Ôn thi cao học môn toán kinh tế - Phần 3

2 = 0,49. 12 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được zγ = 2,33. Ta có cỡ mẫu n = 100. Tỉ lệ mẫu các sản phẩm loại B là: %.1717,0 100 17 ==== n mFn vì trong n = 100 sản phẩm có m = 8+ 9 = 17 sản phẩm có chỉ tiêu X nhỏ hơn hay bằng 19 cm, nghĩa là có m = 17 sản phẩm loại B. Vậy ước lượng khoảng là: 0,17(1 0,17) 0,17(1 0,17)(0,17 2,33 ; 0,17 2,33 ) (0,0825; 0,2575) 100 100 (8,25%; 25,75%). − −− + = = Nói cách khác, với độ tin cậy 98%, tỉ lệ các sản phẩm loại B từ 8,25% đến 25,75%. 2.4. Các chỉ tiêu chính của bài toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng và tỉ lệ Trong bài toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng và tỉ lệ có 3 chỉ tiêu chính là: - Cỡ mẫu n. - Độ chính xác ε. - Độ tin cậy γ = 1 -α. Nếu biết được 2 trong 3 chỉ tiêu trên thì có thể suy ra chỉ tiêu còn lại. 1) Trường hợp ước lượng khoảng cho kỳ vọng Ta xét trường hợp phổ biến nhất là n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết. Khi đó, ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng μ = M(X) với độ tin cậy γ: S S(X z ;X z ) (z ) . 2n nα α α γ− + ϕ =với Do đó ta có công thức độ chính xác của ước lượng là: Sz (1) nα ε = 13 - Nếu biết cỡ mẫu n và độ tin cậy γ thì ta tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = γ/2. Từ đó ta tìm được độ chính xác ε theo (1). - Nếu biết cỡ mẫu n và độ chính xác ε thì từ (1) ta suy ra nz Sα ε= Tra bảng B giá trị hàm Laplace ta tìm được ϕ(zα). Từ đó suy ra độ tin cậy γ = 2ϕ(zα). - Nếu biết độ chính xác ε và độ tin cậy γ thì từ (1) ta suy ra: 2z Sn α⎛ ⎞= ⎜ ⎟ε⎝ ⎠ Chú ý rằng 2z Sα⎛ ⎞⎜ ⎟ε⎝ ⎠ có thể không là số nguyên, hơn nữa, ta đã biết trong ước lượng, cỡ mẫu càng lớn thì ước lượng càng chính xác. Do đó trong thực tế ta có yêu cầu: 2z Sn (2)α⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟ε⎝ ⎠ Gọi n1 là số nguyên n nhỏ nhất thoả (2); n0 là cỡ mẫu đang có. Nếu n1 ≤ n0 thì ta không cần điều tra thêm vì cỡ mẫu đang có đã thỏa (2). Nếu n1 > n0 thì ta cần điều tra thêm ít nhất là n1- n0 số liệu nữa để đảm bảo tổng số liệu là n1 thoả (2). Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có kết quả sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18 a) Nếu muốn ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X của loại sản phẩm trên với độ chính xác 1,8cm thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu? 14 b) Nếu muốn ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X của loại sản phẩm trên với độ chính xác 1,5cm và độ tin cậy 97% thì phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm nữa? Giải. Các số liệu của bài toán đã được tính trong các ví dụ trước. Nhắc lại rằng : - Cỡ mẫu n = 100. - ).(36,26 cmX = - ).()4827,7( 222 cmS = a) Đây là bài toán xác định độ tin cậy γ = 1- α khi ước lượng kỳ vọng của chỉ tiêu X với độ chính xác ε = 1,8cm. Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng: Sz nα ε = trong đó ϕ (zα) = γ /2. Suy ra n 1,8. 100z 2,41 S 7,4827α ε= = = Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được độ tin cậy là: 2 (z ) 2 (2, 41) 2.0, 4920 98,40%.αγ = ϕ = ϕ = = Vậy độ tin cậy đạt được là 98,40%. b) Đây là bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng kỳ vọng của chỉ tiêu X với độ chính xác ε = 1,5cm và độ tin cậy γ = 1- α = 97% = 0,97. Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng: Sz nα ε = trong đó ϕ (zα) = γ /2 = 0,97/2 = 0, 485. Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được zα = 2,17. Suy ra 15 2z Sn α⎛ ⎞= ⎜ ⎟ε⎝ ⎠ Thực tế yêu cầu: 22z S 2,17.7,4827n 117,18. 1,5 α ⎛ ⎞⎛ ⎞≥ = ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ε⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Giá trị n nguyên nhỏ nhất thỏa bất đẳng thức trên là n1 = 118. Vì n1 = 118 > 100 (100 là cỡ mẫu đang có) nên ta cần điều tra thêm ít nhất là 118 – 100 = 18 sản phẩm nữa. 2) Trường hợp ước lượng khoảng cho tỉ lệ Ta xét trường hợp cỡ mẫu khá lớn. Khi đó, ta có công thức ước lượng khoảng cho tỉ lệ p với độ tin cậy γ: n n n n n n F (1 F ) F (1 F ) 1(F z ;F z ) (z ) . n n 2 2α α α − − − α γ− + ϕ = =với Do đó ta có công thức độ chính xác của ước lượng là: n nF (1 F )z (1) nα −ε = - Nếu biết cỡ mẫu n và độ tin cậy γ thì ta tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = γ/2. Từ đó ta tìm được độ chính xác ε theo (1). - Nếu biết cỡ mẫu n và độ chính xác ε thì từ (1) ta suy ra n n nz F (1 F )α = ε − Tra bảng giá trị hàm Laplace ta tìm được ϕ(zα). Từ đó suy ra độ tin cậy γ = 2ϕ(zα). - Nếu biết độ chính xác ε và độ tin cậy γ thì từ (1) ta suy ra: 2 n n 2 z F (1 F )n α −= ε 16 Chú ý rằng 2 n n 2 z F (1 F )α − ε có thể không là số nguyên, hơn nữa, ta đã biết trong ước lượng, cỡ mẫu càng lớn thì ước lượng càng chính xác. Do đó trong thực tế ta có yêu cầu: 2 n n 2 z F (1 F )n (2)α −≥ ε Gọi n1 là số nguyên n nhỏ nhất thoả (2); n0 là cỡ mẫu đang có. Nếu n1 ≤ n0 thì ta không cần điều tra thêm vì cỡ mẫu đang có đã thỏa (2). Nếu n1 > n0 thì ta cần điều tra thêm ít nhất là n1- n0 số liệu nữa để đảm bảo tổng số liệu là n1 thoả (2). Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có kết quả sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18 Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19 cm trở xuống được xếp vào loại B. a) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ các sản phẩm loại B với độ chính xác 8% thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu? b) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ các sản phẩm loại B với độ chính xác 9% và độ tin cậy 96% thì phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm nữa? Giải. Các số liệu của bài toán đã được xét nhiều lần. Nhắc lại rằng : - Cỡ mẫu n = 100. - Tỉ lệ mẫu các sản phẩm loại B là Fn = 0,17. a) Đây là bài toán xác định độ tin cậy γ = 1- α khi lượng tỉ lệ các sản phẩm loại B với độ chính xác ε = 8% = 0,08. Ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng: 17 n nF (1 F )z nα −ε = trong đó ϕ(zα) = γ /2 . Suy ra n n n 100z 0,08. 2,13. F (1 F ) 0,17(1 0,17)α = ε = =− − Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được độ tin cậy là 2 (z ) 2 (2,13) 2.0, 4834 96,68%.αγ = ϕ = ϕ = = Vậy độ tin cậy đạt được là 96,68%. b) Đây là bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng tỉ lệ các sản phẩm loại B với độ chính xác ε = 9% = 0,09 và độ tin cậy γ = 1- α = 96% = 0,96. Ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng: n nF (1 F )z nα −ε = trong đó ϕ (zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48. Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được zα = 2,06. Suy ra 2 n n 2 z F (1 F )n α −= ε Thực tế yêu cầu: 2 2 n n 2 2 z F (1 F ) 2,06 .0,17(1 0,17)n 73,92. 0,09 α − −≥ = ≈ε Giá trị n nguyên nhỏ nhất thoả bất đẳng thức trên là n1 = 74. Vì n1 = 74 < 100 (100 là cỡ mẫu đang có) nên ta không cần điều tra thêm sản phẩm nữa. 2.5. Ước lượng khoảng cho phương sai Xét đám đông X có phân phối chuẩn và mẫu (X1, X2,..., Xn), ta có các công thức ước lượng khỏang cho phương sai σ2 = D(X) với độ tin cậy γ = 1 - α như sau: 18 Trường hợp 1: M(X)μ = đã biết: 2 2 i i 2 2 1 2 2 (X ) (X ) ; α α− ⎛ ⎞− μ − μ⎜ ⎟⎜ ⎟χ χ⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ∑ trong đó 2 2 αχ và 2 1 2 α− χ được cho trong bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2(n) với n bậc tự do thỏa 2 2P( )αχ > χ = α ; 2 i(X )− μ∑ là tổng bình phương của mẫu (X1 - μ, X2 - μ,..., Xn- μ). Trường hợp 2: M(X)μ = chưa biết: 2 2 2 2 1 2 2 (n 1)S (n 1)S; α α− ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟χ χ⎜ ⎟⎝ ⎠ trong đó 2 2 αχ và 2 1 2 α− χ được cho trong bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (k) với k = n-1 bậc tự do thỏa 2 2P( )αχ > χ = α ; S2 là phương sai mẫu hiệu chỉnh. • Bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (n) với n bậc tự do cho ta các giá trị 2αχ thỏa 2 2P( )αχ > χ = α . Ví dụ: với n = 30; α = 0,01 ta có 2 37,57αχ = . (Trong một số tài liệu khác, kí hiệu 2αχ chỉ giá trị mà 2 2P( )αχ ≤ χ = α . Theo nghĩa này thì 2αχ chính là giá trị 21−αχ mà ta đã xét ở trên). Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có kết quả sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18 Giả sử X có phân phối chuẩn. Hãy ước lượng phương sai của X với độ tin cậy 95% trong mỗi trường hợp sau: 19 a) Biết giá trị trung bình của X là 25cm. b) Chưa biết giá trị trung bình của X. Giải. a) Giả thiết cho ta μ = M(X) = 25. Ta có ước lượng khoảng của phương sai với độ tin cậy γ = 1 - α = 95% (α = 0,05) là: 2 2 i i 2 2 1 2 2 (X ) (X ) ; α α− ⎛ ⎞− μ − μ⎜ ⎟⎜ ⎟χ χ⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ∑ Ta lập bảng: Xi -μ -12 -8 -4 0 4 8 12 ni 8 9 20 16 16 13 18 Từ đó ta tìm được cỡ mẫu n = 100; 2i(X ) 5728− μ =∑ . Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (n) với n = 100 bậc tự do ta được: 2 2 2 2 0,05 1 0,95124,3 và 77,93α −αχ = χ = χ = χ = Vậy ước lượng khoảng của phương sai là: 5728 5728; (46,08;73,50) 124,3 77,93 ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, phương sai của chỉ tiêu X của loại sản phẩm trên từ 46,08(cm2) đến 73,50(cm2). b) Ta có ước lượng khoảng của phương sai với độ tin cậy γ = 1 - α = 95% (α = 0,05) là: 2 2 2 2 1 2 2 (n 1)S (n 1)S; α α− ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟χ χ⎜ ⎟⎝ ⎠ Các số liệu của bài toán đã được tính trong các ví dụ trước. Nhắc lại rằng : - Cỡ mẫu n = 100. - ).(36,26 cmX = - ).()4827,7( 222 cmS = 20 Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (n-1) với n-1 = 99 ≈100 bậc tự do ta được: 2 2 2 2 0,05 1 0,95124,3 và 77,93α −αχ = χ = χ = χ = Vậy ước lượng khoảng của phương sai là: 2 299.(7,4827) 99.(7,4827); (44,59;71,13) 124,3 77,93 ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, phương sai của chỉ tiêu X của loại sản phẩm trên từ 44,59(cm2) đến 71,13(cm2). §3. KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT 3.1. Kiểm định giả thiết về kỳ vọng 1) Bài toán: Xét đám đông X có kỳ vọng μ = M(X) chưa biết. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, hãy dựa vào mẫu (X1, X2,…, Xn) để kiểm định giả thiết: H0: μ = μ0 (μ0 là hằng số ) với giả thiết đối H1: μ ≠ μ0 với mức ý nghĩa α. 2) Qui tắc kiểm định: Ta có 4 trường hợp: Trường hợp 1: n ≥ 30; σ2 = D(X) đã biết: Bước 1: Tính 0 (X ) nt .− μ= σ Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα)=(1- α)/2. Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với zα : • Nếu |t| ≤ zα thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0. • Nếu |t| > zα thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0. Trường hợp 2: n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết: Bước 1: Tính 0 (X ) nt . S − μ= Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα)=(1- α)/2. Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với zα : • Nếu |t| ≤ zα thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0. • Nếu |t| > zα thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0. 21 Trường hợp 3: n < 30; X có phân phối chuẩn; σ2 = D(X) đã biết: Qui tắc kiểm định giống trường hợp 1. Trường hợp 4: n < 30; X có phân phối chuẩn; σ2 = D(X) chưa biết: Bước 1: Tính 0 (X ) nt . S − μ= Bước 2: Đặt k = n - 1. Tra bảng phân phối Student ứng với bậc tự do k và mức ý nghĩa α tìm giá trị kt tα α= . Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với tα: • Nếu |t| ≤ tα thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0. • Nếu |t| > tα thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0. 3) Chú ý khi thay đổi giả thiết đối: Trường hợp giả thiết đối mang dấu bất đẳng thức thì qui tắc kiểm định có sự thay đổi tương ứng như sau: • Kiểm định H0: μ = μ0 với giả thiết đối H1: μ > μ0. Bài toán này thường chỉ đặt ra khi 0X > μ . Khi đó các giá trị 0(X ) nt − μ= σ hoặc 0(X ) nt S − μ= đều dương. Ta có qui tắc kiểm định tương tự như trên, trong đó thay vì so sánh |t| với zα hoặc tα thì ta so sánh t với z2α hoặc t2α. Cụ thể: Đối với các trường hợp 1, 2, 3: Nếu t ≤ z2α thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0. Nếu t > z2α thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0. Đối với trường hợp 4: Nếu t ≤ t2α thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0. Nếu t > t2α thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0. • Kiểm định H0: μ = μ0 với giả thiết đối H1: μ < μ0. Bài toán này thường chỉ đặt ra khi 0X < μ . Khi đó các giá trị 0(X ) nt − μ= σ hoặc 0(X ) nt S − μ= đều âm. Ta có qui tắc kiểm định tương tự như trên, trong đó thay vì so sánh |t| với zα hoặc tα thì ta so sánh -t với z2α hoặc t2α. Cụ thể: Đối với các trường hợp 1, 2, 3: Nếu -t ≤ z2α thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0. Nếu -t > z2α thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0. 22 Đối với trường hợp 4: Nếu -t ≤ t2α thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0. Nếu -t > t2α thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0. Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có kết quả sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18 Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19cm trở xuống được xếp vào loại B. a) Giả sử trung bình tiêu chuẩn của chỉ tiêu X là 29cm. Hãy nhận định về tình hình sản xuất với mức ý nghĩa 1%. b) Theo qui định, gía trị trung bình của chỉ tiêu X là 25cm. Các số liệu trên thu thập được từ các sản phẩm do một máy sản xuất. Với mức ý nghĩa 2% có thể kết luận rằng các sản phẩm do máy sản suất có chỉ tiêu X cao hơn qui định hay không? c) Bằng phương pháp sản xuất mới, sau một thời gian, người ta thấy giá trị trung bình của chỉ tiêu X của những sản phẩm loại B là 16cm. Hãy cho kết luận về phuơng pháp mới với mức ý nghĩa 2% (Giả sử X có phân phối chuẩn). d) Theo số liệu thống kê cũ, gía trị trung bình của chỉ tiêu X của những sản phẩm loại B là 16,5cm. Các số liệu trên thu thập được sau khi đã áp dụng một phương pháp sản xuất mới. Hãy cho kết luận về nhận định cho rằng phương pháp mới có tác dụng làm giảm chỉ tiêu X của những sản phẩm loại B với mức ý nghĩa 2% (Giả sử X có phân phối chuẩn). Giải. Các số liệu của bài toán đã tính được : - Cỡ mẫu n = 100. - Kỳ vọng mẫu của X: ).(36,26 cmX = - Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X: ).()4827,7( 222 cmS = - Cỡ mẫu loại B: nB = 17. - Kỳ vọng mẫu của XB: ).(1176,15 cmXB = - Phương sai mẫu hiệu chỉnh của XB: ).()0580,2( 222 cmSB = a) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01: 23 H0: μ = 29 với giả thiết đối H1: μ ≠ 29. Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có 0(X ) n (26,36 29) 100t 3,5281. S 7,4827 − μ −= = = − Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = =(1- α)/2 = 0,99/2 = 0,495 ta được zα = 2,58. Bước 3: Kiểm định. Vì |t| = 3,5281 > 2,58 = zα nên ta bác bỏ giả thiết H0: μ=29. Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, tình hình sản xuất không bình thường vì giá trị trung bình của chỉ tiêu X không đúng tiêu chuẩn. b) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghĩa α = 2% = 0,02: H0: μ = 25 với giả thiết đối H1: μ > 25. Vì n ≥ 30; σ2= D(X) chưa biết, nên ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có 0(X ) n (26,36 25) 100t 1,8175. S 7,4827 − μ −= = = Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = 0,96/2 = 0,48 ta được z2α = 2,06. Bước 3: Kiểm định. Vì t =1,18175 < 2,06 = z2α nên ta chấp nhận giả thiết H0: μ=29. 24 Kết luận: Với mức ý nghĩa 2%, không thể kết luận rằng các sản phẩm do máy trên sản suất có chỉ tiêu X cao hơn qui định. c) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng μB = M(XB) của chỉ tiêu X = XB của các sản phẩm loại B với mức ý nghĩa α = 2% = 0,02: H0: μB = 16 với giả thiết đối H1: μB ≠ 16 Vì nB < 30, XB có phân phối chuẩn, σ2B= D(XB) chưa biết, nên ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có B 0 B B (X ) n (15,1176 16) 17t 1,7678. S 2,0580 − μ −= = = − Bước 2: Đặt k = nB -1 = 16. Tra bảng phân phối Student ứng với k = 16 và α = 0,02 ta được tα = 2,583. Bước 3: Kiểm định. Vì |t| = 1,7678 < 2,583 = tα nên ta chấp nhận giả thiết H0: μB = 16. Kết luận: Với mức ý nghĩa 2%, phương pháp mới không có tác dụng làm thay đổi giá trị trung bình của chỉ tiêu XB của các sản phẩm loại B. d) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng μB = M(XB) của chỉ tiêu X = XB của các sản phẩm loại B với mức ý nghĩa α = 2% = 0,02: H0: μB = 16,5 với giả thiết đối H1: μB < 16,5. Vì nB < 30, XB có phân phối chuẩn, σ2B= D(XB) chưa biết, nên ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có 25 B 0 B B (X ) n (15,1176 16,5) 17t 2,7696. S 2,0580 − μ −= = = − Bước 2: Đặt k = nB - 1 = 16. Tra bảng phân phối Student ứng với k = 16 và 2α = 0,04 ta được 2t α = 2,2354. Bước 3: Kiểm định. Vì -t = 2,7696 > 2,2354 = 2t α nên ta bác bỏ giả thiết H0: μB = 16,5, nghĩa là chấp nhận μB < 16,5. Kết luận: Với mức ý nghĩa 2%, phương pháp mới có tác dụng làm giảm giá trị trung bình của chỉ tiêu XB của các sản phẩm loại B. 3.2. Kiểm định giả thiết về tỉ lệ 1) Bài toán: Xét đám đông X có tỉ lệ p chưa biết. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, hãy dựa vào mẫu (X1, X2,…, Xn) để kiểm định giả thiết: H0: p = p0 (p0 là hằng số ) với giả thiết đối H1: p ≠ p0 với mức ý nghĩa α. 2) Qui tắc kiểm định: Bước 1: Tính n 0 0 0 (F p ) nt p q −= với q0 = 1- p0. Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace tìm zα thoả ϕ(zα)=(1- α)/2. Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với zα : • Nếu |t| ≤ zα thì chấp nhận giả thiết H0: p = p0. • Nếu |t| > zα thì bác bỏ giả thiết H0: p = p0. 3) Chú ý khi thay đổi giả thiết đối: Trường hợp giả thiết đối mang dấu bất đẳng thức thì qui tắc kiểm định có sự thay đổi tương ứng như sau: • Kiểm định H0: p = p0 với giả thiết đối H1: p > p0 Bài toán này thường chỉ đặt ra khi Fn > p0. Khi đó giá trị n 0 0 0 (F p ) nt p q −= sẽ dương. 26 Ta có qui tắc kiểm định tương tự như trên, trong đó thay vì so sánh |t| với zα thì ta so sánh t với z2α . Cụ thể: Nếu t ≤ z2α thì chấp nhận giả thiết H0: p = p0. Nếu t > z2α thì bác bỏ giả thiết H0: p = p0. • Kiểm định H0: p = p0 với giả thiết đối H1: p < p0 Bài toán này thường chỉ đặt ra khi Fn < p0. Khi đó giá trị n 0 0 0 (F p ) nt p q −= sẽ âm. Ta có qui tắc kiểm định tương tự như trên, trong đó thay vì so sánh |t| với zα thì ta so sánh -t với z2α . Cụ thể: Nếu -t ≤ z2α thì chấp nhận giả thiết H0: p = p0. Nếu -t > z2α thì bác bỏ giả thiết H0: p = p0. Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có kết quả sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18 Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 27cm trở lên dược xếp vào loại A. a) Một tài liệu cũ cho rằng tỉ lệ sản phẩm loại A là 60%. Hãy nhận định về phương pháp mới với mức ý nghĩa 1%. b) Tỉ lệ sản phẩm loại A trước đây là 40%. Các số liệu trên thu thập được sau khi đã áp dụng một kỹ thuật mới. Với mức ý nghĩa 3%, có thể nói rằng kỹ thuật mới làm tăng tỉ lệ sản phẩm loại A hay không? Giải. Ta tính được: - Cỡ mẫu n = 100. - Tỉ lệ mẫu các sản phẩm loại A là Fn = 47/100 = 0,47. a) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về tỉ lệ p các sản phẩm loại A với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01: H0: p = 60% = 0,6 với giả thiết đối H1: p ≠ 0,6 27 Ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có n 0 0 0 (F p ) n (0, 47 0,6) 100t 2, 6536. p q 0,6(1 0,6) − −= = = −− Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = (1 - α)/2 = 0,99/2 = 0,495 ta được zγ = 2,58. Bước 3: Kiểm định: Vì|t|= 2,6536 > 2,58 = zα nên ta bác bỏ giả thiết H0: p=0,6. Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, tài liệu thống kê cũ dã lạc hậu, không còn phù hợp với thực tế. b) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về tỉ lệ p các sản phẩm loại A với mức ý nghĩa α = 3% = 0,03: H0: p = 40% = 0,4 với giả thiết đối H1: p > 0,4 Ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có n 0 0 0 (F p ) n (0, 47 0,4) 100t 1,4289. p q 0,4(1 0,4) − −= = =− Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,94/2 = 0,47 ta được z2α = 1,88. Bước 3: Kiểm định: Vì t = 1,4289 < 1,88 = z2α nên ta chấp nhận giả thiết H0: p = 0,6. Kết luận: Với mức ý nghĩa 3%, kỹ thuật mới không làm tăng tỉ lệ sản phẩm loại A. 28 3.3. Kiểm định giả thiết về phương sai 1) Bài toán: Xét đám đông X có phân phối chuẩn với phương sai σ2 = D(X) chưa biết. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, hãy dựa vào mẫu (X1, X2,…, Xn) để kiểm định giả thiết: H0: σ2 = σ02 (σ0 là hằng số ) với giả thiết đối H1: σ2 ≠ σ02 với mức ý nghĩa α. 2) Qui tắc kiểm định: Bước 1: Tính 2 2 0 (n 1)St .−= σ Bước 2: Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (n-1) với n-1 bậc tự do tìm các giá trị 2 2 αχ và 2 1 2 α− χ . Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh t với 2 2 αχ và 2 1 2 α− χ . • Nếu 2 1 2 α− χ ≤ t ≤ 2 2 αχ thì chấp nhận giả thiết H0: σ2 = σ02. • Nếu t < 2 1 2 α− χ hoặc t > 2 2 αχ thì bác bỏ giả thiết H0: σ2 = σ02. 3) Chú ý khi thay đổi giả thiết đối: Trường hợp giả thiết đối mang dấu bất đẳng thức thì qui tắc kiểm định có sự thay đổi tương ứng như sau: • Kiểm định H0: σ2 = σ02 với giả thiết đối H1: σ2 > σ02 Bài toán này thường chỉ đặt ra khi S2 > σ02. Ta có qui tắc kiểm định tương tự như trên, trong đó thay vì so sánh t với 2 2 αχ và 2 1 2 α− χ , ta so sánh t với 2αχ . Cụ thể: Nếu t ≤ 2αχ thì chấp nhận H0: σ2 = σ02. Nếu t > 2αχ thì bác bỏ H0: σ2 = σ02. • Kiểm định H0: σ2 = σ02 với giả thiết đối H1: σ2 < σ02 Bài toán này thường chỉ đặt ra khi S2 < σ02. Ta có qui tắc kiểm định tương tự như trên, trong đó thay vì so sánh t với 2 2 αχ và 2 1 2 α− χ , ta so sánh t với 21−αχ . Cụ thể: Nếu t ≥ 21−αχ thì chấp nhận H0: σ2 = σ02. Nếu t < 21−αχ thì bác bỏ H0: σ2 = σ02. 29 Ví dụ: Đường kính của một chi tiết máy là đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn. Người ta đo thử 28 chi tiết máy do một máy sản xuất và tìm được phương sai mẫu hiệu chỉnh là S2 = (2,0853)2 (cm2). a) Khi máy hoạt động bình thường thì độ lệch chuẩn của X của các chi tiết máy do máy sản xuất là 1,8cm. Với mức ý nghĩa 1%, hãy xét xem máy có hoạt động bình thường không. b) Theo qui định mới, nếu độ lệch chuẩn của X lớn hơn 1,6cm thì phải điều chỉnh lại máy. Với mức ý nghĩa 5%, có phải điều chỉnh lại máy không? Giải. Ta có: - Cỡ mẫu n = 28. - Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X: 2 2 2S (1,9231) (cm ).= a) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về phương sai σ2 = D(X) với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01: H0: σ2 = (1,8)2 với giả thiết đối H1: σ2 ≠ (1,8)2 Bước 1: Ta có: 2 2 2 2 0 (n 1)S 27.