Luận văn Đánh giá pháp biến hình á bảo giác thuận và ngược miền ngoài đường tròn bị cắt những đoạn thẳng theo bán kính

(1) Dieän tích ngoaøi cuûa taäp ñoùng bò chaën D laø caän döôùi ñuùng cuûa dieän tích caùc ña giaùc chöùa D. 9 • { }minj jc c ξ ξ σ= = ∈ ( )1,2,...,j p= • { }maxj jd d ξ ξ σ= = ∈ ( )1,2,...,j p= Vôùi mieàn B •   ( )1 1s s h= : dieän tích ngoaøi cuûa taäp ñoùng do bieân 1C cuûa ( )B h E= , h H∈ . •  ( )js s h=ɶ : dieän tích ngoaøi cuûa taäp ñoùng giôùi haïn bôûi thaønh phaàn bieân jσ ( )1,2,...,j p= cuûa ( )B h E= , h H∈ . • ( )  ( ) { }minj jc c h c h w w σ= = = ∈ɶ ɶ ( )1,2,...,j p= , h H∈ . • ( )  ( ) { }maxj jd d h d h w w σ= = = ∈ɶ ɶ ( )1,2,...,j p= , h H∈ . Vôùi 1 r , ( )rγ − laø thaønh phaàn bieân ngoaøi cuûa ( )1E r vaø ( )rγ + laø thaønh phaàn bieân trong cuøng (gaàn goác toïa ñoä nhaát) cuûa ( )2E r . Roõ raøng neáu ñöôøng troøn z r= khoâng coù ñieåm chung vôùi caùc nhaùt caét jL ( )1,2,...,j p= , töùc 01 r c< < hoaëc 0d r< < +∞ thì ( ) ( ) ( )r r rγ γ γ − += = vaø ñoù chính laø ñöôøng troøn z r= . Goïi ( ),r hγ −∼ vaø ( ),r hγ +∼ laø caùc taäp ñieåm cuûa maët phaúng w laàn löôït töông öùng vôùi ( )rγ − vaø ( )rγ + bôûi h H∈ , töùc thoûa ( )h ∞ =∞ . Vôùi h H∈ , ta kí hieäu: • ( ) ( ){ }, min ,m r h w w r hγ −= ∈ ∼ • ( ) ( ){ }, max ,M r h w w r hγ += ∈ ∼ 10 • ( ) ( ) 1 , , lim r K m r h m h r →∞ ′ ∞ = • ( ) ( ) 1 , , lim r K M r h M h r →∞ ′ ∞ = • ( ) ( )* ,, lim Kr m r h m h r→∞ ∞ = • ( ) ( )* ,, lim Kr M r h M h r→∞ ∞ = • ( ),S r h− : dieän tích trong(2) cuûa mieàn chöùa 0w = giôùi haïn bôûi ( ),r hγ −∼ • ( ),S r h+ : dieän tích ngoaøi cuûa cuûa taäp ñoùng giôùi haïn bôûi ( ),r hγ +∼ • ( ) ( ) 2 , , lim r K S r h S h rpi − →∞ ′ ∞ = . Roõ raøng neáu 01 r c< < hoaëc 0d r< < +∞ thì ( ) ( ), ,S r h S r h − += ( ),S r h= , h H∈ , coøn neáu 0 0c r d≤ ≤ thì ( ) ( ), ,S r h S r h ps + −= + ɶ . Thay cho caùc haøm h H∈ caùc kí hieäu töông töï nhö treân cuõng seõ ñöôïc duøng cho caùc haøm g G∈ vaø f F∈ . Hôn nöõa, ( )1,r∀ ∈ +∞ vaø h H∈ ta luoân coù baát ñaúng thöùc ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , , , , .m r h S r h S r h M r h h Hpi pi− +≤ ≤ ≤ ∈ (1.5) Suy ra ( ) ( ) ( )2 2, , , , .m h S h M h h H′ ′ ′∞ ≤ ∞ ≤ ∞ ∈ (1.6) (2) Dieän tích trong cuûa moät mieàn D laø caän treân ñuùng cuûa dieän tích caùc ña giaùc naèm trong D. 11 Boå ñeà 1.1 Neáu f h g=  vôùi h H∈ thì ( ) ( ) ( ) 1 , ,KM f g M h′ ′ ′∞ = ∞ ∞ (1.7) ( ) ( ) ( ) 2 , ,KS f g S h′ ′ ′∞ = ∞ ∞ (1.8) Chöùng minh. Xem [19, tr.13]. ■ Boå ñeà 1.2 (Thao [15], tr.1050) Neáu ( )w h z= laø PBHKABG moät mieàn chöùa z =∞ vôùi ( )h ∞ =∞ vaø ( ), 0M h′ ∞ > . Neáu 1g h−= thì ( ) ( ) 1 *, , KM h m g −′ ∞ = ∞ (1.9) ( ) ( ) 1 *, , Km h M g −′ ∞ = ∞ (1.10) Chöùng minh. Cho R ñuû lôùn, ñaët { }RC z z R= = vaø  ( )R RC h C= . Roõ raøng toàn taïi moät ñieåm 1 Rw C∈ vaø moät ñieåm 1 Rz C∈ sao cho ( ) ( )1 1,M R h w h z r= = = Ñaët { }rL w w r= = vaø  ( )r rL g L= , chuù yù laø  rL naèm ngoaøi hoaëc tieáp xuùc vôùi RC trong 1 z< <∞ , ta coù: ( ) ( )1 1,m r g g w z R= = = Töø ñoù, vì ( ), 0M h′ ∞ > neân ta coù: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 * 1 1 , , , lim lim lim , , K K KR r r K K M R h m r gr M h m g rm r gR − − →∞ →∞ →∞  ′ ∞ = = = = ∞   Töông töï, ta cuõng coù (1.10). ■ 12 1.4 Caùc haøm phuï Caùc haøm soá thöïc ( ) ( ), , , 0 1t T p r s s r= ≤ < < (1.11) ( ) ( ), , , 0 1r R p t s s t= ≤ < < (1.12) vôùi p ∈ ℕ , ñöôïc ñònh nghóa sao cho hình vaønh khaên 1r z< < töông ñöông baûo giaùc vôùi hình vaønh khaên 1s w< < bò caét p nhaùt theo baùn kính ( ) 2 arg 1 , , 1,2,..., .j w w j s w t j p p pi   = = − < < =     ℓ r 1 baûo giaùc s t 1 z w Hình 1.2: Haøm phuï ( ), ,T p r s vôùi = 2p . Do tính ñôn ñieäu cuûa moâñun mieàn nhò lieân (xem heä quaû 2.3) neân ta coù moät soá tính chaát veà söï ñôn ñieäu theo töøng bieán cuûa ( ), ,T p r s vaø ( ), ,R p t s : ( ) ( ), , 1, 0 1r T p r s s r< < ≤ < < (1.13) ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , , , 0 1T p r s T p r s s s r> ≤ < < < (1.14) ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , , , 0 1T p r s T p r s s r r< ≤ < < < (1.15) 13 ( ) ( ) ( ), , 1, , , 0 1, 2T p r s T r s s r p< ≤ < < ≥ (1.16) ( ) ( ), , , 0 1s R p t s t s t< < ≤ < < (1.17) ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , , , 0 1R p t s R p t s s t t< ≤ < < < (1.18) ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , , , 0 1R p t s R p t s s s t< ≤ < < < (1.19) ( ) ( ) ( ), , 1, , , 0 1, 2R p t s R t s s t p> ≤ < < ≥ (1.20) Töø caùc coâng thöùc ôû [9, tr.295], Thao [10, tr.101-104], tìm ñöôïc bieåu thöùc giaûi tích cuûa haøm ( ), ,R p t s : ( ) ( ) ( ) ( ), , 0 exp , 0 1, 2 p p K t R p t t p pK t pi ′ − = < < ∈     ℕ (1.21) vôùi ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 2 2 20 , 1 1 1 dx K k K k K k x k x ′= = − − − ∫ . Khi 0 1,s t p< < < ∈ ℕ , ta ñöôïc ( ) ( ) ( ) , , exp 2 K u R p t s pK u pi ′−  =      (1.22) trong ñoù ( )1 2u h h h= + − + , vôùi ( )( ) ( ) 4 4 2 1 1 1 1 , 4 , 1 1 pj p pj p j k ak s h k s k a s ∞ − =  − − + = =  + + ∏ ( ) ( ) 2 ln , , , i pK k t a sn b k b K k spi  = + =   ôû ñaây, ( ),sn z k chæ haøm sin eliptic vôùi tham soá k. Trong nhöõng tröôøng hôïp giôùi haïn, ta ñöôïc: ( ) 1 , , 0 4 pR p t t − ≈ khi 0t → (1.23) 14 ( ) ( ) 2 1 , , 0 8 2 ln 1 R p t p p t pi − ≈ − khi 1t → (1.24) Thao [10, tr.102-105] cuõng tìm ñöôïc bieåu thöùc giaûi tích cuûa haøm ( ), ,T p r s : ( ) ( ) 4 1 4 4 2 1 1 , , 0 4 , 0 1, 1 pj p p pj p j r T p r r r p r ∞ − =  + = < < ∈  + ∏ ℕ (1.25) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 2 20 , , exp 2 1 1 i dx T p r s s pK k x k x pi    − =   − −    ∫ (1.26) vôùi 0 1,s r p< < < ∈ ℕ , ( )K k vaø