Bài giảng môn cơ sở điều khiển tự động

sai lệch cũng không cao. Đối với từng hệ thống riêng biệt phải chọn được giá trị α thích hợp, có thể chọn α nhỏ cho quá trình cho phép dao động lớn. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 11 Chương 4. Đánh giá chất lượng hệ thống 6 3 qd qdt tα< < 2 2 4 0 deI e dt dt α∞ ⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫ 4.5 Tổng kết • + Chỉ tiêu ở trạng thái tĩnh: được đánh giá dựa vào sai lệch dư của điều khiển và được tính theo công thức: • + Chỉ tiêu ở trạng thái quá độ: được đánh giá bằng hai chỉ tiêu cơ bản là thời gian kéo dài của quá trình điều khiển và tính dao động của điều khiển. Các chỉ tiêu này do yêu cầu về chất lượng của quy trình công nghệ đặt ra. Nó được thể hiện qua một số tiêu chí như thời gian điều chỉnh, độ quá điều chỉnh, số lần dao động • + Chỉ tiêu tích phân: Dùng để đánh giá chất lượng của quá trình quá độ. Dựa vào đặc điểm của từng loại quá trình quá độ mà ta có thể dùng các chỉ tiêu tích phân khác nhau như quá trình quá độ có dao động, không có dao động 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 12 Chương 4. Đánh giá chất lượng hệ thống Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ 5.1 Giới thiệu chung • Thiết kế một hệ thống điều khiển tuyến tính có thể được thực hiện trong miền thời gian hoặc trong miền tần số. Ví dụ, khi đầu vào có dạng bậc thang, xung Diract hoặc là đường parabol và cần xác định độ chính xác thì ta tiến hành phân tích hệ thống trong miền thời gian. Khi xét các chỉ tiêu như độ quá điều chỉnh cực đại, thời gian đáp ứng, thời gian quá độ thì việc phân tích hệ trong miền thời gian đem lại hiệu quả rõ rệt. Trong miền tần số, ta thường xét đồ thị Bode, toạ độ các điểm cực, đồ thi biên độ - pha và biểu đồ Nichols. Đối với hệ bậc hai, ta có thể dễ dàng xác định mối quan hệ giữa các đặc điểm trong miền thời gian và trong miền tần số nhưng với các hệ thống có bậc cao hơn, việc này rất khó thực hiện. • Hầu hết các phương pháp thiết kế một hệ thống điều khiển thông thường đều có cấu hình “cứng”. Nhiệm vụ ở đây là phải chọn bộ điều khiển có cấu trúc như thế nào? Bộ điều khiển là cơ cấu có cấu trúc nhất định và thông số có thể thay đổi trong phạm vi nhất định. Khác với bộ điều khiển, khâu điều khiển được lắp ráp với thông số cố định, sau đó tính toán đối với một đối tượng cụ thể. Chức năng của bộ điều khiển và khâu điều khiển là như nhau. Có thể mắc cả khâu điều khiển và bộ điều khiển trong cùng một hệ thống để nâng cao chất lượng. 12/31/2009 1Vũ Anh Đào - PTIT • Theo chức năng, bộ điều khiển được phân thành các loại là bộ điều khiển tỉ lệ (P - Proportional), bộ điều khiển tích phân (I – Integration), bộ điều khiển tỉ lệ - tích phân (PI), bộ điều khiển tỉ lệ - vi phân (PD - Proportional Derivative) và bộ điều khiển tỉ lệ vi tích phân (PID). • Vị trí của bộ điều khiển trong một hệ thống điều khiển tương đối linh hoạt. Hình 5.1 biểu diễn một số cấu hình hệ thống thường được sử dụng 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 2 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ Hình 5.1. Cấu hình hệ thống điều khiển tự động C O u ye x a. C O u y e x b. C A B u y e x c. C2 O u y e x C1 d. C2 O y e xC1 u e. C2 O y e x C1 u f. • Hệ thống trên hình 5.1 a, b, c chỉ yêu cầu một bộ điều khiển, thậm chí nó dùng được cho hệ thống có nhiều hơn một tham số thay đổi. Nhược điểm của các hệ thống này là nó giới hạn các chỉ tiêu kỹ thuật yêu cầu. • Bộ điều khiển thường sử dụng trong các hình 5.1 d, e, f là PID vì nó xử lý tín hiệu vào theo ba thành phần là tỉ lệ, vi phân và tích phân. Do các tín hiệu này rất dễ nhận ra và phân biệt trong miền thời gian nên bộ điều khiển PID được sử dụng để phân tích hệ thống trong miền thời gian. • Sau khi đã chọn được cấu hình cho bộ điều khiển, người điều khiển lại phải chọn cách điều khiển cho phù hợp với đối tượng nhằm thoả mãn các chỉ tiêu kỹ thuật đã đặt ra. • Tiếp theo là chọn thông số cho bộ điều khiển. Các thông số này thường là một hoặc nhiều thông số của hàm truyền đạt của bộ điều khiển. Cách thông thường là sử dụng công cụ phân tích đã giới thiệu ở các chương trước để xác định sự ảnh hưởng của từng tham số riêng rẽ lên hệ thống. Dựa vào thông tin này mà các tham số được chọn nhằm thoả mãn các yêu cầu đặt ra • Khithiết kế phải vạch ra được các điểm chính hay tìm được luật thiết kế. Trong miền thời gian thì sử dụng phương pháp biến đổi Laplace (mặt phẳng p) còn trong miền tần số thì sử dụng đồ thị biên độ - pha. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 3 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ 5.2 Các phương pháp nâng cao chất lượng hệ thống • Khi đã xác định được tham số tối ưu của thiết bị điều khiển mà vẫn không đáp ứng được chất lượng của quá trình điều khiển thì ta phải tìm các biện pháp khác để nâng cao chất lượng, đó là thay đổi cấu trúc của hệ thống điều khiển tự động. 5.2.1 Phương pháp bù tác động nhiễu • Trong hệ thống điều khiển tự động thường có nhiễu tác động làm ảnh hưởng chất lượng của quá trình điều khiển. Nếu các nhiễu này đo được thì có thể sử dụng nguyên lý bất biến bù tác động nhiễu để nâng cao chất lượng điều khiển của hệ thống. Nếu có một nhiễu nào đó tác động lên hệ thống nhưng cả tín hiệu ra và sai lệch đều không đổi thì hệ thống bất biến với tác động của nhiễu đó. Như vậy, nếu chúng ta xây dựng được hệ thống bất biến với nhiễu tác động thường xuyên thì chất lượng của quá trình điều khiển được nâng cao rất nhiều. Nhiễu của hệ thống được chia ra làm hai loại là nhiễu phụ tải và nhiễu đặt trước. 5.2.1.1 Bù nhiễu phụ tải • Hệ thống điều khiển tự động chịu tác động của nhiễu phụ tải z(t). Yêu cầu đặt ra là phải xây dựng lại hệ thống sao cho nó bất biến với tác động đó. Muốn vậy, trong hệ thống phải ghép thêm phần tử bù với hàm truyền đạt Wb(p) như hình 5.2. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 4 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ • Để y(t) bất biến với nhiễu z(t), nghĩa là khi có z(t) tác động thì y(t) vẫn cố định thì cấu trúc của hệ thống phải thỏa mãn điều kiện: • Vậy, hàm truyền đạt của phần tử bù phải được xây dựng theo công thức: 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 5 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3. . 0bW p W p W p W p+ = ( ) ( )( ) ( ) 3 1 2. b W p W p W p W p = − ( )bW p ( ) ( ) 3 2 W p W p ( )1W p ( )Z p ( )Y p( )E p ( )U p Đối tượng Hình 5.2 Xây dựng hệ thống bất biến với nhiễu phụ tải • Khi khối bù có hàm truyền đạt như trên thì y(t) sẽ hoàn toàn cố định khi có tác động z(t). Ta nói y(t) bất biến tuyệt đối so với tác động z(t). 