Toán học - Cực trị của hàm số

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -41- CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Khái niệm cực trị hàm số : Giả sử hàm số f xác ñịnh trên tập hợp ( )D D ⊂ ℝ và 0x D∈ 0 )a x ñược gọi là một ñiểm cực ñại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( );a b chứa ñiểm 0x sao cho ( );a b D⊂ và ( ) ( )0f x f x< với mọi ( ) { }0; \x a b x∈ . Khi ñó ( )0f x ñược gọi là giá trị cực ñại của hàm số f . 0 )b x ñược gọi là một ñiểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( );a b chứa ñiểm 0x sao cho ( );a b D⊂ và ( ) ( )0f x f x> với mọi ( ) { }0; \x a b x∈ . Khi ñó ( )0f x ñược gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f . Giá trị cực ñại và giá trị cực tiểu ñược gọi chung là cực trị Nếu 0 x là một ñiểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f ñạt cực trị tại ñiểm 0 x . Như vậy : ñiểm cực trị phải là một ñiểm trong của tập hợp ( )D D ⊂ ℝ 2. ðiều kiện cần ñể hàm số ñạt cực trị: ðịnh lý 1: Giả sử hàm số f ñạt cực trị tại ñiểm 0 x . Khi ñó , nếu f có ñạo hàm tại ñiểm 0 x thì ( )0' 0f x = Chú ý : • ðạo hàm 'f có thể bằng 0 tại ñiểm 0 x nhưng hàm số f không ñạt cực trị tại ñiểm 0 x . • Hàm số có thể ñạt cực trị tại một ñiểm mà tại ñó hàm số không có ñạo hàm . • Hàm số chỉ có thể ñạt cực trị tại một ñiểm mà tại ñó ñạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại ñó hàm số không có ñạo hàm . 3. ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñạt cực trị: ðịnh lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng ( );a b chứa ñiểm 0x và có ñạo hàm trên các khoảng ( )0;a x và ( )0;x b . Khi ñó : )a Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' 0, ; ' 0, ; f x x a x f x x x b  < ∈  > ∈ thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 0 x . Nói một cách khác , nếu ( )'f x ñổi dấu từ âm sang dương khi x qua ñiểm 0 x thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 0 x . x a 0 x b ( )'f x − + ( )f x ( )f a ( )f b ( )0f x )b Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' 0, ; ' 0, ; f x x a x f x x x b  > ∈  < ∈ thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 0 x . Nói một cách khác , nếu ( )'f x ñổi dấu từ dương sang âm khi x qua ñiểm 0 x thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 0 x . Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -42- x a 0 x b ( )'f x + − ( )f x ( )0f x ( )f a ( )f b ðịnh lý 3: Giả sử hàm số f có ñạo hàm cấp một trên khoảng ( );a b chứa ñiểm 0x , ( )0' 0f x = và f có ñạo hàm cấp hai khác 0 tại ñiểm 0 x . )a Nếu ( )0'' 0f x < thì hàm số f ñạt cực ñại tại ñiểm 0x . )b Nếu ( )0'' 0f x > thì hàm số f ñạt cực tiểu tại ñiểm 0x . 4. Quy tắc tìm cực trị: Quy tắc 1: Áp dụng ñịnh lý 2 • Tìm ( )'f x • Tìm các ñiểm ( )1,2, 3...ix i = tại ñó ñạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có ñạo hàm. • Xét dấu của ( )'f x . Nếu ( )'f x ñổi dấu khi x qua ñiểm 0x thì hàm số có cực trị tại ñiểm 0x . Quy tắc 2: Áp dụng ñịnh lý 3 • Tìm ( )'f x • Tìm các nghiệm ( )1,2, 3...ix i = của phương trình ( )' 0f x = . • Với mỗi i x tính ( )'' .if x − Nếu ( )'' 0if x < thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm ix . − Nếu ( )'' 0if x > thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm ix . Ví dụ 1 : Tìm cực trị của các hàm số : ( ) 3 21 5) 3 3 3 a f x x x x= − − + ( ) ( )) 2b f x x x= + ( ) ( )) 3c f x x x= − ( ))d f x x= Giải : ( ) 3 21 5) 3 3 3 a f x x x x= − − + Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) ( )2' 2 3 ' 0 1, 3f x x x f x x x= − − = ⇔ = − = Cách 1. Bảng biến thiên x −∞ 1− 3 +∞ ( )'f x + 0 − 0 + ( )f x 10 3 +∞ −∞ 22 3 − Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -43- Vậy hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm ( ) 101, 1 3 x f= − − = , hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm ( ) 223, 3 3 x f= = − Cách 2 : ( )'' 2 2f x x= − Vì ( )'' 1 4 0f − = − < nên hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm ( ) 101, 1 3 x f= − − = . Vì ( )'' 3 4 0f = > hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm ( ) 223, 3 3 x f= = − . ( ) ( ) ( )( ) 2 0 ) 2 2 0 x x khi x b f x x x x x khi x  + ≥ = + =  − + < Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . Ta có ( ) ( ) 2 2 0 0 ' ' 0 1 2 2 0 x khi x f x f x x x khi x  + > > = = ⇔ = −− − < Hàm số liên tục tại 0x = , không có ñạo hàm tại 0x = . Bảng biến thiên x −∞ 1− 0 +∞ ( )'f x + 0 − + ( )f x 1 +∞ −∞ 0 Vậy hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm ( )1, 1 1x f= − − = , hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm ( )0, 0 0x f= = ( ) ( )) 3c f x x x= − Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . ( ) ( )( ) 3 0 3 0 x x khi x f x x x khi x  − ≥ =  − − < . Ta có ( ) ( ) ( ) 3 1 0 2' ' 0 1 3 0 0 2 x khi x xf x f x x x x khi x x  −  >  = = ⇔ = − − > <  − + x −∞ 0 1 +∞ ( )'f x + − 0 + ( )f x 0 +∞ −∞ 2− Hàm số ñạt ñiểm cực ñại tại ñiểm ( )0, 0 0x f= = , hàm số ñạt ñiểm cực tiểu tại ñiểm ( )1, 1 2x f= = − ( ))d f x x= Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -44- Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . ( ) 0 0 x khi x f x x khi x  ≥ = − < . Ta có ( ) 1 0 ' 1 0 khi x f x khi x  > = − < Bảng biến thiên x −∞ 0 +∞ ( )'f x − + ( )f x +∞ +∞ 0 Hàm số ñạt ñiểm cực ñại tại ñiểm ( )0, 0 0x f= = Ví dụ 2 : Tìm cực trị của các hàm số sau : ( ) 2) 4a f x x x= − ( )) 3 2 cos cos2b f x x x= − − ( )) 2 sin2 3c f x x= − ( )) sin2 2d f x x x= − + Giải : ( ) 2) 4a f x x x= − Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn 2;2 −  Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 ) ' , 2;2 ' 0 2, 2 4 x a f x x f x x x x − = ∈ − = ⇔ = − = − ( )'f x ñổi dấu từ âm sang dương khi x qua ñiểm 2− thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 2,x = − ( )2 2f − = − ( )'f x ñổi dấu từ dương sang âm khi x qua ñiểm 2 thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 2,x = ( )2 2f = Hoặc dùng bảng biến thiên hàm số ñể kết luận: x 2− 2− 2 2 ( )'f x − 0 + 0 − ( )f x 0 2 2− 0 ( )) 3 2 cos cos2b f x x x= − − Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -45- Ta có ( ) ( )' 2 sin 2 s in2 2 sin 1 2 cosf x x x x x= + = + ( ) sin 0 ' 0 ,1 2 2 cos cos 2 2 3 3 x x k f x k x x k π π π π  = =  = ⇔ ⇔ ∈  = − = = ± +    ℤ . ( )'' 2 cos 4 cos2f x x x= + 2 2 '' 2 6 cos 3 0 3 3 f k π π π   ± + = = − <    . Hàm số ñạt cực ñại tại 2 2 3 x k π π= ± + , 2 1 2 4 3 2 f k π π   ± + =    ( )'' 2 cos 4 0,f k k kπ π= + > ∀ ∈ ℤ . Hàm số ñạt cực tiểu tại ( ) ( ), 2 1 cosx k f k kπ π π= = − ( )) 2 sin2 3c f x x= − Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . Ta có ( ) ( )' 4 cos2 , ' 0 cos2 0 , 4 2 f x x f x x x k k π π = = ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ ( ) 8 2 '' 8 sin2 , '' 8 sin 8 2 14 2 2 khi k n f x x f k k khi k n π π π π − =     = − + = − + =     = +     Vậy hàm số ñạt cực ñại tại các ñiểm ; 1 4 4 x n f n π π π π   = + + = −    và ñạt cực ñại tại ( ) ( )2 1 ; 2 1 5 4 2 4 2 x n f n π π π π  = + + + + = −    ( )) sin2 2d f x x x= − + Tương tự trên hàm số ñạt cực ñại tại các ñiểm , 6 x k k π π= − + ∈ ℤ và ñạt cực tiểu tại các ñiểm , 6 x k k π π= + ∈ ℤ . Ví dụ 3 : 1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , hàm số ( ) ( ) 3 31 1 , x m m x m y f x m x m − + + + = = − luôn có cực ñại và cực tiểu . 2 . Với giá trị nào của m ,hàm số ( ) ( ) 3 2, 2 3y f x m m x x mx m= = + + + + có cực ñại , cực tiểu . 3 . Với giá trị nào của m ,hàm số ( ) 2 , mx x m y f x m x m + + = = + không có cực ñại , cực tiểu . 4 . Xác ñịnh các giá trị của tham số k ñể ñồ thị của hàm số ( ) ( )4 2, 1 1 2y f x k kx k x k= = + − + − chỉ có một ñiểm cực trị. 5 . Xác ñịnh m ñể ñồ thị của hàm số ( ) 4 21 3, 2 2 y f x m y x mx= = = − + có cực tiểu mà không có cực ñại. Giải : Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -46- Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\D m= ℝ . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 ' , , 2 1 g xx mx m y x m g x x mx m x m x m − + − = = ≠ = − + − − − Dấu của ( )g x cũng là dấu của 'y và ( )2 2' 1 1 0 ,g m m m∆ = − − = > ∀ . Do ñó m∀ thì ( ) 0g x = luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 2 1, 1x m x m= − = + thuộc tập xác ñịnh . x −∞ 1m − m 1m + +∞ ( )'f x + 0 − − 0 + ( )f x +∞ +∞ −∞ −∞ 'y ñổi dấu từ dương sang âm khi x qua ñiểm 1 1x m= − thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 1 1x m= − 'y ñổi dấu từ âm sang dương khi x qua ñiểm 2 1x m= + thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 2 1x m= + 2 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) 2' 3 2 6y m x x m= + + + Hàm số có cực ñại và cực tiểu khi phương trình ' 0y = có hai nghiệm phân biệt hay ( ) ( )2 22 0 2 3 1' 9 3 2 0 3 2 3 0 mm m mm m m m  ≠ − + ≠ ≠ −   ⇔ ⇔ ⇔  − − − + >     Vậy giá trị m cần tìm là 3 1, 2m m− < < ≠ − . 3 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\D m= −ℝ và có ñạo hàm ( ) 2 2 2 2 ' mx m x y x m + = + Hàm số không có cực ñại , cực tiểu khi ' 0y = không ñổi dấu qua nghiệm , khi ñó phương trình ( ) ( )2 22 0,g x mx m x x m= + = ≠ − vô nghiệm hoặc có nghiệm kép • Xét 0 ' 0, 0m y x m m= ⇒ = ∀ ≠ − ⇒ = thoả . • Xét 0m ≠ . Khi ñó 4' m∆ = Vì ( )4' 0, 0 0m m g x∆ = > ∀ ≠ ⇒ = có hai nghiệm phân biệt nên không có giá trị tham số m ñể ( ) ( )2 22 0,g x mx m x x m= + = ≠ − vô nghiệm hoặc có nghiệm kép Vậy 0m = thoả mãn yêu cầu bài toán . 4 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( )3' 4 2 1y kx k x= − − ( )2 0 ' 0 2 1 0 * x y kx k  = = ⇔  + − = Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -47- Hàm số chỉ có một cực trị khi phương trình ' 0y = có một nghiệm duy nhất và 'y ñổi dấu khi x ñi qua nghiệm ñó .Khi ñó phương trình ( )22 1 0 *kx k+ − = vô nghiệm hay có nghiệm kép 0x = ( ) 0 0 0 0 0 1 1 ' 2 1 0 k k k k k k k k k  =  = ≤  ≠⇔ ⇔ ⇔  < ∨ ≥ ≥    ∆ = − − ≤ Vậy 0 1k k≤ ∨ ≥ là giá trị cần tìm . 5 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) 3 2 0 ' 2 2 ' 0 * x y x mx y x m  = = − = ⇔  = Hàm số có cực tiểu mà không có cực ñại khi phương trình ' 0y = có một nghiệm duy nhất và 'y ñổi dấu khi x ñi qua nghiệm ñó Khi ñó phương trình ( )2 *x m= vô nghiệm hay có nghiệm kép 0x = 0m⇔ ≤ Vậy 0m ≤ là giá trị cần tìm. Ví dụ 4 : 1. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) 2 1x mx y f x x m + + = = + ñạt cực ñại tại 2.x = 2. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) ( )3 23 1y f x x m x m= = + + + − ñạt cực ñại tại 1.x = − 3. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) ( )3 26 3 2 6y f x x x m x m= = − + + − − ñạt cực ñại và cực tiểu ñồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu. 4. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) 2 2 1 x mx y f x x + + = = − có ñiểm cực tiểu nằm trên Parabol ( ) 2: 4P y x x= + − Giải : 1. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\D m= −ℝ và có ñạo hàm ( ) ( ) 2 2 2 2 1 ' , x mx m f x x m x m + + − = ≠ − + Nếu hàm số ñạt cực ñại tại 2x = thì ( ) 2 3 ' 2 0 4 3 0 1 m f m m m  = − = ⇔ + + = ⇔  = − 3m = − , ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 26 8 ' , 3 ' 0 43 xx x f x x f x x x  =− + = ≠ = ⇔  =−  Bảng biến thiên : x −∞ 2 3 4 +∞ ( )'f x + 0 − − 0 + ( )f x 1 +∞ +∞ Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -48- −∞ −∞ 5 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số ñạt cực ñại tại 2x = , do ñó 3m = − thoả mãn . Tương tự với 1m = − Cách 2 : Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\D m= −ℝ và có ñạo hàm ( ) ( ) 2 2 2 2 1 ' , x mx m f x x m x m + + − = ≠ − + ( )3 2 '' ,y x m x m = ≠ − + Hàm số ñạt cực ñại tại 2x = khi ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 1 0 4 3 0 ' 2 0 1 32 2 3 2 2'' 2 0 0 2 2 m m y m mm m m my m m  − =  + + = = = − ∨ = −+   ⇔ ⇔ ≠ − ⇔ ⇔ = −    < −<     < < − + Vậy 3m = − là giá trị cần tìm. 2. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 0 ' 3 2 3 3 2 6 ' 0 2 6 3 x f x x m x x x m f x m x  = = + + = + + ⇒ = ⇔ + = −  x −∞ 2 6 3 m + − 0 +∞ ( )'f x + 0 − 0 + ( )f x Hàm số ñạt cực ñại tại 2 6 3 1 1 . 3 2 m x m + = − ⇔ − = − ⇔ = − 3. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có : ( )2' 3 12 3 2y x x m= − + + . Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi ' 0y = có hai nghiệm phân biệt ( )' 36 9 2 0m⇔ ∆ = − + > 2 0 2m m⇔ − > ⇔ < ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 12 . 3 12 3 2 2 2 2 2 . ' 2 2 2 3 3 y x x x m m x m x y m x m = − − + + + − + − = − + − + −  Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì 1 2,x x là nghiệm của phương trình ( ) ( )23 12 3 2 0g x x x m= − + + = . Trong ñó : Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -49- ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 2 . ' 2 2 2 2 2 23 ' 0 y x y x m x m y m x m y x  = − + − + − ⇒ = − + −  = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2 2 2 2 1 2 . ' 2 2 2 2 2 23 ' 0 y x y x m x m y m x m y x  = − + − + − ⇒ = − + −  = Theo ñịnh lý Vi-ét , ta có : 1 2 1 2 4, 2x x x x m+ = = + Theo bài toán : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 2 1 2 1 2. 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 1 0y y m x m m x m m x x   > ⇔ − + − − + − > ⇔ − + + >    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 4 2 1 0 2 4 2 1 0 2 4 17 0m x x x x m x x x x m m   ⇔ − + + + > ⇔ − + + + > ⇔ − + >    17 4 2 m m  > − ⇔   ≠ So với ñiều kiện bài toán , vậy 17 2 4 m− < < là giá trị cần tìm . 4. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\ 1D = ℝ Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ' , 1 2 2 1 x x m y x g x x x m x − − − = ≠ = − − − − Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi phương trình ( ) 0, 1g x x= ≠ có hai nghiệm phân biệt khác 1 ( ) ( ) ' 1 2 0 3 0 3 31 3 0 m m m mg m  ∆ = − − − > + >  ⇔ ⇔ > −  ≠ −= − − ≠   Khi ñó 1 1 2 2 3 1 3 1 3 1 2 2 3 3' 0 3 1 3 1 3 1 2 2 3 3 m x m y m m m m my m x m y m m m m m  + = − + ⇒ = − + + + + = + − + − += ⇔ + = + + ⇒ = + + + + + = + + + + Bảng biến thiên : x −∞ 1 x 1 2 x +∞ ( )'f x + 0 − − 0 + ( )f x 1y +∞ +∞ −∞ −∞ 2 y Dựa vào bàng biến thiên suy ra ( )1 3; 2 2 3A m m m+ + + + + là ñiểm cực tiểu của hàm số . ( ) ( ) 2 2 2 3 1 3 1 3 4 3 1A P m m m m m∈ ⇔ + + + = + + + + + − ⇔ + = Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -50- ( ) ( ) 2 2 2 3 1 3 1 3 4 3 1 2A P m m m m m m∈ ⇔ + + + = + + + + + − ⇔ + = ⇔ = − So với ñiều kiện bài toán ,vậy 2m = − là giá trị cần tìm. Ví dụ 5 : 1. Tìm các hệ số , , ,a b c d sao cho hàm số ( ) 3 2f x ax bx cx d= + + + ñạt cực tiểu tại ñiểm 0,x = ( )0 0f = và ñạt cực ñại tại ñiểm ( )1, 1 1x f= = 2. Tìm các hệ số , ,a b c sao cho hàm số ( ) 3 2f x x ax bx c= + + + ñạt cực trị bằng 0 tại ñiểm 2x = − và ñồ thị của hàm số ñi qua ñiểm ( )1;0A . 3. Tìm các hệ số ,a b sao cho hàm số ( ) 2ax bx ab f x ax b + + = + ñạt cực trị tại ñiểm 0x = và 4x = . Giải : 1. Tìm các hệ số , , ,a b c d sao cho hàm số ( ) 3 2f x ax bx cx d= + + + ñạt cực tiểu tại ñiểm ( )0, 0 0x f= = và ñạt cực ñại tại ñiểm ( )1, 1 1x f= = Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) ( )2' 3 2 , '' 6 2f x ax bx c f x ax b= + + = + Hàm số ( )f x ñạt cực tiểu tại 0x = khi và chỉ khi ( )( ) ( ) ' 0 0 0 0 1 2 0 0'' 0 0 f c c b bf   = = =   ⇔ ⇔  > >>     Hàm số ( )f x ñạt cực ñại tại 1x = khi và chỉ khi ( )( ) ( ) ' 1 0 3 2 0 2 6 2 0'' 1 0 f a b c a bf  = + + =  ⇔  + <<   ( ) ( ) ( )0 0 0 , 1 1 1 1 0 3f d f a b c d hay a b c do d= ⇒ = = ⇒ + + + = + + = = Từ ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 suy ra 2, 3, 0, 0a b c d= − = = = Ta kiểm tra lại ( ) 3 22 3f x x x= − + Ta có ( ) ( )2' 6 6 , '' 12 6f x x x f x x= − + = − + ( )'' 0 6 0f = > . Hàm số ñạt cực tiểu tại 0x = ( )'' 1 6 0f = − < . Hàm số ñạt cực ñại tại 1x = Vậy : 2, 3, 0, 0a b c d= − = = = 2. Tìm các hệ số , ,a b c sao cho hàm số ( ) 3 2f x x ax bx c= + + + ñạt cực trị bằng 0 tại ñiểm 2x = − và ñồ thị của hàm số ñi qua ñiểm ( )1;0A . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) 2' 3 2f x x ax b= + + Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -51- Hàm số ñạt cực trị bằng 0 tại ñiểm 2x = − khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) ' 2 0 4 12 1 4 2 82 0 f a b a b cf  − = − =  ⇔  − + =− =   ðồ thị của hàm số ñi qua ñiểm ( )1;0A khi và chỉ khi ( ) ( )1 0 1 0 2f a b c= ⇔ + + + = Từ ( ) ( )1 , 2 suy ra 3, 0, 4a b c= = = − . 3. Hàm số ñã cho xác ñịnh khi 0ax b+ ≠ và có ñạo hàm ( ) 2 2 2 2 2 2 ' a x abx b a b y ax b + + − = + • ðiều kiện cần : Hàm số ñạt cực trị tại ñiểm 0x = và 4x = khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 0 00 ' 0 0 0 2 8 2 016 8 416 8 0' 4 0 0 4 0 4 4 0 b a bb a b b a y b ab a aa ab b a b ba ab b a by a a a b a b  − =−  = >=  = ≠ = −    ⇔ ⇔ ⇔ + = ⇔    + + − =+ + − == =      + ≠ + + ≠  • ðiều kiện ñủ : ( ) 2 2 2 04 ' ' 0 4 42 a xx x y y b x x  = − =− ⇒ = = ⇔  = = − +  Bảng biến thiên x −∞ 0 2 4 +∞ ( )'f x + 0 − − 0 + ( )f x Cð +∞ +∞ −∞ −∞ CT Từ bảng biến thiên :hàm số ñạt cực trị tại ñiểm 0x = và 4x = . Vậy 2, 4a b= − = là giá trị cần tìm. Ví dụ 6: 1. Cho hàm số ( ) ( )3 23 2y f x x x C= = − + . Hãy xác ñịnh tất cả các giá trị của a ñể ñiểm cực ñại và ñiểm cực tiểu của ñồ thị ( )C ở về hai phía khác nhau của ñường tròn (phía trong và phía ngoài): ( ) 2 2 2: 2 4 5 1 0aC x y ax ay a+ − − + − = 2. Cho hàm số ( ) 2 2 22 5 3x m x m m y f x x + + − + = = . Tìm 0m > ñể hàm số ñạt cực tiểu tại ( )0;2x m∈ 3. 