Định lí kiểu bernstein trong r4 2 với định thức jacobi bị chặn - Nguyen Le Tram

Nguyen Le Tram/ Định lí kiểu Bernstein trong R42 với định thức Jacobi bị chặn ĐỊNH LÍ KIỂU BERNSTEIN TRONG R42 VỚI ĐỊNH THỨC JACOBI BỊ CHẶN Nguyen Le Tram Khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Quảng Bình Ngày nhận bài 23/12/2016, ngày nhận đăng 26/6/2017 Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi phát biểu và chứng minh một định lí kiểu Bernstein cho mặt cực đại 2-chiều trong không gian Minkowski R42 với điều kiện hàm số xác định mặt có định thức Jacobi bị chặn. 1 Mở đầu Mặt cực tiểu [11] được giới thiệu lần đầu bởi Lagrange năm 1762, đó là đồ thị của các hàm trơn xác định trong một miền mở, liên thông trên R2 thỏa mãn phương trình (1 + f2y )fxx − 2fxfyfxy + (1 + f2x)fyy = 0. (1) Sau đó mặt cực tiểu được một số nhà toán học quan tâm nghiên cứu, trong đó đáng chú ý nhất là công trình của S.Bernstein. Định lí 1.1 (S. Bernstein [11] ). Cho f là nghiệm của (1), nếu f xác định trên toàn R2 thì đồ thị của f là mặt phẳng. Định lí này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, việc mở rộng định lí cho các siêu mặt cực tiểu [11] trong các không gian với số chiều lớn hơn được nghiên cứu rất nhiều trong thập niên 60 của thế kỉ XX, tiêu biểu là Federer, Fleming, de Giogi, Almgren và Simon. Tổng hợp các kết quả này ta được: nếu f : Rn −→ R là nghiệm của phương trình siêu mặt cực tiểu trong Rn+1 thì f là hàm affine khi n ≤ 7, còn với n > 7 thì định lí không còn đúng. Với mong muốn phát biểu một định lí tương tự đúng với mọi n, nhiều nhà toán học đưa ra các định lí kiểu Bernstein với hàm số f thỏa mãn một số điều kiện cụ thể. Định lí 1.2 (J. Moser [9]). Cho z = f(x1, x2, ..., xn) xác định trên Rn có đồ thị là một siêu mặt cực tiểu trong Rn+1. Nếu | 5 f | ≤ β < +∞ thì f là hàm affine hay đồ thị của nó là một siêu phẳng. Định lí 1.3 (J. C. C.Nitscher và Ecker - Huisken [4]). Cho z = f(x1, x2, ..., xn) xác định trên Rn có đồ thị là một siêu mặt cực tiểu trong Rn+1. Nếu | 5 f(x)| = o√|x|2 + |f(x)|2, ∀x ∈ Rn thì f là hàm affine. 1) letram07st@gmail.com (N. L. Tram). 