5.2.1.2 Bù nhiễu đặt trước • Trong hệ thống điều khiển chương trình, tín hiệu vào thường thay đổi liên tục. Việc xây dựng hệ thống điều khiển chương trình có độ chính xác cao là rất cần thiết. Nếu chỉ sử dụng các hệ thống điều khiển thông thường thì luôn tồn tại sai lệch dư (xem chương 4). Có thể làm cho hệ thống điều khiển có độ chính xác cao hơn bằng cách sử dụng nguyên lý bất biến theo tác động của tín hiệu vào( hình 5.3). • Điều kiện bất biến ở đây là giá trị ra y(t) của hệ thống phải luôn luôn bằng giá trị đặt u(t), tức giá trị sai lệch e(t)=0 khi u(t) thay đổi. Để điều kiện này xảy ra thì cấu trúc của hệ thống phải đảm bảo được đẳng thức: 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 6 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ Hình 5.3 Sơ đồ hệ thống điều khiển bù nhiễu đặt trước ( )bW p ( )1W p ( )Y p( )E p ( )U p ( )2W p • Như vậy, hàm truyền đạt của khối bù phải được xây dựng theo công thức: ( ) ( )2. 1bW p W p = ( ) ( )2 1 bW p W p = • Khi cấu trúc của khối bù được xây dựng hoàn toàn chính xác theo công thức trên thì sẽ luôn đảm bảo y(t)=u(t) và ta có thể nói hệ thống bất biến với nhiễu đặt trước. • Trong thực tế, W2(p) là hàm truyền đạt của đối tượng điều khiển có cấu trúc phức tạp nên việc xây dựng hàm truyền đạt của khối bù theo công thức trên không thể thực hiện được, có nghĩa là không thể tạo được bất biến tuyệt đối mà chỉ có thể xây dựng hệ thống bất biến tương đối. Có thể sử dụng phép bù tĩnh là phép bù đơn giản nhất. Trong phép bù tĩnh, hàm truyền đạt của khối bù chỉ là khâu khuếch đại có hệ số khuếch đại bằng giá trị nghịch đảo hệ số truyền của đối tượng. 5.2.2 Phương pháp xây dựng hệ thống điều khiển tầng • Sự chậm trễ và quán tính trong việc truyền tín hiệu theo kênh điều khiển của đối tượng là những nguyên nhân cơ bản làm cản trở tốc độ tác động của thiết bị điều khiển và vì vậy, làm giảm độ chính xác của điều khiển. Trong trường hợp này, nhiều hệ thống điều khiển có cấu trúc mạch vòng không đáp ứng được yêu cầu về chất lượng của quá trình điều khiển ngay cả khi sử dụng các quy luật điều khiển phức tạp với tham số tối ưu của nó. Để nâng cao chất lượng của các hệ thống điều khiển đó, tốt nhất là sử dụng hệ thống điều khiển tầng có sơ đồ cấu trúc được mô tả như trong hình 5.4. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 7 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ • Hệ thống có hai thiết bị điều khiển. Đại lượng cần điều khiển ở đây là y(t), tín hiệu vào là u(t), thiết bị điều khiển có hàm truyền đạt Wm1(p) và đối tượng có hàm truyền đạt W1(p). Do tính chất trễ và quán tính trong việc truyền tín hiệu điều khiển theo kênh nên chất lượng của hệ thống không đáp ứng được yêu cầu. Chất lượng của hệ thống điều khiển sẽ được nâng cao nếu chúng ta xây dựng thêm một mạch điều khiển phụ tự ổn định và một tham số trung gian của đối tượng điều khiển y1(t), có hàm truyền đạt là W2(p). Để ổn định đại lượng trung gian này, thiết bị điều khiển Wm2(p) được sử dụng. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 8 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ Hình 5.4 Hệ thống điều khiển tầng ( )1mW p ( )1W p ( )Y p ( )E p ( )U p ( )2mW p ( )2W p ( )Z p ( )1Y p ( )1X p • Điều cơ bản ở đây là tín hiệu truyền qua đối tượng theo kênh W2(p) phải nhanh hơn kênh W1(p). Thiết bị điều khiển Wm1(p) không tác động trực tiếp lên đối tượng điều khiển mà tín hiệu ra của nó là tín hiệu chủ đạo cho thiết bị điều khiển Wm2(p). • Trong khi tổng hợp hệ thống phải đảm bảo quá trình quá độ của mạch vòng trong (Wm2(p)-W2(p)) phải xảy ra nhanh hơn rất nhiều so với mạch vòng ngoài (mạch vòng chính với thiết bị điều khiển Wm1(p)). Như vây, khi có nhiễu z(t) tác động thì máy điều khiển Wm2(p) sẽ nhanh chóng tác động theo tín hiệu trung gian y1(t) để khử ảnh hưởng của nhiễu này lên mạch vòng chính. Rõ ràng, chất lượng của quá trình điều khiển được nâng cao rất nhiều. • Đối tượng điều khiển của thiết bị điều khiển Wm2(p) là W2(p), còn đối tượng điều khiển của thiết bị điều khiển Wm1(p). phải được xác định theo công thức: 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 9 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 1 2 2 . 1 . m d m W p W p W p W p W p = + 5.3 Bộ điều khiển 5.3.1 Bộ điều khiển tỉ lệ (P) • Trong các ví dụ về hệ thống điều khiển, bộ điều khiển thường là một bộ khuếch đại đơn giản với hệ số khuếch đại là hằng số K. Đây được gọi là bộ điều khiển tỉ lệ vì mối quan hệ giữa tín hiệu vào và ra tuân theo quy luật tỉ lệ. • Tín hiệu điều khiển trong quy luật tỉ lệ được hình thành theo công thức: x=KP.e • Trong đó KP là hệ số khuếch đại của quy luật. • Đặc điểm: – Tín hiệu ra luôn trùng pha với tín hiệu vào. – Tồn tại sai lệch tĩnh khi sử dụng cho các đối tượng tĩnh. • Trong công nghiệp, quy luật tỉ lệ thường được dùng cho những hệ thống cho phép tồn tại sai lệch tĩnh. Để giảm sai lệch tĩnh, quy luật tỉ lệ thường được hình thành theo biểu thức. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 10 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ x =x0 + KP.e • Trong đó x0 là điểm làm việc của hệ thống. Tác động điều khiển luôn giữ cho tín hiệu điều khiển thay đổi xung quanh giá trị này khi xuất hiện sai lệch. Hình 5.5 mô tả quá trình điều khiển với các hệ số KP khác nhau 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 11 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ 1K 2K 3K 1 2 3K K K> > t e 0 Hình 5.5 Quá trình điều khiển với các hệ số pK khác nhau 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 12 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ 5.3.2 Bộ điều khiển tích phân (I) • Trong quy luật tích phân, tín hiệu điều khiển được xác định theo biểu thức: trong đó Ti=1/Ki được gọi là hằng số thời gian tích phân • Giá trị điều khiển x chỉ đạt được giá trị xác lập khi e = 0. Như vậy ưu điểm của quy luật tích phân là triệt tiêu sai lệch tĩnh. • Hàm truyền đạt tần số của khâu tích phân: • Vậy, tín hiệu ra luôn chậm pha so với tín hiệu vào một góc π/2Æ độ tác động chậm Æ hệ kém ổn định Æ ít được sử dụng ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1. . Li i i i X p x K e dt e dt X p E p W p T T p E p T p = = ⎯⎯→ = ⎯⎯→ = =∫ ∫ ( ) 1 1 Re 0; Im 1 i i i W j j T j T T ω ωω ω= = − ⎯⎯→ = = − ( ) ( )Im Re 2 arctg arctg πϕ ω⎯⎯→ = = −∞ = − 5.3.3 Bộ điều khiển tỉ lệ - vi phân (PD) • Tác động điều khiển của quy luật PD được hình thành theo công thức: • Trong đó KP là hệ số khuếch đại và TD=KD/KP là hằng số thời gian vi phân. • Hàm truyền tần số của quy luật PD: • Khi ω thay đổi từ 0 đến ∞ thì ϕ thay đổi từ 0 đến π/2,Æ tốc độ tác động của PD nhanh hơn P. PD cải thiện quá trình quá độ, giảm độ quá điều chỉnh cực đại. Do có thành phần vi phân nên hệ thống phản ứng với các nhiễu cao tần có biên độ nhỏ, PD cũng không làm giảm sai lệch dư Æ PD chỉ sử dụng khi cần tốc độ tác động nhanh như điều khiển tay máy 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 13 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ ( ) ( )( ) ( ). . . . 