Luận văn Một số tính chất của hàm tựa lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------*****-------- TÔ CÔNG DOANH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TỰA LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------*****-------- TÔ CÔNG DOANH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TỰA LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------*****-------- TÔ CÔNG DOANH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TỰA LỒI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU THÁI NGUYÊN – 2008 MỤC LỤC Trang Mở đầu .......................................................................................... 1 Chương I HÀM TỰA LỒI KHÔNG TRƠN 1.1. Các khái niệm và định nghĩa ............................................................ 3 1.2. Hai tính chất đặc trưng của hàm tựa lồi, nửa liên tục dưới .............. 7 1.3. Các hàm tựa lõm và tựa affine ......................................................... 15 1.4. Hàm giả lồi ………………………………………………………… 19 1.5. Hàm không hằng số radian . ………………………………………. 25 Chương II CÁC HÀM TỰA LỒI CHẶT VÀ BÁN CHẶT KHÔNG TRƠN 2.1. Dưới vi phân Clarke – Rockafellar ...................................................... 30 2.2. Tính chất đặc trưng cho hàm tựa lồi bán chặt ..................................... 36 2.3. Tính chất đặc trưng cho hàm tựa lồi chặt ………………………........ 43 2.4. Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân …………………....... 46 KẾT LUẬN ……………………………………………………. 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………… …….... .. 51 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên MỞ ĐẦU Lớp các hàm lồi và hàm lồi suy rộng đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu hoá. Hàm tựa lồi được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả sâu sắc. Trong [10] O.L. Mangasarian đã trình bày lí thuyết các hàm tựa lồi, hàm giả lồi khả vi và mối quan hệ giữa hàm tựa lồi và các hàm lồi suy rộng liên quan. D. Aussel [1] đã nghiên cứu các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi và giả lồi không trơn qua tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của dưới vi phân của hàm đó và mối quan hệ giữa các khái niệm này. A. Daniilidis và N. Hadjisavvas [3] nghiên cứu các hàm tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn. Kết quả chỉ ra rằng một ánh xạ Lipschitz địa phương là tựa lồi bán chặt hoặc tựa lồi chặt nếu và chỉ nếu dưới vi phân Clarke của nó tương ứng là tựa đơn điệu bán chặt hoặc tựa đơn điệu chặt. Luận văn tập trung trình bày các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi, giả lồi, tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu, giả đơn điệu, tựa đơn điệu chặt và tựa đơn điệu bán chặt của dưới vi phân của hàm đó. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương I . Hàm tựa lồi không trơn. Trình bày các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi và giả lồi không trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của dưới vi phân của hàm 2 đó. Kết quả chỉ ra rằng hàm liên tục radian, nửa liên tục dưới f là giả lồi khi và chỉ khi f là tựa lồi và thoả mãn điều kiện :  0 f x f  có cực tiểu toàn cục tại x. Chương II. Các hàm tựa lồi chặt và bán chặt không trơn. Trình bày các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu chặt và tựa đơn điệu bán chặt của dưới vi phân của nó. Phần cuối chương trình bày một áp dụng chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS – TS Đỗ Văn Lưu – Viện toán học Việt Nam, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và nghiêm khắc trong khoa học để tác giả hoàn thành bản luận văn. Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn tập thể giảng viên Khoa Toán đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập, nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn các phòng ban chức năng và khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Thái Nguyên, các thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ rất nhiều để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 Chương I HÀM TỰA LỒI KHÔNG TRƠN Chương I trình bày các tính chất đặc trưng của hàm tựa lồi và giả lồi không trơn qua tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của dưới vi phân của hàm đó, và mối quan hệ giữa hai khái niệm này. Kết quả cũng chỉ ra rằng hàm liên tục radian, nửa liên tục dưới f là giả lồi khi và chỉ khi f là tựa lồi và thoả mãn điều kiện :  0 f x f  có cực tiểu toàn cục tại x. Kết quả trong chương này là của D. Aussel [1]. 1.1 Các khái niệm và định nghĩa Giả sử X là không gian Banach, *X là không gian đối ngẫu tôpô của X và là cặp đối ngẫu. Giá trị của hàm * *u X tại u X là *,u u . Với , 0x X   , ta ký hiệu  B x là hình cầu tâm x bán kính  :    ' : 'B x x X x x    . Với ,x y X , ta ký hiệu đoạn thẳng đóng  ,x y là :     , 1 : 0 1x y tx t y t     , Khoảng mở  ,x y là :     , 1 : 0 1x y tx t y t     . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 Tương tự ta có các khoảng  ,x y ,  ,x y . Hầu hết các hàm  :f X    được xét trong chương này là hàm nửa liên tục dưới và domf là miền hữu hiệu của f   : :domf x X f x    Xét ánh xạ đa trị : *A X X . Ký hiệu   : :domA x X A x   . Định nghĩa 1.1 ([2]) Dưới vi phân của hàm nửa liên tục dưới  :f X    tại x X mà ta ký hiệu  f x , là tập con của tập *X thoả mãn 3 điều kiện sau : (P1):       * **: , , f x x X x y x f x f y y X          khi f là hàm lồi ; (P2):  0 f x nếu x domf là cực tiểu địa phương của f; (P3):       f g x f x g x      khi g là hàm giá trị thực lồi liên tục, và g là  - khả vi tại x. Ở đây g là  - khả vi tại x nghĩa là cả  g x và   g x  là khác rỗng. Ta nói rằng một hàm f là  - dưới khả vi tại x khi  f x  Khái niệm dưới vi phân trừu tượng trên bao hàm một lớp rộng các dưới vi phân chẳng hạn : dưới vi phân Clarke – Rockafeller CR f ; dưới vi phân dưới và dưới vi phân trên Dini D f và D f ; dưới vi phân Hadamard dưới H f ; dưới vi phân Fréchet F f , … Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 Nhắc lại, một hàm là D  khả vi ( H  khả vi , F  khả vi) tại x nếu và chỉ nếu nó là khả vi Gâteaux tại x ( Hadamard, Fréchet). Sau đây ta sẽ tập trung vào lớp các dưới vi phân  mà nó thoả mãn các tính chất (P1), (P2), (P3) và một trong các bao hàm thức sau : D   ; hoặc CR   . Chú ý rằng, các dưới vi phân Clarke – Rockafeller, dưới vi phân Dini trên là lớn nhất trong số các dưới vi phân cổ điển. Nói riêng, ta có (xem [2]) F H CR     H D D      . Ta nhắc lại định nghĩa của dưới vi phân Clarke – Rockafeller và định nghĩa của dưới vi phân trên Dini :     * **: , , , CR f x x X x v f x v v X      , với                0, 0 0 0 0 , d B v u B x B f x f u t f u td f x v t                         supinf sup inf . Có thể lấy  f u  khi f là hàm nửa liên tục dưới; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6     * **: , , , D Df x x X x v f x v v X       , với       ,D f x tv f x f x v t    t 0 lim sup . Định nghĩa 1.2 Một chuẩn . trên X gọi là   trơn nếu các hàm giá trị thực, lồi, liên tục có dạng sau là   khả vi (i)   22 , , : a b c a b d x x c             min , trong đó [a,b] là đoạn thẳng đóng trong X; (ii)   2 2 : n n n x x v   , trong đó  1, 0; n n n v   hội tụ trong X . Ta nói rằng một không gian Banach nhận một chuẩn mới   trơn nếu nó nhận một chuẩn tương đương mà chuẩn đó là   trơn. Cho một vài ví dụ về chuẩn   trơn trong [2] : (a) Một chuẩn là D  trơn nếu nó là D  khả vi trên  \ 0X , nghĩa là nếu nó là khả vi Gâteaux trên  \ 0X . (b) Một chuẩn bất kỳ là CR  trơn bởi vì các hàm 2 ,a b d     , 2 là hàm Lipchitz địa phương. Kết quả sau đây là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức giá trị trung bình trong [2]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 Mệnh đề 1.1 Giả sử X là không gian Banach với một chuẩn mới   trơn và hàm  :f X    nửa liên tục dưới. Với bất kỳ ; a domf b X  sao cho    f a f b ,  ,c a b  và dãy  nx hội tụ đến c và    * *; n n nx x f x sao cho * , 0, n nx d x n   , với mọi  , 0d c t b a t    . 1.2 Hai tính chất đặc trưng của hàm tựa lồi, nửa liên tục dưới Nhắc lại rằng f là hàm tựa lồi nếu  , , ,x y X z x y    thì       ,f z f x f ymax . Ta biết rằng, trong trường hợp khả vi, hàm tựa lồi thoả mãn :      , 0f x y x f x f y     . Trường hợp không khả vi, tính chất trên trở thành        * * : , 0Q x f x x y x f x f y      . Kết quả đầu tiên khẳng định rằng tính chất hỗn hợp mạnh hơn một chút sau đây đặc trưng cho tính tựa lồi của hàm nửa liên tục dưới.          * * : , 0 , ,sQ x f x x y x f z f y z x y        . Ví dụ 1.1. Xét hàm số f xác định trên  như sau : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8   , 0, 0, 0< 1, 1, 1. x khi x f x khi x x khi x        Khi đó f là hàm tựa lồi trên  , nhưng f không là hàm lồi trên  . Định lý 1.1 Giả sử X là không gian Banach với một chuẩn mới   trơn và  :f X    là một hàm nửa liên tục dưới. Ta có các khẳng định sau là tương đương: (i) f là hàm lồi; (ii)        * *: , 0 , ,x f x x y x f z f y z x y        . Chứng minh (i)  (ii) Trong trường hợp CRf f   . Giả sử  *, , x y domf x f x  thoả mãn   *, , 0f x y x x y x     . Vì vậy, tồn tại 0  sao cho n  có thể tìm được  n n x B x Và khi đó,    , 0,1n ny x B y x t    thoả mãn     n n n nf x t y x f x   . Do f là hàm tựa lồi, theo bất đẳng thức trên kéo theo  0,1t  ta có     n nf x t y x f y   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 Và vì vậy, do tính chất nửa liên tục dưới của hàm f ta suy ra      , ,f z f y z x y   . Trường hợp Df f   . Thật vậy, nếu ,x y và  * Dx f x thoả mãn  , 0Df x y x   , thì   _ f z f x       với _z nào đó   _ z ,x y . Do tính chất tựa lồi của hàm f ,      , ,f y f z z x y   .    