Phân tích và thiết kế thuật toán - Lecture 11, 12: Backtracking method

2/2/2017 1 Lecture 11,12 Backtracking Method Lecturer: Ha Dai Duong duonghd@mta.edu.vn Analysis and Design of Algorithms 2/2/2017 1 Nội dung 1. Lược đồ chung 2. Bài toán 8 hậu 3. Bài toán ngựa đi tuần 4. Trò chơi Sudoku 5. Liệt kê dãy nhị phân độ dài N 6. Liệt kê các hoán vị 7. Duyệt đồ thị 2/2/2017 2 Nội dung 1. Lược đồ chung 2. Bài toán 8 hậu 3. Bài toán ngựa đi tuần 4. Trò chơi Sudoku 5. Liệt kê dãy nhị phân độ dài N 6. Liệt kê các hoán vị 7. Duyệt đồ thị 2/2/2017 3 2/2/2017 2 Giới thiệu • Phương pháp quay lui dùng để giải các bài toán mà lời giải của nó X là một tập các phần tử x1, x2, .., xn. • Ví dụ: Bài toán 8 hậu, Mã đi tuần 2/2/2017 4 Ý tưởng • Ý tưởng chính của phương pháp quay lui là các bước hướng tới lời giải cuối cùng của bài toán dựa trên việc Thử-và-Sai. • Tại mỗi bước: – Nếu có 1 lựa chọn được chấp nhận thì ghi nhận lại lựa chọn này và và tiến hành các bước thử tiếp theo; – Nếu tất cả các lựa chọn không được chấp nhận thì trở lại bước trước, xóa bỏ sự ghi nhận của ứng viên và chọn lựa ứng viên tiếp theo. 2/2/2017 5 Ví dụ • Mã đi tuần trên bàn cờ 4 x 4 (bắt đầu từ Ô(1,1) 2/2/2017 6 2/2/2017 3 Ví dụ • Mã đi tuần trên bàn cờ 4 x 4 (bắt đầu từ Ô(1,1) 2/2/2017 7 1 Ví dụ • Mã đi tuần trên bàn cờ 4 x 4 (bắt đầu từ Ô(1,1) 2/2/2017 8 1 2 Ví dụ • Mã đi tuần trên bàn cờ 4 x 4 (bắt đầu từ Ô(1,1) 2/2/2017 9 1 14 5 8 11 2 13 4 9 6 10 7 12 3 2/2/2017 4 Ví dụ • Mã đi tuần trên bàn cờ 4 x 4 (bắt đầu từ Ô(1,1) 2/2/2017 10 1 14 5 8 11 2 13 4 9 6 10 7 12 3 Ví dụ • Mã đi tuần trên bàn cờ 4 x 4 (bắt đầu từ Ô(1,1) 2/2/2017 11 1 5 8 11 2 13 4 9 6 10 7 12 3 Ví dụ • Mã đi tuần trên bàn cờ 4 x 4 (bắt đầu từ Ô(1,1) 2/2/2017 12 1 5 8 11 2 4 9 6 10 7 12 3 2/2/2017 5 Ví dụ • Mã đi tuần trên bàn cờ 4 x 4 (bắt đầu từ Ô(1,1) 2/2/2017 13 1 5 8 11 2 4 9 6 10 7 12 3 Quay lui • Khi quay lui điểm quan trọng của thuật toán là phải ghi nhớ tại mỗi bước đi để tránh trùng lặp khi quay lui. • Dễ thấy cấu trúc ngăn xếp khá phù hợp để lưu trữ các thông cần ghi nhớ như đề cập ở trên. • Đệ qui là kỹ thuật thường được sử dụng trong phương pháp quay lui. 2/2/2017 14 Lược đồ chung • Lời giải bài toán có thể mô tả dạng 1 vector n chiều x = (x1, x2, .., xn) thỏa mãn một điều kiện nào đó. • Giả sử đã xây dựng được i-1 thành phần (x1, x2,.., xi-1), cần xác định thành phần thứ i: – Nếu khả năng k nào đó phù hợp -> lấy xi=k, ghi nhận trạng thái đã dùng của k. Nếu i=n -> có được 1 lời giải. – Nếu không có khả năng nào cho x i thì quay lui và chọn lại xi-1. 