80 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 46, Số 2A (2017), tr. 80-90 Trong trường hợp mở rộng đối chiều cao, cho f : Rn −→ Rm, n ≥ 2,m ≥ 2, f(x1, ..., xn) = (f1(x1, ...xn), ..., fm(x1, ..., xn)) có đồ thị Gf := {(x1, ..., xn, f1(x1, ...xn), ..., fm(x1, ..., xn)) : (x1, ..., xn) ∈ Rn}, nếu Gf là mặt cực tiểu n-chiều thì Gf có phải là n-phẳng hay không. Câu trả lời là không. Ta có thể xét ví dụ đơn giản trong trường hợp n = 2,m = 2; cho f(x1, x2) = (x1−x2, 2x1x2) thì theo hình học định cỡ [6] Gf là một đường cong phức nên là mặt cực tiểu và tất nhiên Gf không phải là mặt phẳng. Trong trường này các điều kiện cụ thể của f cũng đã được thêm vào để có thể mở rộng thành các định lí kiểu Bernstein đối chiều cao. Định lí 1.4 (Hildebrandt-Jost-Widmen [8]). Cho f(x1, ..., xn) = (f1(x1, ...xn), ..., fm(x1, ..., xn)) là hàm số khả vi cấp 2 trên Rn có đồ thị là mặt cực tiểu. Giả sử tồn tại hằng số β sao cho β < cos−1 ( pi 2 √ sK ) ,K = { 1 nếu s = 1 2 nếu s = 2 , s = min(m,n) và với mọi x ∈ Rn có ∆f (x) = {det(δij + f sxi(x)fsxj (x))} 1 2 ≤ β thì f1, ..., fm là các hàm affine hay Gf là n-phẳng trong Rn+m. Định lí 1.5 (Hasanis-Halilaj-Vlachos [7]). Cho f : R2 −→ R2 là các hàm trơn sao cho đồ thị Gf là mặt cực tiểu trong R4. Nếu định thức Jacobi Jf của f bị chặn thì Gf là mặt phẳng. 2 Mặt cực đại 2-chiều trong Rnn−2 Trên Rn, n ≥ 3, ta xác định một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến, ký hiệu 〈·, ·〉k, k = 1, 2, ..., n cho bởi 〈x, y〉k = n−k∑ i=1 xiyi − n∑ i=n−k+1 xiyi, trong đó x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rn. Không gian vectơ Rn cùng với dạng song tuyến tính 〈·, ·〉k được gọi là không gian Minkowski Rnk . 〈·, ·〉k xác định dạng toàn phương Γ, Γ(x) = n−k∑ i=1 x2i − n∑ j=n−k+1 x2j . (2) Một vectơ x trong Rnk được gọi là: • vectơ kiểu không gian (spacelike) nếu 〈x, x〉k > 0, hoặc x = 0; 81 Nguyen Le Tram/ Định lí kiểu Bernstein trong R42 với định thức Jacobi bị chặn • vectơ kiểu thời gian (timelike) nếu 〈x, x〉k < 0; • vectơ kiểu ánh sáng (lightlike) nếu x 6= 0, 〈x, x〉k = 0. Một mặt tham số 2-chiều được gọi là mặt kiểu không gian nếu vectơ tiếp xúc tại mọi điểm là vectơ kiểu không gian. Với p là một điểm bất kì của M , đặt TpM = {v ∈ Rnk ∣∣v là vectơ tiếp xúc của M}, NpM = {u ∈ Rnk ∣∣u là vectơ pháp tuyến của M}. Bổ đề 2.1. Cho M là mặt tham số (n − k)-chiều kiểu không gian trong Rnk . Khi đó ∀p ∈M, ∀v ∈ NpM,v 6= 0 thì v là vectơ kiểu thời gian. Chứng minh. Vì v 6= 0 nên ta có thể bổ sung thêm k − 1 vectơ v2, ..., vk của NpM sao cho {v1 = v, v2, ..., vk} là một cơ sở của