k xaùc ñònh nhö treân, ( ) ( ) 42 4 4 2 1 11 1 , , 4 2 1 1 pj p pj p j k hm r a m h r k m h k r ∞ − =  −− + = = =  + − + ∏ Töø bieåu thöùc ( ), , 0T p r , ta ñöôïc ( ) ( ) 1 , , 0 4 , 0 1, .pT p r r r p< < < ∈ ℕ (1.27) Keát hôïp vôùi (1.13), (1.14), ta coù: ( ) 1 , , 4 ,pr T p r s r< < (1.28) töø ñoù suy ra ( ) ( )lim , , , 0 1 . p T p r s r s r →∞ = ≤ < < (1.29) Maët khaùc, töø (1.27), ta coù: ( ) ( ) 1 , , 0 4 , 0 1,pR p t t t p − > < < ∈ ℕ (1.30) keát hôïp (1.17), (1.19), ta ñöôïc 15 ( ) 1 4 , , ,p t R p t s t − < < (1.31) töø ñoù suy ra ( ) ( )lim , , , 0 1 . p R p t s t s t →∞ = ≤ < < (1.32) Hôn nöõa, ta nhaän ñöôïc töø (1.23), (1.24) ( ) 1 , , 0 4pT p r r≈ khi 0r → , (1.33) ( ) ( ) 28 1 , , 0 exp 2 1 T p r p p r pi  − − ≈   −   khi 1r → . (1.34) 16 Chöông 2 COÂNG CUÏ 2.1 Ñònh nghóa pheùp bieán hình baûo giaùc Moät pheùp bieán hình moät – moät ( ) ( ) ( ), ,w f z u x y iv x y= = + mieàn A cuûa maët phaúng z leân mieàn B cuûa maët phaúng w ñöôïc goïi laø baûo giaùc trong A neáu toàn taïi moïi ñieåm 0z A∈ coù hai tính chaát: a) Baûo toaøn goùc giöõa hai ñöôøng cong baát kyø qua 0z keå caû chieàu quay. b) Coù heä soá co giaõn khoâng ñoåi theo moïi höôùng taïi 0z , töùc laø lim 0 z w a z→∞ = > △ △ △ 2.2 Baát ñaúng thöùc Carleman vaø caùc heä quaû Boå ñeà 2.1 (Baát ñaúng thöùc Carleman) Giaû söû ( )w f z= bieán baûo giaùc ñôn dieäp hình vaønh khaên ( ) ( )0 r z R< < < <∞ leân mieàn nhò lieân D khoâng chöùa ñieåm ∞ vôùi bieân trong 1C vaø bieân ngoaøi 2C sao cho 17 z R= töông öùng 2C . Goïi S laø dieän tích trong cuûa taäp môû do 2C bao boïc, s laø dieän tích ngoaøi cuûa taâïp ñoùng do 1C bao boïc. Khi ñoù, ta coù: 2 R S s r  ≥    (2.1) Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi ( )f z az b= + vôùi a, b laø haèng soá vaø 0a ≠ . Chöùng minh.Xem Carlerman [4, tr.212] hoaëc Löông [17, tr.6-8]. ■ Heä quaû 2.1 (Ñònh nghóa moâñun mieàn nhò lieân) Giaû söû 1 2,f f laàn löôït bieán baûo giaùc ñôn dieäp mieàn nhò lieân D leân caùc hình vaønh khaên { }1 1 1 1 1V w r w R= < < vaø { }2 2 2 2 2V w r w R= < < . Khi ñoù 1 2 1 2 R R r r = (2.2) Tæ soá naøy ñöôïc goïi laø moâñun mieàn nhò lieân D, kí hieäu laø ( )mod D . Chöùng minh. PBHBG 11 2f f −  hình vaønh khaên 2V leân 1V . Trong khi ñoù, PBHBG 12 1f f −  hình vaønh khaên 1V leân 2V . Theo boå ñeà 2.1, ta laàn löôït coù: 2 2 2 1 2 1 R R r r       ≥        vaø 2 2 1 2 1 2 R R r r       ≥        , suy ra ñaúng thöùc (2.2). ■ 18 Heä quaû 2.2 (Tính baát bieán cuûa moâñun mieàn nhò lieân) Neáu mieàn nhò lieân A coù caùc thaønh phaàn bieân khoâng thoaùi hoùa thaønh moät ñieåm ñöôïc bieán baûo giaùc ñôn dieäp leân mieàn nhò lieân B thì ( ) ( )mod modA B= (2.3) Chöùng minh. Goïi f laø PBHBG ñôn dieäp mieàn A leân mieàn B. Xeùt hai PBHBG g mieàn A leân hình vaønh khaên { }1 1 1A s r s R= < < vaø h mieàn B leân hình vaønh khaên { }2 2 2A t r t R= < < . Töø heä quaû 2.1, ta suy ra ( ) 1 1 mod R A r = vaø ( ) 2 2 mod R B r = . Goïi h fϕ =  thì ϕ laø PBHBG ñôn dieäp mieàn A leân mieàn 2A . Khi ñoù, theo heä quaû 2.1, ta coù 1 2 1 2 R R r r = , töùc (2.3). ■ Heä quaû 2.3 (Tính ñôn ñieäu cuûa moâñun mieàn nhò lieân) Trong maët phaúng z cho hai mieàn nhò lieân 1 2,D D vôùi moâñun töông öùng laø 1 1 R r vaø 2 2 R r . Giaû söû 1 2D D⊆ vaø 1D ngaên caùch hai thaønh phaàn bieân cuûa 2D . Khi ñoù 1 2 1 2 R R r r ≤ (2.4) Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi 1 2D D= . 19 Chöùng minh. Giaû söû f laø PBHBG 2D leân hình vaønh khaên 2 2r w R< < . Mieàn nhò lieân 1D qua f trôû thaønh mieàn nhò lieân 1D vôùi bieân trong 1C vaø bieân ngoaøi 2C , trong ñoù 1C bao quanh hoaëc truøng ñöôøng troøn 2w r= , coøn ñöôøng troøn 2w R= bao quanh hoaëc truøng vôùi  2C . Goïi S laø dieän tích trong cuûa taäp môû do 2C bao boïc vaø s laø dieän tích ngoaøi cuûa taäp ñoùng do 1C bao boïc. Töø tính baát bieán cuûa moâñun mieàn nhò lieân, ta suy ra ( ) 11 1 mod R D r = . Theo boå ñeà 2.1, ta coù: 2 1 1 S R s r   ≥     trong ñoù, theo boå ñeà 2.1, ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi 1D laø hình vaønh khaên. Maët khaùc, ta luoân coù 22S Rpi≤ vaø 2 2s rpi≥ . Vaäy, ta ñöôïc 2 2 2 1 2 1 R S R r s r       ≥ ≥        . Ñaúng thöùc ôû (2.4) xaûy ra khi vaø chæ khi 2 2 2 1 2 1 R S R r s r       = =        , töùc 1D chính laø hình vaønh khaên 2 2r w R< < hay 1 2D D= . ■ 20 2.3 Ñònh nghóa pheùp bieán hình K – aù baûo giaùc PBHKABG ñöôïc ñònh nghóa bôûi nhieàu caùch, trong ñoù ñònh nghóa hình hoïc döôùi ñaây laø toång quaùt nhaát. Moät song aùnh lieân tuïc hai chieàu ( )w f z= töø mieàn A leân mieàn B, baûo toaøn chieàu döông treân bieân, ñöôïc goïi laø moät PBHKABG neáu toàn taïi moät soá 1K ≥ sao cho moâñun m cuûa töù giaùc cong V (töùc tæ leä giöõa hai caïnh hình chöõ nhaät töông ñöông baûo giaùc vôùi töù giaùc cong) baát kyø trong A vaø moâñun m cuûa  ( )V f V= luoân thoûa  m m Km K ≤ ≤ (2.5) hoaëc Baát kyø mieàn mieàn nhò lieân D naøo trong A coù moâñun M (töùc tæ leä giöõa baùn kính lôùn vaø baùn kính nhoû cuûa hình vaønh khaên töông ñöông baûo giaùc vôùi D) thì moâñun M cuûa  ( )D f D= thoûa  1 KKM M M≤ ≤ (2.6) PBHKABG coù moät soá tính chaát cô baûn sau: a) Neáu 1K = thì PBHKABG trôû thaønh PBHBG. b) Hôïp cuûa 1PBHK ABG vaø 2PBHK ABG laø ( )1 2PBH K K ABG , ñaëc bieät hôïp cuûa PBHBG vôùi PBHKABG laø PBHKABG. c) Pheùp bieán hình ngöôïc cuûa PBHKABG cuõng laø PBHKABG. Veà caùc tröôøng hôïp xaûy ra ñaúng thöùc trong (2.5) vaø (2.6), Grotzschɺɺ ([7], tr.505) ñaõ chæ ra: 21 • Neáu ( ) ( ) ( ), ,f z u x y iv x y= + laø PBHKABG hình chöõ nhaät { }0 ,0 1V x iy x m y= + < < < < leân hình chöõ nhaät  { }0 , 0 1V u iv u m v= + < < < < sao cho caùc ñænh töông öùng nhau thì  u Kx m Km v y  == ⇔  = (2.7)  x um Km K v y  == ⇔  = (2.8) • Neáu ( )w f z= laø PBHKABG hình vaønh khaên { }1D z z M= < < leân hình vaønh khaên  { }1D w w M= < < sao cho 1z = töông öùng 1w = thì  ( ) 1 , 1,K KM M f z a z z a−= ⇔ = = (2.9)  ( ) 1 1 1 , 1.KKM M f z a z z a − = ⇔ = = (2.10) 2.4 Môû roäng baát ñaúng thöùc Carleman Boå ñeà 2.2 (Môû roäng baát ñaúng thöùc Carleman cho PBHKABG) Giaû söû ( )w f z= laø PBHKABG moät hình vaønh khaên ( ) ( )0 r z R< < < <∞ leân moät mieàn nhò lieân D naèm trong maët 22 phaúng w, khoâng chöùa ñieåm ∞ vôùi bieân trong 1C vaø bieân ngoaøi 2C sao cho z R= töông öùng vôùi 2C . Goïi S laø dieän tích trong cuûa mieàn do 2C bao boïc, s laø dieän tích ngoaøi cuûa taäp môû do 1C bao boïc. Khi ñoù 2 KR S s r  ≥    (2.11) Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi ( ) 1 1 Kf z a z z b−= + vôùi 0a ≠ . Chöùng minh. Toàn taïi PBHBG ( )t g w= mieàn nhò lieân D leân hình vaønh khaên 1 1r t R< < sao cho bieân ngoaøi 2C töông öùng vôùi ñöôøng troøn 1t R= . Aùp duïng boå ñeà 2.1 cho pheùp bieán hình ngöôïc ( ) 1 w g t −= , ta ñöôïc 2 1 1 R S s r  ≥    . Pheùp bieán hình ( )[ ]t g f z= laø PBHKABG hình vaønh khaên r z R< < leân hình vaønh khaên 1 1r t R< < . AÙp duïng coâng thöùc (2.6), ta ñöôïc 1 1 1 KR R r r  ≥    , töø ñoù suy ra 22 1 1 KR R S s s r r     ≥ ≥       . Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi ( ) 1 1 K t g f z c z z − = = ( )1 1 1w g t a t b −= = + 23 töùc laø ( ) 1 1 K w f z a z z b − = = + , 0a ≠ . ■ Boå ñeà 2.3 (Baát ñaúng thöùc dieän tích cho mieàn ña lieân) Giaû söû ( )w f z= laø PBHKABG moät hình vaønh khaên ( ) ( )0 r z R< < < <∞ vôùi moät soá nhaùt caét naèm treân ñöôøng troøn 1z R= ( )1r R R< < leân mieàn D cuûa maët phaúng w sao cho caùc ñöôøng troøn z r= , z R= laàn löôït töông öùng vôùi bieân trong 1C vaø bieân ngoaøi 2C cuûa D. Khi ñoù ( ) ( ) ( ) 22 1 1 , , , KKR R S R f S r f s R f r R − +    ≥ +        (2.12) trong ñoù ( )1,s R f laø toång dieän tích ngoaøi cuûa nhöõng taäp ñoùng giôùi haïn bôûi aûnh caùc nhaùt caét treân ñöôøng troøn 1z R= bôûi f. Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi ( ) 1 1 K f z a z z b − = + , vôùi 0a ≠ . Chöùng minh. Töø ñònh nghóa ( )1,s R f , ta ñöôïc ( ) ( ) ( )( )1 1 1, , , *S R f S R f s R f + −= + Laàn löôït aùp duïng boå ñeà 2.2 cho hình vaønh khaên 1R z R< < vaø 1r z R< < , ta coù ( ) ( ) 2 1 1 , , KR S R f S R f R − +  ≥    , ( ) ( ) 2 1 1, , KR S R f S r f r − +  ≥    . Keát hôïp vôùi ( )* , ta ñöôïc 24 ( ) ( ) ( ) 22 1 1 1 , , , KKR R S R f S r f s R f r R − +       ≥ +           töø ñoù ta coù (2.12). Theo boå ñeà 2.2, ñaúng thöùc ôû (2.12) xaûy ra ( ) 1 1 K f z a z z b − = + , vôùi 0a ≠ . ■ Boå ñeà 2.4 Giaû söû A laø moät mieàn N lieân 3 N≤ ≤∞ trong maët phaúng bieán phöùc z vôùi bieân ngoaøi C chöùa caùc hình vaønh khaên { } ( ), 1,2,..., 1;1j j jA z r z R j n n= < < = + ≤ ≤∞ vôùi ( ) ( )1 1 2 2 3 1 10 ... n n nr R r R r R r R+ +< < ≤ < ≤ < < ≤ < <∞ . Kí hieäu 0C vaø ( )1,2,...,j j n=C laø caùc hôïp caùc ñöôøng cong bieân cuûa A laàn löôït naèm treân 1z r≤ vaø 1j jR z r +≤ ≤ (neáu chuùng toàn taïi). Giaû söû ( )w f z= laø moät PBHKABG mieàn A leân moät mieàn B cuûa maët phaúng bieán phöùc w sao cho öùng vôùi ( )0,1,...,j j n=C vaø C laàn löôït laø caùc ñöôøng cong bieân jC vaø bieân ngoaøi C cuûa mieàn B. Kí hieäu S laø dieän tích trong cuûa mieàn giôùi haïn bôûi C , js ( )0,1,...,j n= laø dieän tích ngoaøi cuûa taäp ñoùng giôùi haïn bôûi jC (neáu jC troáng, ñaët 0js = ). Khi ñoù 2 1 1 1 10 ... ... n K n n j j n n jj R R R S s r r r + + + +=   ≥     ∑ (2.13) Ñaúng thöùc coù theå xaûy ra ôû (2.13). 25 Chöùng minh. Kí hieäu ( )1,2,..., 1jS j n= + laø dieän tích trong cuûa mieàn giôùi haïn bôûi bieân ngoaøi cuûa ( )j jB f A= , jS laø dieän tích ngoaøi cuûa taäp ñoùng giôùi haïn bôûi bieân trong cuûa jB . Töø boå ñeà 2.2, ta coù  ( ) 2 , 2, 3,..., 1 K j j j j R S S j n r   ≥ = +    . (2.14) Maët khaùc, do tính lieân tuïc cuûa pheùp bieán hình vaø töø söï töông öùng cuûa caùc bieân ngoaøi C cuûa A vaø C cuûa B deã daøng thaáy raèng jB phaûi bao boïc 1jB − vaø  1j−C nhö jA bao boïc 1jA − vaø 1j−C . Töø ñoù  1 1j j jS S s− −≥ + vaø 1 0S s≥ , ( )2,3,..., 1j n= + (2.15) Ta seõ chöùng minh baèng quy naïp ( ) 2 1 1 1 1 10 ... , 1,2,..., ... k K k k j k j k k jj R R R S s k n r r r + + + + +=   ≥ =    ∑ (2.16) Thaät vaäy, töø (2.14) vaø (2.15) ta coù  ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 K KR R S S S s r r      ≥ ≥ +         2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 0 1 1 2 2 1 2 K K K KR R RR R S s s s r r r r r                ≥ + ≥ +                         Vaäy baát ñaúng thöùc (2.16) ñuùng vôùi 1k = . Giaû söû noù ñuùng vôùi k : 1 1k n≤ ≤ − , ta seõ chöùng minh noù coøn ñuùng vôùi 1k + . Thaät vaäy, theo (2.14), (2.15), (2.16), ta coù ( ) 2 2 2 1 1 2 K k k k k k R S S s r + + + + +  ≥ +    26 2 22 1 2 1 1 2 1 12 1 2 1 1 2 2 1 10 0 ... ... ... ... k kK KK k k j k k jk j k j k k j k k k jj j R R R R R RR s s s r r r r r r r + + + + + + ++ + + + + + + + += =        ≥ + =         ∑ ∑ . Vaäy ta ñaõ chöùng minh (2.16) cho moïi k, 1 k n≤ ≤ . Nhôø (2.16) vôùi k n= vaø do 1nS S +≥ , ta nhaän ñöôïc (2.13). Ñaúng thöùc xaûy ra khi 0C vaø C laàn löôït laø caùc ñöôøng troøn 1z r= vaø 1nz R += , 1j jR r += vôùi 1,2, 3,...,j n= ( jC laø nhöõng cung troøn) vaø chaúng haïn ( ) 1 1 K f z z z − = . ■ 2.5 Môû roäng baát ñaúng thöùc ɺɺGrotzsch Boå ñeà 2.5 (Môû roäng baát ñaúng thöùc Grotzschɺɺ ) Giaû söû A laø hình vaønh khaên 1R z< < vôùi ( )1, 0pn p n≥ ≥ nhaùt caét naèm treân caùc ñöôøng troøn ñoàng taâm 0 sao cho A truøng vôùi chính noù trong pheùp