ii i : Giả sử ,x y domf và    1 ,z x y x y     với    f z f x . Theo mệnh đề 1.1 tồn tại dãy    *, n nx x sao cho     _ *, , n n nx x x z x f x   , và * , 0, n nx y x n    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Giả thiết (ii) kéo theo n  , mọi điểm  ,nz x y xác định bởi  1nz x y    thoả mãn    f z f y . Do đó theo tính chất nửa liên tục dưới ta có    f z f y . Kết quả sau đây chỉ ra rằng một hàm liên tục hoặc liên tục radian (có nghĩa là liên tục trên mỗi đoạn ) hai tính chất (Q) và ( Qs ) là tương đương. Mệnh đề 1.2 Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới   trơn. Mọi hàm liên tục radian, nửa liên tục dưới thoả mãn tính chất (Q) là hàm tựa lồi. Chứng minh Giả sử  , , ,x y X z x y  thoả mãn      ,f z max f x f y    . Áp dụng mệnh đề 1.1 cho các điểm x, z ta nhận được hai dãy  na và  *na , với na hội tụ về  ,a x z ,  *n na f a và * , 0, n na c a n    và  ,c x z  . Khi đó, theo tính chất (Q) ta suy ra    nf a f c . Vì vậy, sử dụng tính chất nửa liên tục dưới của hàm f ta có     ,c z y f a f c     min . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 Lý luận tương tự như trên thì do    f z f y ta suy ra  ,b z y  sao cho     ,c z y f b f c     min . Vì vậy,       ,c x y f a f b f c      min . Vì hàm f là hàm liên tục radian cho nên tồn tại         _ 0,1 : 2 f a f z t t f a t z a           max . Áp dụng mệnh đề 1.1 cho điểm     _ _ ,a a t z a a z    và y, sử dụng tính chất (Q) ta suy ra ' ,a a z       sao cho    'f a f b . Điều mâu thuẫn nhận được do          ' 2 f a f z f a f b f a     . Nhắc lại, ánh xạ đa trị : *A X X là tựa đơn điệu nếu ,x y X  ,    * * * *: , 0 : , 0x A x x y x y A y y y x        . Sự tương tự giữa tính chất tựa lồi của hàm và tựa đơn điệu của dưới vi phân của nó đã được nghiên cứu trong [2] cho trường hợp CR   . Mục đích của hai kết quả tiếp theo chỉ ra rằng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 f là hàm tựa lồi  f là tựa đơn điệu. và suy luận ngược lại là hệ quả của định lý 1.1. Mệnh đề 1.3 Giả sử X là không gian Banach. Khi đó dưới vi phân Clarke – Rockafellar và dưới vi phân Dini trên của hàm tựa lồi  :f X    là tựa đơn điệu. Chứng minh Giả sử rằng f là hàm tựa lồi và giả sử  *, , CR CRx y dom f x f x   sao cho *, 0x y x  . Ta chỉ cần chứng minh rằng  , 0f y x y   . Ta có với  0, 0,      sao cho  *, 0, x v x v B y    . Cố định   _ v B y . Bởi vì _ ,f x v x       là dương chặt cho nên      ' '_' 0, : , ( ) v u B x B f x         và  0,1  sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 _ _ '_ v v u B v x         , và _ _ _ _ v v v f u v u f u                 . Từ các bất đẳng thức này theo giả thiết tựa lồi của hàm f ta suy ra   _ _ _ _ , 0,1 v f v t u v f v t                    . Hơn nữa, từ việc chọn  và ' suy ra   _ _ v u v B x y   . Tổng hợp các bước trên ta có : 0; 0     sao cho  v B y  và   B f y  ;  f v  và  0,1t  ta tìm được phương  vw u v B x y    sao cho    0 vf v t u v t     . Điều này kéo theo  , 0f y x y   . Trong trường hợp dưới vi phân Dini trên, từ tính tựa lồi của hàm f ta có      , 0Df x y x f x f y     , hoặc Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14      , 0Df x f y f y x y    . Vì vậy nếu  * Dx f x thoả mãn *, 0x y x  , thì ta nhận được    f x f y . Vì vậy,  , 0Df y x y   . Như vậy ta đã chỉ ra rằng D f là ánh xạ đa trị tựa đơn điệu. Định lý 1.2 Giả sử X là không gian Banach, với chuẩn mới   trơn và hàm  :f X    nửa liên tục dưới. Khi đó, f là hàm tựa lồi nếu và chỉ nếu f là tựa đơn điệu. Chứng minh Bởi vì dưới vi phân trừu tượng f được giả thiết nằm trong CR f hoặc D f , cho nên phần “chỉ nếu” được chứng minh từ mệnh đề 1.3. Để chứng minh phần “nếu”, ta giả sử rằng f là tựa đơn điệu, ta phải chứng minh rằng hàm nửa liên tục dưới f thoả mãn tính chất ( Qs ). Giả sử , , x dom f y domf x y    và  ,z x y sao cho    f z f y . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 Áp dụng mệnh đề 1.1 cho y, z ta có dãy     _ ,ny y x y  và dãy  *ny thoả mãn  *n ny f y và * , 0,n ny x y n    . Do tính tựa đơn điệu của f ta có *, 0, nx x y n   và  *x f x  . Khi đó, _ * * _ , , 0. y x x y x x y x y x       Như vậy hàm f thoả mãn tính chất ( sQ ). 1.3. Các hàm tựa lõm và hàm tựa affine Hàm f được gọi là hàm tựa lõm nếu (- f) là hàm tựa lồi. Hàm f được gọi là tựa affine nếu f và (- f) là hàm tựa lồi. Ví dụ 1.2. Xét hàm số   2 , 0, 1 0, 0 , 2 1 2 1, . 2 x khi x f x khi x x khi x             Khi đó f là hàm tựa lồi và tựa lõm trên  . Do đó f là hàm tựa affine trên  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 Xét tính chất hỗn hợp sau đây          * * : , 0 , ,sQ x f x x y x f z f y z x y         . Đặc trưng tính tựa lõm của hàm f bằng tính chất  sQ nói chung không thể suy ra được từ định lý 1.1. Thật vậy, khi xét hàm (- f ) thay cho hàm f trong định lý 1.1 cho ta đặc trưng của tính tựa lõm của hàm f theo ngôn ngữ của  f  mà  f  nói chung là khác f . Mệnh đề 1.4 Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới   trơn và hàm  :f X    là liên tục. Khi đó, f là hàm tựa lõm nếu và chỉ nếu ,x y X  , hàm f thoả mãn tính chất  sQ          * * : , 0 , ,sQ x f x x y x f z f y z x y         . Chứng minh Suy ra đúng như chứng minh của định lý 1.1. Giả sử f thoả mãn tính chất  sQ và  , , ,x y X z x y  thoả mãn    f z f y . Từ mệnh đề 1.1 ta suy ra tồn tại hai dãy    ,na a z y  và dãy    * *, nn na a f a thoả mãn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 * , 0,n na y a n    . Cho 1 2, t t là hai số dương thoả mãn 1 20 t t  , sao cho    1 2, z a t a y x a t a y      ; Và xác định hai dãy    , n nx z