NpM . Bằng phương pháp trực giao hóa Gram - Schmidt ta có thể giả thiết {v1, v2, ..., vk} là một hệ trực giao. Nếu {u1, ..., un−k} là một cơ sở trực giao của TpM thì vì TpM ⊕ NpM = Rn nên {u1, ...un−k, v1, ..., vk} là cơ sở trực giao của Rn. Giả sử đối với cơ sở này Γ có dạng chính tắc là Γ(x) = n∑ i=1 aix 2 i , ta có ∀i = 1, ..., n− k, ai = Γ(ui) = 〈ui, ui〉k > 0, nên theo định lí về chỉ số của dạng toàn phương và (2) ta có aj < 0,∀j = n− k + 1, ..., n hay 〈vj , vj〉k < 0,∀j = 1, ..., k. Vậy, v là vectơ kiểu thời gian. 2 Cho M là mặt tham số 2-chiều trong Rnn−2, n ≥ 3 cho bởi X : D −→ Rnn−2 (x1, x2) 7−→ (f1(x1, x2), ..., fn(x1, x2)), với D là tập mở, liên thông trong R2 và f i : D −→ R, i = 1, ..., n là các hàm trơn. Với mọi điểm p ∈M, M được gọi là chính quy tại p nếu các vectơ X1 = ∂X∂x1 (p), X2 = ∂X∂x2 (p) độc lập tuyến tính. M được gọi là mặt tham số chính quy nếu M chính quy tại mọi điểm. Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của M tại p xác định bởi 82 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 46, Số 2A (2017), tr. 80-90 E = 〈X1, X1〉n−2, F = 〈X1, X2〉n−2, G = 〈X2, X2〉n−2. Nếu M là mặt kiểu không gian thì E > 0, G > 0, hơn nữa, ∀(a, b) 6= (0, 0) ta có 〈aX1 + bX2, aX1 + bX2〉n−2 > 0⇔ a2E + 2abF + b2G > 0, do đó EG−F 2 > 0. Tham số hoá X(x1, x2) được gọi là trực giao nếu E = G,F = 0. Cho p là điểm bất kì trên M , ∀N ∈ NpM thỏa mãn 〈N,N〉n−2 = −1, các hệ số của dạng cơ bản thứ hai của M tại p ứng với vectơ pháp N xác định bởi bij(N) = 〈N,Xij〉n−2, i, j = 1, 2, (3) khi đó ta có độ cong trung bình của M tại p theo pháp tuyến N là H(N) = b11(N)G− 2b12(N)F + b22(N)E 2(EG− F 2) . (4) Theo (3) thì bij(N) tuyến tính theo N nên từ (4) ta có H(N) là một hàm tuyến tính theo N , tức là tồn tại vectơ −→ H ∈ NpM , được gọi là vectơ độ cong trung bình, sao cho H(N) = 〈−→H,N〉n−2. (5) Cho {e3, ..., en} là một cơ sở trực chuẩn của NpM ta có −→ H = n∑ k=3 aiei. Do đó H(ei) = −ai, i = 3, ..., n hay −→ H = − n∑ k=3 H(ek)ek. Định nghĩa 2.1. Mặt tham số chính quy kiểu không gian M trong Rnn−2 được gọi là mặt cực đại nếu vectơ độ cong trung bình bằng không tại mọi điểm. Nếu M có tham số hóa kiểu đồ thị, hay f1(x1, x2) = x1, f2(x1, x2) = x2. Ta có X1 = (1, 0, f 3 1 , ..., f n 1 ), X2 = (0, 1, f 3 2 , ..., f n 2 ), E = 1− |f1|2, F = −〈f1, f2〉, G = 1− |f2|2, trong đó f = (f3, ..., fn), 〈, 