Luận văn Xây dựng đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn số khuyết

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ HỒNG NGA XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ HỒNG NGA XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. TẠ THỊ HOÀI AN THÁI NGUYÊN – 2008 Môc lôc Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lêi më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ 5 1.1 C¸c hµm Nevanlinna cho hµm ph©n h×nh. . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Quan hÖ sè khuyÕt cho hµm ph©n h×nh . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 C¸c hµm Nevanlinna cho ®­êng cong chØnh h×nh. . . . . . . . 17 2 §­êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt 20 2.1 C¸c kÕt qu¶ bæ trî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 C¸c vÝ dô vÒ ®­êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt. . 31 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tµi liÖu tham kh¶o 42 1 Lêi më ®Çu Lý thuyÕt Nevanlinna ra ®êi vµo nh÷ng n¨m ®Çu cña thÕ kû 20 vµ ®· nhËn ®­îc sù quan t©m cña nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi. Lý thuyÕt Nevanlinna cæ ®iÓn nghiªn cøu sù ph©n bè gi¸ trÞ cña hµm ph©n h×nh f th«ng qua hµm ®Æc tr­ng T (f, a, r) - hµm ®o cÊp t¨ng cña hµm ph©n h×nh, hµm ®Õm N(f, a, r) - ®Õm sè lÇn hµm f nhËn gi¸ trÞ a trong ®Üa b¸n kÝnh r, vµ hµm xÊp xØ m(f, a, r) - ®o ®é gÇn ®Õn a cña hµm f (xem §Þnh nghÜa 1.1.3, 1.1.1, vµ 1.1.2). Träng t©m cña lý thuyÕt nµy lµ hai ®Þnh lý c¬ b¶n. §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt thÓ hiÖn sù ®éc lËp cña hµm ®Æc tr­ng víi mäi gi¸ trÞ a ∈ C∪{∞}. §Þnh lý c¬ b¶n thø hai nãi r»ng víi hÇu hÕt c¸c gi¸ trÞ a, hµm ®Õm N(f, a, r) tréi h¬n h¼n hµm xÊp xØ m(f, a, r). §iÒu nµy dÉn ®Õn ®Þnh nghÜa sè khuyÕt cña hµm f t¹i gi¸ trÞ a nh­ sau δ(f, a) := lim inf r→∞ {1− N(f, a, r) T (f, a, r) }. Gi¸ trÞ a ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt cho hµm f nÕu δ(f, a) > 0. Quan hÖ sè khuyÕt lµ mét d¹ng ph¸t biÓu kh¸c cña §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna, cô thÓ lµ Nevanlinna ®· chøng minh r»ng∑ a∈C∪{∞} δ(f, a) 6 2. MÆt kh¸c, §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cho ta thÊy r»ng sè khuyÕt cña hµm ph©n h×nh t¹i mét gi¸ trÞ nµo ®ã n»m trong ®o¹n [0, 1]. H¬n n÷a ng­êi ta ®· chøng minh ®­îc r»ng tËp c¸c gi¸ trÞ khuyÕt lµ ®Õm ®­îc. Nh­ vËy mét c©u hái tù nhiªn ®­îc ®Æt ra lµ: Cho 1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, gi¶ sö {δi} lµ d·y c¸c sè thùc kh«ng ©m sao cho 0 < δi ≤ 1, ∑ i δi ≤ 2. 2 3Gi¶ sö ai, lµ c¸c sè ph©n biÖt trong C ∪ {∞}. Tån t¹i hay kh«ng hµm ph©n h×nh f trªn C tháa m·n δ(f, ai) = δi, vµ δ(f, a) = 0 cho mäi a /∈ {ai}? C©u hái trªn cßn ®­îc biÕt nh­ lµ bµi to¸n ng­îc cña Nevanlinna. §· cã nhiÒu nhµ to¸n häc nghiªn cøu bµi to¸n ng­îc cña Nevanlinna, cô thÓ Nevanlinna [9], Lª V¨n Thiªm [11], Hayman [4],... ®· gi¶i quyÕt bµi to¸n nµy cho mét sè tr­êng hîp ®Æc biÖt. §Õn n¨m 1976 vÊn ®Ò trªn ®· ®­îc gi¶i quyÕt trän vÑn bëi D. Drasin trong [3]. Trong c«ng tr×nh nµy, Drasin kh«ng chØ xÐt bµi to¸n ng­îc cña Nevanlinna cho sè khuyÕt mµ cßn cho sè khuyÕt rÏ nh¸nh. VËy, bµi to¸n vÒ sù tån t¹i cña hµm ph©n h×nh víi h÷u h¹n hay v« h¹n gi¸ trÞ khuyÕt ®· ®­îc nghiªn cøu kh¸ trän vÑn. Nh­ ta ®· biÕt hµm ph©n h×nh cã thÓ ®­îc xem lµ ®­êng cong chØnh h×nh tõ C vµo P1(C). Do ®ã, viÖc më réng lý thuyÕt Nevanlinna cæ ®iÓn cho c¸c ®­êng cong chØnh h×nh vµo Pn(C) víi n > 2 lµ mét ®iÒu tù nhiªn. H. Cartan [1] ®· chøng minh ®Þnh lý sau (®­îc gäi lµ ®Þnh lý Nevanlinna- Cartan cho ®­êng cong chØnh h×nh c¾t c¸c siªu ph¼ng) §Þnh lý. Cho ®­êng cong chØnh h×nh f : C → Pn(C). Cho H1, . . . , Hq lµ c¸c siªu ph¼ng ë vÞ trÝ tæng qu¸t trong kh«ng gian x¹ ¶nh Pn(C). Khi ®ã q∑ j=1 δ(Hj, f) 6 n+ 1. T­¬ng tù víi tr­êng hîp hµm ph©n h×nh, ng­êi ta còng nghiªn cøu tÝnh chÊt cña sè khuyÕt cña ®­êng cong chØnh h×nh. Víi n > 2, c¸c vÝ dô vÒ ®­êng cong chØnh h×nh víi h÷u h¹n gi¸ trÞ khuyÕt ®· ®­îc ®­a ra bëi nhiÒu t¸c gi¶, trong khi ®ã, viÖc x©y dùng ®­êng cong chØnh h×nh cã v« h¹n gi¸ trÞ khuyÕt kh«ng dÔ chót nµo. N¨m 2004, N. Toda [12] ®· nghiªn cøu vµ ®­a ra c¸c vÝ dô cho ®­êng cong chØnh h×nh víi mét tËp v« h¹n gi¸ trÞ khuyÕt. Môc ®Ých chÝnh cña luËn v¨n lµ tr×nh bµy l¹i nh÷ng kÕt qu¶ ®ã cña N. Toda mét c¸ch cã chän läc theo bè côc riªng cña t¸c gi¶ nh»m tr¶ lêi mét phÇn c¸c c©u hái trªn. LuËn v¨n ®­îc chia thµnh 2 ch­¬ng. Ch­¬ng1. KiÕn thøc chuÈn bÞ. §­îc tr×nh bµy víi môc ®Ých cung cÊp c¸c kiÕn thøc cÇn thiÕt ®Ó cho ng­êi ®äc dÔ theo dâi chøng minh c¸c kÕt qu¶ cña ch­¬ng sau. Trong ch­¬ng nµy, chóng t«i sÏ nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt c¬ 4b¶n cña lý thuyÕt Nevanlinna: C¸c hµm Nevanlinna cho hµm ph©n h×nh vµ cho ®­êng cong chØnh h×nh, quan hÖ sè khuyÕt cho hµm ph©n h×nh vµ nh÷ng kiÕn thøc liªn quan, vµ chøng minh r»ng tËp hîp c¸c gi¸ trÞ a sao cho hµm sè khuyÕt cña mét hµm ph©n h×nh t¹i ®iÓm a d­¬ng lµ ®Õm ®­îc. Ch­¬ng 2. §­êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt. §©y lµ ch­¬ng chÝnh cña luËn v¨n. Trong ch­¬ng nµy, chóng t«i sÏ x©y dùng c¸c ®­êng cong chØnh h×nh cã v« sè sè khuyÕt d­¬ng. Ch­¬ng nµy ®­îc chia thµnh hai phÇn. PhÇn thø nhÊt, chóng t«i ®­a ra c¸c kÕt qu¶ bæ trî nh­ x©y dùng l¹i kh¸i niÖm hµm ®Õm, hµm xÊp xØ, hµm ®Æc tr­ng, sè khuyÕt, gi¸ trÞ khuyÕt,... cho ®­êng cong chØnh h×nh vµ mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n, dÔ thÊy nh­ng t­¬ng ®èi quan träng v× nã ®­îc sö dông nhiÒu khi chøng minh nh÷ng kÕt qu¶ s©u h¬n ë nh÷ng phÇn sau. PhÇn thø hai, tr×nh bµy c¸c vÝ dô vÒ ®­êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt. KÕt qu¶ chÝnh cña ch­¬ng nµy lµ §Þnh lý 2.2.8 vµ §Þnh lý 2.2.9. LuËn v¨n ®­îc hoµn thµnh d­íi sù h­íng dÉn tËn t×nh, nghiªm tóc cña TS. T¹ ThÞ Hoµi An. D­íi sù h­íng dÉn cña c«, t«i ®· b­íc ®Çu lµm quen vµ say mª h¬n trong nghiªn cøu to¸n. Nh©n ®©y, t«i xin bµy tá lßng kÝnh träng vµ biÕt ¬n s©u s¾c tíi c«. T«i xin tr©n träng c¶m ¬n ban l·nh ®¹o khoa To¸n, khoa Sau ®¹i häc §HSPTN, ViÖn To¸n häc ViÖt Nam, c¸c thÇy, c« gi¸o ®· trang bÞ kiÕn thøc, t¹o ®iÒu kiÖn cho t«i trong thêi gian häc tËp, ®Æc biÖt lµ thÇy Hµ TrÇn Ph­¬ng. T«i xin ®­îc göi lêi c¶m ¬n ®Õn Ban gi¸m hiÖu vµ c¸c ®ång nghiÖp cña t«i ë tr­êng THPT L­¬ng ThÕ Vinh Th¸i Nguyªn, c¸c anh, chÞ häc viªn líp cao häc kho¸ 14 ®· gióp ®ì t«i rÊt nhiÒu trong qu¸ tr×nh häc tËp. Nh©n ®©y, t«i còng xin göi lêi c¶m ¬n tíi b¹n NguyÔn TuÊn Long ®· gióp ®ì t«i rÊt nhiÒu trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu. Cuèi cïng, t«i xin ®­îc bµy tá sù biÕt ¬n tíi gia ®×nh: bè, mÑ, vµ em g¸i ®· t¹o ®iÒu kiÖn tèt nhÊt cho t«i ®­îc häc tËp vµ hoµn thµnh luËn v¨n nµy. Ch­¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ Trong ch­¬ng nµy, chóng t«i sÏ nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña lý thuyÕt Nevanlinna vµ nh÷ng kiÕn thøc liªn quan kh¸c nh»m gióp cho ng­êi ®äc dÔ theo dâi. C¸c kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ cña ch­¬ng nµy ®­îc trÝch dÉn tõ [2], [5], [6], [9], ... 1.1 C¸c hµm Nevanlinna cho hµm ph©n h×nh. Gi¶ sö f lµ hµm ph©n h×nh trong ®Üa b¸n kÝnh R vµ r < R. KÝ hiÖu n(f,∞, r), (t­¬ng øng, n(f,∞, r)), lµ sè c¸c cùc ®iÓm tÝnh c¶ béi, (t­¬ng øng, kh«ng tÝnh béi), cña hµm f trong ®Üa ®ãng b¸n kÝnh r. Gi¶ sö a ∈ C, ta ®Þnh nghÜa n(f, a, r) = n ( 1 f − a,∞, r ) , n(f, a, r) = n ( 1 f − a,∞, r ) . 1.1.1 §Þnh nghÜa. Hµm ®Õm tÝnh c¶ béi N(f, a, r), (t­¬ng øng, hµm ®Õm kh«ng tÝnh béi N(f, a, r)), cña hµm f t¹i gi¸ trÞ a ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ sau N(f, a, r) = n(f, a, 0) log r + ∫ r 0 ( n(f, a, t)− n(f, a, 0) )dt t , 5 6(t­¬ng øng, N(f, a, r) = n(f, a, 0) log r + ∫ r 0 ( n(f, a, t)− n(f, a, 0) )dt t ). V× thÕ, nÕu a = 0 ta cã N(f, 0, r) = (ord+0 f) log r + ∑ z∈D(r) z 6=0 (ord+z f) log | r z |, trong ®ã D(r) lµ ®Üa cã b¸n kÝnh r vµ ord+z f = max{0, ordzf} lµ béi cña kh«ng ®iÓm. 1.1.2 §Þnh nghÜa. Hµm xÊp xØ m(f, a, r) cña hµm f t¹i gi¸ trÞ a ∈ C ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ sau m(f, a, r) = ∫ 2pi 0 log+ ∣∣∣ 1 f(reiθ)− a ∣∣∣dθ 2pi , vµ m(f,∞, r) = ∫ 2pi 0 log+ | f(reiθ) | dθ 2pi , trong ®ã log+ x = max{0, log x}. Hµmm(f,∞, r) ®o ®é lín trung b×nh cña log |f | trªn ®­êng trßn |z| = r. 1.1.3 §Þnh nghÜa. Hµm ®Æc tr­ng T (f, a, r) cña hµm f t¹i gi¸ trÞ a ∈ C ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ sau T (f, a, r) = m(f, a, r) +N(f, a, r), T (f, r) = m(f,∞, r) +N(f,∞, r). XÐt vÒ mÆt nµo ®ã, hµm ®Æc tr­ng Nevanlinna ®èi víi lý thuyÕt hµm ph©n h×nh cã vai trß t­¬ng tù nh­ bËc cña ®a thøc trong lý thuyÕt ®a thøc. Tõ ®Þnh nghÜa hµm ®Æc tr­ng ta cã T (f, a, r) ≥ N(f, a, r) +O(1), trong ®ã O(1) lµ mét ®¹i l­îng bÞ chÆn khi r →∞. 71.1.4 §Þnh nghÜa. CÊp cña hµm ph©n h×nh f ®­îc ®Þnh nghÜa bëi c«ng thøc ρ(f) = lim sup r→∞ log T (r, f) log r . NÕu ρ(f) = ∞ th× f ®­îc gäi lµ cã cÊp v« h¹n, nÕu 0 < ρ(f) < ∞ th× f ®­îc gäi lµ cã cÊp h÷u h¹n. Gi¶ sö 0 < ρ(f) <∞, ®Æt C = lim sup r→∞ T (r, f) rρ . Ta nãi f cã d¹ng tèi ®¹i nÕu C =∞, cã d¹ng trung b×nh nÕu 0 < C <∞, cã d¹ng tèi tiÓu nÕu C = 0. 1.1.5 VÝ dô. NÕu f lµ hµm h÷u tû th× T (f, r) = O(log r), do ®ã hµm h÷u tû cã cÊp 0. NÕu f = ez th× T (f, r) = r/pi + O(1), do ®ã ez cã cÊp 1, d¹ng trung b×nh. Hµm ee z lµ hµm cã cÊp v« h¹n. C«ng thøc Poisson - Jensen 1.1.6 §Þnh lý. Gi¶ sö f(z) 6≡ 0,∞ lµ mét hµm ph©n h×nh trong h×nh trßn D = {|z| ≤ R} víi 0 < R <∞. Gi¶ sö aµ, µ = 1, ...,M lµ c¸c kh«ng ®iÓm cña f trong D, mçi kh«ng ®iÓm ®­îc kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã. bν, (ν = 1, 2, ..., N) lµ c¸c cùc ®iÓm cña f trong trongD, mçi cùc ®iÓm ®­îc kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã. Khi ®ã, víi mçi z = reiθ ∈ D sao cho f(z) 6= 0, f(z) 6=∞ ta cã log |f(z)| = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣f(Reiφ)∣∣ R2 − r2 R2 − 2Rr cos(θ − φ) + r2dφ+ + M∑ µ=1 log ∣∣∣∣R(z − aµ)R2 − aµz ∣∣∣∣− N∑ ν=1 log ∣∣∣∣R(z − bν)R2 − bνz ∣∣∣∣. (1.1) 8Chøng minh. Ta xÐt c¸c tr­êng hîp sau: Tr­êng hîp 1: Hµm f(z) kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong {|z| ≤ R}, z = 0. Khi ®ã ta cÇn chøng minh log |f(0)| = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣f(Reiϕ)∣∣ dϕ. Do f(z) 6= 0 trong D nªn log f(z) lµ hµm chØnh h×nh trong D. Theo §Þnh lý Cauchy, ta cã: log f(0) = 1 2pii ∫ |z|=R log f(z) dz z = 1 2pi 2pi∫ 0 log f(Reiϕ)dϕ. LÊy phÇn thùc hai vÕ ta cã: log |f(0)| = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣f(Reiϕ)∣∣ dϕ. Tr­êng hîp 2: Hµm f(z) kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong {|z| ≤ R}, víi z tuú ý, z = reiθ(0 < r < R) . XÐt ¸nh x¹ b¶o gi¸c: {|ξ| 6 R} → {ω 6 1} z 7→ 0 ξ 6= z 7→ ω = R (ξ − z) R2 − zξ Nh­ vËy |ς| = R t­¬ng øng víi |ω| = 1, v× |ω| = R |ξ − z||R2 − zξ| 9vµ |ξ| = R⇒ ξξ = |ξ|2 = R2 suy ra |ω| = R |ξ − z|∣∣ξξ − zξ∣∣ = R |ξ − z||ξ| ∣∣ξ − z∣∣ = 1. Do log f(z) lµ chØnh h×nh trong |ξ| ≤ R, theo ®Þnh lý Cauchy, ta cã log f(z) = 1 2pii ∫ |ξ|=R log f(ς) dξ ξ − z . (1.2) MÆt kh¸c 1 2pii ∫ |ξ|=R log f(ξ) zdξ R2 − zξ = 1 2pii ∫ |ξ|=R log f(ξ) −dξ ξ − R 2 z = 0. (1.3) Do |z| = |z| < R nªn ∣∣∣∣R2z ∣∣∣∣ > R nghÜa lµ ®iÓm R2z n»m ngoµi |ξ| ≤ R nªn hµm log f(ξ) 1 ξ − R 2 z lµ hµm chØnh h×nh. KÕt hîp víi (1.2) vµ (1.3) ta cã log f(z) = 1 2i ∫ |ξ|=R log f(ξ) [ 1 ξ − z + 1 ξ − R2z ] dξ = 1 2i ∫ |ξ|=R log f(ξ) [ 1 ξ − z + z R2 − zξ ] dξ, víi 1 ξ − z + z R2 − zξ = R2 − zξ + zξ − zz (ξ − z) (R2 − zξ) = R2 − r2 (ξ − z) (ξξ − zξ) = R2 − r2ξ |ξ − z|2 . 