bởi    1 2; n n n n nz a t a y x a t a yn      . Với n đủ lớn ta có * , 0n n na x a  . Vì vậy theo tính chất  sQ ta có    n nf z f x . Cuối cùng, do f là hàm liên tục ta có    f z f x . Ngược lại, giả sử f là hàm tựa lõm, giả sử    *, , , , x dom f y X z x y x f x     thoả mãn *, 0x y x  . Nếu CRf f   thì các điểm x và y thoả mãn  , 0f x x y   , và vì vậy 0  sao cho n  có thể tìm được   1 , 0,n n n x B x t n         Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 thoả mãn     n n n nf x t x y f x   . Với n bất kỳ, hai điểm nx và  1nnz x t y   ( với  định nghĩa bởi  1z x t y   nằm trên đoạn thẳng   ,n n nx t x y y  ). Do f là hàm tựa lõm nên ta có     1nf x t y f y    . Do f là hàm nửa liên tục trên nên    f z f y . Nếu Df f   , ta có  , 0Df x x y   . Vì vậy, với mọi n, tồn tại 1 0,nt n       thoả mãn     nf x t x y f x   . Nhưng f là hàm tựa lõm và   , ,nx x t x y y n    . Vì vậy,    f z f y và f thoả mãn tính chất  sQ . Hệ quả 1.1 Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới   trơn và hàm  :f X    liên tục. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương : (i) f là hàm tựa affine; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 (ii)  * *: , 0x f x x d      1 2 1 2,f x t d f x t d t t      . Thật vậy, kết hợp các tính chất  sQ và  sQ tương đương với    * * ,: , 0 :x dx f x x d f t f x td     không tăng trên  . Đó chính là khẳng định (ii). Tương đương khác của (ii) là :        * *, , : , 0 .z x y z f z z y x f x f y        1.4. Hàm giả lồi Hàm f được gọi là giả lồi nếu ,x y X  ta có :      * *: , 0x f x x y x f x f y      . Trong trường hợp f khả vi Fréchet, định nghĩa có dạng :      , 0 ,f x y x f y f x     trong đó  f x là ký hiệu đạo hàm Fréchet của hàm f tại x. Trong trường hợp khả vi, mọi hàm giả lồi thoả mãn tính chất cơ bản sau : (a) Mọi cực tiểu địa phương của hàm f là cực tiểu toàn cục. (b)  0 f x f  có cực tiểu toàn cục tại x. Mối quan hệ giữa tính tựa lồi và giả lồi là không đơn giản. Ví dụ 1.3. (a) Hàm số   3f x x là tựa lồi và không là hàm giả lồi trên  . (b) Hàm f trong ví dụ 1.1 không là hàm giả lồi trên  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 (c) Xét hàm số   , 0, 1 , 0. 2 x khi x f x x khi x      là hàm giả lồi trên  . Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa tính giả lồi và tính tựa lồi của hàm nửa liên tục dưới, liên tục radian. Định lý 1.3 Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới   trơn và hàm  :f X    nửa liên tục dưới và liên tục radian. Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương : (i) f là hàm giả lồi; (ii) f là hàm tựa lồi và (  0 f x f  có cực tiểu toàn cục tại x). Chứng minh    i ii : Từ định nghĩa của hàm giả lồi ta có Nếu  0 f x thì    , f x f y y X   . Vậy x là cực tiểu toàn cục của hàm f . Mặt khác, f là hàm nửa liên tục dưới, liên tục radian và thoả mãn tính chất (Q) bởi vì mọi hàm giả lồi thoả mãn tính chất (Q) . Khi đó theo mệnh đề 1.2 hàm f là hàm tựa lồi.    ii i : Giả sử ,x dom f y X   và  *x f x sao cho *, 0x y x  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 Nếu  0 f x thì x là cực tiểu toàn cục của f, và ta có    f x f y . Trong trường hợp  0 f x thì tồn tại d X  sao cho *, 0x d  . Bây giờ ta định nghĩa dãy  ny bởi 1 2 ny y d n d   . Với n  , điểm ny thoả mãn  1n n y B y , * * * *1, , , , 0 2 n nx y x x y y x y x x d n d        . Sử dụng định lý 1.1 ta nhận được ,n     nf y f x . Và do tính chất liên tục radian của f ta suy ra    f y f x . Bây giờ sử dụng quan hệ giữa tính tựa lồi và tính giả lồi và đặc trưng của tính tựa lồi bởi tính tựa đơn điệu của dưới vi phân của nó thì có thể cho hai đặc trưng của hàm giả lồi, liên tục radian, nửa liên tục dưới. Nhắc lại rằng, ánh xạ đa trị : *A X X gọi là giả đơn điệu nếu ,x y X  ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22    * * * *, , 0 , , 0x A x x y x y A y y y x        . Định lý 1.4 Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới   trơn và hàm  :f X    nửa liên tục dưới, liên tục radian. Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương: (i) f là hàm giả lồi; (ii)  * *: , 0x f x x y x         , ,f z f y z x y    ; (iii) f là giả đơn điệu. Chứng minh    i ii : Giả sử  *, x dom f x f x   sao cho *, 0x y x  . Theo định nghĩa của hàm giả lồi ta có    f x f y . Nhưng theo định lý 1.3 thì hàm f là hàm tựa lồi. Vì vậy,  ,z x y     f z f y .    ii i : Hiển nhiên .    