Bài toán động học, động lực học và phương pháp thiết kế hình học cho robot delta kiểu ba khớp quay

36 Lê Xuân Hoàng, Lê Hoài Nam BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC, ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ HÌNH HỌC CHO ROBOT DELTA KIỂU BA KHỚP QUAY KINEMATIC AND DYNAMIC SOLUTIONS AND GEOMETRICAL DESIGN METHOD FOR RUU DELTA ROBOT Lê Xuân Hoàng, Lê Hoài Nam Trường Đại học Bách khoa – Đại học Đà Nẵng; lehoainam@dut.udn.vn Tóm tắt - Bài báo đề cập đến các vấn đề cơ bản của robot Delta như mô hình hóa bài toán, bài toán động học, động lực học. Bên cạnh đó, bài báo còn phân loại chi tiết vùng làm việc cũng như xác định được khối cầu nội tiếp bên trong vùng làm việc. Các công thức được đưa ra như một tham chiếu cho việc thiết kế. Kết quả cho thấy có bốn vùng làm việc phù hợp với thực tiễn thiết kế. Từ đó, nhóm tác giả đề xuất hai phương án thiết kế robot Delta dựa theo vùng làm việc cho trước. Phương án thứ nhất thích hợp để thiết kế các robot cỡ nhỏ, còn phương án thứ hai được khuyên dùng để thiết kế các robot cỡ lớn. Phần cuối cùng sẽ là việc ứng dụng các công thức đã được xác lập để thiết kế mô hình robot Delta và chọn ra các kích thước tối ưu. Abstract - This article presents fundamental issues of the Delta robot such as problem modelling, kinematic and dynamic solutions. Besides, the article also demonstrates a meticulous classification of workspaces as well as identification of inscribed spheres inside the workspaces. Formulae have been put forward as parameters for the designing. Results show that there are four workspaces suitable for designing reality. Therefore, the authors propose two alternatives for designing the Delta robot based on a given workspace. The first one is suitable for designing small-sized robots and the second one is recommended for designing big-sized robots. Finally, the formulae established are applied to build up a Delta robot and select optimum dimensions. Từ khóa - Robot Delta; động học; động lực học; vùng làm việc; thiết kế hình học. Key words - Delta robot; kinematics; dynamics; workspace; geometrical design. 