Luận văn Một số tính chất chọn lọc về hệ động lực rời rạc

Lời nói đầu Lý thuyết định tính các hệ động lực là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết phương trình vi phân và sai phân. Trong lý thuyết đó, tính ổn định là một trong những tính chất tiêu biểu, có nhiều ứng dụng trong thực tế, được quan tâm nghiên cứu trong những thập kỷ gần đây. Được bắt đầu nghiên cứu từ cuối thế kỷ XIX bởi nhà toán học V.Lyapunov và đến nay đã trở thành một hướng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết hệ thống và ứng dụng. Các công trình của Luapunov có nhiều kết quả và ý tưởng xuất sắc có giá trị nền tảng cho những nghiên cứu sau này và hơn thế nó còn có ý nghĩa đặt nền móng cho toàn bộ lý thuyết định tính của phương trình vi phân thường. Hai phương pháp do ông đề xuất là phương pháp mũ Lyapunov (phương pháp thứ nhất) và phương pháp hàm Lyapunov (phương pháp thứ hai hay phương pháp trực tiếp) vẫn là hai cách tiếp cận chính khi nghiên cứu về ổn định. Đến những năm 60 của thế kỷ XX, cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển, người ta cũng bắt đầu nghiên cứu tính ổn định của các hệ điều khiển. Bài toán nghiên cứu tính ổn định các hệ điều khiển được gọi là bài toán ổn định hoá. Bài toán ổn định cho các hệ rời rạc là một trong những bài toán quan trọng trong lý thuyết định tính các hệ động lực. Bài toán này từ trước cho đến nay nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước, có thể kể ra đây một số tác giả như Ladas, Agarwal, Gabasov and Kirillova, Myskis, Hoàng Hữu Đường, Nguyễn Khoa Sơn, Vũ Ngọc Phát, Nguyễn Văn Minh, Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương và phần tài liệu tham khảo. Chương 1: Cơ sở toán học. Chương 2: ổn định và ổn định hóa các hệ rời rạc. Chương 3: ổn định và ổn định hóa bền vững các hệ có trễ. Mục lục Lời nói đầu 2 Một số kí hiệu dùng trong luận văn 5 Chương 1 Cơ sở toán học 6 1.1 Phương trình vi phân và sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Các định lý và bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương 2 ổn định và ổn định hoá các hệ rời rạc 15 2.1 ổn định của các hệ rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 ổn định của các hệ rời rạc tuyến tính . . . . . . . . . 15 2.1.2 ổn định của các hệ rời rạc phi tuyến . . . . . . . . . . 16 2.1.3 ổn định của hệ rời rạc tuyến tính có trễ . . . . . . . . 18 2.2 ổn định hoá các hệ rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Bài toán ổn định hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2 ổn định hoá của hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 3 ổn định và ổn định hoá bền vững các hệ có trễ 32 3.1 Sự ổn định hoá bền vững của hệ có trễ . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 Sự ổn định bền vững và ổn định hoá bền vững của hệ có trễ với nhiễu phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50