện, khái quát hóa để tìm ra một hƣớng chung khi giải các BT tƣơng tự. Ở mức độ cao, HS có thể sáng tạo ra BT mới. Thực trạng của quá trình giải BT toán ở những khách thể mà chúng tôi nghiên cứu, chỉ dừng lại ở mức nhận xét cách giải, không tìm cách so sánh với các BT khác do đó HS không rút ra đƣợc kinh nghiệm có ích khi tiến hành giải các BT khác. 66 2- Nguyên nhân của những khó khăn tâm lý của HS trong quá trình giải BT hình học. Trong những mục trên chúng tôi đã phân tích những sai lầm trong quá trình giải BT hình học của HS bắt nguồn từ những khó khăn lâm lý. Trong đó, những hạn chế về việc nắm kiến thức (khái niệm, định lý, tiền đề... ) về khả năng suy luận, khả năng sử dụng các thao tác tƣ duy (phân tích - tổng hợp, khái quát hoá, trừu tƣợng hóa, cụ thể hoá) và về kỹ năng cụ thể hóa các tuổi tƣợng hình học bằng ngôn ngữ hình học đóng vai trò chủ yếu gây nên những sai lầm trong quá trình giải BT của HS. Vấn đề đặt ra là nguyên nhân nào dã tạo ra các khó khăn tâm lý đó ? Có nhiều nguyên nhân: bên ngoài - bên trong, khách quan - chủ quan. Trong đề tài của mình, chúng tôi chỉ đề cập đến một số nguyên nhân cơ bản tạo ra khó khăn tâm lý của HS trong quá trình giải BT hình học. 2. 1 - Nguyên nhân khách quan: Quan điểm của các nhà tâm lý học mác - xít cho rằng Tâm lý, ý thức chẳng qua là vật chất đƣợc chuyển vào trong não và đƣợc cải biến đi trong đó" [41, 21] - Xuất phát từ quan điểm đó, việc đi tìm các nguyên nhân của khó khăn tâm lý phải xem xét từ hiện thực chứ không phải bắt đầu từ nguyên nhân tâm lý bên trong nhƣ tâm lý học nội quan quan niệm. Trong trƣờng hợp cụ thể này, nguyên nhân khách quan, cơ bản nhất tạo nên khó khăn tâm lý của HS trong quá trình giải BT hình học là phƣơng pháp giảng dạy của giáo viên. 2.1.1- Trong khi giảng dạy các khái niệm hình học, các tiêu đề hình học... giáo viên chú ý đến kiến thức đƣợc lĩnh hội hơn là phƣơng pháp lĩnh hội, chú ý đến nội hàm của khái niệm hơn là ngoại diên của nó. Điều đó làm cho HS chỉ có thể hiểu kiến thức mà không vận dụng đƣợc chúng trong các tình huống thực tiễn, trong việc giải BT hình học. 67 2.1.2- Trong khi dạy chứng minh định lý và giải BT hình học, giáo viên có chú ý đến việc giúp HS nắm các quy luật suy luận đà sử dụng song không chỉ rõ từng bƣớc sử dụng trong trƣờng hợp cụ thể làm cho HS khi giải BT hình học thƣờng mắc phải những sai lầm trong suy luận mà chúng tôi đã nêu. Giáo viên ít quan tâm đến các dạng BT khác nhau, cách sắp xếp và lựa chọn đúng để hƣớng dẫn giải BT trên lớp sao cho có hiệu quả nhất nhằm phát triển tƣ duy của HS. (chẳng hạn trong tiết thứ 69 lớp 71 trƣờng THCS Trần Hƣng Đạo - Giáo viên giải cả 2 bài tập số 2, 4 trang 75 SGK cho HS mà lẽ ra chỉ giải 1 BT một cách kỹ lƣỡng và hƣớng dẫn cho HS so sánh hai BT để phát triển khả năng khái quát hóa, cụ thể hóa cho HS vì BT số 2 là trƣờng hợp đặc biệt của BT số 4.) Đặc biệt trong giai đoạn phân tích cách giải, giáo viên thƣờng chỉ dừng lại ở mức nhận xét đúng sai, một số giáo viên có đề cập đến các cách giải khác nhau nhƣng chƣa thực hiện hết nhiệm vụ của giai đoạn này - Không phân tích sự giống, khác nhau của BT đang giải với BT khác để từ đó HS có khả năng nhận dạng BT nhanh hơn và ứng dụng cách giải BT đó vào BT khác. 2.1.3- Trong quá trình giảng dạy giáo viên có lƣu ý đến việc sử dụng các ký hiệu trên hình vẽ, chuyển đầu BT thành ngôn ngữ hình học, rèn luyện kỹ năng vẽ hình, dựng hình nhƣng không củng cố nó trong tất cả các giờ dạy lý thuyết cũng nhƣ giờ hƣớng dẫn giải BT - Cụ thể, giáo viên chỉ hƣớng dẩn rất kỹ khi giải các BT dựng hình (ở cả hai mức độ) nhƣng khi giải các BT chứng minh thì không lồng ghép rèn luyện kỹ năng này: Chẳng hạn trong