1. Đặt vấn đề Robot Delta là robot song song nổi tiếng được phát minh vào những năm 1980 bởi Reymond Clavel [1]. Loại robot này được áp dụng trong nhiều lĩnh vực y học, quân sự, mô phỏng, sản xuất công nghiệp và được biết đến là robot gắp - thả có tốc độ rất nhanh. Có rất nhiều công trình nghiên cứu về loại robot này. Nghiên cứu của Williams [2] đã dùng phép giải tích véctơ để giải bài toán động học. Kết quả cho ra hệ 3 phương trình động học và có thể giải bài toán động học ngược bằng phép phân tích giải tích. Tuy nhiên, cách giải yêu cầu chọn một nghiệm từ bộ 8 nghiệm. Ngoài ra, ta cũng có thể giải bài toán động học ngược bằng cách sử dụng 12 tọa độ suy rộng [3]. Một cách đơn giản, ta có thể kết hợp hai phương pháp trên bằng cách sử dụng phương trình động học của [2] với 6 tọa suy rộng và dùng phương pháp số Newton-Raphson [4] để chọn một nghiệm phù hợp nhất. Cách giải này khiến bài toán động học trở nên đơn giản nhưng nó sẽ giới hạn việc mô tả bài toán động lực học. Điều kiện áp dụng sẽ được đề cập trong bài báo. Bên cạnh đó, mười vùng phân loại vùng làm việc đã được nêu ra chi tiết trong [5]. Tuy vậy, các thông số đặc trưng của vùng làm việc chưa được nêu rõ. Bài báo này sẽ làm rõ các thông số của vùng làm việc bằng cách xét tiết diện của chúng và phân loại vùng làm việc theo tiết diện. Tiếp đến, hai phương án thiết kế hình học sẽ được đưa ra dựa theo các thông số cho trước. 2. Động học, động lực học, vùng làm việc 2.1. Mô hình hóa Để thuận tiện cho các phần sau, tác giả sẽ sử dụng lại mô hình hóa đã được xây dựng bởi Williams [2] (Hình 1). Robot Delta gồm 3 cánh tay được liên kết với nhau nhằm duy trì chuyển động tịnh tiến của tấm đế di động so với tấm đế cố định; mỗi cánh tay gồm một khớp quay (Revolute joint) là khớp dẫn động (đặt tại các điểm 𝐵𝑖 với 𝑖 = 1, 2, 3) và hai khớp các - đăng (Universal joint) là hai khớp gắn với cơ cấu hình bình hành (đặt tại các điểm 𝐴𝑖 và 𝑃𝑖 với 𝑖 = 1,2,3); hệ tọa độ {B} gắn với tấm đế cố định và hệ {P} gắn với tấm đế di động; các biến khớp là 𝜃 = {𝜃1, 𝜃2, 𝜃3} 𝑇; tọa độ điểm 𝑃 trong hệ tọa độ {B} là 𝑃𝑝 𝐵 = [𝑥 𝑦 𝑧]𝑇. Ý nghĩa của các thông số được tóm tắt trong Bảng 1. Hình 1. Các thông số hình học của robot Delta [2] Bảng 1. Ý nghĩa các thông số hình học của robot Delta Kí hiệu Ý nghĩa 𝑃𝑖 điểm nối giữa cánh tay hình bình hành và tấm đế di động (𝑖 = 1, 2, 3) 𝑠𝐵 chiều dài cạnh tam giác đều tấm đế cố định 𝑤𝐵 khoảng cách từ tâm 𝑂 đến cạnh của tấm đế cố định 𝑢𝐵 khoảng cách từ tâm 𝑂 đến đỉnh của tấm đế cố định 𝑠𝑃 chiều dài cạnh tam giác đều tấm đế di động ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(132).2018, QUYỂN 1 37 𝑤𝑃 khoảng cách từ tâm 𝑃 đến cạnh của tấm đế di động 𝑢𝑃 khoảng cách từ tâm 𝑃 đến đỉnh 𝑃𝑖 (𝑖 = 1,2,3) của tấm đế di