Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 7: Phân tích các HTĐKTĐ gián đoạn

Chương 7 PHÂN TÍCH CÁC HTĐKTĐ GIÁN ĐOẠN 7.1. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HTĐKTĐ GIÁN ĐOẠN 7.1.1. Điều kiện cần và đủ để HTĐKTĐGĐ ổn định khi xét trên mặt phẳng s và mặt phẳng z Điều kiện ổn định của HTĐKTĐGĐ kín: nghiệm tự do (nghiệm riêng) của phương trình (đa thức) đặc trưng, hay quá trình quá độ của nó tắt dần theo thời gian. Do , nên suy ra rằng: ∑ = = n k i kktd zAiy 1 )( i=0, 1, 2, 3, ..., (7.1) ez Tskk 0= là nghiệm phương trình (đa thức) đặc trưng của HTĐKTĐGĐ kín ez iTskik 0= - nếu sk nằm ở nửa trái của mặt phẳng phức s thì sẽ tắt dần theo thời gian khi i→∞. - nếu tất cả các nghiệm sk nằm ở nửa trái của mặt phẳng phức s thì HT ổn định. z i k .0...)( )1(10 =+++= − dzdzdzD nnn (7.2) Thay s=α±jω vào biểu thức của z, nhận được số phức . Với mỗi giá trị của tần số ω, số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng phức z bằng một véc tơ có gốc nằm ở gốc toạ độ, ngọn có toạ độ tương ứng với phần thực và phần ảo của nó. ez Tj ) 0( ωα±= 1 Re jImj1 ω=0; ω=2π/T0 |z|=1 ω=π/T0 0 Khi α=0, tức là thì |z|=1. Vì vậy, trục ảo của mặt phẳng phức s tương ứng với đường tròn có tâm ở gốc toạ độ, bán kính đơn vị trên mặt phẳng phức z. Khi tần số ω thay đổi trong khoảng [0, 2π/T0] thì ngọn của véc tơ z quay một vòng trên đường tròn này. Thay s=-α±jω (với α>0) vào biểu thức của z, nhận được ez Tjω 0= .10000 <== ±−±− eeez TjTTjT ωαωα Vì vậy, nửa trái của mặt phẳng phức s tương ứng với phía trong đường tròn có tâm ở gốc toạ độ, bán kính đơn vị của mặt phẳng phức z. Thay s=α±jω (với α>0) vào biểu thức của z, nhận được .10000 >== ±± eeez TjTTjT ωαωα Vì vậy, nửa phải của mặt phẳng phức s tương ứng với phía ngoài đường tròn có tâm ở gốc toạ độ, bán kính đơn vị của mặt phẳng phức z. Do đó, điều kiện cần và đủ để HTĐKTĐGĐ ổn định là phương trình đặc trưng D(z)=0 có tất cả các nghiệm nằm phía trong đường tròn bán kính đơn vị, tâm ở gốc toạ độ trên mặt phẳng phức z. Điều kiện để HTĐKTĐGĐ nằm trên biên giới ổn định là phương trình đặc trưng có ít nhất một nghiệm nằm trên đường tròn bán kính đơn vị, tâm ở gốc tọa độ và không có nghiệm nào nằm ngoài đường tròn này. HT chỉ cần có một nghiệm nằm ngoài đường tròn bán kính đơn vị sẽ không ổn định. 7.1.2. Các tiêu chuẩn ổn định 7.1.2.1. Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz phát biểu cho HTĐKTĐGĐ Phép biến đổi w thực hiện một ánh xạ phía trong đường tròn có tâm ở gốc toạ độ, bán kính đơn vị (|z|<1) trên mặt phẳng phức z vào nửa trái mặt phẳng phức w, bản thân đường tròn đó thành trục ảo, còn phía ngoài đường tròn đó thành nửa phải mặt phẳng phức này. Vì vậy, biến w trong HTĐKTĐGĐ có vai trò giống với biến s trong HTĐKTĐ liên tục. Sử dụng phép đặt đối với PTĐT (7.2) .01110 ... =++++ −− awawawa nnnn (7.3) Phương trình (7.3) có dạng giống với PTĐT của HTĐKTĐ liên tục. Vì vậy, có thể phát biểu tiêu chuẩn ổn định Hurwitz cho HTĐKTĐGĐ như sau: khi a0>0, điều kiện cần và đủ để HTĐKTĐGĐ kín ổn định là tất cả các định thức Hurwitz dương (∆k>0, trong đó k=1÷n). w w z − + = 1 1 nhận được PTĐT của HTĐKTĐGĐ dưới dạng 0...)