đầu bài của BT chứng minh có yêu cầu vẽ tia phân giác của góc, khi giải giáo viên không hƣớng dẫn tỉ mỉ cách sử dụng các công cụ, cách dựng tin phân giác theo từng bƣớc nhƣ thế nào. Điều đó làm cho kỹ năng sử dụng công cụ vẽ hình, cách thức tiến hành dựng một hình hình học của HS bị hạn chế. 68 2.1.4- Trong chƣơng trình hình học 7 có một số BT thực hành (7 bài), giáo viên không chú ý đúng mức đến vai trò của loại BT này. Ngoài tác dụng nhƣ một BT (BT nảy sinh từ tình huống thực tiễn có tác dụng kích thích lòng ham hiểu biết, tạo ra không khí tâm lý tích cực trong giờ học và khuyến khích HS ứng dụng những điều đã học một cách sáng tạo vào thực tiễn đời sống. (ví dụ BT thực hành trang 19 SGK Hình học 7. Ngoài tác dụng củng cố kiến thức điểm cách đều ba đỉnh của tam giác và vận dụng một cách sáng tạo - đồng thời là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác) còn giúp HS bƣớc đầu hiểu về tập hợp điểm (nếu biết khai thác) và tạo ra không khí tích cực trong giờ giải BT). Tuy nhiên những nguyên nhân này tác động đến HS ở mức độ nào còn tuy thuộc vào chính đặc điểm chủ quan của các em. Chúng tôi tiến hành dự giờ kết hợp với việc phân tích các bài giải của HS để rút ra các kết luận sau đây: 2.2- Nguyên nhân chủ quan: 2.2.1- Mặc dù các em HS lớp 7 đã đƣợc học hình học từ chƣơng trình lớp 6. Nhƣng thực chất giải các bài tập mang tính chứng minh, suy luận cao mới bắt đầu từ lớp 7. Vì thế đây là một loại BT có thể xem nhƣ mới mẻ đối với cá em. Hơn nữa kiến thức về hình học của các em còn hạn chế, các em chƣa có nhiều kĩ năng giải BT hình. Vì thế một nguyên nhân dễ nhận thấy là kỹ năng giải các BT hình học của các em còn hạn chế. Vì thế khi gặp các BT phức tạp các em lúng túng khi chuyển từ BT mô tả sang hình vẽ, đặc biệt là các BT phải vẽ đƣờng phụ. 2.2.2 - Nguyên nhân thứ hai có thể kể đến đó là đặc điểm tâm lí của lứa tuổi này, đặc biệt là đặc điểm tƣ duy của HS lớp 7. Đến lớp 7 tƣ duy lí luận của các em phải phát triển mạnh, mới đáp ứng đƣợc yêu cầu học hình học ở lớp . Nhƣng quá trình nghiên cứu cho thấy nhiều học sinh khả năng suy luận, lập luận còn thiếu căn cứ, các em thƣờng dựa vào trực giác, mà thiếu 69 suy luận có căn cứ. Vì thế có những cái phải chứng minh. Ví dụ tại sao hai đoạn thẳng bằng nhau, các em qua hình vẽ thấy chúng nhƣ bằng nhau, lại cho rằng chúng bằng nhau mà không hoài nghi gì.v.v... Hoặc khả năng phân tich đầu bài, kẻ đƣờng phụ còn nhiều hạn chế. Khả năng hiểu tri thức khái quát và khả năng suy luận khái quát hóa còn nhiều thiếu sót. Do đó thƣờng những bài tập tƣơng đối khó, hoặc phải kẻ thêm đƣờng phụ thì nhiều em giải sai. Những bài tập dựng hình phức tạp, đòi hỏi phải chuyển dần về các bài toán dựng hình cơ bản, thì các em lại lúng túng, không làm đƣợc. 2.2.3- Nguyên nhân thứ 3. Tri thức hình học, đặc biệt là các định nghĩa, định lí các em hiểu chƣa đƣợc khái quát. Vì thế có trƣờng hợp này các em vận dụng kiến thức đƣợc, ở trƣờng hợp khác mặc đù cũng vận dụng tri thức đó lại không đƣợc. Nói cụ thể, là nhiều em hiểu tri thức hình học ở dạng cụ thể, nhớ các định lí, các định nghĩa, còn thực chất chƣa hiểu đƣợc bản chất của các định lí, định nghĩa đó. Ví dụ: Các em hiểu đoạn thẳng là đoạn thẳng cụ thể: (đoạn AB nào đấy mà không thấy đƣợc đoạn thẳng có thể là cạnh của tam giác, tứ giác, hoặc đƣờng cao, đƣờng trung trực, trung tuyến của tam giác .v.v... 2.2.4- Nguyên nhân thứ 4 có thể kể đến là tâm thế của các em đã ảnh hƣởng đến quá trình giải BT. Điều này thể hiện ở chỗ các em chƣa quen với các BT hình học nhƣ BT chứng minh, đặc biệt là BT đựng hình. Vì thế hạn chế trong việc suy nghĩ cách giải. Điều đó do ảnh hƣởng của qúa trình giải các BT có