Chuyên đề Định giá quyền chọn vàng – thêm một công cụ để phòng ngừa rủi ro trong kinh doanh vàng

yền chọn 2.3.2.1. Các giả định của mô hình - Giá của tài sản cơ sở biến động ngẫu nhiên và phát triển theo phân phối chuẩn - Lãi suất phi rủi ro và độ ổn định của tỷ suất sinh lời theo logarit của tài sản cơ sở không thay đổi trong suốt thời gian đáo hạn của quyền chọn - Không có thuế và chi phí giao dịch - Các quyền chọn là kiểu Châu Âu - Cổ phiếu không trả cổ tức 2.3.2.2. Mô hình Sit = Là giá của tài sản i tại thời điểm t = Tỷ suất lợi nhuận hay tỷ lệ tăng trưởng của tài sản i = Độ bất ổn hay độ lệch chuẩn của tài sản i r = Là lãi suất phi rủi ro T = Ngày đáo hạn Nếu Rit = ln(Sit/Sit-1) - tỷ lệ tăng trưởng giữa hai thời kỳ - có phân phối chuẩn thì mức thay đổi của Si trong khoảng thời gian dt được biểu diễn như sau: dSi = Sidt + SidWi i=1,2,…, d Trong đó dWi có phân bố chuẩn với kỳ vọng bằng không và phương sai dt, (N(0,dt)); hay dWi là quá trình Wiener E(dWi, dWj) = Xét một danh mục đầu tư: Bán 1 đơn vị quyền chọn mua C và thu được tài sản S. Trong đó C = C(S, t) là giá quyền chọn mua Theo bổ đề Ito Mức thay đổi C gồm hai phần: Phần tất định chỉ phụ thuộc vào độ lớn của dt; phần ngẫu nhiên phụ thuộc vào dS. P = C(S, t) - S: Giá trị danh mục đầu tư đối với người mua (long position) P gồm hai thành phần: phần tất định và phần ngẫu nhiên. Phần ngẫu nhiên là rủi ro của danh mục đầu tư. dP = = Nếu như = thì yếu tố ngẫu nhiên sẽ không ảnh hưởng đến giá trị của cặp đầu tư, hay danh mục trở thành một danh mục đầu tư phi rủi ro. Khi thị trường hoạt động theo nguyên tắc không cơ lợi thì: dP = rPdt = r Theo công thức Black – Scholes: Trong đó . Với điều kiện ban đầu: C(S, 0) = Max(S – X, 0) Đặt ta có thể viết lại phương trình trên dưới dạng: Lại đặt y = lnS ta có Bây giờ đặt C(y,) = ta có phương trình: , (*) Với điều kiện đầu là Nghiệm cơ bản của phương trình (*) là: Ta có = exp = , y = lnS; Từ đó ta nhận được công thức định giá quyền chọn mua trong mô hình Black – Scholes = SN(d1) - XN(d2) Trong đó 2.3.2.3. Công thức Black – Scholes C = Với N(d1), N(d2) = Xác suất phân phối chuẩn tích luỹ = độ bất ổn định hàng năm của tỷ suất sinh lợi ghép lãi liên tục (logarit) của cổ phiếu rc = Lãi suất phi rủi ro ghép lãi liên tục 2.3.2.4. Đặc tính của công thức Black – Scholes Diễn giải công thức Trong công thức Black – Scholes có hai thành phần bên vế phải. Thành phần đầu tiên bên vế phải của mô hình với S0N(d1) Biểu thức này là giá trị kỳ vọng của giá cổ phiếu khi đáo hạn, với điều kiện là giá cổ phiếu lớn hơn giá thực hiện nhân với xác suất giá cổ phiếu lớn hơn giá thực hiện khi đến hạn, tuy nhiên N(d1) không phải là xác suất đó. Nó chỉ là thành phần của toàn bộ biểu thức. Sau khi nhân với , thành phần thứ hai trong vế phải của công thức Black – Scholes -XN(d2) Là giá trị kỳ vọng của khoản chi trả theo giá thực hiện khi đáo hạn. Đặc biệt, N(d2) là xác suất ứng với nhà đầu tư chấp nhận rủi ro mà X sẽ được chi trả khi đáo hạn. Vì vậy, -XN(d2) là khoản chi trả theo giá thực hiện kỳ vọng khi đáo hạn. Chiết khấu các biểu thức này theo lãi suất phi rủi ro ghép lãi liên tục - tức là nhân với ta được Công thức Black – Scholes và giới hạn dưới của Quyền chọn mua kiểu Châu Âu Giới hạn dưới của một quyền chọn mua kiểu Châu Âu là Max(0,S0 - X) Để mô hình Black – Scholes tuân thủ theo giới hạn dưới này, giá theo mô hình luôn luôn phải không chấp nhận thấp hơn mức giá trị này. Khi S0 rất cao, d1 và d2 tiến đến + làm cho N(d1) và N(d2) tiến đến 1. khi đó, công thức Black – Scholes trở thành S0 - X. Khi S0 rất thấp, d1 và d2 tiến đến - làm cho N(d1) và N(d2) tiến đến 0. Vì vậy, công thức Black – Scholes có giới hạn dưới là Max(0,S0 - X). Khi S0 là rất cao, công thức sẽ đúng bằng giới hạn dưới. Công thức Black – Scholes khi T = 0 Khi T = 0, ta có Khi T tiến đến 0, thành phần thứ hai ở vế phải biến mất. Xét thành phần thứ nhất Nếu ST>X ST/X>1, ln(ST/X)>0, và d1 tiến đến +¥ Nếu ST<X ST/X<1, ln(ST/X)<0 và d1 tiến đến -¥ Nếu ST=X ST/X = 1, ln(ST/X) = 0 và d1 tiến đến -¥ Nếu d1 tiến đến +¥, thì d2 cũng tiến đến +¥. Nếu d1 tiến đến -¥ thì d2 cũng tiến đến -¥. Nếu d1 hoặc d2 tiến đến +¥, thì N(d1) hoặc N(d2) tiến đến 1. Nếu d1 hoặc d2 tiến đến -¥, thì N(d1) hoặc N(d2) tiến đến 0. Vì vậy khi T = 0, công thức Black – Scholes biến đổi như sau: Nếu ST>X ST/X>1, ln(ST/X)>0, d1 tiến đến +¥, và d2 tiến đến +¥, N(d1) tiến đến 1, N(d2) tiến đến 1, và vì =1, công thức trở thành ST – X Nếu ST£X, ln(ST/X)£0, d1 tiến đến -¥, và d2 tiến đến -¥, N(d1) tiến đến 0, N(d2) tiến đến 0, và công thức trở thành 0 – 0 =0 Vì vậy công thức trở thành Max(0, ST – X). Công thức Black – Scholes khi S0 = 0 Giả định rằng trước khi đáo hạn, giá cổ phiếu tiến đến 0 (đối với trường hợp công ty đã hoàn toàn chết). Chúng ta thấy rằng khi giá cổ phiếu tiến đến 0, logarit tự nhiên của S0/X tiến đến -¥. Khi đó d1 và d2 tiến đến -¥, nghĩa là N(d1) và N(d2) sẽ tiến đến 0. Điều này làm công thức Black – Sholes tiến đến 0. Công thức Black – Scholes khi Khi đó: = = Khi s tiến đến 0, thành phần thứ hai của d1 tiến đến 0. Ta xét thành phần thứ nhất Nếu S0> S0/>1 ln(S0/)>0 và d1 sẽ tiến đến +¥, N(d1) và N(d2) tiến đến 1, giá quyền chọn mua trở thành S0 - . Điều này có nghĩa là khi đáo hạn người sở hữu quyền chọn mua sẽ chi trả X, có hiện giá là , và sẽ nhận được cổ phiếu hiện tại có giá trị S0 và chắc chắn nhận được giá trị này khi đáo hạn. Vì vậy hiện tại quyền chọn mua có giá trị S0 - . Nếu S0 S0/1 ln(S0/) 0, và d1 sẽ tiến đến -¥, N(d1) và N(d2) tiến đến 0. Lúc đó giá trị quyền chọn tiến đến 0. Công thức Black – Scholes khi X = 0 Khi X = 0, một quyền chọn mua tương đương với một cổ phiếu. Khi đó d1 và d2 tiến đến +¥, N(d1) và N(d2) sẽ tiến đến 1. Công thức Black – Scholes trở thành S0(1) – 0(1) = S0. Công thức Black – Scholes khi rc = 0 Lãi suất phi rủi ro bằng 0 không phải là một trường hợp đặc biệt. Không nhất thiết phải có một mức lãi suất dương, và