10 MÆt kh¸c ξ = Reiϕ = R cosϕ+ iR sinϕ, z = reiθ = r cos θ + ir sin θ, ξ − z = (R cosϕ− r cos θ) + i (R sinϕ− r sin θ) , |ξ − z|2 = (R cosϕ− r cos θ)2 + (R sinϕ− r sin θ)2 = R2 + r2 − 2Rr cos(ϕ− θ). VËy log f(z) = 1 2pi 2pi∫ 0 log f(Reiφ) R2 − r2 R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2dϕ. (1.4) LÊy phÇn thùc hai vÕ cña (1.4) ta ®­îc log |f(z)| = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣f(Reiϕ)∣∣ R2 − r2 R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2dϕ. Tr­êng hîp 3: Hµm f(z) cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trªn biªn {|z| = R} nh­ng kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm ë trong miÒn {|z| < R}. Ta cã sè kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm cña hµm f(z) trªn biªn {|z| = R} lµ h÷u h¹n. ThËt vËy, gi¶ sö f(z) cã v« h¹n kh«ng ®iÓm {zk} , khi ®ã {|ξ| = R} compact, do ®ã { zkj } héi tô ®Õn zk0 ∈ {|ξ| = R} vµ f(zkj) = 0, do ®ã f = 0 trªn mét tËp hîp cã ®iÓm giíi h¹n. §iÒu nµy kÐo theo f ≡ 0 suy ra v« lý. Gi¶ sö cã v« h¹n kh«ng ®iÓm {zk} , khi ®ã tån t¹i { zkj } → z0 ∈ {|ξ| = R}, z0 lµ ®iÓm bÊt th­êng; v× f lµ hµm ph©n h×nh nªn z0 lµ cùc ®iÓm nghÜa lµ trong mét l©n cËn cña z0 hµm f chØnh h×nh chØ trõ t¹i z0 suy ra v« lý v× { zkj }→ z0 nªn trong mäi l©n cËn cña z0 ®Òu chøa zkj nµo ®ã mµ t¹i ®ã f cã cùc ®iÓm. 11 VËy f(z) cã h÷u h¹n kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trªn biªn {|z| = R} . Gi¶ sö Z0 lµ kh«ng ®iÓm hoÆc cùc ®iÓm cÊp k cña f(ξ), Z0 ∈ ∂D. Trong mét l©n cËn nµo ®ã cña Z0, ta cã khai triÓn sau: f(ξ) = a(ξ − Z0)k + . . . , a 6= 0. Khi ®ã, log |f(ξ)| = k log |ξ − Z0|+ o(|ξ − Z0|). XÐt vßng trßn Cδ t©m Z0, b¸n kÝnh δ ®ñ nhá. Thay vßng trßn |ξ| = R bëi vßng trßn Cδ, khi ®ã f kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trªn biªn cña miÒn míi nhËn ®­îc. Quay l¹i tr­êng hîp 2, ta cã tÝch ph©n bªn ph¶i cña b­íc 2 chØ kh¸c tÝch ph©n ë trªn vßng trßn |ξ| = R mét ®¹i l­îng∑ Cδ 1 2pi ∫ |ξ−Z0|=δ log |f(ξ)| |dξ| . Ta cã ∫ |ξ−Z0|=δ log |f(ξ)| |dξ| = Cδ. log δ.δ. Do ®ã, ∑ Cδ 1 2pi ∫ |ξ−Z0|=δ log |f(ξ)| |dξ| ≈ A log δ.δ. Cho δ → 0 ta cã∑ Cδ 1 2pi ∫ |ξ−Z0|=δ log |f(ξ)| |dξ| → 0. C«ng thøc ®­îc chøng minh. Tr­êng hîp 4: B©y giê ta xÐt trong tr­êng hîp f(z) cã c¸c kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong |z| ≤ R. XÐt hµm ψ(z) = f(z) ∏N γ=1 R(z−bγ) R2−bγz∏M µ=1 R(z−aµ) R2−aµz . 12 Khi ®ã ψ(z) suy ra kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm ë trong |ξ| 6 R v× gi¶ sö ng­îc l¹i ψ(z0) = 0 suy ra f(z0) = 0. Do ®ã ψ(ξ) bÞ khö ®i mÉu sè. T­¬ng tù ψ(ξ) còng kh«ng cã cùc ®iÓm. ¸p dông c«ng thøc ®· chøng minh ta cã: log |ψ(z)| = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣ψ(Reiϕ)∣∣ R2 − r2 R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ. Nªn log |f(z)|+ N∑ γ=1 log ∣∣∣∣R(z − bγ)R2 − bγz ∣∣∣∣− M∑ µ=1 log ∣∣∣∣R(z − aµ)R2 − aµz ∣∣∣∣ = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣ψ(Reiϕ)∣∣ R2 − r2 R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ. Khi |z| = R th× ∣∣∣R(z−bγ) R2−bγz ∣∣∣ = 1, vµ ∣∣∣R(z−aµ)R2−aµz ∣∣∣ = 1. Suy ra nÕu |z| = R th× |ψ(z)| = |f(z)| . Do ®ã log |f(z)|+ N∑ γ=1 log ∣∣∣∣R(z − bγ)R2 − bγz ∣∣∣∣− M∑ µ=1 log ∣∣∣∣R(z − aµ)R2 − aµz ∣∣∣∣ = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣f(Reiϕ)∣∣ R2 − r2 R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ. VËy log |f(z)| = 1 2pi ∫ 2pi 0 log ∣∣f(Reiϕ)∣∣ R2 − r2 R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ + M∑ µ=1 log ∣∣∣∣R(z − aµ)R2 − aµz ∣∣∣∣− N∑ γ=1 log ∣∣∣∣R(z − bγ)R2 − bγz ∣∣∣∣. 13 Tõ C«ng thøc Poisson-Jensen ta cã ®Þnh lý sau ®©y. 1.1.7 §Þnh lý (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø nhÊt). Gi¶ sö f lµ hµm ph©n h×nh, a lµ mét sè phøc tuú ý. Khi ®ã ta cã m(f, a, r) +N(f, a, r) = T (f, r)− log |f(0)− a|+ (a, r), trong ®ã (a, r) ≤ log a+ log 2. Ta th­êng dïng §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt d­íi d¹ng T (f, a, r) = T (f, r) +O(1), trong ®ã O(1) lµ ®¹i l­îng bÞ chÆn khi r →∞. §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cho ta thÊy vÕ tr¸i trong c«ng thøc kh«ng phô thuéc a víi sai kh¸c mét ®¹i l­îng bÞ chÆn. 1.1.8 §Þnh lý (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø hai). Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh trong C vµ a1, . . . , aq lµ q sè phøc ph©n biÖt. Khi ®ã, (q − 2)T (f, r) ≤ q∑ i=1 N(f, ai, r)−Nram(f, r) +O ( log T (r, f) ) , cho r →∞ bªn ngoµi tËp hîp cã ®é ®o Lebesgue h÷u h¹n vµ N ram (f, r) = N(f ′, 0, r) + 2N(f,∞, r)−N(f ′,∞, r). 1.2 Quan hÖ sè khuyÕt cho hµm ph©n h×nh Quan hÖ sè khuyÕt lµ mét d¹ng ph¸t biÓu kh¸c cña §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna. Sè khuyÕt liªn quan chÆt chÏ ®Õn bµi to¸n ng­îc cña Nevanlinna trong [9]. Tr­íc hÕt ta nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa sè khuyÕt. 14 1.2.1 §Þnh nghÜa. Sè khuyÕt cña hµm f t¹i ®iÓm a ®­îc ®Þnh nghÜa bëi δ(f, a) = lim inf r→∞ { 1− N(f, a, r) T (f, r) } . Sè khuyÕt rÏ nh¸nh cña hµm f t¹i ®iÓm a ®­îc ®Þnh nghÜa bëi θ(f, a) = lim inf r→∞ {N(f, a, r)−N(f, a, r) T (f, r) } . Sè khuyÕt bÞ chÆt cña hµm f t¹i ®iÓm a ®­îc ®Þnh nghÜa bëi Θ(f, a) = θ(f, a) + δ(f, a) = lim inf r→∞ { 1− N(f, a, r) T (f, r) } . 1.2.2 §Þnh nghÜa. Cho a ∈ C∪{∞}, gi¸ trÞ a ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt cña hµm f nÕu δ(f, a) > 0; gi¸ trÞ a ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt cùc ®¹i cña hµm f nÕu δ(f, a) = 1. 