(2,0853)t 36,2373 (1,8) −= = =σ Bước 2: Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (k) với k = n – 1 = 27 bậc tự do, ta tìm được 2 20,005 2 49,65αχ = χ = và 2 2 0,9951 2 11,80765α−χ = χ = . Bước 3: Kiểm định: Vì 2 1 2 11,80765α−χ = ≤ t = 36,2373 ≤ 2 2 49,65 α= χ nên ta chấp nhận giả thiết H0: σ2 = (1,8)2 . Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, máy hoạt động bình thường. b) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về phương sai σ2 = D(X) với mức ý nghĩa α = 5% = 0,05: 30 H0: σ2 = (1,6)2 với giả thiết đối H1: σ2 > (1,6)2 Bước 1: Ta có: 2 2 2 2 0 (n 1)S 27.(2,0853)t 45,8628 (1,6) −= = =σ Bước 2: Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2(k) với k = n – 1 = 27 bậc tự do, ta tìm được 2 20,05 40,11αχ = χ = . Bước 3: Kiểm định: Vì t = 45,8628 > 240,11 α= χ nên ta bác bỏ giả thiết H0: σ2 = (1,6)2, nghĩa là chấp nhận σ2 > (1,6)2. Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, phải điều chỉnh lại máy. 3.4. Kiểm định giả thiết so sánh hai kỳ vọng 1) Bài toán: Xét hai đám đông X, Y với các kỳ vọng μX = M(X) và μY = M(Y) đều chưa biết. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, hãy dựa vào các mẫu 11 2 n(X , X ,..., X ) và 21 2 n(Y , Y ,..., Y ) để kiểm định giả thiết: H0: μX = μY với giả thiết đối H1: μX ≠ μY với mức ý nghĩa α. 2) Qui tắc kiểm định: Gọi n1, n2 lần lượt là các cỡ mẫu của X và Y. Ta có 2 trường hợp: Trường hợp 1: n1 ≥ 30 và n2 ≥ 30: Bước 1: Tính 2 2 X Y 1 2 X Yt S S n n −= + Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα)=(1- α)/2. Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với zα : • Nếu |t| ≤ zα thì chấp nhận giả thiết H0: μX = μY. • Nếu |t| > zα thì bác bỏ giả thiết H0: μX = μY. 31 Trường hợp 2: n1 < 30 hoặc n2 < 30; X và Y có phân phối chuẩn: Bước 1: Tính 2 2 X Y 1 2 X Yt S S n n −= + Bước 2: Đặt k = n1 + n2 - 2. Tra bảng phân phối Student ứng với bậc tự do k và mức ý nghĩa α tìm giá trị kt tα α= . Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với tα: • Nếu |t| ≤ tα thì chấp nhận giả thiết H0: μX = μY. • Nếu |t| > tα thì bác bỏ giả thiết H0: μX = μY. 3) Chú ý khi thay đổi giả thiết đối: Trường hợp giả thiết đối mang dấu bất đẳng thức thì qui tắc kiểm định có sự thay đổi tương ứng như sau: • Kiểm định H0: μX = μY với giả thiết đối H1: μX > μY Ta có qui tắc kiểm định tương tự như trên, trong đó thay vì so sánh |t| với zα hoặc tα thì ta so sánh t với z2α hoặc t2α. Cụ thể: Đối với các trường hợp 1: Nếu t ≤ z2α thì chấp nhận giả thiết H0: μX = μY. Nếu t > z2α thì bác bỏ giả thiết H0: μX = μY. Đối với trường hợp 2: Nếu t ≤ t2α thì chấp nhận giả thiết H0: μX = μY. Nếu t > t2α thì bác bỏ giả thiết H0: μX = μY. • Kiểm định H0: μX = μY với giả thiết đối H1: μX < μY Ta đưa về việc kiểm định giả thiết: H0: μY = μX với giả thiết đối H1: μY > μX và đưa về trường hợp vừa xét ở trên (Thực chất là ta so sánh -t với z2α hoặc t2α ). Ví dụ: Theo dõi giá cổ phiếu của hai công ty A và B trong một số ngày, người ta tính được các số liệu sau: Kỳ vọng mẫu Độ lệch mẫu hiệu chỉnh Công ty A 38,24 2,2 Công ty B 37,10 1,5 a) Cho biết số liệu trên có được từ 31 ngày theo dõi giá trị cổ phiếu (mỗi ngày một giá trị cho mỗi công ty). Vậy với mức ý nghĩa 32 1%, có thể nói rằng có sự khác biệt thực sự về giá cổ phiếu trung bình của hai công ty A và B hay không? b) Cho biết số liệu trên có được từ 20 ngày theo dõi giá trị cổ phiếu (mỗi ngày một giá trị cho mỗi công ty).Với mức ý nghĩa 4%, có thể nói rằng giá cổ phiếu trung bình của công ty A thực sự cao hơn của công ty B hay không (Giả sử các giá trị cổ phiếu có phân phối chuẩn)? Giải. a) Đây là bài toán kiểm định so sánh hai kỳ vọng với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01: H0: μA = μB với giả thiết đối H1: μA ≠ μB Vì n1 = n2 = 31 > 30 nên ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có: A B 2 2 2 2 A B 1 2 X X 38,24 37,1t 2,3838. S S (2,2) (1,5) n n 31 31 − −= = = + + Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = (1 - α)/2 = 0,99/2 = 0,495 ta được zγ = 2,58. Bước 3: Kiểm định: Vì|t|= 2,3838 < 2,58 = zα nên ta chấp nhận giả thiết H0: μA = μB. Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, giá trị cổ phiếu trung bình của hai công ty A và B có thể xem là như nhau, nghĩa là không có sự khác biệt thực sự về giá cổ phiếu trung bình của hai công ty A và B. b) Đây là bài toán kiểm định so sánh hai kỳ vọng với mức ý nghĩa α = 4% = 0,04: H0: μA = μB với giả thiết đối H1: μA > μB 33 Vì n1 = n2 = 20 < 30 và các giá trị cổ phiếu XA, XB đều có phân phối chuẩn nên ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có: A B 2 2 2 2 A B 1 2 X X 38,24 37,1t 1,9147. S S (2,2) (1,5) n n 20 20 − −= = = + + Bước 2: Đặt k = n1 + n2 – 2 = 38. Tra bảng phân phối Student ứng với k = 38 và 2α = 0,08 ta được 2t α = 1,799. Bước 3: Kiểm định: Vì t = 1,9147 > 1,799 = 2t α nên ta bác bỏ H0: μA = μB, nghĩa là chấp nhận μA > μB. Kết luận: Với mức ý nghĩa 4%, có thể xem giá trị cổ phiếu trung bình của công ty A thực sự cao hơn của công ty B. 3.5. Kiểm định giả thiết so sánh hai tỉ lệ 1) Bài toán: Xét hai đám đông X, Y trong đó X có tỉ lệ p1; Y có tỉ lệ p2 đều chưa biết. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, hãy dựa vào các mẫu 11 2 n(X , X ,..., X ) và 21 2 n(Y , Y ,..., Y ) để kiểm định giả thiết: H0: p1 = p2 với giả thiết đối H1: p1 ≠ p2 với mức ý nghĩa α. 2) Qui tắc kiểm định: Gọi n1, n2 lần lượt là các cỡ mẫu và Fn1, Fn2 lần lượt là các tỉ lệ mẫu của X và Y. Ta có qui tắc kiểm định như sau: Bước 1: Tính n1 n2 0 0 1 2 F Ft 1 1p (1 p ) n n −= ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠ với 1 n1 2 n20 1 2 n F n Fp n n += + Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα)=(1- α)/2. Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với zα : • Nếu |t| ≤ zα thì chấp nhận giả thiết H0: p1 = p2. • Nếu |t| > zα thì bác bỏ giả thiết H0: p1 = p2. 34 3) Chú ý khi thay đổi giả thiết đối: Trường hợp giả thiết đối mang dấu bất đẳng thức thì qui tắc kiểm định có sự thay đổi tương ứng như sau: • Kiểm định H0: p1 = p2 với giả thiết đối H1: p1 > p2 Ta có qui tắc kiểm định tương tự như trên, trong đó thay vì so sánh |t| với zα thì ta so sánh t với z2α. Cụ thể: Nếu t ≤ z2α thì chấp nhận giả thiết H0: p1 = p2. Nếu t > z2α thì bác bỏ giả thiết H0: p1 = p2. • Kiểm định H0: p1 = p2 với giả thiết đối H1: p1 < p2 Ta đưa về việc kiểm định giả thiết: H0: p2 = p1 với giả thiết đối H1: p2 > p1 và đưa về trường hợp vừa xét ở trên (Thực chất là ta so sánh –t với z2α). Ví dụ: Khảo sát một số sản phẩm cùng loại ở hai kho I và II, ta thu được các số liệu sau: Số sản phẩm Số phế phẩm Kho I 100 4 Kho II 200 24 a) Với mức ý nghĩa 5%, có thể nói rằng chất lượng hàng ở hai kho là như nhau hay không? b) Với mức ý nghĩa 1%, có thể nói rằng chất lượng hàng ở kho I tốt hơn kho II không? Giải. Từ các giả thiết của bài toán ta suy ra: - Đối với kho I: Cỡ mẫu n1 = 100; tỉ lệ mẫu phế phẩm Fn1 = 0,04. - Đối với kho II: Cỡ mẫu n2 = 200; tỉ lệ mẫu phế phẩm Fn2 = 0,12. - 1 n1 2 n20 1 2 n F n F 100.0,4 200.0,12 7p . n n 100 200 75 + += = =+ + a) Đây là bài toán kiểm định giả thiết so sánh hai tỉ lệ với mức ý nghĩa α = 5% = 0,05: H0: p1 = p2 với giả thiết đối H1: p1 ≠ p2 Ta kiểm định như sau: 35 Bước 1: Ta có: n1 n2 0 0 1 2 F F 0,04 0,12t 2,2454. 7 7 1 11 1 1p (1 p ) 75 75 100 200n n − −= = = − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +− + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = (1 - α)/2 = 0,95/2 = 0,475 ta được zα = 1,96. Bước 3: Kiểm định: Vì|t|= 2,2454 > 1,96 = zα nên ta bác bỏ giả thiết H0: p1 = p2. Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, chất lượng hàng ở hai kho không như nhau. b) Đây là bài toán kiểm định giả thiết so sánh hai tỉ lệ với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01: H0: p1 = p2 với giả thiết đối H1: p1 < p2 Ta kiểm định như sau: Bước 1: Tính t như trong Bước 1 ở câu a) ta được t= -2,2454. Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,98/2 = 0,49 ta được z2α = 2,33. Bước 3: Kiểm định: Vì -t = 2,2454 < 2,33 = z2α nên ta chấp nhận giả thiết H0: p1 = p. Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, chất lượng hàng ở kho I không tốt hơn ở kho II. 3.6. Kiểm định giả thiết về phân phối 1) Bài toán: Xét đám đông X chưa biết luật phân phối. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, hãy dựa vào một mẫu thu được của X để kiểm định giả thiết: 36 H0: X có phân phối theo qui luật đã cho với giả thiết đối: H1: X không có phân phối theo qui luật đã cho với mức ý nghĩa α. 2) Qui tắc kiểm định: Giả sử mẫu thu được gồm k nhóm có dạng: Xi x0-x1 x1-x2 ............ xi-1-xi ............ xk-1-xk ni n1 n2 ............ ni ............ nk Thông thường ta lập mẫu như trên với các giá trị ni không quá bé (ni ≥ 5, có thể chấp nhận ngoại lệ cho hai khoảng đầu và cuối). Đối với trường hợp rời rạc, ta thay khoảng xi-1-xi bởi i 1 i i x xx 2 − +′ = , hơn nữa, khi X có thể lấy vô hạn giá trị, ta còn phải thay khoảng cuối xk-1-xk bằng (xk-1,+∞) (hoặc khoảng đầu x0-x1 bằng (-∞, x1), nếu cần). Dựa vào phân phối đã cho trong H0 để tính các xác suất pi = P(X = xi′). Đối với trường hợp X liên tục, ta thay khoảng đầu x0-x1 bằng (-∞, x1); thay khoảng cuối xk-1-xk bằng (xk-1,+∞) và dựa vào phân phối đã cho trong H0 để tính các xác suất pi = P(xi-1≤ X ≤ xi). Chú ý: Khi tính các pi, nếu chưa biết tham số nào của phân phối đã cho thì ta thay bằng ước lượng không chệch từ mẫu đang xét. Ta có qui tắc kiểm định như sau: Bước 1: Tính 2k 2 i i ii 1 (n np ) np= −χ = ∑ Bước 2: Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (k-r-1) với k-r-1 bậc tự do, tìm giá trị 2αχ , trong đó r là số tham số chưa biết của phân phối. Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh 2χ với 2αχ . • Nếu 2χ ≤ 2αχ thì chấp nhận giả thiết H0; • Nếu 2χ > 2αχ thì bác bỏ giả thiết H0. 37 Ví dụ 1: Điều tra 160 gia đình 4 con ở một vùng dân cư người ta thu được bảng số liệu sau: Số con gái 0 1 2 3 4 Số gia đình 16 48 62 30 4 Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng số con gái trong một gia đình 4 con có phân phối nhị thức hay không? Giải. Gọi X là số số con gái trong một gia đình 4 con. Bài toán yêu cầu kiểm định giả thiết: H0: X có phân phối nhị thức X ∼ B(4,p) với p chưa biết với giả thiết đối: H1 : X không có phân phối nhị thức như trên. Trước hết ta thay p bằng tỉ lệ mẫu số con gái trong một gia đình: n 1.48 2.62 3.30 4.4p F 0,4344. 160.4 + + +≈ = = Ta tính các pi = P(X = i) theo công thức Bernoulli: i i 4 i i 4p C (0,4344) (0,5656) −= Cụ thể ta tính được: p0 = 0,1023; p1= 0,3144; p2 = 0,3622; p3=0,1855; p4=0,0356. Ta lập bảng: Xi ni pi npi (ni-npi)2/npi 0 16 0,1023 16,368 0,0083 1 48 0,3144 50,304 0,1055 2 62 0,3622 57,952 0,2828 3 30 0,1855 29,68 0,0035 4 4 0,0356 5,696 0,5050 Tổng n = 160 χ2 = 0,9051 Bước 1: Ta có 2k 2 i i ii 1 (n np ) 0,9051 np= −χ = =∑ . Bước 2: Số tham số chưa biết là r = 1 (do p chưa biết). Ta có k - r – 1 = 5 -1- 1 = 3. Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2(3) với 3 bậc tự do, ta được: 2 20,05 7,815αχ = χ = . Bước 3: Kiểm định: Vì 2χ =0,9051 < 7,815 = 2αχ nên ta chấp nhận giả thiết H0. Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng số con gái trong một gia đình 4 con là X có phân phối nhị thức [X ∼ B(4, 0,4344)]. 