Công thức Stokes: Tóm tắt bài giảng - Huỳnh Quang Vũ

.,dfx(vk)). (2.2.15) 2.2. DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP 31 Ví dụ 2.2.16. Chú ý rằng định nghĩa này tương thích với định nghĩa kéo lui trên Rn trước đây ở Định nghĩa 1.2.26. Thực vậy trên Rn thì ϕ(x) = y, ω =∑ f dyi1 · · ·dyik , và ω(ϕ(x))(dϕx(v1), . . .,dϕx(vk)) = ∑ f (ϕ(x))dyi1 · · ·dyik (ϕ(x))(dϕx(v1), . . .,dϕx(vk)) = ∑ f (ϕ(x))det ( dyi j (ϕ(x))(dϕx(vl) ) j,l = ∑ f (ϕ(x))det ( d(yi j ◦ϕ)x(vl) ) j,l = ∑ f (ϕ(x))det ( d(ϕi j )x(vl) ) j,l = ∑ f (ϕ(x))dϕi1 · · ·dϕik (x)(v1, . . .,vl) = (ϕ∗ω)(x)(v1, . . .,vl). Dễ thấy kéo lui vẫn có tính tuyến tính vì phép cộng của dạng là phép cộng của ánh xạ, nghĩa là cộng giá trị ở từng điểm. Bổ đề 2.2.17. Kéo lui vẫn có tính tự nhiên như trên Rn. Chứng minh. Giả sử f : M→ N và g : N→ P là các hàm trơn và ω là một dạng bậc k trên P. Ta có từ đạo hàm của hàm hợp: (g ◦ f )∗ω(x)(v1, . . .,vk) = ω((g ◦ f )(x))(d(g ◦ f )x(v1), . . .,d(g ◦ f )x(vk)) = ω(g( f (x))(dgf (x)(df x(v1)), . . .,dgf (x)(df x(vk))) = (g∗ω)( f (x))(df x(v1), . . .,df x(vk)) = f ∗(g∗(ω))(x)(v1, . . .,vk). Vậy (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦g∗.  Mệnh đề 2.2.18. Giả sử với mỗi tham số hóa địa phương (Uϕ, ϕ) của đa tạp có biên M có một dạng ωϕ xác định trên Uα. Nếu với mọi tham số hóa địa phương ϕ,ψ ta có (ψ−1 ◦ϕ)∗ωψ = ωϕ , thì tồn tại duy nhất một dạng ω trên M sao cho ϕ∗ω = ωϕ , tức ω = (ϕ−1)∗(ωϕ). Nói ngắn gọn, nếu các dạng địa phương tương thích qua phép đổi biến thì chúng xác định duy nhất một dạng trên đa tạp. Chứng minh. Giả sử (Uϕ, ϕ) là một tham số hóa của một lân cận của một điểm trên M , ta đặt theo cách không thể khác là ω = (ϕ−1)∗ωϕ . Ta kiểm ω không phụ thuộc vào cách chọn ϕ. Giả sử (Uψ,ψ) là một tham số hóa khác cho một lân cận của điểm này. Vì ωψ = (ϕ−1 ◦ψ)∗ωϕ , nên (ψ−1)∗ωψ = (ψ−1)∗ ( (ϕ−1 ◦ψ)∗ωϕ ) = ( (ϕ−1 ◦ψ) ◦ψ−1 )∗ ωϕ = (ϕ−1)∗ωϕ . Vậy ω không phụ thuộc vào cách chọn tham số hóa địa phương.  Nhờ mệnh đề này ta có thể làm việc với dạng trên đa tạp bằng cách làm việc với các biễu diễn địa phương của chúng trên không gian Euclid. Ta nói một dạng trên đa tạp là trơn nếu biễu diễn địa phương bất kì của nó là dạng trơn. Kéo lui ϕ∗ω là một tương ứng mỗi điểm của U ⊂ Rn với một phiếm hàm k-tuyến tính đan dấu trên Rn. Từ Bổ đề 2.2.10, một tương ứng như vậy phải bằng∑ 1≤i1<···<ik ≤n f(i1,...,ik )dxi1 · · ·dxik . Dạng vi phân, hay dạng trơn, chính là những tương ứng như vậy mà có các hệ số f(i1,...,ik ) là các hàm trơn. Tính trơn của dạng không phụ thuộc cách chọn tham số hóa địa phương. Cho ϕ và ψ là hai tham số hóa địa phương. Nếu ω là một dạng trơn ứng với ϕ thì ϕ∗(ω) = ∑ f dxi1 · · ·dxik với f trơn. Khi đó (ϕ◦ψ)∗(ω) = ψ∗(ϕ∗(ω)) =∑ f ◦ψdψi1 · · ·dψik là một dạng vi phân trơn trên một tập mở của Rn, vậy ω cũng trơn ứng với ψ. 32 CHƯƠNG 2. DẠNG VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP Định nghĩa 2.2.19. Ta nói một ánh xạ tương ứng mỗi điểm trên đa tạp với một phiếm hàm k-tuyến tính đan dấu trên không gian tiếp xúc là một dạng vi phân trên đa tạp nếu kéo lui của ánh xạ đó qua một tham số hóa địa phương bất kì của đa tạp là một dạng vi phân trên tập mở của Rn. Ví dụ 2.2.20. Nếu đa tạp là Rn hay tập mở của Rn thì có thể lấy tham số hóa ϕ là ánh xạ đồng nhất, và dạng trên đa tạp chính là dạng trên Rn, thống nhất với phần trước. Ví dụ 2.2.21. Nếu M ⊂ RN thì một dạng vi phân trên RN hạn chế xuống M là một dạng vi phân trên M . Tích của dạng được định nghĩa thông qua tích của biễu diễn địa phương của chúng. Cụ thể, giả sử ω1 và ω2 là dạng trên M và ϕ là một tham số hóa địa phương thì trên lân cận đó ta định nghĩa ω1ω2 = (ϕ−1)∗(ϕ∗(ω1)ϕ∗(ω2)), tức là (ω1ω2)ϕ = ϕ∗(ω1)ϕ∗(ω2). Tính độc lập với cách chọn tham số hóa được kiểm bởi (ψ−1 ◦ϕ)∗(ψ∗(ω1)ψ∗(ω2)) = [(ψ−1 ◦ϕ)∗(ψ∗(ω1))] [(ψ−1 ◦ϕ)∗(ψ∗(ω2))] = [ ϕ∗ ◦ (ψ−1)∗(ψ∗(ω1)) ] [ ϕ∗ ◦ (ψ−1)∗(ψ∗(ω2)) ] = (ϕ∗ω1)(ϕ∗ω2). Với định nghĩa này ta cũng kiểm được f ∗(ω1ω2) = ( f ∗ω1)( f ∗ω2). Thực vậy ϕ∗ ( f ∗(ω1ω2)) = ( f ◦ϕ)∗(ω1ω2) = (( f ◦ϕ)∗ω1) (( f ◦ϕ)∗ω2) . Ta định nghĩa đạo hàm của dạng theo cách (dω)ϕ = d(ϕ∗ω). Tính độc lập với cách chọn tham số hóa được kiểm bởi (ϕ−1 ◦ψ)∗(d(ϕ∗ω)) = d [(ϕ−1 ◦ψ)∗(ϕ∗ω)] = d [ψ∗ ◦ (ϕ−1)∗(ϕ∗ω)] = d(ψ∗ω). Đạo hàm và kéo lui cũng giao hoán. Thực vậy, f ∗(dω) = f ∗ [(ϕ−1)∗d(ϕ∗ω)] = f ∗ [d((ϕ−1)∗(ϕ∗ω)] = f ∗(dω). Tóm lại, tất cả các tính chất vốn có trong Rn ở 1.2.32 đều đúng cho dạng tổng quát trên đa tạp. 2.2.4 Dạng thể tích của đa tạp Xét một đa tạp có biên M được định hướng có số chiều n. Điều này có nghĩa là mỗi không gian tiếp xúc TxM được định hướng và định hướng này trơn theo x. Giả sử trên TxM có một tích trong, và tích trong này trơn theo x. Đây được gọi là một mêtríc Riemann (tên gọi này vì tích trong sẽ sinh ra chuẩn, và chuẩn sẽ sinh ra mêtríc). Chẳng hạn nếu M nằm trong RN thì ta có thể lấy tích trong Euclid sẵn có của RN . Trên TxM xét dạng det trong Công thức (2.2.13). Giả sử ϕ là một tham số hóa địa phương bảo toàn định hướng trong một lân cận của x. Kéo lui của dạng det về Rn qua ϕ phải bằng một n-dạng f dt1 · · ·dtn của Rn. Nếu (v1, . . .,vn) có định hướng dương của Rn thì phải có (ϕ∗ det)(t)(v1, . . .,vn) = det(dϕt (v1), . . .,dϕt (vn)) = √ det (〈 dϕt (vi),dϕt (vj) 〉) 1≤i, j≤n = f (t) (dt1 · · ·dtn) (t)(v1, . . .,vn), với f là một hàm thực trơn. Lấy v chính là cơ sở chuẩn tắc e của Rn thì ta xác định được f (t) = √ det (〈 dϕt (ei),dϕt (ej) 〉) 1≤i, j≤n. Người ta thường đặt gi j(t) = 〈 dϕt (ei),dϕt (ej) 〉 = 〈 ∂ϕ ∂ti (t), ∂ϕ ∂tj (t) 〉 , (2.2.22) 2.3. TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP 33 gọi là các hệ số của mêtríc Riemann. Chú ý rằng đó chính là các phần tử của ma trận Jϕ(t)T Jϕ(t). Như thế biểu diễn qua tham số hóa địa phương của dạng det trên đa tạp ngắn gọn là ϕ∗ det = √ det ( gi, j ) 1≤i, j≤ndt1 · · ·dtn = √ det ( Jϕ(t)T Jϕ(t) ) dt1 · · ·dtn. Công thức này cho thấy đây là một dạng trơn. Từ ý nghĩa hình học của định thức, ta sẽ gọi đây là dạng thể tích của đa tạp, thường được kí hiệu là dµ, dvol, hay dV . Theo cách viết dạng trên đa tạp thì dV = √ det(gi, j)1≤i, j≤ndx1 · · ·dxn. (2.2.23) Ví dụ 2.2.24. Nếu đa tạp là Rn hay tập mở của Rn thì có thể lấy