2/2/2017 15 2/2/2017 6 Lược đồ chung 2/2/2017 16 Nội dung 1. Lược đồ chung 2. Bài toán 8 hậu 3. Bài toán ngựa đi tuần 4. Trò chơi Sudoku 5. Liệt kê dãy nhị phân độ dài N 6. Liệt kê các hoán vị 7. Duyệt đồ thị 2/2/2017 17 Bài toán • Hãy tìm cách xếp 8 con hậu trên một bàn cờ vua sao cho không con nào ăn được nhau. • Ví dụ: Đây là 1 PA 2/2/2017 18 2/2/2017 7 Ý tưởng thuật toán Ý tưởng (Thử và Sai) bài toán 8 hậu 1. Lần lượt xếp các con hậu vào bàn cờ 2. Giả sử đã xếp được i con hậu (từ 1 đến i) 3. Xếp hậu thứ i+1 a. Nếu tìm được 1 ô hợp lệ (không bị các con hậu trước đó ăn) -> xếp hậu thứ i+1 vào vị trí vừa tìm thấy. Lặp lại bước 3. b. Nếu không tìm được ô hợp lệ -> tìm vị trí phù hợp khác để đặt lại hậu thứ i. 2/2/2017 19 Phương án (nghiệm) của bài toán • Nhận xét: Mỗi con hậu phải nằm trên 1 hàng • Dùng mảng x[1..8] để thể hiện một phương án của bài toán: – Chỉ số mảng i: dòng chứa con hậu thứ i (chỉ số dòng là cố định) – Giá trị x[i] (i=1..8): là cột đặt con hậu thứ i • Bài toán xếp hậu trở thành: Lần lượt xác định giá trị các thành phần của x[i], i=1..8. 2/2/2017 20 Ví dụ • Phương án nghiệm x[1]=4 x[2]=7 x[3]=3 x[4]=8 x[5]=2 x[6]=5 x[7]=1 x[8]=6 2/2/2017 21 2/2/2017 8 Ứng viên • Tại bước i – Cần xác định giá trị k , là chỉ số cột, cho x[i], k={1,..,8}. – Nếu ứng viên được chọn là j, nghĩa là x[i]=j, khi đó cần “đánh dấu” là cột j đã được chọn để bước sau không chọn lại. • Tổ chức mảng a[j], j=1..8, để ghi nhận cột j đã được chọn hay chưa, a[j]=1 là cột j chưa được chọn và a[j]=0 là cột j đã được chọn. 2/2/2017 22 Tính hợp lệ • Hậu ở dòng i, chỉ được đặt vào cột j nếu i-1 hẫu đã đặt trước đó không “ăn” được hậu ở vị trí [i,j] (dòng i, cột j). • Trên đường chéo đỏ: – Giá trị i+j là hằng số – Có giá trị từ 2 đến 16 • Trên đường chéo xanh – Giá trị i-j là hằng số – Có giá trị từ -7 đến 7 2/2/2017 23 i+j=2 i+j=7 i+j=16 i-j=-7 i-j=-1 i-j=7 Tính hợp lệ • Mảng b[k], k=2..16, nếu b[k]=1, được đặt ở đường chéo thuận k. • Mảng c[k], k=-7..7, nếu c[k]=1, được đặt ở đường chéo nghịch k. 2/2/2017 24 i+j=2 i+j=7 i+j=16 i-j=-7 i-j=-1 i-j=7 2/2/2017 9 Tính hợp lệ • Như vậy hậu i (dòng i) được đặt vào cột j nếu: b[i+j] = 1 và c[i-j] = 1 2/2/2017 25 Cài đặt 2/2/2017 26 Khởi tạo Cài đặt Minh họa • Một lời giải của bài toán với N=8 2/2/2017 27 H H H H H H H H 2/2/2017 10 Kết quả • Độ phức tạp thuật toán: T(n) = ??? • Viết hàm Xuat(x): in phương án lựa chọn ra màn hình. • Code, chạy thử và trình bày kết quả 2/2/2017 28 Nội dung 1. Lược đồ chung 2. Bài toán 8 hậu 3. Bài toán ngựa đi tuần 4. Trò chơi Sudoku 5. Liệt kê dãy nhị phân độ dài N 6. Liệt kê các hoán vị 7. Duyệt đồ thị 2/2/2017 29 Bài toán • Trên bàn cờ vua, con mã ở vị trí (x0, y0) • Hãy chỉ ra hành trình để con mã đi qua tất cả các ô, mỗi ô 1 lần. • Ví dụ: Đây là 1 PA trên bàn cờ 8x8 khi mã bắt đầu từ ô (1,1) 2/2/2017 30 2/2/2017 11 Ý tưởng thuật toán Ý tưởng (Thử và Sai) bài toán mã đi tuần 1. Đặt ngựa tại vị trí (x0,y0) di chuyển ngựa theo luật cờ vua. 2. Giả sử đã đi được i-1 bước. 3. Xét nước đi thứ i a. Nếu tìm được 1 nước đi hợp lệ (và ngựa chưa qua lần nào) -> xếp nước đi thứ i của ngựa vào vị trí vừa tìm thấy. Lặp lại bước 3. b. Nếu không tìm được ô hợp lệ -> tìm vị trí phù hợp khác để đặt lại bước đi thứ i-1 của ngựa.2/2/2017 31 Phương án nghiệm • Dùng mảng 2 chiều h[x,y] (x=1..N, y=1..N) với qui ước: h[x,y] = 0 là ô (x,y) chưa có ngựa đi qua h[x,y] = k là ngựa đã qua ô (x,y) ở nước thứ k. • Bài toán trở thành: Xác định giá trị mảng h là nước đi của mã trong hành trình đi qua tất cả các ô bắt đầu từ (x0,y0). Khi NxN ô được đi qua ta có 1 phương án (nghiệm) thể hiện cách đi của mã. 2/2/2017 32 Ví dụ • Một phương án để mã đi tuần trên bàn cờ 5x5 bắt đầu từ ô (1,1) là 2/2/2017 33 2/2/2017 12 Ứng viên • Tại bước i – Vị trí mã đang đứng là (xi,yi) – Theo luật cờ vua mã có thể di chuyển tới nhiều nhất là 8 ô (hình bên) – Tọa độ 8 vị trí so với vị trí hiện tại (xi,yi) lần lượt là: (xi+1,yi+2), (xi+2,yi+1), (xi+2,yi-1), (xi+1,yi-2) (xi-1,yi-2), (xi-2,yi-1), (xi-2,yi+1), (xi-1,yi+2) 2/2/2017 34 6 7 5 8 4 1 3 2 X Y xi yi Ứng viên • Tại bước i – Dùng mảng a[1..8] mô tả sai khác tọa độ X so với xi, theo trên ta có: a=(1,2,2,1,-1,-2,-2,-1) – Dùng mảng b[1..8] mô tả sai khác tọa độ Y so với yi, theo trên ta có: b=(2,1,-1,-2,-2,-1,1,2) 2/2/2017 35 6 7 5 8 4 1 3 2 X Y xi yi Tính hợp lệ • Tại bước i – Vậy ứng viên của bước i+1 được xác định tại tọa độ (xi+a[k],yi+b[k]) với k=1..8 • Tính hợp lệ: – Ứng viên tại tọa độ (xi+a[k],yi+b[k]) với k=1..8 được chấp nhận nếu h[xi+a[k],yi+b[k]] = 0. – Ngoài ra (xi+a[k],yi+b[k]) phải nằm trong bàn cờ 2/2/2017 36 6 7 5 8 4 1 3 2 X Y xi yi 2/2/2017 13 Cài đặt 2/2/2017 37 Cài đặt Minh họa • Với N=5, mã xuất phát tại (1,1) 2/2/2017 38 Minh họa • Với N=6, mã xuất phát tại (2,3) 