1.2.3 MÖnh ®Ò. Víi mäi a ∈ C ∪ {∞}, 0 ≤ δ(f, a), 0 ≤ θ(f, a), vµ Θ(f, a) = θ(f, a) + δ(f, a) ≤ 1. Cho hµm ph©n h×nh f vµ c¸c ®iÓm ph©n biÖt a1, . . . , aq trong C ∪ {∞}, ký hiÖu S(f, {aj}qj=1, r) = (q − 2)T (f, r)− q∑ j=1 N(f, aj, r) +Nram(f, r). Khi ®ã, §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cã thÓ ®­îc ph¸t biÓu ë d¹ng yÕu h¬n nh­ sau. 1.2.4 §Þnh lý. Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng sè trªn C vµ a1, . . . , aq lµ c¸c phÇn tö ph©n biÖt trong C ∪ {∞}. Khi ®ã lim inf r→∞ S(f, {aj}qj=1, r) T (f, r) ≤ 0. 15 1.2.5 §Þnh lý. Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng sè trong |z| < R0. Khi ®ã tËp hîp c¸c gi¸ trÞ a mµ δ(f, a) > 0 vµ θ(f, a) > 0 lµ ®Õm ®­îc, ®ång thêi ta cã∑ a∈C∪{∞} {δ(f, a) + θ(f, a)} = ∑ a∈C∪{∞} Θ(f, a) 6 2. Chøng minh. XÐt q ®iÓm kh¸c nhau a1, a2, ...., aq trong C ∪ {∞}. Khi ®ã q∑ j=1 (δ(f, aj) + θ(f, aj)) = lim inf r→∞ qT (f, r)−∑qj=1N(f, aj, r) +∑qj=1N(f, aj, r)−∑qj=1 N¯(f, aj, r) T (f, r) . Râ rµng N(f, aj, r) − N¯(f, aj, r) ®Õm sè lÇn hµm f = a víi béi lín h¬n 1 vµ do ®ã q∑ j=1 N(f, aj, r)− q∑ j=1 N¯(f, aj, r) ≤ Nram(f, r) + nram(f, 0) log+ 1 r . Nh­ vËy q∑ j=1 (δ(f, aj) + θ(f, aj)) ≤ lim inf r→∞ qT (f, r)−∑qj=1N(f, aj, r) +Nram(f, r) T (f, r) = 2 + lim inf r→∞ (q − 2)T (f, r)−∑qj=1N(f, aj, r) +Nram(f, r) T (f, r) = 2 + lim inf r→∞ S(f, {aj}qj=1, r) T (f, r) ≤ 2, bëi ¸p dông §Þnh lý 1.2.4. Víi mäi sè nguyªn d­¬ng k, tån t¹i nhiÒu nhÊt h÷u h¹n gi¸ trÞ a sao cho Θ(f, a) ≥ 1/k. Do {a : Θ(f, a) ≥ 0} = ∪∞k=1{a : Θ(f, a) ≥ 1/k}, ta cã nhiÒu nhÊt ®Õm ®­îc a nh­ vËy. 16 1.2.6 HÖ qu¶. NÕu f lµ hµm nguyªn th×∑ a∈C Θ(f, a) 6 1. Chøng minh. Do f lµ hµm nguyªn nªn Θ(f,∞) = 1. Chóng ta cã ®Þnh lý sau lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña ®Þnh lý quan hÖ sè khuyÕt. 1.2.7 §Þnh lý (§Þnh lý Picard). Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh, kh«ng nhËn 3 gi¸ trÞ 0, 1,∞ khi ®ã f lµ hµm h»ng. Chøng minh. Gi¶ sö f kh«ng ph¶i lµ hµm h»ng, do f(z) kh«ng nhËn 3 gi¸ trÞ 0, 1,∞ nªn N(f, 0, r) = 0; N(f, 1, r) = 0; N(f,∞, r) = 0. Do ®ã Θ(f, 0) = 0; Θ(f, 1) = 1; Θ(f,∞) = 1. Nh­ thÕ ∑ a∈C∪{∞} Θ(f, a) > 2, m©u thuÉn víi ®Þnh lý vÒ sè khuyÕt, nh­ vËy f(z) ph¶i lµ hµm h»ng. VÊn ®Ò ng­îc cña Nevanlinna. Cho 1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, gi¶ sö {δi} vµ {θi} lµ d·y c¸c sè thùc kh«ng ©m sao cho 0 < δi + θi ≤ 1, ∑ i (δi + θi) ≤ 2. Gi¶ sö ai, 1 ≤ i < N lµ c¸c ®iÓm ph©n biÖt trong C ∪ {∞}. Nevanlinna ®· ®­a ra c©u hái sau: Tån t¹i hay kh«ng hµm ph©n h×nh f trªn C sao cho δ(f, ai) = δi, θ(f, ai) = θi, 1 ≤ i < N 17 vµ δ(f, a) = θ(f, a) = 0 cho mäi a /∈ {ai}? VÊn ®Ò nµy ®· ®­îc gi¶i quyÕt trän vÑn bëi Drasin trong [3]. 1.3 C¸c hµm Nevanlinna cho ®­êng cong chØnh h×nh. Tr­íc hÕt ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm kh«ng gian x¹ ¶nh. 1.3.1 §Þnh nghÜa. §Æt (C∗)n+1 = Cn+1 \ (0, . . . , 0). Ta ®Þnh nghÜa mét quan hÖ t­¬ng ®­¬ng trªn (C∗)n+1 nh­ sau: (x0, . . . , xn) ∼ (y0, . . . , yn) nÕu tån t¹i 0 6= λ ∈ C sao cho (x0, . . . , xn) = λ(y0, . . . , yn). Kh«ng gian x¹ ¶nh n chiÒu trªn C, ký hiÖu lµ Pn(C) hay ®¬n gi¶n lµ Pn, lµ kh«ng gian (C∗)n+1 víi quan hÖ t­¬ng ®­¬ng ∼ . Ta cã Pn = (C∗)n+1/ ∼ . Mçi phÇn tö cña kh«ng gian x¹ ¶nh Pn lµ mét líp (x0, . . . , xn) theo quan hÖ t­¬ng ®­¬ng ∼ . Mçi phÇn tö P cña kh«ng gian x¹ ¶nh Pn ®­îc gäi lµ mét ®iÓm, kÝ hiÖu lµ P = (x0 : · · · : xn) vµ (x0 : · · · : xn) ®­îc gäi lµ täa ®é thuÇn nhÊt cña ®iÓm P . 1.3.2 §Þnh nghÜa. ¸nh x¹ f = (f0 : f1 : · · · : fn) : C→ Pn(C) ®­îc gäi lµ ®­êng cong chØnh h×nh nÕu fi lµ c¸c hµm nguyªn trªn C. Ta cã thÓ viÕt f = (f˜0, f˜1, . . . , f˜n) trong ®ã f˜i lµ c¸c hµm nguyªn kh«ng cã c¸c kh«ng ®iÓm chung. Khi ®ã (f˜0, f˜1, . . . , f˜n) ®­îc gäi lµ biÓu diÔn rót gän cña ®­êng cong f . Gi¶ sö f : C→ Pn(C) lµ ®­êng cong chØnh h×nh. Gi¶ sö f = (f0, . . . , fn) lµ biÓu diÔn rót gän cña f , trong ®ã f0, . . . , fn lµ c¸c hµm nguyªn trong C kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung. §Æt ‖f(z)‖ = (|f0(z)|2 + · · ·+ |fn(z)|2) 12 . 18 Hµm ®Æc tr­ng Nevanlinna-Cartan Tf(r) ®­îc ®Þnh nghÜa bëi T (r, f) = 1 2pi ∫ 2pi 0 log ‖f(reiθ)‖dθ. Gi¶ söQ lµ ®a thøc thuÇn nhÊt bËc d víi n+1 biÕn. Hµm xÊp xØm(r,Q, f) cña ¸nh x¹ f øng víi ®a thøc Q ®­îc ®Þnh nghÜa lµ m(r,Q, f) = 1 2pi ∫ 2pi 0 log ‖f(reiθ)‖d |Q ◦ f(reiθ)|dθ. Ta gäi n(r,Q, f), (t­¬ng øng, n(r,Q, f)), lµ sè c¸c kh«ng ®iÓm tÝnh c¶ béi, (t­¬ng øng, kh«ng tÝnh béi), cña Q ◦ f trong ®Üa |z| ≤ r. Hµm ®Õm tÝnh c¶ béi N(r,Q, f), (t­¬ng øng, hµm ®Õm kh«ng tÝnh béi N(r,Q, f)), ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ sau: N(r,Q, f) = ∫ r 0 n(t, Q, f)− nf(0, Q) t dt− n(0, Q, f) log r, (t­¬ng øng, N(r,Q, f) = ∫ r 0 n(t, Q, f)− n(0, Q, f) t dt− n(0, Q, f) log r). T­¬ng tù nh­ ®èi víi hµm ph©n h×nh, ta còng cã hai ®Þnh lý c¬ b¶n cho c¸c ®­êng cong chØnh h×nh. 1.3.3 §Þnh lý (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø nhÊt). Gi¶ sö f : C → Pn(C) lµ ®­êng cong chØnh h×nh vµ Q lµ ®a thøc thuÇn nhÊt bËc d trong Pn(C). Gi¶ sö Q ◦ f(C) 6≡ 0, th× víi mäi 0 < r <∞ m(r,Q, f) +N(r,Q, f) = dT (r, f) +O(1), trong ®ã O(1) lµ ®¹i l­îng bÞ chÆn kh«ng phô thuéc vµo r. 1.3.4 §Þnh lý (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø hai). Gi¶ sö f : C→ Pn(C) lµ ®­êng cong chØnh h×nh kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh. Gi¶ sö L1, . . . , Lq lµ c¸c ®a thøc tuyÕn tÝnh Pn(C). Khi ®ã∫ 2pi 0 max K log ∏ j∈K ‖f(reiθ)‖‖Lj‖ |Lj(f)(reiθ)| dθ 2pi 6 (n+ 1)T (r, f) + o(T (r, f)), 19 trong ®ã maximum ®­îc lÊy trªn