tham số hóa ϕ là ánh xạ đồng nhất, và dạng thể tích sẽ là dV = dx1 · · ·dxn, thống nhất với phần trước. Ví dụ 2.2.25. Giả sử một đường C trong Rn là một đa tạp một chiều được tham số hóa bởi ánh xạ γ : [a,b] → Rn. Kí hiệu ds là dạng thể tích trên C, trong trường hợp này được gọi là dạng chiều dài đường. Cho f là một hàm trơn trên C thì f ds là một dạng bậc 1 trên C. Ta có γ∗( f ds) = f (γ(t)) √ det ( γ′(t)T · γ′(t))dt = f (γ(t))√|γ′(t)|2dt = f (γ(t))|γ′(t)|dt . Đặc biệt: γ∗ds = |γ′(t)|dt . Ví dụ 2.2.26. Giả sử một đa tạp 2-chiều S trong R3 được tham số hóa bởi chỉ một ánh xạ ϕ :U→R3, (u,v) 7→ (x, y, z). Đây được gọi là một mặt. Gọi dS là dạng thể tích trên S, trong trường hợp này được gọi là dạng diện tích mặt. Ta có ϕ∗dS = √ det ( JTϕ · Jϕ ) dudv. Ở đây Jϕ = ©­« xu xv yu yv zu zv ª®¬, do đó JTϕ · Jϕ = ( x2u + y 2 u + z 2 u xu xv + yuyv + zuzv xu xv + yuyv + zuzv x2v + y 2 v + z 2 v ) , nên det ( JTϕ · Jϕ ) = |ϕu |2 |ϕv |2−(ϕu · ϕv)2 = |ϕu ×ϕv |2. Vậy ϕ∗dS = |ϕu ×ϕv |dudv. Tương tự, với một dạng bậc 1 được viết là f dS thì ϕ∗( f dS) = f ◦ϕ|ϕu ×ϕv |dudv. 2.3 Tích phân trên đa tạp Cho một dạng ω bậc m trên đa tạp có biên được định hướng M có số chiều m ta sẽ xây dựng tích phân ∫ M ω của ω trên M . Ta làm việc này theo hai bước: đầu tiên xét trường hợp đa tạp chỉ cần đúng 1 tham số hóa địa phương, rồi sau đó xét trường hợp đa tạp cần nhiều tham số hóa địa phương. 34 CHƯƠNG 2. DẠNG VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP 2.3.1 Định nghĩa địa phương Trong trường hợp địa phương thì từ những thảo luận trên ta có thể thấy cách định nghĩa tích phân là thông qua kéo lui về Rm. Tuy nhiên để đảm bảo tích phân Lebesgue của kéo lui tồn tại thì người ta thường yêu cầu tập con của Rm trên đó ta lấy tích phân là compắc. Gọi giá (support) của dạng ω là supp(ω) = {x ∈ M | ω(x) , 0}, ta sẽ giả thiết supp(ω) là compắc. Định nghĩa 2.3.1. Cho đa tạp có biên được định hướng M có số chiều m và cho một dạng ω bậc m có giá compắc sao cho supp(ω) ⊂ ϕ(U) với ϕ : U ⊂ Rm→ M là một tham số hóa bảo toàn định hướng thì tích phân của ω trên M là ∫ M ω := ∫ U ϕ∗ω. Chú ý rằng giả thiết dạng có giá compắc đảm bảo dạng là khả tích, tức là tích phân tồn tại và bằng một số thực. Bổ đề 2.3.2. Định nghĩa này độc lập với cách chọn tham số hóa bảo toàn định hướng. Chứng minh. Cho ψ :V ⊂ Rm→M là một tham số hóa bảo toàn định hướng khác sao cho supp(ω) ⊂ ψ(V). Ta có thể giả sử ϕ(U) = ψ(V), vì có thể thayU bởi ϕ−1(ϕ(U)∩ψ(V)) và thay V bởi ψ−1(ϕ(U)∩ ψ(V)). Dùng công thức đổi biến ở Mệnh đề 1.2.37 và tính chất của kéo lui ở Mệnh đề 1.2.32 ta được∫ V ψ∗ω = ∫ U (ψ−1 ◦ϕ)∗ ◦ (ψ∗ω) = ∫ U ϕ∗ ◦ ( ψ−1 )∗ ◦ψ∗(ω) = ∫ U ( ϕ ◦ (ψ−1 ◦ψ) )∗ (ω) = ∫ U ϕ∗ω.  Ví dụ 2.3.3. Nếu đa tạp là Rn hay tập mở của Rn thì có thể lấy tham số hóa ϕ là ánh xạ đồng nhất, và tích phân của dạng trên đa tạp trùng với tích phân của dạng trên tập mở của Rn, thống nhất với phần trước. Ví dụ 2.3.4 (tích phân đường loại 1). Tiếp tục Ví dụ 2.2.25, cho một đường C trong Rn là một đa tạp một chiều được tham số hóa bởi ánh xạ γ : [a,b] → Rn. Kí hiệu ds là dạng chiều dài đường trên C. Cho f là một hàm trơn trên C thì f ds là một dạng bậc 1 trên C. Ta có∫ C f ds = ∫ b a γ∗( f ds) = ∫ b a f (γ(t)) √ det ( γ′(t)T · γ′(t))dt = ∫ b a f (γ(t)) √ |γ′(t)|2dt = ∫ b a f (γ(t))|γ′(t)|dt. Đây chính là định nghĩa của tích phân đường loại 1 trong môn Vi tích phân hàm nhiều biến, xem chẳng hạn ở [Vugt3]. Đặc biệt, chiều dài của đường C được cho bởi `(C) = ∫ C ds = ∫ b a |γ′(t)|dt. Ví dụ 2.3.5 (tích phân đường loại 2). Cho một đường C trong Rn là một đa tạp một chiều được tham số hóa bởi ánh xạ γ : [a,b]→ Rn. Cho dạng bậc một ω = F1dx1+ · · ·+Fndxn xác định trên một tập mở của Rn chứa C, tương ứng với trường vectơ trơn F = (F1, . . .,Fn). Ta có γ∗ω = γ∗(F1dx1 + · · ·+Fndxn) = F1 ◦γdγ1 + · · ·+Fn ◦γdγn = (F1 ◦γ)γ′1dt + · · ·+ (Fn ◦γ)γ′ndt = ((F1 ◦γ)γ′1 + · · ·+ (Fn ◦γ)γ′n) dt . Do đó ∫ C ω = ∫ b a γ∗ω = ∫ b a ((F1 ◦γ)γ′1 + · · ·+ (Fn ◦γ)γ′n) dt . 2.3. TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP 35 Viết theo kí hiệu trong Vi tích phân hàm nhiều biến thì∫ C F · d®s = ∫ b a ( F1(γ(t))γ′1(t)+ · · ·+Fn(γ(t))γ′n(t) ) dt = ∫ b a F(γ(t)) · γ′(t)dt, chính là tích phân đường loại 2. Ví dụ 2.3.6 (tích phân mặt loại 1). Tiếp tục Ví dụ 2.2.26, cho một mặt S trong R3 là một đa tạp hai chiều được tham số hóa bởi ánh xạ ϕ : U ⊂ R2→ R3. Kí hiệu dS là dạng diện tích mặt trên S, cho f là một hàm trơn trên S thì f dS là một dạng bậc 2 trên S. Ta có∫ S f dS = ∫ U ϕ∗( f dS) = ∫ U f ◦ϕ √ det ( JTϕ Jϕ ) dudv = ∫ U f ◦ϕ|ϕu ×ϕv |dudv. Đây chính là định nghĩa của tích phân mặt loại 1 trong môn Vi tích phân hàm nhiều biến. Đặc biệt, diện tích của mặt S được cho bởi ∫ U |ϕu ×ϕv |dudv. Ví dụ 2.3.7 (tích phân mặt loại 2). Cho một mặt S trong R3 là một đa tạp hai chiều được tham số hóa bởi ánh xạ ϕ : U ⊂ R2→ R3, ϕ(u,v) = (x, y, z). Cho F = (P,Q,R) là một trường vectơ trơn trên một tập mở của R3 chứa S, tương ứng với dạng ω = Pdydz+Qdzdx+Rdxdy, một dạng bậc 2. Ta có ϕ∗ω = P ◦ϕdϕ2dϕ3 +Q ◦ϕdϕ3dϕ1 +R◦ϕdϕ1dϕ2 = (P ◦ϕ) ( ∂ϕ2 ∂u du+ ∂ϕ2 ∂v dv ) ( ∂ϕ3 ∂u du+ ∂ϕ3 ∂v dv ) + (Q ◦ϕ) ( ∂ϕ3 ∂u du+ ∂ϕ3 ∂v dv ) ( ∂ϕ1 ∂u du+ ∂ϕ1 ∂v dv ) + + (R◦ϕ) ( ∂ϕ1 ∂u du+ ∂ϕ1 ∂v dv ) ( ∂ϕ2 ∂u du+ ∂ϕ2 ∂v dv ) = [ (P ◦ϕ)∂(ϕ2, ϕ3) ∂(u,v) + (Q ◦ϕ) ∂(ϕ3, ϕ1) ∂(u,v) + (R◦ϕ) ∂(ϕ1, ϕ2) ∂(u,v) ] dudv. Ở đây ta dùng kí hiệu phổ biến trong Vi tích phân hàm nhiều biến: ∂(x, y) ∂(u,v) = det ( ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v ) . Vậy ∫ S ω = ∫ U ϕ∗ω = ∫ U [ (P ◦ϕ)∂(ϕ2, ϕ3) ∂(u,v) + (Q ◦ϕ) ∂(ϕ3, ϕ1) ∂(u,v) + (R◦ϕ) ∂(ϕ1, ϕ2) ∂(u,v) ] dudv. Chú ý rằng ϕu ×ϕv = ( ∂(y, z) ∂(u,v), ∂(z, x) ∂(u,v), ∂(x, y) ∂(u,v) ) , ta có thể viết theo kí hiệu trong Vi tích phân hàm nhiều biến:∬ S F · d ®S = ∬ S (Pdydz+Qdzdx+Rdxdy) = ∬ U F(ϕ(u,v)) · (ϕu(u,v)×ϕv(u,v))dudv, chính là tích phân mặt loại 2. 