( )1(10 =+++= − dzdzdzD nnn                 a aa aaa aaa n...0 0 00 0 0 31 420 531 OMMM L L L HT sẽ nằm trên biên giới ổn định khi: 1) a0>0 và ∆n=0 trong khi các định thức ∆1÷∆n-2>0. Điều này xẩy ra khi a0>0, ∆1÷∆n-1>0 và an=0; hoặc a0>0, ∆1÷∆n-2>0, an>0 và ∆n-1=0 ; 2) a0=0; a1÷an>0. Thí dụ 7.1. Xác định điều kiện để HTĐKTĐ trong thí dụ 6.8 ổn định, nằm trên biên giới ổn định? e(t) T0 e(iT0) GN W(s) y(t) x(t) s k sW =)( PTĐT của HT trên có dạng 010)( =−+= TkzzD Phương pháp 1: Từ PTĐT nhận được Tkz 01 −= Điều kiện cần và đủ để HT trên ổn định là |z|<1. Vì vậy kT0<2. HT trên sẽ nằm trên biên giới ổn định khi |z|=1, cụ thể là z=-1. Vì vậy, kT0=2. .)( 10 0 −+ = Tkz Tk zW k 1 1 0 1 )()( − − == z Tk zF z z zW h Phương pháp 2: Thay vào PTĐT, nhận được w w z − + = 1 1 .02 00)()( =+−= TkwTkwD PT trên có bậc n=1. Áp dụng tiêu chuẩn Hurwitz, nhận được điều kiện để HT ổn định ;202 000 )( −= TkTka .001 >= Tka .20 <⇒ Tk HT trên nằm trên biên giới ổn định khi a0=0. Vì vậy, kT0=2. Thí dụ 7.2. Tìm điều kiện để HTĐKTĐ liên tục- gián đoạn trên H.7-2 ổn định; nằm trên biên giới ổn định? trong đó . s sTk sW 2 2 )()( 1 + = e(t) H.7-2. HT bám liên tục-gián đoạn y(t) T0 e(iT0) ghi nhớ x(t) W(s) Ta có s k s kT sW 2 2)( += sk s kT sF 32 2)( += )1(2 1 )1( 3 2 0 2 02 )()( − + − += z zzTk z zTTk zF )1(2 1 )1( 1 2 2 020 )()()( − + − − +== z zTk z TTk zF z z zW h Phương pháp 1: Biện luận nghiệm ĐTĐT HST của HT kín có dạng: . )()( )()( )( 112)1(2 112 2 020 2 2 020 +−− +− ++ + = zTkzTTkz zTkzTTk zW k ĐTĐT của HT kín có dạng: .22422 202020202 )()( +−+−++= TkTkTzTkTkTzzD Trường hợp ĐTĐT có nghiệm thực, tức là 01644 20222022302402 ≥−++ kTTTkTTkTk hay .16)2( 20 2 ≥+ TTk Nghiệm của ĐTĐT có dạng: ; )( 4 164442 202220223024022020 1 kTTTkTTkTkTkTkT z −+++−+− = . )( 4 164442 202220223024022020 2 kTTTkTTkTkTkTkT z −++−−+− = Điều kiện để HT ổn định là |z|<1, vì vậy        > < .2 ; 2 0 2 20 TT TTk Điều kiện để HT nằm trên biên giới ổn định là z1=-1 và |z2|≤1, hoặc z2=-1 và |z1|≤1 vì vậy        > = .2 ; 2 0 2 20 TT TTk Trường hợp ĐTĐT có nghiệm phức, tức là 01644 20222022302402 <−++ kTTTkTTkTk hay .16)2( 20 2 <+ TTk . )( 4 441642 222022302402202020 2,1 TTkTTkTkkTjTkTkT z −−−±−+− = Điều kiện để HT ổn định là |z|<1, vì vậy        > < .2 ; 2 0 2 20 TT TTk Điều kiện để HT nằm trên biên giới ổn định là |z|=1, vì vậy        = < ; 2 ; 2 0 2 20 TT TTk        = < ⇒ .2 ; 4 0 2 2 0 TT T k Như vậy, trong thí dụ trên có một điều kiện để HT ổn định và hai điều kiện để HT nằm trên biên giới ổn định. Phương pháp 2: sử dụng tiêu chuẩn Hurwitz: + xác định ĐTĐT của HT kín TkwTkTTkwTTkwD 20 2 020 2 20 )()()( 224 +−+−= 4444 34444 21 )( 1 10 1 10 ... ...)( zD dzdzd czczc zW n nn m mm k +++ +++ = − − + sử dụng phép biến đổi song tuyến tính đối với ĐTĐT: )1( )( 1 10 ... 1 1)( w awawa zD n n nn wD w w z − ++ = − − + = 444 8444 76 Ở đây n=2; Áp dụng tiêu chuẩn Hurwitz, nhận được điều kiện để HT ổn định: ;24 )( 200 TTka −= ;2 )( 20201 TkTTka −= . 2 02 Tka =      > > > 0 0 0 2 1 0 a a a        < > ⇒ . 2 ; 2 20 0 2 TTk TT Điều kiện để HT nằm trên biên giới ổn định:     == > ∆∆ 0 0 122 0 a a        = < ⇒ ; 2 ; 2 0 2 20 TT TTk        = < ⇒ .2 ; 4 0 2 2 0 TT T k Ngoài ra, HT còn nằm trên biên giới ổn định khi a0=0, a1>0, tức là        > = .2 ; 2 0 2 20 TT TTk 7.1.2.2. Tiêu chuẩn ổn định Mikhailốp phát biểu cho HTĐKTĐGĐ Xét đa thức đặc trưng của HTĐKTĐGĐ dzdzdzdzD nnnn ++++= −− 11)1(10 ...)( ))...()(( 210 zzzzzzd n−−−= trong đó zi là nghiệm của ĐTĐT (i=1÷n). Thay vào đa thức trên, nhận được số phức đặc trưng ez Tjω 0= Như vậy, số phức đặc trưng D*(jω) có mô đun và argumen là các hàm phụ thuộc vào ω. Trên mặt phẳng phức nó được biểu diễn bằng một véc tơ, được gọi là véc tơ đặc trưng, có gốc nằm ở gốc toạ độ, ngọn phụ thuộc vào và . Khi ω thay đổi từ –π/T0 đến π/T0 ngọn của nó vẽ trên mặt phẳng phức một đường cong, được gọi là đường cong Mikhailốp. )(* ωA )(* ωϕ )(* ωA )(* ωϕ eAzezezedjD jnTjTjTj )(*210* * 000 )())...