Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 4: Tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động phi tuyến

Chương 4 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 4.1. KHÁI NIỆM VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN Nếu trạng thái của HTĐKTĐ phi tuyến được mô tả bằng bằng hệ n phương trình vi phân: nityyyfy nii ÷== 1;),,...,( 21& (4.1) trong đó tham số t chỉ ra rằng tác động bên ngoài của HT thay đổi theo thời gian, thì nghiệm của nó hoàn toàn được xác định bằng điều kiện ban đầu yi0. Nghiệm này được gọi là chuyển động “không bị nhiễu loạn”. Sự thay đổi ĐKBĐ đi một giá trị ∆yi0 dẫn đến sự thay đổi nghiệm. Sai lệch của nghiệm đó so với nghiệm không nhiễu loạn gọi là chuyển động nhiễu loạn. Hệ phương trình (4.1) khi tính đến sự thay đổi ĐKBĐ có dạng: . ),,...,( 2211 tyyyyyyfyy nniii ∆∆∆∆ +++=+ && Có thể biến đổi hệ phương trình trên về dạng: . ),,...,( 21 tyyyFy nii ∆∆∆∆ =& (4.2) Xét quỹ đạo pha của HT khi không có tác động bên ngoài: ∑∆ = = n i iyR 1 22 Tại thời điểm ban đầu: ∑∆ = = n i iyR 1 2 0 2 0 µR0 ε R ∆y1 ∆y2 H.4-1 Khái niệm ổn định Lyapunôp: chuyển động không bị nhiễu sẽ ổn định nếu với mọi ε (H.4-1) dương nhỏ bao nhiêu tùy ý, ta cũng có thể chọn được một số µ sao cho với mọi ∆yi0 ban đầu thỏa mãn điều kiện R0<µ thì sai lệch ∆yi thỏa mãn bất đẳng thức 0 R<ε với mọi 0 ≤ t ≤ ∞. Nếu R→ 0 khi t→ ∞ thì chuyển động không bị nhiễu sẽ ổn định tiệm cận. Còn nếu như không thể tìm được µ=µ(ε) để R< ε với mọi 0 ≤ t ≤ ∞ thì chuyển động không bị nhiễu sẽ không ổn định. Nếu như các điều kiện ổn định của HT chỉ được thực hiện bắt đầu từ các giá trị ε<εtới hạn, tức là chỉ trong một dải xác định các ĐKBĐ thì ta nói rằng HT ổn định trong phạm vi nhỏ. Khi không có hạn chế trên thì HT ổn định trong phạm vi lớn hay ổn định tiệm cận toàn bộ. 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH LYAPUNỐP (SV tự nghiên cứu) 4.3. TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TUYỆT ĐỐI PÔPÔP Vấn đề xác định tính ổn định tuyệt đối của HTĐKTĐ phi tuyến với khâu phi tuyến dạng đơn trị là xác định xem HT được mô tả bằng phương trình đối với các sai lệch 0)()1(1)1(1)(0 ... =+++++ −− yfycycycyc nnnn (4.20) có ổn định không, nếu như khi thay f(y)=ay, trong đó a-một số bất kỳ, thoả mãn bất đẳng thức α<a<β, thì nhận được phương trình tuyến tính ổn định Ở đây α và β liên hệ với đặc tính tĩnh của phần tử phi tuyến bằng bất đẳng thức βα << y yf )( (4.21) y f(y) βy αy Hình 4-11. Góc giới hạn đặc tính tĩnh của khâu phi tuyến f(y) 0 Ổn định tuyệt đối là tính ổn định trong phạm vi lớn của HT được mô tả bằng phương trình (4.20) với đặc tính tĩnh đơn trị bất kỳ của phần tử phi tuyến thoả mãn (4.21). 