2.3.2 Định nghĩa toàn cục Bây giờ xét trường hợp tổng quát mà đa tạp được phủ bởi một tập bản đồ. Ta dùng một công cụ đặc biệt là “phân hoạch đơn vị”. Một phân hoạch đơn vị (partition of unity) là một họ các hàm có giá trị thực, không âm, mỗi hàm bằng 0 bên ngoài một tập mở cho trước, và tổng giá trị của hàm này tại mọi điểm luôn bằng 1. Một công dụng của phân hoạch đơn vị là đưa một đối tượng địa phương thành một đối tượng toàn cục. Cách xây dựng tích phân trên đa tạp từ tích phân trên lân cận địa phương ở phần tiếp theo sẽ là một minh họa tiêu biểu cho cách sử dụng phân hoạch đơn vị. 36 CHƯƠNG 2. DẠNG VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP Mệnh đề 2.3.8. Cho O là một phủ mở bất kì của đa tạp compắc M thì tồn tại một họ các hàm ( fi)1≤i≤k thỏa fi : M→ R là trơn, 0 ≤ fi ≤ 1, có U ∈ O sao cho supp( fi) = {x ∈ M | fi(x) , 0} ⊂ U, và ∑k i=1 fi = 1. Chứng minh sự tồn tại của phân hoạch đơn vị là một việc tương đối khó nhưng thú vị và bổ ích (Bài tập 2.4.19). Trong những tài liệu nâng cao hơn giả thiết compắc cho đa tạp có thể được giảm nhẹ đi, hoặc thay bằng giả thiết về sự compắc của giá của dạng. Cho M là một đa tạp có biên, compắc, m-chiều, được định hướng, và ω là một dạng trơn bậc m trên M . Xét một họ O các lân cận được tham số hóa bảo toàn định hướng của M . Lấy một phân hoạch đơn vị (pi)1≤i≤k ứng với O. Chú ý rằng piω có supp(piω) chứa trong một phần tử U ∈O, do đó ∫ M piω = ∫ U piω đã được xác định từ bước xây dựng địa phương. Vì ∑ 1≤i≤k pi = 1 nên ω = (∑k i=1 pi ) ω = ∑k i=1 piω. Từ đây ta nhận thấy có thể định nghĩa tích phân trên cả đa tạp như là tổng của các tích phân trên các địa phương. Định nghĩa 2.3.9. Ta định nghĩa tích phân của dạng trên đa tạp là∫ M ω = k∑ i=1 ∫ M piω. Phân hoạch đơn vị có vai trò như một bộ trọng số, giúp các tích phân trên các địa phương vốn có chồng lấn đóng góp lượng thích hợp vào giá trị tổng thể của tích phân toàn cục. Bổ đề 2.3.10. Định nghĩa này không phụ thuộc cách chọn phân hoạch đơn vị. Chứng minh. Giả sử (qj)1≤ j≤l là một phân hoạch đơn vị ứng với một phủ của M bởi các lân cận được tham số hóa. Ta có∑ i ∫ M piω = ∑ i ∫ M (∑ j qj ) (piω) = ∑ i ∫ M ∑ j qjpiω = ∑ i, j ∫ M piqjω. Ở trên, vì supp(piqjω) là tập con của supp(pi)∩ supp(qj) chứa trong một lân cận được tham số hóa, nên theo Bổ đề 2.3.2 đại lượng ∫ M piqjω được xác định và ∫ M ∑ j qjpiω = ∑ j ∫ M piqjω. Tương tự ∑ j ∫ M qjω = ∑ i, j ∫ M piqjω. Vậy ∑ i ∫ M piω = ∑ j ∫ M qjω.  Định nghĩa 2.3.11. Thể tích của đa tạp compắc M được định nghĩa là vol(M) = ∫ M dV . Mệnh đề 2.3.12. Tích phân của dạng có tính tuyến tính. Chứng minh. Giả sử ω1 và ω2 là hai dạng trên đa tạp M có bậc bằng số chiều của đa tạp, và M có một phân hoạch đơn vị (pi)1≤i≤k ứng với một phủ của M bởi các lân cận được tham số hóa. Theo định nghĩa: ∫ M (ω1 +ω2) = ∑ i ∫ M pi(ω1 +ω2) = ∑ i ∫ M (piω1 + piω2). Gọi (Ui, ϕi) là một tham số hóa địa phương của một tập mở trên M chứa supp(pi), dùng tính tuyến tính của tích phân trên không gian Euclid, ta có∑ i ∫ M pi(ω1 +ω2) = ∑ i ∫ Ui ϕ∗i [pi(ω1 +ω2)] = ∑ i ∫ Ui [ ϕ∗i (pi(ω1))+ϕ∗i (pi(ω2)) ] = ∑ i ∫ Ui [ ϕ∗i (pi(ω1))+ ∫ Ui ϕ∗i (pi(ω2)) ] = ∑ i [∫ M pi(ω1)+ ∫ M pi(ω2) ] = ∑ i ∫ M pi(ω1)+ ∑ i ∫ M pi(ω2) = ∫ M ω1 + ∫ M ω2.  2.4. CÔNG THỨC STOKES CHO ĐA TẠP 37 Tổng quát hóa trường hợp không gian Euclid, tích phân không thay đổi qua phép đổi biến: Mệnh đề 2.3.13. Nếu f : M → N là một vi đồng phôi bảo toàn định hướng và ω là một dạng trên N có bậc bằng với số chiều của N thì ∫ M f ∗ω = ∫ N ω. Chứng minh. Lấy một phân hoạch đơn vị (pi)1≤i≤k ứng với một phủ O của M bởi các lân cận được tham số hóa. Ta có∫ M f ∗ω = ∑ i ∫ M pi f ∗ω = ∑ i ∫ Ui ϕ∗i (pi f ∗ω) = ∑ i ∫ Ui (pi ◦ϕi)ϕ∗i ( f ∗ω) = ∑ i ∫ Ui (pi ◦ϕi)ϕ∗i ( f ∗ω) = ∑ i ∫ Ui (pi ◦ϕi)( f ◦ϕi)∗ω = ∑ i ∫ Ui ( (pi ◦ f −1) ◦ ( f ◦ϕi) ) ( f ◦ϕi)∗ω = ∑ i ∫ Ui ( f ◦ϕi)∗ ( (pi ◦ f −1)ω ) . Chú ý rằng (Ui, f ◦ ϕi) là tham số hóa địa phương của một phần tử của phủ { f (V) | V ∈ O} của N , và (pi ◦ f −1)1≤i≤k là một phân hoạch đơn vị của N ứng với phủ này, ta được∑ i ∫ Ui ( f ◦ϕi)∗ ( (pi ◦ f −1)ω ) = ∑ i ∫ N (pi ◦ f −1)ω = ∫ N ω.  Trong tính toán thì các định nghĩa của tích phân trên đa tạp khó dùng vì khó viết ra một công thức cụ thể cho phân hoạch đơn vị của đa tạp. Để tính toán có một phương pháp cơ bản là chia đa tạp thành các phần có phần chung “không đáng kể”, tính tích phân trên mỗi phần, rồi cộng lại. Trong trường hợp đặc biệt, một phần của đa tạp có thể được tham số hóa chỉ bằng một tham số hóa địa phương, với phần còn thiếu “không đáng kể”, và tích phân trên đa tạp bằng với tích phân trên phần được tham số hóa. Dưới đây là một ví dụ. Mệnh đề 2.3.14. Cho M là một đa tạp có biên m-chiều, D ⊂ Rm mở bị chặn, ϕ : D¯→ M là toàn ánh trơn, ϕ|D là một tham số hóa địa phương, ω là dạng bậc m trên M . Khi đó∫ M ω = ∫ ϕ(D) ω. 2.4 Công thức Stokes cho đa tạp Định lý 2.4.1 (công thức Stokes). Cho M là một đa tạp có biên compắc được định hướng m-chiều có biên, cho ω là một dạng bậc (m−1) trên M , thì∫ M dω = ∫ ∂M ω. (2.4.2) Lưu ý ta hiểu tích phân của dạng trên biên như sau. Trước hết biên ∂M luôn nhận định hướng biên từ M . Gọi i : ∂M ↪→ M là ánh xạ nhúng (ánh xạ chứa trong) x 7→ x, thì ta định nghĩa∫ ∂M ω := ∫ ∂M i∗ω. Nếu ∂M = ∅ thì ta đặt ∫ ∂M ω = 0. Dàn ý của chứng minh như sau: trước hết ta chứng minh cho trường hợp địa phương, sau đó dùng phân hoạch đơn vị để chứng minh toàn cục. Trong trường hợp địa phương ta có hai khả năng: lân cận không chứa biên và lân cận chứa biên. Trong cả hai khả năng trên, dùng kéo lui ta đưa bài toán về trên Rn, và công thức Stokes nhận được từ công thức Fubini áp dụng cho hình hộp, cùng với công thức Newton–Leibniz (tức công thức Stokes 1-chiều!). Vậy chúng ta chứng minh bổ đề sau. 38 CHƯƠNG 2. DẠNG VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP Bổ đề 2.4.3 (công thức Stokes địa phương). Cho (U, ϕ) là một tham số hóa bảo toàn định hướng của một tập mở của M với U bị chặn. Cho ω là một dạng bậc (m− 1) trên M với supp(ω) ⊂ ϕ(U). Khi đó: (a) Nếu ϕ(U)∩ ∂M = ∅ thì ∫ M dω = 0. (b) Nếu ϕ(U)∩ ∂M , ∅ thì ∫ M dω = ∫ ∂M ω. Chứng minh. Theo định nghĩa tích phân và do tính giao hoán của đạo hàm và kéo lui, ta có∫ M dω = ∫ U ϕ∗(dω) = ∫ U d(ϕ∗ω). Trong khi đó ∫ ∂M ω = ∫ U∩∂Hm ϕ∗ω. Như vậy trong cả hai trường hợp vấn đề đưa về trường hợp tập mởU trong Rm hoặcHm. Đặt α = ϕ∗ω. Khi đó có α = m∑ i=1 fidx1 · · ·dxi−1 d̂xidxi+1 · · ·dxm, và dα = ( m∑ i=1 (−1)i−1 ∂ fi ∂xi ) dx1 · · ·dxm. Ta cần chứng minh ∫ U dα = ∫ U∩∂Hm α. Vì U bị