()(()( ωϕωωω ωω =−−−= Biến đổi số phức đặc trưng về dạng sau )()()( *** ωωω QjPjD += trong đó P*(ω) và Q*(ω) là các hàm của cos(ωT0) và sin(ωT0). Do )()( 00 sincos0 TjTez Tj ωωω +== nên trong biểu thức Q*(ω) bao giờ cũng có thể tách ra được thừa số sin(ωT0). Vì vậy, khi ω=kπ/T0 (với k là số nguyên) thì Q*(ω)=0. Tức là, khi ω biến thiên từ 0 tới π/T0, đường cong Mikhailốp bắt đầu và kết thúc tại trục thực. Re ω1=0 n=1 n=2 jIm Thí dụ các đường cong Mikhailốp của các HTĐKTĐGĐ trên mặt phẳng s ω3 ω4 ω3=π/T0 ω5=π/T0 ω1=0 ω2 ω2 )(* ωjD 0 Mỗi thừa số là một số phức thành phần có mô đun và argumen cũng là các hàm phụ thuộc vào ω. Như vậy, argument của số phức đặc trưng được xác định như sau )(* ωAi )( * ωϕ i )( 0 ze iTj −ω )()( 1 ** ωϕωϕ ∑ = = n i i Trên mặt phẳng phức z, số phức thành phần được biểu diễn bằng một véc tơ :c i r zzc ii rrr −= Véc tơ này có gốc nằm tại ngọn của véc tơ , ngọn nằm trên đường tròn có tâm ở gốc toạ độ, bán kính đơn vị, tại vị trí phù hợp với giá trị ω. z i r Re jIm 1 j1 ci zzi a) Re jIm 1 j1 z zi b) H.7-4. Xác định góc quay của véc tơ thành phần Trường hợp nghiệm zi của ĐTĐT D(z) nằm trong hình tròn có tâm ở gốc toạ độ, bán kính đơn vị (H.7-4, a). Khi này nhận thấy rằng, khi ω thay đổi từ –π/T0 đến π/T0, véc tơ thành phần quay quanh gốc của nó một góc .2* piϕ =i ci 0 0 Trường hợp nghiệm zi của đa thức đặc trưng D(z) nằm ngoài hình tròn có tâm ở gốc toạ độ, bán kính đơn vị (H.7-4, b). Khi này nhận thấy rằng, khi ω thay đổi từ –π/T0 đến π/T0, véc tơ thành phần quay quanh gốc của nó một góc Như vậy, nếu tất cả các nghiệm của ĐTĐT nằm trong hình tròn có tâm ở gốc toạ độ, bán kính đơn vị, thì khi ω thay đổi từ –π/T0 đến π/T0, argument của véc tơ đặc trưng thay đổi một lượng là .0* =ϕ i piω pi ω pi njD TT 2arg 00 )(* = ≤≤− ∆ hay 2/2arg 0 0 * )( piω pi ω njD T = ≤≤ ∆ Cách phát biểu thứ nhất tiêu chuẩn ổn định Mikhailốp cho HTĐKTĐGĐ: điều kiện cần và đủ để HTĐKTĐGĐ kín ổn định là: khi ω thay đổi từ 0 đến π/T0 véc tơ đặc trưng D*(jω) bắt đầu trên phần dương của trục thực quay quanh gốc toạ độ theo chiều dương một góc nπ, trong đó n-bậc của đa thức đặc trưng. Hai cách phát biểu khác của tiêu chuẩn ổn định Mikhailốp: Cách phát biểu thứ hai tiêu chuẩn ổn định Mikhailốp: điều kiện cần và đủ để HTĐKTĐGĐ kín ổn định là: khi ω thay đổi từ 0 đến π/T0 đường cong Mikhailốp bắt đầu trên phần dương của trục thực lần lượt đi qua 2n góc phần tư theo chiều dương, trong đó n-bậc của ĐTĐT. Cách phát biểu thứ ba tiêu chuẩn ổn định Mikhailốp: điều kiện cần và đủ để HTĐKTĐGĐ kín ổn định là: khi ω thay đổi từ 0 đến π/T0 hai phương trình     = = 0 0 )( )( * * ω ω P Q phải có đủ 2n+1 nghiệm ω1, ω2, ω3, ..., ω2n+1; trong đó, các nghiệm phương trình Q*(ω)=0 có chỉ số lẻ, các nghiệm phương trình P*(ω)=0 có chỉ số chẵn; và ω1<ω2<ω3<...<ω2n+1. Phát biểu tiêu chuẩn ổn định Mikhailốp cho trường hợp HTĐKTĐGĐ kín nằm trên biên giới ổn định. HTĐKTĐGĐ kín nằm trên biên giới ổn định khi nghiệm zi của PTĐT nằm trên đường tròn có tâm ở gốc toạ độ, bán kính đơn vị. Như vậy, khi tần số ω thay đổi từ 0 đến π/T0, tại một giá trị ω0 nào đó số phức thành phần bằng không. Tức là, tại tần số đó, số phức đặc trưng của HT kín D*(jω0)=0. Do đó, HTĐKTĐGĐ kín nằm trên biên giới ổn định khi đường cong Mikhailốp bắt đầu tại (hoặc đi qua, hoặc kết thúc tại) gốc toạ độ khi ω thay đổi từ 0 đến π/T0. Thí dụ 7.3. Xác định điều kiện để HTĐKTĐ trong thí dụ 7.1 ổn định; nằm trên biên giới ổn định? ĐTĐT của HT trên có dạng .10)( −+= TkzzD ez Tjω 0=Thay vào đa thức trên, nhận được số phức đặc trưng ).