quay 2 i p z e z pi =ɶ . Goïi ( )w f z= laø PBHKABG mieàn A leân mieàn B naèm trong 0 1w< < sao cho ñöôøng troøn z R= töông öùng vôùi bieân 1C bao boïc ñieåm 0, coøn ñöôøng troøn 1z = töông öùng vôùi bieân ngoaøi 2C cuûa B. Hôn nöõa, giaû söû B truøng vôùi chính noù trong pheùp quay  2 i p w e w pi = . Khi ñoù 1 1 1, , KM T p R m   ≤     (2.17) 27 trong ño,ù { }1 1maxM w w= ∈ C , { }( )1 1min 0m w w= ∈ ≥C vaø ( ), ,T p r s laø haøm phuï ñöôïc ñònh nghóa ôû muïc 1.4. Ñaúng thöùc trong (2.17) xaûy ra khi vaø chæ khi ( ) ( )f z ah t= , 1a = , 1 1 , 1 K t bz z b − = = , h laø PBHBG hình vaønh khaên 1 1KR t< < leân mieàn nhò lieân D sao cho 1t = thaønh { }1w w =C = vaø 1 Kt R= töông öùng vôùi { } ( ){ }1 1 1 2,arg 1 , 1,2,...,c w w m w m w M w j j pppi= ≤ ≤ = − =∪= . Chöùng minh. Tröôøng hôïp 1K = (PBHBG) vaø 2C laø ñöôøng troøn 1w = , boå ñeà 2.5 chính laø ñònh lí Grotzschɺɺ neâu trong [6, tr.372]. Xeùt tröôøng hôïp 1K = vaø 2C khoâng phaûi laø ñöôøng troøn 1w = . Goïi ( )W g w= laø PBHBG ñôn dieäp mieàn giôùi haïn bôûi 2C leân hình troøn 1W < sao cho ( )0 0g = . Theo keát quaû trong [10, tr.108], mieàn  ( )B g B= truøng vôùi chính noù bôûi pheùp quay  2 i p W e W pi = . Ñaët  { }1 1maxM W W= ∈ C ,  { }  ( )1 1 1 1min ,m W W g= ∈ =C C C . Theo boå ñeà Schwarz, ta coù   vaø 1 1 1 1M M m m> ≥ . AÙp duïng boå ñeà 2.5 trong tröôøng hôïp 1K = vöøa neâu treân cho PBHBG ñôn dieäp g f mieàn A leân mieàn B , ta ñöôïc  ( )1 1, ,M T p R m≤ , suy ra ( )1 1, ,M T p R m< . 28 Maët khaùc, do 1 1m m≥ vaø tính ñôn ñieäu (1.14) cuûa ( ), ,T p r s , ta ñöôïc (2.17) vôùi löu yù raèng ñaúng thöùc khoâng xaûy ra. Vaäy, ta ñaõ chöùng minh (2.17) khi 1K = . Xeùt tröôøng hôïp 1K > . Mieàn B coù theå ñöôïc bieán baûo giaùc ñôn dieäp bôûi U leân hình vaønh khaên 1r u< < bò caét theo pn cung troøn ñoàng taâm sao cho bieân 2C töông öùng vôùi 1u = vaø 1C töông öùng vôùi u r= . Laäp luaän nhö treân, ta cuõng chöùng minh ñöôïc mieàn  ( )A U B= truøng vôùi chính noù bôûi pheùp quay 2 i p u e u pi =ɶ . Aùp duïng boå ñeà 2.5 vôùi tröôøng hôïp 1K = (ñaõ chöùng minh) cho PBHBG ngöôïc 1U − mieàn A leân mieàn B, ta coù ( )1 1, ,M T p R m≤ (2.18) trong ñoù, ñaúng thöùc chæ xaûy ra khi B coù daïng cuûa mieàn D vôùi ( )1 1, ,M T p R m= . Deã daøng nhaän thaáy PBHKABG hôïp U f hình vaønh khaên 1R z< < bò caét leân hình vaønh khaên 1r u< < . Aùp duïng ñònh lí 2.1 trong [12, tr.58], ta ñöôïc 1/Kr R< vaø ñaúng thöùc chæ xaûy ra khi 1/ 1 , 1Ku kz z k−= = . Duøng tính ñôn ñieäu (1.15) cuûa ( ), ,T p r s , baát ñaúng thöùc (2.17) ñöôïc suy töø (2.18) vôùi khaúng ñònh ñaúng thöùc chæ xaûy ra trong tröôøng hôïp ñaõ neâu. ■ Boå ñeà 2.6 Giaû söû A laø hình vaønh khaên Q z R< < vôùi pn ( )1, 0p n≥ ≥ nhaùt caét naèm treân caùc ñöôøng troøn ñoàng taâm sao cho A 29 truøng vôùi chính noù bôûi pheùp quay 2 i p z e z pi =ɶ . Giaû söû ( )w f z= laø PBHKABG mieàn A leân mieàn B naèm trong 0 w< <∞ sao cho ñöôøng troøn z Q= töông öùng vôùi bieân trong 1C bao boïc ñieåm 0, coøn ñöôøng troøn z R= töông öùng vôùi bieân ngoaøi 2C cuûa B. Hôn nöõa, giaû söû B truøng vôùi chính noù trong pheùp quay  2 i p w e w pi = . Khi ñoù 12 1 1 2 , , K m m Q m T p R M =           (2.19) trong ñoù, { }( )min 1,2j jm w w j= ∈ =C { }2 2maxM w w= ∈ C . Ñaúng thöùc trong (2.19) xaûy ra khi vaø chæ khi ( ) ( ), 1f z aH t a= = , 1 1 , 1 K t bz z b − = = , H laø PBHBG hình vaønh khaên 1 1 K KQ t R< < leân mieàn E sao cho 1 Kt Q= töông öùng { }1 1w w m= =C vaø 1 Kt R= töông öùng { } ( ) ( )2 2 2 22arg 1 , 1,2,..., .w w M w w j m w M j pp pi   = = ∪ = − ≤ ≤ =     C Chöùng minh. Xem Thao [12, tr.64] hoaëc Löông [17, tr.35 – 36]. ■ Boå ñeà 2.7 Giaû söû A laø mieàn 1z > vôùi pn ( )1, 0p n≥ ≥ nhaùt caét naèm treân caùc ñöôøng troøn ñoàng taâm sao cho A truøng vôùi chính noù bôûi 30 pheùp quay 2 i p z e z pi =ɶ . Goïi ( )w f z= laø PBHKABG mieàn A leân mieàn B naèm trong 1w > sao cho ñöôøng troøn 1z = töông öùng vôùi bieân trong C , ( )f ∞ =∞ vaø B truøng vôùi chính noù bôûi pheùp quay  2 i p w e w pi = . Khi ñoù, vôùi moïi 1 R< <∞ , ta coù: ( ) ( ) 1 1 0, 4 , p KM R f M f R M′< ∞ = (2.20) ( ) 1 1 11 1 1 1 0, , , , , 0 4 pK K Km R f T p R M T p R R − − −− −−      ≥ ≥ >         (2.21) Chöùng minh. Xem Thao [15, tr.1050]. ■ 31 Chöông 3 CAÙC ÑAÙNH GIAÙ CHO LÔÙP H 3.1 Ñaùnh giaù caùc dieän tích bôûi lôùp H Ñònh lí 3.1 Vôùi caùc giaû thieát vaø kí hieäu ñöôïc neâu ôû chöông 1, h H∀ ∈ , 1 R< <∞ , ta coù: ( ) ( )  2 0 1 2 0 , K K c s ps S h dpi +′+∞ ≥ ∞ ≥ ɶ (3.1) ( )  2 2 0 0 1(0 ) , K Kps d S h c spi ′≤ ≤ ∞ −ɶ (3.2)  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 0 0 0 , , , K K KR Rcps s S R h R S h R d d d pi       ′+ ≤ ≤ ∞ >        ɶ (3.3a)  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 0 0 0 , , , 1 K K KRs R S R h d S h ps R c c pi     ′≤ ≤ ∞ − < <       ɶ (3.3b)  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 0 0 0, , , , K Ks c ps S R h S R h d S h c R dpi − + ′+ ≤ ≤ ≤ ∞ ≤ ≤ɶ (3.3c) Ñaúng thöùc xaûy ra ôû baát ñaúng thöùc beân phaûi (3.3a) vaø ôû baát ñaúng thöùc beân traùi (3.3b) khi vaø chæ khi ( ) 1 1 , 1 K h z a z z a − = = . 