4.3.1. Trường hợp phần tuyến tính ổn định hoặc nằm trên biên giới ổn định Thông thường α=0. Để xác định tính ổn định tuyệt đối của HT, ta thiết lập hàm Pôpôp như sau βωωω 1)(1)( )( ++=Π jWhjj (4.22) trong đó β được xác định bằng (4.21); W(jω)-hàm tần số biên độ pha phần tuyến tính; h-một hằng số nào đó. Giả sử hàm W(s) có tất cả các cực có phần thực âm và không có quá hai cực bằng không (có không quá hai khâu tích phân). Cách phát biểu thứ nhất định lý Pôpôp: HT sẽ ổn định tuyệt đối, nếu như có thể chọn được một số thực h, mà trong dải tần ω ≥0 bất đẳng thức sau đúng 0)(Re ][ >Π ωj (4.23) Nếu W(s) có một cực bằng không, thì còn phải cần thêm Im[W(jω)]→-∞ khi ω→0; còn nếu như có hai cực bằng không thì phải cần thêm Re[W(jω)]→-∞ khi ω→0 và Im[W(jω)]<0 khi ω nhỏ. Cách phát biểu thứ hai định lý Pôpôp đưa ra minh hoạ hình học trực quan. Để thực hiện việc này, trên mặt phẳng phức dựng ĐTTS biên độ pha biến dạng của phần tuyến tính (H.4-12) )()(][][)( *** )(Im)(Re ωωωωωω jVUjWjjWjW +=+= (4.24) U* jV* ω=0ω→∞ H. 4.12. Đặc tính tần số biến dạng của phần tuyến tính n-m>1a) U* jV* ω=0ω→∞ n-m=1b) -b0/a00 0 Bất phương trình (4.23) khi tính đến (4.22) có dạng 0 1)(1Re)(Re ])[(][ >++=Π βωωω jWhjj .0 1)(Im)(Re ][][ >+−⇒ βωωω jWhjW Từ (4.24) ta có ;Re )]([)(* ωω jWU = .Im )]([)(* ωωω jWV = Vì vậy .0 1)()( ** >+− βωω hVU Nhận thấy rằng, vế trái của bất đẳng thức trên 0 1)()( ** =+− βωω hVU chính là phương trình đường thẳng trên mặt phẳng W*(jω). Cách phát biểu thứ hai tiêu chuẩn ổn định tuyệt đối Pôpôp: Để HTĐKTĐ phi tuyến ổn định tuyệt đối thì qua điểm (-1/β, j0) trên mặt phẳng phức chỉ cần chọn được một đường thẳng sao cho ĐTTS biên độ pha biến dạng W*(jω) nằm phía bên phải nó. Cách phát biểu thứ ba: nếu qua điểm (-1/β, j0) có thể kẻ một đường thẳng không cắt và không tiếp xúc với ĐTTS biên độ pha biến dạng W*(jω), thì HTĐKTĐ phi tuyến sẽ ổn định tuyệt đối H.4-13. jV* U* ω=0 ω→∞a) -1/β H. 4-13. Các HT ổn định tuyệt đối (a, b) và không ổn định tuyệt đối (c, d) jV* U* ω=0 ω→∞ b) -1/β jV* ω=0 ω→∞c) -1/β U* jV* ω=0 ω→∞d) -1/β U* 0 0 0 0 Thí dụ 4.1. Xét tính ổn định tuyệt đối cho HTĐKTĐ phi tuyến trên H.4-14. HST của phần tuyến tính: )1)(1)(1( 1 321 +++ sTsTsT2 4 )1)(1)(1( 1)( 321 +++ = sTsTsT sW T1=0,5 s, T2=0,2 s, T3=0,1 s. Xác định góc giới hạn đặc tính phi tuyến: α ;2 2 4 ktg ===α Như vậy điểm có toạ độ (-1/β, j0) sẽ là (-0,5, j0). Xét tính ổn định của phần tuyến tính: )1)(1)(1( 1)( 321 +++ = sTsTsT sW Dễ dàng thấy rằng phần tuyến tính ổn định. Dựng ĐTTS biên độ pha biến dạng (H.4-15). )()(][][)( *** )(Im)(Re ωωωωωω jVUjWjjWjW +=+= jV* U* ω=0ω→∞ -0,5 H.4-15 0 Nhận thấy rằng, qua điểm (-0,5, j0) có thể dựng được đường thẳng không cắt và không tiếp xúc với W*(jω). Vì vậy, HT ổn định tuyệt đối. Chương 5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG CỦA HT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN (SV tự nghiên cứu)