()()( 000 * sin1cos TjTkTjD ωωω +−+= Từ đây nhận được     −+= = .1cos sin 00 * 0 * )()( )()( TkTP TQ ωω ωω Trong khoảng tần số [0 π/T0] phương trình sin(ωT0)=0 có hai nghiệm ω1=0 và ω3=π/T0. Để HT trên ổn định thì phương trình 01cos 00)( =−+ TkTω phải có một nghiệm ω2 nằm trong khoảng tần số 0<ω<π/T0. Ta có TkT 00 1cos )( −=ω P(ω) jQ(ω) ω1=0 ω3=π/T0 ω2 0 Để phương trình trên có nghiệm trong khoảng tần số 0<ω<π/T0 thì 11 0 <− Tk .20 0 <<⇒ Tk .20 <⇒ Tk Điều kiện để HT trên nằm trên biên giới ổn định: khi ω1=0 thì Q*(ω1)=0 và P*(ω1)=kT0>0, như vậy P(ω) jQ(ω) ω1=0ω*=π/T0 đường cong Mikhailôp phải kết thúc tại gốc tọa độ, tức là ω2=ω3=π/T0: .2 1arccos 0 00 0* 2 )( =⇒ == − kT TT kT pi ω 0 Sử dụng các lệnh của Control System Toolbox: k=2; T0=0.8; sys=tf([1 k*T0-1],[1],T0); nyquist(sys) Thí dụ 7.4. Xác định điều kiện để HTĐKTĐ trong thí dụ 7.2 ổn định; nằm trên biên giới ổn định? ĐTĐT của HT kín có dạng .22422 202020202 )()( +−+−++= TkTkTzTkTkTzzD Thay )()( 00 sincos0 TjTez Tj ωωω +== vào đa thức trên, nhận được )()()( *** ωωω QjPjD +=      −+−++= −++= ⇒ .2cos42cos4 ;sin42cos4 20 2 0020 2 00 2* 020 2 00 * )()()()( )(])([)( TkTTkTTkTTkTP TTkTTkTQ ωωω ωωω Để HT trên ổn định thì trong khoảng tần số [0 π/T0] phương trình Q*(ω)=0 phải có 3 nghiệm: ω1=0, ),( 4 24 arccos 1 20 2 0 0 3 TkTTk T −− =ω ω5=π/T0; phương trình P*(ω)=0 phải có 2 nghiệm: 8 1616244424 arccos 1 202022202230240220 2 0 0 2 ++−++−−− = TkTkTTTkTTkTkTkTTk Tω 8 1616244424 arccos 1 202022202230240220 2 0 0 4 ++−+++−− = TkTkTTTkTTkTkTkTTk Tω và ω1<ω2<ω3<ω4<ω5. Từ đây nhận được        < > . 2 ; 2 20 0 2 TTk TT P(ω) jQ(ω) ω1=0 ω5=π/T0 ω2 ω3 ω4 0 HT trên nằm trên biên giới ổn định trong hai trường hợp. Trường hợp thứ nhất, khi đường cong Mikhailốp đi qua gốc toạ độ, tức là ω2=ω3 hoặc ω3=ω4. Từ đây nhận được        = < ; 2 ; 2 0 2 20 TT TTk        = < ⇒ .2 ; 4 0 2 2 0 TT T k Trường hợp thứ hai, khi đường cong Mikhailốp kết thúc tại gốc toạ độ, tức là ω4=ω5. Từ đây nhận được P(ω) jQ(ω) ω1=00        > = .2 ; 2 0 2 20 TT TTk Sử dụng các lệnh của Control System toolbox: T0=0.2; T2=T0/2+0.1; k=2/(T0*T2)-1; sys=tf([2 (k*T0^2+2*k*T0*T2-4) (k*T0^2- 2*k*T0*T2+2)],[1],T0); nyquist(sys) 7.1.2.3. Tiêu chuẩn ổn định Nyquist phát biểu cho HTĐKTĐGĐ Tiêu chuẩn ổn định Nyquist được áp dụng để khảo sát tính ổn định của HTĐKTĐGĐ kín phản hồi âm đơn vị và dựa vào việc sử dụng ĐTTSBĐ pha của HTĐKTĐGĐ hở . Cách phát biểu tiêu chuẩn ổn định này cho HTĐKTĐGĐ giống đến từng lời so với cách phát biểu cho HTĐKTĐ liên tục. )(* ωjW h Xét HTĐKTĐGĐ phản hồi âm đơn vị có HST của hệ hở )( )( )( zC zB zW h = trong đó C(z)-ĐTĐT của HT hở. Thay vào HST trên, nhận được HST tần số của HT hở ez Tjω 0= Đồ thị biểu diễn HST tần số của HT hở được gọi là ĐTTSBĐ pha của HT hở. )( )( )( * * * ω ω ω jC jBjW h = Xét hàm phụ )( )( )( )( )()( 11 zC zD zC zB zWzF h =+=+= trong đó D(z)-ĐTĐT của HT kín. Thay vào công thức trên, nhận đượcez Tjω 0= Trên mặt phẳng phức F*(jω) được biểu diễn bằng một véc tơ, có gốc nằm ở điểm có toạ độ (-1, j0), ngọn nằm trên ĐTTSBĐ pha của HT hở. )()()( )( )( )( *** * * * ωϕωϕωϕω ω ω hkFjC jDjF −=⇒= Khi tần