động 𝐿 chiều dài cánh tay 𝐵𝑖𝐴𝑖 (𝑖 = 1,2,3) 𝑙 chiều dài của mỗi cánh tay hình bình hành ℎ chiều rộng của mỗi cánh tay hình bình hành 2.2. Động học Trong [2], 3 phương trình động học được xác định và được biểu diễn như trong (1): 𝑓1 = 2𝐿(𝑦 + 𝑎) 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 + 2𝑧𝐿 𝑠𝑖𝑛 𝜃1 + 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝑎2 + 𝐿2 + 2𝑦𝑎 − 𝑙2 = 0 𝑓2 = −𝐿(√3(𝑥 + 𝑏) + 𝑦 + 𝑐) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + 2𝑧𝐿 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝐿2 + 2𝑥𝑏 + 2𝑦𝑐 − 𝑙2 = 0 𝑓3 = 𝐿(√3(𝑥 − 𝑏) − 𝑦 − 𝑐) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 + 2𝑧𝐿 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 + 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝐿2 − 2𝑥𝑏 + 2𝑦𝑐 − 𝑙2 = 0 (1) Trong đó: 𝑎 = 𝑤𝐵 − 𝑢𝑃 𝑏 = 𝑠𝑝 2 − √3 2 𝑤𝐵 𝑐 = 𝑤𝑝 − 1 2 𝑤𝐵 Các phương trình động học được biểu diễn dưới dạng véctơ chứa các tọa độ suy rộng: 𝒔 = [ 𝒒 𝒙 ] 𝒒 = [ 𝜃1 𝜃2 𝜃3 ] 𝒙 = [ 𝑥 𝑦 𝑧 ] (2) Trong đó: 𝐬 là véctơ chứa các tọa độ suy rộng đầy đủ; 𝒒 là véctơ chứa các tọa độ suy rộng độc lập tối thiểu; 𝒙 là véctơ chứa các tọa độ thao tác. Ba phương trình liên kết 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3 với 6 tọa độ suy rộng trong đó có 3 tọa độ độc lập được viết dưới dạng véctơ: 𝒇(𝒔) = 𝒇(𝒒, 𝒙) = 0, 𝒇 ∈ ℝ3, 𝒒 ∈ ℝ3, 𝒙 ∈ ℝ3 (3) Đạo hàm phương trình (3) theo thời gian: �̇� = 𝑱𝑞�̇� + 𝑱𝑥�̇� = 0 (4) Trong đó 𝑱𝑞, 𝑱𝑥 là các ma trận Jacobian. Tiếp tục đạo hàm bậc hai: �̈� = 𝑱�̇��̇� + 𝑱𝑞�̈� + 𝑱�̇��̇� + 𝑱𝑥�̈� = 0 (5) Phương trình động học ngược có thể được giải bằng cách đưa về dạng 𝐸𝑖 cos 𝜃𝑖 + 𝐹𝑖 sin 𝜃𝑖 + 𝐺𝑖 = 0 với 𝑖 = 1, 2, 3 [2]. Tuy nhiên, cách giải cho ra 8 nghiệm hợp lệ nhưng chỉ có một nghiệm được chọn. Để giải quyết vấn đề này, [4] đã đề xuất sử dụng phương pháp số Newton-Raphson. Các phương trình (4) và (5) cho ra vận tốc và gia tốc khớp suy rộng. �̇� = −𝑱𝑞 −𝟏𝑱𝑥�̇� �̈� = −𝑱𝑞 −𝟏(𝑱�̇��̇� + 𝑱�̇��̇� + 𝑱𝑥�̈�) (6) Trong [4], các bước áp dụng phương pháp Newton- Raphson đã được trình bày chi tiết. 2.3. Động lực học Hệ gồm 𝑝 = 7 vật rắn, số bậc tự do 𝑓 = 3, số tọa độ suy rộng dư 𝑚 = 6, 𝑟 = 3 phương trình liên kết với (𝑗 = 1, , 𝑟): 𝒇𝒋 = 𝒇(𝒔, 𝒕) = 𝒇(𝒒𝟏, 𝒒𝟐, , 𝒒𝒎, 𝒕) = 𝟎 (7) Phương trình Lagrange dạng nhân tử: 𝑴(𝒔)�̈� + 𝑪(𝒔, �̇�)�̇� + 𝒈(𝒔) + 𝑱𝑠 𝑇(𝒔)𝝀 = 𝑸𝑛𝑝 (8) Trong đó: 𝑴(𝒔) là ma trận khối lượng suy rộng 6×6; 𝑪(𝒔, �̇�) là ma trận quán tính và Coriolis 6×6; 𝑪(𝒔, �̇�) = 𝑑𝑴(𝒔) 𝑑𝑡 − 1 2 ( 𝜕(𝑴(𝒔)�̇�) 𝜕𝒔 ) 𝑇 (9) 𝒈(𝒔) là