tính toán trƣớc mà làm hạn chế suy nghĩ của các em. Nói cách khác, thói quen làm các BT tính toán cụ thể làm hạn chế khả năng suy diễn trừu tƣợng của các em. 70 PHẦN III: KẾT LUẬN CHUNG VÀ KHUYẾN NGHỊ Tìm hiểu khó khăn tâm lý trong quá trình giải BT hình học của HS góp phần thiết thực vào việc nâng cao chất lƣợng dạy học trong nhà trƣờng phổ thông, là một công việc nghiêm túc và hết sức khó khăn. Từ thực tế nghiên cứu khó khăn tâm lý trong quá trình giải BT hình học của HS lớp 7 ở một số trƣờng THCS tại Quảng Ngãi, bƣớc đầu chúng tôi rút ra một số kết luận và khuyến nghị sau: I- Kết luận chung : 1 - Lý luận: 1.1- Bài tập là một tình huống có vấn đề có tính xác định cao, nó đƣợc hình thành từ tình huống có vấn đề đó, trong hoàn cảnh cụ thể (nhƣng không phải mọi tình huống có vấn đề đều là BT) - Một BT luôn chứa đựng các yếu tố cơ bản: ẩn, (cái phải tìm), dữ kiện (cái đã cho, đã biết), điều kiện (mối quan hệ giữa ẩn và dữ kiện). BT đòi hỏi chủ thể phải có hành động thích hợp để thỏa mãn nó (hành động giải BT) - Cần tiếp cận BT trên hai góc độ: Nghiên cứu chính bản thân BT, xem xét BT nhƣ một hệ thống hiện thực và nghiên cứu BT trong mối quan hệ với ngƣời giải. 1.2 - Giải BT toán là tìm kiếm sự hợp lý (hợp logic) của các luận điểm (qui tắc) chung của toán học (các định nghĩa, định lý, lý thuyết, quy tắc, định luật, công thức) mà khi vận dụng chúng vào các điều kiện của BT hay các kết quả trung gian của nó, ta tìm đƣợc cái mà BT yêu cầu - lời giải của nó. Quá trình giải BT gồm 4 giai đoạn: - Nhận thức đầu bài (hiểu cách đặt BT) có chức năng xác định rõ: ẩn, dữ kiện, điều kiện (BT tìm tòi) hoặc giả thiết, kết luận (đối với BT chứng minh). 71 - Xây dựng kế hoạch giải có chức năng tìm ra chƣơng trình giải (và các hành động cần thực hiện tƣơng ứng) đi từ cái đã cho, đã biết đến cái phải tìm của BT (hợp logic) - Thực hiện kế hoạch giải: Hiện thực hóa, cụ thể hóa kế hoạch giải, kiểm tra các bƣớc giải. - Phân tích cách giải: Nhận xét cách giải, kiểm tra một lần nữa các bƣớc đã thực hiện xem xét mối liên quan giữa BT đang giải với các BT khác để có thể rút ra một phƣơng hƣớng giải một dạng BT nào đấy, rút gọn, phát triển BT hoặc sáng tạo ra BT mới. 1.3- Khó khăn tâm lý trong quá trình giải BT của HS, khó khăn tâm lý là những yếu tố tâm lý làm cho quá trình giải BT của HS mắc phải những sai lầm hoặc khổng giải đƣợc BT. Khó khăn tâm lý có thể gặp trong tất cả các giai đoạn của quá trình giải BT - Những khó khăn này liên quan mật thiết với các yếu tố ảnh hƣởng đến quá trình giải BT (tâm thế, vốn tri thức, khả năng tƣ duy...) Khó khăn tâm lý đƣợc biểu hiện ở sai lầm và sử không giải đƣợc BT của HS. 2- Thực tiễn: Sử dụng phƣơng pháp phân tích sản phẩm, phƣơng pháp thực nghiệm (phát hiện) cùng vói các phƣơng pháp khác tiến hành nghiên cứu trên khách thể đã nêu, chúng tôi rút ra đƣợc một số kết luận thực tiễn. 2.1- Thực trạng chất lƣợng giải BT hình học của khách thể nghiên cứu ở mức trung bình, không có sự chênh lệch đáng kể xét theo góc độ giới tính, có chênh lệch ít nhiều về chất lƣợng giải BT ở 2 trƣờng THCS Bình Chánh và THCS Trần Hƣng Đạo do những điều kiện thuận lợi hoặc khó khăn của địa bàn mà trƣờng đóng. 2.2- Ở tất cả các giai đoạn của quá trình giải BT hình học, HS lớp 7 đều gập phải những khó khăn tâm lý với mức độ khác nhau. Trong đó giai đoạn nhận thức đầu bài và xây dựng kế hoạch giải HS gặp nhiều khó khăn 72 hơn cả. Những khó khăn tâm lý chủ yếu mà HS gặp phải trong quá trình giải BT đó là: 2.2.1- Khả năng suy luận của HS còn hạn chế do không nắm đƣợc các quy luật, quy tắc suy diễn và cách vận dụng chúng nên HS thƣờng suy luận không có căn cứ, suy luận căn cứ trên hình vẽ, suy luận không nêu căn cứ rõ ràng, suy luận lẩn quẩn, suy luận dựa trên tiền đế sai... Vì thế HS không nắm đƣợc các phƣơng pháp chứng minh khác ngoài việc hiểu phƣơng pháp phân tích nhƣng một số HS không áp dụng đƣợc . 