i iii : Trường hợp CRf f   . Giả sử ngược lại rằng f là hàm giả lồi và f không giả đơn điệu. Điều này có nghĩa là  *, , x y dom f x f x    và  *y f y sao cho * *, 0, , 0x y x y y x    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 Ta khẳng định được rằng :  0 f y . Thật vậy, bởi vì      , 0 0, ' , 0,1f x y x x B x        sao cho     ' ' 'f x y x f x  . Từ định lý 1.3, hàm f là tựa lồi và ta có    'f x f y , Vì f là hàm giả lồi, nên bất đẳng thức này kéo theo  f y  , , ' 0y x   ; Từ đó, suy ra  0 f y . Bây giờ, ta chú ý rằng 0  sao cho  *, 0, x u x u B y    . Khi đó, do tính giả lồi của hàm f ta suy ra  u B y  ,    f u f x . Bởi vì *, 0y x y  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 nên ta nhận được    f x f y . Vì vậy y là cực tiểu địa phương của f và từ tính chất (P2) ta có 0 là phần tử của  f y . Điều này mâu thuẫn với khẳng định trên, nên ta có điều phải chứng minh.    i iii : Trường hợp Df f   . Giả sử  *, , x dom f y X x f x    sao cho thoả mãn *, 0x y x  . Khi đó tồn tại  0,1  sao cho     f x y x f x  . Bởi vì f là hàm tựa lồi, theo định lý 1.3 ta có    f y f x . Bây giờ, do tính giả lồi của hàm f cho nên  *y f y  ta có *, 0y x y  . Như vậy f là hàm giả đơn điệu.    iii i : Sử dụng định lý 1.3 ta sẽ chứng minh rằng f là hàm giả lồi Thật vậy, ánh xạ đa trị f là giả đơn điệu, và vì vậy f là tựa đơn điệu. Theo định lý 1.2 thì hàm f là hàm tựa lồi. Mặt khác, nếu x không là cực tiểu của f thì tồn tại y X sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25    f y f x . Theo mệnh đề 1.1 có thể tìm được  *, a dom f a f a   sao cho *, 0a x a  ; và khi đó do tính giả đơn điệu của f thì  * *, 0, x x a x f x    . Vì vậy,  0 f x . Do đó, f thoả mãn  0 f x  x là cực tiểu địa phương của f. 1.5. Hàm không hằng số radian Ta nói rằng hàm f là không hằng số radian nếu không thể tìm được một đoạn thẳng nào mà trên đó f là hằng số, nghĩa là  , , ,x y X z x y    với   f x f z . Mục đích của phần này là chứng minh các kết quả với giả thiết không hằng số radian thay cho giả thiết liên tục hoặc liên tục radian. Mệnh đề 1.5 Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới   trơn và hàm  :f X    nửa liên tục dưới và không hằng số radian. Nếu f là giả lồi thì f là giả đơn điệu. Chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 Giả sử ngược lại f là hàm giả lồi nhưng f không là hàm giả đơn điệu. Vì vậy,    * *, , , x y dom f x f x y f y     sao cho *, 0x y x  và *, 0y y x  . Bởi vì f là hàm giả lồi cho nên các bất đẳng thức trên kéo theo        , f y f x f y f x  . Hơn nữa,  ,z x y  ta có * *, , 0 z x x z x x y x y x       . Vì vậy, do tính giả lồi của hàm f thì      f x f y f z  . Vì hàm f là không hằng số radian cho nên   _ ,z x y  sao cho     _ f z f x f y        . Lấy   _ ,f x f z          . Do tính nửa liên tục của hàm f ta có   , f u u V   , trong đó V là một lân cận của _z . Giả sử _ _ ,x x z       sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 _ _ _ , ,x z V x z              . Bởi vì f là không hằng số radian nên _ _ ,a x z        thoả mãn   _ f a f z        . Bây giờ giả sử rằng   _ f a f z        . Theo mệnh đề 1.1 tồn tại hai dãy   _ ,nb b a z       và  *nb ,  *n f bnb  sao cho *, 0, n nb y b n    . Bởi vì f là giả lồi và nửa liên tục dưới nên ta có    f y f b . Nhưng _ _ ,b x z V        cho nên    f b f y  . Vì vậy,   _ f a f z        . Điều này dẫn đến mâu thuẫn với  f a f z        . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 Sử dụng đúng lý luận như trên có thể chứng minh rằng trường hợp  f a f z        cũng không xảy ra được. Như vậy ta nhận được mâu thuẫn. Hệ quả 1.2 Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới   trơn. Mọi hàm nửa liên tục dưới, không hằng số radian và giả lồi là hàm tựa lồi. Chứng minh Nếu f là hàm nửa liên tục dưới, không hằng số radian và giả lồi thì theo mệnh đề 1.5 dưới vi phân của f là hàm giả đơn điệu. Vì vậy f là tựa đơn điệu. Theo định lý 1.2 ta có f là hàm tựa lồi. Ta nói rằng hàm  :f X    là (a) Tựa lồi chặt nếu  , , ,x y X z x y    ,       max ,f z f x f y (b) Giả lồi chặt nếu  *, , x y X x f x    ,    *, 0 x y x f x f y    . Hiển nhiên, mọi hàm tựa lồi chặt ( giả lồi chặt) là tựa lồi ( giả lồi). Mệnh đề 1.6 Giả sử X là không gian Banach chuẩn mới   trơn và hàm  :f X    nửa liên tục dưới. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 (i) f là hàm giả lồi và không hằng số radian; (ii) f là hàm tựa lồi chặt và giả lồi chặt. Chứng minh    i ii : Theo hệ quả 1.2, hàm không hằng số radian f là tựa lồi và vì vậy f là tựa lồi chặt. Để chứng minh f là giả lồi chặt, ta giả sử ngược lại là tồn tại  *, , x dom f y domf x f x    sao cho *, 0x y x  và    f x f y . Do đó,  ,z x y  ta có * , 0x z x  và vì vậy,      f z f x f y  . Nhưng điều này mâu thuẫn với f là hàm tựa lồi chặt.   ( )ii i : Hiển nhiên, bởi vì mọi hàm tựa lồi chặt là không hằng số radian. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 Chương II CÁC HÀM TỰA LỒI CHẶT VÀ BÁN CHẶT KHÔNG TRƠN Chương II trình bày các nghiên cứu về hàm tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn của A. Daniilidis và N. Hadjisavvas [3]. Kết quả chỉ ra rằng một ánh xạ Lipschitz địa phương là tựa lồi bán chặt hoặc tựa lồi chặt nếu và chỉ nếu dưới vi phân Clarke của nó tương ứng là tựa đơn điệu bán chặt hoặc tựa đơn điệu chặt. Phần cuối của chương này trình bày một áp dụng cho bất đẳng thức biến phân. Kết quả cho thấy với một toán tử tựa đơn điệu bán chặt xác định trên một tập lồi compact yếu K thì bài toán bất đẳng thức biến phân đối ngẫu có nghiệm. 