số ω thay đổi từ –π/T0 đến π/T0 ngọn của nó trượt trên ĐTTSBĐ pha của HT hở. Trường hợp HT hở không ổn định (ĐTĐT của nó có q nghiệm nằm ngoài hình tròn bán kính đơn vị), theo tiêu chuẩn ổn định Mikhailốp, khi tần số ω thay đổi từ –π/T0 đến π/T0, argument của số phức đặc trưng C*(jω) thay đổi một lượng (n-q)2π. Để HT kín ổn định thì khi tần số ω thay đổi từ –π/T0 đến π/T0, argument của số phức đặc trưng D*(jω) phải thay đổi một lượng 2nπ. Như vậy, trong trường hợp HTĐKTĐGĐ kín ổn định thì khi tần số ω thay đổi từ –π/T0 đến π/T0, argument của số phức F*(jω) thay đổi một lượng .222 )()()()( *** pipipiωϕωϕωϕ qqnnhkF =−=−= − Phát biểu tiêu chuẩn ổn định Nyquist khi HT hở không ổn định: Điều kiện cần và đủ để HTĐKTĐGĐ kín ổn định, khi HT hở không ổn định (ĐTĐT của HT hở có q nghiệm nằm ngoài hình tròn bán kính đơn vị), là đường cong ĐTTSBĐ pha của HT hở bao điểm (-1, j0) theo chiều dương q lần khi tần số ω thay đổi từ –π/T0 đến π/T0 hay q/2 lần khi tần số ω thay đổi từ 0 đến π/T0. Phát biểu tiêu chuẩn ổn định Nyquist khi HT hở ổn định: Điều kiện cần và đủ để HTĐKTĐGĐ kín ổn định, khi HT hở đã ổn định, là đường cong ĐTTSBĐ pha của HT hở không bao điểm (-1, j0) khi tần số ω thay đổi từ 0 đến π/T0. (-1,j0) ω=0 ω→π/T0 Re jIm l=0: HT ổn định (-1,j0) ω=0 ω→π/T0 Re jIm l=1: HT ổn định 0 0 022)()()( *** =−=−= pipiωϕωϕωϕ nnhkF Phát biểu tiêu chuẩn ổn định Nyquist cho trường hợp HT nằm trên biên giới ổn định. Khi HT kín nằm trên biên giới ổn định thì tại một giá trị tần số ω0 nào đó số phức đặc trưng D*(jω0)=0. Khi đó, véctơr phụ F*(jω0)=0, điều đó có nghĩa là HTĐKTĐGĐ nằm trên biên giới ổn định khi đặc tính tần số biên độ pha của HT hở đi qua điểm (-1, j0). Thí dụ 7.5. Xác định điều kiện để HTĐKTĐ trong thí dụ 7.1 ổn định; nằm trên biên giới ổn định? 1 0)( − = z Tk zW h Biến đổi HST tần số của HT hở về dạng sau 1sincos )()( )( 00 0* −+ = TjT TkjW h ωωω )]([ )]()([ 0 000 cos12 sin1cos T TjTTk ω ωω − −− = )( )( 0 000 cos1 sin 22 T TTkjTk ω ω − −−= )()( ** ωω jQP hh += Re jIm (-1,j0) ω=0 ω→π/T0 0 Đặc tính tần số biên độ pha của HT hở là một đường thẳng song song với trục ảo, nằm cách trục ảo một khoảng –kT0/2. Khi ω=0 ta có , 2 0 0 * )( ∞−−= = jTkjW h ω ω tức là đặc tính tần số biên độ pha của HT hở bắt đầu từ -∞, song song với trục ảo, nằm cách trục ảo một khoảng –kT0/2. Khi ω=π/T0 ta có 2 0* / * )()( 0 Tk PjW hTh −=== ωω piω Re jIm(-1,j0) ω=0 ω→π/T0 0 tức là đặc tính tần số biên độ pha của HT hở kết thúc tại trục thực, cách gốc toạ độ một khoảng (–kT0/2). Theo tiêu chuẩn ổn định Nyquist, để HT kín ổn định thì Để HT kín nằm trên biên giới ổn định thì .212 00 / − TkkT .212 00 / =⇒−=− TkkT Thí dụ 7.6. Khảo sát tính ổn định của HTĐKTĐGĐ khi HT hở không ổn định bằng Matlab T0=0.1; sys1=tf(1,[1 0.5], T0); sys2=tf([1 1],[1 -2], T0) %sys2=tf([1 2],[1 -2], T0) sysh=sys1*sys2; sysk=feedback(sysh,1); SUBPLOT(2,1,1); nyquist(sysh); set(findobj(gca,'Type','line','Color',[0 0 1]),... 'LineWidth',2); SUBPLOT(2,1,2);step(sysk); set(findobj(gca,'Type','line','Color',[0 0 1]),... 