1 .P D P D P D P D X pde dex K e K K e T W p K K p K T p dt dt E p ⎛ ⎞= + = + ⎯⎯→ = = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . Re ; Im . . Imarctg arctg . Re P D P P D D W j K jT K K T T ω ω ω ϕ ω ω = + ⎯⎯→ = = ⎯⎯→ = = 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 14 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ Hình 5.7 Dạng sóng của ( ) ( ),y t e t và de dt ( )y t t 0 1 ( )e t t 0 1 de dt t 0 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 15 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ 5.3.4 Bộ điều khiển tỉ lệ - tích phân (PI) • PD cải thiện quá trình quá độ và thời gian lên của hệ thống, tăng băng thông và tần số cộng hưởng. Tuy nhiên, nó không thể triệt tiêu sai số xác lập, nhất là với các hệ thống có nhiễu. Do vậy, rất nhiều trường hợp không thể sử dụng bộ điều khiển PD. • Tác động điều khiển của quy luật PI được hình thành theo công thức: • Trong đó KP là hệ số khuếch đại và TI=KP/KI là hằng số thời gian tích phân. • Hàm truyền tần số của quy luật PI: • Khi ω thay đổi từ 0 đến ∞ thì ϕ thay đổi từ -π/2 đến 0. ( ) ( )( ) 1 1. . . 1 . I P I P P P I I X p Kx K e K e dt K e e dt W p K K T E p p T p ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + ⎯⎯→ = = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ( ) ( ) 11 Re ; Im . . Im 1arctg arctg Re . P P P I I I KW j K j K T T T ω ω ω ϕ ω ω ⎛ ⎞= − ⎯⎯→ = = −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎯⎯→ = = − ⎜ ⎟⎝ ⎠ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 16 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ • Phương pháp khả thi khi thiết kế bộ điều khiển PI đó là chọn điểm không ở vị trí p=-KI/KP, vì nó rất gần với gốc toạ độ và xa các điểm cực của quá trình, các giá trị của Kp và Kp phải tương đối nhỏ. t e 0 1 2 3 5 4 Hình 5.10 Các quá trình quá độ điều khiển của quy luật PI 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 17 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ 5.3.5 Bộ điều khiển tỉ lệ -vi phân - tích phân (PID) • PID được tạo thành từ việc mắc song song hai bộ điều khiển PI và PD: • + Nếu chỉ sử dụng bộ điều khiển PD: chọn hệ số khuếch đại sao cho đạt được độ ổn định theo yêu cầu. Trong miền thời gian, độ ổn định có thể được đo bằng độ quá điều chỉnh cực đại và trong miền tần số là độ dự trữ pha. • + Lựa chọn tham số của hai thành phần tỉ lệ trong hai bộ điều khiển để thoả mãn các yêu cầu đã đặt ra trên cơ sở tính ổn định của hệ thống • Tác động điều khiển của quy luật PI được hình thành theo công thức: • Trong đó KP là hệ số khuếch đại và TI=KP/KI là hằng số thời gian tích phân, TD=KD/KP là hằng số thời gian vi phân ( ) 1. . . . . 1. 1 . . P I D P D I I P D P D I de dex K e K e dt K K e e dt T dt T dt KW p K K p K T p p T p ⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎯⎯→ = + + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 18 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ • Hàm truyền tần số của khâu PID: • Đặc tính pha tần: ( ) 1 11 Re ; ImP D P P D i I W j K j T K K T j T T ω ω ωω ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + ⎯⎯→ = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ( ) 2 . 1Imarctg arctg Re I D I T T T ωϕ ω ω ⎛ ⎞−= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 5.4 Tính điều khiển được và quan sát được 5.4.1 Tính điều khiển được • Điều khiển được nếu có một vector điều khiển để với một tác động đầu vào, hệ thống chuyển từ trạng thái này đến trạng thái khác trong một khoảng thời gian hữu hạn . • Hình 5.11, tín hiệu u(t) không có ảnh hưởng gì đến biến trạng thái x1 nên hệ này không điều khiển được hoàn toàn 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 19 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ Hình 5.11 Hệ thống không điều khiển được hoàn toàn u 2x 2x 1x 1x y 1p−1p− 1 1 • Định lý 5.1. (định lý bất biến về tính quan sát được của hệ thống): Hệ thống tuyến tính được mô tả bởi phương trình trạng thái cấp n: điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi ma trận sau có hạng bằngn: • Ví dụ: Cho hệ thống: Hệ có điều khiển được hoàn toàn không? 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 20 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ ( ) ( ) ( ). .x t A x t B u t= + 2 1. . ... .nP B A B A B A B−⎡ ⎤= ⎣ ⎦ [ ] 0.5 0 1 . . 2 1 0 1 1 . X X U y X ⎧ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨⎪ =⎩  5.4.2 Tính quan sát được • Quan sát được nếu từ các tọa độ đo được ở đầu ra của hệ thống có thể khôi phục được các vector trạng thái x(t) trong một khoảng thời gian hữu hạn. • Hệ thống trong hình 5.13 không quan sát được hoàn toàn vì tín hiệu ra y(t) không có thông tin gì về biến trạng thái x2. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 21 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ Hình 5.13 Hệ thống không quan sát được hoàn toàn u 2x 2x 1x 1x y1 1p− 1p− • Định lý 5.2. (Đây là định lý bất biến về tính quan sát được của hệ thống): Hệ tuyến tính dừng liên tục được mô tả bởi phương trình trạng thái: • được gọi là quan sát được hoàn toàn khi và chỉ khi ma trận sau có hạng bằng n: • Ví dụ: Cho hệ thống: • Xét tính quan sát được của hệ thống? 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 22 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ ( ) ( ) ( ). .x t A x t B u t= + ( ) ( )2 1' '. ' ' . ' ... ' . 'nL C A C A C A C−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 0 1 0 0 0.5 0.2 0.3 . 0 . 30 65 5 30 1 0 0 . X X U y X ⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − +⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎪ =⎩  5.5 Tổng kết • Có những hệ thống không thể thỏa mãn được các yêu cầu kỹ thuật đặt ra dù các tham số của bộ điều khiển đã được chọn tối ưu. Trong trường hợp đó, ta phải thay đổi cấu trúc của nó theo các phương pháp khác nhau như phương pháp bù tác động nhiễu (nếu biết được nhiễu tác động vào hệ thống là nhiễu phụ tải hoặc nhiễu đặt trước), phương pháp xây dựng hệ thống điều khiển tầng, phương pháp phân ly • Theo chức năng, các bộ điều khiển được phân ra thành bộ điều khiển tỉ lệ, bộ điều khiển tích phân, bộ điều khiển tỉ lệ - tích phân, bộ điều khiển tỉ lệ - vi phân và bộ điều khiển tỉ lệ vi tích phân. Bộ điều khiển P làm giảm sai lệch nhưng không thể triệt tiêu vì hệ số khuếch đại không thể quá lớn. Bộ điều khiển I có thể triệt tiêu sai lệch tĩnh nhưng có độ tác động chậm. Bộ điều khiển PI có thể thay đổi được tốc độ giảm sai lệch Bộ điều chỉnh PD cải thiện được chất lượng động nhưng không triệt tiêu được sai lệch tĩnh còn bộ điều khiển PID kết hợp được các đặc điểm của cả ba thành phần PID là hệ thống có thể làm việc ổn định với mọi đối tượng, triệt tiêu được sai lệch tĩnh của hệ thống và bộ điều khiển có tác động nhanh. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 23 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 1 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc Nội dung 9 6.1 Giới thiệu chung 9 6.2 Mô tả toán học tín hiệu rời rạc 9 6.3 Mô tả toán học hệ thống rời rạc 9 6.4 Hàm truyền đạt trong hệ rời rạc 9 Tổng kết 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 2 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 6.1 Giới thiệu chung • Chuyển tín hiệu liên tục thành gián đoạn gọi là quá trình lấy mẫu. – Theo mức: giá trị tín hiệu ra chia theo những mức phụ thuộc vào giá trị tín hiệu vào. – Theo thời gian: thực hiện sau những khoảng thời gian bằng nhau gọi là chu kỳ lấy mẫu T. Phần tử thực hiện điều này là phần tử xung – Hỗn hợp: chia giá trị tín hiệu ra những mức đều nhau. Chu kỳ lấy mẫu là cố định, giá trị tín hiệu ra bằng giá trị mức lấy mẫu gần với giá trị tín hiệu vào tại thời điểm lấy mẫu nhất. • Hệ gián đoạn sử dụng phần tử xung gọi là hệ xung. Quá trình hình thành xung ở đầu ra của phần tử xung phụ thuộc vào biên độ của tín hiệu tại thời điểm lấy mẫu, và được gọi là quá trình điều chế xung. Có bốn phương pháp điều chế xung là theo biên độ, theo độ rộng, theo pha và theo tần số. Hệ xung sử dụng phương pháp điều chế theo biên độ hoặc độ rộng xung. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 3 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 5 4 3 2 1 (a) 0 T 2T 3T 4T 5T (b) Một số phương pháp lấy mẫu (a). Lấy mẫu theo mức (b). Lấy mẫu theo thời gian (c). Lấy mẫu hỗn hợp 5 4 3 2 1 (c) 0 T 2T 3T 4T 5T 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 4 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 6.1.1 Sơ đồ khối hệ thống 6.1.2 Bộ lưu giữ bậc 0 (ZOH – Zero Order Hold) • Trong khoảng thời gian T, giá trị hàm rời rạc được giữ không đổi. • Hàm truyền đạt của khâu ZOH: ( ) ( )-1 1- pTLGW p ep= ( )FHW p ( )u t ( )e t ( )e iT ( )1u t ( )y t ( )f t T ( )LTW p ZOH 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 5 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 6.2 Mô tả toán học tín hiệu rời rạc 6.2.1 Biến đổi Z Định nghĩa – Cho x(k) là chuỗi tín hiệu rời rạc, biến đổi Z của x(k): Trong đó: ¾ Z=eTp với p là biến Laplace ¾ X(z) là biến đổi z của chuỗi x(k) − Nếu x(k)=0, ∀k<0: ( ) ( ){ } ( ) k k X z Z x k x k z ∞ − =−∞ = = ∑ ( ) ( ){ } ( ) 0 k k X z Z x k x k z ∞ − = = =∑ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 6 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Miền hội tụ ROC (Region Of Convergence): Là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn • Giả xử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu x(t) với chu kỳ T ta được chuỗi rời rạc x(k)=x(kT). • Biểu thức lấy mẫu tín hiệu x(t): • Biểu thức biến đổi Z của chuỗi x(k)=x(kT): • Do z=epT nên vế phải của hai biểu thức lấy mẫu và biến đổi z là như nhau. Vậy bản chất của việc biến đổi z một tín hiệu là rời rạc hoá tín hiệu đó. ( ) ( )* 0 kTp k X p x kT e ∞ − = =∑ ( ) ( ) 0 k k X z x k z ∞ − = = ∑ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 7 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc Tính chất của biến đổi Z: • Cho x(k), y(k) là hai chuỗi tín hiệu rời rạc có biến đổi Z là X(z), Y(z): 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 8 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc Biến đổi Z của các hàm cơ bản • Hàm δ(t): • Hàm 1(t): 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 9 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 10 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 6.2.2 Sai phân • Nếu dãy xung x(nT) có độ rộng vô cùng nhỏ, có thể xem đó là xung tức thời (hàm rời rạc x(i)). • Với hàm rời rạc x(i), không có phép tính đạo hàm, tích phân, vi phân nhưng có phép tính tương tự là sai phân và tổng. 6.3 Mô tả toán học hệ rời rạc 6.3.1 Mô tả toán học bằng phương trình sai phân và hàm truyền đạt Trong đó n>m, n là bậc của hệ thống. Biến đổi Z hai vế phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 1 1 ... 1 1 ... 1 n n m m a y i n a y i n a y i a y i b u i m b u i m b u i b u i − − + + + − + + + + = + + + − + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 0 1 1 ... ... n n n n m m m m a Z Y Z a Z Y Z a ZY Z a Y Z b Z U Z b Z U Z b ZU Z b U Z − − − − + + + + = + + + + 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 11 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Hàm truyền đạt: Hoặc • Ví dụ:Tìm hàm truyền đạt của hệ có phương trình sai phân: • Giải: Biến đổi Z cả hai vế của phương trình, ta được: • Hàm truyền đạt của hệ là: ( ) ( )( ) 1 0 1 1 1 0 1 1 ... ... m m m m n n n n Y z b Z b Z b Z bW Z U z a Z a Z a Z a − − − − + + + += = + + + + ( ) ( )( ) ( ) ( )1 10 1 1 1 1 0 1 1 ... ... n m m m m m n n n n z b b Z b Z b ZY z W Z U z a a Z a Z a Z − − − − + − − − − + − − + + + += = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 3 1 2 3 3 2 1 2y i y i y i y i u i u i u i+ − + + + − = + − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 35 3 2 3 2 2Z Y z Z Y z ZY z Y z Z U z ZU z U z− + − = − + ( ) ( )( ) 3 4 3 3 2 2 5 3 2 Y z Z ZW z U z Z Z Z − += = − + − 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 12 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Cấu hình thường gặp của các hệ điều khiển rời rạc: • Hàm truyền đạt của hệ kín: Trong đó: ( )FHW p ( )u t ( )e t ( )e iT ( )1u t ( )y t ( )f t T ( )LTW p ZOH WC(p) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 . C LT k C Y z W z W z W z U z W z W z = = + ( ) ( ) ( )11 LTLT W pW z z Z p− ⎧ ⎫= − ⎨ ⎬⎩ ⎭ ( ) ( ) ( ) ( )1 .1 LT PHW p W pW z z Z p − ⎧ ⎫= − ⎨ ⎬⎩ ⎭ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 13 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Ví dụ: Tìm hàm truyền đạt của hệ thống: • Hàm truyền đạt hệ hở • Hàm truyền đạt hệ kín: U(p) Y(p) WLT(p) ( ) 3 2LT W p p = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 3 0.9491 1 2 0.368LTLT W pW z z Z z Zp p p z− − ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪= − = − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ −⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ( ) ( )( ) 0.948 1 0.580 LT k LT W z W z W z z = =+ + 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 14 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Ví dụ: Tìm hàm truyền đạt của hệ thống: ZOH ( )LTW p ( )U p ( )Y p T=0.5 ( )FHW f ( ) ( ) 3 3 1 1 p LT FH eW p p W p p − = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 31 1 3 0.777 0.223 p LT LT W p eW z z Z z Z p p p z z − − − ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪= − = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ = − 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 15 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Hàm truyền đạt hệ kín: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 0.777 0.607 1 0.83 0.135 0.202 0.104 LT k Y z W z z W z U z W z z z z z −= = =+ − + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2. 