3 2 2( ) 3 .y f x x x m x m= = − + + có cực ñại , cực tiểu và hai ñiểm ñó ñối xứng nhau qua Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -52- ñường thẳng 1 5 2 2 y x= − 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì hàm số ( )2 21 4 2 ( ) . 1 x m x m m y f x x − + − + − = − có cực trị ñồng thời tích các giá trị cực ñại và cực tiểu ñạt giá trị nhỏ nhất. 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì hàm số ( )2 2 3 2 ( ) 1 x m x m y f x x + + + + = = + có giá trị cực trị , ñồng thời 2 2 1 2CT y y+ >CÑ . Giải : 1. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ và có ñạo hàm 2 0 2 ' 3 6 ' 0 2 2 x y y x x y x y  = ⇒ = = − = ⇔  = ⇒ = − ðồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị ( ) ( )0;2 , 2; 2A B − . Hai ñiểm ( ) ( )0;2 , 2; 2A B − ở về hai phía của hai ñường tròn ( )aC khi ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2/ / 3 . 0 5 8 3 5 4 7 0 5 8 3 0 1 5a aA C B C P P a a a a a a a⇔ < ⇔ − + + + < ⇔ − + < ⇔ < < Cách 2 : ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2: 2 4 5 1 0 : 2 1a aC x y ax ay a C x a y a+ − − + − = ⇔ − + − = ( )aC có tâm ( );2I a a và bán kính 1R = Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 36 62 2 2 5 4 8 5 1 5 5 5 IB a a a a a R   = − + + = + + = + + ≥ > = ⇒    ñiểm B nằm ngoài ( )aC , do ñó ñiểm A nằm trong ñường tròn ( ) ( )22 2 31 2 2 1 5 8 3 0 1 5a C IA a a a a a⇔ < ⇔ + − < ⇔ − + < ⇔ < < 2. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\ 0D = ℝ và có ñạo hàm ( )2 2 2 2 2 5 3 ' , 0 g xx m m y x x x − + − = = ≠ Với ( ) 2 22 5 3g x x m m= − + − Hàm số ñạt cực tiểu tại ( ) ( )0;2 0x m g x∈ ⇔ = có hai nghiệm phân biệt ( )1 2 1 2,x x x x< thoả ( ) ( ) 2 1 2 2 0 10 0 1 1 20 2 1. 0 0 2 5 3 0 3 3 2 5 3 01. 2 0 2 2 3 1 2 m m m m m x x m g m m m mm mg m m m    >   > >     >+ − >>       < −   >  Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -53- Vậy giá trị m cần tìm là 1 3 1 2 2 m m . 3. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ và có ñạo hàm 2 2' 3 6y x x m= − + . Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi phương trình ' 0y = có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x 2' 9 3 0m⇔ ∆ = − > 3 3m⇔ − < < .Vi-ét, ta có 2 1 2 1 2 2 , . 3 m x x x x+ = = . Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số và I là trung ñiểm của ñoạn AB . ðường thẳng AB có hệ số góc ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 22 1 2 1 2 1 22 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 3 3 AB x x x x m x xy y k x x x x x x m x x x x − − − + −− = = = + − − + + − − 2 2 2 2 64 6 3 3AB m m k m − = − − + = ðường thẳng ( )1 5 2 2 y x= − ∆ có hệ số góc 1 2 k = Hai ñiểm ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y ñối xứng nhau qua ñường thẳng ( )∆ khi và chỉ khi AB I  ⊥ ∆  ∈ ∆ 21 2 6 . 1 . 1 0 2 3AB m AB k k m  − • ⊥ ∆ ⇔ = − ⇔ = − ⇔ =    ( ) ( ) ( ) 1 12 2 2 0 0 0;0 0 ' 3 6 ' 0 1; 2 2 4 2; 4 x y A m y x x y I x y B  = ⇒ = ⇒ • = ⇒ = − = ⇔ ⇒ − = ⇒ = − ⇒ − Dễ thấy ( )1; 2I − ∈ ∆ Vậy 0m = thoả mãn yêu cầu bài toán . 4. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\ 1D = ℝ . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 3 ' , 1 2 3 3 1 1 g xx x m m y x g x x x m m x x − + − + = = ≠ = − + − + − − Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi phương trình ( ) 0, 1g x x= ≠ có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x khác 1 . ( ) 2 2 ' 0 3 2 0 1 2 1 0 3 2 0 m m m g m m ∆ > − + − >  ⇔ ⇔ ⇔ < < ≠ − + ≠   Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì 1 2,x x là nghiệm của phương trình ( ) 0, 1g x x= ≠ . Khi ñó 2 2 1 1 2 2 2 2 1 3 2 1 2 3 2 ' 0 1 3 2 1 2 3 2 x m m y m m m y x m m y m m m  = − − + − ⇒ = − + − + − = ⇔  = + − + − ⇒ = − − − + − ( ) ( ) ( ) ( )22 2 21 2. 1 2 3 2 1 2 3 2 1 4 3 2y y m m m m m m m m m= − + − + − − − − + − = − − − + − Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -54- 2 2 1 2 1 2 7 4 4 4 7 . 5 14 9 5 min . 5 5 5 5 5 y y m m m y y khi m   = − + = − − ≥ − ⇒ = − =    So với ñiều kiện , vậy 7 5 m = là giá trị cần tìm . 5. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\ 1D = −ℝ . Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ' , 1 2 2 1 1 g xx x m y x g x x x m x x + − = = ≠ − = + − + + Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi phương trình ( ) 0, 1g x x= ≠ − có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x khác ( ) ' 0 2 1 0 1 1 2 1 01 0 2 m m mg  ∆ > + >  − ⇔ ⇔ ⇔ > − − − ≠− ≠   Gọi ( ) ( )1 1 1 2 2 2; 2 2 , ; 2 2A x y x m B x y x m= + + = + + là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì 1 2,x x là nghiệm của phương trình ( ) 0, 1g x x= ≠ − Theo ñịnh lý Vi- ét 1 2 1 2 2, . 2x x x x m+ = − = − Theo bài toán : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 4 4 2 2 2CTy y y y x m x m x x m x x m+ = + = + + + + + = + + + + + +CÑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 21 2 1 2 1 2 1 24 2 4 2 2 2 4 4 4 8 2 2 2y y x x x x m x x m m m m + = + − + + + + + = + − + + +   2 2 2 1 2 2 16 8y y m m+ = + + Xét ( ) ( )2 1 12 16 8, ' 4 16 0, 2 2 f m m m m f m m m= + + > − = + > ∀ > − Do ñó hàm số ( )f m ñồng biến trên khoảng 1 ; 2 m   ∈ − +∞    và ( ) 1 1 1, ; 2 2 2 f m f m     > − = ∈ − +∞        Vậy 2 2 1 1 , ; 2 2CT y y m   + > ∈ − +∞    CÑ Ví dụ 7: 1. Với giá trị nào của m thì ñồ thị của hàm số ( ) ( )3 21 11 3 2 3 3 y mx m x m x= − − + − + có cực ñại , cực tiểu ñồng thời hoành ñộ cực ñại cực tiểu 1 2 ,x x thỏa 1 2 2 1x x+ = 2. Với giá trị nào của m thì ñồ thị của hàm số ( )2 2 31 4mx m x m m y x m + + + + = + tương ứng có một ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( )II và một ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( )IV của mặt phẳng tọa ñộ . Giải : 1. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ . Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -55- Ta có ( ) ( )2' 2 1 3 2y mx m x m= − − + − Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi 'y ñổi dấu hai lần qua nghiệm x , tức là phương trình ( ) ( )2 2 1 3 2 0mx m x m− − + − = có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x ( ) ( )2 2 00 0 2 6 2 62 4 1 0' 1 3 2 0 2 2 mm m m mm m m m  ≠ ≠  ≠   ⇔ ⇔   − +− + + >∆ = − − − > < <   Theo ñịnh lý Vi – ét và yêu cầu bài toán, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 4 2 1 22 1 2 3 8 4 0 0 3 2 3 2 3 23 4 2 . m x x gt x m m m m x x x m m m m m m m mm m x x m m m m  −+ = =   −  − = + = ⇔ = ⇔ − + = ≠ ⇔    =− −     − − = =         So với ñiều kiện bài toán , vậy 2 2 3 m m= ∨ = là giá trị cần tìm . 2. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\D m= −ℝ và ( ) 34 1 0 m y mx m x m = + + ≠ + Ta có : ( ) 2 2 3 2 2 3 ' , mx m x m y x m x m + − = ≠ − + Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì ( )1 2 1 2,x x x x< là nghiệm của phương trình ( ) 2 2 32 3 0,g x mx m x m x m= + − = ≠ − ðồ thị của hàm số có một ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( )II và một ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( )IV của mặt phẳng tọa ñộ khi ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 0 1 0 2 x x A y y B • < <    ⇔ ⇔ • < <    • thuoäc goùc phaàn tö thö ù (II) thuoäc goùc phaàn tö thö ù (IV) He äsoá goùc cuûa tieäm caän xieân nhoû hôn 0 3 ( ) ( ) ( )41 . 0 0 3 0 0m g m m a⇔ < ⇔ − < ⇔ ≠ ( )2 ⇔ ðồ thị của hàm số không cắt trục ( ) ( )2 2 31 4 0Ox mx m x m m x m⇔ + + + + = ≠ − vô nghiệm ( ) ( ) ( )2 4 2 22 3 1 00 0 5 1 115 2 1 01 4 4 0 5 5 mmm m b m m mm m m m m  ∆ = + − +     ( ) ( )3 0m c⇔ < Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -56- Từ ( ) ( ) ( )a b c suy ra 1 5 m < − là giá trị cần tìm. Ví dụ 8: Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 21 2 1f x x m x m x= + − − + − , có ñồ thị là ( ),mC m là tham số. 1. Chứng minh rằng hàm số luôn có một cực ñại , một cực tiểu . 2. Khi 1m = , ñồ thị hàm số là ( )C ).a Viết phương trình ñường thẳng ( )d vuông góc với ñường thẳng 3 x y = và tiếp xúc với ñồ thị ( )C . ).b Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị của ( )C . Giải : Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ . 1. Ta có ( ) ( ) ( )2' 3 2 1 2 .f x x m x m= + − − + Vì 2' 7 0,m m m∆ = + + > ∀ ∈ ℝ nên phương trình ( )' 0f x = luôn có hai nghiệm phân biệt . Do ñó ñồ thị của hàm số luôn có một cực ñại , một cực tiểu với mọi giá trị của tham số m . 2. ( ) ( ) 31 : 3 1m C f x x x= ⇒ = − − ).a Gọi ( )0 0;M x y là toạ ñộ tiếp ñiểm của ñường thẳng ( )d và ñồ thị ( )C 3 2 0 0 0 0 0 3 1, ' 3 3y x x y x⇒ = − − = − . ðường thẳng ( )d vuông góc với ñường thẳng 3 x y = khi 2 2 0 0 0 0 0 1 ' 1 3 3 3 0 0, 1 3 y x x x y   = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = = −    Vậy ñường thẳng ( ) : 3 1d y x= − − và tiếp xúc với ñồ thị ( )C tại ñiểm ( )0; 1− . ).b ðồ thị ( )C có ñiểm cực ñại là ( )1;1A − , ñiểm cực tiểu là ( )1; 3B − . Do ñó ñường thẳng qua AB là : 2 1y x= − − . Ví dụ 9: 1. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) ( ) ( )3 2 22 1 3 2 4f x x m x m m x= − + + − + + có hai ñiểm cực ñại và cực tiểu nằm về hai phía trục tung . 2. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) ( ) 2 1 3 2 1 x m x m f x x − + + + = − có hai ñiểm cực ñại và cực tiểu cùng dấu . 3. Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 2 2 23 1 3 7 1 1y f x x m x m m x m= = − + + − + − + − .ðịnh m ñể hàm số ñạt cực tiểu tại một ñiểm có hoành ñộ nhỏ hơn 1. 4. Tìm giá trị của m ñể ñồ thị hàm số ( ) 2 2 2 1 x mx f x x + + = + có ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu và khoảng cách từ hai ñiểm ñó ñến ñường thẳng : 2 0x y∆ + + = bằng nhau. Giải : 1. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ và có ñạo hàm ( ) ( )2 2' 3 2 2 1 3 2f x x m x m m= − + + − + Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -57- Hàm số có hai ñiểm cực ñại và cực tiểu nằm về hai phía trục tung khi và chỉ khi phương trình ( )' 0f x = có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x thoả mãn ( )1 20 3. ' 0 0x x f< < ⇔ < 2 3 2 0 1 2m m m⇔ − + < ⇔ < < Vậy giá trị cần tìm là 1 2m< < . 2. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\ 1D = ℝ và có ñạo hàm ( ) ( ) 2 2 2 2 1 ' , 1 1 x x m f x x x − − − = ≠ − Hàm số có cực ñại và cực tiểu khi ( )' 0f x = có hai nghiệm phân biệt 1x ≠ hay phương trình ( ) 2 2 2 1 0g x x x m= − − − = có hai nghiệm phân biệt 1x ≠ , khi ñó ( ) ( ) ' 0 2 2 0 1 1 2 2 01 0 m m mg  ∆ > + >  ⇔ ⇔ > − − − ≠≠   Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì 1 2,x x là nghiệm của ( ) 0g x = Khi ñó: 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2' 0 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 m x m y m m m m my m x m y m m m m m  + = − + ⇒ = − + − + = − − + − += ⇔ + = + + ⇒ = + + − + = − + + + Hai giá trị cực trị cùng dấu khi ( ) ( ) ( ) ( )21 2. 0 1 2 2 2 1 2 2 2 0 1 4 2 2 0y y m m m m m m> ⇔ − − + − + + > ⇔ − − + > ( )2 10 7 0 5 4 2 5 4 2 2m m m m⇔ − − > ⇔ + Từ ( )1 và ( )2 suy ra 1 5 4 2 5 4 2m m− + Cách khác : Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\ 1D = ℝ và có ñạo hàm ( ) ( ) 2 2 2 2 1 ' , 1 1 x x m f x x x − − − = ≠ − Hàm số có cực ñại và cực tiểu khi ( )' 0f x = có hai nghiệm phân biệt 1x ≠ hay phương trình ( ) 2 2 2 1 0g x x x m= − − − = có hai nghiệm phân biệt ( ) ' 0 2 2 0 1 2 2 01 0 m m mg  ∆ > + >  ⇔ ⇔ ⇔ > − − − ≠≠   Hai giá trị cực trị cùng dấu khi ñồ thị của hàm số 0y = cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt 1x ≠ hay phương trình ( ) ( )2 1 3 2 0 1x m x m x− + + + = ≠ có hai nghiệm phân biệt 1x ≠ . Tức là ( ) ( ) ( ) 2 2 5 4 2 10 7 01 4 3 2 0 5 4 2 2 2 01 1 3 2 0 1 m m mm m m mm m m  ∆ = + − + >   ⇔ ⇔ ⇔  > +  + ≠− + + + ≠   ≠ − So với ñiều kiện , giá trị 1 5 4 2 5 4 2m m− + là giá trị cần tìm . Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -58- 3. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ và có ñạo hàm ( ) ( ) ( )2 2' 3 6 1 3 7 1f x x m x m m= − + + − + − .Hàm số ñạt cực tiểu tại một ñiểm có hoành ñộ nhỏ hơn 1 ( ) ( ) ( )2 2' 3 6 1 3 7 1 0f x x m x m m⇔ = − + + − + − = có hai nghiệm 1 2 ,x x thoả mãn ñiều kiện : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 1 2 1 3. ' 1 0 3 3 4 0 9 1 3 3 7 1 01 1 ' 0 1 2 2 3. ' 1 0 3 3 4 0 1 1 1 2 f m m m m mx x x x f m m S m  ⇔ −   ⇔ ⇔  < ≤ ⇔ − ≥ + − ≥      + < <   2 4 4 1 1 3 43 14 3 12 0 3 1 4 4 3 4 0 1 3 3 0 0 m m mm m m m m m m m m m  −  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ <  + − ≥ ≤ − ∨ ≥ ≤ −   < <   4. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\ 1D = −ℝ và có ñạo hàm ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ' , 1 1 x x m f x x x + + − = ≠ − + Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi ( )'f x ñổi dấu hai lần qua nghiệm x hay phương trình ( ) 2 2 2 2 0g x x x m= + + − = có hai nghiệm phân biệt khác 1− ( ) ' 0 3 2 0 3 2 3 01 0 2 m m mg  ∆ > − >  ⇔ ⇔ ⇔ <  − ≠− ≠   Gọi ( ) ( )1 1 1 2 2 2; 2 2 , ; 2 2A x y x m B x y x m= + = + là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì 1 2,x x là nghiệm của phương trình ( ) 0, 1g x x= ≠ . Theo ñịnh lý Vi ét 1 2 1 22, . 2x x x x m+ = − = − Theo yêu cầu bài toán ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 2 2 , , 3 2 2 3 2 2 2 2 x y x y d A d B x m x m + + + + ∆ = ∆ ⇔ = ⇔ + + = + + ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 1 23 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 0x m x m x m x m⇔ + + = + + ⇔ + + − + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 4 4 0 3 4 4 0 3 2 4 4 0 2 x x x x m x x m x x m m ⇔ − + + + = ⇔ + + + = ≠ ⇔ − + + = ⇔ =  So với ñiều kiện, vậy 1 2 m = là giá trị cần tìm . Ví dụ 10: 1. Chứng tỏ rằng chỉ có một ñiểm A duy nhất trên mặt phẳng toạ ñộ sao cho nó là ñiểm cực ñại của ñồ thị ( ) ( ) 2 31 1x m m x m f x x m − + + + = − ứng với một giá trị thích hợp của m và cũng là ñiểm cực tiểu của ñồ thị ứng với một giá trị thích hợp khác. Tìm toạ ñộ của A . Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -59- 2. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số 4 2 42 2y x mx m m= − + + có cực ñại , cực tiểu ñồng thời các ñiểm cực trị lập thành tam giác ñều. Giải : Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\D m= ℝ . Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 ' , 2 1 1 0, g x mx m f x x m g x x mx m m x m − + − = ≠ = − + − ∆ = > ∀ − Do ñó ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1; 2 ' 0 1 2 1; 2 x m f x m m M m m m f x x m f x m m N m m m  = − ⇒ = − + − ⇒ − − + − = ⇔ = + ⇒ = − + + ⇒ + − + + ðặt ( )0 0;A x y .Giả sử ứng với giá trị 1m m= thì A là ñiểm cực ñại và ứng với giá trị 2m m= thì A là ñiểm cực tiểu của ñồ thị hàm số Ta có: 0 1 0 22 2 0 1 1 0 2 2 1 1 ; 2 2 x m x m y m m y m m  = − = +   = − + − = − + +   Theo bài toán , ta có : ( ) ( ) 1 21 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 21 1 2 2 1 4 m mm m m m m m m m m m  − =− = +  ⇔ − + − = − + + − + − = −   1 01 2 1 2 2 0 1 1 2 1 72 2 ; 1 3 7 2 4 2 4 m xm m A m m m y   = = −  − =     ⇔ ⇔ ⇒ ⇒ − −    + = −     = − = −    Vậy 1 7 ; 2 4 A   − −    là ñiểm duy nhất cần tìm thoả yêu cầu bài toán . 2. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ Ta có ( ) ( ) 3 2 2 0 ' 4 4 4 ' 0 * x y x mx x x m y x m  = = − = − = ⇔  = ðồ thị hàm số có cực ñại , cực tiểu khi ' 0y = có 3 nghiệm phân biệt và 'y ñổi dấu khi x qua các nghiệm ñó , khi ñó phương trình ( )* có hai nghiệm phân biệt khác 0 0m⇔ > Khi ñó : ( ) ( ) ( ) 4 4 4 2 4 2 4 2 0 2 0; 2 ' 0 2 ; 2 , ; 2 x y m m A m m y x m y m m m B m m m m C m m m m  = ⇒ = + ⇒ + = ⇔  = ± ⇒ = − + ⇒ − − + − +  Hàm số có 3 cực trị , ,A B C lập thành tam giác ñều ( ) ( )32 2 4 34 3 0 3 0AB AC AB BC m m m m m m m AB BC  = ⇔ ⇔ = ⇔ + = ⇔ − = ⇔ = > = Vậy 3 3m = là giá trị cần tìm . Ví dụ 11: 1. Xác ñịnh tham số a ñể hàm số sau có cực ñại: 22 2 4 5y x a x x= − + + − + Giải : Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -60- 1. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ và có ñạo hàm ( ) ( )2 32 2 ' 2 '' 4 5 4 5 a x a y y x x x x − = − + = − + − + Hàm số ñạt cực ñại tại ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 2 0 00 0 0 2 4 5 2' 0 1 2 24 5 '' 0 00 a x x x ay x x x xx x y x aa  − − +  ==   = = ⇔ ⇔ ⇔   −− +<   <<  Với 0a < thì ( ) 01 2x⇒ < . Xét hàm số : ( ) 2 0 0 0 0 0 4 5 , 2 2 x x f x x x − + = < − ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 4 5 4 5 lim lim 1 , lim lim 2 2x x x x x x x x f x f x x x− −→−∞ →−∞ → → − + − + = = − = = −∞ − − Ta có ( ) ( ) ( )0 02 2 0 0 0 2 ' 0, ;2 2 4 5 f x x x x x − = < ∀ ∈ −∞ − − + Bảng biến thiên : x −∞ 2 ( )'f x − ( )f x 1− −∞ Phương trình ( )1 có nghiệm 0 2 1 22 a x a< ⇔ < − ⇔ < − BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1. Tìm cực trị của các hàm số sau : ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 1 ) 2 3 1 3 1 ) 2 10 3 1 ) a f x x x x b f x x x x c f x x x = + + − = − + − = + ( ) ( ) 5 3 2 1 1 ) 2 5 3 3 3 ) 1 d f x x x x x e f x x = − + − + = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 3 2 ) 8 ) 1 ) 1 ) 5 ) 1 1 4 ) 3 3 3 f f x x x g f x x x h f x x i f x x j f x x x k f x x x x = − = + = + = − = + − = − − + 2. Tìm cực trị của các hàm số sau : Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -61- ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 4 3 2 3 2 ) 2 9 12 3 ) 3 4 24 48 3 ) 5 3 4 5 9 ) 3 2 a f x x x x b f x x x x c f x x x x d f x x x = − + + = − − + − = − + − + = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 8 24 ) 4 ) 4 ) 3 ) 2 | | 2 x x e f x x x f f x x g f x x x h f x x x + − = − = + = − = − + Hướng dẫn : ( ) 2) 2 | | 2h f x x x= − + ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 2 0 ' 2 2 02 2 0 x x khi x x khi x f x f x x khi xx x khi x  + + < + <  = ⇒ =  − >− + ≥   ( )' 0 1, 1f x x x= ⇔ = − = Hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm ( )0;2A và ñạt cực tiểu tại các ñiểm ( ) ( )1;1 , 1;1B C− 3. Chứng minh rằng với mọi m ñồ thị của hàm số 3 24 3y x mx x m= − − + luôn có cực ñại , cực tiểu và . 