ma trận do trọng trường gây ra 6×1; 𝒈(𝒔) = ( 𝜕𝜫 𝜕𝒔 ) 𝑇 (10) 𝑱𝑠 là ma trận Jacobian của tọa độ suy rộng đầy đủ 3×6; 𝝀 là véctơ các nhân tử Lagrange 3×1; 𝑸𝑛𝑝 là véctơ chứa lực suy rộng của các lực không thế 6×1. Các hệ tọa độ cố định {𝐵𝑖} = 𝐵𝑖𝑥𝑖𝑦𝑖𝑧𝑖 với 𝑖 = 1, 2, 3 được xác định bằng cách biến đổi hệ tọa độ gốc qua hai phép: tịnh tiến gốc O về 𝐵𝑖 và xoay quanh trục 𝑧𝐵 một góc 𝛼𝑖 (với 𝛼1 = −90°, 𝛼2 = 30°, 𝛼3 = 150°) (Hình 2). Ma trận cosin chỉ hướng của {𝐵𝑖} so với {𝐵} là 𝐴𝑍(𝛼𝑖). Hình 2. Thiết lập các hệ tọa độ Gọi 𝐶1𝑖 là khối tâm của khâu 𝐵𝑖𝐴𝑖. Hệ tọa độ động {𝐶1𝑖} = 𝐶1𝑖𝑥1𝑖𝑦1𝑖𝑧1𝑖 được gắn cứng vào khâu 𝐵𝑖𝐴𝑖 sao cho 𝐵𝑖𝐴𝑖 luôn nằm trên trục 𝑥1𝑖. {𝐶1𝑖} được xác định bằng cách biến đổi hệ {𝐵𝑖} bằng 2 phép: tịnh tiến về gốc 𝐶1𝑖 và quay quanh trục 𝑦𝑖 một góc 𝜃𝑖. Tọa độ các véctơ 𝑪 𝐵 1𝑖 với 𝑖 = 1, 2, 3: 𝑪 𝐵 1𝑖 = 𝐵1 𝐵 + 𝐴𝑍(𝛼𝑖) 𝑪 𝐵1 1𝑖 (11) Vì khối lượng các thanh hình bình hành thường nhỏ hơn các khâu còn lại, nên để đơn giản hóa quá trình tính toán, khối lượng khâu bị động 𝐴𝑖𝑃𝑖 được quy về hai đầu khớp, khối lượng sẽ tập trung tại 𝐶2𝑎𝑖 ≡ 𝐴𝑖, 𝐶2𝑏𝑖 ≡ 𝑃𝑖 . Với việc quy khối lượng về hai đầu khớp, vận tốc góc và tenxơ quán tính của khâu bị động được bỏ qua khiến bài toán đơn giản hơn rất nhiều. Tọa độ các véctơ 𝑪 𝐵 2𝑎𝑖 và 𝑪 𝐵 2𝑏𝑖 với 𝑖 = 1, 2, 3: 38 Lê Xuân Hoàng, Lê Hoài Nam 𝑪 𝐵 2𝑎𝑖 = 𝐵1 𝐵 + 𝐴𝑍(𝛼𝑖) 𝑪 𝐵1 2𝑎𝑖 (12) 𝑪 𝐵 2𝑏𝑖 = 𝑷 𝐵 + 𝑷𝑖 𝑃 (13) a. Ma trận khối lượng 𝑴(𝒔) 𝑴(𝒔) =∑(𝑚1𝑱𝑇1𝑖 𝑇 𝑱𝑇1𝑖 3 𝑖=1 + 1 2 𝑚2(𝑱𝑇2𝑎𝑖 𝑇 𝑱𝑇𝐶2𝑎𝑖 + 𝑱𝑇2𝑏𝑖 𝑇 𝑱𝑇2𝑏𝑖) + 𝑱𝑅1𝑖 (1𝑖)𝑇 𝑰𝐶1𝑖 (1𝑖)𝑱𝑅1𝑖 (1𝑖)) + 𝑚𝑃𝑱𝑇𝑃 𝑇 𝑱𝑇𝑃 (14) Với 𝑱𝑇1𝑖, 𝑱𝑇2𝑎𝑖, 𝑱𝑇2𝑏𝑖, 𝑱𝑇𝑃 là ma trận Jacobian tịnh tiến của khối tâm các khâu chủ động, bị động, khâu chấp hành cuối trong hệ qui chiếu cố định. 𝑱𝑅1𝑖 (1𝑖) là ma trận Jacobian xoay của các khâu chủ động khi chiếu véctơ vận tốc góc �⃗� 1𝑖 lên hệ qui chiếu {𝐶1𝑖}. 𝑚1, 𝑚2, 𝑚𝑃 là khối lượng khâu chủ động, bị động và khâu chấp hành cuối. Tenxơ quán tính của khâu chủ động so với khối tâm của nó (15). 𝑰𝐶1𝑖 (1𝑖) = [ 𝐼𝑥 0 0 0 𝐼𝑦 0 0 0 𝐼𝑧 ] (15) Tính các ma trận 𝑱𝑇1𝑖, 𝑱𝑇2𝑎𝑖, 𝑱𝑇2𝑏𝑖, 𝑱𝑇𝑃, 𝑱𝑅1𝑖 (1𝑖) và thay vào (14), ta được một ma trận chỉ có các phần tử trên đường chéo như trong các phương trình (16) và (17), các phần tử còn lại bằng 0: 𝑚11 = 𝑚22 = 𝑚33 = 𝐼𝑦 + 𝐿2 4 (𝑚1 + 2𝑚2) (16) 𝑚44 = 𝑚55 = 𝑚66 = 3 2 𝑚2 +𝑚𝑃 (17) b. Ma trận quán tính và Coriolis 𝑪(𝒔, �̇�) 𝑪(𝒔, �̇�) = 𝑑𝑴(𝒔) 𝑑𝑡 − 1 2 ( 𝜕(𝑴(𝒔)�̇�) 𝜕𝒔 ) 𝑇 = 0 (18) c. Ma trận do trọng trường gây ra 𝒈(𝒔) Thế năng robot Delta: 𝜫 = −∑[ 1 2 𝑚1𝑔𝐿𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖 + 1 2 𝑚2𝑔𝐿𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖] 3 𝑖=1 + (𝑚𝑃 + 3 2 𝑚2)𝑔𝑧 (19) Kết quả: 𝒈(𝒔) = ( 𝜕𝜫 𝜕𝒔 ) 𝑇 = [ − 1 2 (𝑚1𝑔𝐿 + 𝑚2𝑔𝐿)𝑐𝑜𝑠𝜃1 − 1 2 (𝑚1𝑔𝐿 + 𝑚2𝑔𝐿)𝑐𝑜𝑠𝜃2 − 1 2 (𝑚1𝑔𝐿 + 𝑚2𝑔𝐿)𝑐𝑜𝑠𝜃3 0 0 ( 3 2 𝑚2 +𝑚𝑃) 𝑔 ] (20) d. Ma trận các lực không thế suy rộng 𝑸𝒏𝒑 Các mômen dẫn động đặt tại các khớp chủ động 𝜏 1, 𝜏 2, 𝜏 3: 𝑸𝑛𝑝 = [ 𝜕�⃗� 1 𝜕�̇�1 ⋯ 𝜕�⃗� 𝑝 𝜕�̇�1 ⋮ ⋱ ⋮ 𝜕�⃗� 1 𝜕�̇�𝑚 ⋯ 𝜕�⃗� 𝑝 𝜕�̇�𝑚] [ 𝜏 1 𝜏 2 𝜏 3 0 0 0 ] (21) 𝑸𝑛𝑝 = [𝜏1 𝜏2 𝜏3 0 0 0] 𝑇 (22) Bài toán động lực học ngược có thể được giải trực tiếp hoặc bằng cách biến đổi về các tọa độ suy rộng độc lập. 2.4. Vùng làm việc Với mỗi giá trị 𝜃𝑖, ta xác định được một mặt cầu 𝑠𝑖({ 𝐴 𝐵 𝑖}, 𝑙) với 𝑖 = 1, 2, 3. Mỗi điểm trên mặt cầu 𝑠𝑖({ 𝐴 𝐵 𝑖}, 𝑙) thể hiện vị trí có thể có của điểm 𝑃𝑖 . Nếu 𝜃𝑖 thay đổi từ [0,2𝜋], tâm 𝐴𝑖 sẽ thay đổi theo và di chuyển trên đường tròn 𝑐𝑖({ 𝐵 𝐵 𝑖}, 𝐿) với 𝑖 = 1, 2, 3 (Hình 3). Hình 3. Các thông số hình học của một cánh tay Khi 𝐴𝑖 di chuyển trên 𝑐𝑖 mặt cầu 𝑠𝑖 cũng sẽ thay đổi theo và “quét” trong không gian một vùng có hình xuyến, kí hiệu là 𝑡𝑖. Nếu 𝐿 > 𝑙 hình xuyến có dạng ring torus; 𝐿 = 𝑙 có dạng horn torus; 𝐿 < 𝑙 có dạng spindle torus chứa phần lõi bên trong (Hình 4). (a) Ring torus (b) Horn torus (c) Spindle torus Hình 4. Ba dạng hình xuyến Bằng cách tịnh tiến vùng không gian các điểm 𝑃𝑖 theo vector 𝑃𝑖𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ thì sẽ tìm được vùng không gian của điểm 𝑃. Giao điểm ba vùng không gian như vậy ở mỗi cánh tay chính là vùng làm việc của robot. Phương trình động học có thể được viết dưới dạng: (𝑥 − 𝑥𝑖) 2 + (𝑦 − 𝑦𝑖) 2 + (𝑧𝑃 − 𝑧𝑖) 2 = 𝑙2 (23) Với 𝑥𝑖, 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 là tọa độ của điểm ảo 𝐴𝑖𝑣 được đề cập trong [2]. Phương trình (23) là phương trình của 3 mặt cầu tâm 𝐴𝑖𝑣 và bán kính là 𝑙. Vì tâm mặt cầu nội tiếp nằm trên 𝑧𝐵 nên phương trình (23) được viết lại: (𝑥)2 + (𝑦)2 + (𝑧 − 𝑧𝑖) 2 = 𝑙2 với 𝑖 = 1,2,3 (24) ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(132).2018, QUYỂN 1 39 Nếu 𝑧1 = 𝑧2 = 𝑧3 = 𝑧𝑖𝑛𝑡 thì ba mặt cầu sẽ giao nhau tại một mặt cầu nội tiếp. Điều kiện để 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 = 0 với 𝑖 = 1, 2, 3 là: 𝑐𝑜𝑠𝜃1 = 𝑐𝑜𝑠𝜃2 = 𝑐𝑜𝑠𝜃3 = −𝑅3 𝐿 (25) Với 𝑅3 = 𝑤𝐵 − 𝑢𝑃. Các phương trình (25) có nghiệm nếu: 𝐿 ≥ |𝑅3| (26) Khi đó 𝑧𝑖𝑛𝑡 = −√𝐿2 − 𝑅3 2. Như vậy, tồn tại một mặt cầu nội tiếp trong vùng làm việc có tâm là 𝐴′𝑖𝑛𝑡(0,0, 𝑧𝑖𝑛𝑡) và bán kính 𝑙 nếu thỏa mãn