0.202 0.1041 0.223 0.607LT PHW p W p zW z z Z p z z z− ⎧ ⎫ +⎯⎯→ = − =⎨ ⎬ − −⎩ ⎭ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )1 1 2 3 0.5 1 0.5 . 1 3 1 1 LT PHW p W p z Az BW z z Z z z p z z e z e − − − − × − × +⎧ ⎫= − = −⎨ ⎬ − − −⎩ ⎭( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0.5 0.5 3 0.5 0.5 0.5 3 0.5 1 3 1 0.0673 3 1 3 3 1 1 0.0346 3 1 3 e e A e e e e B − × − × − − − × − − −= =− − − −= =− 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 16 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Ví dụ: Tìm hàm truyền đạt của hệ thống: • Trong đó: Bộ điều khiển có mối quan hệ vào – ra theo phương trình: ZOH ( )LTW p ( )U p ( )Y p T=0.5 ( )FHW f ( )CW z e(i) u(i) ( ) ( ) ( )10 2 1u i e i e i= − − ( ) ( )0.225 , 0.1 p LT FH eW p W p p − = = 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 17 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Hàm truyền đạt của bộ điều khiển • Hàm truyền đạt hệ kín: ( ) ( )( ) 110 2C U z W z z E z −= = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0.2 1 1 23 0.1 151 1 1 p LT LT W p zeW z z Z z Z p p z z − − − +⎧ ⎫ ⎧ ⎫= − = − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ −⎩ ⎭⎩ ⎭ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0.2 1 1 23 . 0.01 15 0.11 1 1 p LT PHW p W p zeW z z Z z Z p p z z − − − +⎧ ⎫ ⎧ ⎫×= − = − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ −⎩ ⎭⎩ ⎭ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3 2 . 0.8 0.2 1 . 2 1.1 0.08 0.02 C LT k C Y z W z W z z zW z U z W z W z z z z z + −= = =+ − + + − 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 18 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Là phương trình sai phân bậc 1 dạng: • Trong đó: dB Trễ dC dA dD + + + ( )y i ( )u i ( )x i ( )1x i + Hình 6.6 Sơ đồ cấu trúc trạng thái của hệ rời rạc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 d d d d x i A x i B u i y i C x i D u i + = +⎧⎪⎨ = +⎪⎩ 6.3.2 Mô tả trong không gian trạng thái 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 19 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 6.4 Thành lập hệ PTTT từ PTSP 6.4.1 Vế phải PTSP không chứa sai phân TH vào • Cách 1: Đặt biến trạng thái theo quy tắc: – Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra – Biến thứ i (i=2..l) bằng sớm biến thứ i-1 một chu kỳ lấy mẫu ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 11 ... 1n na y i n a y i n a y i a y i ku i−+ + + − + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 1 1 1 2 2 1 1 1 1 ... 1 1 ... n n n n n n n x i y i x i x i x i x i x i x i x i A x i A x i A x i A x i Ku i − − − =⎧⎪ + =⎪⎪ + =⎪⎨⎪⎪ + =⎪⎪ + = − − − − − +⎩ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ... 1n n y i n A y i n A y i A y i Ku i− + + + − + + + + = 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 20 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Hệ PTTT: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 0 1 ... 0 01 0 0 0 ... 0 01 0 ... 0 0 ... 0 11 0 ...1 1 0 ... 0 0 n n n nn n n n x i x i x i x i u i x i x i A A A Ax i x i K x i x i y i x i x i − − − − ⎧ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= × +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −+ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= × ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ # # # # # # # ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 21 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Cách 2: đặt • Hệ PTTT: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 1 1 ... 1n n x i y i x i x i A x i x i x i A x i x i Ku i A x i =⎧⎪ + = −⎪⎪ + = −⎨⎪⎪⎪ + = −⎩ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 22 2 11 1 1 2 1 1 ... 0 01 0 0 ... 0 01 0 ... 0 ... 0 11 0 0 ... 0 01 1 0 ... 0 0 nn n nn n n n Ax i x i Ax i x i u i Ax i x i Ax i x i K x i x i y i x i x i −− − − ⎧ −+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= × +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−+ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= × ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ # # # # # # # ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 22 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc Ví dụ: Cho hệ thống được biểu diễn bằng PTSP: Biểu diễn hệ dưới dạng hệ PTTT? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 3 3 5 2 1 2 5y i y i y y y i y i u i+ − + − + − + + = K 1z− 1A2A 1z− 1z− 1z− ( )u i 1nA − nA ( )nx i ( )1nx i + ( )1 1nx i− + ( ) ( )1x i y i= ( )1 1x i + ( )2 1x i + ( )2x i 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 23 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Giải: Chia cả hai vế của phương trình cho 4 ta có: • Đặt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 0.75 3 1.25 2 0.25 1 0.5 1.25y i y i y i y i y i u i+ − + − + − + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 4 4 4 3 2 1 1 1 1 1 0.75 1.25 0.25 0.5 1.25 x i y i x i x i x i x i x i x i x i x i x i x i x i u i =⎧⎪ + =⎪⎪ + =⎨⎪ + =⎪⎪ + = + + − +⎩ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 24 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Hệ phương trình trạng thái biểu diễn hệ thống ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0.5 0.25 1.25 0.75 1.25 1 0 0 0 x i x i x i x i u i x i x i x i x i x i x i y i x i x i ⎧ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= × +⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ = × ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 25 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 6.4.2 Vế phải PTSP chứa sai phân tín hiệu vào: • Đặt biến theo quy tắc: – Biến đầu tiên bằng tín hiệu ra – Biến thức i (i=2..n) đặt bằng cách làm sớm biến thứ i-1 một chu kỳ lấy mẫu và trừ một lượng tỉ lệ với tín hiệu vào: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 1 1 ... 1 1 1 n n m m a y i n a y i n a y i a y i b u i m bu i m b u i b u i − − + + + − + + + + = + + + − + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 ... 1 1 1 n n m m y i n A y i n A y i A y i B u i m B u i m B u i B u i − − + + + − + + + + = + + + − + + + + 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 26 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 0 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 n n n m n n m x i y i x i x i A x i B u i x i x i A x i B u i x i x i A x i B u i x i A x i B u i − − − =⎧⎪ + = − +⎪⎪ + = − +⎪⎨⎪⎪ + = − +⎪⎪ + = − +⎩ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 1 01 1 2 12 2 1 11 1 1 ... 0 01 0 ... 0 01 0 ... 0 11 0 ... 0 01 1 0 ... 