2.2.2- HS không thực hiện đƣợc các bƣớc suy luận còn do thực hiện các thao tác trí tuệ không đúng hƣớng, (trong đó phân tích - tổng hợp là các thao tác chủ yếu) Thể hiện rõ ở quá trình giải các BT khó, BT đòi hỏi phải vẽ thêm đƣờng phụ. Sai lầm thƣờng gặp của HS là phân tích - tổng hợp cục bộ không nhìn thấy tất cả các yếu tố trong BT, những mối liên hệ giữa chúng với nhau- Hệ quả là HS không giải đƣợc BT - Các thao tác trí tuệ khác nhƣ khái quát hóa - trừu tƣợng hóa, cụ thể hóa, so sánh mà HS sử dụng trong quá trình giải cũng gặp phải khó khăn tƣơng tự, khiến cho HS không nhận dạng đƣợc BT, tìm thấy sự liên hệ giữa các BT vì thế không sử dụng đƣợc các phƣơng pháp tổng quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự trong quá trình giải BT và do vậy khi giải BT này, HS không vận dụng đƣợc các BT khác có liên quan gần nhau. 2.2.3- Kỹ năng cụ thể hóa các biểu tƣợng hình học ở một số HS chƣa đạt mức thành thạo đã ảnh hƣởng không nhỏ đến chất lƣợng giải BT của các em. Vì trong chƣơng trình hình học phẳng nói chung và hình học lớp 7 nói riêng hình vẽ chính xác, rõ ràng thể hiện đƣợc đầy đủ các yếu tố và mối liên hệ của chúng là một mô hình trực quan giúp cho việc thực hiện các thao tác trí tuệ trên nó một cách thuận lợi và có hiệu quả. Đối với BT dựng hình, kỹ năng này còn là một yêu cầu của chƣơng trình hình học 7 thành thạo kỹ 73 năng vẽ các hình hình học sẽ tránh đƣợc những sai lầm trong việc thực hiện bƣớc dựng hình trong BT dựng hình. 2.2.4- Vốn kiến thức của HS (gồm cả kiến thức thu đƣợc từ BT và kinh nghiệm) là "chất liệu" của quá trình xây dựng kế hoạch giải và thực hiện kế hoạch giải. Do đó, nó cũng là một yếu tố tâm lý mà nếu thiếu chúng sẽ là một khó khăn không nhỏ trong quá trình giải BT hình học. Phân tích các khó khăn tâm lý nêu trên và tìm đƣợc những nguyên nhân khách quan, chủ quan tạo nên những khó khăn ấy sẽ là cơ sở để đề ra một số biện pháp cụ thể khắc phục khó khăn nhằm nâng cao chất lƣợng dạy học hình học. II- Một số khuyến nghị : Để khắc phục những khó khăn trên trong quá trình giảng dạy hình học cần lƣu ý những điểm sau: 1- Do đặc điểm của sự phát triển tƣ duy của HS, đặc điểm và yêu cầu của chƣơng trình hình học lớp 7 mà khi giảng dạy phải chú ý đến con đƣờng biện chứng trong nhận thức trong việc lĩnh hội khái niệm. Cụ thể khi hình thành khái niệm hình hình học phải bắt đầu từ hình vẽ trực quan để dẫn đến khái niệm và khi HS đã hiểu khái niệm cần hƣớng dẫn các em ứng dụng nó vào việc giải quyết các tình huống thực tiễn, BT. Khi vẽ hình phải vẽ đầy đủ các hình thuộc ngoại diện khái niệm, tránh chỉ vẽ trƣờng hợp đặc biệt, giúp HS nắm khái niệm một cách khái quát và biết những biểu hiện cụ thể của nó - Có thể sử dụng những thí dụ phản chứng làm nổi rõ hơn khái niệm cần lĩnh hội. 2- Phải dạy cho HS biết cách phân tích BT (chủ yếu bằng phƣơng pháp phân tích đi lên) từ đơn giản đến phức tạp, giúp HS hiểu cách giải BT một cách khái quát: chuyển từ BT phức tạp thành các BT đơn giản mà phƣơng pháp giải đã biết - Giúp HS hiểu quy luật, quy tắc suy luận thông qua phân tích BT. 74 3- Khi dạy định nghĩa, định lý không chỉ dừng lại ở việc làm cho HS hiểu định nghĩa, định lý ấy mà cần chỉ rõ lĩnh vực ứng dụng của chúng nhằm giúp HS hiểu định nghĩa định lý thêm sâu sắc và nâng cao khả năng vân dụng chúng - Chẳng hạn khi dạy đƣờng trung bình của tam giác ngoài việc giúp HS hiểu các định lý, giáo viên cần chỉ rõ lĩnh vực ứng dụng của nó: nhƣ dùng định lý