'LineWidth',2); 7.1.2.4. Tiểu chuẩn ổn định logarit phát biểu cho HTĐKTĐGĐ Điều kiện cần và đủ để HTĐKTĐGĐ kín ổn định là khi ω tiến từ 0 đến π/T0, trong dải tần mà ĐTTSBĐ logarit của HT hở lớn hơn 0 thì hiệu giữa số điểm chuyển tiếp dương và điểm chuyển tiếp âm của ĐTTSP logarit trên đường thẳng -1800 bằng q/2, trong đó q là số nghiệm PTĐT của HT hở nằm ở phía ngoài đường tròn bán kính đơn vị. Nếu HT hở ổn định hay nằm trên biên giới ổn định, nghĩa là q=0 thì điều kiện để HT kín ổn định là hiệu số điểm chuyển tiếp đó bằng 0. Điều kiện để HT kín nằm trên biên giới ổn định là ωc=ωπ,trong đó ωc-tần số mà ĐTTSBĐ logarit HT hở cắt trục hoành, ω π -tần số mà ĐTTSP logarit HT hở cắt đường thẳng -1800. Nhắc việc: giờ sau kiểm tra 30 phút. 7.2. ĐÁNH GIÁ SAI SỐ CỦA HTĐKTĐGĐ TRONG CHẾ ĐỘ XÁC LẬP 7.2.1. Xác định sai số tiền định của HTĐKTĐGĐ trong chế độ xác lập 7.2.1.1. Xác định sai số tiền định Sai số của HTĐKTĐGĐ trong chế độ xác lập cũng được xác định bằng hiệu giữa giá trị mong muốn và giá trị thực tế của lượng ra )()()( iyiyie ttmm −= Xét HTĐKTĐGĐ phản hồi âm đơn vị (H.7-12). Lượng vào (giá trị mong muốn của lượng ra) là x(i), lượng ra là y(i), sai số là e(i). HST của sai số được xác định như sau Wh(z) x(i) e(i) H.7-12. y(i) )()( )( )( 1 1 zWzX zE W h ex z + == Ảnh của sai số được xác định như sau )( )( )( 1 zW zX zE h+ = Sử dụng tính chất của phép biến đổi Z, sai số xác lập e(i) được xác định như sau )( )()( )( 1 1 lim 1 1 zW zXz ie hzi + − = − →∞→ Biểu diễn HST của HT hở dưới dạng )( 1 )( 0)1( zW z k zW uh − − = trong đó tức là trong HST của HT hở có thể tách ra u khâu tổng riêng biệt; u được gọi là bậc phiếm tĩnh của HT. ,1lim )]([ 0 1 = → zW z Khi u=0 HT được gọi là HT tĩnh; khi u=1 HT được gọi là HT phiếm tĩnh bậc một; khi u=2 HT được gọi là HT phiếm tĩnh bậc hai; ... - Khi tác động đầu vào có dạng hàm bậc thang )()( 10 ixix = z x zX − − = 1 1 0)( Sai số trong trường hợp này được gọi là sai số tĩnh, ký hiệu là et(i). - Trường hợp HT tĩnh (u=0) 1 )1( 1 1 1 lim 0 00 1 01 1 )( 1 )( )( + − − = − + − = − − →∞→ k x zW z k z x z ie zi t -Trường hợp HT phiếm tĩnh bậc một (u=1) .0 )1( 1 1 1 lim )( 1 )( )( 01 1 01 1 = − + − = − − − − →∞→ zW z k z x z ie zi t - Trường hợp HT phiếm tĩnh bậc hai trở lên ( u>1 ) .0)( = ∞→it ie - Khi tác động đầu vào có dạng hàm đồng biến iTVix 0)( = )1( 1 )( 2 1 0 z zVT zX − = − − Sai số trong trường hợp này được gọi là sai số vận tốc, ký hiệu là ev(i). - Trường hợp HT tĩnh (u=0) -Trường hợp HT phiếm tĩnh bậc một (u=1) . )1( 1 )1( 1 lim )( 1 1 )( )( 00 2 1 01 1 ∞ − − = − + − − = − − →∞→ zW z k z zVT z ie zi V . )( 1 1 )( )( 0 01 2 1 01 1 )1( 1 )1( 1 lim k TV zW z k z zVT z ie zi V = − + − − = − − − − →∞→ - Trường hợp HT phiếm tĩnh bậc hai trở lên (u>1) .0 )1( 1 )1( 1 lim )( 1 1 )( )( 02 2 1 01 1 = − + − − = − − − − →∞→ zW z k z zVT z ie zi V - Khi tác động đầu vào có dạng hàm đồng biến )( 0)( 2Tiaix = )1( 1 1 )( )( 3 22 0 z zzaT zX − + = − − Sai số trong trường hợp này được gọi là sai số gia tốc, ký hiệu là ea(i). - Trường hợp HT tĩnh (u=0) -Trường hợp HT phiếm tĩnh bậc một (u=1) . )1( 1 )1( 1 1 lim )( 1 1 )( )( )( 00 3 22 01 1 ∞ − − = − + − + − = − − →∞→ zW z k z zzaT z ie zi a . )1( 1 )1( 1 1 lim )( 1 1 )( )( )( 01 3 22 01 1 ∞ − − = − + − + − = − − →∞→ zW z k z zzaT z ie zi a - Trường hợp HT phiếm tĩnh bậc hai (u=2) k Ta zW z k z zzaT z ie zi a 2 )1( 1 )1( 1 1 lim 2 0 02 3 22 01 1 )( 1 1 )( )( )( = − + − + − = − − − − →∞→ - Trường hợp HT phiếm tĩnh bậc ba trở lên (u≥3) .0 )1( 1 )1( 1 1 lim )( 1 1 )( )( )( 03 3 22 01 1 = − + − + − = − − − − →∞→ zW z k z zzaT z ie zi a Như vậy, khi HTĐKTĐGĐ là HT tĩnh thì sai số tĩnh của nó không đổi, sai số vận tốc và sai số gia tốc tăng trưởng theo thời gian; khi HTĐKTĐGĐ là HT phiếm tĩnh bậc một thì sai số tĩnh của nó bằng không, sai số vận tốc không đổi, sai số gia tốc tăng trưởng theo thời gian; khi HTĐKTĐGĐ là HT phiếm tĩnh bậc hai thì sai số tĩnh và sai số vận tốc của nó bằng không, sai số theo gia tốc không đổi; khi HTĐKTĐGĐ là HT phiếm tĩnh bậc ba thì sai số tĩnh, sai số vận tốc và sai số gia tốc bằng không. HTĐKTĐGĐ được gọi là HT bám khi có phản hồi âm đơn vị và trong thành phần của HT hở có thể tách ra được ít nhất một khâu tổng riêng biệt. Khi lượng vào là các hàm phức tạp ).