32 Chöùng minh. Laáy ( )0 0c dρ ρ , ñaët { }1 1E E z z ρ= ∩ < < , { }2E E z z Rρ= ∩ < < . Haøm 1 u z = bieán baûo giaùc ñôn dieäp 1E thaønh 1E töông ñöông baûo giaùc vôùi  { }1 1 1E z r z= < <ɶ ɶ Haøm z v R = bieán baûo giaùc ñôn dieäp 2E thaønh 2E töông ñöông baûo giaùc vôùi  { }2 2 1E z r z= < <ɶ ɶ . Khi ñoù, theo ñònh nghóa cuûa haøm phuï, caùc moâñun cuûa 1E vaø 2E laàn löôït laø 1 1 0 1 1 1 1 , , r R p c µ ρ = =      vaø 2 02 1 1 , , dr R p R R µ ρ= =      . Goïi Sρ + laø dieän tích ngoaøi cuûa taäp ñoùng do bieân trong cuûa mieàn nhò lieân ( )2 ,h E h H∈ , bao boïc vaø Sρ − laø dieän tích trong cuûa mieàn do bieân ngoaøi cuûa mieàn nhò lieân ( )1 ,h E h H∈ , bao boïc. Nhö vaäy, S S psρ ρ + −= + ɶ. AÙp duïng hai laàn (2.11), ta coù ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2, K K K KS R h S S ps S psρ ρ ρµ µ µ µ − + − −≥ = + = +ɶ ɶ 33   2 2 2 1 2 1 1 2 2 22 00 0 1 1 , ,, , , , K K K K KK s ps s ps dd R pR p R p R RR R c µ µ µ ρρ ρ ≥ + = +                     ɶ ɶ Töø tính chaát (1.17) cuûa haøm phuï, ta coù ( ) 1 2 22 00 0 , 1 K KK s ps S R h dd RR c − > +                     ɶ töùc laø ( ) 1 2 2 2 0 0 0 , K K K S R h s ps dR d c pi pipi − > +      ɶ Cho R →∞ , ta ñöôïc (3.1). Chuù yù: Neáu laáy ( ) 11 ,Kh z z z z E−= ∈ thì 1h H∈ vaø ta coù ( ) ( ) 2 221 1 2 2 , , lim lim lim K K K R R R K K S R h R S h R R R pi pi pi − →∞ →∞ →∞  ′ ∞ = = = = +∞    vôùi 1K > . Coâng thöùc (3.2) ñöôïc suy ra tröïc tieáp töø (3.1). Baây giôø, ta chöùng minh (3.3): • 0R d> : Duøng (2.11) cho hình vaønh khaên { }z R z R E′< < ⊂ , ta coù ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , , , , K K K S R h S R hR S R h S R h R R Rpi pi ′ ′′ ≥ ⇔ ≥   ′ Cho R′ → ∞ , ta ñöôïc ( ) ( ) 2 , , K S R h S h Rpi ′ ∞ ≥ , suy ra baát ñaúng thöùc beân phaûi (3.3a). 34 Duøng boå ñeà 2.4 cho h H∈ mieàn { }E z z R∩ < , ta ñöôïc baát ñaúng thöùc beân traùi (3.3a). • 01 R c< < : Duøng baát ñaúng thöùc (2.11) cho hình vaønh khaên 1 z R< < , ta coù: ( )   2 2 1 1, 1 K KRS R h s R s  ≥ =   . Laïi duøng baát ñaúng thöùc (2.11) cho hình vaønh khaên 0R z c< < vaø vôùi 0R d′ > , ta coù: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 0 0 0 , , , , K K KR R R S R h S c h S c h ps S d h ps c c c − + +            ≤ ≤ − ≤ −                    ɶ ɶ ( ) ( ) 2 22 2 0 0 2 0 0 , , K KK K K S R hR d R S R h ps d ps c cR R pi pi    ′          ′≤ − = −        ′        ′     ɶ ɶ . Cho R′ → ∞ , ta ñöôïc (3.3b). • 0 0c R d≤ ≤ : Ñeå chöùng minh (3.3c), ta chuù yù: Vôùi cuøng h H∈ caùc haøm ( ),S R h− vaø ( ),S R h+ laø nhöõng haøm taêng trong khoaûng 1 R< <+∞ . Vì vaäy vôùi moïi R , R′ vaø R′′ thoûa maõn 0 01 R c R d R′ ′′< < ≤ ≤ < < +∞ , aùp duïng (3.3a) vaø (3.3b), ta coù  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0, , , , Ks R ps S R h ps S c h ps S R h ps S R h − − +′ ′+ ≤ + < + ≤ + =ɶ ɶ ɶ ɶ ( ) ( ) ( ) 2 0, , , KS d h S R h R S hpi + ′′ ′′ ′≤ < ≤ ∞ Cho 0R c −′ → vaø 0R d +′′ → , ta ñöôïc (3.3c). ■ 35 3.2 Ñaùnh giaù ( ) ( ) ( )m R, h , M R, h , h z bôûi lôùp H Ñònh lí 3.2 Vôùi caùc giaû thieát vaø kí hieäu ñöôïc neâu ôû chöông 1, h H∀ ∈ , z E∈ , 1 R< <∞ , ta coù: ( )  ( ) 21 0 1 0 0 , , KKR ps c s M R h R d d pi   +≥ ≥   ɶ (3.4a) ( ) ( ) ( ) 1 0, , , Km R h R S h R d′≤ ∞ ≥ (3.4b) ( )  ( ) 1 1 0, , 1 K sM R h R R c pi ≥ < ≤ (3.5a) ( ) ( ) ( ) 21 0 0 0 , , , 1 KK d S h psR m R h R c c pi pi   ′ ∞ −≤ < ≤   ɶ (3.5b) ( )  ( ) 2 0 1 0 0, , Kc s ps M R h c R d pi + ≥ < < ɶ (3.6a) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0, , , Km R h d S h c R d′≤ ∞ < < (3.6b) ( ) ( ) ( ) 1 1 0, 4 , , p KM R h R M h R d′< ∞ ≥ (3.7a) ( ) ( ) 1 2 1 0 0 0 , 4 , K p Kcm R h R R d d −  > ≥   (3.7 b) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 0 0 , 4 , , 1 K p KdM R h R M h R c c   ′< ∞ < ≤   (3.8a) ( ) ( ) 1 1 0, 4 , 1 p Km R h R R c − > < ≤ (3.8b) 36 ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0, 4 , , p KM R h d M h c R d′≤ ∞ < < (3.9a) ( ) ( ) 1 1 0 0 0, 4 , p Km R h c c R d − > < < (3.9b) ( ) ( ) ( ) 1 2 11 1 0 0 0 4 4 , , K p pK Kc z h z z M h z d d −   ′< ≤ ∞ ≥   (3.10a) ( ) ( ) ( ) 1 1 21 1 0 0 0 4 4 , , 1 K p pK Kd z h z M h z z c c −   ′< < ∞ < ≤   (3.10b) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 0 0 0 04 4 , , p pK Kc h z d M h c z d − ′< ≤ ∞ < < (3.10c) Chöùng minh. Söû duïng (1.5) vaø (3.3a) – (3.3c) ta laàn löôït suy ra (3.4a), (3.4b), (3.5a), (3.5b), (3.6a), (3.6b). Baây giôø, ta chöùng minh (3.7), (3.8) vaø (3.9). • Vôùi 0R d≥ , ñaët 0 z z d =ɶ vaø  ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0, , h d zw w h z m d h m d h = = = ɶ ɶ ɶ . Ta coù ( )  ( )  ( ) ( )0 1 1 0 , , , , lim lim R R K K M R h M R h m d h M h R R d →∞ →∞ ′ ∞ = =      ɶ ɶ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 1 0 0 , lim , , , K K R K M R hd d M h m d h m d h R →∞ ′= = ∞ AÙp duïng boå ñeà 2.7 (vôùi 0n = ) cho PBHKABG ñoái xöùng quay caáp p haøm hɶ mieàn 1z >ɶ leân mieàn naèm trong  1w > , ( )h ∞ =∞ɶ , ta coù 37 ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) 11 1 11 0 00 0 , , 4 , 4 , , , KK p pK M R h R d M R h R M h M h dm d h m d h  ′ ′= < ∞ = ∞   ɶ ɶ suy ra (3.7a). Maët khaùc ( ) ( ) ( )   111 1 0 , , , , 0 4 , pK K m R h m R h T p R R m d h − −− = ≥ >   ɶ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 0 0 , 4 , 4 , K K p pR R m R h m d h m c h d d − −     ⇒ > >        Keát hôïp (3.8b) (chöùng minh sau), ta suy ra (3.7 b). • Vôùi 01 R c< ≤ , ñaët 0 z z c =ɶɶ vaø  ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0, , h c zw w h z M c h M c h = = = ɶɶ ɶɶ ɶɶ . AÙp duïng boå ñeà 2.5 (vôùi 0n = ) cho PBHKABG ñoái xöùng quay caáp p haøm hɶɶ hình vaønh khaên 0 1 R z c < <ɶɶ leân mieàn naèm trong  1w < , ta coù ( ) ( ) 1 0 0 00 , , , , , , KM R h R R R M h T p m h c c cM c h             = ≤                    ɶ ɶɶ ɶ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 0 0 , 4 , 4 , K K p pR R M R h M c h M d h c c      ⇒ < <        Keát hôïp (3.7a), ta ñöôïc (3.8 a). AÙp duïng boå ñeà 2.6 cho hình vaønh khaên 1 z R< ≤ , ta coù 38 ( ) 1 1 11 1 1 1 , 4 1 4, , 0 p K pK K m R h R RT p R − − ≥ > =              , töùc (3.8b). • Vôùi 0 0c R d< < , ta coù vôùi moïi R , R′ vaø R′′ thoûa maõn 0 01 R c R d R′ ′′< < ≤ ≤ < < +∞ , aùp duïng (3.8a) vaø (3.8b), ta coù ( ) ( ) ( ) 1 1 04 , , , p KR m R h m c h m R h − ′ ′< < < ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0, , , 4 , p KM R h M d h M R h R M h′′ ′′ ′< < < < ∞ Cho 0R c −′ → vaø 0R d +′′ → , ta ñöôïc (3.9a), (3.9b). Töø tính chaát ( ) ( ) ( ), ,m z h h z M z h≤ ≤ , keát hôïp (3.7a), (3.7b), (3.8a), (3.8b), (3.9a) vaø (3.9b) ta ñöôïc (3.10a) – (3.10c). ■ 3.3 Ñaùnh giaù ( )  ( )c h , d hɶ bôûi lôùp H Ñònh lí 3.3 Vôùi caùc giaû thieát vaø kí hieäu ñöôïc neâu ôû chöông 1, h H∀ ∈ , ta coù: ( ) 1 11 1 0 04 4 , p pK Kc c d d M h − ′< < ≤ ∞ɶɶ (3.11) ( ) ( ) 1 4 0 0 1 2 , K pd d M h c c   ′< < ∞   ɶ ɶ (3.12) Chöùng minh. Töø tính chaát ( ) ( )0 0, ,m c h c d M d h≤ < ≤ɶɶ , keát hôïp (3.7a) vaø (3.8b), ta ñöôïc (3.11). 