0 C CT x x <Ñ 4. Cho hàm số ( ) ( ) * 1 q f x x p x = + + + )a Tìm các số thực ,p q sao cho hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 2x = − và ( )2 2f − = − . 1 )a Trường hợp 1p q= = , gọi ,M N là ñiểm cực ñại , cực tiểu của hàm số . Tính ñộ dài MN 2 )a Trường hợp 1p q= = ,một ñường thẳng ( )t luôn tiếp xúc với ñồ thị hàm số ( )* tại K thuộc ñồ thị hàm số ( )* ñồng thời cắt hai trục tọa ñộ tại hai ñiểm phân biệt ,E F . Tìm tọa ñộ ñiểm K ñể K là trung ñiểm EF )b Giả sử 1 2 ;x x lần lượt là hoành ñộ cực ñại , cực tiểu của hàm số . Tìm các số thực ,p q sao cho 1 )b 1 2 2x x= và ( ) ( )21 1 2 f x f x= 2 )b Khoảng cách từ ( )( )1 1;A x f x ñến ñường thẳng y x p= + và 1 0x + = bằng nhau . Hướng dẫn : )a Tìm các số thực ,p q sao cho hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 2x = − và ( )2 2f − = − . ( ) ( )2 ' 1 , 1 1 q f x x x = − ≠ − + 0q• ≤ thì ( )' 0, 1f x x> ∀ ≠ − . Do ñó hàm số ( ) 1 q f x x p x = + + + ñồng biến trên mỗi khoảng ( ); 1−∞ − và ( )1;− +∞ . Hàm số không có cực ñại , cực tiểu . Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -62- 0q• > thì ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 22 1 ' , 1 ' 0 1 , 1 1 x q f x x f x x p x p x + − = ≠ − ⇒ = ⇔ = − − = − + + . Hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 2x = − và ( )2 2f − = − khi ( ) 1 2 1 12 2 x q pf  = − =  ⇔  =− = −   5. Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 21 21 2 3 3 3 f x x m x m x= + − + − − )a Chứng minh rằng 2m ≠ thì ñồ thị của hàm số luôn có cực ñại và cực tiểu . Viết phương trình qua hai ñiểm cực ñại và cực tiểu ñó . )b Giả sử hoành ñộ cực ñại, cực tiểu là 1 2 ,x x . Tìm m ñể : 1 1 2 ) 3 5b x x+ = 2 1 2 ) 5 2b x x− = 4 2 2 3 1 2 ) 5b x x+ = 2 4 1 2 ) 3b x x+ ≤ )c Tìm m ñể : 1 )c 1 2 0 1x x< < < 2 )c 1 2 1x x< < 3 )c 1 2 2 0x x− < < < 4 )c 1 2 0 1 2x x< < < < Lưu ý : ðể làm ñược câu )c học sinh xem lại so sánh nghiệm phương trình bậc hai ñã ñề cập sách ñại số 9 và có nhắc lại ñại số 10. 6. Cho hàm số ( ) 3f x x px q= + + )a Với ñiều kiện nào ñể hàm số f có một cực ñại và một cực tiểu ?. )b Chứng minh rằng nếu giá trị cực ñại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình 3 0x px q+ + = có 3 nghiệm phân biệt?. )c Chứng minh rằng ñiều kiện cần và ñủ ñể phương trình 3 0x px q+ + = có ba nghiệm phân biệt là 3 24 27 0p q+ < Hướng dẫn : )a 0p < )c . 0 3 3 p p f f        − − − <         7. )a Tìm ,a b ñể các cực trị hàm số ( ) 2 3 25 2 9 3 f x a x ax x b= + − + ñều là những số dương và 0 5 9 x = − là ñiểm cực ñại . )b Tìm , ,a b c ñể các cực trị hàm số 3 2y x ax bx c= + + + có giá trị bằng 1 khi 0x = và ñạt cực trị tại 2x = , giá trị cực trị là 3− . )c Tìm ,a b ñể các cực trị hàm số 2 2 x ax b y x + + = − ñạt cực trị tại 3x = và ñường tiệm cận xiên 1y x= − . )d Tìm , ,a b c ñể các cực trị hàm số 2 2 ax bx c y x + + = − có giá trị bằng 1 khi 1x = và ñường tiệm cận xiên của ñồ thị vuông góc với ñường thẳng 1 2 x y − = . Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -63- )e Tìm các hệ số , ,a b c sao cho hàm số ( ) 3 2f x x ax bx c= + + + ñạt cực tiểu tại ( )1; 3A − và ñồ thị của hàm số cắt trục tung tại ñiểm có tung ñộ bằng 2 . Hướng dẫn : )a 0a = : Hàm số không có cực trị ( ) ( )2 2 9 50 ' 5 4 9 ' 0 1 x aa f x a x ax f x x a  = − ≠ = + − ⇒ = ⇔   =  Nếu 0a < , 0 5 9 x = − là ñiểm cực ñại khi 0 5 1 9 9 5 x a a = − = ⇔ = − , giá trị cực tiểu là số dương nên ( ) ( )9 361 0 5 5CT f x f f b a   = − = > ⇔ >    Nếu 0a > , 0 5 9 x = − là ñiểm cực ñại khi 0 5 9 81 9 5 25 x a a = − = − ⇔ = , giá trị cực tiểu là số dương nên ( ) 1 4000 243CT f x f b a   = > ⇔ >    Vậy 9 81 5 25 36 400 5 243 a a b b   = − =      > >    ; )b 3, 0, 1a b c= − = = )c 3, 3a b= − = )d 2, 3, 0a b c= = − = 8. Cho hàm số ( ) ( )3 23 3 2 1 1,f x x mx m x m= − + − + là tham số )a Xác ñịnh m ñể hàm số ñồng biến trên tập xác ñịnh . )b Xác ñịnh m ñể ( )'' 6f x x> . 9. )a ðịnh a ñể ñồ thị của hàm số ( ) ( )3 22 3 2 1 6 1 1y x a x a a x= − + + + + có giá trị 1y >CÑ ðáp số: )a 3 0 2 a− < ≠ 10. Xác ñịnh khoảng ñơn ñiệu và cực trị ( nếu có ) của hàm số : ( )) sin2a f x x= ( )) sin cosb f x x x= + ( ) ( ) 2) sin 3 cos , 0; ) 2 sin cos2 , 0; c f x x x x d f x x x x π π  = − ∈    = + ∈   Hướng dẫn : ( )) sin2a f x x= Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -64- Ta có ( ) ( )' 2 cos2 , ' 0 cos2 0 , 4 2 f x x f x x x l l π π = = ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ ( ) 4 2 '' 4 sin2 , '' 4 sin 4 2 14 2 4 2 khi l k f x x f l l k khi l k π π π π − =     = − + = − + = ∈    = +     , ℤ Vậy ( ) 4 x k k π π= + ∈ ℤ là ñiểm cực ñại của hàm số . ( )3 4 x k k π π= + ∈ ℤ là ñiểm cực tiểu của hàm số . Một bài toán tương tự : ( ) sin2f x x x= − , ñể ý xét ( ) ( )' 0, , ?f x x xπ π= ∈ − ⇒ = ( )) sin cosb f x x x= + Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ ( ) ( ) ( ) ( )sin cos 2 sin ' 2 cos , ' 0 4 4 4 f x x x x f x x f x x k k π π π π     = + = + ⇒ = + = ⇔ = + ∈        ℤ ( ) 2 2 '' 2 sin '' 2 sin 4 4 2 2 2 1 khi k n f x x f k k khi k n π π π π π − =       = − + ⇒ + = − + =       = +       Vậy ( )2 4 x n n π π= + ∈ ℤ là ñiểm cực ñại của hàm số . ( ) ( )2 1 4 x n n π π= + + ∈ ℤ là ñiểm cực tiểu của hàm số . ( ) 2) sin 3 cos , 0;c f x x x x π = − ∈   ( ) ( ) ( ) ( )2sin 3 cos ' sin 2 cos 3 , 0;f x x x f x x x x π= − ⇒ = + ∈ Vì ( )0; sin 0x xπ∈ ⇒ > nên trong khoảng ( ) ( ) 3 50; : ' 0 cos 2 6 f x x x π π = ⇔ = − ⇔ = ( ) 5' 0, 0; 6 f x x π  • > ∈ ⇒    hàm số ñồng biến trên ñoạn 5 0; 6 π      ( ) 5' 0, ; 6 f x x π π   • < ∈ ⇒    hàm số ñồng biến trên ñoạn 5 ; 6 π π       • Vì ( ) ( ) 5 ' 0, 0; 6 5 ' 0, ; 6 f x x f x x π π π    > ∈        < ∈     nên hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 5 5 7 3 , 1 6 6 4 4 x f π π  = = =    Hoặc có thể kiểm tra 5 1 '' ... 