tÊt c¶ c¸c tËp con K cña {1, . . . , q} sao cho Lj, j ∈ K lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ ‖Lj‖ lµ maximum cña c¸c gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña c¸c hÖ sè trong Lj. Ch­¬ng 2 §­êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt Trong Ch­¬ng 1, ta ®· chøng minh r»ng tËp hîp c¸c gi¸ trÞ a sao cho hµm sè khuyÕt cña mét hµm ph©n h×nh t¹i ®iÓm a d­¬ng lµ ®Õm ®­îc. Trong ch­¬ng nµy, chóng t«i sÏ x©y dùng c¸c ®­êng cong chØnh h×nh cã v« sè hµm sè khuyÕt d­¬ng. Tr­íc hÕt ta ®­a ra c¸c kÕt qu¶ dïng ®Ó hç trî cho viÖc x©y dùng c¸c ®­êng cong chØnh h×nh nh­ vËy. 2.1 C¸c kÕt qu¶ bæ trî Cho a0z0 + · · · + anzn = 0 lµ mét d¹ng tuyÕn tÝnh x¸c ®Þnh mét siªu ph¼ng H trong kh«ng gian x¹ ¶nh Pn. Khi ®ã, cã t­¬ng øng 1-1 gi÷a siªu ph¼ng H vµ ®iÓm a = (a0, . . . , an) ∈ Cn+1 \ {(0, ..., 0)}. Do ®ã, ta cã thÓ thay viÖc xÐt mét siªu ph¼ng trong kh«ng gian x¹ ¶nh Pn b»ng viÖc xÐt mét ®iÓm trong Cn+1 vµ ta ký hiÖu ‖a‖ = (|a0|2 + ...+ |an|2) 12 , (a, f) = a0f0 + ...+ anfn, (a, f(z)) = a0f0(z) + ...+ anfn(z), 20 21 trong ®ã f := (f0, . . . , fn) : C → Pn(C) lµ ®­êng cong chØnh h×nh kh¸c h»ng. Khi ®ã, hµm ®Õm, hµm xÊp xØ cña Nevanlinna-Cartan ®­îc viÕt l¹i nh­ sau 2.1.1 §Þnh nghÜa. Víi a ∈ Cn+1 − {0}, ta cã m(r, a, f) = 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖a‖∥∥f(reiθ)∥∥ |(a, f(reiθ))| dθ, N(r, a, f) = N(r, 1/(a, f)). 2.1.2 §Þnh nghÜa. §­êng cong chØnh h×nh f := (f0, . . . , fn) : C → Pn(C) ®­îc gäi lµ kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh trªn C nÕu f0, ..., fn lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C. 2.1.3 §Þnh nghÜa. §­êng cong f := (f0, . . . , fn) : C → Pn(C) ®­îc gäi lµ siªu viÖt nÕu f lµ kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh vµ lim r→∞ T (r,f) log r =∞. 2.1.4 §Þnh nghÜa. ρ(f) = lim sup r→∞ log T (r, f) log r ®­îc gäi lµ cÊp cña f. 2.1.5 §Þnh lý (§Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt). Cho f : C → Pn(C) lµ ¸nh x¹ chØnh h×nh, a ∈ Cn+1 − {0} tuú ý. Khi ®ã ta cã T (r, f) = m(r, a, f) +N(r, a, f) +O(1), (2.1) trong ®ã O(1) lµ ®¹i l­îng giíi néi. 2.1.6 §Þnh nghÜa. Cho f : C→ Pn(C) lµ ¸nh x¹ chØnh h×nh, a ∈ Cn+1−{0}. δ(f, a) = 1− lim sup r→∞ N(r, a, f) T (r, f) = lim inf r→∞ m(r, a, f) T (r, f) ®­îc gäi lµ sè khuyÕt cña f t¹i a. 22 NhËn xÐt. Tõ c«ng thøc (2.1) ta cã 0 6 δ(f, a) 6 1. T­¬ng tù nh­ ®èi víi hµm ph©n h×nh, ta cã c¸c ®Þnh nghÜa vÒ gi¸ trÞ khuyÕt nh­ sau. 2.1.7 §Þnh nghÜa. Cho a ∈ Cn+1 − {0}, gi¸ trÞ a ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt cña ®­êng cong chØnh h×nh f nÕu δ(f, a) > 0; gi¸ trÞ a ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt cùc ®¹i cña hµm f nÕu δ(f, a) = 1. 2.1.8 §Þnh nghÜa. Cho X lµ mét tËp con cña Cn+1 − {0} , vµ N lµ mét sè nguyªn tho¶ m·n N > n. X ®­îc gäi lµ ë N - vÞ trÝ tæng qu¸t nÕu #X > N + 1 vµ N + 1 phÇn tö bÊt kú cña X sinh ra Cn+1. Chóng ta nãi r»ng X lµ ë vÞ trÝ tæng qu¸t nÕu X ë n - vÞ trÝ tæng qu¸t. §Þnh lý sau ®©y lµ mét më réng cña §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna- Cartan cho hä c¸c phÇn tö ë N - vÞ trÝ tæng qu¸t. KÕt qu¶ nµy ®­îc chøng minh bëi Cartan [1] cho tr­êng hîp N = n vµ bëi Nocka [10] cho N > n. 2.1.9 §Þnh lý. Cho ¸nh x¹ chØnh h×nh f : C → Pn(C). Víi q phÇn tö a1, ..., aq bÊt kú cña X ë N - vÞ trÝ tæng qu¸t. Khi ®ã q∑ j=1 δ(aj, f) 6 2N − n+ 1, trong ®ã 2N − n+ 1 6 q 6∞. §Ó x©y dùng ®­êng cong chØnh h×nh cã v« sè gi¸ trÞ khuyÕt, ta còng cÇn c¸c kÕt qu¶ sau ®©y cña lý thuyÕt d·y. Cho {ηv} lµ mét d·y gi¶m tho¶ m·n ηv > 0, ∞∑ v=1 ηv = 1, η0 = η1. §Æt θ0 = 0, θk = pi k−1∑ v=0 ηv, (k = 1, 2, 3, ...). 23 Khi ®ã {θk} lµ mét d·y t¨ng ngÆt vµ tiÕn tíi pi ∞∑ v=0 ηv = piη0 + pi ∞∑ v=1 ηv 6 2pi, khi k →∞. 2.1.10 Bæ ®Ò. Gi¶ sö k > 1, z = reiθ vµ θ tho¶ m·n θk − 1 3 piηk < θ 6 θk + 1 3 piηk. (2.2) Khi ®ã (a.) cos(θv − θ) 6 cos(23piηk) víi ν 6= k. (b.) ∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 er cos 23piηk víi ν 6= k. Chøng minh. Tr­íc hÕt ta chøng minh kh¼ng ®Þnh (a). Víi v < n θ − θv > (θn − θn−1)− 1 3 piηn = pi(ηn−1 − 1 3 ηn) > 2 3 piηn, vµ víi v > n ta cã θv − θ > (θn+1 − θn)− 1 3 piηn = 2 3 piηn. Suy ra |θv − θ| > 2 3 piηn(mod2pi), (v 6= n). VËy cos(θv − θ) 6 cos(23piηk). Ta tiÕp tôc chøng minh kh¼ng ®Þnh (b). Sö dông (a), ta cã :∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 ∣∣∣erei(θ−θv) ∣∣∣ = er cos(θ−θv) 6 er cos 23piηk, (v 6= k). VËy bæ ®Ò ®­îc chøng minh. 24 Gi¶ sö m lµ mét sè nguyªn d­¬ng bÊt kú, {ak} lµ mét d·y tuú ý c¸c sè phøc trong ®ã cã Ýt nhÊt 2 phÇn tö cña {ak}k>m ph©n biÖt vµ kh¸c kh«ng, {bk} lµ mét d·y c¸c sè d­¬ng tho¶ m·n: S1 = ∞∑ k=1 bk |ak| <∞, S2 = ∞∑ k=1 bk <∞. §Æt u(z) = ∞∑ k=1 bkake ze−iθk , vm(z) = ∞∑ k=m bke ze−iθk , vµ w0(z) ≡ 0, wm−1(z) = m−1∑ k=1 αke ze−iθk , (m > 2) víi sè phøc αk bÊt kú. H¬n n÷a ta ®Æt A0 ≡ 0, Am−1 = m−1∑ k=1 |αk|, (m > 2). Ta cã c¸c mÖnh ®Ò sau. 2.1.11 MÖnh ®Ò. Cho z = reiθ. Khi ®ã 1. |u(z)| 6 S1er, 2. |vm(z)| 6 S2er, 3. |u(z) + wm−1(z)| 6 (S1 + Am−1)er, 4. |vm(z) + wm−1(z)| 6 (S2 + Am−1)er. Chøng minh. Tr­íc hÕt ta cã:∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 ∣∣∣erei(θ−θk) ∣∣∣ = er cos(θ−θk) 6 er. Khi ®ã c¸c kh¼ng ®Þnh ®­îc chøng minh nh­ sau: 1. |u(z)| = ∣∣∣∣ ∞∑ k=1 bkake ze−iθk ∣∣∣∣ = ∞∑ k=1 bk |ak| ∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 S1er. 25 2. |vm(z)| = ∣∣∣∣ ∞∑ k=m bke ze−iθk ∣∣∣∣ = ∞∑ k=m bk ∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 ∞∑ k=1 bk ∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 S2er. 3. |wm−1(z)| = ∣∣∣∣m−1∑ k=1 αke ze−iθk ∣∣∣∣ = m−1∑ k=1 |αk| ∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 Am−1er, (m > 2), |u(z) + wm−1(z)| 6 |u(z)|+ |wm−1(z)| 6 S1er +Am−1er = (S1 +Am−1)er. 4. |vm(z) + wm−1(z)| 6 |vm(z)|+ |wm−1(z)| 6 S2er + Am−1er = (S2 + Am−1)er. 2.1.12 Bæ ®Ò. Cho θ tho¶ m·n (2.2) vµ k > m, z = reiθ. Khi ®ã, ta cã c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: 1. ∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ 6 (S1 + Am−1)er cos 23piηk. (2.3) 2. ∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 S2er cos 23piηk. (2.4) 3. ∣∣∣vm(z) + wm−1(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 (S2 + Am−1)er cos 23piηk, (2.5) vµ víi r ®ñ lín 4. |u(z) + wm−1(z)| > 1 2 bk |ak| er cos 13piηk, (ak 6= 0). (2.6) 5. |vm(z)| > 1 2 bke r cos 13piηk. (2.7) 6. |vm(z) + wm−1(z)| > 1 2 bke r cos 13piηk. (2.8) 26 Chøng minh. Ta cã∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ 6 |wm−1(z)|+ ∣∣∣u(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ 6 m−1∑ v=1 ∣∣∣αveze−iθv ∣∣∣+∑ v 6=k bv ∣∣∣aveze−iθv ∣∣∣ 6 m−1∑ v=1 |αv| ∣∣∣eze−iθv ∣∣∣+ ∞∑ v=1 bv |av| ∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 (S1 + Am−1)er cos 2 3piηk, kh¼ng ®Þnh (1) ®­îc chøng minh. ∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ = ∣∣∣∣∣ ∞∑ k=m bke ze−iθk − bkeze−iθk ∣∣∣∣∣ 6 ∣∣∣∣∣ ∞∑ k=1 bke ze−iθk − bkeze−iθk ∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ ∑ v 6=k bve ze−iθv ∣∣∣∣∣∣ 6 ∣∣∣∣∣ ∞∑ v=1 bve ze−iθv ∣∣∣∣∣ = ∞∑ v=1 bv ∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 S2er cos 23piηk, bÊt ®¼ng thøc (2) ®­îc chøng minh. ∣∣∣vm(z) + wm−1(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 |wm−1(z)|+ ∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 Am−1er cos 2 3piηk + S2e r cos 23piηk = (S2 + Am−1)er cos 2 3piηk, ®­a ra chøng minh cho bÊt ®¼ng thøc (3). 27 Gi¶ sö ak 6= 0, ta cã∣∣∣bkakeze−iθk ∣∣∣− |u(z) + wm−1(z)| 6 ∣∣∣bkakeze−iθk − (u(z) + wm−1(z))∣∣∣ = ∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ 6 (S1 + Am−1)er cos 2 3piηk. §iÒu nµy kÐo theo |vm(z) + wm−1(z)| > ∣∣∣bkakeze−iθk ∣∣∣− (S1 + Am−1)er cos 23piηk = bk |ak| er cos(θ−θk) − (S1 + Am−1)er cos 23piηk > bk |ak| er cos 13piηk − (S1 + Am−1)er cos 23piηk = er cos 1 3piηk(bk |ak| − (S1 + Am−1)er(cos 23piηk−cos 13piηk)) > 1 2 bk |ak| er cos 13piηk, kh¼ng ®Þnh (4) ®­îc chøng minh. BÊt ®¼ng thøc (5) ®­îc chøng minh nh­ sau:∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− |vm(z)| 6 ∣∣∣bkeze−iθk − vm(z)∣∣∣ = ∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 S2er cos 23piηk, do ®ã, |vm(z)| > ∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− S2er cos 23piηk > bker cos 13piηk − S2er cos 23piηk = er cos 1 3piηk(bk − S2er(cos 23piηk−cos 13piηk)) > 1 2 bke r cos 13piηk. 28 BÊt ®¼ng thøc (6) ®­îc suy ra tõ∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− |vm(z) + wm−1(z)| 6 ∣∣∣bkeze−iθk − vm(z) + wm−1(z)∣∣∣ = ∣∣∣vm(z) + wm−1(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 (S2 + Am−1)er cos 2 3piηk, ®iÒu nµy kÐo theo |vm(z) + wm−1(z)| > ∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− (S2 + Am−1)er cos 23piηk > bker cos 1 3piηk − (S2 + Am−1)er cos 23piηk = er cos 1 3piηk(bk − (S2 + Am−1)er(cos 23piηk−cos 13piηk)) > 1 2 bke r cos 13piηk. Bæ ®Ò ®­îc chøng minh. 2.1.13 Bæ ®Ò. u(z) + wm−1(z) vµ vm(z) lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C. Chøng minh. Tr­íc hÕt tõ bÊt ®¼ng thøc (2.6) vµ (2.7) ta nhËn thÊy c¶ u(z) + wm−1(z) vµ vm(z) ®Òu kh«ng ®ång nhÊt b»ng kh«ng. Gi¶ sö u(z) + wm−1(z) vµ vm(z) lµ phô thuéc tuyÕn tÝnh trªn C, khi ®ã tån t¹i mét h»ng sè a 6= 0 tho¶ m·n u(z)+wm−1(z)vm(z) ≡ a. MÆt kh¸c do c¸ch chän d·y {ak} nªn cã Ýt nhÊt mét k > m ®Ó ak 6= 0, ak 6= a, khi ®ã víi θ tho¶ m·n (2.2), víi z = reiθ vµ r ®ñ lín ta cã 29 0 6= |a− ak| = ∣∣∣∣u(z) + wm−1(z)− akvm(z)vm(z) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze −iθk − akvm(z) + bkakeze−iθk vm(z) ∣∣∣∣∣ 6 ∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣+ ∣∣∣akvm(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ |vm(z)| 6 (S1 + Am−1 + |ak|S2)e r cos 23piηk 1 2bke r cos 13piηk = 2 S1 + Am−1 + |ak|S2 bk er(cos 2 3piηk−cos 13piηk) = 2 S1 + Am−1 + |ak|S2 bk e−2r sin pi 6 ηk sin pi 2 ηk = 2 S1 + Am−1 + |ak|S2 bke2r sin pi 6 ηk sin pi 2 ηk r→∞−−−→ 0, (do sin pi6ηk sin pi 2ηk > 0.) §iÒu nµy m©u thuÉn. VËy ®iÒu gi¶ sö kh«ng, tøc u(z) + wm−1(z) vµ vm(z) lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C. Cho f := (f1 : ... : fn+1) lµ mét ®­êng cong chØnh h×nh siªu viÖt; p lµ mét sè nguyªn d­¬ng tuú ý, ®Æt P (z) = zp, chóng ta xÐt ®­êng cong chØnh h×nh f ◦ P = (f1 ◦ P, ..., fn+1 ◦ P ). Chó ý r»ng f1 ◦P, ..., fn+1 ◦P kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung vµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C. 2.1.14 Bæ ®Ò. Cho a ∈ Cn+1 − {0}. Khi ®ã 1. T (r, f ◦ P ) = T (rp, f), vµ ρ(f ◦ P ) = pρ(f), 2. m(r, a, f ◦ P ) = m(rp, a, f), 3. δ(a, f ◦ P ) = δ(a, f). 30 Chøng minh. Bëi ®Þnh nghÜa cña hµm ®Æc tr­ng vµ theo gi¶ thiÕt ‖f ◦ P (z)‖ = ‖f(zp)‖ = ∥∥f(rpeipθ)∥∥ , ta cã T (r, f ◦ P ) = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∥∥f(rpeipθ)∥∥dθ − log ‖f(0)‖ = 1 2ppi 2ppi∫ 0 log ∥∥f(rpeiφ)∥∥dφ− log ‖f(0)‖ = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∥∥f(rpeiφ)∥∥dφ− log ‖f(0)‖ = T (rp, f). MÆt kh¸c ρ(f ◦ P ) = lim sup r→∞ log T (r, f ◦ P ) log r = lim sup r→∞ log T (rp, f) 1 p log r p = p lim sup r→∞ log T (rp, f) log rp = p ρ(f). Kh¼ng ®Þnh (1) ®­îc chøng minh. Ta sÏ chøng minh kh¼ng ®Þnh (2). ThËt vËy, m(r, a, f ◦ P ) = 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖a‖∥∥f(rpeipθ)∥∥ |(a, f(rpeipθ))| dθ = 1 2ppi 2ppi∫ 0 log ‖a‖∥∥f(rpeiφ)∥∥ |(a, f(rpeiφ))| dφ = 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖a‖∥∥f(rpeiφ)∥∥ |(a, f(rpeiφ))| dφ = m(r p, a, f). 