39 0 0 Töø (3.11): ( ) ( ) 1 1 1 1 4 0 0 1 0 0 4 , 2 , 4 K K p K p p d M hd d M h c c c −  ′ ∞  ′< = ∞   ɶ ɶ , töùc (3.12). ■ 3.4 Caän döôùi ñuùng cho c∼ Maëc duø ta ñaõ tìm ñöôïc caän döôùi cuûa cɶ cho lôùp H trong (3.11) nhöng roõ raøng caän ñoù khoâng ñaït ñöôïc. Ta seõ tìm caän khaùc ñaït ñöôïc nhôø giaûi baøi toaùn toái öu sau. 3.4.1 Ñaët vaán ñeà Vôùi caùc giaû thieát vaø kí hieäu ñöôïc neâu ôû chöông 1, caàn tìm taát caû haøm 1h H∈ thoûa ( ) ( )1 ,c h c h h H≥ ∀ ∈ɶ ɶ vaø tính ( )1c hɶ . E ( )w h z= B 1 0c 0d 1 Hình 3.1: Mieàn E vaø B vôùi tröôøng hôïp 2p = . 3.4.2 Giaûi quyeát vaán ñeà Goïi 1E ( )E⊂ laø mieàn 1z > vôùi nhaùt caét theo baùn kính gaëp nhau taïi z = ∞ : 40 ( ) ( ) ( )0 2 arg 1 , 1 , 1,2,..., .jl z z j c z j p p pi   = = − < ≤ ≤ +∞ =     Ñaët \ , 1,2, 3,..., .j j jl L j pγ = = Khi ñoù, haøm *1h ñöôïc xaây döïng nhö sau: Haøm ( )1 1 z f z z = =ɶ bieán mieàn nhò lieân 1E leân mieàn nhò lieân 2E giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn 1z =ɶ vaø p nhaùt caét theo baùn kính xuaát phaùt töø 0z =ɶ : ( ) 0 2 arg 1 , 0 1 , 1,2,...,jl z z j z d j p p pi   = = − ≤ ≤ < =     ɶ ɶ ɶ ɶ , trong ñoù 0 0 1 d c = . Goïi ( )2s f z= ɶ laø pheùp bieán hình baûo giaùc ñôn dieäp duy nhaát mieàn nhò lieân 2E leân hình vaønh khaên { }3 0 1E s r s= < < < sao cho 1z =ɶ töông öùng 1s = vaø ( )2 0 0f d r s= = . Töø ñònh nghóa haøm phuï ( ), ,R p t s , ta coù ( )0, , 0r R p d= . Goïi ( ) 1 1 3 Kt f s s s − = = laø PBHKABG hình vaønh khaên 3E leân hình vaønh khaên 1 4 1 KE t r t    = < <     sao cho 1s = töông öùng 1t = vaø ( ) 1 3 0 0 Kf s t r= = . Goïi  ( )4w f t= laø PBHBG ñôn dieäp hình vaønh khaên 4E leân mieàn nhò lieân 5E giôùi haïn bôûi bieân ngoaøi  1w = vaø bieân trong goàm p nhaùt caét xuaát phaùt töø  0w = : 41   ( )  *0 2 arg 1 , 0 1 , 1,2,...,jl w w j w d j p p pi   ′ = = − ≤ ≤ < =     ɶ , sao cho 1t = töông öùng  1w = vaø ( ) *4 0 0f t d= . Haøm ( )  5 1 w f w w = = bieán mieàn 5E leân *B laø mieàn 1w > vôùi p nhaùt caét gaëp nhau taïi w = ∞ : ( )* *0 2 arg 1 ,1 , 1,2,...,jl w w j c w j p p pi   = = − < ≤ ≤∞ =     , trong ñoù  * 0 * 0 1 c d = . ( )1 1 z f z z = =ɶ ( )2s f z= ɶ 0 1 0c 0d 0 0c 0d 1 0 r 1 1E 2E 3E ( )*1w h z= ( ) 1 1 3 Kt f s s s − = = ( )  5 1 w f w w = =  ( )4w f t= 0 1 *0c * 0d 0 * 0c * 0d 1 0 1 Kr 1 *B 5E 4E Hình 3.2: Xaây döïng ( ) ( )*1 5 4 3 2 1 1,h z f f f f f z z E= ∈ 42 Ñaët ( ) ( )*1 5 4 3 2 1 1,h z f f f f f z z E= ∈ vôùi 1 2 3 4 5, , , ,f f f f f ñöôïc ñònh nghóa nhö treân. Khi ñoù, theo nguyeân lí ñoái xöùng cho PBHKABG (xem [3, tr.16]) thì coù theå thaùc trieån KABG haøm ( )*1 1,h z z E∈ , thaønh  ( ) 1 1,h z z E∈ treân caùc nhaùt caét boå sung ( )1,2,...,j j pγ = sao cho  1h H∈ , töùc laø  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * 1 1 1 * 1 , lim 1,2,... ,j z z E h z z E h z h z j p ς ς γ → ∈  ∈=  ∈ = neáu neáu laø PBHKABG mieàn 1E leân mieàn 1w > vôùi p nhaùt caét ( )* * *0 0 2 arg 1 ,1 , 1,2, 3,..., ,jL w w j c w d j p p pi   = = − < ≤ ≤ <∞ =     trong ñoù * *0 0,c d laø caùc ñieåm bieân laàn löôït töông öùng 0 0,c d bôûi * 1h . Theo ñònh lí 5.1 vaø heä quaû 5.1 trong [18, tr.42-43], ta coù ( ) 1 1 , , 0KT p r c h   ≤    ɶ vôùi 0 1 , , 0 ,r R p h H c   = ∀ ∈    ( ) ( ) 11 1, , 0 Kc h T p r c h −  ⇒ ≥ =    ɶ ɶ vaø haøm 1h H∈ chính laø moät haøm caàn tìm. Taát caû caùc haøm caàn tìm coù daïng ( )  ( )1 1 ,h z ah z z E= ∈ , vôùi 1a = . Vaäy ta ñaõ chöùng minh ñöôïc Ñònh lí 3.4 Haøm ( )  ( )1 1 ,h z ah z z E= ∈ , 1a = , vôùi ( ) ( ) * 1 5 4 3 2 1h z f f f f f z= 43 trong ñoù 1 2 3 4 5, , , ,f f f f f ñöôïc ñònh nghóa nhö treân thoûa 1h H∈ vaø ( ) ( )1 ,c h c h h H≥ ∀ ∈ɶ ɶ . Maët khaùc, do tính chaát (1.27), (1.30) cuûa haøm phuï ( ), ,T p r s vaø ( ), , ,R p t s h H∀ ∈ , ta coù: ( ) ( ) 1 1 1 01 11 1 1 0 1 1 1 4 . 1, , 0 4 . 4 p K p KK K p c h c h c T p r r c − ≥ ≥ > > =              ɶ ɶ ( )1 1 1 , , 0K c h T p r =       ɶ vôùi 0 1 , , 0r R p c   =     . Heä quaû Goïi ( ) 2 1i j p j jz e z pi − = vôùi 01 ,j jz c z E< < ∈ ( )1,2,...,j p= . Töông töï baøi toaùn treân, caàn tìm 2h H∈ sao cho ( ) ( )  ( )2 2, 1,2,...,j jh z h z c h H j p≥ = ∀ ∈ = Haøm 2h ñöôïc xaây döïng hoaøn toaøn gioáng 1h , trong ñoù 0c ñöôïc thay bôûi jz . Caùc haøm 2h chæ sai khaùc nhau moät pheùp quay vaø ta coù  ( ) 1 11 1 2 2 , , 0 4 pK K jc h z T p r r − − −    = = >        vôùi 1 , , 0 j r R p z   =     , 1,2,...,j p= . 44 Chöông 4 CAÙC ÑAÙNH GIAÙ CHO LÔÙP G Ñònh lí 4.1 Vôùi caùc giaû thieát vaø kí hieäu ñöôïc neâu ôû chöông 1, g G∀ ∈ , ξ A∈ , ta coù: 0 4 K Kp c c< (4.1a) ( )*0 4 , K Kp d d m g − ≥ ∞ (4.1b) ( ) ( ) 4 * 0 0 , 2 K K p d c m g c d ∞ < (4.2) ( ) 2 * 0 2 0 2 1 , 4 K p d m g c s ps c pi − −     ∞ ≤     +  (4.3) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 11 1 1 14 4 , , Kp pK K K c M g M g d d ξ ξ ξ ξ− − ′< ≤ ∞ ≥ (4.4a) ( ) ( ) ( ) 11 21 1 1 1 14 4 , , Kp pK K K d M g M g M c c ξ ξ ξ ξ− −   ′< < ∞ < ≤   (4.4b) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 1 14 4 , , p pK K KM c g M g d c dξ ξ− − ′< < ∞ < < (4.4c) trong ñoù { }1 1maxM ξ ξ= ∈ C . 