chặn nên ta có thể đặt U vào một hình chữ nhật I = ∏m i=1[ai,bi] trong Rm (nếu U mở trong Rm) hoặc Hm (nếu U mở trong Hm), chú ý lấy I đủ lớn để supp(α) ⊂ ◦I . Phần còn lại của lý luận này chỉ là áp dụng công thức Fubini cho I và α. Trường hợpU là tập mở trong Rn: VìU∩∂Hm = ∅ nên ∫ U∩∂Hm α = 0. Đối với ∫ U dα, dùng công thức Fubini cho hình hộp I, chú ý α = 0 trên ∂I, do đó fi(bi) = fi(ai) = 0:∫ U dα = ∫ I dα = m∑ i=1 (−1)i−1 ∫ I ∂ fi ∂xi dx1 · · ·dxm = m∑ i=1 (−1)i−1 ∫ ∏m j=1, j,i [a j,b j ] (∫ bi ai ∂ fi ∂xi dxi ) dx1 · · ·dxi−1 d̂xidxi+1 · · ·dxm = m∑ i=1 (−1)i−1 ∫ ∏m j=1, j,i [a j,b j ] ( fi(bi)− fi(ai))dx1 · · ·dxi−1 d̂xidxi+1 · · ·dxm = 0. Trường hợp U là tập mở trong Hm với U ∩ ∂Hm , ∅: Trong trường hợp này thì ∏m−1i=1 [ai,bi] ⊂ ∂Hm và am = 0. Dùng công thức Fubini cho hình hộp I, với các chỉ số 1 ≤ i ≤ m−1 kết quả vẫn như 2.4. CÔNG THỨC STOKES CHO ĐA TẠP 39 trường hợp trên, còn với i = m thì fm(x1, . . ., xm−1,bm) = 0:∫ U dα = ∫ I dα = m∑ i=1 (−1)i−1 ∫ I ∂ fi ∂xi dx1 · · ·dxm = m−1∑ i=1 (−1)i−1 ∫ I ∂ fi ∂xi dx1 · · ·dxm+ (−1)m−1 ∫ I ∂ fm ∂xm dx1 · · ·dxm = 0+ (−1)m−1 ∫ I ∂ fm ∂xm dx1 · · ·dxm = (−1)m−1 ∫ ∏m−1 i=1 [a j,b j ] (∫ bn an ∂ fm ∂xm dxm ) dx1 · · ·dxm−1 = (−1)m−1 ∫ ∏m−1 i=1 [a j,b j ] ( fm(x1, . . ., xm−1,bm)− fm(x1, . . ., xn−1,am))dx1 · · ·dxm−1 = (−1)m ∫ ∏m−1 i=1 [a j,b j ] fm(x1, . . ., xm−1,0)dx1 · · ·dxm−1. ∂Hm = Rm−1 × {0} bm xm am = 0 U I Xét ∫ U∩∂Hm α. Đa tạp ∂H m được tham số hóa bởi ánh xạ chứa trong i : Rm−1 ↪→ ∂Hm = Rm−1 × {0}, i(x1, . . ., xm−1) = (x1, . . ., xm−1,0). Ánh xạ này bảo toàn định hướng nếu m là chẳn và đảo ngược định hướng nếu m là lẻ, xem Ví dụ 2.1.30. Chú ý rằng i∗α = ( fm ◦ i)dx1 · · ·dxm−1 (nói tắt là do trên I ∩ ∂Hm thì dxm = 0). Do đó∫ U∩∂Hm α = (−1)m ∫ i−1(U∩∂Hm) i∗α = (−1)m ∫ ∏m−1 i=1 [a j,b j ] fm(x1, . . ., xm−1,0)dx1 · · ·dxm−1. Vậy ∫ U dα = ∫ U∩∂Hm α.  Chứng minh công thức Stokes 2.4.1. Bây giờ ta xét vấn đề toàn cục. Với mỗi x ∈ M lấy một tham số hóa (Ux, ϕx) của một lân cận của x với Ux bị chặn. Lấy một phân hoạch đơn vị {pi | 1 ≤ i ≤ k} ứng với phủ (ϕx(Ux))x∈M . Theo định nghĩa∫ M dω = ∑ 1≤i≤k pi ∫ M dω = ∫ M ∑ 1≤i≤k pi(dω). Chú ý rằng ∑ 1≤i≤k pidω = ∑ 1≤i≤k d(piω). Thực vậy∑ 1≤i≤k d(piω) = ∑ 1≤i≤k (d(pi)ω+ pidω) = ( ∑ 1≤i≤k d(pi) ) ω+ ∑ 1≤i≤k pidω = d ( ∑ 1≤i≤k pi ) ω+ ∑ 1≤i≤k pidω = d(1)ω+ ∑ 1≤i≤k pidω = 0+ ∑ 1≤i≤k pidω = ∑ 1≤i≤k pidω. 40 CHƯƠNG 2. DẠNG VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP Từ đó: ∫ M dω = ∫ M ∑ 1≤i≤k pidω = ∫ M ∑ 1≤i≤k d(piω) = ∑ 1≤i≤k ∫ M d(piω). Ở đây piω là dạng có giá chứa trong một lân cận được tham số hóa nên Bổ đề 2.4.3 có thể áp dụng được: ∫ M d(piω) = ∫ ∂M piω. Thay vào ta được ∫ M dω = ∑ 1≤i≤k ∫ M d(piω) = ∑ 1≤i≤k ∫ ∂M piω = ∫ ∂M ∑ 1≤i≤k piω = ∫ ∂M ( ∑ 1≤i≤k pi ) ω = ∫ ∂M ω.  Ví dụ 2.4.4. Nếu M không có biên, tức ∂M = ∅, thì ∫ M dω = 0 với mọi dạng ω bậc (n−1). Hệ quả 2.4.5. Các công thức sau là các trường hợp riêng của công thức Stokes tổng quát: • Công thức Newton–Leibniz: ∫ b a f ′(x)dx = f (b)− f (a). • Công thức cơ bản của tích phân đường:∫ B A ∂ f ∂x1 dx1 + · · ·+ ∂ f ∂xn dxn = f (B)− f (A). • Công thức Green: ∫ ∂D Pdx+Qdy = ∬ D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dxdy. • Công thức Stokes trong R3:∫ ∂S Pdx+Qdy+Rdz = ∬ S ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dxdy+ ( ∂R ∂y − ∂Q ∂z ) dydz+ ( ∂P ∂z − ∂R ∂x ) dzdx. • Công thức Gauss–Ostrogradsky:∬ ∂E Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = ∭ E ( ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z ) dxdydz. Bài tập 2.4.6. Chứng tỏ phương trình x6 + y4 + z2 = 1 xác định một đa tạp hai chiều trơn trong R3, là biên của đa tạp ba chiều xác định bởi bất phương trình x6 + y4 + z2 ≤ 1. 2.4.7. Chứng tỏ mặt xuyến (Hình 2.2.9), cho bởi phương trình (√ x2 + y2 − b )2 + z2 = a2 (Hình 2.4.2), là một đa tạp trơn hai chiều, biên của khối xuyến (√ x2 + y2 − b )2 + z2 ≤ a2, là một đa tạp trơn ba chiều. 2.4.8. Tìm điều kiện đủ để phương trình ax2 + by2 + cz2 = d xác định một đa tạp 2-chiều trong R3. 2.4.9. Chứng tỏ phương trình sau xác định một đa tạp 2-chiều trong R3: x2 + y2 + z2 + x4y4 + x4z4 + y4z4 −9z = 21. 2.4. CÔNG THỨC STOKES CHO ĐA TẠP 41 Hình 2.4.1: Mặt xuyến. φ θ y ab x O z Hình 2.4.2: Mặt xuyến có phương trình (√ x2 + y2− b )2 + z2 = a2, với 0 < a < b. 2.4.10. Trong Hình 2.4.3, định hướng nào là định hướng chuẩn tắc của R3? 2.4.11. Phép đổi biến sang tọa độ cầu ϕ : (0,∞)×(0, pi)× (0,2pi) → R3 \ {(x, y, z) ∈ R3 | y = 0, x ≥ 0} (ρ, φ, θ) 7→ (x, y, z) = (ρsinφcosθ, ρsinφ sinθ, ρcosφ) là bảo toàn định hướng hay đảo ngược định hướng? Nếu cố định bán kính ρ = 1, thì tham số hóa của mặt cầu (0, pi)× (0,2pi) → S2 \ {(x, y, z) ∈ S2 | y = 0, x ≥ 0} (φ, θ) 7→ (x, y, z) = (sinφcosθ, sinφ sinθ,cosφ) là bảo toàn hay đảo ngược định hướng chuẩn của mặt cầu S2? 2.4.12. Cho ánh xạ c : (0,1)2 → R4 (t1, t2) 7→ (t21, t2, t1t2, t1 +1). (a) Chứng tỏ tập ảnh S = c((0,1)2) là một đa tạp 2 chiều trong R4. (b) Cho dạng α = x1dx3 + x1x4dx2. Tính ∫ S dα. (c) Gọi µ là dạng thể tích trên S. Tính kéo lui c∗µ. Thiết lập công thức tích phân bội để tính diện tích của S. Hãy ước lượng diện tích này. 2.4.13. Cho ánh xạ ϕ : (0,1)× (0,2pi) → R6 (r, θ) 7→ (r cosθ,r sinθ,r2 cos2θ,r2 sin2θ,r4 cos4θ,r4 sin4θ). Có thể biểu diễn ánh xạ này dùng số phức, viết C = R2: ψ : {z ∈ C | |z | ≤ 1} → C3 z 7→ (z, z2, z4). Ánh xạ ϕ chẳng qua là hợp của ψ với phép đổi biến sang tọa độ cực. 42 CHƯƠNG 2. DẠNG VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP z y y x z y x yz x z x Hình 2.4.3: (a) Chứng tỏ ψ là một phép đồng phôi lên ảnh của nó. Từ đó suy ra ϕ là một phép đồng phôi lên ảnh S của nó. (Gợi ý: {z ∈ C | |z | ≤ 1} là compắc, và xét tập đóng thay vì tập mở.) (b) Kiểm tra rằng dϕ(r, θ) là đơn ánh. Từ đó kết luận S là một đa tạp 2-chiều và ϕ là một tham số hóa của nó. (c) Cho dạng ω = dx1dx2 + dx3dx4 + dx5dx6 trên R6. Tính kéo lui ϕ∗ω. (d) Tính ∫ S ω. 2.4.14. Cho D = {(u,v,w) ∈ [0,1]3 | u+ v+w ≤ 1}. Cho ánh xạ ϕ : D→ R4 (u,v,w) 7→ (uv,u− v,u2 + v2,w2). (a) Chứng tỏ ϕ là một phép đồng phôi lên ảnh của nó. (b) Chứng tỏ dϕ là đơn ánh tại mỗi điểm trên phần trong ◦ D của D. (c) Chứng tỏ M = ϕ( ◦D) là một đa tạp 3-chiều với tham số hóa ϕ. (d) Tính ∫ M x3dx1dx2dx4 + x2dx1dx3dx4. 