2.1 Dưới vi phân Clarke – Rockafellar Giả sử X là không gian Banach và *X là không gian đối ngẫu của X . Cho tập A X , ký hiệu co(A) là bao lồi của A. Ta sẽ luôn xét hàm  :f X    với miền hữu hiệu ( )dom f   . Hàm xác định trên tập con của X sẽ được xét như là nhận giá trị  ở ngoài tập con đó. Giả sử hàm f là hàm nửa liên tục dưới. Nhắc lại đạo hàm suy rộng Clarke - Rockafaller của f tại 0x domf theo phương d X được cho bởi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31         0 00 ' 0 ' , sup x x d B d f t f x td f x f x d lim t               sup inf, Trong đó 0t  nghĩa là 0, 0t t  0f x x nghĩa là    0 0, x x f x f x  . Nếu f liên tục tại 0x thì  0 ,f x v  có dạng đơn giản hơn :         0 0 0 ' 0 ' , sup x x d B d t f x td f x f x v lim t               sup inf Nhắc lại nón tiếp tuyến Clarke của tập C X tại 0x C được định nghĩa như sau :       0 0 : , , 0, sao cho n C n n n n n n v X x C x x T x v x C n t v t v                  . Với hàm giá trị thực mở rộng f xác định trên X, trên đồ thị của f được định nghĩa như sau :     , :epif x r X f x r    . Nhắc lại [6] : Nếu  0f x   thì     0 0 0, ,.epifT x f x epif x  . Dưới vi phân Clarke - Rockafaller của f tại 0x domf được xác định bởi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32     * *0 0*: , , , CR f x x X x d f x d d X      ; Nếu 0x domf thì  0 CR f x  . Chú ý rằng :    0 0 ,0 CR f x f x    ; và nếu  0 ,0f x    thì     0 0, sup , : CRf x v v f x   . Trong trường hợp f là hàm Lipschitz địa phương, đạo hàm suy rộng của hàm f theo phương v X tại 0x , ký hiệu là  0 0 ,f x v , được xác định như sau :       0 0 0 0 , x x t f x tv f x f x v t     lim sup . trong đó , 0x X t  . Đây là khái niệm đạo hàm suy rộng theo phương của F.H. Clarke. Trong trường hợp f là hàm Lipschitz địa phương, ta có f  trùng với đạo hàm suy rộng Clarke 0f :      00 0, , f x v f x v v X     Dưới vi phân Clarke ( hay gradient suy rộng Clarke ) được xác định bởi :     * * 00 0*: , , , d XC f x x X x d f x d      , và ta có    0 0 C CRf x f x   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 Nếu f là Lipchitz địa phương với hằng số Lipschitz K tại x, khi đó xem ([6]) hàm  0 ,v f x v hữu hạn, thuần nhất dương, dưới cộng tính trên X và  0 ,f x v K v . Đồng thời ta có   0 C f x  khi 0x domf ;   0 C f x lồi, compact *yếu trong X*, và   0 CK f x    . Hơn nữa, v X  ,     0 0 0, , : Cf x v max v f x  . Nhắc lại : (i) Hàm f được gọi là tựa lồi nếu ,x y domf  ta có         , , ,f z f x f y z x y  max ; (ii) Hàm f được gọi là tựa lồi bán chặt nếu domf là lồi và ,x y domf  thì          , ,f x f y f z f y z x y     ; (iii) Hàm f được gọi là tựa lồi chặt nếu ,x y domf  ta có         , , ,f z f x f y z x y  max . Chú ý rằng : (a) Hàm f là tựa lồi chặt nếu và chỉ nếu nó tựa lồi và không hằng số trên mọi đoạn  ,x y của miền hữu hiệu của nó; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 (b) Một hàm nửa liên tục dưới, tựa lồi bán chặt là hàm tựa lồi; (c) Mọi cực tiểu địa phương 0x domf của hàm tựa lồi bán chặt là cực tiểu toàn cục. Ta xét các toán tử đa trị *: 2XT X  với miền hữu hiệu khác rỗng     :D T x X T x   . Toán tử đa trị T gọi là tựa đơn điệu nếu ,x y X  ,    * * * *: , 0 : , 0x T x x y x y T y y y x        . Bổ đề sau đây cho ta một tính chất hay của hàm tựa lồi, nửa liên tục dưới mà sẽ được sử dụng thường xuyên sau này. Theo [2], một chuẩn bất kỳ là CR  trơn, cho nên khi sử dụng các định lý 1.1, 1.2 để chứng minh bổ đề 2.1 dưới đây ta không cần giả thiết gì thêm về chuẩn của X. Bổ đề 2.1 Giả sử  :f X    là hàm nửa liên tục dưới, tựa lồi. Giả sử rằng ,x y domf  sao cho f là hàm hằng trên đoạn  ,x y và tồn tại  * CRx f x sao cho *, 0x y x  . Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng : (i)  ,z x y  là cực tiểu địa phương của f; (ii) x không là cực tiểu địa phương; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 (iii)  ,z x y  và  * CRz f z , ta có : *, 0z y x  . Chứng minh (i) Theo định lý 1.2 f là hàm tựa đơn điệu. Giả sử  ,z x y . Vì *, 0x z x  nên 0  sao cho  *, ' 0, 'x z x z B z    . Áp dụng định lý 1.1 ta có      'f z f x f z  . Vậy z là cực tiểu địa phương của hàm f. (ii) Bởi vì *, 0x y x  ta có  , 0f x y x   . Từ định nghĩa đạo hàm Clarke - Rockafaller ta suy ra tồn tại 0  và dãy ; 0n nx x t  sao cho n  ,       ' ' 0 n n n d B y x n f x t d f x t    inf (2.1) Chọn n đủ lớn sao cho  ny x B y x   . Khi đó từ (2.1) suy ra     n n n nf x t y x f x   . Do    ,n n n nx t y x x y   và f là hàm tựa lồi ta kết luận rằng    nf y f x . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 Vì vậy,    nf x f x , và x không là cực tiểu địa phương. (iii) Giả sử rằng    *, , CRz x y z f z    sao cho *, 0z y x  . Từ giả thiết *, 0x y x  , ta suy ra *, 0x z x  . Do tính tựa đơn điệu ta có * , 0z z x  . Vì vậy, *, 0z y x  và *, 0z y z  . Từ phần (ii) ta có z không là cực tiểu địa phương của f. Điều này mâu thuẫn với (i). 