0 6 2 f π  = = − <    ( )) 2 sin cos2 , 0;d f x x x x π = + ∈   ( ) ( ) ( ) ( )2 sin cos2 ' 2 cos 1 2 sin , 0;f x x x f x x x x π= + ⇒ = − ∈ Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -65- Trong khoảng ( ) ( ) 2cos 0 0; : ' 0 1 6sin 2 5 6 x x f x x x x π π π π  =  =   = ⇔ ⇔ =  =   =  Tương tự câu )a học sinh tự xác ñịnh khoảng ñơn ñiệu hàm số ; hàm số ñạt cực tiểu tại , 1 2 2 x f π π  = =    , hàm số ñạt cực ñại tại các ñiểm 3 , 6 6 2 x f π π  = =    và 5 5 3 , 6 6 2 x f π π  = =    . MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG KỲ THI TÚ TÀI &TUYỂN SINH ðẠI HỌC 1. Tìm cực trị của hàm số : )a ( ) . xf x x e−= )b ( ) 3 23 2 f x x x= + )c ( ) 22 3 1f x x x= − + + )d ( ) 23 10f x x x= + − )e ( ) 3 sin cosf x x x= + 2. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số có cực trị : )a ( ) 2x mx m y f x x m + − = = + )b ( ) 2 ( 1) 1 x m x m y f x x + − − = = + 3. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số: )a ( ) 3 2 7 3y f x x mx x= = + + + có cực trị . )b ( ) 4 3 21 32 ( 2) ( 6) 1 4 2 y f x x x m x m x= = − + + − + + có ba cực trị . )c ( ) 22 1y f x x m x= = − + + có cực tiểu. )d ( ) 2 2 2 1 x x m y f x x m − + + = = + − có cực ñại , cực tiểu . 4. Xác ñịnh m ñể ñồ thị của hàm số luôn có cực ñại , cực tiểu?. )a 3 2 3 5y x mx mx= + + + )b 2 2x mx m y x m + − = + )c ( )2 1 1 2 mx m x y mx + + + = + ðáp số : )a 0 9m m )b 1 0m− < < )c 2, 0m m< ≠ 5. Chứng minh rằng với mọi m thì ñồ thị của hàm số luôn có cực ñại , cực tiểu ?. Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -66- )a ( ) 4 3 24 2 3 y f x x mx x= = − − )b ( ) 2 2 3 2 x mx m y f x x + + − = = + )c ( ) 2 1 x mx m y f x x − + = = − 6. )a Với giá trị nào của m ,hàm số ( ) 2 2 22 , 1 x m x m y f x m x + + = = + có cực ñại , cực tiểu )b Với giá trị nào của m ,hàm số ( ) ( ) 3 2, 3 2 3y f x m m x mx= = − − + không có cực ñại , cực tiểu ðáp số : )a 1 1m− < < )b 0m = 7. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số: )a ( ) 3 2 22y f x x mx m= = + + ñạt cực ñại tại 1x = )b ( ) 2 3 5 1 x mx y f x mx + + = = + ñạt cực ñại tại 1 3x = − − )c ( ) ( )3 23 5y f x x m x mx m= = − + + + + ñạt cực tiểu tại 2x = )d ( ) ( )2 3 25 6 6 6y f x m m x mx x= = − + + + − ñạt cực ñại tại 1x = )e ( ) ( ) 2 1 1 1 x m x y f x x m + − + = = + − ñạt cực ñại tại 2x = 8. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số: )a ( ) 2 2 3 2 x mx m y f x x + + − = = + có cực ñại , cực tiểu ñối xứng nhau qua ñường thẳng 2 8 0x y+ + = . )b ( ) 3 26 3( 2) 6.y f x x x m x m= = − + + − − có hai cực trị trái dấu . )c ( ) 22 3 1 x x m y f x x − + = = − có cực ñại , cực tiểu thoả mãn 8 CD CT y y− > . )d ( ) 2 3 2 4 x x m y f x x − + + = = − có cực ñại , cực tiểu thoả mãn 4 CD CT y y− = . 9. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số: )a ( ) 2 22 (2 3) 4x m x m m y f x x m + + + + = = + có cực ñại , cực tiểu thoả mãn . 0 CD CT y y < . )b ( ) 3 2 21 ( 3) 4( 3) 3 y f x x m x m x m m= = + + + + + − có hoành ñộ cực ñại 1 x , cực tiểu 2 x thoả mãn 1 2 1x x< − < . Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -67- )c ( ) 3 21 1( 1) 3( 2) 3 3 y f x mx m x m x= = − − + − + có hoành ñộ cực ñại 1 x , cực tiểu 2 x thoả mãn 1 2 2 1x x+ = . )d ( ) 3 22 12 13y f x x mx x= = + − − có ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu cách ñều trục tung. )e 3 23 3 1y x x mx m= − + + − có cực trị mà hoành ñộ cực trị nhỏ hơn 2 ðáp số )e 0 1m< < 10. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số: )a ( ) 2 3 4 x x m y f x x − + + = = − có giá trị cực ñại , cực tiểu ñồng thời 4 CT y y− =CÑ )b ( ) ( ) ( )3 2 2 22 1 4 1 2 1y x m x m m x m= + − + − + − + có cực ñại , cực tiểu 1 2,x x thỏa mãn ñiều kiện ( )1 2 1 2 1 1 1 2 x x x x + = + )c ( ) ( )3 21 5 1 3 m y x m x m x= − + + − − có cực ñại , cực tiểu 1 2 ,x x ñồng thời hoành ñộ cực ñại, cực tiểu thỏa mãn ñiều kiện ( )1 2 1 2 2 2 1 2 3 4 0 24 x x x x x x  + + − <  + > )d 3 26 3 2y x x mx m= − + + − có ñiểm cực ñại ( )1 1 1;M x y và ñiểm cực tiểu ( )2 2 2;M x y thỏa mãn ñiều kiện ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 0 2 y y x x x x − < − + ðáp số : )a 3m = )b 1 5m m= ∨ = )c 1 0 7 m− < < )d 2 4m− < < 11. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số: )a ( ) 3 22 12 13y f x x mx x= == + − − có cực ñại , cực tiểu và các ñiểm cực ñại , cực tiểu cách ñều trục Oy )b ( ) 3 23 2 m y f x x x m= = − + có cực ñại , cực tiểu nằm về hai phía của ñường phân giác thứ nhất mặt phẳng toạ ñộ của hệ Oxy . )c ( ) 2 8 1 x mx m y f x x + − + = = − có cực ñại , cực tiểu nằm về hai phía ñường thẳng 9 7 1 0x y− − = . )d ( ) 3 22 3( 1) 6( 2) 1.y f x x m x m x= = + − + − − có ñường thẳng ñi qua cực ñại , cực tiểu song song với ñường thẳng 2009y x= − + Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -68- )e 3 2( ) 2 3( 1) 6 (1 2 )y f x x m x m m x= = + − + − có cực ñại , cực tiểu thuộc ñường thẳng 4y x= − . )f ( ) 3 21 1 3 2 y f x x x mx= = + + ñạt cực ñại và cực tiểu tại các ñiểm có hoành ñộ x m> )g 2 3 2 1 1 mx mx m y x + + + = − có cực ñại , cực tiểu ñồng thời hai ñiểm cực trị nằm về hai phía ñối với trục Ox . Hướng dẫn : )f 2' 0y x x m= + + = có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thoả mãn 1 2 m x x< < ( ) 2 1 1 4 0 4 1. ' 2 0 2 0 2 1 1 2 2 2 mm y m m m m m m S m m     ⇔ = + > ⇔ ⇔ < −     = − > < −   ) 0 4g m< <