0 0 n mn n n mn n A Bx i x i A Bx i x i u i A Bx i x i A Bx i x i y i x i − −− − ⎧ −+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−+⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= × +⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ −+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ −+ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ = ×⎪⎩ # # # # # ## # Hệ PTTT: 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 27 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Ví dụ: Cho hệ thống được biểu diễn bằng PTSP: Biểu diễn hệ dưới dạng hệ PTTT? mB 1z− 1A 2A 1z− 1z− 1z− ( )u i 1mB − 0B 1B 1nA − nA ( ) ( )1x i y i= ( )1 1x i + ( )2 1x i + ( )2x i ( )1 1nx i− +( )1nx i + ( )nx i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 3 3 5 2 1 2 3 2 2 1 5y i y i y y y i y i u i u i u i+ − + − + − + + = + − + + 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 28 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Giải: Chia cả hai vế của phương trình cho 4 ta có: • Đặt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 0.75 3 1.25 2 0.25 1 0.5 0.75 2 0.5 1 1.25 y i y i y i y i y i u i u i u i + − + − + − + + = + − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 1 1 0.75 1 1.25 0.75 1 0.25 0.5 1 0.5 1.25 x i y i x i x i x i x i x i x i u i x i x i x i u i x i x i u i =⎧⎪ + = +⎪⎪ + = + +⎨⎪ + = + −⎪⎪ + = − +⎩ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 29 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Hệ phương trình trạng thái biểu diễn hệ thống: • BT: Chuyển hệ sau sang dạng hệ PTTT và vẽ mô hình hệ thống? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 1 0.75 1 0 0 0 1 1.25 0 1 0 0.75 1 0.25 0 0 1 0.5 1 0.5 0.25 1.25 0.75 1.25 1 0 0 0 x i x i x i x i u i x i x i x i x i x i x i y i x i x i ⎧ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= × +⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ = × ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 5 2 1 2 4 1 5y i y i y i y i u i u i+ − + + + + = + − 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 30 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 6.5 Chuyển từ hệ liên tục sang hệ rời rạc: • Phương pháp 1: Dùng biến đổi Laplace: Trong đó với I là ma trận đơn vị ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 d d d d x t Ax t Bu t x i A x i B u i y t Cx t Du t y i C x i D u i = + + = +⎧ ⎧⎪ ⎪⎯⎯→⎨ ⎨= + = +⎪ ⎪⎩ ⎩  ( ) ( ){ }11t L pI A −−Φ = − ( ) ( ) 0 d T d d d A T B Bd C C D D τ τ = Φ⎧⎪⎪ = Φ⎪⎨⎪ =⎪ =⎪⎩ ∫ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 31 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Phương pháp 2:Tính gần đúng đạo hàm cấp 1: • Phương pháp 3: Phương pháp hình thang d d d d A I TA B TB C C D D = +⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩ 1 1 . 2 2 . . 2 d d d d TA TAA I I TAB I T B C C D D − − ⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − +⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎪⎪ ⎡ ⎤⎨ = −⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎪ =⎪⎪ =⎩ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 32 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Ví dụ: . Cho hệ liên tục: Chuyển sang miền rời rạc với chu kỳ lấy mẫu T=0.5(s) • Phương pháp 1: Tìm ma trận quá độ Φ(t): ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 0 1 0 0 2 1 10 0 x t x t u t y t x t ⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨⎪ =⎩  ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 21 0 2 02 10 2 p p p p p p pI A p pp p p − − ⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎛ − ⎞ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎝ ⎠⎢ ⎥Φ = − = = =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ( ) ( ) ( )211 2 11 1 2 0 t t e t L pI A e −−− − ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤Φ = − =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 33 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Hệ rời rạc tương ứng: ( ) ( ) ( )2 2 0.5 2 2 0.5 1 1 1 0.3161 1 1 1 2 2 0 0.3680 0 T d T e e A T e e − − × − − × ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= Φ = = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( )2 0 0 2 1 0 0.0921 1 2 1 0.3160 T T d e B Bd t d e τ τ τ τ τ − − ⎡ ⎤− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= Φ Φ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ∫ ∫ [ ]10 0dC C= = ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 1 0.316 0.092 1 0 0.368 0.316 10 0 x i x i u i y i x i ⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = +⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨⎪ =⎩ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 34 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Phương pháp 2: – Rời rạc hoá phương trình trạng thái của hệ liên tục – Hệ rời rạc tương ứng: [ ] 1 0 0 1 1 0.5 0.5 0 1 0 2 0 0 0 0 0.5 1 0.5 10 0 d d d A I TA B TB C C ⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + =⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ = = =⎨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎪ = =⎪⎪⎩ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 1 0.5 0 1 0 0 0.5 10 0 x i x i u i y i x i ⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = +⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨⎪ =⎩ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 35 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Phương pháp 2: – Rời rạc hoá phương trình trạng thái của hệ liên tục 1 11 1 0 0 1 1 0.25 1 0.1670.5 0 1 0 2 0 1.5 0 0.6672 2 TAI − −− ⎡ ⎤ ⎡ − ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤− = − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 0 0 1 1 0.250.5 0 1 0 2 0 0.52 2 TAI ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤+ = + =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 1 1 1 0.167 1 0.25 1 0.334 0 0.667 0 0.5 0 0.3342 2d TA TAA I I − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − × + = × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 1 0.167 0 0.084 . . 0.5 0 0.667 1 0.3342d TAB I T B − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= − = × × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ [ ]10 0dC C= = 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 36 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc – Hệ rời rạc tương ứng: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 1 0.334 0.084 1 0 0.334 0.334 10 0 x i x i u i y i x i ⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = +⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨⎪ =⎩ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 1 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc Nội dung 9 7.1 Giới thiệu chung 9 7.2 Tính ổn định của hệ thống rời rạc 9 7.3 Đánh giá chất lượng hệ thống rời rạc 9 7.4 Tổng hợp hệ rời rạc 9 Tổng kết 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 2 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc 7.1 Giới thiệu chung Hệ rời rạc được thiết kế phải thỏa mãn những yêu cầu chất lượng đề ra: • Tính ổn định của hệ thống sẽ quyết định hệ thống đó hữu dụng hay vô dụng. Các tiêu chuẩn xét tính ổn định của hệ thống: – Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz mở rộng – Tiêu chuẩn Jury – Tiêu chuẩn Nyquyst – Tiêu chuẩn nguyên lý góc quay... • Chất lượng hệ rời rạc phụ thuộc vào chất lượng hai quá trình quá độ và xác lập. Quá trình quá độ quan tâm đến độ quá điều chỉnh cực đại, thời gian quá độ Quá trình xác lập đánh giá sự chênh lệch giữa giá trị mong muốn và giá trị đo được ở thời điểm vô cùng - sai số xác lập. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 3 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc 7.2 Tính ổn định 7.2.1 Khái niệm ổn định của hệ thống rời rạc • Cho hệ biểu diễn bằng PTSP: • Nghiệm của PTSP : trong đó là nghiệm tổng quát, đặc trưng cho quá trình quá độ, là nghiệm riêng, đặc trưng cho quá trình xác lập. • Xét tính ổn định của hệ thống bằng cách tìm nghiệm PTSP: • Chuyển 2 vế sang miền Z: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 11 ... 1 ...n ma y i n a y i n a y i b u i m b u i m b u i+ + + − + + = + + + − + + ( ) ( ) ( )0qdy nT y nT y nT= + ( )qdy nT( )0y nT ( ) ( ) ( ) ( )0 1 11 ... 1 0n na y i n a y i n a y i a y i−+ + + − + + + + = 1 0 1 1... 0 n n n na z a z a z a − −+ + + + = 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 4 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc • Ta có: ( ) .j TpT T j T Tz e e e e z eα ω α ω α+= = = ⎯⎯→ = ⎯⎯→ 0, 1 0, 1 0, 1 z z z α α α > > = = < < Mặt phẳng p Mặt phẳng z 0α > : Nửa bên phải mặt phẳng p 1z > : Bên ngoài đường tròn đơn vị 0α = : Trục ảo jω 1z = : Đường tròn đơn vị 0α > : Nửa bên phải mặt phẳng p 1z < : Bên trong đường tròn đơn vị 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 5 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc • Miền ổn định của hệ liên tục là nửa mặt phẳng p • Miền ổn định của hệ rời rạc là vùng nằm trong vòng tròn đơn vị 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 6 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc t t t 5 C 6 (d) t 1 t A t 2 (b) t 3 t B t 4 (c) (a) I IV II III 0 1 A 2 3 B 4 5 C 6 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 7 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc • Cho hệ thống có sơ đồ khối: Phương trình đặc trưng: • Cho hệ có PTTT: Phương trình đặc trưng: ( )FHW p ( )u t ( )e t ( )e iT ( )1u t ( )y t ( )f t T ( )LTW p ZOH WC(p) ( ) ( ) ( ) ( )1 .. 1 0LT PHC W p W pW z z Z p− ⎧ ⎫− =⎨ ⎬⎩ ⎭( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t Ax t Bu t y t Cx t = +⎧⎪⎨ =⎪⎩  ( )det 0dzI A− = 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 8 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc 7.2.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số 7.2.2.1 Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng • Phương trình đặc trưng hệ rời rạc: • Đặt: • Phương trình đặc trưng trở thành: 1 0 1 1... 0 n n n na z a z a z a − −+ + + + = 1 1 vz v += − ω α 1v − 1v + 1v − 1v − 1v + 1v + v v v 1 0 1 1... 0 n n n nA v A v A v A − −+ + + + = 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 9 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc • Miền ổn định: trong vòng tròn đơn vị của mặt phẳng Z • Miền ổn định: nửa trái mặt phẳng V • Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng: biến đổi z Æ v, sau đó áp dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz với biến là v. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 10 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc Ví dụ: Xét tính ổn định của hệ thống sau: Phương trình đặc trưng: Trong đó: ( ) ( ) 3 3 1 1 p LT FH eW p p W p p − = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2. 0.202 0.1041 0.223 0.607LT PHW p W p zW z z Z p z z z− ⎧ ⎫ += − =⎨ ⎬ − −⎩ ⎭ ZOH ( )LTW p ( )U p ( )Y p T=0.5 ( )FHW f ( )1 0W z+ = 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 11 Vậy phương trình đặc trưng: Đổi biến: đặt ta có: Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc ( )( )2 4 3 2 0.202 0.1041 0 0.223 0.607 0.83 0.135 0.202 0.104 0 z z z z z z z z ++ =− − ⎯⎯→ − + + + = 1 1 vz v += − 4 3 2 4 3 2 1 1 1 10.83 0.135 0.202 0.104 0 1 1 1 1 0.611 1.79 6.624 5.378 1.597 0 v v v v v v v v w w w w + + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎯⎯→ + + + + = 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 12 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc • Bảng Routh: • Kết luận: Hệ ổn định vì tất cả các số hạng trong cột đầu tiên của bảng Routh dương 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 13 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc 7.2.2.1 Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng Xét ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng: • Bảng Jury có (2n+1) hàng: – Hàng 1: Các hệ số của PTĐT theo thứ tự chỉ số tăng dần – Hàng chẵn (bất kỳ) gồm các số hạng của hàng lẻ trước đó viết theo thứ tự ngược lại – Hàng lẻ (bất kỳ) ít hơn hàng chẵn trước đó một cột. • Điều kiện ổn định: Tất cả các số hạng thuộc hàng lẻ, cột 1 của bảng Jury dương 1 0 1 1... 0 n n n na z a z a z a − −+ + + + = 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 14 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc • Bảng Jury: Hàng thứ 1 0a 1a 1na − na 2 na 1na − 1a 0a 3 0b 1b 1nb − 4 1nb − 2nb − 0b 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 15 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc • Tính bảng Jury: • Ví dụ: Xét ổn định của hệ rời rạc có PTĐT: 0 0 0 1 n n n a a b a aa = 0 11 10 1 n n a a b a aa −= 0 0 1 n k k n k a a b a aa −= 0 1 0 1 00 1 n n b b c b bb − − = 0 21 1 10 1 n n b b c b bb − − = 0 1 10 1 n k k n k b b c b bb − − − = 3 25 2 3 1 0z z z+ + + = 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 16 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 17 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc 7.2.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số 7.2.3.1 Nguyên lý góc quay • Dựa vào tính chất tần số của đa thức đặc tính để xét tính ổn định. • Giả sử HTĐKTĐ có PTĐT dạng: • Trên mặt phẳng z, mỗi số hạng trong đa thức trên là một vector có chân tại điểm zi và đỉnh nằm trên đường tròn đơn vị: • Hình sau mô tả phân bố của các vector này cho hai trường hợp zi nằm trong đường tròn đơn vị và zi nằm ngoài đường tròn đơn vị. ( ) ( ) ( )10 1 1 0 1 0 n n n n n i i A z a z a z a z a A z a z z− − = = + + + + = ⎯⎯→ = −∏ ( ) ( ) 1 , arg arg n jT j i i z e e T A z z zω π π π π π ω πΩ − ≤Ω≤ − ≤Ω≤= = = − ≤ Ω = ≤ ⎯⎯→ Δ = Δ −∑ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 18 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc • Khi zi nằm trong đường tròn đơn vị: • Khi nằm ngoài đường tròn đơn vị: • Hệ ổn định khi các nghiệm của PTĐT đều nằm trong đường tròn đơn vị. Góc quay của biểu đồ vector đa thức đặc tính là: • Hệ rời rạc có PTĐT bậc n ổn định nếu biểu đồ vector đa thức đặc tính quay một góc nπ quanh gốc tọa độ khi thay đổi từ 0 đến ∞. iz iz A D C B α 1α 2α( )arg 2iz zπ π π− ≤Ω≤Δ − = ( )arg 0iz z π π− ≤Ω≤ Δ − = ( ) ( ) 0 arg 2 argi iz