38 Ví dụ 2: Quan sát một số người đến một trung tâm bưu điện trong 110 khoảng (mỗi khoảng 5 phút) ta thu được kết quả sau: Số người 0 1 2 3 4 5 Số khoảng 19 34 19 15 12 11 Gọi X là số người đến trung tâm này trong một khoảng thời gian 5 phút.Với mức ý nghĩa 3%, có thể cho rằng X có phân phối Poisson hay không? Giải. Bài toán yêu cầu kiểm định giả thiết: H0: X có phân phối Poisson X ∼ P(a) (a chưa biết) với giả thiết đối: H1 : X không có phân phối Poisson. Trước hết ta thay a bằng kỳ vọng mẫu i i 1a X X n 2 n ≈ = =∑ Ta tính các pi = P(X = xi) theo công thức: 2 i i e 2p i! − = và lập bảng: Xi ni pi npi (ni-npi)2/npi 0 19 0,135335 14,8869 1,136408 1 34 0,270671 29,7738 0,599882 2 19 0,270671 29,7738 3,898554 3 15 0,180447 19,8490 1,184584 4 12 0,090224 9,9246 0,434001 (5;+∞) 11 0,052653 5,7918 4,683405 Tổng n = 110 χ2 =11,9368 Bước 1: Ta có 2k 2 i i ii 1 (n np ) 11,9368 np= −χ = =∑ . Bước 2: Số tham số chưa biết là r = 1 (do a chưa biết). Ta có k - r – 1 = 6 -1- 1 = 4. Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (4) với 4 bậc tự do, ta được: 2 20,03 10,7119αχ = χ = . Bước 3: Kiểm định: Vì 2χ = 11,9368 > 10,7119 = 2αχ nên ta bác bỏ giả thiết H0. Kết luận: Với mức ý nghĩa 3%, X không có phân phối Poisson. 39 Ví dụ 3: Khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm ta thu được kết quả sau: Xi 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30 Số sản phẩm 7 14 33 27 19 Kiểm định giả thiết X có phân phối chuẩn với mức ý nghĩa 2%. Giải. Bài toán yêu cầu kiểm định giả thiết: H0: X có phân phối chuẩn X ∼ N(μ,σ2) (μ,σ2 chưa biết) với giả thiết đối: H1 : X không có phân phối chuẩn. Trước hết xấp xỉ: i i 2 2 2 2 2 i i 1X X n 25,74; n 1S X n (X) (2,3034) . n μ ≈ = = σ ≈ = − = ∑ ∑ Ta tính các pi = P(xi-1≤ X ≤ xi) theo công thức: i i 1 i i 1 i x x x 25,74 x 25,74p ( ) ( ) ( ) ( ) 2,3034 2,3034 − −− μ − μ − −= ϕ − ϕ = ϕ − ϕσ σ trong đó ϕ là hàm Laplace, và lập bảng: Xi ni pi npi (ni-npi)2/npi (-∞, 22) 7 0,0516 5,16 0,656 22-24 14 0,1720 17,20 0,595 24-26 33 0,3203 32,03 0,029 26-28 27 0,2927 29,27 0,176 (28,+∞) 19 0,1635 16,35 0,430 Tổng n = 100 χ2 =1,886 Bước 1: Ta có 2k 2 i i ii 1 (n np ) 1,886 np= −χ = =∑ . Bước 2: Số tham số chưa biết là r = 2 (do μ, σ2 chưa biết). Ta có k - r – 1 = 5 – 2 - 1 = 2. Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (2) với 2 bậc tự do, ta được: 2 20,02 7,824αχ = χ = . Bước 3: Kiểm định: Vì 2χ = 1,886 < 7,824 = 2αχ nên ta chấp nhận giả thiết H0. Kết luận: Với mức ý nghĩa 2%, X có phân phối chuẩn [X ∼ N(μ,σ2) với μ = 25,74; σ2 = (2,3034)2]. 40 3.7. Kiểm định giả thiết về tính độc lập 1) Bài toán: Từ hai Yùam đông X và Y ta tiến hành quan sát và được kết quả trong bảng sau: Y X y1 ... yj ... yk mX x1 n11 ... n1j n1k m1 ... ... ... ... ... ... ... xi ni1 ... nij nik mi ... ... ... ... ... ... ... xh nh1 ... nhj ... nhk mh nY n1 ... nj ... nk n trong đó • nij là số lần (X,Y) = (xi,yj) với 1 ≤ i ≤ h; 1 ≤ j ≤ k; • mi = k ij j 1 n = ∑ là số lần X = xi với 1 ≤ i ≤ h; • nj = h ij i 1 n = ∑ là số lần Y = yj với 1 ≤ j ≤ k; • n = h k ij i 1 j 1 n = = ∑∑ là cỡ mẫu (X,Y). Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, hãy dựa vào mẫu trên để kiểm định giả thiết: H0: X và Y độc lập với giả thiết đối H1: X và Y không độc lập với mức ý nghĩa α. 2) Qui tắc kiểm định: Ta có qui tắc kiểm định như sau: Bước 1: Tính h k 2 ij i 1 j 1 n 1 = = ⎛ ⎞χ = α −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑∑ với 2 ij ij i j (n ) m n α = . Bước 2: Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 ((h-1)(k-1)) với (h-1)(k-1) bậc tự do, tìm giá trị 2αχ . Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh 2χ với 2αχ : • Nếu 2χ ≤ 2αχ thì chấp nhận giả thiết H0; • Nếu 2χ > 2αχ thì bác bỏ giả thiết H0. 41 Ví dụ: Một công ty điều tra sở thích của khách hàng về 3 loại mẫu khác nhau của cùng một mặt hàng. Kết quả thu được như sau: Mẫu hàng Ý kiến A B C Thích 43 30 42 Không thích 35 53 39 Không có ý kiến 22 17 19 Hỏi đối với mặt hàng trên, có sự phân biệt về sở thích của khách hàng đối với 3 loại mẫu hàng A, B, C hay không với mức ý nghĩa 3%? Giải: Bài toán yêu cầu kiểm định giả thiết: H0: Sở thích của khách hàng độc lập với loại mẫu hàng, nghĩa là không có sự phân biệt về sở thích của khách hàng đối với các loại mẫu hàng. với giả thiết đối: H1: Sở thích của khách hàng không độc lập với loại mẫu hàng, nghĩa là có sự phân biệt về sở thích của khách hàng đối với các loại mẫu hàng. Ta lập bảng: Mẫu hàng Ý kiến A B C Tổng Thích 43 11 0,160783α = 30 12 0,078261α = 42 13 0,153391α = 115 Không thích 35 21 0,096457α = 53 22 0,221181α = 39 23 0,119764α = 127 Không ý kiến 22 31 0,083448α = 17 32 0,049828α = 19 33 0,062241α = 58 Tổng 100 100 100 n=300 trong đó ijα được tính theo công thức: 2 ij ij i j (n ) m n α = . Cụ thể: 2 11 43 0,160783 115 100 α = =× ,... (kết quả được ghi chi tiết trong bảng). 42 Bước 1: Ta có 2 ijn 1 7,6062. ⎛ ⎞χ = α − =⎜ ⎟⎝ ⎠∑∑ Bước 2: Ta có (h-1)(k-1) = 4 (do h = k = 3). Tra bảng phân phối chi bình phương χ2∼χ2(4) với 4 bậc tự do, ta được: 2 2 0,03 10,7119.