Toàn bộ đề thi của 44 vòng thi Cuộc thi Tìm kiếm Tài năng Toán quốc tế

Bài toán 1/44. Trong một ngôn ngữ kỳ lạ chỉ có hai chữ cái avà b, và đ-ợc quy định là chữ cái alà một từ. Hơn nữa, tất cả các từ thêm vào đ-ợc hình thành dựa theo các quy tắc sau đây: 1. Cho từ nào đó, một từ mới có thể đ-ợc hình thành từ nó bằng cách thêm một chữ cái bvào bên phải của từ đó. 2. Nếu trong từ nào đó xuất hiện một dãy aaathì một từ mới có thể đ-ợc hình thành bằng cách thay thế aaabởi chữ cái b. 3. Nếu trong từ nào đó xuất hiện một dãy bbbthì một từ mới có thể đ-ợc hình thành bằng cách bỏ đi bbb. 4. Cho từ nào đó, một từ mới có thể đ-ợc hình thành bằng cách viết ra dãy tạo thành do viết từ đó hai lần. Chẳng hạn, do (4) thì aalà một từ, lại bởi (4) nên aaaalà một từ. Từ (2) thì balà một từ, và do (1) nên babcũng là một từ. Một lần nữa do (1) thì babblà một từ, và do (4) nên babbbabb cũng là một từ. Cuối cùng, do (3) chúng ta thấy rằng baabb là một từ. Chứng minh rằng trong ngôn ngữ này thì baabaabaakhông phải là một từ. Bài toán 2/44. Cho f(x) = x.[x.[x.[x]]] với mọi số thực d-ơng x, trong đó [y] ký hiệu số nguyên lớn nhất không v-ợt quá y. 1. Tìm x để f(x) = 2001. 2. Chứng minh rằng ph-ơng trình f(x) = 2002 không có nghiệm. Bài toán 3/44. Cho f là một hàm số xác định trêntập các số nguyên, và giả sử rằng nó thoả mãn các tính chất sau: 1. f(0) ?0; 2. f(1) = 3; và 3. f(x)f(y) = f(x + y) + f(x - y) với mọi số nguyên x và y. Hãy tính f(7). ? Bài toán 4/44. Một công ty nào đó có một hệ thống điện thoại không chính xác, thỉnh thoảng đổi chỗ cặp chữ số kề nhau khi ai đó quay một số máy nhánh có ba chữ số. Từ đó một cuộcgọi x318 sẽ làm đổ chuôngtại số máy x318 hoặc x138 hoặc x381, trong khi một cuộc nhận điện tại số máy x044 thì có thể là gọi cho số x404 hoặc x044. Hơn là thay thế hệ thống đó, công ty thêm vào một máy tính để suy ra cuộc quay số máy nhánh nào là bịlỗi và trở lại những số chính xác của chúng. Chúng phải loại bỏ vài máy nhánh có thể cho việc này. Hỏi số lớn nhất các số máy nhánh có ba chữ số mà công ty có thể ấn định với kế hoạch này là bao nhiêu? ? Bài toán 5/44. Tìm số nhỏ nhất các hình vuông mà ng-ời ta có thể chia một hình chữ nhật 11 ì13 và nhận đ-ợc. Các hình vuông không cần khác cỡ, cạnh của chúng là các số nguyên vàchúng không đè lên nhau.