công thức Black – Scholes không trở thành bất kỳ một giá trị đặc biệt nào. 2.3.2.5. Các biến số trong mô hình Black - Scholes a. Giá cổ phiếu Mối quan hệ giữa giá cổ phiếu và giá quyền chọn thường được biểu diễn dưới dạng một giá trị đơn, gọi là delta. Delta thu được từ phép tính giải tích lấy vi phân giá quyền chọn mua trong mối tương quan với giá cổ phiếu. Delta quyền chọn mua = N(d1) Vì N(d1) là xác suất, delta phải có giá trị từ 0 đến 1. Vì các giả định của phép tính vi phân, delta là giá trị thay đổi của giá quyền chọn mua ứng với một thay đổi rất nhỏ trong giá cổ phiếu. Delta cũng thay đổi khi quyền chọn phát triển trong suốt thời hạn của nó. Nói cách khác, ngay cả khi giá cổ phiếu không thay đổi, delta cũng sẽ thay đổi. Nếu ta lập một danh mục với các vị thế khác nhau của các quyền chọn cũng như tài sản sao cho delta(danh mục) = 0. Điều này gọi là phòng hộ delta (delta hedge). Một vị thế được phòng hộ delta được gọi là trung lập delta Và danh mục có delta(danh mục) = 0 được gọi là danh mục dung hoà delta. Đối với các danh mục dung hoà delta để tránh phải điều chỉnh danh mục, giảm chi phí thì ta tính toán sao cho gamma của quyền chọn bằng 0. Gamma của quyền chọn là phần thay đổi của delta ứng với một mức thay đổi rất nhỏ trong giá cổ phiếu. Công thức gamma là: Gamma quyền chọn mua = Gamma càng lớn, delta càng nhạy cảm đối với sự thay đổi trong giá cổ phiếu và càng khó duy trì một vị thế trung lập delta. Gamma luôn luôn dương và lớn nhất khi giá cổ phiếu gần với giá thực hiện. Khi giá cổ phiếu cao hoặc thấp so với giá thực hiện, gamma gần bằng 0. Gamma thay đổi khi quyền chọn tiến dần đến ngày đáo hạn. Gamma đại diện cho tính không chắc chắn của delta. Gamma càng lớn khiến cho khó phòng ngừa delta hơn, vì delta thay đổi nhanh hơn và nhạy cảm hơn với những biến động lớn của giá cổ phiếu. b. Giá thực hiện Sự thay đổi trong giá quyền chọn mua đối với một sự thay đổi rất nhỏ trong giá thực hiện là một giá trị âm và được tính theo công thức . Vì giá thực hiện đối với một quyền chọn cho trước không thay đổi, khái niệm này chỉ có ý nghĩa khi xem xét một quyền chọn mua có giá thực hiện khác sẽ có giá trị cao hơn hay thấp hơn bao nhiêu. Trong trường hợp đó, chênh lệch giữa giá thực hiện có thể quá lớn nên không thể áp dụng công thức trên, công thức trên chỉ đúng trong trường hợp X thay đổi một lượng giá trị rất nhỏ. c. Lãi suất phi rủi ro Trong khuôn khổ mô hình Black – Scholes, lãi suất phi rủi ro phải được biểu diễn dưới dạng ghép lãi liên tục. Giá quyền chọn mua gần như là tuyến tính với lãi suất phi rủi ro và không thay đổi nhiều trong một biên độ khá rộng của lãi suất phi rủi ro. Độ nhạy cảm của giá quyền chọn mua với lãi suất phi rủi ro được gọi là rho và được tính bởi công thức: Rho của quyền chọn mua = TX Rho cũng thay đổi cùng với mức giá cổ phiếu, nhận giá trị cao hơn nếu giá cổ phiếu cao hơn. d. Độ bất ổn hay độ lệch chuẩn Trong mô hình Black – Scholes, độ bất ổn là độ lệch chuẩn của tỷ suất sinh lợi ghép lãi liên tục của cổ phiếu. Độ nhạy cảm của giá quyền chọn mua đối với một thay đổi rất nhỏ trong độ bất ổn được gọi là vega và được cho bởi công thức: Vega quyền chọn mua = Mô hình Black – Scholes không thật sự cho phép độ bất ổn thay đổi trong khi quyền chọn còn tồn tại. Tuy nhiên, khái niệm độ bất ổn thay đổi vẫn được quan tâm bởi những nhà kinh doanh quyền chọn sử dụng mô hình Black – Scholes. Rủi ro vega này có thể được phòng hộ bằng cách sử dụng một vị thế bù trừ theo một công cụ khác, ví dụ như một quyền chọn mua khác, dựa trên rủi ro vega của nó. Để đạt được một ước lượng có thể tin cậy về độ bất ổn hoặc độ lệch chuẩn là một việc làm khó khăn. Hơn nữa, mô hình Black – Scholes và giá quyền chọn nói chung rất nhạy cảm với ước lượng này. Có hai phương pháp tiếp cận để ước lượng độ bất ổn: độ bất ổn quá khứ và độ bất ổn hàm ý. - Độ bất ổn quá khứ Ước lượng độ bất ổn quá khứ dựa trên giả định rằng độ bất ổn thường lấy trong quá khứ sẽ tiếp tục tồn tại trong tương lai. Thứ nhất, chúng ta lấy một mẫu các tỷ suất lợi sinh lợi của cổ phiếu trong một giai đoạn gần đây. Chúng ta chuyển các tỷ suất sinh lợi này thành các tỷ suất sinh lợi ghép lãi liên tục. Tỷ suất sinh lợi có thể là hàng ngày, hàng tuần, hàng tháng hoặc bất kỳ khoảng cách thời gian nào mà chúng ta muốn. Nếu tính tỷ suất sinh lợi đuợc tính theo tháng thì kết quả sẽ là phương sai tháng và phải nhân với 12 để thu số liệu theo năm. Không có giới hạn vế số lượng quan sát tối thiểu của mẫu, một mẫu khoảng 60 quan sát sẽ là tương đối đầy đủ trong hầu hết các trường hợp. Yếu tố đánh đổi trong lựa chọn kích thước mẫu là số quan sát được sử dụng càng nhiều, chúng ta phải đi ngược dòng thời gian nhiều hơn. Chúng ta càng ngược dòng thời gian nhiều, càng có nhiều khả năng độ bất ổn sẽ thay đổi. Giả định chúng ta có một dãy gồm j tỷ suất sinh lợi ghép lãi liên tục, mỗi tỷ suất sinh lợi đựơc biểu diễn là Rt, và đi từ 1 đến j. Thứ nhất ta tính tỷ suất sinh lợi trung bình như sau: = Khi đó phương sai là - Độ bất ổn hàm ý Cách tiếp cận thứ hai để ước lượng độ bất ổn được gọi là độ bất ổn hàm ý, được gọi là . Qui trình này giả định rằng giá thị trường của quyền chọn phản ánh độ bất ổn hiện tại của cổ phiếu. Độ bất ổn hàm ý là độ lệch chuẩn làm cho giá theo mô hình Black – Scholes bằng với giá thị trường hiện tại của quyền chọn. Đối với bất kỳ giá thực hiện cho trước nào, mối quan hệ giữa độ bất ổn hàm ý và thời gian đáo hạn quyền chọn được gọi là cấu trúc kỳ hạn của độ bất ổn hàm ý. Vì độ bất ổn này được giả định đại diện cho độ bất ổn của cổ phiếu qua các thời gian đáo hạn của quyền chọn, rất có thể các độ bất ổn có thể thay đổi qua các khoảng thời gian khác nhau. e. Thời gian đến khi đáo hạn Mối quan hệ giữa giá quyền chọn và thời gian đến khi đáo hạn được minh hoạ trong hình dưới đây. Giá quyền chọn 0 Thời gian đến khi đáo hạn Mức giảm trong giá trị quyền chọn mua khi thời gian trôi đi là phần suy giảm