45 Chöùng minh. Töø (3.11) vaø (1.9) ta deã daøng suy ra ñöôïc (4.1a) vaø (4.1b). Töø (3.12) vaø (1.9), ta coù ( ) 1 4 0 0 2 , K pd d M h c c   ′< ∞   Suy ra ( ) 1 4 1 *0 0 2 , K p K d d m g c c − < ∞   , töø ñoù ta coù (4.2). Töø (3.1), vôùi moïi 1g h−= , h H∈ , töùc g G∈ , ta coù: ( ) 2 0 1 2 0 , K K c s ps S h dpi +′ ∞ ≥ Maët khaùc töø (1.6), ta coù: ( ) ( )2, ,M h S h′ ′∞ ≥ ∞ , h H∀ ∈ neân ( ) 2 2 0 1 2 0 , K K c s ps M h dpi +′ ∞ ≥ Keát hôïp (1.9) vaø (4.1a), ta coù ( ) 2 2 2 * 0 1 0 1 2 2 0 0 0 , K K K K K c s ps c s ps m g d d c pi pi pi −    +   ∞ ≥ = +         22 2 2 0 1 0 1 2 0 02 4 4 pK K p c s ps c s ps c d d c pi pi pi − −          +     > + =                   , suy ra (4.3). Ta chöùng minh (4.4): 46 • d R Rξ ′≤ = < : ñaët ( ) ( ) ( ) ( ) , , , g Rz z g R M R g M R g ξξξ ξ′= = = = ′ ′ ′ ɶ ɶɶ ɶ AÙp duïng boå ñeà 2.5 cho haøm gɶ bieán hình vaønh khaên 1 R R ξ< < ′ ɶ leân mieàn naèm trong 1z <ɶ , ta coù: ( ) ( ) 1 11 , , , , 0 4 , K KpM R g R R R M g T p R R RM R g           = ≤ <      ′ ′ ′     ′    ɶ ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 1 , , 4 , 4 Kp p K K M R gR g M R g M R g R R R ξ ′  ′⇒ ≤ < = ′  ′ Cho R′ → ∞ , ta ñöôïc ( ) ( ) 1 1 4 , p Kg R M gξ ′≤ ∞ . Maët khaùc, theo boå ñeà 2.6: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , , , , , 0 , , 0 K K m d g m c g g m R g d d T p T p R R ξ ≥ ≥ ≥                              ( )1 1 11 1 1 11 , 1 4 4, , 0 , , 0 K KK K p m M g d Md M T p T p R cR c ≥ >                                           Suy ra ( ) ( ) 12 1 1 14 Kp K Kcg R M d ξ − − > vôùi 1M cξ< < . • 1M R cξ< = ≤ , ñaët ( ) ( ) ( ) ( ), , , g cz z g c M c g M c g ξξξ ξ= = = =ɶ ɶɶ ɶɶ ɶɶ ɶ 47 AÙp duïng boå ñeà 2.5 cho haøm gɶɶ bieán hình vaønh khaên 1 R c ξ< <ɶ leân mieàn naèm trong 1z <ɶɶ vôùi 1M cξ< < , ta coù ( ) ( ) 1 , , , , 0 , KM R g R R M g T p M c g c c         = ≤            ɶɶ ( ) ( ) ( ) 1 11 1 , 4 , 4 , K Kp pR R M R g M c g M d g c c      ⇒ < <       ( ) 2 1 4 , p Kd R M g c   ′≤ ∞   ta ñöôïc baát ñaúng thöùc beân phaûi (4.4b). Theo boå ñeà 2.6 ( ) ( ) ( ) 1 1 11 111 1 11 , 1 , 4 4, , 0 p K K KK p m M g g m R g M R MM T p RR ξ − −≥ ≥ > =                      ta ñöôïc baát ñaúng thöùc beân traùi (4.4b). • c R dξ< = < Töø tính chaát ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,m c g m Rg g M Rg M d gξ≤ ≤ ≤ ≤ vaø (4.4a), (4.4b) ta ñöôïc ( ) ( ) 1 11 1 1 14 4 , p pK K KM c g M g dξ− − ′< < ∞ , töùc (4.4c). ■ Heä quaû 4.1 Tröôøng hôïp 1K = , vôùi ( ) ( ) ( ) ( ) * , , lim lim r gm r g m g g r ξ ξ ξ→∞ →∞ ′∞ = = = ∞ 48 thì töø (4.1a), (4.1b), (4.2), (4.3), (4.4a), (4.4b), (4.4c), ta coù: 1 0 4 p c c< (4.5a) ( ) 1 * 0 4 , p d dm g − ≥ ∞ (4.5b) ( ) 4 0 0 2 p d c g c d  ′ ∞ ≤    (4.6) ( ) 0 2 0 2 1 4 p d g c s ps c pi − − ′ ∞ ≤ + (4.7) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 14 4 , , p pc M g M g d d ξ ξ ξ ξ− − ′< ≤ ∞ ≥ (4.8a) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 14 4 , , p p d M g M g M c c ξ ξ ξ ξ− −   ′< < ∞ < ≤   (4.8b) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 14 4 , , p p M c g M g d c dξ ξ− − ′< < ∞ < < (4.8c) trong ñoù { }1 1maxM ξ ξ= ∈ C . 49 Chöông 5 CAÙC ÑAÙNH GIAÙ CHO LÔÙP F 5.1 Ñaùnh giaù lôùp haøm F Ñònh lí 5.1 Vôùi caùc giaû thieát vaø kí hieäu ñöôïc neâu ôû chöông 1, f F∀ ∈ , ξ A∈ , ta coù: ( )  ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 2 0 , K K K c s f ps f S f g dpi +′ ′∞ ≥ ∞ ɶ (5.1) ( ) ( ) ( )  ( ) 2 22 0 0 1, K KKps f d S f g c s fpi −′ ′≤ ∞ ∞ −ɶ (5.2) ( ) 1 2 1 1 1 10 1 0 4 K p K K cc M f dd ξ ξ −   +    −  <   ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 11 1 , 4 , , Kp KK K M f M g d g ξ ξ   +    − ′ ∞ ′< ∞ ≥ ′ ∞ (5.3a) ( ) 1 1 11 1 14 p K K KM fξ ξ −   − +    < ( ) ( ) ( ) ( ) 112 1 1 1 0 11 0 , 4 , , KKp K K K M fdd M g M c cc g ξ ξ   +    −   ′ ∞ ′< ∞ < ≤   ′ ∞ (5.3b) 50 ( ) 1 1 1 11 14 p K K KM c f ξ −   − +    < ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 11 1 1 , 4 , , p K KK K M f M g d c d g ξ   +    − ′ ∞ ′< ∞ < < ′ ∞ (5.3c) Chöùng minh. Vì ( ) ( )f h gξ ξ=  neân  ( )  ( ) ( ) ( )1 1 ,s f s h s f s h= =ɶ ɶ (5.4) Nhaân hai veá (3.1) vôùi ( ) 2 Kg ′ ∞ , keát hôïp (1.8), ta coù ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 2 0 , , K K K K c s f ps f S f S h g g dpi +′ ′ ′ ′∞ = ∞ ∞ ≥ ∞ ɶ , ta ñöôïc (5.1). Töø (3.2), (5.4) vaø (1.8), ta coù ( ) ( ) ( )  ( ) 2 2 0 0 12 ,K K K S f ps f d c s f g pi ′ ∞ ≤ − ′ ∞ ɶ , ta ñöôïc (5.2). Vì ( ) ( )f h gξ ξ=  neân ( ) ( ) ( ),f h z z gξ ξ= = . • dξ ≥ : Töø (3.10a), (4.3a) vaø (1.7), ta coù ( ) ( ) 1 1 2 0 0 4 K K p c f h z z d ξ −  = ≥    ( ) 11 1 2 12 2 1 1 1 10 0 1 1 0 0 4 4 4 KK K p Kp p K c c cc M M d d dd ξ ξ −  − −  +  −   −       > =         Vaäy, ta ñöôïc ñaùnh giaù beân traùi cuûa (5.3a). 