〉 là tích vô hướng chính tắc trên Rn−2. ∀N ∈ NpM,N = (N1, ..., Nn) ta có 〈N,N〉n−2 = −1, bij(N) = − n∑ k=3 fkijNk, i, j = 1, 2. Bổ đề 2.2. ChoM là mặt tham số chính quy kiểu không gian trong Rnn−2, ∀p ∈M,∀N3, ..., N4 ∈ R, tồn tại N1, N2 ∈ R sao cho 83 Nguyen Le Tram/ Định lí kiểu Bernstein trong R42 với định thức Jacobi bị chặn N = (N1, ..., Nn) ∈ NpX. Chứng minh. Đặt N1 = n∑ k=3 fk1Nk, N2 = n∑ k=3 fk2Nk ta có 〈N,Xi〉n−2 = 0, i = 1, 2 hay N = (N1, ..., Nn) ∈ NpX. 2 Nếu M là mặt cực đại thì từ (4) ta có (1− |f2|2) ( n∑ k=3 fk11N k ) + 2〈f1, f2〉 ( n∑ k=3 fk12N k ) + (1− |f1|2) ( n∑ k=3 fk22N k ) = 0 ⇔ [ (1− |f2|2)fk11 + 2〈f1, f2〉fk12 + (1− |f1|2)fk22 ] Nk = 0, ∀k = 3, ..., n. Theo Bổ đề 2.2 thì N3, ..., Nn được lấy tùy ý nên ta có (1− |f2|2)f11 + 2〈f1, f2〉f12 + (1− |f1|2)f22 = 0. (6) Phương trình (6) gọi là phương trình Lagrange cho mặt cực đại 2-chiều kiểu đồ thị trong Rnn−2. Đặt p = f1, q = f2,W = √ EG− F 2 ta có W 2 = 1− |p|2 − |q|2 + |p|2.|q|2 − 〈p, q〉2. Khi đó phương trình (6) trở thành (1− |q|2) ∂p ∂x1 + 〈p, q〉 ( ∂q ∂x1 + ∂p ∂x2 ) + (1− |p|2) ∂q ∂x2 = 0. Ta có ∂ ∂x1 ( 1− |q|2 W ) + ∂ ∂x2 (〈p, q〉 W ) = 1 W [〈p, q〉q + (1− |q|2)p] [ (1− |q|2) ∂p ∂x1 + 〈p, q〉 ( ∂q ∂x1 + ∂p ∂x2 ) +(1− |p|2) ∂q ∂x2 ] = 0. Thay thế vai trò của các cặp (x, y), (p, q) ta có ∂ ∂x1 ( 1− |q|2 W ) = ∂ ∂x2 ( −〈p, q〉 W ) , (7) ∂ ∂x1 ( −〈p, q〉 W ) = ∂ ∂x2 ( 1− |p|2 W ) . (8) Cho p là điểm bất kì trên mặt M , {e3, ..., en} là cơ sở của NpM ta có. 84 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 46, Số 2A (2017), tr. 80-90 Độ cong Gauss của M tại p xác định bởi K = 1 EG− F 2 [b11(ek)b22(ek)− (b12(ek)) 2]. (9) Đặt |h|2 = 2∑ i,j=1 n∑ k=3 (bij(ek)) 2. (10) Nếu M có tham số hóa trực giao thì từ (4) và ∀N ∈ NpM, 〈N,N〉n−2 = −1 ta có H(N) = b11(N) + b22(N) 2E2 . Từ (9) và (10) ta có: 2K(EG− F 2) = −4E2(−→H )2 − |h|2. Do đó nếu M là mặt cực đại ta có 2K(EG− F 2) = −|h|2. (11) Bổ đề 2.3. Cho mặt tham số chính quy M xác định bởi tham số hóa trực giao X(x1, x2) ∈ C2 . Khi đó ta có ∆X = 2E2 −→ H . Chứng minh. Vì X(x1, x2) là tham số hóa trực giao nên ta có〈∂X ∂x1 , ∂X ∂x1 〉 n−2 = 〈∂X ∂x2 , ∂X ∂x2 〉 n−2 , 〈∂X ∂x1 , ∂X ∂x2 〉 n−2 = 0. Đạo hàm hai vế của đẳng thức thứ nhất theo x1, đạo hàm hai vế của đẳng thức thứ hai theo x2 ta có: 〈∂2X ∂x21 , ∂X ∂x1 〉 n−2 = 〈 ∂2X ∂x1∂x2 , ∂X ∂x2 〉 n−2 = − 〈∂2X ∂x22 , ∂X ∂x1 〉 n−2 , do đó 〈 ∆X, ∂X ∂x1 〉 n−2 = 〈(∂2X ∂x21 + ∂2X ∂x22 ) , ∂X ∂x1 〉 n−2 = 0. Thay đổi vai trò của x1 bởi x2 ta được〈 ∆X, ∂X ∂x2 〉 n−2 = 0. Từ đó ta thấy rằng ∆X là một vectơ pháp tuyến của mặt M. Hơn nữa, với mọi vectơ pháp tuyến đơn vị N của M ta có 85 Nguyen Le Tram/ Định lí kiểu Bernstein trong R42 với định thức Jacobi bị chặn 〈 ∆X,N 〉 n−2 = 〈(∂2X ∂x21 + ∂2X ∂x22 ) , N 〉 n−2 = b11(N) + b22(N) = 2E 2H(N) Do vậy ∆X = 2E2 −→ H . 2 Hệ quả 2.1. Cho X(x1, x2) = (f1(x1, x2), ..., fn(x1, x2)) ∈ C2 là tham số hóa trực giao của mặt M trong Rnn−2. Khi đó, M là mặt cực đại khi và chỉ khi f i(x1, x2), i = 1, ..., n là các hàm điều hòa. Điều này được suy ra trực tiếp từ Bổ đề 2.3. Định lí 2.1. Nếu Gf = {(x1, x2, f3(x1, x2), ..., fn(x1, x2)|(x1, x2) ∈ R2)} là mặt cực đại trong Rnn−2 thì với mọi a ∈ Gf tồn tại lân cận của a sao cho trên đó Gf có tham số hóa trực giao. Chứng minh. Từ (7) và (8) tồn tại các hàm số U, V ∈ C1(D) sao cho ∂U ∂x1 = 1− |q|2 W , ∂U ∂x2 = −〈p, q〉 W , ∂V ∂x1 = −〈p, q〉 W , ∂V ∂x2 = 1− |p|2 W . Đặt u1 = x1 + U, u2 = x2 + V . Ta có ∂u1 ∂x1 =1 + 1− |q|2 W , ∂u1 ∂x2 = −〈p, q〉 W , ∂u2 ∂x1 =− 〈p, q〉 W , ∂u2 ∂x2 = 1 + 1− |p|2 W . Định thức Jacobi của phép đổi biến là J = ∂(u1, u2) ∂(x1, x2) = (W + 1− |p|2)(W + 1− |q|2) W 2 − (〈p, q〉 W )2 = 2 + 1− |p|2 + 1− |q|2 W > 0. Do đó, theo định lí hàm ngược, phép đổi biến (x1, x2) −→ (u1, u2) là vi phôi địa phương. Ta có ∂f1 ∂u1 = W + 1− |p|2 JW , ∂f2 ∂u1 = 〈p, q〉 JW , ∂fk ∂u1 = W + 1− |p|2 JW fk2 + 〈p, q〉 JW fk1 , k = 3, ..., n, 86 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 46, Số 2A (2017), tr. 80-90 ∂f1 ∂u2 = 〈p, q〉 JW , ∂f2 ∂u2 = W + 1− |q|2 JW , ∂fk ∂u2 = W + 1− |q|2 JW fk1 + 〈p, q〉 JW fk2 , k = 3, ..., n. Ta có E = 〈∂X ∂u2 , ∂X ∂u2 〉 n−2 = W J ,G = 〈∂X ∂u1 , ∂X ∂u1 〉 n−2 = W J ,F = 〈∂X ∂u1 , ∂X ∂u2 〉 n−2 = 0. Do đó X(u1, u2) là tham số hóa trực giao. 2 3 Định lí kiểu Bernstein cho mặt cực đại 2-chiều trong R42 với định thức Jacobi bị chặn Vấn đề mở rộng định lí Bernstein cho các siêu mặt cực đại kiểu không gian trên không gian Lorentz-Minkowski được giải quyết hoàn toàn bởi Shiu-Yeng Chen và Shing-Tung Yau [2]. Việc mở rộng định lí kiểu Bernstein cho các không gian Minkowski đối chiều cao hiện nay chưa có nhiều kết quả. Sử dụng kỹ thuật tương tự như trong chứng minh Định lí 1.5, chúng tôi phát biểu và chứng minh định lí kiểu Bernstein cho