điều kiện (24). Vì tồn tại duy nhất 1 mặt cầu nội tiếp, nên đây là mặt cầu nội tiếp lớn nhất bên trong vùng làm việc. Mười vùng làm việc Ia, Ib, IIa, IIb, IIc, IId, Iie, IIf, IIIa, IIIb đã được phân loại bởi Liu và các cộng sự [5]. Tuy vậy, không có sự phân biệt rõ ràng giữa các vùng này. Tác giả đã dùng phần mềm SolidWorks 2013 vẽ lại các điểm thuộc đường biên là giao nhau giữa các vùng và phân loại chúng vào các vùng cụ thể. Từ đó, tác giả xác định được các hệ bất phương trình (27) phân biệt một cách chi tiết các vùng. 𝐼𝑎 { 1,5 ≤ 𝑟1 < 3 0 < 𝑟2 < 0,75 0 < |𝑟3| < 1,5 𝑟1 > |𝑟3| > 𝑟2 𝑟2 = |𝑟3| = 0,75; 𝑟1 = 1,5 𝐼𝑏 { 1,5 < 𝑟1 < 3 0 < 𝑟2 < 1,5 0 ≤ |𝑟3| < 0,75 𝑟1 > 𝑟2 ≥ |𝑟3| 𝐼𝐼𝑎 { 0 < 𝑟1 < 1 0,75 < 𝑟2 < 1,5 1 < |𝑟3| < 1,5 |𝑟3| > 𝑟2 > 𝑟1 𝐼𝐼𝑏 { 0,75 < 𝑟1 < 1,5 0 < 𝑟2 < 1 1 < |𝑟3| < 1,5 |𝑟3| ≥ 𝑟1 ≥ 𝑟2 𝑟1 = 𝑟2 = |𝑟3| = 1 𝐼𝐼𝑐 { 0 < 𝑟1 < 1 1 < 𝑟2 < 1,5 0,75 < |𝑟3| < 1,5 𝑟2 ≥ 𝑟3 > 𝑟1 𝐼𝐼𝑑 { 1 < 𝑟1 < 1,5 0 < 𝑟2 < 1 0,75 < |𝑟3| < 1,5 𝑟1 > |𝑟3| ≥ 𝑟2 𝐼𝐼𝑒 { 0,75 < 𝑟1 < 1,5 1 < 𝑟2 < 1,5 0 < |𝑟3| < 1 𝑟2 > 𝑟1 ≥ |𝑟3| 𝑟1 = |𝑟3| = 0,75; 𝑟2 = 1,5 𝐼𝐼𝑓 { 1 < 𝑟1 ≤ 1,5 0,75 < 𝑟2 < 1,5 0 < |𝑟3| < 1 𝑟1 ≥ 𝑟2 > |𝑟3| 𝑟1 = 𝑟2 = 1,5; |𝑟3| = 0 𝐼𝐼𝐼𝑎 { 0 < 𝑟1 < 0,75 1,5 ≤ 𝑟2 < 3 0 < |𝑟3| < 1,5 𝑟2 > |𝑟3| > 𝑟1 𝐼𝐼𝐼𝑏 { 0 < 𝑟1 < 1,5 1,5 ≤ 𝑟2 < 3 0 ≤ |𝑟3| < 0,75 𝑟2 > 𝑟1 ≥ |𝑟3| (27) Trong đó: 𝑟1 = 𝐿 𝐷 𝑟2 = 𝑙 𝐷 𝑟3 = 𝑅3 𝐷 𝐷 = 𝐿 + 𝑙 + |𝑅3| 3 Bốn vùng Ib, IIe, IIf, IIIb có thể tích làm việc lớn nhất so với các vùng còn lại [5]. Bài toán thiết kế sẽ sử dụng các hệ bất phương trình (27) và dựa vào mặt cầu nội tiếp để quyết định các thông số thiết kế. 3. Thiết kế hình robot Delta theo vùng làm việc cho trước Vùng làm việc của robot Delta được quy về một hình trụ nằm bên trong mặt cầu nội tiếp. Hình trụ đặc trưng bởi hai thông số đó là bán kính đường tròn đáy 𝑟𝑐 và chiều cao ℎ. Hình trụ được giới hạn bởi hai mặt phẳng là 𝑧1, 𝑧0 với 𝑧1 > 𝑧0 (Hình 5). Hình 5. Xem vùng làm việc như một hình trụ Bài toán thiết kế: Xác định các kích thước hình học của robot 𝐿, 𝑙, 𝑅3 thỏa mãn vùng làm việc cho ở trên. Tác giả thiết lập được bảng phân bố các tham số thiết kế bao gồm các điểm phân bố đều nhau thuộc các vùng Ib, IIf, IIe, IIIb. Mỗi điểm chứa ba tham số {𝑟1, 𝑟2, |𝑟3|} và 2 điểm gần nhau nhất thỏa mãn: 𝑟1𝑖+1 = 𝑟1𝑖 + 0,1 (28) 𝑟2𝑖+1 = 𝑟2𝑖 + 0,1 (29) |𝑟3𝑖+1| = |𝑟3𝑖| + 0,1 (30) Để xét ảnh hưởng của phần lõi lên mặt cầu nội tiếp, cần xác định mặt phẳng 𝑧𝑃1 như sau: 𝑧𝑃1 = { 𝑧𝑖𝑛𝑡 𝐿 − 𝑙 𝐿 𝐿 − 𝑙 đối với vùng Ib, IIf (31) đối với vùng IIe, IIIb 