MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình toán ở nhà trường phổ thông. Kiến thức về phương trình được đưa dần ở mức độ thích hợp với từng khối lớp. Đặc biệt, trong lớp 10, hàng loạt chủ đề được nhắc lại và được làm mới như : phương trình bậc nhất một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, bất phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình và bất phương trình bậc hai. Khi đó, việc nghiên cứu một cách tổng quát và có hệ thống các chủ đề này luôn gắn liền với sự xuất hiện cùng lúc của hai đối tượng : tham số và algorit (hay còn gọi là thuật toán). Sự xuất hiện của tham số kéo theo sự thay đổi bản chất của bài toán. Lúc bấy giờ, đối tượng thao tác không còn là một phương trình cụ thể với hệ số thuần số nữa mà là một họ các phương trình với hệ số chứa tham số. Như thế, bước chuyển từ phương trình số sang phương trình chứa tham số không chỉ thể hiện ở tính liên tục mà còn ở sự ngắt quãng của việc giảng dạy ở lớp 10 so với những lớp trước đây. Về vấn đề này, Odile Schneider đã có những phân tích rất hay trong luận văn “Le passage des équations numériques aux équations paramétriques en classe de seconde” (1). Theo tác giả, sự ngắt quãng đó xuất phát từ mâu thuẫn giữa “cái cũ” (phương trình không chứa tham số) và “cái mới” (phương trình chứa tham số), từ sự thống trị của “cái cũ” đối với “cái mới”, Do vậy mà giáo viên và học sinh sẽ gặp phải một số khó khăn nhất định trong thời điểm bắt đầu làm quen với phương trình chứa tham số. Đó là những kết quả nghiên cứu chính liên quan đến sự tác động của tham số trong quá trình dạy học phương trình mà công trình này đạt được. Thế nhưng, như đã nói, tham số không xuất hiện một cách “đơn độc” trong dạy học chủ đề phương trình mà đi cùng với nó còn có algorit. Thật vậy, qua xemxét SGK toán THPT ở các giai đoạn khác nhau (từ giai đoạn 1990 đánh dấu cuộc CCGD trên quy mô toàn quốc đến giai đoạn thí điểm phân ban 2003), chúng tôi nhận thấy cứ mỗi lần có mặt phương trình chứa tham số là ở đấy lại hiện diện một algorit. Điều này đã dẫn chúng tôi đến với những câu hỏi hết sức thú vị sau đây : Tại sao algorit lại đồng hành cùng tham số? Phải chăng sự có mặt của nó đã làm giảm bớt tính phức tạp trong quá trình giải và biện luận, từ đó giúp cho phương trình chứa tham số trở nên dễ tiếp cận hơn? Ngược lại, có phải chủ đề “phương trình chứa tham số” là mảnh đất thuận lợi để đưa vào các algorit hay không?
Quả thực, đi tìm lời giải đáp cho các câu hỏi vẫn còn đang bỏ ngỏ như trên sẽ rất có ý nghĩa đối với việc dạy học “phương trình”, nhất là trong bối cảnh đổi mới chương trình và SGK hiện nay. Nhận thức được điều đó, chúng tôi đã mạnh dạn lựa chọn đề tài :
« Algorit và tham số trong dạy - học chủ đề phương trình ở trường THPT. Trường hợp hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn. » Như vậy, với luận văn này, song song với việc nghiên cứu algorit và tham số trong chủ đề phương trình cấp THPT, chúng tôi sẽ luôn chú ý đến sự tác động qua lại giữa chúng. Và để có một sự phân tích sâu sắc hơn, chúng tôi sẽ xem xét hai đối tượng algorit - tham số trong trường hợp cụ thể là “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” được dạy học ở cả hai lớp 9 và 10.
2. CÂU HỎI XUẤT PHÁT
Chúng tôi triển khai vấn đề nghiên cứu đã chọn thành một số câu hỏi cụ thể hơn như sau :
1) Trong dạy học chủ đề phương trình ở trường THPT, các đối tượng algorit và tham số xuất hiện như thế nào, đóng vai trò gì và tiến triển ra sao qua những lần thay đổi chương trình và SGK? Đâu là những điều kiện và ràng buộc cho phép chúng tồn tại và tiến triển? Trong chủ đề phương trình đó, mối liên hệ giữa algorit và tham số thể hiện ra sao? Nó xuất phát từ những đặc trưng toán học nào của khái niệm algorit, tham số và phương trình chứa tham số?
2) Cũng những câu hỏi ấy, nhưng được đặt trong trường hợp cụ thể là hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn dạy ở hai lớp 9 và 10.
3) Nếu nhìn từ góc độ tri thức ở bậc đại học thì algorit và tham số xuất hiện ở đâu và như thế nào trong hệ phương trình tuyến tính?
4) Đâu là sự khác biệt về cách trình bày trong SGK với cách trình bày trong giáo trình đại học về hệ phương trình tuyến tính? Lý do của sự khác biệt đó?
5) Cách trình bày của SGK ảnh hưởng như thế nào đến việc dạy của giáo viên về hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn cũng như việc học của học sinh về chủ đề này?
6) Liên quan đến các đối tượng algorit và tham số trong hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn, giáo viên và học sinh có những quyền lợi và nghĩa vụ gì?
156 trang |
Chia sẻ: maiphuongtl | Lượt xem: 2565 | Lượt tải: 2
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Algorit và tham số trong dạy học chủ đề phương trình ở trường THPT - Trường hợp hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
oán - phần 1,
NXB Giáo dục.
38. Nguyễn Bá Kim (chủ biên) (1994), Phương pháp dạy học toán - phần 2, Dạy học
những nội dung cơ bản, NXB Giáo dục.
39. Ngô Thúc Lanh (chủ biên) (2000), Đại số 12, NXB Giáo dục.
40. Ngô Thúc Lanh (1996), Tìm hiểu giải tích phổ thông, NXB Giáo dục.
41. Ngô Thúc Lanh (1970), Đại số tuyến tính, NXB Đại học và Trung học chuyên
nghiệp.
42. Trần Văn Minh (chủ biên) (2002), Đại số tuyến tính, NXB Giao thông vận tải.
43. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2003), Đại số 10 - Sách giáo khoa thí điểm Ban khoa
học tự nhiên - Bộ 1, NXB Giáo dục.
44. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2003), Đại số 10 - Ban khoa học tự nhiên - Bộ 1,
NXB Giáo dục.
45. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2004), Sách giáo viên thí điểm ban khoa hoc tự nhiên
Đại số 10 - Bộ 1, NXB Giáo dục, Hà Nội.
46. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2004), Sách giáo viên thí điểm ban khoa hoc tự nhiên
Đại số và Giải tích 11 - Bộ 1, NXB Giáo dục, Hà Nội.
47. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2005), Sách giáo viên thí điểm ban khoa hoc tự nhiên
Giải tích 12 - Bộ 1, NXB Giáo dục, Hà Nội.
48. Tài liệu hướng dẫn sử dụng sách giáo khoa toán THPT CLHN năm 2000, NXB
Giáo dục.
49. Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ (1999), Số 6 (264).