này để chứng minh hai đƣờng thẳng song, chứng minh đoạn thẳng này bằng hai lần (hoặc bằng 1/2) đoạn thẳng kia ngoài các cách cũ dã biết. 4- Khi hƣớng dẫn giải BT dựng hình và cả BT chứng minh còn vạch rõ từng thao tác vẽ hình cơ sở của thao tác vẽ đó vì BT dựng hình là BT HS lần đầu làm quen. 5- Lựa chọn hệ thống BT từ dễ đến khó với đủ các loại BT (tổng quát, đặc biệt, tƣơng tự) theo hƣớng phát triển tƣ duy của HS. Trên đây là một số biện pháp cần thiết để giúp HS lớp 7 học hình học có hiệu quả. Tất nhiên còn nhiều biện pháp khác nữa, nhƣng ở đây chúng tôi chỉ nêu ra một số biện pháp mà chúng tôi nhận thấy trong quá trình nghiên cứu của mình. 75 PHẦN PHỤ LỤC: HỆ THỐNG CÁC BT THỰC NGHIỆM 1- Bài tập tính toán. BT số 1: Trên đƣờng thẳng x'x ngƣời ta lấy một điểm O. Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 3cm. a) Gọi B là một điểm trên đƣờng thẳng x'x sao cho OB = 1cm. Điểm B có nằm giữa hai điểm O và A không ? b) Nếu B nằm giữa O và A thì độ dài của đoạn AB bằng bao nhiêu ? c) Gọi D là một điểm trên đƣờng thẳng x'x sao cho O nằm giữa A và D và AD = 5cm. Tính OD. BT số 2: Trên đƣờng thẳng x'x cho bốn điểm A, B, C, D sao cho C vừa nằm giữa A và D vừa nằm giữa B và D. a) Chứng tỏ rằng điểm C không thể nằm giữa hai điểm A và B b) Cho biết AC = 4cm, BC = 1cm. Tính AB. BT số 3: Trên đƣờng thẳng x'x cho một điểm o a) Hãy dựng trên đƣờng thẳng ấy hai điểm A và B sao cho AB = 6cm . và O là trung điểm của đoạn AB. b) Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của đoạn OA và đoạn OB. O có phải là trung điểm của đoạn MN không ? Vì sao? c) Tính MN. BT số 4: Trên đƣờng thẳng x' cho một điểm o. Trên một nửa mật phẳng có bờ là x'x ngƣời ta dựng tia Oa sao cho góc xOa = 400. a) Hãy dựng tia Ob sao cho tia Oa là tia phân giác của góc xOb. Tính góc xOb. b) Gọi Oc là tia phân giác của góc x'Ob. Tính góc x'Oc. 76 BT số 5: Trên tia Ax xác định hai điểm B và C sao cho AB = 40cm AC = 60cm. Tính độ dài đoạn thẳng mà điểm đầu và cuối là hai trung điểm của hai đoạn thẳng AB và AC. BT số 6: Cho tam giác cân ABC, AB là cạnh đáy, góc ACB =100°. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm C, bờ là đƣờng thẳng AB, dựng tia Ax tạo với tia AB một góc 300 và tia By tạo với tia BA một góc 200. Hai tia Ax và By cắt nhau tại D. Tính góc ACD. BT số 7: Tính số đo của tất cả các góc đƣợc tạo thành do một đƣờng thẳng cắt hai đƣờng thẳng song song, biết rằng: a) Hai góc ngoài cùng tia có tỉ số 1: 3. b) Tổng của hai góc đồng vị bằng 2340. BT số 8: Cho tam giác ABC (AB = AC) Trên tia đối của tia CA lấy một điểm D nào đó. Bây giờ cho  = 300 và góc ABD = 900. tính góc CBD BT số 9: Cho tam giác ABC cân (CA = CB) và C = 800 Trong tam giác lấy điểm M sao cho góc MBA = 30 0 và góc MAB = 10 0 . Tính góc AMC. BT số 10: Cho tam giác ABC và hai đƣờng phân giác trong của hai góc  và ̂ là AD và BE (D nằm trên cạnh BC và E nằm trên cạnh AC). Gọi I là giao điểm của AD cắt đƣờng thẳng AB ở K. Tính góc AIB nếu biết góc ACB = 240. BT số 11: Cho tam giác ABC biết  = 800 và ̂ - ̂ = 200. Dựng đƣờng phân giác AD và đƣờng cao AH của tam giác. a) Tính ̂, ̂ b) Tính góc BAH và góc HAD. BT số 12: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Hai đƣờng cao AI và BK cắt nhau ở điểm H. Cho góc BAC = 400. Tính góc BHC. 77 BT số 13: Cho tam giác ABC vuông ở A. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC ở điểm D. Dựng đƣờng thẳng DH vuông góc với BC (H nằm trên BC) Tính góc BAH biết góc ABC = 700. BT số 14: Cho tam giác đều ABC với M và N là trung điểm các cạnh AB và AC. Các đƣờng trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở O. Trên cạnh AB lấy một điểm D và trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = CD. Tìm số đo góc DOE. BT số 15: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b và tổng hai chiều cao ứng với hai cạnh ấy bằng chiều cao ứng với cạnh AB. Tìm độ dài cạnh AB theo a bà b. BT số 16: Tam giác ABC có góc đỉnh  = 200. Trên cạnh AB lấy D sao cho AD = BC. Tính ̂. BT số 17: Cho tam giác ABC. có  = 1200, các phân giác AD, BE, CF. Tính góc EDF. BT số 18: Cho tam giác ABC, gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BE, CA và I là giao điểm của đƣờng thẳng AC và DF. Cho biết AE = 12cm, tính khoảng cách từ điểm I đến trọng tâm G của tam giác ABC. BT số 19: Cho tam giác ABC có B = 450. Trên cạnh BC lấy điểm P sao cho PC bằng hai BP. Tìm số đo góc ACB biết ̂ = 600. BT số 20: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có góc A nhọn. Dựng đƣờng cao BD của tam giác và trên tia BD lấy điểm K sao cho BK = AB, gọi H là trực tâm của tam giác ABC. 78 2- Bài tập chứng minh. BT số 21: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AC ngƣời ta lấy điểm D sao cho AB = AD. Gọi AI là tia phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh. a) AI // BD b) ̂ = 2 ABD. BT số 22: Trên đƣờng thẳng x'x cho ba điểm A, B, C. Trong một nửa mặt phẳng có bờ x'x ngƣời ta dựng các tia Bb sao cho xAa = 200và x'Bb = 1600, còn trong nửa mặt phẳng kia ngƣời ta dựng tia Cc sao cho xCc = 1600. Chứng tỏ rằng ba đƣờng thẳng chứa bia tia Aa, Bb, Cc song song với nhau từng đôi một. BT số 23; Cho hai điểm A và B nằm cùng phía đối với đƣờng thẳng x'x và đƣờng thẳng AB không vuông góc với đƣờng thẳng x'x. Vẽ điểm A sao cho đƣờng thẳng x'x là đƣờng trung trực của đoạn AA'. Gọi C là giao điểm của hai đƣờng thẳng x'x và A'B. Chứng tỏ rằng hai đƣờng thẳng AC và BC tạo với đƣờng thẳng x'x các góc nhọn bằng nhau. BT số 24; Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Các đƣờng cao BD và CE cắt nhau tại điểm H. a) Chứng minh rằng: ̂ = ̂ và ̂ = ̂ b) Chứng tỏ rằng nếu AB khác AC thì hai tam giác vuông BEH và CDH có ba góc bằng nhau từng đôi một nhƣng không nhằng nhau. BT số 25: Cho tam giác ABC biết AB < BC. Trên tia BA lấy điểm D sao cho BC = BD. Nối C với D. Gọi E là giao điểm của cạnh AC và tia phân giác của góc B. a) Chứng minh rằng: CE = DE b) Dựng đƣờng cao AH của tam giác ACD. Chứng minh AH song song BE. 79 BT số 26: Cho tam giác ABC vuông ở A và AB < AC. Gọi AD là đƣờng phân giác của góc A. Qua D vẽ đƣờng vuông góc với BC cắt AC ở E. Chứng minh BD = DE. BT số 27: Cho tam giác ABC có ̂ > 900 ; AB = 1 2 Chứng minh rằng: a) BC > AB b)  < 2C BT số 28; Cho M là điểm trong tam giác ABC cân ở A sao cho ̂ > ̂ . Chứng minh MC > MD. BT số 29; Cho tam giác ABC và các trung tuyến BD và CE. Lấy điểm M sao cho D là trung điểm của đoạn BM và lấy điểm N sao cho E là trung điểm của đoạn CN. Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn thẳng MN. BT số 30: Có bốn điểm phân biệt A, B, C, D trên mặt phẳng. Biết rằng AB vuông góc với CD, AC vuông góc với BD. Chứng minh rằng AD vuông góc với BC. BT số 31: Cho tam giác ABC, đƣờng cao AH. Vẽ ở phía ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân ABD, ACE ( ̂ = ̂ = 900) a) Qua C vẽ đƣờng thẳng vuông góc với BE, cắt đƣờng thẳng HA tại K. Chứng minh rằng CD vuông góc với BK. b) Chứng minh rằng ba đƣờng thẳng AH, BE, CD đồng quy. BT số 32: Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Vẽ đƣờng cao AM. Vẽ điểm D sao cho AB là đƣờng trung trực của đoạn HD lồi vẽ điểm E sao cho AC là đƣờng trung trực của đoạn HE. Nối DE cắt AB ở I và cắt AC ở K. Chứng minh rằng: a) tam giác ADE cân b) Tia HA là tia phân giác của góc IHK 80 BT số 33: Cho tam giác cân ABC (AD = AC) AH là đƣờng cao. Từ B và C kẻ đƣờng thẳng song