31 Tõ (1) vµ (2) ta cã δ(a, f ◦ P ) = lim inf r→∞ m(r, a, f ◦ P ) T (r, f ◦ P ) = lim inf r→∞ m(rp, a, f) T (rp, f) = δ(a, f), suy ra (3) ®ù¬c chøng minh. 2.2 C¸c vÝ dô vÒ ®­êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt. Nh­ ta ®· biÕt, bµi to¸n vÒ hµm ph©n h×nh víi h÷u h¹n hay v« h¹n gi¸ trÞ khuyÕt ®· ®­îc nghiªn cøu kh¸ trän vÑn trong c¸c c«ng tr×nh cña Le V. T. [11], D. Drasin [3], Hayman [4],... Trong phÇn nµy ta nghiªn cøu bµi to¸n nµy cho ®­êng cong chØnh h×nh. Ta gi¶ thiÕt n > 2. Cho {ηv}vµ {θk} lµ c¸c d·y sao cho {ηv} lµ mét d·y gi¶m víi ηv > 0, ∞∑ v=1 ηv = 1, η0 = η1, vµ {θk} lµ mét d·y t¨ng ngÆt víi θ0 = 0, θk = pi k−1∑ v=0 ηv, (k = 1, 2, 3...). Cho Y = {ak = (a1k, ..., ank, 1) ∈ Cn+1} ë vÞ trÝ tæng qu¸t vµ {cjk}∞k=1 , (j = 1, ..., n) lµ nh÷ng d·y sè d­¬ng tho¶ m·n: det (cjk) 6= 0, (j, k = 1, ..., n), c1k = c2k = ... = cnk = ck, (k = n, n+ 1, ...), 32 vµ Sj = ∞∑ k=1 cjk <∞, (j = 1, ..., n), Sn+1 = ∞∑ k=1 ( n∑ j=1 cjk |ajk|) <∞. §Æt ϕj(z) = ∞∑ k=1 cjke ze−iθk , (j = 1, ..., n) ϕn+1(z) = − ∞∑ k=1 ( n∑ j=1 cjkajk)e ze−iθk , ψ1(z) = ∞∑ k=n cke ze−iθk , ϕj − ψ1 = hj, trong ®ã hj(z) = n−1∑ k=1 cjke ze−iθk , (j = 1, ..., n). Chó ý r»ng, nÕu ta ®Æt ak = ∑n j=1 ajk, (k = 1, 2, ...), th× do Y lµ ë vÞ trÝ tæng qu¸t, nªn d·y {ak} tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña d·y {ak} ®· nªu ë tr­íc MÖnh ®Ò 2.1.11. Ta cã mÖnh ®Ò sau. 2.2.1 MÖnh ®Ò. Cho |z| = r. Khi ®ã |ϕj(z)| < Sjer, (j = 1, 2, ..., n+ 1). Chøng minh. Víi sè k bÊt kú vµ z = reiθ, ta cã:∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 ∣∣∣erei(θ−θk) ∣∣∣ = er cos(θ−θk) 6 er. Khi ®ã: |ϕj(z)| = ∞∑ k=1 cjk ∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 Sjer, (j = 1, ..., n), 33 vµ |ϕn+1(z)| = ∣∣∣∣∣− ∞∑ k=1 ( n∑ j=1 cjkajk)e ze−iθk ∣∣∣∣∣ = ∞∑ k=1 ( n∑ j=1 cjk |ajk|) ∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 Sn+1er. VËy |ϕj(z)| < Sjer, (j = 1, 2, ..., n+ 1). 2.2.2 MÖnh ®Ò. C¸c hµm ϕ1, ..., ϕn+1 kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung. Chøng minh. Chóng ta chØ ph¶i chøng minh ϕ1, ..., ϕn kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung. Gi¶ sö r»ng chóng cã kh«ng ®iÓm chung t¹i z = z0, th× tõ ϕj(z) = n−1∑ k=1 cjke ze−iθk + ψ1(z), (j = 1, ..., n), ta cã 0 = n−1∑ k=1 cjke z0e −iθk + ψ1(z0), (j = 1, ..., n). Víi mçi j = 1, ..., n− 1 0 = n−1∑ k=1 (cjk − cnk)ez0e−iθk . (2.9) Do ®ã, bëi c¸ch chän {cjk}, ta cã 0 6= det(cjk), (j, k = 1, ..., n) = cnn det(cjk − cnk), (j, k = 1, ..., n− 1) do cnn 6= 0 vËy nªn tõ (2.9) ta cã ez0e −iθk = 0, (k = 1, ..., n− 1). §©y lµ ®iÒu v« lý. VËy ϕ1, ..., ϕn+1 kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung. 34 2.2.3 MÖnh ®Ò. C¸c hµm ϕ1, ..., ϕn+1 lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C. Chøng minh. Gi¶ sö ng­îc l¹i, tån t¹i c¸c sè αi kh«ng ®ång thêi b»ng kh«ng sao cho α1ϕ1 + ...+ αn+1ϕn+1 = 0. Khi ®ã α1(h1 + ψ1) + ...+ αn(hn + ψ1) + αn+1ϕn+1 = 0, mµ kÐo theo α1h1 + ...+ αnhn + αn+1ϕn+1 + (α1 + ...+ αn)ψ1 = 0. (2.10) Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, ta cã thÓ gi¶ sö αn+1 6= 0, khi ®ã ph­¬ng tr×nh (2.10) t­¬ng ®­¬ng víi αn+1( α1h1 + ...+ αnhn αn+1 + ϕn+1) + (α1 + ...+ αn)ψ1 = 0. (2.11) Tõ ®Þnh nghÜa cña ϕn+1 , ψ1 vµ h1, ..., hn ta cã thÓ xem m = n vµ u = ϕn+1, wm−1 = α1h1 + ...+ αnhn αn+1 , vn = ψ1. Theo Bæ ®Ò 2.1.13 ta cã u(z) + wm−1(z) vµ vm(z) lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C. Do ®ã α1h1+...+αnhnαn+1 + ϕn+1 vµ ψ1 lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C. Tõ hÖ thøc (2.11) vµ αn+1 6= 0, ®iÒu nµy v« lý. VËy αn+1 = 0. Tõ (2.9) ta cã α1h1 + ...+ αnhn + (α1 + ...+ αn)ψ1 = 0. (2.12) Gi¶ sö α1 + ...+ αn 6= 0 khi ®ã (2.12) t­¬ng ®­¬ng víi α1h1 + ...+ αnhn α1 + ...+ αn + ψ1 = 0. 35 Theo bÊt ®¼ng thøc (2.8) víi m = n , vn = ψ1 , wm−1 = α1h1+···+αnhnα1+···+αn . Ta cã α1h1 + · · ·+ αnhn α1 + · · ·+ αn + ψ1 6= 0, suy ra m©u thuÉn, vËy α1 + · · ·+αn = 0 suy ra αn = −α1− · · · −αn−1. Tõ (2.12) ta cã α1(h1 − hn) + · · ·+ αn−1 (hn−1 − hn) = 0, (2.13) trong ®ã hj(z)− hn(z) = n−1∑ k=1 (cjk − cnk)eze−iθk , (j = 1, ..., n− 1), det(cjk− cnk) 6= 0 vµ do 0 < θ1 < · · · < θn−1 < 2pi nªn eze−iθ1 , ..., eze−iθn−1 lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C. Tõ (2.13) ta cã α1 = · · · = αn−1 = 0 vµ αn = 0. VËy ϕ1, ..., ϕn+1 ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C. Tõ c¸c MÖnh ®Ò 2.2.2 vµ 2.2.3, ta thÊy r»ng nÕu ϕ := [ϕ1, . . . , ϕn+1] th× ϕ lµ ®­êng cong chØnh h×nh kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh tõ C vµo Pn(C). 2.2.4 MÖnh ®Ò. Ta cã T (r, ϕ) < r +O(1). Chøng minh. Tõ MÖnh ®Ò 2.2.1 ta cã |ϕj(z)| < Sjer, (j = 1, 2, ..., n+1) nªn ∥∥ϕ(reiθ)∥∥ = (∣∣ϕ1(reiθ)∣∣2 + ...+ ∣∣ϕn+1(reiθ)∣∣2) 12 6 ( (S1e r)2 + ...+ (Sn+1e r)2 ) 1 2 6 ( n+1∑ j=1 S2j ) 1 2 er. 36 Theo ®Þnh nghÜa hµm ®Æc tr­ng T (r, ϕ) ta cã T (r, ϕ) = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∥∥ϕ(reiθ)∥∥ dθ 6 1 2pi 2pi∫ 0 log ( n+1∑ j=1 S2j ) 1 2 erdθ = log ( n+1∑ j=1 S2j ) 1 2 er = log ( n+1∑ j=1 S2j ) 1 2 + log er = r + log ( n+1∑ j=1 S2j ) 1 2 = r +O(1). 