giá trị thời gian. Tỷ lệ của phần suy giảm giá trị thời gian được đo bằng theta của quyền chọn, và được cho bởi công thức: Theta quyền chọn mua = -- Mở rộng Công thức định giá quyền chọn kiểu Châu Âu đối với các tài sản khác - Công thức Black – Scholes đối với cổ phiếu trong trường hợp có cổ tức Trong đó: d là tỷ suất cổ tức trong kỳ hạn của quyền chọn - Công thức Black – Scholes về ngoại tệ Trong đó: S = là tỷ giá giao ngay giữa hai đồng tiền rf = là lãi suất phi rủi ro của nước ngoài r = là lãi suất phi rủi ro trong nước X = là tỷ giá thực hiện = là độ giao động của tỷ giá - Công thức Black – Scholes về Future Trong đó: F = giá hiện thời của hợp đồng tương lai X = là giá thực hiện r = là lãi suất phi rủi ro = là độ giao động của giá hợp đồng tương lai Công thức Black – Scholes đối với quyền chọn vàng cũng tương tự như đối với trường hợp quyền chọn về cổ phiếu không có cổ tức (trong kỳ hạn của quyền chọn). CHƯƠNG 3: SỬ DỤNG MÔ HÌNH BLACK – SCHOLES ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN VÀNG 3.1. MỘT SỐ MÔ HÌNH KIỂM ĐỊNH VÀ ƯỚC LƯỢNG 3.1.1. Mô hình chuyển động Brown hình học (GBM) 3.1.1.1. Mô tả DSt = St+Dt - St - lợi suất của tài sản cơ sở trong chu kỳ Dt Lợi suất này có hai xu hướng: - Xu hướng tăng ổn định và tỷ lệ với khoảng thời gian Dt. Nếu ký hiệu là mức lợi suất trung bình của tài sản cơ sở trong một đơn vị thời gian, Dt là lợi suất của tài sản cơ sở trong khoảng thời gian Dt. - Xu hướng biến động ngẫu nhiên không ổn định với mức độ tỷ lệ với độ giao động của tài sản cơ sở và tỷ lệ với , đồng thời tỷ lệ với một nhiễu trắng dạng Gauss,~ NID(0,1). 3.1.1.2. Dạng rời rạc của mô hình GBM là các hằng số. DSt = St Với mô hình GBM dạng rời rạc thì lợi suất tài sản sau khoảng thời gian Dt có phân bố chuẩn N(. Từ dạng rời rạc của mô hình GBM suy ra exp(; hay St+Dt = Stexp( 3.1.1.3. Dạng liên tục của mô hình GBM (1) B là chuyển động Brown là hằng số {St} là quá trình giá tài sản tuân theo mô hình GBM nếu nó là nghiệm của phương trình vi phân (1). Xét quá trình {xt} với lnSt. {xt} là quá trình ngẫu nhiên, theo công thức Ito dxt = {xt} là quá trình Wiener tổng quát. ((ln(ST/St)= lnST – lnSt) là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn, N. lnST là biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn, N. 3.1.2. Các kiểm định {lnSt} là quá trình logarit của giá tài sản. Để kiểm định giả thiết - Giá của tài sản cơ sở có tuân theo phân phối logarit chuẩn hay không (tức là Rt = ln(St/St-1) có phân phối chuẩn) ta chỉ cần kiểm định {St} là quá trình giá có động thái tuân theo mô hình GBM. Kiểm định {St} là quá trình có động thái tuân theo mô hình GBM tương đương với việc kiểm định xt ( lnSt) là nghiệm của phương trình vi phân dxt = Dạng rời rạc: Dxt = ~ NID(0,1). Đặt , cho Dt = 1 Dxt = xt – xt-1 = xt = xt-1 + vt vt =, vt ~ N(0, xt là một bước ngẫu nhiên (Random Walk). Vậy việc kiểm định {St} là quá trình giá có động thái tuân theo mô hình GBM bây giờ tương đương với kiểm định xt là một bước ngẫu nhiên. Sử dụng kiểm định nghiệm đơn vị của Dickey – Fuller (DF) Ta có quá trình AR(1): xt =xt-1 + vt , vt ~ N(0, Kiểm định cặp giả thiết: H0 : a = 1 H1 : a < 1 Nếu chấp nhận H0 thì ta kết luận quá trình {xt} là một bước ngẫu nhiên, hay {St} là quá trình giá có động thái tuân theo mô hình GBM. Ở đây sử dụng độ bất ổn (độ lệch chuẩn) quá khứ hoặc có thể ước lương độ lệch chuẩn bằng mô hình ARCH, GARCH. 3.1.3. Mô hình ước lượng độ bất ổn 3.1.3.1. Mô hình ARCH Mô hình ARCH(m) có dạng Trong đó: Rt là lợi suất của tài sản giữa tại thời điểm t. . là biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố và có E() = 0, Var( ) =1. Phương sai dài hạn 3.1.3.2. Mô hình GARCH Mô hình GARCH(m,s) có dạng Trong đó: , Phương sai dài hạn 3.2. SỬ DỤNG MÔ HÌNH BLACK – SCHOLES ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN VÀNG 3.2.1. Số liệu và nguồn gốc số liệu Các số liệu lấy từ trang web WWW.NEATIDEAS.COM. Giá vàng của thế giới được tính theo tháng, từ tháng 01 năm 1968 đến tháng 01 năm 2006. Bản chất số liệu dùng để phân tích là sử dụng số liệu chuỗi thời gian. Hình 3.1 Từ hình 3.1, ta thấy tốc độ tăng trưởng của giá vàng trước năm 1980 nhanh và có phần tăng vọt không ổn định. Từ sau năm 1980 giá vàng lúc tăng lúc giảm nhưng theo xu hướng đi lên và với biên độ nhỏ hơn trước đó. Từ năm 2006, giá vàng đang có xu hướng tăng lên. 3.2.2. Các kiểm định {St} là chuỗi giá vàng. Lợi suất của vàng được tính theo công thức ghép lãi liên tục: Rt = ln 3.2.2.1. Kiểm định tính dừng của chuỗi lợi suất của vàng Vẽ đồ thị Hình 3.2 Từ hình 3.2, ta thấy Rt là chuỗi dừng và không có hệ số chặn. Sử dụng kiểm định nghiệm đơn vị theo tiêu chuẩn Dickey – Fuller (DF) ADF Test Statistic -14.31335 1% Critical Value* -2.5702 5% Critical Value -1.9402 10% Critical Value -1.6160 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(R) Method: Least Squares Date: 04/30/07 Time: 21:41 Sample(adjusted): 1968:04 2006:01 Included observations: 454 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. R(-1) -0.780534 0.054532 -14.31335 0.0000 D(R(-1)) 0.147257 0.046685 3.154290 0.0017 R-squared 0.352904 Mean dependent var 0.000165 Adjusted R-squared 0.351472 S.D. dependent var 0.058760 S.E. of regression 0.047320 Akaike info criterion -3.259378 Sum squared resid 1.012104 Schwarz criterion -3.241237 Log likelihood 741.8788 Durbin-Watson stat 1.961616 Từ bảng trên ta có , ta kết luận chuỗi lợi suất của vàng là chuỗi dừng. 3.2.2.2. Kiểm định tính phân phối chuẩn của chuỗi log giá vàng Kiểm định xt ( lnSt) là một bước ngẫu nhiên. Sử dụng kiểm định nghiệm đơn vị ADF Test Statistic -2.478659 1% Critical Value* -3.4469 5% Critical Value -2.8681 10% Critical Value -2.5703 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(X) Method: Least Squares Date: 04/20/07 Time: 17:51 Sample(adjusted): 1968:02 2006:01 Included observations: 456 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. X(-1) -0.007406 