z n z z n π π π π π − ≤Ω≤ ≤Ω≤ Δ − = ⎯⎯→ Δ − = 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 19 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc • Ví dụ: Xét ổn định của hệ có PTĐT: • Giải: Thay vào PTĐT ta có: 0 1 0a z a+ = cos sinjz e jΩ= = Ω+ Ω ( ) ( ) 0 1 0 1 0 0 cos cos sin 0 sin R a a a a ja I a Ω = Ω+⎧⎪Ω+ + Ω = ⎯⎯→⎨ Ω = Ω⎪⎩ 1 2 3 ( )R Ω ( )I Ω a) 1 2 3 ( )R Ω ( )I Ω 4 b) Hình a: ổn định Hình b: không ổn định BGÔD: 1 0a a 1 0a a= 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 20 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc 7.2.3.2 Tiêu chuẩn Nyquist • - Dùng xét ổn định cho cả hệ xung hở và hệ xung kín dựa vào đặc tính tần – biên – pha của hệ thống hở. • Phát biểu: Nếu hệ thống điều khiển xung hở ổn định hoặc ở biên giới ổn định thì hệ thống kín sẽ ổn định nếu đặc tính TBP của hệ hở không bao điểm (-1,j0). • C/m: Giả sử hệ thống xung hở ổn định hoặc ở biên giới ổn định có hàm truyền đạt: • Trong đó R(z) là đa thức bậc n và Q(z) là đa thức bậc <n. • Do hệ hở ổn định nên: ( ) ( )( )h Q z W z R z = ( ) 0 arg R z l π π ≤Ω≤ Δ = 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 21 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc • Hàm truyền đạt của hệ kín: • Theo tiêu chuẩn Mikhailope, hệ kín sẽ ổn định nếu: • Xét: • Khi hệ kín và hệ hở ổn định thì: • Biểu đồ vector J(z) không bao tâm tọa độ. Như vậy, đặc tính TBP của hệ hở không bao điểm (-1,j0), vì biểu đồ vector J(z) chính là đặc tính TBP của hệ hở dịch sang phải 1 đơn vị (đpcm) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 h k h W z Q z W z W z R z Q z = =+ + ( ) ( )( ) 0 arg Q z R z l π π ≤Ω≤ Δ + = ( ) ( ) ( ) ( )( )1 h Q z R z J z W z R z += + = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 00 arg arg + arg 0J z Q z R z R z n n π ππ π π ≤Ω≤ ≤Ω≤≤Ω≤ Δ = Δ − Δ = − =⎡ ⎤⎣ ⎦ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 22 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc 7.3 Đánh giá chất lượng hệ rời rạc 7.3.1 Quá trình quá độ • Đáp ứng hệ rời rạc có thể tính theo 2 cách: – C1: Nếu hệ mô tả bằng hàm truyền đạt thì tính Y(z), sau đó dùng biến đổi Z ngược tìm y(i). – C2: Nếu hệ mô tả bằng hệ PTTT thì tính nghiệm x(i) của PTTT, sau đó tìm y(i). • Cặp cực quyết định của hệ rời rạc là cặp cực nằm gần vòng tròn đơn vị nhất • Cách 1: đánh giá chất lượng quá độ dựa vào đáp ứng thời gian y(i) của hệ rời rạc – Độ quá điều chỉnh: Trong đó ymax và y∞ là giá trị cực đại và giá trị xác lập của y(i). max% 100y y y σ ∞ ∞ −= 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 23 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc – Thời gian quá độ: Trong đó phải thoả mãn điều kiện: • Cách 2: Đánh giá chất lượng quá độ dựa vào cặp cực quyết định – Cặp cực quyết định: .qd qdt k T= qdk ( ) . , 100 qd yy i y k kε ∞∞− ≤ ∀ ≥ ( )1 1 , 100 100 qd y y i y k kε ε∞ ∞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ≤ ≤ + ∀ ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ * 1,2 jz re ϕ= ( ) ( ) 2 2 2 2 ln ln 1 ln r r r T ξ ϕ ω ϕ −⎧ =⎪⎪ +⎯⎯→⎨⎪ = +⎪⎩ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 24 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc – Độ quá điều chỉnh: – Thời gian quá độ: (đối với tiêu chuẩn 5%) 7.3.2 Quá trình xác lập ( ) 2 % exp 100 1 ξπσ ξ ⎛ ⎞⎜ ⎟= − ×⎜ ⎟−⎝ ⎠ 3 qd n t ξω= ( )FHW p ( )u t ( )e t ( )e iT ( )1u t ( )y t ( )f t T ( )LTW p ZOH WC(p) 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 25 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc • Biểu thức sai số: • Sai số xác lập: – Khi – Khi ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) 1 1 . .LG LT FH E z U z Z W p W p W p = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1lim lim 1 lim i T z z ze e iT z E z E z z − → → → −∞ = = − = ( ) ( ) ( )1 1 zu t t U z z = → = − ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1lim 1 . .z LG LT FH e Z W p W p W p→⎯⎯→ ∞ = + ( ) ( ) ( )21 Tzu t t U z z = → = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1lim 1 1 . .z LG LT FH Te z Z W p W p W p→ ⎯⎯→ ∞ = ⎡ ⎤− +⎣ ⎦ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 26 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc 7.4 Tổng hợp hệ rời rạc 7.4.1 Tính điều khiển được • Điều khiển được khi có thể chuyển hệ từ trạng thái này đến trạng thái khác trong một khoảng thời gian giới hạn. • Cho hệ RR: • Ma trận điều khiển được • Hệ ĐK được hoàn toàn khi và chỉ khi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 d d d d x i A x i B u i y i C x i D u i + = +⎧⎪⎨ = +⎪⎩ 1 2. . ...n nd d d d dM A B A B B − −⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ( )rank M n= 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 27 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc 7.4.2 Tính quan sát được • Quan sát được nếu từ các số liệu đo được ở đầu ra có thể xác định được các trạng thái. • Ma trận quan sát được • Hệ quan sát được hoàn toàn khi và chỉ khi: ( ) 1' ' ' ' '. ... .nd d d d dN C A C A C−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )rank N n= 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 28 Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc • Hệ rời rạc tuyến tính giống hệ liên tục tuyến tính: • + Về tính ổn định của hệ thống (bảng Slice 4) • + Hệ bậc thấp: có thể áp dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng của hệ liên tục, Hệ bậc cao: dùng tiêu chuẩn Jury. • + Tiêu chuẩn nguyên lý góc quay trong hệ rời rạc tương đương với tiêu chuẩn Mikhailope dùng xét ổn định cho hệ liên tục tiêu tiêu chuẩn tần số. • + Khi xét các chỉ tiêu chất lượng của hệ rời rạc, ta cũng chú đến các thông số như độ quá điều chỉnh cực đại, thời gian quá độ và sai số của hệ thống ở trạng thái xác lập. • + Xét đặc điểm của hệ thống trong không gian trạng thái ta cũng xét tính điều khiển được hoàn toàn và quan sát được hoàn toàn của hệ thống. • Một đặc điểm của hệ thống rời rạc mà hệ thống liên tục không có là tồn tại khả năng ổn định vô hạn của hệ thống. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 37 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 6.5 Tổng kết • Hệ thống rời rạc mà ta xét trong chương này chỉ có phần tử tạo xung lý tưởng là rời rạc, các phần tử còn lại trong hệ thống đều là các phần tử liên tục tuyến tính. Phần tử ZOH (khâu lưu giữ bậc 0) có tác dụng định hình xung từ phần tử tạo xung lý tưởng. • Nếu hệ thống liên tục được mô tả bằng phương trình vi phân thì hệ thống rời rạc được mô tả bằng phương trình sai phân và trong phương trình sai phân, cấp cao nhất của phương trình không trùng với cấp của sai phân cao nhất. Phương trình sai phân có bậc khi nó thỏa mãn điều kiện . • Có ba phương pháp chuyển từ hệ liên tục sang hệ rời rạc với chu kỳ cắt mẫu là dùng biến đổi Laplace, tính gần đúng đạo hàm cấp 1 và phương pháp hình thang, trong đó phương pháp hình thang cho kết quả chính xác nhất