3.1. Phương án 1 Tâm khối cầu nội tiếp trùng với tâm hình trụ. Cho trước các kích thước 𝑟𝑐 và ℎ, tìm kích thước tối ưu 𝐿, 𝑙, 𝑅3. Hình trụ sẽ xác định duy nhất một khối cầu ngoại tiếp hình trụ. Hình trụ sẽ chiếm thể tích lớn nhất bên trong khối cầu. Hình 6. Phương án 1 Sau khi lập bảng các tham số thiết kế, có thể xác định: • Bán kính khối cầu nội tiếp: 𝑙 = √( ℎ 2 ) 2 + 𝑟𝑐2 • Bảng giá trị trung bình 𝐷: 𝐷 = 𝑙 𝑟2 • Lập bảng các kích thước còn lại: 𝐿 = 𝑟1 × 𝐷; |𝑅3| = 𝑟3 × 𝐷 • Xác định 𝑧1: 𝑧1 = 𝑧𝑖𝑛𝑡 + ℎ 2 40 Lê Xuân Hoàng, Lê Hoài Nam Chọn các kích thước thỏa mãn điều kiện 𝑧1 ≤ 𝑧𝑃1. Kích thước 𝐿 không quá lớn gây ảnh hưởng đến truyền động. Chọn 𝑧1 thích hợp để có không gian cho các cơ cấu gá. 3.2. Phương án 2 Cho trước 3 thông số 𝑟𝑐 , ℎ, 𝑧1. Tìm kích thước tối ưu 𝐿, 𝑙, 𝑅3. Chọn mặt phẳng 𝑧𝑃1 trùng với mặt phẳng 𝑧1. Hình trụ phải chiếm thể tích lớn nhất trong phần còn lại của khối cầu nội tiếp giới hạn bởi mặt phẳng 𝑧𝑃1. Chú ý rằng phương án này chỉ áp dụng cho vùng IIe, IIIB (Hình 7). Hình 7. Phương án 2 Sau khi lập bảng các tham số thiết kế, có thể xác định: • Tính giá trị trung bình D: 𝐷 = 𝑙−𝐿 𝑟2−𝑟1 = −𝑧𝑝1 𝑟2−𝑟1 ; • Lập bảng các kích thước 𝐿 = 𝑟1 × 𝐷; 𝑙 = 𝑟2 × 𝐷; |𝑅3| = 𝑟3 × 𝐷 Để hình trụ chiếm thể tích lớn nhất của phần còn lại của khối cầu nội tiếp, hình trụ phải có 𝑧1 trùng với mặt phẳng 𝑧𝑃1, đồng thời đường tròn đáy phải tiếp xúc với mặt cầu nội tiếp lớn nhất, điều kiện 𝑙 phải gần với giá trị 𝑙𝑡 tối ưu. 𝑙𝑡 = √𝑟𝑐2 + (𝑧1 − ℎ − 𝑧𝑖𝑛𝑡)2 (32) Từ bảng các kích thước robot, chọn các kích thước có giá trị 𝑙 gần bằng với 𝑙𝑡. Tiếp tục chọn số gia nhỏ hơn để tìm ra các kích thước có giá trị 𝑙 gần với 𝑙𝑡 nhất. 3.3. Ví dụ áp dụng Giả sử robot Delta được sử dụng cho việc hàn các bo mạch điện tử có kích thước vùng làm việc bằng khổ giấy A4: 𝑎 × 𝑏 = 210 × 297𝑚𝑚2. Độ cao vùng làm việc là ℎ = 150𝑚𝑚. Từ đó, bán kính đường tròn đáy của hình trụ: 𝑟𝑐 = √(𝑎/2)2 + (𝑏/2)2 ≈ 181,87𝑚𝑚 Lập bảng theo các phương án: Bảng 2. Phương án 1 vùng IIe 𝑟2 𝑟1 𝑟3 𝐷 𝐿 𝑙 𝑅3 𝑧ỉ𝑛𝑡 𝑧1 𝑧𝑝1 1,1 1 0,8 179 179 197 143 -107 -32 -18 1,2 1,1 0,7 164 180 197 115 -139 -64 -16 1.3 1,1 0,6 151 166 197 91 -140 -65 -30 1,4 1,2 0,4 141 169 197 56 -159 -84 -28 Bảng 3. Phương án 1 vùng IIIb 𝑟2 𝑟1 𝑟3 𝐷 𝐿 𝑙 𝑅3 𝑧ỉ𝑛𝑡 𝑧1 𝑧𝑝1 1,5 1,4 0,1 131 184 197 13 -183 -108 -13 1,6 1,4 0 123 172 197 0 -172 -97 -25 1,7 1,3 0 116 150 197 0 -150 -75 -46 1,8 1,2 0 109 131 197 0 -131 -56 -66 Bảng 4. Phương án 1 vùng Ib 𝑟2 𝑟1 𝑟3 𝐷 𝐿 𝑙 𝑅3 𝑧ỉ𝑛𝑡 𝑧1 1,6 1 0,4 