0.002988 -2.478659 0.0136 C 0.046542 0.016510 2.819030 0.0050 R-squared 0.013352 Mean dependent var 0.006028 Adjusted R-squared 0.011179 S.D. dependent var 0.049953 S.E. of regression 0.049673 Akaike info criterion -3.162337 Sum squared resid 1.120199 Schwarz criterion -3.144256 Log likelihood 723.0128 F-statistic 6.143750 Durbin-Watson stat 1.386007 Prob(F-statistic) 0.013550 Từ bảng trên ta có với , 5%, 10% vậy {xt} là chuỗi không dừng hay xt là bước ngẫu nhiên. Do đó Rt có phân phối chuẩn hay Giá vàng tuân theo phân phối logarit chuẩn. Hình 3.3 Hình 3.3 thể hiện giá vàng tuân theo phân phối logarit chuẩn 3.2.3. Ước lượng các biến số Định dạng mô hình ARIMA đối với R bằng lược đồ tương quan Từ lược đồ tương quan ta thấy r1 ¹ 0, r11 ¹ 0 và sau đó là giảm dần. Do vậy, ta có mô hình ARIMA(1,0,1).s 3.2.3.1. Ước lượng độ bất ổn bằng mô hình ARCH(1) Dependent Variable: R Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 05/02/07 Time: 20:23 Sample(adjusted): 1968:03 2006:01 Included observations: 455 after adjusting endpoints Convergence achieved after 18 iterations MA backcast: 1968:02, Variance backcast: ON Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C 0.003384 0.002793 1.211769 0.2256 AR(1) -0.195846 0.095281 -2.055444 0.0398 MA(1) 0.574958 0.068583 8.383348 0.0000 Variance Equation C 0.001465 7.40E-05 19.78700 0.0000 ARCH(1) 0.291131 0.049039 5.936689 0.0000 R-squared 0.122345 Mean dependent var 0.006041 Adjusted R-squared 0.114544 S.D. dependent var 0.050007 S.E. of regression 0.047056 Akaike info criterion -3.418684 Sum squared resid 0.996421 Schwarz criterion -3.373406 Log likelihood 782.7507 F-statistic 15.68248 Durbin-Watson stat 2.005521 Prob(F-statistic) 0.000000 Inverted AR Roots -.20 Inverted MA Roots -.57 Phương sai dài hạn: 0.002067 Vậy độ bất ổn là 0.045461. Độ bất ổn năm là 0.045461* = 0.15748. 3.2.3.2. Ước lượng độ bất ổn bằng mô hình GARCH(1,1) Dependent Variable: R Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 05/02/07 Time: 20:26 Sample(adjusted): 1968:03 2006:01 Included observations: 455 after adjusting endpoints Convergence achieved after 17 iterations MA backcast: 1968:02, Variance backcast: ON Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C 0.002775 0.002236 1.240706 0.2147 AR(1) -0.177297 0.165587 -1.070714 0.2843 MA(1) 0.487804 0.145578 3.350799 0.0008 Variance Equation C 6.40E-05 1.74E-05 3.671681 0.0002 ARCH(1) 0.161594 0.027483 5.879708 0.0000 GARCH(1) 0.817908 0.025232 32.41600 0.0000 R-squared 0.118271 Mean dependent var 0.006041 Adjusted R-squared 0.108452 S.D. dependent var 0.050007 S.E. of regression 0.047218 Akaike info criterion -3.587248 Sum squared resid 1.001046 Schwarz criterion -3.532914 Log likelihood 822.0988 F-statistic 12.04539 Durbin-Watson stat 1.867574 Prob(F-statistic) 0.000000 Inverted AR Roots -.18 Inverted MA Roots -.49 Phương sai dài hạn: 0.003312 Độ bất ổn bằng = 0.057547 Độ bất ổn năm là 0.057547* = 0.199347 Mô hình này có nhược điểm là chưa kết luận được về hiện tượng tự tương quan vì thống kê DW = 1.867574. 3.2.3.3. Độ bất ổn quá khứ Tóm tắt bằng bảng tính sau Ngày Giá Rt Ngày Giá Rt 01/1968 35.2 02/1968 35.2 0 3.63E-05 02/1987 401.12 -0.0176 0.00056 03/1968 35.2 0 3.63E-05 03/1987 408.91 0.0192 0.00017 04/1968 37.9 0.0739 0.004607 04/1987 438.35 0.0695 0.00403 05/1968 40.7 0.0713 0.004257 05/1987 460.23 0.0487 0.00182 06/1968 41.1 0.0098 1.41E-05 06/1987 449.59 -0.0234 0.00087 07/1968 39.5 -0.0397 0.002092 07/1987 450.52 0.0021 1.6E-05 08/1968 39.2 -0.0076 0.000186 08/1987 461.15 0.0233 0.0003 09/1968 40.2 0.0252 0.000367 09/1987 460.2 -0.0021 6.5E-05 10/1968 39.2 -0.0252 0.000975 10/1987 465.36 0.0112 2.6E-05 11/1968 39.8 0.0152 8.4E-05 11/1987 467.57 0.0047 1.7E-06 12/1968 41.1 0.0321 0.000682 12/1987 486.31 0.0393 0.00111 01/1969 42.3 0.0288 0.000518 01/1988 476.58 -0.0202 0.00069 02/1969 42.6 0.0071 1.08E-06 02/1988 442.07 -0.0752 0.00659 03/1969 43.2 0.014 6.33E-05 03/1988 443.61 0.0035 6.5E-06 04/1969 43.3 0.0023 1.38E-05 04/1988 451.55 0.0177 0.00014 05/1969 43.5 0.0037 5.47E-06 05/1988 451.01 -0.0012 5.2E-05 06/1969 41.4 -0.0476 0.002875 06/1988 451.33 0.0007 2.8E-05 07/1969 41.8 0.0077 2.77E-06 07/1988 437.63 -0.0308 0.00136 08/1969 41.1 -0.0162 0.000493 08/1988 431.31 -0.0145 0.00042 09/1969 40.9 -0.0054 0.00013 09/1988 412.79 -0.0439 0.00249 10/1969 40.4 -0.0106 0.000276 10/1988 406.78 -0.0147 0.00043 11/1969 37.4 -0.0781 0.007086 11/1988 420.17 0.0324 0.00069 Ngày Giá Rt Ngày Giá Rt 12/1969 35.2 -0.0615 0.004557 12/1988 418.49 -0.004 0.0001 01/1970 34.9 -0.0066 0.000158 01/1989 404.01 -0.0352 0.0017 02/1970 35 0.0014 2.11E-05 02/1989 387.78 -0.041 0.00221 03/1970 35.1 0.0029 1.01E-05 02/1989 390.15 0.0061 4.3E-09 04/1970 35.6 0.015 8.03E-05 04/1989 384.06 -0.0157 0.00047 05/1970 36 0.0092 1.02E-05 05/1989 371 -0.0346 0.00165 06/1970 35.4 -0.0143 0.000413 06/1989 367.6 -0.0092 0.00023 07/1970 35.3 -0.0034 8.87E-05 07/1989 375.04 0.02 0.0002 08/1970 35.4 0.0017 1.88E-05 08/1989 365.37 -0.0261 0.00103 09/1970 36.2 0.0226 0.000276 09/1989 361.75 -0.01 0.00026 10/1970 37.5 0.0361 0.000904 10/1989 366.88 0.0141 6.5E-05 11/1970 37.4 -0.0021 6.66E-05 11/1989 394.26 0.072 0.00435 12/1970 37.4 0 3.63E-05 12/1989 409.39 0.0377 0.001 01/1971 37.9 0.0114 2.91E-05 01/1990 410.11 0.0018 1.8E-05 02/1971 38.7 0.0227 0.000278 02/1990 416.83 0.0163 0.0001 03/1971 38.9 0.0034 7.17E-06 03/1990 393.07 -0.0587 0.00419 04/1971 39 0.0036 5.92E-06 04/1990 374.27 -0.049 0.00303 05/1971 40.5 0.038 0.001021 05/1990 369.19 -0.0137 0.00039 06/1971 40.1 -0.0104 0.000271 06/1990 352.33 -0.0467 0.00278 07/1971 41 0.021 0.000223 07/1990 362.53 0.0285 0.00051 08/1971 42.7 0.0425 0.001334 08/1990 394.73 0.0851 0.00625 09/1971 42 -0.0168 0.000519 09/1990 388.41 -0.0161 0.00049 10/1971 42.5 0.0114 2.84E-05 10/1990 380.74 -0.0199 0.00067 11/1971 42.9 0.0084 5.79E-06 11/1990 381.73 0.0026 1.2E-05 