2.2 Tính chất đặc trưng cho hàm tựa lồi bán chặt Cho hàm khả vi :f C   , trong đó C là tập con lồi mở của n . Ta biết trong [8] f là tựa lồi bán chặt khi và chỉ khi ánh xạ đạo hàm F f  là tựa đơn điệu, và , , x y C x y   ta có khẳng định sau đây: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37    , 0 , : , 0 2 x y F x y x z y F z y x             . (2.2) Toán tử tựa đơn điệu thoả mãn (2.2) được gọi là tựa đơn điệu bán chặt. Bây giờ ta tổng quát hoá khái niệm này cho trường hợp đa trị trong trường hợp X là không gian Banach. Định nghĩa 2.1 Toán tử đa trị *: 2XT X  gọi là tựa đơn điệu bán chặt nếu nó là tựa đơn điệu và  , ,x y D T x y   ta có khẳng định sau  * *: , 0x T x x y x     * *, , : , 0 2 x y z y z T z z y x             . (2.3) Mệnh đề 2.1 (2.3) tương đương với : Nếu *, 0x y x  với *x nào đó thuộc  T x thì tập {   *, : , 0,z x y z y x   với *z nào đó thuộc  T z } là trù mật trong  ,x y . Chứng minh Giả sử có (2.3) và *, 0x y x  với *x nào đó thuộc  T x . Lấy  ,w x y xác định bằng quy nạp một dãy    ,n nz x w sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 1 1 2 n n z w x w     , và * , 0nz y x  với * nz nào đó thuộc  nT z như sau : Đặt 1z x . Nếu nz được xác định thì ta có * , 0n nz w z  với * nz nào đó thuộc  nT z . Theo (2.3) ta chọn 1n+z , 2 nz w w       sao cho 1 * , 0nnz w z   với * 1nz  nào đó thuộc  1nT z  . Khi đó, rõ ràng ta có 1 * , 0nz y x   , và 1 1 1 2 2 nn nz w z w x w      . Vì vậy nz w và mệnh đề được chứng minh. Định lý sau đây cho ta một tính chất đặc trưng của hàm tựa lồi bán chặt. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 Định lý 2.1 Giả sử  :f X    là hàm Lipchitz địa phương. Khi đó, f tựa lồi bán chặt khi và chỉ khi ,x y domf  ta có khẳng định sau đây là đúng :        * *: , 0 , :Cx f x x y x z x y f z f y       (2.4) Chứng minh Giả sử có (2.4) đúng với ,x y X  khi đó theo định lý 1.1 ta có f là hàm tựa lồi. Nếu f không là hàm tựa lồi bán chặt thì  , , ,x y domf z x y   sao cho      f x f z f y  . Ứng dụng định lý giá trị trung bình Lebourg cho  ,x z ta nhận được    *, , Cw x z w f w  sao cho    *, 0w z x f z f x    . Từ đó, ta có *, 0w y w  . Do  ,z w y , (2.4) kéo theo    f z f y . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 Và ta nhận được mâu thuẫn. Vì vậy f là hàm tựa lồi bán chặt. Ngược lại, giả sử f là hàm tựa lồi bán chặt. Để chỉ ra (2.4) ta chỉ cần chứng minh rằng : Nếu *, 0x y x  , *x nào đó thuộc  C f x thì    f x f y . Giả sử rằng    f x f y . Với  ,z x y  ta có *, 0x z x  . Bởi vì f là hàm tựa lồi, theo định lý 1.1 ta có    f x f z . Nói riêng, ta có    f x f y . Từ đó suy ra f là hàm hằng trên  ,x y . Bởi vì *, 0x y x  , áp dụng bổ đề 2.1 (i) ta có y là cực tiểu địa phương. Do f là hàm tựa lồi bán chặt nên suy ra y cũng là cực tiểu toàn cục. Điều này mâu thuẫn với bổ đề 2.1 (ii) và    f x f y . Nhận xét 2.1 Từ chứng minh trên ta thấy rằng quan hệ (2.4) cũng đúng cho các hàm tựa lồi bán chặt và nửa liên tục dưới. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 Hệ quả 2.1 Giả sử  :f X    là hàm nửa liên tục dưới và tựa lồi bán chặt. Cho hai điểm phân biệt ,x y domf , f là hàm hằng trên đoạn  ,x y . Khi đó,    *, , Cz x y z f z    ta có *, 0z y x  . Chứng minh Bởi vì    f x f z , áp dụng khẳng định (2.4) cho đoạn  ,z x ta có  * *, 0, Cz x z z f z    . Do đó, *, 0z x y  . Một cách tương tự, áp dụng (2.4) cho đoạn thẳng  ,z y ta kết luận rằng  * *, 0, Cz y x z f z    . Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh. Bây giờ, ta cho một đặc trưng của hàm tựa lồi bán chặt qua dưới vi phân của nó. Định lý 2.2 Giả sử hàm số  :f X    là hàm Lipchitz địa phương. Khi đó, f là hàm tựa lồi bán chặt nếu và chỉ nếu C f là tựa đơn điệu bán chặt. Chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 (i) Giả sử f là hàm tựa lồi bán chặt. Khi đó f là tựa lồi, vì vậy C f là tựa đơn điệu. Nếu  * *, 0, , , Cx y x x y X x f x      theo định lý 2.1 suy ra rằng   2 x y f f y       . Áp dụng định lý giá trị trung bình Lebourg ta nhận được  *, , 2 Cx yw y w f w          , sao cho  * * 1 , , 0 2 2 2 x y x y w y x w y f y f             . (ii) Giả sử C f là hàm tựa đơn điệu bán chặt. Khi đó, C f là tựa đơn điệu và vì vậy f là tựa lồi. Giả sử rằng f không là hàm tựa lồi bán chặt. Khi đó,  , , ,x y domf z x y   sao cho      f x f z f y  . Bởi vì f là hàm tựa lồi, nên f là hàm hằng trên  ,z y . Từ định lý giá trị trung bình Lebourg ta nhận được Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43    11 1 *, , Cx x y x f x  , sao cho * 1 , 0x y x  . Bởi vì C f là tựa lồi bán chặt, do mệnh đề 2.1 suy ra    1 1 * 1, , Cz z y z f z   , sao cho * 1 , 0z y x  . Vì vậy, * 1 1, 0z y z  . Từ bổ đề 2.1(iii) ta suy ra    *1, , Cw z y w f w   , ta có * , 0w y x  . Điều này mâu thuẫn với mệnh đề 2.1. 