50. Tạp chí Nghiên cứu giáo dục (2000), Số 12.
51. Vũ Dương Thụy (chủ biên) (1998), Thực hành giải toán (sách Cao đẳng sư phạm),
NXB Giáo dục.
52. Lê Văn Tiến, Lý thuyết nhân chủng học – Bài giảng trong chương trình thạc sĩ
Didactic toán, Đại học sư phạm Tp. HCM.
53. Lê Văn Tiến, Lý thuyết tình huống – Bài giảng trong chương trình thạc sĩ Didactic
toán, Đại học sư phạm Tp. HCM.
54. Ngô Việt Trung (2001), Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà
Nội.
55. Vũ Tuấn (chủ biên) (2003), Bài tập Đại số 10 - Sách giáo khoa thí điểm Ban khoa
học tự nhiên - Bộ 2, NXBGD.
56. Trần Vui (chủ biên) (2005), Một số xu hướng đổi mới trong dạy học toán ở trường
THPT, Giáo trình bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THPT chu kì III, NXB Giáo
dục.
Dịch sang tiếng Việt
57. Howard Eves (Trần Tất Thắng dịch) (1993), Giới thiệu lịch sử toán học, NXB Khoa
học kỹ thuật.
58. Jean Pierre Kahane - Claude Castella - Alain Mercier - Philippe Clarou – IREM
Grenoble (1997), Một số kinh nghiệm giảng dạy toán ở Pháp, NXB Giáo dục.
59. X.M.Nikolxki (chủ biên) (2002), Từ điển bách khoa phổ thông toán học - tập 1,
NXB Giáo dục.
60. X.M.Nikolxki (chủ biên) (2002), Từ điển bách khoa phổ thông toán học - tập 2,
NXB Giáo dục.
Tiếng Anh
61. Bittinger - Keedy - Ellenbogen, Intermediate Algebra concepts and Applications.
Fourth edition.
62. Marvin L. Bittinger - Judith A. Beecher, College Algebra, Second edition.
Tiếng Pháp
63. Alain Bouvier - Michel George - Francois Le Lionnais, Dictionnaire des
mathématiques, PUF.
64. Collection terracher, Maths Seconde, Hachette Éducation.
65. Gisèle Chapiron - Michel Mante - René Mulet-Marquis - Catherine Pérotin (1999),
Collection Triangle Mathématiques 3è, Édition Hatier.
66. Jean - Luc Chabert và các tác giả, Histoire d’Algorithmes, Édition Belin.
67. Lê Văn Tiến (2001), Étude didactique de liens entre fonctions et équations dans
l’enseignement des mathématiques au lycée en France et au Vietnam. Thèse,
Université Joseph Fourier – Grenoble 1.
68. Nguyễn Chí Thành (2002), La notion d’algorithme dans l’enseignement des
mathématiques au lycée – Comment l’émergence des notions de boucle et de
variable en Informatique s’articule à des connaissances en Mathématiques?
Mémoire DEA, Université Joseph Fourier – Grenoble 1.
69. Odile Schneider (1979), Le passage des équations numériques aux équations
paramétriques en classe de seconde, Mémoire DEA, Université d’Aix-Marseille.
PHỤ LỤC
Phụ lục 1. Sự tiến triển của khái niệm algorit trong toán học 1
Phụ lục 2. Mối liên hệ giữa algorit, phương pháp tính và máy tính điện tử 5
Phụ lục 3. Phương trình và dạy - học giải phương trình 6
Phụ lục 4. Các phương pháp gián tiếp để giải hệ phương trình tuyến tính 10
Phụ lục 5. Phiếu tham khảo ý kiến giáo viên 21
Phụ lục 6. Bộ câu hỏi điều tra dành cho học sinh 24
Phụ lục 7. Một số bài làm của học sinh 27
1
Phụ lục 1
SỰ TIẾN TRIỂN CỦA KHÁI NIỆM ALGORIT TRONG
TOÁN HỌC
Vì phạm vi tác động của algorit bao trùm hầu hết các lĩnh vực khác nhau của toán học
như Số học, Hình học, Đại số, Giải tích, … nên ở đây, chúng tôi chỉ có thể nêu những nét
khái quát nhất về lịch sử hình thành và tiến triển của khái niệm algorit qua ba giai đoạn
chính sau :
1. Giai đoạn ngầm ẩn : Giai đoạn Hy Lạp cổ đại đến thế kỉ 12
Thật khó nói chính xác tư tưởng algorit có từ khi nào vì điều đó còn phụ thuộc vào
nguồn tài liệu và quan điểm của mỗi người, nhưng một điều chắc chắn rằng, algorit đã tồn
tại và được sử dụng trước cả khi xuất hiện thuật ngữ mô tả nó một cách rõ ràng. Algorit
được biết đến như những qui tắc xác định và phổ dụng. Nó có thể là các thủ tục liên quan
đến luật pháp hay toán học như ở thời Babylon ; nó cũng có thể là các phương thức ghi nhớ
như ở thời Hy lạp ; là các qui tắc ngôn ngữ mà các nhà văn phạm Roma sử dụng hay các
công thức về y học, nấu ăn, ...
Như vậy, ở giai đoạn Hy lạp cổ đại, khái niệm algorit được dùng và được hiểu một
cách trực giác. Nó có cơ chế protomathématique. (1)
2. Giai đoạn bán tường minh : Từ thế kỉ 12 đến cuối thế kỉ 19
Khoảng thế kỉ 12, tác phẩm Hisâb aljabr w’al-muquâbalah của Al-Khowârizmi đến
được châu Âu qua bản dịch La tinh. Từ đó, thuật ngữ algorisme, algorismus hay
algorithmus được dùng để chỉ các qui tắc thực hiện các phép tính số học trên các số thập
phân.
Đến năm 1857, người ta tìm thấy bản dịch sang tiếng La tinh cuốn sách bàn về cách
dùng các chữ Hindu của Al-Khowârizmi và nó bắt đầu như sau : “Algoritmi đã nói …”.
Xuất phát từ từ algorithmi – cách phiên âm sang tiếng La tinh tên của Al-Khowârizmi,
thuật ngữ algorit ra đời. Lúc này, người ta gọi algorit là hệ đếm thập phân theo vị trí và
nghệ thuật tính toán trong hệ ấy, bởi vì chính nhờ bản dịch sang tiếng La tinh (thế kỉ
thứ 12) công trình của Al-Khowârizmi mà châu Âu mới biết đến hệ đếm theo vị trí.
Như vậy, cho tới giai đoạn này, khái niệm algorit vẫn được dùng và được hiểu một
cách trực giác. Nó có cơ chế paramathématique. (2)
(1) chưa có tên và chưa được định nghĩa chính xác về mặt toán học
(2) có tên nhưng chưa được định nghĩa chính xác về mặt toán học
2
3. Giai đoạn tường minh : Từ thế kỉ 20 đến nay
Như đã đề cập, gắn liền với sự phát triển của toán học, khái niệm algorit trước thế kỉ 20
được dùng và được hiểu một cách trực giác : khả năng giải bài toán “ở dạng tổng quát” bao
giờ cũng bao hàm về thực chất nắm được một algorit nào đó. Và như vậy, nhiều algorit
được thực hiện trước khi khái niệm algorit được xác định một cách rõ ràng.