song với AM chúng cắt đƣờng thẳng đi qua A tại M và N. Chứng minh AH = BM+CN 2 BT số 34: Trên các cạnh góc vuông AB, AC của tam giác vuông cân ABC lấy các điểm D và E sao cho AD = AE. Qua D vẽ đƣờng thẳng vuông góc với BE, cắt BC ở K, qua A vẽ đƣờng thẳng vuông góc với BE, cắt BC ở H. Chứng minh rằng: KH = HC. BT số 35: Cho tam giác đều ABC, đƣờng cao AH. Trên tia HC lấy D sao cho HD = HA. Trên nửa mặt phẳng không chứa A bờ DB. Vẽ tia Dx sao cho BDx = 150. Dx cắt tia AB ở E. Chứng minh rằng HD = HE. BT số 36: (Bài tập tổng quát) Cho tam giác ABC, trên nửa mặt phẳng không chứa C có bờ AB, về tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao AD = AB, trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC tiên tia đó lấy điểm E sao cho AE = AC. Dựng AH vuông góc với BC, kéo dài AH cắt DE tại M. Chứng minh rằng: DM = ME BT số 37: (Trƣờng hợp đặc biệt của BT số 36.) Nếu ở BT 36 thì BAC bất kỳ còn BT số 37 thì BAC = 900 GT ABC, AH BC, BAC = 900 AD AB, AD = AB AE AC, AE = AC Kéo dào AH cắt DE tại M KL DM = ME 81 BT số 38: Đƣợc tạo ra bằng cách lƣợc bỏ bớt ở giả thiết yếu tố AH thay vào đó là trung tuyến AM và kết luận AM = 1/2 DE của BT số 36. GT ∆ ABC, AM là trung tuyến AD AB, AD = AB AE AC, AE = AC KL AM = 1/2 DE. BT số 39: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BA lấy D, trên tia đối của tia CA lấy E sao cho CE = BD. Gọi O là giao điểm của DE và BC. Biết OD = OE. Chứng minh rằng ABC là tam giác cân. BT số 40: Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD và tam giác ACE vuông cân ở A. Vẽ AH vuông góc với BC. Đƣờng HA cắt DE ở K. Chứng minh rằng DK = KE. 82 3- Bài tập dựng hình. BT số 41: Dựng một tam giác vuông cân ABC, vuông ở A biết rằng một cạnh góc vuông bằng 25mm. BT số 42: Cho AB = 8cm, MN = 5cm. a) Dựng đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng trên b) Dựng đoạn thẳng bằng hiệu hai đoạn thẳng trên BT số 43: Dựng tam giác vuông biết: a) Cạnh huyền bằng 7cm, cạnh góc vuông bằng 5cm. b) Cạnh góc vuông 5cm, đƣờng trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng 4cm. BT số 44: Dựng tam giác cân biết. a) Cạnh đáy bằng 5cm, cạnh bên bằng 10cm. b) Cạnh đáy bằng 10cm, cạnh bên bằng 5cm, thì có dựng đƣợc tam giác không ? Vì sao ? BT số 45: Cho đoạn thẳng AB. Hãy đựng điểm C sao cho tam giác ABC có đƣờng cao CH = 2cm và đƣờng trung tuyến CM = 3cm. BT số 46: Dùng thƣớc thẳng và compa để chia góc 450 thành ba phần bằng nhau. BT số 47: Dựng tam giác cân biết cạnh bên dài 3cm và góc ở đáy có số đo bằng 500. BT số 48: Cho đoạn thẳng AB. Hãy dựng điểm C sao cho tam giác ABC có đƣờng cao CH = 2cm và trung tuyến CN = 3cm. BT số 49: Dựng tam giác ABC biết  = 700, cạnh AB dài 3cm và đƣờng cao AH dài 2cm. BT số 50: Dựng tam giác vuông biết cạnh huyền dài 3,5cm và một cạnh góc vuông dài 2,5cm. BT số 51: (Dạng 2): Dựng tam giác ABC biết B = , AB + BC = d 83 BT số 52: (Dạng 3): Dựng tam giác ABC biết AB = 10cm. BC = 6cm AC = 3 cm. BT số 53: Dựng tam giác cân ABC sao cho AB = AC = 4cm và đƣờng cao AH = 2cm. BT số 54: Cho tam giác ABC dựng đƣờng thẳng m sao cho các khoảng cách từ A, từ B và từ C đến m đều bằng nhau. BT số 55: Cho tam giác ABC. Dựng đƣờng thẳng DE song song với BC (D thuộc AB, E thuộc AC) sao cho AE = BD. BT số 56: Dựng tam giác ABC có ̂ - ̂ = 900 biết phân giác AD = d, DC = m. BT số 57: Dựng tam giác ABC có B = 3C biết AB = C, AC = b. BT số 58: Dựng tam giác ABC biết  = , AB + AC = 1, trung tuyến AM = m. BT số 59: Dƣng tam giác, biết trung điểm của hai cạnh của nó và biết đƣờng thẳng d chứa đƣờng phân giác ứng với một trong hai cạnh đó. BT số 60: Dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất sao cho. a) Hai đỉnh A, B cho trƣớc đỉnh C nằm trên đƣờng thẳng d cho trƣớc. b) Một đỉnh A cho trƣớc, hai đỉnh B và C nằm trên hai đƣờng thẳng cho trƣớc. 