197 315 197 79 -305 -230 1,7 0,9 0,4 219 372 197 87 -361 -286 1,8 0,8 0,4 246 443 197 98 -432 -357 1,9 0,8 0,3 246 467 197 74 -461 -386 Bảng 5. Phương án 1 vùng IIf 𝑟2 𝑟1 𝑟3 𝐷 𝐿 𝑙 𝑅3 𝑧ỉ𝑛𝑡 𝑧1 1,1 1 0,9 197 216 197 177 -124 -49 1,2 1,4 0,4 141 169 197 56 -159 -84 1,3 1,2 0,5 164 213 197 82 -197 -122 1,3 1,3 0,4 151 197 197 61 -187 -112 1,4 1,1 0,5 179 250 197 89 -234 -159 1,5 1,3 0,2 151 227 197 30 -225 -150 Bảng 6. Phương án 2 vùng IIe 𝑟2 𝑟1 𝑟3 𝐷 𝐿 𝑙 𝑅3 𝑧ỉ𝑛𝑡 𝑙𝑡 1,1 0,95 0,95 1000 950 1100 950 -900 918 1,2 0,9 0,9 500 450 600 450 -450 485 1,3 0,85 0,85 333 283 433 283 -155 239 1,4 0,8 0,8 250 200 350 200 -170 249 Bảng 7. Phương án 2 vùng IIIb 𝑟2 𝑟1 𝑟3 𝐷 𝐿 𝑙 𝑅3 𝑧ỉ𝑛𝑡 𝑙𝑡 1,6 0,8 0,6 188 150 300 113 -99 271 1,7 0,8 0,5 167 133 283 83 -104 267 1,8 0,8 0,4 150 120 270 60 -104 267 1,9 0,9 0,2 150 135 285 30 -132 248 Chọn các kích thước 𝐿 = 227𝑚𝑚, 𝑙 = 197𝑚𝑚, 𝑅3 = 30𝑚𝑚, 𝑧1 = −150𝑚𝑚 vùng IIf phương án 1 là tối ưu. 4. Kết luận Trong bài báo, tác giả đã giải quyết vấn đề đa nghiệm của bài toán động học ngược bằng cách áp dụng phương pháp số Newton-Raphson. Việc quy khối lượng khâu hình bình hành về hai đầu khớp giúp đơn giản hóa bài toán động lực học. Tuy vậy, đây chỉ là cách giải gần đúng, cần được nghiên cứu thêm. Hai phương án thiết kế hình học được đưa ra có thể được áp dụng trong thực tiễn. Tuy vậy, việc cân nhắc các thông số thiết kế còn phụ thuộc vào thực tế của người thiết kế. Việc thiết kế hình học cho robot Delta là tiền đề của việc thiết kế chi tiết sau này cho các ứng dụng cụ thể trong công nghiệp của robot Delta như hàn mạch, gắp-thả... TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R. Clavel, "DELTA, A fast robot with parallel geometry", 18th International Symposium on Industrial Robot, Lausane, pp. 91-100, 1988. [2] R. Williams II, The Delta Parallel Robot: Kinematics Solutions, Mechanical Engineering, Ohio University, 2016. [3] Nguyễn Đức Sang, Tính toán động học và điều khiển robot song song không gian Delta, Đại học Bách khoa Hà Nội, 2014. [4] Nguyễn Văn Khang, Lương Anh Tuấn, “Tính toán so sánh một vài phương pháp số giải bài toán động học ngược robot song song dư dẫn động”, Tạp chí Tin học và Điều khiển, Hà Nội, T.29, 2013. [5] X.-J. Liu, J. Wang, H. Zheng, “Workspace atlases for the computer aided design of the Delta robot”, Proc. IMECHE part C: J. Mech. Engrg. Sci., vol. 217, pp. 861-869, 2003. (BBT nhận bài: 26/9/2018, hoàn tất thủ tục phản biện: 17/10/2018)