Đến đầu thế kỉ 20, trong toán học xuất hiện một số bài toán mà việc có algorit để giải
chúng là rất đáng nghi ngờ. Người ta đặt vấn đề : liệu có thể chứng minh là không có
algorit để giải bài toán đó hay không. Nếu như khái niệm trực giác về algorit là đủ dùng
khi ta chứng minh việc có algorit cụ thể nào đó, thì ngược lại, nó không thể là cơ sở cho
việc chứng minh không có algorit để giải bài toán này hay bài toán khác. Muốn chứng
minh không có algorit, thì trước hết cần có một định nghĩa chính xác cho khái niệm này.
Vào ngày 8 tháng 8 năm 1900 tại Đại hội toán học Quốc tế ở Paris, David Hilbert – nhà
toán học nổi tiếng người Đức đã phát biểu 23 bài toán khó, nhằm kêu gọi giới toán học của
thế kỷ 20 cùng tập trung nỗ lực để giải quyết. Bài toán thứ 10 trong số các bài toán trên
được Hilbert phát biểu như sau :
“Cho phương trình Điôphăng với số ẩn tùy ý và các hệ số nguyên tùy ý. Hãy chỉ ra
phương pháp cho phép sau một số hữu hạn thao tác có thể xác định được rằng
phương trình đã cho có nghiệm nguyên hay không.”
Như vậy, vấn đề đặt ra là xây dựng một algorit để nhận biết mỗi phương trình
Điôphăng tùy ý xem nó có nghiệm nguyên hay không.
Với một số trường hợp riêng, algorit nhận biết nghiệm nguyên của phương trình
Điôphăng đã được xây dựng nhưng algorit cho trường hợp tổng quát vẫn chưa tìm được. (1)
Vào khoảng những năm đầu của thập kỉ 30, Gôdel, Kleene, Church, Turing và Post đã
đưa ra một số định nghĩa nhằm chính xác hóa khái niệm algorit. Sau đó, nhiều tác giả khác
tiếp tục đưa ra một số định nghĩa khác về algorit. Các định nghĩa đó nói chung đều tương
đương nhau, tuy mỗi định nghĩa có một số thuận lợi riêng, thích hợp với việc nghiên cứu
một lớp vấn đề nào đó. Có thể mô tả một số hình thức cho algorit như sau :
– Máy Turing (1936)
– Máy Post (1936)
– Hàm đệ qui (Gôdel 1931, Church 1936, Kleene 1936)
– Algorit chuẩn Marcov (1954)
– Văn phạm Chomsky kiểu O (1959)
(1) Cuối cùng, vào năm 1969, nhà toán học trẻ người Nga là Iu. Matiasievich đã chứng minh rằng sẽ không
bao giờ tìm được algorit với chức năng tìm được nghiệm nguyên của phương trình Điôphăng tùy ý.
3
– Hầu hết các ngôn ngữ lập trình (từ 1950 đến nay)
Chẳng hạn dưới đây là định nghĩa về máy Turing.
Máy Turing (1)
Máy Turing là một khái niệm toán học nhằm chính xác hóa khái niệm algorit. Mọi quá
trình algorit bất kỳ, xét đến cùng, đều là một trình tự thực hiện một số phép biến đổi cơ sở
nào đó. Trong mô hình máy Turing, ta chỉ dùng một loại phép biến đổi cơ sở vô cùng đơn
giản, đó là việc thay thế một ký hiệu này bằng một ký hiệu khác.
Khái niệm máy Turing có ưu việt ở chỗ nó mô tả một cách khoa học, trên cơ sở phân
tích tỉ mỉ các quá trình algorit nói chung, vì vậy, ngoài các giá trị lý thuyết trừu tượng, nó
còn là cơ sở cho việc nghiên cứu các quá trình tính toán. Sau khi xuất hiện các máy tính
điện tử (MTĐT) (khoảng năm 1946), máy Turing trở thành một mô hình toán học thuận
tiện cho các máy tính thực tế. Trên cơ sở mô hình đó, người ta có thể nghiên cứu lý thuyết
chung về các quá trình tính toán.
Điểm khác nhau căn bản giữa máy Turing và MTĐT trong thực tế là tiềm năng vô hạn
của bộ nhớ của máy Turing so với bộ nhớ hữu hạn của MTĐT. Như vậy, máy Turing
không tồn tại về mặt vật lý vì nó có bộ nhớ vô hạn, nhưng cũng chính do đặc điểm này mà
ta thấy máy Turing mạnh hơn bất cứ MTĐT nào. Thông qua máy Turing, chúng ta có thể
chứng minh sự tồn tại hoặc không một algorit giải bài toán nào đó.
Với việc một số định nghĩa nhằm chính xác hóa khái niệm algorit, lịch sử algorit
chuyển sang lịch sử của một lĩnh vực khoa học mới : algorithmique (khoa học nghiên cứu
algorit). Nói cách khác, nghiên cứu algorit thực sự trở thành một lý thuyết. Lý thuyết
algorit quan tâm đến những vấn đề sau :
– Những bài toán nào giải được bằng algorit, những bài toán nào không giải được
bằng algorit.
– Tối ưu hóa algorit : thay những algorit chưa tốt bằng những algorit tốt hơn.
– Triển khai algorit : Xây dựng những ngôn ngữ thực hiện trên máy tính để mã hóa
algorit, nói cách khác là viết algorit dưới dạng máy tính điện tử hiểu được và dĩ
nhiên là sau đó máy tính phải thực hiện algorit để xác định kết quả cần tìm.
Hướng nghiên cứu thứ hai thuộc phạm vi của lĩnh vực phân tích algorit : đánh giá định
lượng mức độ phức tạp của algorit. Hướng nghiên cứu thứ ba thường được xếp vào khoa
học lập trình.
Cũng sau khi chính xác hóa khái niệm algorit, người ta thấy rằng còn khá nhiều vấn đề
về algorit chưa được giải quyết trong toán học. Một trong các vấn đề đó đòi hỏi tìm được
phương pháp chung để giải hàng loạt các bài toán cùng dạng. Những vấn đề tương tự xuất
hiện trong nhiều ngành toán học khác nhau qua các thời kỳ phát triển của chúng, tuy nhiên
(1) Phần này viết dựa theo [32, tr.68 - 69].
4
nhiều vấn đề cho đến nay vẫn còn chưa giải quyết xong. Việc sử dụng ý tưởng và các
phương pháp của logic toán học, sau khi khái niệm algorit đã được chính xác hóa, cho
phép chứng minh rằng, thông thường không tồn tại các algorit đang tìm kiếm ấy. Trong
trường hợp này, vấn đề algorit được xem xét gọi là không giải được. Các vấn đề algorit
không giải được xuất hiện khá nhiều trong các ngành toán học truyền thống như đại số,
logic, lí thuyết số, tôpô logic v.v… Như vậy, quan niệm của các nhà toán học về algorit đã
thay đổi. Bây giờ, vấn đề algorit được hiểu là câu hỏi : tồn tại hay không algorit để giải
một loạt các bài toán cùng loại và tìm ra algorit này khi nó tồn tại.