2.4.15. Trong R3 cho S1 là nửa mặt cầu dưới x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0; cho S2 là mặt paraboloid z = 1− x2 − y2, z ≥ 0. Cho ω là một dạng bậc 1 trên R3. Chứng tỏ∫ S1 dω = ± ∫ S2 dω, với dấu tùy định hướng của S1 và S2. Hãy đưa ra một tổng quát hóa cho điều này. 2.4.16 (thể tích quả cầu nhiều chiều). Tọa độ cầu trong Rn, n ≥ 2, được cho bởi: x1 =r cosϕ1, r > 0, 0 < ϕ1 < pi x2 =r sinϕ1 cosϕ2, 0 < ϕ2 < pi ... xi =r sinϕ1 sinϕ2 · · · sinϕi−1 cosϕi, 0 < ϕi < pi ... xn−1 =r sinϕ1 sinϕ2 · · · sinϕn−2 cosϕn−1, 0 < ϕn−1 < 2pi xn =r sinϕ1 sinϕ2 · · · sinϕn−2 sinϕn−1. Hãy dùng tọa độ cầu để kiểm công thức sau cho thể tích của quả cầu Bn(R) = {(x1, x2, . . ., xn) ∈ Rn | x21 + x22 + · · ·+ x2n < R2}: vol(Bn(R)) =  2(2pi)(n−1)/2 1 ·3 · · ·n R n, nếu n lẻ (2pi)n/2 2 ·4 · · ·n R n, nếu n chẳn. Nếu dùng hàm Gamma, Γ(z) = ∫ ∞ 0 tz−1e−t dt, z ∈ R+, một mở rộng của hàm giai thừa lên tập hợp các số thực, thỏa Γ(z+1) = zΓ(z) và Γ( 12 ) = √ pi, thì có thể viết vol(Bn(R)) = pi n 2 Γ( n2 +1) Rn . 2.4. CÔNG THỨC STOKES CHO ĐA TẠP 43 Ba bài tập tiếp theo là về phân hoạch đơn vị. 2.4.17. Xét hàm đặc biệt sau: f (x) = { e−1/x, if x > 0 0, if x ≤ 0. (a) Chứng tỏ f (n)(x) = e−1/xPn(1/x) với x > 0, ở đây Pn là một đa thức. Chứng tỏ f là trơn. (b) Cho a < b. Đặt f1(x) = f (x− a) f (b− x). Khi đó f1 là trơn, f1 (a,b) > 0 , f1 R\(a,b) ≡ 0 . (c) Đặt f2(x) = ∫ x −∞ f1(x)dx∫ ∞ −∞ f1(x)dx , thì f2 là trơn 0 ≤ f2 ≤ 1, f2 (b,∞) ≡ 1 , f2 (−∞,a) ≡ 0 . (d) Hàm f3(x) = f (x− a)f (x− a)+ f (b− x) cũng có các tính chất trên của f2. (e) Trong Rn, đặt f4(x) = f3(‖x‖2). Chứng tỏ 0 ≤ f4 ≤ 1, f4 B(0,√a) ≡ 1 , ϕi Rn\B(0,√b) ≡ 0 . Đây là một hàm trơn có giá trị 1 bên trong quả cầu nhỏ hơn, giá trị 0 bên ngoài quả cầu lớn hơn, và giá trị giữa 0 và 1 giữa hai quả cầu. Hãy viết một công thức tường minh cho hàm này. 2.4.18. Cho M là một đa tạp trơn n chiều, A ⊂ U ⊂ M với A là compắc và U là mở trong M . Ta sẽ chứng tỏ có hàm trơn ϕ : M→ R thỏa 0 ≤ ϕ ≤ 1, ϕ |A ≡ 1 , ϕ M\U ≡ 0 . (a) Chứng tỏ có một họ các tham số hóa địa phương (ψi)1≤i≤k và một họ các quả cầu (B(xi, i))1≤i≤k trong Rm sao cho ⋃k i=1ψi (B(xi, i)) ⊃ A và ψi (B(xi,2i)) ⊂ U. (b) Lấy ϕi : Rn→ R trơn, 0 ≤ ϕi ≤ 1, ϕi B(xi,i ) ≡ 1 , ϕi Rn\B(xi,2i ) ≡ 0 . Đặt ϕ′i = ϕi ◦ψ−1i trên ψi(Rm) và ϕ′i M\U ≡ 0 . Đặt ψ = ∑k i=1 ϕ ′ i . Chứng tỏ ψ |A > 0 , ψ M\U ≡ 0 . (c) Đặt c = minAψ. Gọi h là hàm trơn sao cho 0 ≤ h ≤ 1, h (−∞,0] ≡ 0 , h [c,∞) ≡ 1 . Đặt ϕ = h ◦ψ thì đây là hàm cần tìm. 2.4.19 (phân hoạch đơn vị). Cho M là một đa tạp trơn compắc. Cho O là một phủ mở bất kì của M . Ta sẽ chứng tỏ tồn tại một họ các hàm ( fi)1≤i≤k sao cho fi : M → R là trơn, 0 ≤ fi ≤ 1, có U ∈ O sao cho supp( fi) = {x ∈ M | fi(x) , 0} ⊂ U, và ∑1≤i≤k fi = 1. (a) Với mỗi x ∈ M , chứng tỏ có các tập mở Vx ,Wx và U ∈ O sao cho x ∈ Vx ⊂ V x ⊂Wx ⊂Wx ⊂ U. (b) Họ (Vx)x∈M là một phủ mở của M nên có phủ con hữu hạn (Vi)1≤i≤k , và với mỗi i có hàm ϕi : M→ R thỏa 0 ≤ ϕi ≤ 1, ϕi Vi ≡ 1 , supp(ϕi) ⊂W i ⊂ U với một U ∈ O. (c) Đặt fi = ϕi∑k i=1ϕi thì ( fi)1≤i≤k là họ cần tìm. 44 CHƯƠNG 2. DẠNG VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP Chương 3 Ứng dụng 3.1 Ứng dụng trong Giải tích 3.1.1 Miền với biên trơn Trong Giải tích toán học người ta thường xét Ω ⊂ Rn là một tập mở với "biên trơn" (domain with smooth boundary). Các tài liệu trình bày điều này theo các cách khác nhau hoặc không trình bày cụ thể (xem chẳng hạn [Eva97, tr. 626], [Bre11, tr. 272]), nhưng thường giả thiết "biên trơn" có nghĩa là Ω có tính chất sao cho công thức Stokes áp dụng được cho cặp (Ω, ∂Ω) trong đó ∂Ω là biên tôpô của Ω và Ω = Ω∪ ∂Ω là bao đóng tôpô của Ω. Theo thiết lập của công thức Stokes ở đây, một điều kiện đủ để điều này xảy ra là Ω là một đa tạp n-chiều có biên, với biên đa tạp của Ω trùng với biên tôpô của Ω. Ta sẽ lấy đây làm định nghĩa của miền mở với biên trơn. (Một số tài liệu trong ngành Giải tích yêu cầu thêm tính liên thông cho miền.) Ví dụ 3.1.1. Một ví dụ điển hình cho miền mở với biên trơn trong Rn là nửa không gian trên Rn+ = {(x1, . . ., xn) ∈ Rn | xn > 0}. Ví dụ 3.1.2. Quả cầu mở B(a,r) là một miền mở với biên trơn. Xét Ω ⊂ Rn là một tập mở với biên trơn ∂Ω. Vì ∂Ω trùng với biên đa tạp của Ω nên ∂Ω có khái niệm pháp tuyến đơn vị ngoài. Định lý 3.1.3 (công thức Stokes cho miền với biên trơn). Cho Ω ⊂ Rn là một miền mở bị chặn với biên trơn. Gọi n là vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài của ∂Ω. Nếu trường vectơ F trơn trên Ω thì∫ Ω divF dx = ∫ ∂Ω F · n dS. (3.1.4) Ở đây dS là dạng thể tích của biên ∂Ω, có khi được viết là µ∂Ω. Ta được công thức Stokes trên ngay bằng cách áp dụng công thức Stokes tổng quát 2.4.1 cho dạng bậc (n−1) trên Ω là n∑ i=1 (−1)i−1Fidx1 · · ·dxi−1 d̂xidxi+1 · · ·dxn. và dùng bổ đề sau: Bổ đề 3.1.5. Gọi n là vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài của biên của một miền và F = (F1, . . .,Fn) là một trường vectơ trơn trên đó thì F · ndS = n∑ i=1 (−1)i−1Fidx1 · · ·dxi−1 d̂xidxi+1 · · ·dxn. Chứng minh. Giả sử ψ :Hn→Ω là một tham số hóa địa phương của một lân cận của một điểm biên củaΩ. Đặt ϕ(t1, . . ., tn−1)=ψ(t1, . . ., tn−1,0) thì ϕ là một tham số hóa địa phương của ∂Ω. Ta có thể giả sử ϕ bảo toàn định hướng của ∂Ω. Pháp tuyến đơn vị ngoài tại x là vectơ đơn vị n sao cho n◦ϕ⊥ ∂ϕ∂ti 45 46 CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG với mọi 1 ≤ i ≤ n−1 và det ( n ◦ϕ, ∂ϕ∂t1 , ∂ϕ ∂2 , . . ., ∂ϕ ∂tn−1 ) > 0. Đặtω= ∑n i=1(−1)i−1Fidx1 · · ·dxi−1d̂xidxi+1 · · ·dxn, ta tính được ϕ∗ (ω) = n∑ i=1 (−1)i−1Fi ◦ϕdϕ1 · · ·dϕi−1d̂ϕidϕi+1 · · ·dϕn = n∑ i=1 (−1)i−1Fi ◦ϕdet ( ∂ϕk ∂tl ) 1≤k≤n,k,i,1≤l≤n−1 dt1 · · ·dtn−1 = det ( F ◦ϕ, ∂ϕ ∂t1 , ∂ϕ ∂t2 , . . ., ∂ϕ ∂tn−1 ) dt1 · · ·dtn−1. Tới đây ta phân tích F thành tổng của hai thành phần vuông góc: F = (F · n)n+ (F − (F · n)n). Vì n ◦ ϕ vuông góc với các vectơ ∂ϕ∂ti nên (F − (F · n)n) ◦ ϕ thuộc không gian vectơ sinh bởi các vectơ ∂ϕ ∂ti , tức là không gian tiếp xúc Tx∂Ω, ta được det ( F ◦ϕ, ∂ϕ ∂t1 , ∂ϕ ∂t2 , . . ., ∂ϕ ∂tn−1 ) dt1 · · ·dtn−1 = det ( ((F · n)n) ◦ϕ, ∂ϕ ∂t1 , ∂ϕ ∂t2 , . . ., ∂ϕ ∂tn−1 ) dt1 · · ·dtn−1 = (F · n) ◦ϕdet ( n ◦ϕ, ∂ϕ ∂t1 , ∂ϕ ∂t2 , . . ., ∂ϕ ∂tn−1 ) dt1 · · ·dtn−1. Dùng công thức (2.2.12) ta được det ( n ◦ϕ, ∂ϕ ∂t1 , ∂ϕ ∂t2 , . . ., ∂ϕ ∂tn−1 ) = √ det (〈 ∂ϕ ∂ti , ∂ϕ ∂tj 〉) 1≤i≤n,1≤ j≤n . Vậy ϕ∗(ω) = (F · n) ◦ϕ √ det (〈 ∂ϕ ∂ti , ∂ϕ ∂tj 〉) 1≤i≤n,1≤ j≤n dt1 · · ·dtn−1 = ϕ∗(F · ndS). Điều này dẫn tới ω = F · ndS.  