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1- Alecxêép.M - Và những ngƣời khác - Phát triển tƣ duy học sinh 2 - Lê Khắc Bảo - Để học tốt học sinh 7 - Nxb Giáo dục 1992. 3 - Vũ Hữu Bình - Một số vấn đề phát triển hình học 7 - Nxb Giáo dục 1994. 4 – Hồ Thanh Bình - Phạm Minh Hạc ( dịch) - Tâm lý học Liên Xô Nxb Tiến bộ M - 1978. 5 - Nguyễn Vĩnh Cận và những ngƣời khác - Toán nâng cao chọn lọc hình học 7 - Nxb Giáo dục 1997. 6 - Nguyễn Gia Cốc - Phạm Đức - Hình học 7 - Nxb Giáo dục 1994. 7 - Nguyễn Gia Cốc - Phạm Đức - Hình học 7 (sách giáo viên) Nxb Giáo dục 1995. 8 - Vũ Quốc Chung - Góp phần hoàn thiện nội dung dạy học các yếu tố hình học theo hƣớng bồi dƣỡng năng lực tƣ duy cho học sinh - Luận án PTS - Hà Nội 1993. 9 - Hoàng Chúng - Phƣơng pháp dạy học toán học - Nxb Hà Nội 1978. 10 - Hoàng Chúng - Phƣơng pháp thống kê toán học trong khoa học giáo dục - Nxb Giáo dục 1983. 11 - Hoàng Chúng - Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trƣờng phổ thông - Nxb TP Hồ Chí Minh - 1991. 12 - Hoàng Chúng - Những vấn đề về logic trong môn toán ở trƣờng phổ thông trung học cơ sở - Nxb Giáo dục 1997. 13 - Hồ Ngọc Đại - Tâm lý học Dạy học - Nxb Giáo dục 1983 14 - Hồ Ngọc Đại - Bài học là gì ? Nxb Giáo dục 1985 15 - Hổ Ngọc Đại - Công nghệ giáo đục (tập l) Nxb Giáo dục 1985 85 16- Vũ Cao Đàm - Phƣơng pháp luận nghiên cứu khoa học Nxb khoa học và kỹ thuật - Hà Nội 1996. 17- Nguyễn Văn Đồng - Phƣơng pháp giảng dạy vật lý ở trƣờng PT -Tập 1 - Nxb Giáo dục Hà Nội 1979. 18- Phạm Gia Đức, Hoàng Doanh, Ngô Long Hậu - Bài tập hình học 7 - Nxb Giáo dục 1994. 19- Phạm Minh Hạc - Tâm lý học tập I, II - Nxb giáo dục Hà Nội 1988. 20- Nguyễn Minh Hải - Những khó khăn trong quá trình giải toán của học sinh - Tạp chí Nghiên cứu giáo dục 4/1995. 21- Phạm Văn Hoàn (chủ biên), Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình -giáo dục học môn Toán - Nxb Giáo dục Hà Nội 1987. 22- Nguyễn Thái Hoè - Rèn luyện tƣ duy qua việc giải bài tập toán. Nxb Giáo dục - 1995. 23- Hà Thị Ánh Hồng - Lựa chọn hệ thống bài tập hình học lớp 7 nhằm góp phần rèn luyện tƣ duy cho học sinh - Luận văn sau Đại học - Hà Nội 1985. 24- Lê Văn Hồng - Tâm lý học Sƣ phạm - ĐHSP Hà Nội 1995. 25- Kru checxki. V.A - Tâm lý năng lực Toán học Nxb giáo dục - Hà Nội 1973. 26- Nguyễn Thị Mùi - Nghiên cứu kỹ năng sử dụng mô hình trong việc giải bài toán có lời văn của học sinh lớp 3 - Luận án PTS - Hà Nội 1995. 27- Nguyễn Lộc - Tạp chí nghiên cứu giáo dục 1/1993, 4/1995, 6/1995. 28- Leon chiep A.N - Hoạt động - ý thức - nhân cách. 29- Hứa Thuần Phỏng - Định lý hình học và các phƣơng pháp chứng minh - Nxb Giáo dục 1976. 30- Hứa Thuần Phỏng - Dựng hình - Nxb Giáo dục 1976. 86 31 - Polia. G - Giải bài tập nhƣ thế nào ? Nxb Giáo dục 1997. 32- Polia. G - Sáng tạo toán học tập 1, 2, 3 - Nxb Giáo dục - Hà nội 1975. 33- Polia - G - Toán học, những suy luận có lý. Tập 1 ,2 Nxb giáo dục Hà Nội 1970. 34- Pêtrốpxki. A.V - Tâm lý học lứa tuổi và sƣ phạm - Nxb Giáo dục Hà Nội 1992. 35- Nguyễn Ngọc Quang - Lý luận dạy học đại cƣơng - Trƣờng cán bộ quản lý TW I - 1989. 36 - Tôn Thân - Tạp chí Nghiên cứu giáo dục 9/92, 4/95. 37- Trần Trọng Thủy - Khoa học chẩn đoán tâm lý Nxb Giáo đục Hà Nội 1995. 38- Trần Thúc Trình - Thái sinh - Một số vấn để rèn luyện tƣ duy trong việc dạy Hình học lớp sáu - Nxb Giáo dục 1978. 39- Ru đích P.A- Tâm lý học - Nxb TDTT Hà Nội 1986. 40- Sacđacốp. MN. Tƣ duy học sinh - Nxb Giáo dục. Hà Nội 1990. 41- Nguyễn Quang Uẩn chủ biên - Tâm lý học đại cƣơng Nxb - Đại học quốc gia Hà Nội 1995.