Việc nghiên cứu vấn đề algorit trong một ngành toán học nào đó thường đi kèm với ý
tưởng và các phương pháp của logic toán học trong ngành đó, từ đó dẫn đến việc giải quyết
các vấn đề khác không còn tính chất đặc trưng của algorit nữa. (1)
(1) Phần này viết dựa theo [60, tr.220].
5
Phụ lục 2
MỐI LIÊN HỆ GIỮA ALGORIT, PHƯƠNG PHÁP TÍNH VÀ
MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ
Về mối liên hệ giữa các đối tượng này, dưới đây chúng tôi xin được trích dẫn nguyên
văn kết quả nghiên cứu của tác giả Lê Văn Tiến được in trên tạp chí Nghiên cứu Giáo dục,
số 12/2000, trang 24 :
“Nhiều bài toán của toán học, của các khoa học khác hay của thực tế đòi hỏi tìm ra
kết quả bằng số. Rất thông thường người ta chỉ tính được các giá trị gần đúng của
kết quả nhờ vào phương pháp tính. Việc cụ thể hóa các phương pháp tính dẫn đến
hình thành các thuật toán (algorithme). Trước đây người ta phải dừng lại ở việc mô
tả các thuật toán vì thiếu công cụ thực hiện. Việc phát triển mạnh mẽ của công nghệ
thông tin đã khắc phục khó khăn này. Về nguyên tắc, ta có thể sử dụng trực tiếp
MTĐT (máy tính bỏ túi hay máy vi tính) để thực hiện từng bước của một thuật
toán. Tuy nhiên, để tiết kiệm thời gian, ta thường tự động hóa việc thực hiện này.
Điều đó đòi hỏi phải viết các thuật toán liên quan trong một ngôn ngữ hoàn toàn
hình thức hóa để máy có thể hiểu được, mà ta gọi là “chương trình”. Công việc
thiết lập chương trình gọi là “lập trình” (programmation). Như vậy hình thành nên
một tổng thể :
Phương pháp tính → Thuật toán → Chương trình
Lập trình
Tư duy thuật toán
Tiếp cận Tin học
Quả thực, việc nghiên cứu (Phương pháp tính → Thuật toán → Chương trình),
một mặt góp phần hình thành nên một yếu tố quan trọng của học vấn phổ thông (tư
duy thuật toán), mặt khác cho phép làm quen với các phương pháp lập trình, với
MTĐT. Điều đó cho phép tiếp cần dần với tin học.
Để làm rõ logic nội tại của tổ chức Phương pháp tính → Thuật toán → Chương
trình, giải gần đúng phương trình là một trong những vùng đất phong phú cần khai
thác. Giải gần đúng phương trình dẫn tới những thuật toán lặp, những chương trình
dành cho MTĐT rất thú vị.”
6
Phụ lục 3
PHƯƠNG TRÌNH VÀ DẠY - HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Vì nội dung của luận văn đề cập đến “các đối tượng algorit và tham số trong dạy học
vấn đề phương trình ở trường THPT” nên thiết nghĩ để trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi
cần phải tìm hiểu xem ở trường phổ thông, khái niệm phương trình được định nghĩa ra sao
và dạy học giải phương trình cần được tiến hành như thế nào.
1. Khái niệm phương trình
Trong nhà trường phổ thông, khái niệm phương trình được nhìn ở cả hai phương diện :
phương diện cú pháp và phương diện ngữ nghĩa.
“Phương diện cú pháp (syntaxic) của toán học là mặt xem xét cấu trúc hình thức và
sự biến đổi hình thức những biểu thức toán học, sự làm việc theo những quy tắc xác
định và nói riêng là sự làm việc theo thuật giải.
Phương diện ngữ nghĩa (semantic) của toán học là mặt xem xét nội dung của
những mệnh đề toán học và nghĩa của những cách đặt vấn đề toán học.” [38, tr.80]
1.1. Phương diện cú pháp
Theo quan điểm “cú pháp”, phương trình được xem như một dãy kí hiệu có một dạng
nhất định, và từ đó có khả năng nghiên cứu được cấu trúc của dãy kí hiệu trừu xuất khỏi
những nội dung cụ thể.
“Phương trình là hai biểu thức nối với nhau bởi dấu = ; trong các biểu thức đó có
một hoặc nhiều biến, gọi là ẩn.” [59, tr.295]
1.2. Phương diện ngữ nghĩa
Khái niệm phương trình còn có thể được hiểu theo phương diện “ngữ nghĩa”. Phương
diện này coi phương trình như một hàm mệnh đề (1). Chẳng hạn, trong trường số phức C,
phương trình được định nghĩa như sau :
“Cho hai hàm số n biến phức 1x , 2x , …, nx là f( 1x , 2x , …, nx ) và g( 1x , 2x , …,
nx ). Ta gọi tập hợp n số phức x = ( 1x , 2x , …, nx ) ∈ nC là một điểm trong không
gian phức n chiều nC . Khi đó các hàm số f( 1x , 2x , …, nx ) và g( 1x , 2x , …, nx )
(1) Cần chú ý rằng nếu triệt để tuân theo quan điểm cú pháp thì không thể nói phương trình là một hàm mệnh
đề mà chỉ có thể nói phương trình biểu thị một hàm mệnh đề.
7
được xem là các hàm một biến f(x), g(x) trong nC . Giả sử f(x) có miền xác định là
D1⊂ nC , g(x) có miền xác định là D2⊂ nC .
Ta định nghĩa phương trình
f(x) = g(x) (1)
là ký hiệu của hàm mệnh đề “giá trị của hai hàm số f(x) và g(x) là bằng nhau.”
Ta gọi x là ẩn của phương trình (1) ; nếu coi f và g là hàm của n biến 1x , 2x , …,
nx trong không gian C thì (1) là phương trình của n ẩn 1x , 2x , …, nx . Tập hợp các
giá trị thừa nhận được của các đối số gọi là miền xác định của phương trình (1), đó
là tập S = D1 ∩ D2. […]
Thay cho trường C, ta có thể lấy một trường số K bất kỳ (có thể là Q, R) làm
trường cơ sở […].” [36, tr.92]
Hay một định nghĩa đơn giản hơn :
“Giả sử cho y = f(x) và y = g(x) là các hàm số mà giao hai miền xác định của chúng
là M. Ta gọi hàm mệnh đề “Số trị của f(x) và g(x) bằng nhau” xác định trên M là
một phương trình và kí hiệu là f(x) = g(x).
Tập M được gọi là miền xác định của phương trình đó.” [38, tr.61]
2. Dạy học giải phương trình (1)
Tương ứng với hai quan điểm về phương trình, dạy học giải phương trình ở trường phổ
thông cũng chú ý đến cả phương diện cú pháp lẫn phương diện ngữ nghĩa và giải quyết
một cách hợp lí mối quan hệ giữa hai phương diện đó.
2.1. Phương diện cú pháp
Nói chung, phương diện cú pháp được chú trọng trong dạy học giải phương trình có
cách giải tổng quát thông qua việc xem xét cấu trúc của dãy kí hiệu biểu thị phương trình
và qua sự làm việc một cách hình thức với dãy kí hiệu đó. Như thế, theo quan điểm cú
pháp, phương trình sẽ được giải nhờ một algorit hay nhờ một công thức nào đó.