Ví dụ 3.1.6. Với n = 3, với F = (P,Q,R) ta có F · ndS = Pdydz−Qdxdz+Rdxdy = Pdydz+Qdzdx+Rdxdy. Vì vậy công thức Gauss-Ostragradsky:∫ ∂E Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = ∫ E ( ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z ) dxdydz thường được viết theo kí hiệu cổ điển là∬ ∂E F · n dS = ∭ E divF dV . Ở cách viết này ta thấy rõ hơn ý nghĩa vật lý của vế trái là thông lượng (flux) của trường ra khỏi bề mặt khối, do đó div miêu tả mức độ phát tán (divergence) của trường. Lấy F = n trong Bổ đề 3.1.5, ta được một biễu diễn của dạng thể tích biên dS: Hệ quả 3.1.7. Gọi n = (n1, n2, . . ., nn) là vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài của biên của một miền, thì dạng thể tích biên là dS = n∑ i=1 (−1)i−1nidx1 · · ·dxi−1 d̂xidxi+1 · · ·dxn. 3.1. ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH 47 Ví dụ 3.1.8. Cho D là miền phẳng và F là một trường trên D sao cho ta có thể áp dụng công thức Green. Giả sử ∂D được tham số hóa theo chiều dương bởiC(t)= (x(t), y(t)). Vectơ vận tốc của đường biên là C ′ = (x ′, y′). Vectơ pháp tuyến ngoài n của ∂D tại điểm (x, y) là n = 1 |C ′ | (y ′,−x ′) = 1√ x ′2 + y′2 (y′,−x ′). Ta giải thích cách chọn chiều sau đây. Vectơ (−y′, x ′) vuông góc (x ′, y′), vậy n cùng phương với (−y′, x ′). Chiều của n được xác định theo nguyên tắc chiều từ pháp tuyến ngoài sang tiếp tuyến phải cùng chiều với chiều dương chuẩn của mặt phẳng, tức là chiều từ (1,0) sang (0,1). Do đó định thức của ma trận gồm hai vectơ n và C ′ phải dương và ta xác định được được chính xác công thức của n như trên. D ∂D C(t) C′(t) n(C(t)) Trên mặt phẳng, biên là một đường, dạng thể tích biên là dạng chiều dài ds. Ta có C∗(n1dy− n2dx) = y ′√ x ′2 + y′2 y′dt − −x ′√ x ′2 + y′2 x ′dt = √ x ′2 + y′2dt = C∗ds. Vậy ds = n1dy− n2dx. Cho trường F = (P,Q) thì F · nds = Pdy−Qdx. Áp dụng công thức Stokes ta được∫ ∂D F · nds = ∫ ∂D Pdy−Qdx = ∬ D ( ∂P ∂x + ∂Q ∂y ) dxdy = ∬ D divFdA. Đây thường được gọi là dạng thông lượng của công thức Green. Ghi chú 3.1.9. NếuΩ ⊂ Rn là một miền mở bị chặn với biên trơn thì biên tôpô ∂Ω có độ đo Lebesgue n-chiều không. Điều này có thể được giải thích tóm tắt như sau. Vì ∂Ω chính là biên đa tạp của Ω nên nó là một đa tạp (n−1)-chiều compắc. Nó có thể được phủ bởi hữu hạn lân cận địa phương mà trên mỗi lân cận địa phương đó do định lý hàm ẩn nó là đồ thị của một hàm trơn, do đó mỗi lân cận địa phương đó có độ đo Lebesgue n-chiều không. Vì điều này mà trong các tài liệu giải tích thay vì lấy tích phân trên Ω người ta chỉ cần lấy tích phân trên Ω, và thường viết công thức Stokes là∫ Ω divF dx = ∫ ∂Ω F · n dS. 3.1.2 Các công thức Green và tích phân từng phần Các hệ quả sau của công thức Stokes (2.4.2) thường được gọi là các công thức Green. Định lý 3.1.10. Nếu hàm thực f và g trơn trên Ω thì 48 CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG (a) ∫ Ω ∂ f ∂xi dx = ∫ ∂Ω f ni dS. (3.1.11) (b) Tích phân từng phần: ∫ Ω ∂ f ∂xi g dx = ∫ ∂Ω f gni dS− ∫ Ω f ∂g ∂xi dx. (3.1.12) (c) Viết ∂ f ∂n = ∇ f · n là đạo hàm của f theo hướng n. Toán tử Laplace ∆ được cho bởi ∆ f = ∇ ·∇ f =∑ni=1 ∂2 f∂x2i thì ∫ Ω ∆ f dx = ∫ ∂Ω ∂ f ∂n dS. (3.1.13) (d) ∫ Ω ∇ f · ∇g dx = ∫ ∂Ω f ∂g ∂n dS− ∫ Ω f∆g dx. (3.1.14) (e) ∫ Ω ( f∆g−g∆ f ) dx = ∫ ∂Ω ( f ∂g ∂n −g ∂ f ∂n ) dS. (3.1.15) 3.1.3 Ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêng Trong phần này chúng ta minh họa ứng dụng trong môn phương trình đạo hàm riêng. Một trong những loại phương trình đạo hàm riêng quan trọng là phương trình Poisson −∆u = f , với phương trình Laplace ∆u = 0 là một trường hợp riêng. Trong nhiều trường hợp người ta có thể xây dựng được nghiệm của phương trình Poisson. Ở đây ta dùng công thức Green để xét sự duy nhất nghiệm của phương trình với điều kiện biên. Mệnh đề 3.1.16. Cho Ω là tập mở bị chặn liên thông với biên ∂Ω trơn. Khi đó phương trình{ −∆u = f trên Ω u = g trên ∂Ω. (3.1.17) có nhiều nhất một nghiệm trơn trên Ω. Chứng minh. [Eva97, tr. 42] Giả sử u˜ là một nghiệm nữa và đặt w = u− u˜. Khi đó ∆w = 0 trên Ω và w = 0 trên ∂Ω, nên công thức Green (3.1.14) cho∫ Ω |∇w |2dx = ∫ ∂Ω w ∂w ∂n dS− ∫ Ω w∆w dx = 0−0 = 0. Vậy ∇w = 0 trên Ω, và do Ω liên thông nên trên Ω thì w là hàm hằng. Vì w liên tục trên Ω và w = 0 trên ∂Ω nên w = 0 trên Ω. Vậy u = u˜ trên Ω.  3.2 Định lý điểm bất động Brouwer Cho M là một đa tạp và A ⊂ M . Một phép rút trơn (retraction) từ M lên A là một ánh xạ trơn r : M→ A sao cho r |A = idA. Mệnh đề 3.2.1. Nếu M là một đa tạp compắc định hướng được có biên khác rỗng thì không tồn tại một phép rút trơn từ M lên biên ∂M . 3.3. DẠNG KHỚP VÀ DẠNG ĐÓNG 49 Chứng minh. Gọi m là số chiều của M ⊂ Rk . Giả sử tồn tại một phép rút trơn r từ M lên ∂M . Chọn một định hướng cho M . Gọi β là dạng thể tích của ∂M . Đặt α = r∗β. Áp dụng công thức Stokes cho α: ∫ M dα = ∫ ∂M α. Vì số chiều của ∂M là (m−1) và β là dạng bậc (m−1) trên đó nên dβ = 0. Suy ra dα = dr∗β = r∗dβ = r∗0 = 0, do đó ∫ M dα = 0. Mặt khác vì α |∂M = r |∗∂M β = id|∗∂M β = β, nên∫ ∂M α = ∫ ∂M β = vol(∂M). Một lý luận đơn giản giúp ta khẳng định thể tích của một đa tạp khác rỗng phải khác 0. Điều này dẫn tới mâu thuẫn.  Định lý 3.2.2 (Định lý điểm bất động Brouwer). Mọi ánh xạ trơn từ đĩa Dn vào chính nó đều có điểm bất động. Chứng minh. Giả sử hàm trơn f : Dn → Dn không có điểm bất động, nghĩa là f (x) , x với mọi x ∈ Dn. Đường thẳng từ f (x) tới x sẽ cắt biên ∂Dn tại một điểm g(x). f (x) x g(x) Có thể kiểm được g là trơn (Bài tập 3.3.25). Ta có g |∂Dn = id∂Dn . Vậy g : Dn → ∂Dn là một phép rút, mâu thuẫn với kết quả đã biết ở Mệnh đề 3.2.1.  