( 0 2 00)( TiaiTVxix ++= Sử dụng nguyên lý xếp chồng của HTĐKTĐGĐ tuyến tính, tính sai số do từng thành phần của lượng vào gây ra rồi cộng các kết quả lại. Thí dụ 7.7. Xác định sai số do lượng vào gây ra trong thí dụ 7.2, khi T0=T2=0,1 s, k=100 s-2; lượng vào thay đổi theo quy luật ).(1,021 0)( 2 0 TiTiix ++= e(t) H.7-2. HT bám liên tục-gián đoạn y(t) T0 e(iT0) ghi nhớx(t) W(s) s k s kT sW 2 2)( += HST của HT hở có dạng )1(2 1 )1( 2 2 020 )( )( − + − += z zTk z TTk zW h Thay số vào ta có )1( 15,0)1( 1 )(1 )( 22 zz zzz zW h − + − − +− = Ảnh của lượng vào có dạng )1( 1001,0 )1( 2,0 1 1 1 )( 1 )( 3 2 2 1 1 z zz z z z zX − + + − += − − − −− − HT trên là HT phiếm tĩnh bậc hai, nên sai số tĩnh và sai số vận tốc bằng không. Vì vậy, sai số của HT được xác định như sau .002,0 )1( 15,0)1( 1 )1( 1001,0 1 lim 1 )(1 1 )( )( )( 22 3 2 1 1 = − +− + − + − = − + − − − − →∞→ zz zzz z zz z ie zi a 7.2.1.2. Xác định các hệ số sai số Hàm số truyền của sai số có thể được viết lại như sau )(zW ex czczc bzbzbzW W n nn m mmh ex z ˆ)1(ˆ)1(ˆ ˆ)1(ˆ)1(ˆ1 1 1 1 ... 11 ... 11)( )( 1 10 1 10 ++−+− ++−+− + = + = −− −− − − cbzczc czczc zX zE W nm nn n nn ex z ˆˆ)1(ˆ)1(ˆ ˆ)1(ˆ)1(ˆ ... 11 ... 11 )( )( )( 1 10 1 10 +++−+− ++−+− == −− −− − − (7.4) ... 11 )( )( )1()1( 2210 +−+−+= −− zezee zX zE Mặt khác có thể viết ...)(1)(1)()( )1()1( 2210 +−+−+= −− zXzezXzezXezE Hàm gốc của sai số ... )()()()( 22110 +++= ∇∇ ixeixeixeie Thành phần được gọi là sai lệch hiệu bậc không, thành phần được gọi là sai lệch hiệu bậc nhất, thành phần được gọi là sai lệch hiệu bậc hai, ... )(0 ixe )(11 ixe ∇ )(22 ixe ∇ (7.5) Các hệ số e0, e1, e2, ... được gọi là các hệ số sai số của các hiệu tương ứng. Đặt (bắt buộc) . Từ (7.4) và (7.5), nhận được z− − =1 1α ...))(...(... 2210110110 ˆˆˆˆˆˆˆ +++++++=+++ −− αααααα eeecbccccc nm nn n nn Thực hiện so sánh các số hạng cùng bậc đẳng thức trên, nhận được các hệ số e0, e1, e2, ... Thí dụ 7.8. Tìm sai số của HTĐKTĐ trên H.7-12 trong trạng thái xác lập, biết rằng Wh(z) x(i) e(i) H.7-12. y(i) z zkT z kT zW h −− − − == 11 1 1 00)( ).( 0)( 2 2010 iTxiTxxix ++= Xác định các hiệu hữu hạn của lượng vào )()(0 ixix =∇ )()()( 11 −∇ −= ixixix TixTx 20201 )( 5,02 −+= )()()( 1112 −∇∇∇ −= ixixix Tx 2022= .0...)()( 43 ===∇∇ ixix Xác định các hệ số sai số zkTz z z zkTzW W h ex z 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 )()( −− − − − + = + = + = − − − ... 11 )1()1( 1 1 2 2101 0 1 1 +−+−+= + = −− − − − − − zezee zkTz z Đặt αα −=⇒= −−− 11 11 zz ...)( 2 210 0 1 +++= + ⇒ − αα αα α eeekT ...])][([ 22100 1 ++++=⇒ − ααααα eeekT So sánh các hệ số 00 000 0 =⇒= eekTα kTe ekTkTe 0 11000 1 111 )( =⇒=+−α Tk kT eekTkTe 2 0 2 0 22001 2 101 )( − =⇒=+ −α Chuỗi sai số có dạng Tx Tk kT TixTxkT ie 2022 0 2 02 0201 0 215,021 ])([)( − ++= − ])[( 15,02 0021 k kT Tik x k x −++= − Như vậy, khi i→∞, sai số tiến tới vô cùng. 7.2.2. Đánh giá sai số ngẫu nhiên của HTĐKTĐGĐ trong chế độ xác lập Khi HTĐKTĐGĐ chịu tác động của các quá trình ngẫu nhiên thì lượng ra và sai số cũng là các quá trình ngẫu