Theo [38, tr.85], để rèn luyện cho học sinh cách suy nghĩ về mặt cú pháp,
“… người thầy giáo cần tập luyện cho học sinh không chỉ quan tâm tới những
phương trình trực tiếp có dạng trên mà còn tận dụng những cơ hội giải những
phương trình có thể đưa về các dạng trên nhờ những phép biến đổi thực hiện trên
dãy kí hiệu biểu thị phương trình. Trong những trường hợp này, người thầy giáo
nên yêu cầu họ xét cấu trúc của dãy kí hiệu biểu thị phương trình để đề xuất những
(1) Phần này viết chủ yếu dựa theo [38].
8
phép biến đổi thích hợp và xác định mục tiêu biến đổi là đưa phương trình về dạng
nào […]”.
“Những phép biến đổi thích hợp” ở đây có thể hiểu là : phương pháp đặt ẩn phụ,
phương pháp phân tích thành nhân tử, phương pháp hệ số bất định, v.v… Như thế, việc
giải phương trình bằng các phương pháp đại số cũng có thể xem là một trường hợp của
việc giải nó theo phương diện cú pháp.
2.2. Phương diện ngữ nghĩa
Nhiều công trình nghiên cứu đã vạch rõ rằng trong việc dạy học phương trình, ban đầu
cần chú trọng chủ yếu là phương diện ngữ nghĩa, càng về sau càng tăng cường thêm những
yếu tố về mặt cú pháp nhưng không bao giờ được lãng quên mặt ngữ nghĩa.
“… để chống lại việc nắm kiến thức một cách hình thức và máy móc, thỉnh thoảng
cũng nên quay lại phương diện ngữ nghĩa của những quy tắc, chẳng hạn yêu cầu
học sinh giải thích cơ sở của những quy tắc đó.” [38, tr.83]
“… ngay cả khi học sinh đã học những phép biến đổi phương trình, nhiều công
thức và thuật giải để giải nhiều dạng phương trình, người thầy giáo cũng không
được sao lãng phương diện ngữ nghĩa, trái lại cần khéo léo kết hợp cả hai phương
diện ngữ nghĩa và cú pháp.” [38, tr.85 - tr.86]
Một trong những cách giúp học sinh quan tâm đến phương diện ngữ nghĩa chính là giải
phương trình bằng đồ thị.
“… theo chương trình hiện hành, ta cần chú ý yêu cầu học sinh giải phương trình
và hệ phương trình bằng đồ thị. Nhờ vậy họ sẽ được tập luyện xác định giá trị ra
khi cho biết giá trị vào, xác định giá trị vào khi cho biết giá trị ra đối với tập hợp
số thực và tập hợp điểm trên mặt phẳng.” [38, tr.139]
Nhận định về phương pháp đồ thị, tác giả Phan Huy Khải cho rằng :
“Phương pháp này dựa trên những yếu tố hình học, đồ thị của hàm số tiềm ẩn trong
các bài toán đưa ra (nhưng nhìn chung, chúng không được thể hiện một cách tường
minh, hoặc phải sau các phép biến đổi mới phát hiện ra chúng) …” [35, tr.3]
Tất nhiên, cũng như các phương pháp giải khác, phương pháp đồ thị không phải là
thích hợp cho mọi phương trình, bất phương trình chứa tham số, nhưng đặc điểm của
phương pháp này là một khi đã có một cách nhìn “hình học” thì lời giải của bài toán sẽ đơn
giản, sáng sủa hơn.
Một cách khác giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn phương diện ngữ nghĩa chính là nhận
biết được mối liên hệ giữa phương trình và hàm số.
“… cần tận dụng những cơ hội thích hợp cho học sinh giải phương trình […] dựa
vào việc khảo sát hàm số.” [38, tr.139]
9
Trên đây là hai trong số những cách giúp học sinh rèn luyện tư duy ngữ nghĩa khi giải
phương trình. Hai cách đó có thể được gọi chung là phương pháp giải tích.
Tóm lại, trong dạy – học phương trình, cần chú trọng thích đáng cả phương diện ngữ
nghĩa lẫn phương diện cú pháp và giải quyết một cách hợp lí mối quan hệ giữa hai phương
diện đó.
“Việc chú trọng về phương diện ngữ nghĩa sẽ làm cho học sinh hiểu về phương
trình một cách sâu sắc, khắc phục được những hiểu biết hình thức và máy móc. Mặt
khác, việc chú trọng về phương diện cú pháp sẽ góp phần rèn luyện cho học sinh kĩ
năng và kĩ xảo trong việc giải phương trình.” [38, tr.87]
10
Phụ lục 4
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP ĐỂ
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
(Các nội dung dưới đây được viết dựa theo [13] và [31].)
Xét hệ phương trình tuyến tính :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
....
.............
....
....
2211
22222121
11212111
(1)
Đặt ( )
njiij
aA
,1, == là ma trận hệ số, B nR∈ là vectơ hệ số tự do cho trước, X nR∈ là
vectơ cột phải tìm, thì hệ (1) viết được ở dạng :
AX = B (2)
1. PHƯƠNG PHÁP CHOLESKY (PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ)
Xét lại hệ phương trình : AX = B
Giả sử ma trận A có thể biểu diễn được ở dạng :
A = BC (3)
trong đó
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
nnnn bbb
bb
b
B
"
""""
"
"
21
2221
11
0
00
là ma trận tam giác dưới, còn C là ma trận tam giác trên :
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
=
nn
n
n
n
c
c
cc
ccc
C
"
""""
"
"
"
00
00
0
3
222
11211
Khi đó có : B = AX = BCX = BY với Y = CX
11
Vậy hệ (2) được phân rã thành 2 hệ dạng tam giác sau đây :
⎩⎨
⎧
=
=
YCX
BBY
Vấn đề giải hệ trên rất đơn giản, đầu tiên là giải hệ :
BY = B
Và sau đó với Y vừa tìm được, ta giải hệ :
CX = Y
Có thể thấy rằng, nếu như ta có :
11 12 1
21 22 211 12
11
21 22
1 2
0, 0,...., 0
n
n
n n nn
a a a
a a aa a
a
a a
a a a
≠ ≠ ≠
"
"
" " " "
"
thì ma trận A luôn có thể biểu diễn được ở dạng (3).
Thật vậy, xét hệ phương trình :
),.....,2,1,(
),min(
1
njiacb ij
ji
k
kjik ==∑
=
(4)
Trong (4) nếu i = j = 1 thì có 111111. acb =
Nếu như đã biết 11c thì sẽ có 11b , từ điều kiện 011 ≠a ta có 0. 1111 ≠cb
Bây giờ xét i = 2, j = 1 và i = 1, j = 2 thì có :
⎩⎨
⎧
=
=
121211
211121
.
.
acb
acb
Vì 011 ≠b , và 011 ≠c nên xác định được 21b , 12c .