51 Maët khaùc ( ) ( ) ( ) 1 1 4 , p Kf h z M h zξ ′= ≤ ∞ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 , 4 4 , K p p K M f M g g ξ ′ ∞  ′< ∞   ′ ∞ ( ) ( ) ( ) 11 11 11 4 , , Kp K KKM f M f g ξ   − +    ′ ′ ′= ∞ ∞ ∞ ta ñöôïc ñaùnh giaù beân phaûi cuûa (5.3a) • 1M cξ< ≤ : Töø (3.10b), (4.3b) vaø (1.7), ta coù ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 0 4 , K p K d f h z M h z c ξ   ′= < ∞   ( ) ( ) ( )1 11 2 2 0 0 , 4 4 , K KK p pM hd d M g c c g ξ   ′ ∞  ′< ∞       ′ ∞ ( ) ( ) ( ) 112 1 11 1 0 0 4 , , KKp K K K dd M f M g g cc ξ   − +      ′ ′ ′= ∞ ∞ ∞   Maët khaùc ( ) ( ) 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 14 4 4 4 p p pK K p K K Kf h z z M Mξ ξ ξ −− − −   +  − −      = > > =    . • c R dξ< = < , Töø tính chaát ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,m c f m R f f M R f M d fξ≤ ≤ ≤ ≤ vaø (5.3a), (5.3b), ta coù 52 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 11 1 111 1 1 14 4 , , p K p KK K KKKM c f M f M g g dξ −    −  + +    −    ′ ′ ′< < ∞ ∞ ∞ . ■ 5.2 Moái lieân heä giöõa caùc mieàn chuaån Neáu A coù daïng nhö mieàn E thì ( ) , 1z g a aξ ξ= = = laø pheùp quay. Khi ñoù ( ) ( ) ( )1 , ,g M f M h′ ′ ′∞ = ⇒ ∞ = ∞ . AÙp duïng caùc keát quaû ñaõ thieát laäp cho lôùp haøm H, ta ñaùnh giaù ñöôïc caùc thaønh phaàn moâñun cuûa mieàn B khi B laø moät trong nhöõng mieàn chuaån sau: • 0B B= laø mieàn 1w > bò caét ( )1p p≤ <∞ nhaùt theo baùn kính   ( ) ( )  ( )0 0 2 arg 1 , 1j j w w j c w dp pi σ    = = = − < ≤ ≤ <∞     ℓ • 1B B= laø mieàn 1w > bò caét p nhaùt theo cung troøn ñoàng taâm baùn kính 1R    ( )  ( )  ( )1 2 2 1 arg 1 , 1j jL w j w j w Rp p pi pi σ β β   = = − + − ≤ ≤ + − = >     • 2B B= laø mieàn 1w > bò khoeùt p hình troøn ñoùng bieân j rC  ( ) ( ) 2 , 1 ,arg 1 j j r j j jC w w w r w r w j p pi σ δ   = = − = = > + = −     vôùi 1,2,...,j p= . 53 0 1 0 0 1w 0B 1B 1 0c 0d 1 1R 2B 1 Hình 5.1: Caùc mieàn chuaån vôùi tröôøng hôïp p = 2 . 1) Tröôøng hôïp 0B B= AÙp duïng (3.11), ta ñöôïc ñaùnh giaù cho  0 0,c d   ( ) 1 11 1 0 0 0 04 4 , p pK Kc c d d M f − ′< < < ∞ 2) Tröôøng hôïp 1B B= AÙp duïng (3.11) vôùi  = = ɶɶ1R c d , ta ñöôïc  ( ) 1 11 1 0 1 04 4 , p pK Kc R d M f − ′< < ∞ 3) Tröôøng hôïp 2B B= AÙp duïng (3.2), ta ñöôïc ñaùnh giaù baùn kính r ( )pi pi pi′≤ ∞ − 2 2 2 0 0, K Kp r d S f c ( )   ′ ⇒ ≤ ∞ −    2 2 2 0 0 1 ,K Kr d S f c p Vì δ δ= − = +ɶɶ ,c r d r , aùp duïng (3.9) ta ñöôïc ñaùnh giaù cho δ ( ) 1 11 1 0 04 4 , p pK Kc r r d M fδ δ − ′< − < + < ∞ ( ) 1 11 1 0 04 4 , p pK Kc r d M f rδ − ′⇒ + < < ∞ − . 54 KEÁT LUAÄN Luaän vaên naøy ñöôïc xaây döïng treân neàn taûng caùc boå ñeà töø 2.1 ñeán 2.7 vaø caùc tính chaát cuûa caùc haøm phuï T(p,r,s) vaø R(p,t,s) ñöôïc söû duïng laøm coâng cuï giaûi quyeát nhöõng vaán ñeà ñöôïc ñaët ra cuûa chöông 1. Keát quaû chính cuûa luaän vaên ñöôïc trình baøy ôû chöông 3, 4, 5. Tuy chuùng toâi giôùi haïn mieàn ban ñaàu vaø mieàn aûnh trong tröôøng hôïp ñôn giaûn laø p + 1 thaønh phaàn bieân thay vì pn + 1 nhöng caùc keát quaû ñöôïc ñaùnh giaù baèng caùch chia nhieàu tröôøng hôïp, bieåu thöùc töông ñoái phöùc taïp vaø haàu heát laø môùi. Trong chöông 3, chuùng toâi xaây döïng caùc ñaùnh giaù haøm h H∈ . Chuùng toâi cuõng tìm ñöôïc caän döôùi ñuùng cuûa cɶ qua vieäc giaûi moät baøi toaùn toái öu. Trong chöông 4 vaø chöông 5, chuùng toâi ñaùnh giaù caùc ñaïi löôïng mieàn aûnh thoâng qua caùc ñaïi löôïng cuûa mieàn ban ñaàu. Chuùng toâi cuõng ñaùnh giaù ñöôïc moät soá ñaïi löôïng lieân quan giöõa caùc mieàn chuaån. 55 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO [1] Ahlfors, L.V. and Beurling, A., Conformal invariants and function theoretic null-set, Acta Math., 83 (1950), 101-129. [2] Ahlfors, L.V., Complex analysis, an introduction to the theory of analytic function of one complex variable, New York, McGraw- Hill Book Comp., 1966. [3] Ahlfors, L.V., Lectures on quasiconformal mappings, New York, D. Van Nostrand Comp., 1966. [4] Carleman, T., Uberɺɺ ein Minimalproblem der mathematischen Physik, Math. Z., 1(1918), 208-212. [5] Goluzin, G.M., Geometric theory of functions of a complex vari- able, Providence, Rhode Island 02904, 1969. [6] Grotzschɺɺ , H., Uberɺɺ einige Extremalproblem der konformen Abbildungen, Ber. Akad. Wiss. Zu Leipzig, Math. Phys., Klasse, 80(1928), 367-376. [7] Grotzschɺɺ , H., Uberɺɺ die Verzerrung bei schlichten nichtkon- formen Abbildungen, Ber. Akad. Wiss. Zu Leipzig, Math. Phys., Klasse, 80(1928), 503-507. [8] Grotzschɺɺ , H., Uberɺɺ die Verzerrung bei nichtkonformen Abbil- dungen mehrfach zusammenhangenderɺɺ schlichter Bereiche, Ber. Verhandl. ɺɺSachs. Akad. Wiss. Zu Leipzig, Math. Phys., Klasse, 82(1930), 69-80. [9] Nehari. Z., Conformal mapping, New York, McGraw-Hill Book comp., 1952. 56 [10] Thao V.D., Verhalten schli-konformer Abbildungen in Kreisringe eingebetteter, Math. Nachr., 74(1976), 99-134. [11] Thao V.D., Quelques ineùgaliteùs ,d aires pour les repreùsentations quasicon-formes, Rev.Roum. Math. Pures Appl., 36(9-10) (1991), 521-527. [12] Thao V.D., Estimations pour les repreùsentations quasi-conformes des domaines plans I, Rev. Roum. Math. Pure Appl., 38(1) (1993), 55-66. [13] Thao V.D., Estimations pour les repreùsentations quasi-conformes des domaines plans II, Rev. Roum. Math. Pure Appl., 38(4) (1993), 369-378. [14] Thao V.D., Estimates for quasiconformal mappings onto canonical domains I, Z. Anal. Anw., 18(4) (1999), 819-825. [15] Thao V.D., Estimates for quasiconformal mappings onto canonical domains II, Z. Anal. Anw., 21(4) (2002), 1043-1054. [16] Chinh H.V., Quynh T.V., Vu N.T., Some extremal problems for quasiconformal mappings, The 17th International Conference on Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applica- tions, Ho Chi Minh City, August 3rd – 7th , 2009. [17] Ngoâ Thu Löông, Ñaùnh giaù cho caùc pheùp bieán hình K – aù baûo giaùc nhöõng mieàn giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn vaø cung troøn, Luaän vaên Thaïc só Toaùn hoïc, Tröôøng Ñaïi hoïc Baùch khoa, ÑHQG TP.HCM, 1995. 57 [18] Ngoâ Traán Vuõ, Ñaùnh giaù lôùp pheùp bieán hình aù baûo giaùc leân hình troøn bò caét theo caùc cung troøn ñoàng taâm, Luaän vaên Thaïc só Toaùn hoïc, Tröôøng ÑHKHTN, ÑHQG TP.HCM, 2005. [19] Leâ Minh Hoaøng, Ñaùnh giaù caùc pheùp bieán hình aù baûo giaùc ( )=w f z thoûa ( ) 1f z > vaø ( )f ∞ =∞ , Luaän vaên Thaïc só Toaùn hoïc, Tröôøng ÑHKHTN, ÑHQG TP.HCM, 2008.