nhiên. Sai số ngẫu nhiên E(i) có thể được phân tích thành kỳ vọng toán học và thành phần ngẫu nhiên trung tâm )()]([)( 0 iEiEMiE += Thành phần kỳ vọng toán học được xác định như sai số tiền định. Thành phần ngẫu nhiên trung tâm được đánh giá theo phương sai })]([{ 0)( 2 iEMiDe = Phương sai của sai số được xác định như sau ∑ = += N j eXe DDD eV j1 Phương pháp xác định phương sai của sai số do lượng vào và nhiễu loạn gây ra giống nhau, vì vậy, dưới đây ta chỉ nghiên cứu phương sai do lượng vào gây ra. Hàm tương quan của sai số được xác định như sau )]()([)( 00 kiEiEMkRex += Mật độ phổ của sai số được xác định như sau ∑ ∞ −∞= − = k k exex zkRzS )()( (7.7) (7.8) Mặt khác, hàm tương quan của sai số chính là biến đổi ngược Fourier của mật độ phổ ,2 2/ 2/ 0 0)()( ωωpi ω deSTkR j j exex Tkj∫ Ω Ω− = .0 τ=Tktrong đó ,0 1 0 000 Tj zdz ddeTjdzeez TjTjTs − =⇒=⇒== ωωωω Vì vậy ∫ = − = 1 1 .2 1 )()( z k exex dzzzSjkR pi Phương sai của sai số chính là giá trị của hàm tương quan khi .0=τ ∫ = − == 1 1 .2 1 0 )()( z exexex dzzzSjRD pi (7.9) Hàm tương quan của quá trình ngẫu nhiên k Rx(k) k Rx(k) Hàm tương quan của quá trình tạp trắng Dx Xác định phương sai của sai số do lượng vào gây ra khi biết lượng vào và cấu trúc của HT Wh(z) x(i) e(i) H.7-12. y(i) )()][()( 11 00 1 rgriXiE ex r ∑ − ∞ −∞= = Tại thời điểm (i+k) ta có )()][()][( 22 00 2 rgrkiXkiE ex r ∑ −++ ∞ −∞= = Hàm tương quan của sai số được xác định theo (7.7) Tại thời điểm i ta có Biến đổi biểu thức )]()([)( 00 kiEiEMkRex += ).()()]()([ 212 0 1 0 1 2 rgrgrkiXriXM exex r r ∑ ∑ −+− ∞ −∞= ∞ −∞= = )]()([ 2 0 1 0 rkiXriXM −+− )]()([ 211 0 1 0 rrkriXriXM −++−= − ).( 21 rrkRx −+= ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= −+= r r rgrgrrkRkR exexxex 1 2 )()()()( 2121 Như vậy Mật độ phổ của sai số được xác định theo (7.8) ∑ ∞ −∞= − = k k exex zkRzS )()( ∑ ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= ∞ ∞− − −+= k k exexx r r zrgrgrrkR 1 2 )()()( 2121 zrrkRzrgzrg rrk r r r r k xexex )( 2121 21 2 2 1 1 )()()( −+− ∞ −∞= ∞ −∞= ∞ −∞= ∑∑∑ −+= − Theo (6.42) ta có )()( 11 1 1 zWzrg exex r r − ∞ −∞= =∑ )()( 2 22 zWzrg exex r r =−∑ ∞ −∞= Theo (7.8) ta có )()( )(21 21 zSzrrkR x k x rrk =−+ −+− ∞ −∞= ∑ Vì vậy )()()()( 1 zSzWzWzS xexexex −= Biểu diễn Sx(z) dưới dạng )()()( 1zFzFzS xxx −= trong đó Fx(z)-HST của bộ lọc tạo hình dừng, biến đổi tạp trắng với mật độ phổ bằng 1 thành tín hiệu ngẫu nhiên dừng có mật độ phổ Sx(z). (7.10) Cuối cùng, (7.10) có dạng )()()()()( 11 zFzWzFzWzS xexxexex −−= Phương sai của sai số (7.9) được xác định như sau ∫ = −−− = 1 111 .2 1 )()()()( z xexxexex dzzzFzWzFzWjD pi )1( 2 1 1 2 w dw dz w w z − =⇒ − + = ∫ +− ∞ ∞− −− =⇒ j j xexxex ex dw w wFwW w wFwW jD 112 1 2 )()()()( pi ∫ ∞ ∞− −= j j ex dwwFwFjD ,2 1 2 )()(pi trong đó ; )()( )( 1 w wFwW wF xex − = . )()( )( 1 w wFwW wF xex + − −− = Cuối cùng, biểu thức phương sai có dạng )],([2 wFIDex = trong đó -tích phân Parseval, được xác định như trong HTĐKTĐ liên tục. )]([ wFI Thí dụ 7.9. HTĐKTĐGĐ có sơ đồ như trên H.7-15, trong đó Wh(z) x(i) y(i)e(i) Hình 7-15 V(i) z zkT zW h − − − = 1 1 1 0)( )()( iNiR VV δ= NS VV = zkT zkT zW zW zW h h eV 1 0 1 0 )()( )( )( 111 − − −+ −= + −= kTwkT wkT w w kT w w kT wW eV 00 0 0 0 )( )( )( )( 2 1 1 1 11 1 1 + −= −+ −= − − + − + − NwFNS VVVV =⇒= )( kTwkT NkT w wFwW wF vVeV 00 0 )( )()( )( 21 + −==⇒ −− ])([ 00 0 22 kTwkT NkT ID VeV +−=⇒ − kTkTNkTn V −==−== 2;;;1 010000 ββα kT NkTD VeV − ==⇒ 222 0 0 10 2 0ββ α