2.2.5 MÖnh ®Ò. Cho θ tho¶ m·n (2.2), cho |z| = r. Khi ®ã 1. ∣∣∣∣∣ϕn+1(z) + ( n∑ j=1 cjkajk ) eze −iθk ∣∣∣∣∣ 6 Sn+1er cos 23piηk. (2.14) 2. ∣∣∣ϕj(z)− cjkeze−iθk ∣∣∣ 6 Sjer cos 23piηk, (j = 1, ..., n). (2.15) 3. Víi r ®ñ lín |ϕj(z)| > 1 2 cjke r cos 13piηk, (j = 1, ..., n). (2.16) 37 Chøng minh. Kh¼ng ®Þnh (1) suy ra do∣∣∣∣∣ϕn+1(z) + ( n∑ j=1 cjkajk ) eze −iθk ∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣− ∞∑ k=1 ( n∑ j=1 cjkajk ) eze −iθk+ ( n∑ j=1 cjkajk ) eze −iθk ∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ ∑ v 6=k ( n∑ j=1 cjvajv ) eze −iθv ∣∣∣∣∣∣ = ∑ v 6=k ∣∣∣∣∣ ( n∑ j=1 cjvajv ) eze −iθv ∣∣∣∣∣ 6 ∞∑ v=1 ( n∑ j=1 cjv |ajv| )∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 Sn+1er cos 23piηk. Kh¼ng ®Þnh (2) ®­îc kÐo theo tõ∣∣∣ϕj(z)− cjkeze−iθk ∣∣∣ = ∣∣∣∣∣ ∞∑ k=1 cjke ze−iθk − cjkeze−iθk ∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ ∑ v 6=k cjve ze−iθv ∣∣∣∣∣∣ 6 ∞∑ v=1 cjv ∣∣∣eze−iθv∣∣∣ 6 Sjer cos 23piηk, (j = 1, ..., n). Do |ϕj(z)| = ∣∣∣∣ ∞∑ k=1 cjke ze−iθk ∣∣∣∣ > ∣∣∣∣ ∞∑ k=m cjke ze−iθk ∣∣∣∣ > 12cjker cos 13piηk, (j = 1, ..., n) (theo bÊt ®¼ng thøc (2.6)). Kh¼ng ®Þnh (3) ®­îc chøng minh. 2.2.6 MÖnh ®Ò. Cho θ tho¶ m·n (2.2), cho z = reiθ vµ r ®ñ lín ‖ak‖ ∥∥ϕ(reiθ)∥∥ |(ak, ϕ(reiθ))| > ‖ak‖ (max16j6n cjk) er cos 13piηk 2 ( Sn+1 + n∑ j=1 |ajk|Sj ) er cos 2 3piηk . Chøng minh. Do MÖnh ®Ò 2.2.3, (ak, ϕ(re iθ)) 6= 0 víi bÊt kú ak ∈ Y. Víi θ tho¶ m·n (2.2), víi r ®ñ lín, theo bÊt ®¼ng thøc (2.16) cña MÖnh ®Ò 2.2.5 ta cã 38 ‖ak‖ ∥∥ϕ(reiθ)∥∥ > ‖ak‖(max 16j6n ∣∣ϕj(reiθ)∣∣) > ‖ak‖ 2 ( max 16j6n cjk ) er cos 1 3piηk. (2.17) Theo bÊt ®¼ng thøc (2.14) vµ (2.15) cña MÖnh ®Ò 2.2.5 ta cã |(ak, ϕ(z))| = |a1kϕ1(z) + ...+ ankϕn(z) + ϕn+1(z)| = ∣∣∣∣∣ϕn+1(z) + n∑ j=1 ajkϕj(z) ∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣ϕn+1(z) + ( n∑ j=1 cjkajk ) eze −iθk + n∑ j=1 ajkϕj(z)− ( n∑ j=1 cjkajk ) eze −iθk ∣∣∣∣∣ 6 ∣∣∣∣∣ϕn+1(z) + ( n∑ j=1 cjkajk ) eze −iθk ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣ n∑ j=1 ajkϕj(z)− ( n∑ j=1 cjkajk ) eze −iθk ∣∣∣∣∣ 6 Sn+1er cos 2 3piηk + n∑ j=1 |ajk|Sjer cos 23piηk = ( Sn+1 + n∑ j=1 |ajk|Sj ) er cos 2 3piηk. (2.18) Tõ (2.17) vµ (2.18) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh 2.2.7 MÖnh ®Ò. Víi r ®ñ lín m(r, ak, ϕ) > 2 9 rη3k +O(1). Chøng minh. Tõ ®Þnh nghÜa cña m(r, ak, ϕ), víi βk = 1 3piηk vµ theo MÖnh 39 ®Ò 2.2.6 ta cã m(r, ak, ϕ) = 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖ak‖ ∥∥ϕ(reiθ)∥∥ |(ak, ϕ(reiθ))| dθ > 1 2pi θk+βk∫ θk−βk log ‖ak‖ ∥∥ϕ(reiθ)∥∥ |(ak, ϕ(reiθ))| dθ > r 2pi θk+βk∫ θk−βk ( cos 2 3 piηk − cos 1 3 piηk ) dθ +O(1) = ( r 2pi 2 sin pi 6 ηk sin pi 2 ηk ) 2pi 3 ηk +O(1) > 2r 3 ηk. 2 pi pi 6 ηk. 2 pi pi 2 ηk +O(1) = 2 9 rη3k +O(1), (ta cã sinx > 2pix víi 0 6 x 6 pi 2 ). §Þnh lý sau ®©y cho ta mét c¸ch x©y dùng ®­êng cong chØnh h×nh cã bËc 1 víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt. 2.2.8 §Þnh lý. Gi¶ sö ϕ, Y = {ak} vµ ηk nh­ ®· x©y dùng ë phÇn trªn. I. ϕ lµ bËc 1. II. δ(ak, ϕ) > 29η3k, (k = 1, 2, 3, ...). Chøng minh. I. Tõ MÖnh ®Ò 2.2.4 vµ 2.2.7 ta cã: 2 9 rη31 +O(1) 6 T (r, ϕ) < r +O(1). II. Tõ MÖnh ®Ò 2.2.4 vµ 2.2.7 ta cã: δ(ak, ϕ) = lim inf r→∞ m(r, ak, ϕ) T (r, ϕ) > 2 9 η3k. 40 §Þnh lý sau ®©y cho ta mét c¸ch x©y dùng ®­êng cong chØnh h×nh cã bËc p, víi p lµ sè nguyªn d­¬ng nµo ®ã, víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt. 2.2.9 §Þnh lý. Gi¶ sö ϕ, Y = {ak} vµ ηk nh­ ®· x©y dùng ë phÇn trªn. Víi mçi sè nguyªn d­¬ng p bÊt kú ®Æt P (z) = zp. Gi¶ sö ϕ ◦ P = [ϕ1 ◦ P, ..., ϕn+1 ◦ P ] . Khi ®ã ta cã: I. ϕ ◦ P lµ bËc p. II. δ(ak, ϕ ◦ P ) > 29η3k, (k = 1, 2, 3, ...). Chøng minh cña ®Þnh lý trªn suy ra trùc tiÕp tõ §Þnh lý 2.2.8 vµ Bæ ®Ò 2.1.14. §Æt Y1 = Y ∪ {bm = (m+ 1)a1 |1 6 m 6 N −m} víi N lµ mét sè nguyªn d­¬ng lín h¬n n. 2.2.10 HÖ qu¶. Víi ϕ ◦ P ®­îc ®­a ra ë §Þnh lý 2.2.8, ta cã: δ(ak, ϕ ◦ P ) > 2 9 η3k, (k = 1, 2, 3, ...), vµ δ(bm, ϕ ◦ P ) > 2 9 η31, (m = 1, ..., N −m). Nh­ trong tr­êng hîp hµm ph©n h×nh ta cã hÖ qu¶ sau: 2.2.11 HÖ qu¶. Cho 0 < ε < 13 , tån t¹i mét ®­êng cong chØnh h×nh ϕ ◦ P cÊp p vµ d·y {ak} , (k = 1, 2, ...) ë vÞ trÝ tæng qu¸t tho¶ m·n ∞∑ k=1 δ(ak, ϕ ◦ P ) 13−ε =∞. (2.19) KÕt luËn Nh­ vËy, luËn v¨n nµy ®· tr×nh bµy l¹i c¸c kh¸i niÖm, c¸c tÝnh chÊt vµ c¸c ®Þnh lý cña lý thuyÕt Nevanlinna cho hµm ph©n h×nh vµ cho ®­êng cong chØnh h×nh mét c¸ch cã hÖ thèng. Ph©n tÝch vµ chøng minh l¹i mét c¸ch tØ mØ, cô thÓ c¸c bæ ®Ò, mÖnh ®Ò vµ c¸c kÕt qu¶ trong bµi b¸o cña N. Toda [12] vÒ x©y dùng ®­êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt. KÕt qu¶ chÝnh cña luËn v¨n lµ ®· x©y dùng c¸c ®­êng cong chØnh h×nh víi h÷u h¹n hay v« h¹n gi¸ trÞ khuyÕt ®· ®­îc tr×nh bµy trong luËn v¨n. 41 Tµi liÖu tham kh¶o [1] H. Cartan, Sur les zeros des combinaisions linearires de p fonctions holomorpes donnees, Mathematica (Cluj). 7 (1933), 80-103. [2] W. Cherry and Z. Ye, Nevanlinna's Theory of Value Distribution. The Second Main Theorem and its Error Terms, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, 2001. [3] D. Drasin, The inverse problem of the Nevanlinna theory, Acta Math. 138 (1976), 83--151. [4] W. K. Hayman, Meromorphic functions, Clarendo Press, Oxford, 1964. [5] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Grad. Texts in Math. vol. 52, Springer-Verlag, New York, 1997. [6] Hµ Huy Kho¸i, Gi¸o tr×nh gi¶i tÝch phøc, ViÖn To¸n häc, 2000. [7] NguyÔn V¨n Khuª, Lª MËu H¶i, Hµm biÕn phøc, NXB §¹i häc Quèc gia, Hµ Néi (1997). [8] S. Kobayashi, Hyperbolic manifolds and holomophic mappings,Marcel Dekker, 1970. [9] R. Nevanlinna, Einige Eindeutigkeitssatze in der Theorie der meromor- phen Function, Acta. Math. 48 (1926), 367-391. [10] E. I. Nochka, On the theory of meromorphic curves, Soviet Math. Dokl. 27 (1983), no. 2, 377--381. 42 43 [11] Le Van Thiem, Uber das Umkehrproblem der Wertverteilungslehre, (German) Comment. Math. Helv. 23, (1949). 26--49. [12] N. Toda, Holomorphic curves with an infinite number of deficiences, Proc. Japan. Aca. 80 2004, 90--95.