12/1971 43.5 0.0144 6.95E-05 12/1990 378.16 -0.0094 0.00024 01/1972 45.8 0.0509 0.002013 01/1991 383.64 0.0144 7E-05 02/1972 48.3 0.0534 0.002245 02/1991 363.83 -0.053 0.00349 03/1972 48.3 0.0014 2.1E-05 03/1991 363.33 -0.0014 5.5E-05 04/1972 49 0.0144 6.98E-05 04/1991 358.39 -0.0137 0.00039 05/1972 54.6 0.108 0.010392 05/1991 356.82 -0.0044 0.00011 06/1972 62.1 0.1282 0.014922 06/1991 366.72 0.0274 0.00046 07/1972 65.7 0.0561 0.002503 07/1991 367.68 0.0026 1.2E-05 08/1972 67 0.0205 0.000209 08/1991 356.23 -0.0316 0.00142 09/1972 65.5 -0.0235 0.000875 09/1991 348.74 -0.0212 0.00074 Ngày Giá Rt Ngày Giá Rt 10/1972 64.9 -0.0094 0.000237 10/1991 358.69 0.0281 0.00049 11/1972 62.9 -0.0305 0.001336 11/1991 360.17 0.0041 3.6E-06 12/1972 63.9 0.0158 9.49E-05 12/1991 361.06 0.0025 1.3E-05 01/1973 65.1 0.0191 0.00017 01/1992 354.45 -0.0185 0.0006 02/1973 74.2 0.1302 0.015425 02/1992 353.89 -0.0016 5.8E-05 03/1973 84.4 0.1284 0.014987 03/1992 344.35 -0.0273 0.00111 04/1973 90.5 0.0701 0.00411 04/1992 338.5 -0.0171 0.00054 05/1973 102 0.1192 0.012815 05/1992 337.23 -0.0038 9.6E-05 06/1973 120 0.1639 0.024927 06/1992 340.8 0.0105 2E-05 07/1973 120 0.0004 3.15E-05 07/1992 353.05 0.0353 0.00086 08/1973 107 -0.1183 0.015463 08/1992 342.96 -0.029 0.00123 09/1973 103 -0.0361 0.001779 09/1992 345.55 0.0075 2.2E-06 10/1973 100 -0.0285 0.00119 10/1992 344.38 -0.0034 8.9E-05 11/1973 94.8 -0.054 0.003602 11/1992 335.87 -0.025 0.00096 12/1973 107 0.1182 0.012589 12/1992 334.8 -0.0032 8.5E-05 01/1974 129 0.1911 0.034243 01/1993 329.01 -0.0174 0.00055 02/1974 150 0.1509 0.020983 02/1993 329.35 0.001 2.5E-05 03/1974 168 0.1143 0.011721 03/1993 330.08 0.0022 1.5E-05 04/1974 172 0.0224 0.000269 04/1993 342.07 0.0357 0.00088 05/1974 163 -0.0535 0.003542 05/1993 367.18 0.0708 0.0042 06/1974 154 -0.0578 0.004074 06/1993 371.89 0.0127 4.5E-05 07/1974 143 -0.0749 0.006549 07/1993 392.19 0.0531 0.00222 08/1974 155 0.0784 0.005237 08/1993 378.84 -0.0346 0.00165 09/1974 152 -0.0187 0.000613 09/1993 355.27 -0.0642 0.00494 10/1974 159 0.0452 0.001531 10/1993 364.18 0.0248 0.00035 11/1974 182 0.1346 0.016535 11/1993 373.83 0.0262 0.00041 12/1974 184 0.012 3.55E-05 12/1993 383.35 0.0251 0.00037 01/1975 176 -0.0421 0.002317 01/1994 386.88 0.0092 9.9E-06 02/1975 180 0.0187 0.00016 02/1994 381.91 -0.0129 0.00036 03/1975 178 -0.008 0.000197 03/1994 384.13 0.0058 5.4E-08 04/1975 170 -0.0478 0.0029 04/1994 377.27 -0.018 0.00058 05/1975 167 -0.0145 0.000423 05/1994 381.26 0.0105 2E-05 06/1975 164 -0.019 0.000626 06/1994 385.64 0.0114 2.9E-05 07/1975 165 0.0056 1.45E-07 07/1994 385.49 -0.0004 4.1E-05 Ngày Giá Rt Ngày Giá Rt 08/1975 163 -0.0132 0.000371 08/1994 380.35 -0.0134 0.00038 09/1975 144 -0.1233 0.016729 09/1994 391.58 0.0291 0.00053 10/1975 143 -0.0093 0.000234 10/1994 389.77 -0.0046 0.00011 11/1975 142 -0.0024 7.08E-05 11/1994 384.39 -0.0139 0.0004 12/1975 139 -0.0222 0.000794 12/1994 379.29 -0.0134 0.00038 01/1976 131 -0.0577 0.004061 01/1995 378.55 -0.002 6.4E-05 02/1976 131 -0.0032 8.51E-05 02/1995 376.64 -0.0051 0.00012 03/1976 133 0.0115 2.95E-05 03/1995 382.12 0.0144 7.1E-05 04/1976 128 -0.0356 0.001735 04/1995 391.03 0.023 0.00029 05/1976 127 -0.0078 0.000193 05/1995 385.12 -0.0152 0.00045 06/1976 126 -0.0097 0.000249 06/1995 387.56 0.0063 8.3E-08 07/1976 118 -0.0653 0.005092 07/1995 386.23 -0.0034 9E-05 08/1976 110 -0.0688 0.0056 08/1995 383.81 -0.0063 0.00015 09/1976 114 0.0377 0.001001 09/1995 383.05 -0.002 6.4E-05 10/1976 116 0.0173 0.000127 10/1995 383.14 0.0002 3.4E-05 11/1976 130 0.1164 0.012187 11/1995 385.3 0.0056 1.6E-07 12/1976 134 0.0257 0.000388 12/1995 387.44 0.0055 2.4E-07 01/1977 132 -0.0122 0.000331 01/1996 400.27 0.0326 0.0007 02/1977 136 0.03 0.000575 02/1996 404.79 0.0112 2.7E-05 03/1977 148 0.0839 0.006066 03/1996 396.25 -0.0213 0.00075 04/1977 149 0.0063 8.66E-08 04/1996 392.83 -0.0087 0.00022 05/1977 147 -0.0173 0.000545 05/1996 391.86 -0.0025 7.2E-05 06/1977 141 -0.0406 0.002172 06/1996 385.27 -0.017 0.00053 07/1977 143 0.0184 0.000154 07/1996 383.47 -0.0047 0.00011 08/1977 145 0.0108 2.3E-05 08/1996 387.46 0.0104 1.9E-05 09/1977 150 0.031 0.000626 09/1996 383.14 -0.0112 0.0003 10/1977 159 0.0606 0.002977 10/1996 381.07 -0.0054 0.00013 11/1977 162 0.0202 0.000201 11/1996 377.85 -0.0085 0.00021 12/1977 160 -0.0102 0.000264 12/1996 369 -0.0237 0.00088 01/1978 173 0.0763 0.004937 01/1997 354.02 -0.0414 0.00225 02/1978 178 0.0284 0.000498 02/1997 346.49 -0.0215 0.00076 03/1978 184 0.0305 0.000597 03/1997 352.06 0.0159 9.8E-05 04/1978 175 -0.0468 0.002786 04/1997 344.59 -0.0214 0.00075 05/1978 176 0.0059 2.83E-08 05/1997 335.55 -0.0266 0.00106 Ngày Giá Rt Ngày Giá Rt 06/1978 184 0.0414 0.00125 06/1997 340.78 0.0155 8.9E-05 07/1978 189 0.0267 0.000427 07/1997 323.94 -0.0507 0.00322 08/1978 206 0.0891 0.006896 08/1997 324 0.0002 3.4E-05 09/1978 212 0.0276 0.000465 09/1997 322.72 -0.004 1E-04 10/1978 227 0.0698 0.004061 10/1997 324.81 0.0065 1.8E-07 11/1978 206 -0.0985 0.010916 11/1997 306.19 -0.059 0.00423 12/1978 208 0.0085 6.13E-06 12/1997 288.15 -0.0607 0.00446 01/1979 227 0.0894 0.006954 01/1998 289.24 0.0038 5.1E-06 02/1979 246 0.0779 0.005159 02/1998 297.61 0.0285 0.00051 03/1979 242 -0.0149 0.000437 03/1998 295.91 -0.0057 0.00014 04/1979 239 -0.012 0.000324 04/1998 308.42 0.0414 0.00125 05/1979 258 0.0743 0.004663 05/1998 299.04 -0.0309 0.00136 06/1979 279 0.08 0.005469 06/1998 292.27 -0.0229 0.00084 07/1979 295 0.0546 0.002362 07/1998 286.58 -0.0197 0.00066 08/1979 301 0.0204 0.000207 08/1998 283.95 -0.0092 0.00023 09/1979 355 0.1659 0.025575 09/1998 289.3 0.0187 0.00016 10/1979 392 0.0979 0.008448 10/1998 289.64 0.0012 2.4E-05 11/1979 392 0.0009 2.66E-05 11/1998 291 0.0047 1.8E-06 12/1979 455 0.1492 0.020509 12/1998 291.07 0.0002 3.3E-05 01/1980 675 0.3947 0.151054 01/1999 287.18 -0.0134 0.00038 02/1980 665 -0.0149 0.000438 02/1999 287.36 0.0006 2.9E-05 03/1980 554 -0.1839 0.036058 03/1999 286.11 -0.0044 0.00011 04/1980 517 -0.0676 0.005417 04/1999 282.55 -0.0125 0.00034 05/1980 514 -0.007 0.000169 05/1999 271.9 -0.0384 0.00198 06/1980 601 0.1562 0.022564 06/1999 261.35 -0.0396 0.00208 07/1980 644 0.07 0.004095 07/1999 256.14 -0.0201 0.00068 08/1980 627 -0.027 0.001088 08/1999 256.81 0.0026 1.2E-05 09/1980 674 0.0715 0.004286 09/1999 264.61 0.0299 0.00057 10/1980 661 -0.0187 0.000611 10/1999 311.14 0.162 0.02432 11/1980 623 -0.0587 0.004187 11/1999 293.42 -0.0586 0.00418 12/1980 595 -0.0469 0.002797 12/1999 283.41 -0.0347 0.00166 01/1981 557 -0.0652 0.00507 01/2000 284.45 0.0037 5.6E-06 02/1981 500 -0.1091 0.013259 02/2000 301.5 0.0582 0.00272 03/1981 499 -0.002 6.45E-05 03/2000 286.55 -0.0509 0.00324 Ngày Giá Rt Ngày Giá Rt 04/1981 496 -0.006 0.000144 04/2000 280.64 -0.0208 0.00072 05/1981 480 -0.033 0.001526 05/2000 282.10 0.0052 7E-07 06/1981 465 -0.0316 0.001417 06/2000 285.55 0.0122 3.8E-05 07/1981 409 -0.1271 0.017729 07/2000 281.87 -0.013 0.00036 08/1981 410 0.0021 1.52E-05 08/2000 274.65 -0.0259 0.00102 09/1981 444 0.0784 0.005231 09/2000 273.68 -0.0035 9.2E-05 10/1981 438 -0.0132 0.000371 10/2000 270.24 -0.0126 0.00035 11/1981 413 -0.0573 0.004014 11/2000 270.24 0 3.6E-05 12/1981 410 -0.0079 0.000195 12/2000 271.68 0.0053 5.1E-07 01/1982 384 -0.0647 0.005009 01/2001 265.79 -0.0219 0.00078 02/1982 374 -0.027 0.001093 02/2001 261.93 -0.0146 0.00043 03/1982 330 -0.1254 0.01727 03/2001 263.15 0.0046 1.9E-06 04/1982 350 0.0597 0.00288 04/2001 260.76 -0.0091 0.00023 05/1982 334 -0.0483 0.002952 05/2001 265.39 0.0176 0.00013 06/1982 315 -0.0581 0.004111 06/2001 268.35 0.0111 2.6E-05 07/1982 339 0.0734 0.004539 07/2001 271.58 0.012 3.5E-05 08/1982 364 0.0719 0.004336 08/2001 272.12 0.002 1.6E-05 09/1982 436 0.1793 0.030025 09/2001 283.40 0.0406 0.0012 10/1982 422 -0.0317 0.001426 10/2001 281.10 -0.0081 0.0002 11/1982 415 -0.0173 0.000544 11/2001 274.60 -0.0234 0.00087 12/1982 444 0.0684 0.003895 12/2001 276.25 0.006 1.4E-09 01/1983 481 0.08 0.005467 01/2002 281.65 0.0194 0.00018 02/1983 492 0.0219 0.000253 02/2002 295.50 0.048 0.00176 03/1983 420 -0.1589 0.027187 03/2002 294.05 -0.0049 0.00012 04/1983 433 0.031 0.000625 04/2002 302.68 0.0289 0.00052 05/1983 438 0.0118 3.36E-05 05/2002 314.49 0.0383 0.00104 06/1983 413 -0.0593 0.004273 06/2002 310.25 -0.0136 0.00038 07/1983 423 0.0236 0.000311 07/2002 313.29 0.0098 1.4E-05 08/1983 416 -0.0154 0.000461 08/2002 310.25 -0.0098 0.00025 09/1983 412 -0.0107 0.000281 09/2002 319.16 0.0283 0.0005 10/1983 394 -0.0453 0.00263 10/2002 316.56 -0.0082 0.0002 11/1983 382 -0.0308 0.001353 11/2002 319.15 0.0081 4.5E-06 12/1983 389 0.02 0.000195 12/2002 332.43 0.0408 0.00121 01/1984 371 -0.0486 0.002981 01/2003 356.86 0.0709 0.00421 Ngày Giá Rt Ngày Giá Rt 02/1984 386 0.0408 0.001206 02/2003 359.32 0.0069 7.1E-07 03/1984 394 0.0205 0.000209 03/2003 340.55 -0.0537 0.00356 04/1984 381 -0.0334 0.001558 04/2003 328.58 -0.0358 0.00175 05/1984 377 -0.0104 0.000271 05/2003 355.68 0.0793 0.00536 06/1984 378 0.0007 2.82E-05 06/2003 356.53 0.0024 1.3E-05 07/1984 347 -0.0834 0.007997 07/2003 351.00 -0.0156 0.00047 08/1984 348 0.0007 2.82E-05 08/2003 359.77 0.0247 0.00035 09/1984 341 -0.0192 0.000636 09/2003 378.95 0.0519 0.00211 10/1984 340 -0.0027 7.62E-05 10/2003 378.92 -8E-05 3.7E-05 11/1984 341 0.003 9.2E-06 11/2003 389.91 0.0286 0.00051 12/1984 320 -0.0637 0.004859 12/2003 407.59 0.0443 0.00147 01/1985 303 -0.0559 0.003833 01/2004 413.99 0.0156 9.1E-05 02/1985 299 -0.0121 0.000328 02/2004 405.33 -0.0211 0.00074 03/1985 304 0.0168 0.000116 03/2004 406.67 0.0033 7.4E-06 04/1985 325 0.0654 0.00353 04/2004 403.02 -0.009 0.00023 05/1985 317 -0.0253 0.000979 05/2004 383.40 -0.0499 0.00313 06/1985 317 0.0006 2.95E-05 06/2004 391.99 0.0222 0.00026 07/1985 317 0.0017 1.84E-05 07/2004 398.09 0.0154 8.9E-05 08/1985 329 0.037 0.000957 08/2004 400.48 0.006 1.8E-09 09/1985 324 -0.0155 0.000465 09/2004 405.25 0.0118 3.4E-05 10/1985 326 0.0052 7.39E-07 10/2004 423.34 0.0437 0.00142 11/1985 325 -0.0022 6.74E-05 11/2004 439.39 0.0372 0.00097 12/1985 321 -0.0137 0.000387 12/2004 441.76 0.0054 4.2E-07 01/1986 345 0.0738 0.004593 01/2005 424.15 -0.0407 0.00218 02/1986 339 -0.019 0.000625 02/2005 423.35 -0.0019 6.3E-05 03/1986 346 0.0199 0.000193 03/2005 434.25 0.0254 0.00038 04/1986 340 -0.0154 0.000457 04/2005 428.93 -0.0123 0.00034 05/1986 343 0.0062 3.25E-08 05/2005 421.87 -0.0166 0.00051 06/1986 343 3E-05 3.6E-05 06/2005 430.66 0.0206 0.00021 07/1980 349 0.0173 0.000127 07/2005 424.48 -0.0145 0.00042 08/1986 377 0.0774 0.005098 08/2005 437.93 0.0312 0.00063 09/1986 418 0.1037 0.00953 09/2005 456.05 0.0405 0.00119 10/1986 424 0.0137 5.95E-05 10/2005 469.9 0.0299 0.00057 11/1986 399 -0.0601 0.004372 11/2005 476.67 0.0143 6.9E-05 12/1986 391 -0.0192 0.000636 12/2005 510.10 0.0678 0.00381 01/1987 408 0.0426 0.001338 01/2006 549.86 0.0751 0.00477 Tổng cộng 2.7486 1.13536 Mẫu gồm 456 quan sát nên ta có n = 456. = 0.05. Độ bất ổn năm là 0.05* = 0.173 Nhược điểm của cách ước lượng này là, nếu ta chọn kích thước mẫu (số quan sát) càng nhiều, chúng ta phải đi ngược dòng thời gian nhiều hơn. Chúng ta càng ngược dòng thời gian nhiều, càng có nhiều khả năng độ bất ổn sẽ thay đổi. Tóm lại, mỗi cách ước lượng cho ta một độ bất ổn khác nhau, vì mỗi cách có giả thiết khác nhau và có ưu nhược điểm riêng. Tuỳ vào kết quả ước lượng được, phương pháp nào có kết quả gần với thực tế sẽ được lựa chọn. 3.2.4. Áp dụng công thức Black – Scholes để xác định giá quyền chọn Giá vàng giao tháng 5/2007 trên thị trường New York là X = 669 USD/ounce. S0 = 549.86 USD/ounce là giá vàng tại thời điểm t = 0 (tháng 01 năm 2006), 0.15748, T = 4/3 năm. Lãi suất phi rủi ro được lấy là lãi suất trái phiếu Chính phủ r = 8.6%/năm. Tính toán d1 -0,35701 Tính toán d2 = -0.35701–0.181842 = -0.53886 Tìm giá trị N(d1) Sử dụng hàm Normsdist( ) N(d1) = Normsdist(-0.35701) = 0.36054 Tìm giá trị N(d2) N(d2) = 0.294993 Đưa vào công thức để tìm C kiểu Châu Âu C = 549.86*0.36054 – 669*e-0.086*4/3*0.294993= 22.27684 USD Từ mối quan hệ giữa giá quyền chọn mua và quyền chọn bán kiểu Châu Âu C + Xe-r(T-t) = P + S Ta có P = C + Xe-r(T-t) – S = 22.27684 + 669*e-0.086*4/3 – 549.86 = 68.93959 USD Tương tự đối với các độ bất ổn khác, thay vào công thức ta cũng tính được giá quyền chọn. Việc lựa chọn độ bất ổn nào để tính giá quyền chọn là dựa vào kết quả tính toán bằng mô hình Black – Scholes sát với giá trị thực tế nhất, hơn nữa việc ước lượng độ bất ổn đó phải đảm bảo được tốt nhất các giả thiết của mô hình. 3.3. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN CHỈ SỐ GIÁ VÀNG Ở VIỆT NAM 3.3.1. Số liệu và nguồn gốc số liệu Số liệu được lấy từ trang web Tổng cục thống kê WWW.GSO.GOV.VN Chỉ số giá vàng được tính theo tháng, từ tháng 01 năm 1996 đến tháng 12 năm 2005. Bản chất sổ liệu dùng phân tích là số liệu chuỗi thời gian. 3.3.2. Các kiểm định {It} là chuỗi chỉ số giá vàng. Lợi suất của chỉ số giá vàng được tính theo công thức ghép lãi liên tục: 3.3.2.1. Kiểm định tính dừng của chuỗi lợi suất của chỉ số giá vàng Vẽ đồ thị Từ đồ thị ta thấy Rt là chuỗi dừng và không có hệ số chặn. Sử dụng kiểm định nghiệm đơn vị theo tiêu chuẩn DF ta có ADF Test Statistic -12.81986 1% Critical Value* -2.5833 5% Critical Value -1.9427 10% Critical Value -1.6171 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(R1) Method: Least Squares Date: 06/14/07 Time: 19:41 Sample(adjusted): 1996:04 2005:12 Included observations: 117 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. R1(-1) -1.977571 0.154258 -12.81986 0.0000 D(R1(-1)) 0.315363 0.089176 3.536392 0.0006 R-squared 0.773660 Mean dependent var 0.000689 Adjusted R-squared 0.771692 S.D. dependent var 0.083641 S.E. of regression 0.039965 Akaike info criterion -3.584679 Sum squared resid 0.183678 Schwarz criterion -3.537462 Log likelihood 211.7037 Durbin-Watson stat 2.163871 Từ bảng trên ta có với 5%, và 10%. Ta kết luận chuỗi lợi suất của chỉ số giá vàng là chuỗi dừng. 3.3.2.2. Kiểm định tính phân phối chuẩn của chuỗi log chỉ số giá vàng Đồ thị trên thể hiện sự phát triển của chỉ số giá vàng tuân theo phân phối logarit chuẩn. Đồ thị này cho biết chỉ số giá vàng có phân phối logarit chuẩn, vì kiểm định JB = 60.72 < với , và tương ứng với xác suất p = 0.0000 3.3.3. Ước lượng các biến số 3.3.3.1. Ước lượng độ bất ổn băng mô hình ARCH(1) Dependent Variable: R Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 06/14/07 Time: 19:06 Sample(adjusted): 1996:03 2005:12 Included observations: 118 after adjusting endpoints Convergence achieved after 56 iterations Variance backcast: ON Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C -0.004320 0.000877 -4.926182 0.0000 AR(1) -0.239782 0.055409 -4.327491 0.0000 Variance Equation C 0.000164 4.77E-05 3.440717 0.0006 ARCH(1) 4.079389 0.563723 7.236508 0.0000 R-squared 0.167769 Mean dependent var 0.000415 Adjusted R-squared 0.145868 S.D. dependent var 0.048251 S.E. of regression 0.044593 Akaike info criterion -3.706105 Sum squared resid 0.226694 Schwarz criterion -3.612183 Log likelihood 222.6602 F-statistic 7.660395 Durbin-Watson stat 2.637837 Prob(F-statistic) 0.000104 Inverted AR Roots -.24 Từ bảng trên ta thấy mô hình ARCH(1) không phù hợp vì không có phương sai dài hạn (). 3.3.3.2. Ước lượng độ bất ổn bằng mô hình GARCH(1,1) Dependent Variable: R Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 06/14/07 Time: 19:04 Sample(adjusted): 1996:03 2005:12 Included observations: 118 after adjusting endpoints Convergence achieved after 19 iterations Variance backcast: ON Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C -0.002653 0.001685 -1.574267 0.1154 AR(1) -0.480148 0.066140 -7.259599 0.0000 Variance Equation C -2.88E-05 8.26E-06 -3.486450 0.0005 ARCH(1) -0.016057 0.006832 -2.350379 0.0188 GARCH(1) 1.045708 0.007230 144.6276 0.0000 R-squared 0.242914 Mean dependent var 0.000415 Adjusted R-squared 0.216115 S.D. dependent var 0.048251 S.E. of regression 0.042720 Akaike info criterion -3.729030 Sum squared resid 0.206225 Schwarz criterion -3.611629 Log likelihood 225.0128 F-statistic 9.064138 Durbin-Watson stat 2.310761 Prob(F-statistic) 0.000002 Inverted AR Roots -.48 Mô hình GARCH(1,1) cũng không phù hợp vì hệ số do đó cũng không có phương sai dài hạn. 3.3.3.3. Độ bất ổn quá khứ Ngày Rt Ngày Rt 01/1996 01/2001 0.0282189 0.0007722 02/1996 0.00196 2.3E-06 02/2001 -0.0221337 0.0005092 03/1996 -0.01674 0.00029 03/2001 -0.0120122 0.0001548 04/1996 0 1.9E-07 04/2001 0.0029074 6.131E-06 05/1996 -0.01703 0.0003 05/2001 0.0111352 0.0001146 06/1996 -0.07116 0.00513 06/2001 0.0070559 4.389E-05 07/1996 0.06914 0.00472 07/2001 -0.0050743 3.031E-05 08/1996 0.01606 0.00024 08/2001 0.0029705 6.448E-06 09/1996 -0.00299 1.2E-05 09/2001 0.006838 4.105E-05 10/1996 0.00399 1.3E-05 10/2001 0.0246457 0.0005863 11/1996 -0.00699 5.5E-05 11/2001 -0.0517618 0.0027241 12/1996 -0.00502 3E-05 12/2001 0.0171123 0.0002783 01/1997 0.01102 0.00011 01/2002 -0.0377184 0.0014554 02/1997 -0.01606 0.00027 02/2002 0.0485717 0.0023175 03/1997 0.00605 3.2E-05 03/2002 0.0036083 1.009E-05 Ngày Rt Ngày Rt 04/1997 0 1.9E-07 04/2002 0.0182253 0.0003166 05/1997 -0.03168 0.00103 05/2002 -0.0110941 0.0001328 06/1997 0.0357 0.00124 06/2002 0.0132594 0.0001646 07/1997 -0.02846 0.00083 07/2002 -0.0403948 0.0016668 08/1997 0.0194 0.00036 08/2002 -2.983E-06 1.886E-07 09/1997 0.00202 2.5E-06 09/2002 0.0060445 3.151E-05 10/1997 0.00503 2.1E-05 10/2002 0.0136103 0.0001737 11/1997 0.04755 0.00222 11/2002 -0.0196197 0.000402 12/1997 -0.04354 0.00193 12/2002 0.0134881 0.0001705 01/1998 -0.01005 0.00011 01/2003 -0.1355628 0.0184944 02/1998 0.01901 0.00035 02/2003 0.1709774 0.029086 03/1998 -0.01397 0.00021 03/2003 -0.0590328 0.003536 04/1998 0.00601 3.1E-05 04/2003 -0.0197774 0.0004084 05/1998 0.00697 