Bây giờ xét i = j = 2 thì có :
2222221221 .. acbcb =+
Nếu biết 22c thì từ đó có 22b :
Kiểm tra trực tiếp thấy rằng :
0.0 222222221111
2221
1211 ≠⇒≠= cbcbcb
aa
aa
Quá trình lập luận tiếp tục sẽ xác định được tất cả các ẩn còn lại trong hệ (4)
12
2. PHƯƠNG PHÁP CĂN BẬC HAI
(Phương pháp này là trường hợp riêng của phương pháp Cholesky)
Trong mục này ta xét riêng trường hợp A là ma trận đối xứng (nghĩa là A = A’), khi đó
ta có : A = B.B’ với B là ma trận tam giác dưới, B’ là ma trận chuyển vị của B, còn hệ (2)
được phân rã thành hệ dạng :
⎩⎨
⎧
=
=
YXB
BBY
'
Thực hiện phép nhân B.B’ và đồng nhất các phần tử tương ứng trong đẳng thức :
A = B.B’
thì ta có : ⎪⎩
⎪⎨⎧ <=+++
=+++
)(...
....
2211
22
2
2
1
jiabbbbbb
abbb
ijijiijiji
iiiiii
Giải hệ phương trình trên ta có :
1111 ab =
)1(
11
1
1 >= jb
a
b jj
)1(
1
1
2 nibab
i
k
kiiiii ≤<−= ∑−
=
)(
1
1 ji
b
bba
b
ii
i
k
kjkiij
ij <
−
=
∑−
=
0=ijb khi i > j
Chú ý rằng ta lấy :
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
nnnn bbb
bb
b
B
"
""""
"
"
21
2212
11
0
00
,
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
nn
n
n
b
bb
bbb
B
"
""""
"
"
00
0
' 222
11211
Sau đó với tính chất đặc thù của hệ tam giác trên và hệ tam giác dưới, dùng phép thế
ngược ta sẽ có được nghiệm của hệ phương trình phải tìm, cụ thể là :
)1(1,
1
111
1
1 >⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −== ∑−
=
iybb
b
y
b
b
y
i
k
kkii
ii
i
nn
n
n
n
ik
kiki
ii
i b
y
xnixby
b
x =<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= ∑
+=
),(1
1
Chú ý : Khối lượng tính toán của phương pháp này cỡ 3n phép tính nhân chia.
13
Hệ phương trình AX = B với A là đối xứng thường gặp trong những bài toán xử lý số
liệu bằng phương pháp bình phương tối thiểu.
Ví dụ : Giải hệ phương trình AX = B nhờ phương pháp phân rã trong đó
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
311
152
121
A ,
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
1
1
1
B
Vì 111111 === ab , 21
2
11
12
12 === b
a
b
1
1
1
11
13
13 === b
a
b , 12122222 =−= bab
( ) 1
1
211
131223
22
23 −=−=−= bbabb
( ) 12232133333 =+−= bbab
nên hệ trên đưa về hai hệ sau :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−+
=+
=
1.1)1(.1
1.1.2
1.1
321
21
1
yyy
yy
y
với nghiệm
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=
=
1
1
1
3
2
1
y
y
y
và hệ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=−
=++
1.1
1.1.1
1.1.2.1
3
32
321
x
xx
xxx
với nghiệm
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=
=
1
2
6
3
2
1
x
x
x
3. PHƯƠNG PHÁP TRỰC GIAO
Xét lại hệ phương trình : AX = B với ma trận hệ số A không suy biến.
Viết lại phương trình (2) ở dạng :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=−∑
=
ni
bxa
n
j
ijij
,1
0
1
Kí hiệu ( ) nibaaaa iiniii ,1,,,.....,, 21 =−= , ta có hệ n vectơ { }niia 1= . Nếu thêm vectơ
)1,0,....,0(1 =+ia thì có hệ ( n + 1 ) véctơ { } 11+=niia trong đó 1,1,1 +=∀∈ + niRa ni .
Xét quá trình trực giao hóa Hilbert-Schmidt cho hệ { } 11+=niia , ta thu được :
14
( )
)6(
)1(,...,2,,,
,
1
1
1
1
111
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==−=
==
∑−
=
nk
u
u
vvvaau
u
u
vau
k
k
k
k
i
iikkk
Bây giờ xét ),....,,( 1211 ++ = nn tttu . Giả sử 01 =+nt , theo tính chất dãy { } 11+=niiu rút ra 1+nu
trực giao với mọi vectơ , 1, ia i n= ; vậy ta có :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=∑
=
ni
ta
n
j
jij
,1
0
1 (7)
Mặt khác, theo giả thiết A là ma trận không suy biến nên từ (7) rút ra
0...21 ==== nttt , vậy có )0,....,0,0(1 =+nu , vô lý, nghĩa là 01 ≠+nt
Vì 1+nu trực giao với mọi ( )niai ,1= ; nên có :
( )
⎩⎨
⎧
=
=+
ni
au in
,1
0,1
hay khai triển ra ta có :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=−∑
=
+
ni
tbta
n
j
nijij
,1
0
1
1
Chú ý rằng 01 ≠+nt , nên : ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛∑
= +
ni
b
t
t
a
n
j
i
n
j
ij
,1
1 1 (8)
Hệ thức (8) chứng tỏ rằng njjxx 1)( == với njt
t
x
n
j
j ,1,
1
==
+
, là nghiệm của hệ phương
trình (1).
Nhận xét : Phương pháp trực giao hoá tương đối đơn giản, dễ lập trình trên máy tính,
khối lượng tính toán ít (cỡ 3n phép tính).
4. PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN
Trong nR , người ta thường xét ba chuẩn quen thuộc sau :
ini
xx
≤≤∞
=
1
max
∑
=
=
n
i
ixx
1
1
15
2
1
1
2
2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑
=
n
i
ixx
Khi đó với ma trận ( ) nxn
njiij
RaA ∈= = ,1, sẽ có các chuẩn tương ứng :
∑
=≤≤∞
=
n
j
jini
aA
11
max
∑
=≤≤
=
n
i
ijnj
aA
11
1
max
12 λ=A ( 1λ là giá trị riêng lớn nhất của ma trận A’.A ).
Để giải hệ phương trình AX = B (2) nhờ phương pháp lặp đơn, người ta biến đổi (2) về
dạng :
X = BX + G ( 10)
Sau đó với nRx ∈)0( , ta thiết lập dãy { }kkx )( bằng cách đặt :
⎩⎨
⎧
≥
+=+
0
)()1(
k
GBXX kk
(11)
Với một số điều kiện về ma trận B, dãy { }kkx )( hội tụ đến nghiệm *x của hệ (2).
Phương pháp lặp xác lặp theo hệ thức (11) để giải hệ phương trình (2) được gọi là
phương pháp lặp đơn.
Các định lí cơ bản
Định lí 1
Nếu 1<B thì với mọi nRx ∈)0( , dãy { }kkx )( xác định bởi (11) hội tụ đến nghiệm duy
nhất *x của hệ phương trình (2), hơn nữa ta có :
)0()1(*)(
1
xx
B
B
xx
k
k −−≤− .
Chứng minh
Xét toán tử nn RRT →: được xác định bởi TX = BX + G. Khi ấy
nRXXXXBTXTX ∈∀−≤− ',,'' , điều này chứng tỏ rằng T là toán tử co, áp dụng
nguyên lí ánh xạ co ta có điều phải chứng minh.