Định lý điểm bất động thường được dùng để chứng minh phương trình có nghiệm. Định lý điểm bất động Brouwer có nhiều ứng dụng, trong đó có chẳng hạn ứng dụng vào chứng minh Định lý cơ bản của Đại số, hay chứng minh định lý về sự tồn tại điểm cân bằng Nash trong Tối ưu, và là cơ sở cho nhiều định lý điểm bất động khác. 3.3 Dạng khớp và dạng đóng Dạng α được gọi là một dạng khớp (exact) nếu có dạng β sao cho dβ = α. Một dạng khớp là đạo hàm của một dạng khác, tương tự như một hàm có nguyên hàm. Ví dụ 3.3.1. Cho α là một dạng bậc một trên R thì α = f dx và αlà khớp khi và chỉ khi có hàm F sao cho dF = f dx tức là F ′dx = f dx, tức là F ′ = f . Như vậy F phải là một nguyên hàm của f . Ví dụ 3.3.2. Trong R2 xét dạng α = Pdx +Qdy. Dạng α là khớp khi và chỉ khi tồn tại hàm F sao cho dF = α, tương đương với ∂F ∂x dx+ ∂F ∂y dy = Pdx+Qdy ⇐⇒ ∇F = (P,Q). Trong vi tích phân hàm nhiều biến, trường (P,Q) mà có hàm F sao cho ∇F = (P,Q) thì được gọi là một trường bảo toàn và hàm F được gọi là một hàm thế của trường. Nếu một dạng có đạo hàm bằng dạng 0 thì ta nói dạng là một dạng đóng (closed form). Giả sử α là một dạng khớp thì có dạng β sao cho dβ = α, nên d(α) = d(dβ) = 0 do tính chất d2 = 0. Vậy: 50 CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG Mệnh đề 3.3.3. Một dạng khớp thì đóng. Vậy đóng là điều kiện cần để khớp. Ví dụ 3.3.4. Nếu α = Pdx +Qdy thì dα = ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dxdy. Như vậy α là đóng khi và chỉ khi ∂Q ∂x = ∂P ∂y . Ví dụ 3.3.5. Nếu α = Pdx+Qdy+Rdz thì dα = ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dxdy+ ( ∂R ∂y − ∂Q ∂z ) dydz+ ( ∂P ∂z − ∂R ∂x ) dzdx, do đó dα = 0 khi và chỉ khi  Ry = Qz Pz = Rx Qx = Py . 3.3.1 Bổ đề Poincaré Một đa tạp M được gọi là là thắt được (contractible) (trơn) nếu nó đồng luân trơn với một không gian chỉ gồm một phần tử, tức là có x0 ∈ M và có một hàm trơn φ : M ×[0,1] → M sao cho với mọi x ∈ M thì φ(x,0) = x, φ(x,1) = x0. Ta có thể nghĩ tới phép đồng luân φ như một quá trình theo thời gian t, và viết φt (x) = φ(x, t) để thể hiện điều này, khởi đầu với ánh xạ đồng nhất φ0 = id, và kết thúc bằng ánh xạ hằng φ1 = x0. Ví dụ 3.3.6. Không gian Rn là thắt được bằng cách kéo mọi điểm về 0 qua đường thẳng, cụ thể bằng phép đồng luân φ(x, t) = (1− t)x. Tương tự, một quả cầu trong Rn cũng là thắt được về tâm của nó. Một tập D ⊂ Rn được gọi là một miền hình sao (star-shaped region) nếu có một điểm x0 ∈ D sao cho với mọi điểm x ∈ D thì đoạn thẳng nối x0 và x được chứa trong D. Ví dụ 3.3.7. Không gian Rn là một miền hình sao. Một tập con lồi của Rn là một miền hình sao. Không khó để thấy Rn trừ đi một điểm không là miền hình sao. Bằng lý luận như trường hợp Rn, dùng phép đồng luân kéo điểm x bất kì về tâm x0, cụ thể φ(x, t) = (1− t)x+ t x0, ta thấy một miền hình sao là thắt được. Định lý 3.3.8 (bổ đề Poincaré). Mọi dạng đóng bậc lớn hơn 0 trên đa tạp thắt được đều khớp. Chứng minh. Giả sử M ⊂ Rn là một đa tạp thắt được, do đó có x0 ∈ M và có phép đồng luân φ : M ×[0,1] → M sao cho với mọi x ∈ M thì φ0(x) = φ(x,0) = x, φ1(x) = φ(x,1) = x0. Xét hai ánh xạ nhúng i0, i1 : M→M×[0,1] với i0(x)= (x,0) và i1(x)= (x,1), thì φ0 = φ◦i0 = id và φ1 = φ◦i1 = x0. Xét toán tử F :Ωk+1 (M ×[0,1]) →Ωk (M) cho bởi: với γ = ∑ I fI (x, t)dxI + ∑ J gJ (x, t)dtdxJ trong đó I là bộ (k +1) chỉ số, J là bộ k chỉ số, k > 0, thì Fγ = ∑ I (∫ 1 0 gJ (x, t)dt ) dxJ . Ta chứng minh i∗1γ− i∗0γ = Fdγ+ dFγ, tức là i∗1 − i∗0 = Fd+ dF . (3.3.9) Ta chỉ chứng minh cho kéo lui thông qua tham số hóa địa phương. 3.3. DẠNG KHỚP VÀ DẠNG ĐÓNG 51 Trường hợp γ = f (x, t)dxI : Khi đó Fγ = 0 (do γ không chứa dt), nên dFγ = 0. Trong khi đó dγ = ( ∂ f ∂t dt ) dxI + ( n∑ i=1 ∂ f ∂xi dxi ) dxI, suy ra Fdγ = (∫ 1 0 ∂ f ∂t (x, t)dt ) dxI = [ f (x,1)− f (x,0)]dxI . Ta lại có i∗1γ− i∗0γ = i∗1 f dxI + i∗0 f dxI = [ f ◦ i1− f ◦ i0]dϕI = [ f (x,1)− f (x,0)]dxI . Vậy i∗1γ− i∗0γ = Fdγ+ dFγ. Trường hợp γ = g (x, t)dtdxJ : Ta có Fγ = (∫ 1 0 g(x, t)dt ) dxJ , suy ra dFγ = ( n∑ i=1 ∂ ∂xi (∫ 1 0 g(x, t)dt ) dxi ) dxJ = [ n∑ i=1 (∫ 1 0 ∂g ∂xi (x, t)dt ) dxi ] dxJ . Mặt khác dγ = d (gdtdxJ ) = ( n∑ i=1 ∂g ∂xi (x, t)dxi ) dtdxJ = − n∑ i=1 ∂g ∂xi (x, t)dtdxidxJ . Suy ra Fdγ = − n∑ i=1 (∫ 1 0 ∂g ∂xi (x; t)dt ) dxidxJ . Từ đó ta có Fdγ+ dFγ = 0. Mặt khác i∗1γ− i∗0γ = i∗1 (gdtdxJ )− i∗0 (gdtdxJ ) = 0, do i∗1dt = i ∗ 0dt = 0. Vậy i ∗ 1γ− i∗0γ = Fdγ+ dFγ. Áp dụng công thức (3.3.9) cho γ = φ∗α ta được φ∗1α−φ∗0α = i∗1γ− i∗0γ = Fdγ+ dFγ = Fdφ∗α+ dFφ∗α = Fφ∗dα+ dFφ∗α. (3.3.10) Đây thường được gọi làCông thức đồng luân. Chú ý dα = 0, φ∗0 = id, φ ∗ 1 = 0, ta được α = d(−Fφ∗α). Bổ đề Poincaré được chứng minh xong.  Ví dụ 3.3.11. Trên R2, xét α = ydx+ xdy. Với phép đồng luân φ (x, y, t) = (1− t) (x, y) = ((1− t)x, (1− t)y) ta tính được φ∗α = (1− t)yd ((1− t)x)+ (1− t)xd ((1− t)y) = (1− t)y (−xdt + (1− t)dx)+ (1− t)x ((1− t)dy− ydt) = (1− t)2ydx+ (1− t)2xdy−2(1− t)xydt, và Fφ∗α = ∫ 1 0 −2(1− t)xydt = −xy. Ta kiểm được ngay d(−Fφ∗α) = d(xy) = α, do đó α là khớp. 52 CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG Bài tập 3.3.12. Giả sử có một điện tích q tại một điểm O. Theo định luật Coulomb, điện trường gây bởi điện tích q này tại một điểm bất kì trong không gian R3 có vị trí cho bởi vectơ ®r đi từ điểm mang điện tích q tới điểm đang xét là: F(®r) = q 4pi0 |®r |3 ®r . Đáng chú ý là điện trường có độ lớn tỉ lệ nghịch với |®r |2, do đó định luật Coulomb thường được gọi là một luật nghịch đảo bình phương (inverse-square law). Ta biết trọng trường cũng được cho bởi một luật nghịch đảo bình phương: F(®r) = −mMG|®r |3 ®r . Chứng tỏ rằng một trường có dạng F = k ®r| ®r |m (được gọi là một trường xuyên tâm, radial) thì có div = 0 khi và chỉ khi m = 3, tức là trường được cho bởi một luật nghịch đảo bình phương. 3.3.13. Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở với biên trơn ∂Ω. Chứng minh công thức vol(Ω) = 1 n n∑ i=1 (−1)i−1 ∫ ∂Ω xidx1 · · ·dxi−1 d̂xidxi+1 · · ·dxn . 3.3.14 (dạng thể tích của mặt cầu). Gọi Sn(R), n ≥ 1, là mặt cầu n-chiều tâm 0 với bán kính R, biên của quả cầu Bn+1(R) tâm 0 bán kính R. Chứng tỏ dạng thể tích của Sn(R) là dS = 1 R n+1∑ i=1 (−1)i−1xidx1 · · ·dxi−1 d̂xidxi+1 · · ·dxn+1. 