2/2/2017 39 2/2/2017 14 Kết quả • Độ phức tạp thuật toán: T(n) = ??? • Viết hàm Xuat_h(x): in phương án lựa chọn ra màn hình. • Code, chạy thử và trình bày kết quả • Lưu ý: Tùy vào kích thước bàn cờ, bài toán chỉ có lời giải ở một số vị trí bắt đầu (x0,y0) nhất định. 2/2/2017 40 Nội dung 1. Lược đồ chung 2. Bài toán 8 hậu 3. Bài toán ngựa đi tuần 4. Trò chơi Sudoku 5. Liệt kê dãy nhị phân độ dài N 6. Liệt kê các hoán vị 7. Duyệt đồ thị 2/2/2017 41 Bài toán • Trò chơi: Cho hình vuông được chia thành 9x9 ô, trên đó 1 số ô đã có sẵn các số từ 1 đến 9. • Hãy đặt các số từ 1-9 vào các ô trống sao cho: 1 hàng, 1 cột, 1 vùng 3x3 đều có đủ các số từ 1-9. 2/2/2017 42 2/2/2017 15 Ví dụ Ban đầu 2/2/2017 43 Ý tưởng thuật toán Ý tưởng (Thử và Sai) bài toán Sudoku 1. Cần xếp N ô trống 2. Giả sử đã xếp được đến ô thứ i. 3. Xét ô thứ i+1 a. Nếu tìm được 1 giá trị thích hợp -> xếp giá trị đó vào ô thứ i+1 vừa tìm thấy. Lặp lại bước 3. b. Nếu không tìm được 1 giá trị hợp lệ -> tìm giá trị phù hợp khác để đặt lại cho ô thứ i. 2/2/2017 44 Phương án nghiệm • Dùng mảng 2 chiều S[x,y] (x=1..9, y=1..9) để lưu giá trị số Sudoku: S[x,y] = 0 là ô (x,y) chưa được xử lý S[x,y] = k (k=1..9) là giá trị số Sudoku. • Bài toán trở thành: Xác định giá trị mảng S là các số Sukodu. Khi tất cả các ô được đặt ta có 1 phương án (nghiệm) thể hiện 1 cách chơi Sukodu. 2/2/2017 45 2/2/2017 16 Ứng viên • Ứng viên (giá trị) có thể đặt cho ô có tọa độ (xi,yi) là giá trị k: k  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 2/2/2017 46 Tính hợp lệ • Ứng viên k được đặt vào ô (xi,yi) nếu – Trên hàng xi chưa có giá trị k – Trên cột yj chưa có giá trị k – Vùng 3x3 chứa (xi,yi) chưa có giá trị k 2/2/2017 47 Cài đặt • Tính hợp lệ, hàm 2/2/2017 48 2/2/2017 17 2/2/2017 49 Minh họa 2/2/2017 50 Minh họa 2/2/2017 51 2/2/2017 18 Minh họa 2/2/2017 52 Minh họa 2/2/2017 53 Bài tập 1. Thực hiện việc đặt 5 con hậu trên bàn cờ, thể hiện kết quả từng bước. 2. Thực hiện các nước đi của con ngựa trên bàn cờ 5x5 bắt đầu từ ô (1,2) thể hiện kết quả từng bước. 2/2/2017 54 2/2/2017 19 Bài tập 3. Chơi trò sudoku (theo thuật toán) với các số đã cho như sau: 2/2/2017 55 Bài tập 4. Hoàn thiện cài đặt bài toán 8 hậu 5. Hoàn thiện cài đặt bài toán mã đi tuần. 6. Hoàn thiện cài đặt trò chơi Sukodu. 7. Sử dụng phương pháp quay lui đề xuất giải thuật đánh cờ caro (tự động) cho máy tính. 8. Giải bài toán cái túi theo giải thuật quay lui. 2/2/2017 56