4.3E-05 05/2003 0.0334879 0.0010927 06/1998 -0.03534 0.00128 06/2003 0.0351202 0.0012033 07/1998 0.02035 0.0004 07/2003 -0.0388252 0.0015411 08/1998 0.02191 0.00046 08/2003 0.0027277 5.273E-06 09/1998 0.00295 6.4E-06 09/2003 0.0277663 0.0007472 10/1998 -0.01484 0.00023 10/2003 0.004342 1.529E-05 11/1998 -0.003 1.2E-05 11/2003 -0.003542 1.579E-05 12/1998 -0.001 2.1E-06 12/2003 0.0199069 0.0003793 01/1999 0.00778 5.4E-05 01/2004 -0.2547159 0.0651001 02/1999 -0.00278 1E-05 02/2004 0.1965654 0.0384686 03/1999 0.0004 1.1E-09 03/2004 0.0107227 0.0001059 04/1999 -0.01991 0.00041 04/2004 0.021212 0.0004318 05/1999 0.01412 0.00019 05/2004 -0.0650631 0.0042895 06/1999 -0.03963 0.0016 06/2004 0.0278678 0.0007528 07/1999 0.00995 9.1E-05 07/2004 0.019061 0.0003471 08/1999 0.01485 0.00021 08/2004 -0.0010247 2.12E-06 09/1999 0.01333 0.00017 09/2004 0.0108806 0.0001092 10/1999 0.08688 0.00747 10/2004 0.0017214 1.664E-06 11/1999 -0.08598 0.00747 11/2004 0.0148661 0.0002084 12/1999 0.01502 0.00021 12/2004 0.0161956 0.0002485 01/2000 -0.00703 5.6E-05 01/2005 -0.1785209 0.0320239 Ngày Rt Ngày Rt 02/2000 -0.00201 6E-06 02/2005 0.1123111 0.0125171 03/2000 -1.6E-05 2E-07 03/2005 0.0380961 0.0014186 04/2000 -0.01088 0.00013 04/2005 -0.0277464 0.000794 05/2000 0.00095 2.7E-07 05/2005 0.0061308 3.248E-05 06/2000 0.00097 2.9E-07 06/2005 -0.0135109 0.0001944 07/2000 0.00902 7.4E-05 07/2005 0.0270091 0.0007064 08/2000 -0.00401 2E-05 08/2005 -0.008343 7.699E-05 09/2000 -0.003 1.2E-05 09/2005 0.0132627 0.0001646 10/2000 0.002 2.5E-06 10/2005 0.0234064 0.0005279 11/2000 -0.00605 4.2E-05 11/2005 -0.031033 0.00099 12/2000 0.00097 2.9E-07 12/2005 0.063924 0.0040313 Tổng cộng 0.0508962 0.2723956 Mẫu gồm 119 quan sát nên ta có n =119. . Độ bất ổn năm là . Giả sử chỉ số giá vàng tháng 12 năm 2005 là 111.3 chỉ số giá vàng thực hiện tháng 5 năm 2007 là 154.55. Lãi suất phi rủi ro r = 8.6%, T = 1 năm, . Nếu biết chỉ số giá vàng tại thời điểm đang xét và chỉ số giá vàng thực hiện trong kỳ hạn tương ứng thì vận dụng công thức Black – Scholes tương tự đối với định giá quyền chọn vàng ta cũng xác định được mức phí quyền chọn mua và quyền chọn bán chỉ số giá vàng. = - 0.94313 – 0.1664369*0.141455 = -1.14123 N(d1) = 0.172808 N(d2) = 0.126887 C = IN(d1) – Xe-r(T-t)N(d2) = 111.3*0.172808 – 154.55*0.885296*0.126887 = 1.872419 P = C + Xe-r(T-t) - I = 1.1872419 + 154.55*0.885296 – 111.3 = 27.3949 NHẬN XÉT VÀ KẾT LUẬN Trong mô hình Black – Scholes có sử dụng những giả định không phù hợp với thực tế. Giả định giá của tài sản biến động ngẫu nhiên, tuy nhiên sự thật giá tài sản cơ sở có ngẫu nhiên hay không? Nhiều nhà quản trị tiền tệ chuyên nghiệp tuyên bố là có khả năng dự báo giá cổ phiếu. Họ quan sát các đồ thị và tuyên bố rằng những chuỗi số biểu diễn như vậy ít nhất là có thể dự đoán được một phần. Họ thấy được xu hướng tăng hoặc giảm và tin rằng có thể khai thác điều này để kiếm lợi nhuận lớn. Lãi suất phi rủi ro và độ bất ổn của tỷ suất sinh lợi theo logarit của giá tài sản không thay đổi trong suốt thời gian đáo hạn của quyền chọn? Giả định rằng lãi suất phi rủi ro là không tương đương với việc giả định lãi suất không thay đổi. Chúng ta biết rằng đương nhiên thực tế không phải như vậy. Giả định độ bất ổn, được biểu hiện bằng độ lệch chuẩn, không thay đổi là một giả định quan trọng. Có vẻ như giả định này luôn mâu thuẫn với thế giới thực. Thật ra không thể nhận thức rằng bất kỳ tài sản có rủi ro nào cũng có cùng một mức độ bất ổn trong một khoảng thời gian. Giả định không có thuế và chi phí giao dịch cũng không thực tế. Các quyết định giao dịch quyền chọn hiển nhiên bị ảnh hưởng bởi thuế và chi phí giao dịch. Giả định các quyền chọn là kiểu Châu Âu thể hiện sự hạn chế của mô hình Black – Scholes. Khả năng thực hiện sớm trong quyền chọn kiểu Mỹ không thể được điều chỉnh một cách dễ dàng để phù hợp với mô hình Black – Scholes. Tuy nhiên chúng ta sẽ thấy rằng mô hình Black – Scholes có thể giúp chúng ta hiểu biết tốt hơn về điều gì xảy ra khi một quyền chọn mua được thực hiện sớm. Trong hầu hết các trường hợp, mô hình nhị phân là cách tốt nhất để định giá quyền chọn kiểu Mỹ. Người ta rất dễ bác bỏ một mô hình vì các giả định của nó không được thoả mãn. Tuy nhiên, chấp nhận hay bác bỏ một mô hình phải dựa trên ba điều kiện: (1) Các kết quả đạt được từ mô hình có phù hợp với thực tế không? (2) Có mô hình nào tốt hơn không? (3) Mô hình có được sử dụng rộng rãi trong thực tế không? Từ sự phân tích trên, ta cũng thấy được kết quả tính toán của mô hình Black – Scholes sẽ không luôn luôn phù hợp với thực tế và mặc dù có những mô hình phức tạp hơn, đây là một mô hình được sử dụng rộng rãi. Hơn nữa, các mô hình khác gần như luôn có cấu trúc cơ bản giống như mô hình Black – Scholes. Thật ra có thể nói rằng không có mô hình tài chính nào được ứng dụng rộng rãi như vậy trong thực tế. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. PGS.TS. Nguyễn Quang Dong, Khoa Toán Kinh Tế, Giáo trình Kinh tế lượng và bài giảng Kinh tế lượng. 2. PGS.TS. Nguyễn Quang Dong (2002), Một thử nghiệm mô hình các hợp đồng lựa chọn về nhều loại tài sản, Tạp chí Kinh tế và Phát triển. 3. PGS.TS Nguyễn Văn Nam, PGS.TS Vương Trọng Nghĩa (2002), Giáo trình Thị trường chứng khoán, Nxb Tài chính. 4. Trần Trọng Nguyên (2002), Công thức định giá quyền chọn trong mô hình thị trường có tính phụ thuộc, Tạp chí Kinh tế và Phát triển. 5. TS. Nguyễn Thị Ngọc Trang (2006), Quản trị rủi ro tài chính, Nxb Thống kê . 6. PGS.TS. Hoàng Đình Tuấn, Khoa Toán Kinh Tế, Bài giảng môn Phân tích và Định giá tài sản tài chính. 7. Web site www.gso.gov.vn www.Neatideas.com Do những yếu tố khách quan và những hạn chế của bản thân, khoá luận chỉ dừng lại ở việc xác định phí quyền chọn bằng mô hình Black – Scholes và sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Em mong được sự góp ý, chỉ bảo của thầy cô để đề tài được hoàn chỉnh hơn. Em xin chân thành cảm ơn!