Chú ý
1) Trong không gian nR thì mọi chuẩn là tương đương cho nên nếu phép lặp (11) hội
tụ với một chuẩn nào đó thì nó cũng hội tụ với các chuẩn khác.
16
2) Vấn đề đưa hệ phương trình (2) về dạng (10) với ma trận B thỏa mãn điều kiện
1<B là không tầm thường. Nói chung, với mỗi ma trận A cụ thể phải có một kĩ thuật
tương ứng kèm theo. Định lí dưới đây cho ta một vài trường hợp điển hình.
Định lí 2
Giả sử ma trận ( )
njiij
aA
,1, == thỏa mãn một trong hai điều kiện sau :
a) niaa ii
n
ji
ij ,1,
1
=∀<∑
=≠
b) njaa jj
n
ij
ij ,1,
1
=∀<∑
=≠
Khi đó luôn có thể đưa được hệ phương trình (2) về dạng (10) với điều kiện 1<B .
Chứng minh
a. Giả sử điều kiện a) được thỏa mãn, khi đó ta viết lại (2) ở dạng :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=+ ∑
=≠
ni
bxaxa i
n
ji
jijiii
,1
1
Từ đó có :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−= ∑
=≠
ni
a
b
x
a
a
x
ii
i
n
ji
j
ii
ij
i
,1
1
Vậy ta đã đưa hệ (2) về hệ phương trình tương đương với nó, ở đó :
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−−−
−−−
=
0
0
0
321
22
2
22
23
22
21
11
1
11
13
11
12
"
"""""
"
"
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
B ,
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
=
nn
n
a
b
a
b
a
b
G
#
22
2
11
1
Từ điều kiện a) rút ra rằng :
1max
11
<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= ∑
=≠≤≤∞
n
ii ii
ij
nj a
a
B
b. Giả sử điều kiện b) được thỏa mãn ta viết lại hệ phương trình (2) ở dạng :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=+ ∑
=≠
ni
bxaxa i
n
ji
jijiii
,1
1
Đặt iiii xaz = thì có hệ :
17
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−= ∑
=≠
ni
bz
a
a
z i
n
ji
j
jj
ij
i
,1
1
Vậy ta có hệ phương trình : Z = BZ + b (12)
Ở đó :
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−−−
−−−
=
0
0
0
33
3
22
2
11
1
2
33
23
11
21
1
33
13
22
12
"
"""""
"
"
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
B
nnn
nn
n
nn
n
,
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
nb
b
b
b #
2
1
Từ điều kiện ta có :
1max
11
1
<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= ∑
=≠≤≤
n
ij jj
ij
nj a
a
B
Tóm lại, ta có hệ phương trình : Z = BZ + b với 1
1
<B
Chú ý rằng nếu ( )**1* ,...., nzzZ = là nghiệm của hệ (12) thì ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
nn
n
a
z
a
z
a
z
X
*
22
*
2
11
*
1* ,....,, là
nghiệm của hệ phương trình (2).
Ví dụ : Giải hệ phương trình sau đây bằng phương pháp lặp đơn :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=++
=++
810
12210
10210
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Dễ thấy hệ phương trình này thỏa mãn điều kiện a) ở trong định lí 3.6.2. Ta đưa hệ về
dạng :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−−=
+−−=
+−−=
8,01,01,0
2,12,01,0
11,02,0
213
312
321
xxx
xxx
xxx
Với xấp xỉ ban đầu )0,0,0()0( =x , ta thu đuợc kết quả thể hiện qua bảng sau đây :
k
1x 2x 3x
1 1 1,2 0,8
2 0,68 0,94 0,58
3 0,754 1,016 0,638
4 0,733 0,997 0,623
18
5 0,7383 1,0021 0,6270
6 0,73688 1,00077 0,62596
7 0,737250 1,00112 0,626235
Có thể thấy nghiệm đúng của hệ này là :
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
955
598;
955
956;
955
707*X và )7(X là tương đối chính xác.
5. PHƯƠNG PHÁP SEIDEL
Trong mục này ta tiếp tục nghiên cứu vấn đề giải hệ phương trình AX = B (2).
Giả sử hệ (2) được đưa về dạng : X = BX + G (13)
Giả sử rằng đã có các xấp xỉ )0(x , )1(x , …., )1( −kx thì lúc đó ( ))()(2)(1)( ,....,, knkkk xxxx =
được xác định bởi :
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
=
++=
+=
∑∑
∑
=
−−
=
=
−
ni
gxbxbx
gxbx
i
n
ij
k
jij
i
j
k
jij
k
i
n
j
k
jj
k
,2
)1(
1
1
)()(
1
1
)1(
1
)(
1
(14)
Dãy { })(kx xây dựng theo hệ thức (14) để giải hệ phương trình (2) được gọi là dãy xấp
xỉ xây dựng theo thuật toán Seidel hoặc theo phương pháp Seidel.
Định lí : Nếu 1max
11
<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= ∑
=≤≤∞
n
j
ijni
bB thì dãy { })(kx xây dựng bởi hệ thức (14) hội tụ
đến nghiệm duy nhất của hệ phương trình (2).
Chứng minh
Theo định lí 3.6.1 thì hệ phương trình (2) có nghiệm duy nhất *x , nghĩa là :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==∑
=
ni
gxbx i
n
j
jiji
,1
1
**
(15)
Lấy (14) trừ đi (15) từng phương trình ta thu được :
( ) ( )∑∑
=
=
=
++ −+−=−
n
ij
j
k
jij
i
j
j
k
jiji
k
i xxbxxbxx
*)(
1
1
*)1(*)1(
Từ đó ta có :
19
*)(*)1(
1
1
*)1(
j
k
j
n
ij
ijj
k
j
i
j
iji
k
i xxbxxbxx −+−=− ∑∑
=
+=
=
+ (16)
Ta đặt : i
i
j
ijb β=∑−
=
1
1
, i
n
ij
ijb γ=∑
=
, chú ý đến ini xx ≤≤∞ = 1max , ta có :
∞∞
++ −+−≤− *)(*)1(*)1( xxxxxx kikiiki γβ (17)
Gọi 0i là chỉ số mà :
∞
++
≤≤
+ −=−=− *)1(*)1(
1
*)1( max
00
xxxxxx ki
k
inii
k
i .
Từ (6) ta thu được :
∞∞
+
∞
+ −+−≤− *)(*)1(*)1(
00
xxxxxx ki
k
i
k γβ .
Vậy : ( ) ∞∞+ −−≤− *)(*)1(
0
0
1
xxxx k
i
ik
β
γ
Đặt ( )
0
0
1
max
i
iv β
γ
−= thì sẽ có :
∞∞
+ −≤− *)(*)1( xxvxx kk (18)
Mặt khác dễ thấy : ( ) ( ) 01 ≥−−+ i
i
ii β
γγβ , từ đó có :
( ) vB iii ≥+=∞ γβmax , nên v < 1, do đó hệ thức (7) dẫn đến *)(lim xx kk =∞→ , nghĩa là
dãy { })(kx xây dựng theo phương pháp Seidel hội tụ đến nghiệm duy nhất *x .