2.3 Tính chất đặc trưng cho hàm tựa lồi chặt Giả sử :f C   là hàm khả vi, nC   là tập lồi mở. Ta biết trong [8] f là tựa lồi chặt khi và chỉ khi ánh xạ đơn trị f là tựa đơn điệu, và , , x y C x y   ,  ,z x y  sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44  , 0f z y x   Điều này dẫn đến định nghĩa sau đây cho trường hợp đa trị trong không gian vô hạn chiều. Định nghĩa 2.2 Toán tử đa trị *: 2XT X  gọi là tựa đơn điệu chặt nếu f là tựa đơn điệu và      *, , , , , CRx y D T x y z x y z f z       sao cho *, 0z y x  . Ta có mối quan hệ giữa toán tử đơn điệu chặt và toán tử tựa đơn điệu bán chặt sau đây . Mệnh đề 2.2 Nếu toán tử T là tựa đơn điệu chặt thì T là tựa đơn điệu bán chặt. Chứng minh Giả sử  , , x y D T x y  và *, 0x y x  với *x nào đó thuộc  T x . Vì T là tựa đơn điệu, nên    *, , z x y z T z   ta có *, 0z y x  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 Hơn nữa, từ định nghĩa 2.1 suy ra  *, , 2 x y w y w T w          sao cho *, 0 2 x y w y    , tức là *, 0x y x  . Vì thế, * , 0w y x  . Do đó, T là tựa đơn điệu bán chặt. Định lý 2.3 Giả sử  :f X    là hàm Lipchitz địa phương. Khi đó, f là hàm tựa lồi chặt khi và chỉ khi C f là hàm tựa đơn điệu chặt. Chứng minh (i) Nếu f là tựa lồi chặt, ta suy ra f là tựa lồi, và vì vậy C f là tựa đơn điệu. Hơn nữa, với ,x y domf  thì hàm f không thể là hằng số trên  ,x y . Vì vậy,  ,w x y  sao cho    f w f x . Áp dụng định lý giá trị trung bình Lebourg ta nhận được    *, , Cz x w z f z  sao cho *, 0z w x  , tức là Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 *, 0z y x  . (ii) Giả sử f là hàm tựa đơn điệu chặt. Khi đó C f là hàm tựa đơn điệu bán chặt. Từ đó suy ra f là hàm tựa lồi bán chặt. Hệ quả 2.1 chỉ ra rằng f không thể nhận giá trị hữu hạn và là hàm hằng trên  ,x y bất kỳ. Vì vậy, f là hàm tựa lồi chặt. 2.4 Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân Cho K là tập con lồi, đóng của X, K  , và *: 2XT X  là toán tử đa trị. Xét bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) được phát biểu như sau Tìm điểm 0x K sao cho  0 0 0 0 * *, : , 0x K x T x x x x      . (2.5) Bài toán này liên quan chặt chẽ với bài toán sau đây : Tìm điểm 0x K sao cho  * * 0 , : , 0x K x T x x x x      . (2.6) Bài toán (2.6) được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân đối ngẫu (DVIP). Trong [9] đã xét mối quan hệ nghiệm của hai bài toán (DVIP), (VIP) và sự tồn tại nghiệm của bài toán (DVIP). Ở đây, ta trình bày sự tồn tại nghiệm của (DVIP) với giả thiết T là toán tử đơn điệu chính thường. Định nghĩa 2.3 Một toán tử *: 2XT X  gọi là tựa đơn điệu chính thường nếu  1 2 1 2, ,..., ; , ,...,n nx x x X y co x x x    thì tồn tại i sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47  * *: , 0ii i ix T x x y x    , (2.7) trong đó co ký hiệu là bao lồi. Chọn 1 2 2 x x y   ta sẽ có toán tử tựa đơn điệu chính thường là tựa đơn điệu. Mệnh đề 2.3 Mọi toán tử tựa đơn điệu bán chặt T là tựa đơn điệu chính thường. Chứng minh Nếu T không là tựa đơn điệu chính thường thì 1 2 1 , ,..., , n i i i nx x x K y x     với 1 1, 0 n i i i      sao cho với mỗi i=1,2,…n thì tồn tại  *i ix T x *, 0i ix y x  ; Từ đó suy ra 0  sao cho  'y B y  ta có *, ' 0, 1,2,...i ix y x i n    . (2.8) Giả thiết rằng T là hàm tựa đơn điệu bán chặt. Khi đó, 1 1 *, 0x y x  kéo theo tồn tại    1,z x y B y  và  *z T z sao cho * 1, 0z y x  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 Vì thế nói riêng ta có *, 0z y x  . Do đó, * * 1 , , 0 n j j j z x z z y z      . Vì vậy, với i =1,2,…n nào đó ta phải có *, 0jz x z  . Bởi vì T là hàm tựa đơn điệu nên suy ra  * *, 0,j j j jx x z x T x    . Điều này mâu thuẫn với (2.10) . Định lý 2.4 Giả sử *: 2XT X  là toán tử tựa đơn điệu chính thường, miền hữu hiệu của nó chứa tập lồi đóng K. Giả sử K là compact yếu hoặc tồn tại tập con compact yếu W của K và 0x W sao cho  *0 0\ , :x K W x T x    * 0 0, 0.x x x  Khi đó, DVIP có nghiệm. Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị *: \2XG K   bởi     * *: , 0,G x y K x y x x T x      . Với mọi  1 2 1 2, ,..., , , ,...,n nx x x K y x x x   co , do tính tựa đơn điệu chính thường kéo theo Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49   1 n i i y G x   . Hơn nữa, với mỗi  , x K G x là đóng yếu. Như vậy, nếu K là compact yếu thì với mỗi  , x K G x cũng là compact yếu. Mặt khác điều kiện bức (2.8) cho ta  0G x W . Vì vậy  0G x là compact yếu. Trong cả hai trường hợp trên, theo bổ đề KyFan [4] ta có   x K G x    . Rõ ràng là điểm  0 x K x G x    là nghiệm của DVIP . Nhận xét 2.2 Từ mệnh đề 2.3 suy ra định lý 2.4 đúng cho lớp toán tử T là tựa đơn điệu bán chặt. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 KẾT LUẬN Luận văn đã trình bày các nghiên cứu về các hàm tựa lồi và giả lồi không trơn của Aussel [1], và các hàm tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn của Daniilidis – Hadjisavvas [3]. Các kết quả được trình bày chủ yếu bao gồm các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi, giả lồi, tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu, giả đơn điệu, tựa đơn điệu chặt và tựa đơn điệu bán chặt của dưới vi phân của hàm đó. Các kết quả của Aussel [1] được trình bày dưới ngôn ngữ dưới vi phân trừu tượng đã đưa vào trong [2], còn các kết quả của Daniilidis – Hadjisavvas [3] được trình bày dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke – Rockafellar và dưới vi phân Clarke. Việc nghiên cứu các tính chất của các hàm tựa lồi không trơn nói riêng và các hàm lồi suy rộng không trơn nói chung qua các dưới vi phân của các hàm đó và mối quan hệ giữa các hàm lồi suy rộng không trơn là đề tài được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu khai thác.