3.3.15 (dạng góc tổng quát). Tiếp tục Bài tập 1.2.56, trên Rn \ {0} xét dạng ω = n∑ i=1 (−1)i−1 xi‖x‖n dx1 · · ·dxi−1 d̂xidxi+1 · · ·dxn . Chứng tỏ dạng ω là đóng nhưng không khớp. 3.3.16 (thể tích mặt cầu). Hãy dùng (3.1.4) với F(x) = x, hoặc bài 3.3.13, tham khảo bài 2.4.16, để được công thức thể tích n chiều của mặt cầu n chiều: vol(Sn(R)) = n+1 R vol(Bn+1(R)) =  2(2pi)n/2 1 ·3 · · · (n−1)R n, n chẳn (2pi)(n+1)/2 2 ·4 · · · (n−1)R n, n lẻ (nếu n = 1 hiểu là không có chia) = 2pi n+1 2 Γ( n+12 ) Rn . 3.3.17. Dùng Công thức Stokes, hãy chứng tỏ dạng thể tích của một đa tạp không có biên, được định hướng, compắc là đóng nhưng không khớp. 3.3.18. Dùng Bổ đề Poincaré, hãy chứng tỏ rằng đa tạp không có biên, định hướng được, compắc là không thắt được. 3.3.19. Xét phép đổi biến ϕ : Sn−1→ S(0,r) x 7→ r x. Chứng tỏ ϕ∗(dS(0,r)) = rn−1dSn−1. 3.3.20. Chứng minh công thức sau:∫ S(0,r) f (x)dS(0,r) = ∫ Sn−1 rn−1 f (r x)dSn−1. 3.3. DẠNG KHỚP VÀ DẠNG ĐÓNG 53 3.3.21. Cho f là hàm trơn trên quả cầu đóng B′(0,R). (a) Đặt ω = (∫ 1 0 rn−1 f (r x)dr ) dSn−1. Tính trực tiếp để chứng tỏ dω = [∫ 1 0 d dt [ tn f (t x)] dt] dx1 · · ·dxn = f (x)dx1 · · ·dxn . (b) Chứng minh công thức sau, còn được gọi là công thức tích phân trong tọa độ cực:∫ B(0,1) f (x)dx1 · · ·dxn = ∫ Sn−1 (∫ 1 0 rn−1 f (r x)dr ) dSn−1. 3.3.22. Chứng tỏ nếu u là hàm điều hòa (harmonic) nghĩa là ∆u = 0, thì ∫ ∂Ω ∇u · ndS = 0, nghĩa là tổng thông lượng của dòng của u qua một mặt biên bất kì chứa trong miền phải bằng 0. 3.3.23 (giá trị trung bình). Cho f là một hàm liên tục trên một lân cận của điểm x ∈ Rn. Gọi B(x,r) là quả cầu đóng tâm tại x với bán kính r . Chứng tỏ: lim r→0 1 vol(B(x,r)) ∫ B(x,r) f dy = f (x), và lim r→0 1 vol(∂B(x,r)) ∫ ∂B(x,r) f dS = f (x). 3.3.24 (công thức giá trị trung bình cho hàm điều hòa). Nếu u là hàm trơn điều hòa trên Ω ⊂ Rn thì u(x) = 1 vol(B(x,r)) ∫ B(x,r) udy = 1 vol(∂B(x,r)) ∫ ∂B(x,r) udS với mọi quả cầu B(x,r) ⊂ Ω. Ta có thể thấy điều này theo các bước sau [Eva97, tr. 25]. (a) Đổi biến z = 1r (y− x): φ(r) = 1 vol(∂B(x,r)) ∫ ∂B(x,r) u(y)dS(y) = 1 vol(∂B(x,r)) ∫ ∂B(0,1) u(x+ rz)rn−1dS(z) = 1 vol(∂B(0,1)) ∫ ∂B(0,1) u(x+ rz)dS(z). (b) Lấy đạo hàm theo r: φ′(r) = 1 vol(∂B(0,1)) ∫ ∂B(0,1) ∇u(x+ rz) · zdS(z) = 1 vol(∂B(0,1)) ∫ ∂B(0,1) ∇u(x+ rz) · ndS(z) = 1 vol(∂B(x,r)) ∫ ∂B(x,r) ∇u(y) · ndS(y). (c) Từ Bài tập 3.3.22 kết luận φ là hàm hằng. (d) Dùng công thức đổi biến ∫ B(x,r) udy = ∫ r 0 (∫ ∂B(x,t) udS ) dt . 3.3.25. Kiểm tra rằng hàm g trong chứng minh của Định lý điểm bất động Brouwer 3.2.2 là trơn. (a) Giải phương trình giao điểm giữa tia f (x)+ t(x− f (x)), t > 0 với mặt cầu để tìm t. (b) Chứng tỏ t là trơn theo x. 3.3.26. Cho α và β là dạng đóng. Chứng tỏ αβ cũng là dạng đóng. 3.3.27. Cho α là dạng đóng và β là dạng khớp. Chứng tỏ αβ là dạng khớp. 3.3.28 (công thức đồng luân). Cho φ : M ×[0,1] → N là một phép đồng luân từ φ0 tới φ1. Với α là một dạng bậc (k +1) trên N thì φ∗0α−φ∗1α = Fφ∗dα+ dFφ∗α. (3.3.29) 54 CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG Đề tài đọc thêm (a) Định lý điểm bất động Brouwer và Schauder (giải tích) [Eva97]. (b) Các phương trình Maxwell về điện từ viết bằng dạng vi phân (toán lý) [Sja15, tr. 30]. (c) Dạng symplectic và ứng dụng (cơ học) [Arn89, tr. 201–205]. (d) Đối đồng điều de Rham (tôpô) [Sja15], [Lee13], [GP74]. (e) Đa tạp trừu tượng và dạng vi phân trên đa tạp trừu tượng (tôpô, hình học) [Lee13]. (f) Toán tử Hodge và toán tử Laplace trên đa tạp (giải tích, tôpô, hình học) [Sja15], [Lee13], [War83],[Jost08]. (g) Hàm điều hòa và nguyên lý cực đại (phương trình đạo hàm riêng) [Eva97]. Tài liệu tham khảo [Arn89] V. I. Arnold. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer, 2nd edition, 1989. [Bre11] Haim Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer, 2011. [Eva97] Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 1997. [GP74] Victor Guillemin and Alan Pollack. Differential Topology. Prentice-Hall, 1974. [Jost08] Jurgen Jost, Riemannian geometry and geometric analysis, Springer, 5th edition, 2008. [Lan97] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997, a revision of Analysis I, Addison-Wesley, 1968. [Lee13] John M. Lee, Introduction to smooth manifolds, 2nd ed., Springer, 2013. [LS08] Tạ Lê Lợi và Đỗ Nguyên Sơn, Giải tích 3, Đại học Đà Lạt, 2008. Ngoài tài liệu này còn có một số tài liệu khác bằng tiếng Việt trình bày dạng vi phân, như bản dịch các quyển sách của H. Cartan, M. Spivak, nhưng khó tìm được. [Rud86] Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw Hill, 3 edition, 1986. [Sja15] Reyer Sjamaar. Manifolds and Differential Forms. 2015. Cornell University. Có bản của tác giả để trên mạng. [Spi65] Michael Spivak. Calculus on Manifolds. Addison-Wesley, 1965. Một giáo trình nổi tiếng dành cho bậc đại học. [Vugt3] Huỳnh Quang Vũ, Bài giảng Giải tích 3: Tích phân bội và Giải tích vectơ, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, ∼hqvu/teaching/gt3.pdf. [Vutopo] Huỳnh Quang Vũ, Lecture notes on Topology, Ho Chi Minh City University of Science, ∼hqvu/teaching/n.pdf [War83] Frank Warner, Foundations of Differentiable manifolds and Lie groups, Springer, 1983. 55 Chỉ mục Định lý điểm bất động Brouwer, 49 đạo hàm, 12, 23 định hướng, 24 định hướng pháp tuyến ngoài đứng đầu, 26 đảo ngược định hướng, 25 được định hướng, 25 đa tạp biên, 26 có biên, 26 phần trong, 26 điểm dừng, 24 điểm tới hạn, 24 bảo toàn định hướng, 25 công thức đồng luân, 51 dạng, 9 dạng đóng, 49 dạng chiều dài đường, 33 dạng diện tích mặt, 33 dạng góc, 20 dạng góc tổng quát, 52 dạng khớp, 49 dạng thể tích của đa tạp, 33 dạng trơn, 10 dạng vi phân, 10 dạng vi phân trên đa tạp, 32 giá (support), 34 giá trị dừng, 24 hình sao, 50 hàm điều hòa, 53 hàm thế, 49 hệ tọa độ địa phương, 21 kéo lui, 14, 30 không gian tiếp xúc, 23 khả vi liên tục, 7 mêtríc Riemann, 32 hệ số, 33 ma trận Jacobi, 7 miền mở với biên trơn, 45 multilinear functional, 27 multilinear functional alternating, 28 phép đồng luân, 50 phép đổi biến bảo toàn định hướng, 17 phép rút, 48 phép vi đồng phôi, 21 phép vi phôi, 21 phiếm hàm k-tuyến tính, 27 tích dạng, 11 tích phân của dạng trên đa tạp, 36 tích phân dạng trên đa tạp địa phương, 34 thắt được, 50 thể tích, 36 tham số hóa địa phương, 21 trơn, 7, 10, 21 trường bảo toàn, 49 vectơ gradient, 7 vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài, 26 vector tiếp xúc, 23 56