Nhận xét
1) Tốc độ hội tụ của phương pháp lặp đơn đối với hệ phương trình (2) là :
*)(*)1( . xxBxx kk −≤−+
Mặt khác, tốc độ hội tụ của phương pháp Seidel là :
*)(*)1( . xxvxx kk −≤−+ với Bv <
2) Nếu viết lại hệ (2) ở dạng : GXBBX ++= )( 21 , trong đó :
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
B
"
""""
"
"
21
22221
11211
,
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
0
00
000
21
21
1
"
""""
"
"
nn bb
b
B ,
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
nn
n
n
b
bb
bbb
B
"
""""
"
"
00
0 222
11211
2
thì có thể viết (14) dưới dạng sau đây :
GBEXBBEX kk 11
)(
2
2
1
)1( )()( −−+ −+−=
20
Như vậy phương pháp Seidel cũng là phương pháp lập đơn được áp dụng cho hệ
phương trình khác.
Ví dụ : Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=−+
=+−
361236
33124
20238
321
321
321
xxx
xxx
xxx
với xấp xỉ ban đầu )0,0,0()0( =x
Các tính toán cho bởi bảng sau :
k )(
1
kx )(2
kx )(3
kx
0 0 0 0
1 2,5 2,1 1,2
2 2,988 2,023 1,000
3 3,0086 1,9969 0,9965
4 2,99971 1,9979 1,00020
5 2,999871 2,00065 1,000048
Chú ý rằng nghiệm đúng của hệ là )1,2,3(* =x , từ đó ta thấy trong trường hợp này,
phương pháp Seidel hội tụ tương đối nhanh.
21
Phụ lục 5
PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN GIÁO VIÊN
Thưa quý Thầy Cô,
Chúng tôi đang tiến hành một nghiên cứu nhỏ mà để hoàn thành xin được tham
khảo ý kiến của quý Thầy Cô. Mong Thầy Cô giúp chúng tôi trả lời các câu hỏi dưới
đây hoặc đánh dấu chéo vào câu mà Thầy cô muốn chọn.
Xin chân thành cám ơn.
Câu 1
Thầy Cô nghĩ gì nếu trong tương lai, Bộ Giáo dục và Đào tạo quyết định loại bỏ các
chủ đề phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có chứa tham số ra khỏi
chương trình toán ở bậc trung học phổ thông?
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
Câu 2
Bài toán sau dành cho học sinh lớp 10 :
An và Bình cùng giải và biện luận hệ phương trình sau bằng quy tắc
Cramer (định thức cấp hai) :
(*)
2
2
( 1) ( 1) 0
( 1) (1 ) 1
m x m y
m m x m y
⎧ − + − =⎪⎨ − + − =⎪⎩
(m là tham số)
nhưng khi tìm được giá trị của m sao cho D = Dx = Dy = 0, mỗi bạn lại đưa
ra kết luận trong trường hợp này như sau :
An : “Hệ (*) có vô số nghiệm.”
Bình : “Hệ (*) vô nghiệm.”
Theo em, bạn nào có lý? Giải thích sự lựa chọn của em.
22
Dưới đây là lời giải thích của hai em học sinh.
Lời giải A
Ta có :
D =
2
2
1 1
( 1) 1
m m
m m m
− −
− − = m
4 – 1
Dx =
2
2
0 1
1 1
m
m
−
− = m
2 – 1
Dy =
1 0
( 1) 1
m
m m
−
− = m – 1
Bạn Bình nói đúng vì với D = Dx = Dy = 0 thì m = 1. Thế m = 1 vào hệ
phương trình (*), ta được :
0 0
0 1
=⎧⎨ =⎩ (Vô lý). Vậy trong trường hợp này, hệ
phương trình đã cho vô nghiệm.
Lời giải B
Trước tiên, ta xét :
(m – 1)2 + (m2 – 1)2 = (m – 1)2 [1 + (m + 1)2] khác 0 khi m ≠ 1.
[m(m – 1)]2 + (1 – m2 )2 = (m – 1)2 [m2 + (m + 1)2] khác 0 khi m ≠ 1.
Tiếp theo, ta tính các định thức D, Dx, Dy (tính như trên).
Khi D = Dx = Dy = 0, suy ra m = 1 : mâu thuẫn với điều kiện m ≠ 1.
Do đó, trong trường hợp này, hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Vậy bạn Bình nói đúng.
Với hai lời giải trên đây, Thầy Cô mong đợi lời giải nào nhất? Xin vui lòng cho biết lí
do?
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
23
Câu 3
Cho bài toán :
Hãy giải hệ phương trình sau bằng nhiều phương pháp khác nhau.
2 1
mx y m
x y
+ =⎧⎨ + =⎩
Theo Thầy Cô, học sinh lớp 10 có biết giải và biện luận hệ phương trình trên bằng
nhiều phương pháp khác nhau hay không?
Nếu có thì những phương pháp nào có khả năng được học sinh sử dụng?
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
Câu 4
Sau khi giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng định thức (quy tắc
Cramer), Thầy Cô có yêu cầu học sinh nhìn lại mối liên hệ giữa vị trí tương đối của hai
đường thẳng với các trường hợp biện luận theo ba định thức D, Dx, Dy trong quy tắc
Cramer hay không?
a) Thường xuyên
b) Ít khi
c) Chưa bao giờ
Xin Thầy Cô vui lòng cho biết lí do vì sao.
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
24
Phụ lục 6
BỘ CÂU HỎI ĐIỀU TRA DÀNH CHO HỌC SINH
Trường : .................................................
Lớp : ..........
Họ và tên : ...............................................
) Lưu ý : Học sinh làm bài ngay trên giấy đã phát và không được dùng bút xóa.
Bài 1 (làm việc cá nhân)
Lời giải
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) tùy theo giá trị của
tham số m :
(d1) : ( 1)mx m y m+ − =
(d2) : ( 1) ( 1) 2m x m y m+ + + =
25
Bài 2 (làm việc theo nhóm)
Lời giải
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
Hãy giải hệ phương trình sau bằng nhiều phương pháp khác nhau.
1
2
( )
2 1 ( )
mx y m d
x y d
⎧⎨⎩
+ =
+ =
Nhóm thắng cuộc là nhóm có nhiều phương pháp giải nhất.
26
Bài 3 (làm việc cá nhân)
Lời giải
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
An và Bình cùng giải và biện luận hệ phương trình sau bằng quy tắc
Cramer (định thức cấp hai) :
(*)
2
2
( 1) ( 1) 0
( 1) (1 ) 1
m x m y
m m x m y
⎧ − + − =⎪⎨ − + − =⎪⎩
(m là tham số)
nhưng khi tìm được giá trị của m sao cho D = Dx = Dy = 0, mỗi bạn lại
đưa ra kết luận trong trường hợp này như sau :
An : “Hệ (*) có vô số nghiệm.”
Bình : “Hệ (*) vô nghiệm.”
Theo em, bạn nào có lý? Giải thích sự lựa chọn của em.
27
Phụ lục 7
MỘT SỐ BÀI LÀM CỦA HỌC SINH
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- 13856824LuanVanTrang.pdf