αχ = χ = Bước 3: Kiểm định: Vì Nếu 2χ =7,6062 < 10,7119 = 2αχ nên ta chấp nhận giả thiết H0. Kết luận: Với mức ý nghĩa 3%, không có sự phân biệt về sở thích của khách hàng đối với các loại mẫu hàng. BÀI TẬP Bài 1: Để khảo sát chiều cao X của một giống cây trồng, người ta quan sát một mẫu và có kết qủa sau: X(cm) 95-105 105-115 115-125 125-135 135-145 145-155 155-165 Số cây 10 10 15 30 10 10 15 a) Ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với độ tin cậy 96%. b) Nếu muốn ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với độ tin cậy 99% và độ chính xác 4 cm thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu cây nữa? c) Nếu ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với độ chính xác 4,58cm thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu? d) Một tài liệu thống kê cũ cho rằng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên là 127cm. Hãy cho kết luận về tài liệu đó với mức ý nghĩa 1%. e) Những cây trồng có chiều cao từ 135cm trở lên được gọi là những cây “cao”. Hãy ước lượng tỉ lệ những cây “cao”với độ tin cậy 95%. f) Nếu ước lượng tỉ lệ những những cây “cao” với độ chính xác 10% thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu? 43 g) Nếu ước lượng tỉ lệ những những cây “cao” với độ tin cậy 95% và độ chính xác 11% thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu cây nữa? h) Trước đây, tỉ lệ những cây “cao” của loại cây trồng trên là 40%. Các số liệu trên thu thập được sau khi đã áp dụng một kỹ thuật mới. Hãy cho kết luận về kỹ thuật mới với mức ý nghĩa 5%. i) Những cây trồng có chiều cao từ 105cm đến 125cm được gọi là những cây loại A. Hãy ước lượng chiều cao trung bình của những cây loại A với độ tin cậy 95% (GS X có phân phối chuẩn). j) Bằng phương pháp mới, sau một thời gian người ta thấy chiều cao trung bình của những cây loại A là 119,5cm. Hãy cho kết luận về phương pháp mới với mức ý nghĩa 1% (GS X có phân phối chuẩn). k) Giả sử X có phân phối chuẩn. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng phương sai của X trong hai trường hợp : a) Biết kỳ vọng của X là 130 cm. b) Chưa biết kỳ vọng của X. l) Khi canh tác bình thường thì phương sai của chiều cao X là 300cm2. Hãy nhận định về tình hình canh tác với mức ý nghĩa 5% (GS X có phân phối chuẩn). Bài 2: Cho các số liệu như Bài 1. a) Giả sử trung bình tiêu chuẩn của chiều cao X là 125cm. Có thể khẳng định rằng tình hình canh tác làm tăng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với mức ý nghĩa 1% hay không? b) Giả sử trung bình tiêu chuẩn của chiều cao X là 134cm. Có thể khẳng định rằng tình hình canh tác làm giảm chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với mức ý nghĩa 2% hay không? c) Sau khi áp dụng phương pháp canh tác mới, người ta thấy chiều cao trung bình của các cây loại A là 114cm. Hãy kết luận xem phương pháp mới có làm giảm chiều cao trung bình của các cây loại A hay không với mức ý nghĩa 3% (Giả sử X có phân phối chuẩn) . d) Trước đây, chiều cao trung bình của các cây loại A là 120cm. Các số liệu trên thu thập được sau khi đã áp dụng một kỹ thuật mới. Hãy kết luận xem kỹ thuật mới có làm giảm chiều cao trung bình của các cây loại A hay không với mức ý nghĩa 2% (Giả sử X có phân phối chuẩn). 44 e) Sau khi áp dụng một phương pháp sản xuất, người ta thấy tỉ lệ các cây loại A là 35%. Hãy kết luận xem phương pháp mới có làm tăng tỉ lệ các cây loại A lên hay không với mức ý nghĩa 2% . f) Một tài liệu thống kê cũ cho rằng tỉ lệ các cây loại A là 20%. Hãy xét xem tình hình canh tác có làm tăng tỉ lệ các cây loại A hay không với mức ý nghĩa 5%? g) Trước đây, phương sai của chiều cao X là 250cm2 . Xét xem tình hình canh tác hiện tại có làm chiều cao của cây trồng biến động hơn với mức ý nghĩa 5% hay không ? (GS X có phân phối chuẩn). Bài 3: Để khảo sát đường kính của một chi tiết máy người ta kiểm tra một số sản phẩm của hai nhà máy. Trong kết quả sau đây, X là đường kính của chi tiết máy do nhà máy 1 sản xuất còn Y là đường kính của chi tiết máy do nhà máy 2 sản xuất. Những sản phẩm có chi tiết máy nhỏ hơn 19cm được xếp vào loại C. X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phẩm 9 19 20 26 16 13 18 Y(cm) 13-16 16-19 19-22 22-25 25-28 28-31 31-34 Số sản phẩm 7 9 25 26 18 15 11 a) Có thể kết luận rằng đường kính trung bình của một chi tiết máy do hai nhà máy sản xuất bằng nhau hay không với mức ý nghĩa 1%? b) Có thể cho rằng đường kính trung bình của một chi tiết máy do nhà máy thứ 1 sản xuất lớn hơn đường kính trung bình của một chi tiết máy do nhà máy thứ 2 sản xuất hay không với mức ý nghĩa 5%? c) Xét xem đường kính trung bình của một chi tiết máy do nhà máy thứ 2 sản xuất có nhỏ hơn đường kính trung bình của một chi tiết máy do nhà máy thứ 1 sản xuất hay không với mức ý nghĩa 2%? d) Với mức ý nghĩa 4%, tỉ lệ sản phẩm loại C do hai nhà máy sản xuất có như nhau không? e) Với mức ý nghĩa 3%, có thể cho rằng tỉ lệ sản phẩm loại C do nhà máy thứ 1 sản xuất lớn hơn tỉ lệ sản phẩm loại C do nhà máy thứ 2 sản xuất hay không? 45 f) Hãy nhận xét về ý kiến cho rằng tỉ lệ sản phẩm loại C do nhà máy thứ 2 sản xuất nhỏ hơn tỉ lệ sản phẩm loại C do nhà máy thứ 1 sản xuất với mức ý nghĩa 5%? Bài 4: Sản phẩm sản xuất ra trên một dây chuyền tự động được đóng gói theo qui cách 3 sản phẩm/hộp. Với mức ý nghĩa 1%, hãy xét xem số sản phẩm loại I có trong mỗi hộp có phải là ĐLNN có phân phối nhị thức hay không. Biết rằng khi kiểm tra 100 hộp người ta thấy có 75 hộp có 3 sản phẩm loại I, 20 hộp có 2 sản phẩm loại I; 5 hộp có 1 sản phẩm loại I. Bài 5: Quan sát số lượng ký sinh trùng trong hồng cầu của một số bệnh nhân mắc một loại bệnh về máu ta có kết quả sau: Số lượng ký sinh trùng 0 1 2 3 4 ≥ 5 Số bệnh nhân 40000 8621 1259 99 21 0 Với mức ý nghĩa 1%, có thể xem số lượng ký sinh trùng trên là ĐLNN có phân phối Poisson hay không? Bài 6: Để tìm hiểu lượng mủ X (g) mỗi cây cao su cho ta trong một ngày, ghi nhận ở 100 cây ta có kết quả sau: Lượng mủ (g) 200-210 210-220 220-230 230-240 240-250 250-260 260-270 Số cây 2 8 14 30 25 12 9 Với mức ý nghĩa 1% có thể coi lượng mủ cao su X là ĐLNN có phân phối chuẩn hay không? Bài 7: Điều tra một số người dùng và không dùng cà phê ta có bảng kết quả sau: Mất ngủ Dùng cà phê Có Không Có 30 48 Không 15 75 Với mức ý nghĩa 1%, xét xem cà phê có gây mất ngủ hay không. -----------------------