mặt cực đại 2-chiều trong R42 với định thức Jacobi bị chặn. Định lí 3.1. Cho f(x1, x2) là nghiệm của phương trình mặt cực đại trong Rnn−2. Khi đó tồn tại phép đổi tham số x1 = u1, x2 = au1 + bu2, b > 0, sao cho X(u1, u2) là tham số hóa trực giao. Chứng minh. Xét phép đổi tham số ξ1 = x1 + U, ξ2 = x2 + V . Khi đó theo Định lí 2.1 thì X(ξ1, ξ2) là tham số hóa trực giao. Vì ∂U ∂x2 = ∂V ∂x1 = −〈p, q〉 W nên tồn tại hàm số T ∈ C1 sao cho ∂T ∂x1 = U, ∂T ∂x2 = V . ∂2T ∂x21 = ∂U ∂x1 = 1− |p|2 W > 0, det ( ∂2T ∂x1∂x2 ) = ∂(U, V ) ∂(x1, x2) = 1. 87 Nguyen Le Tram/ Định lí kiểu Bernstein trong R42 với định thức Jacobi bị chặn Do đó tương tự chứng minh Định lí 1.5 ta suy ra X(ξ1, ξ2) là vi phôi. Xét φk(z) = ∂fk ∂ξ1 − i∂f k ∂ξ2 , z = ξ1 + iξ2, k = 3, ..., n. Vì X(ξ1, ξ2) là tham số hóa trực giao nên theo Hệ quả 2.1, φk là hàm giải tích, k = 3, ..., n. Ta có Im(φ1φ2) = −∂(x1, x2) ∂(ξ1, ξ2) < 0. Do đó φ1 6= 0, φ2 6= 0 trên C. Hơn nữa Im(φ2.φ−11 ) = 1 |φ1|2 Im(φ1φ2) < 0. Theo định lí Liouville thì φ2.φ−11 là hàm hằng, tức là tồn tại c = a− bi ∈ C sao cho φ2 = cφ1. Từ đó ta có ∂x2 ∂ξ1 = a ∂x1 ∂ξ1 − b∂x1 ∂ξ2 , ∂x2 ∂ξ2 = b ∂x1 ∂ξ1 + a ∂x1 ∂ξ2 . Vì Im(φ2.φ−11 ) 0. Xét phép đổi biến x1 = u1 x2 = au1 + bu2 ta có ∂u1 ∂ξ1 = ∂x1 ∂ξ1 , ∂u2 ∂ξ2 = 1 b ∂(x2 − au1) ∂ξ2 = ∂x1 ∂ξ1 , ∂u1 ∂ξ2 = ∂x1 ∂ξ2 , ∂u2 ∂ξ1 = 1 b ∂(x2 − au1) ∂ξ1 = −∂x1 ∂ξ2 . Do đó u1 + iu2 thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann nên là hàm giải tích. Vậy, X(u1, u2) là tham số hóa trực giao. 2 Định lí 3.2. Cho f : R2 −→ R2 (x1, x2) 7−→ (f3(x1, x2), f4(x1, x2)) fk, k = 3, 4 là các hàm trơn sao cho đồ thị 88 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 46, Số 2A (2017), tr. 80-90 Gf = {(x1, x2, f3(x1, x2), f4(x1, x2)) ∈ R42|(x1, x2) ∈ R2} là mặt cực đại trong R42. Nếu định thức Jacobi Jf của f bị chặn thì Gf là mặt phẳng. Chứng minh. Theo Định lí 3.1, tồn tại phép đổi biến x1 = u1 x2 = au1 + bu2, b > 0, (12) sao cho tham số hóa X(u1, u2) = (u1, au1 + bu2, g(u1, u2), h(u1, u2)) của Gf là tham số hóa trực giao. Ta có Xu1 = (1, a, gu1 , hu1), Xu2 = (0, b, gu2 , hu2). X(u1, u2) là tham số hóa trực giao nên gu1gu2 + hu1hu2 = ab. (13) Hơn nữa, Gf là mặt cực đại nên gu1u1 + gu2u2 = hu1u1 + hu2u2 = 0. Ta có E = 1 + a2 − g2u1 − h2u1 = b2 − g2u2 − h2u2 , nên E2 = (1 + a2 − g2u1 − h2u1)(b2 − g2u2 − h2u2) = E + a2E + b2(−g2u1 − h2u1) + (g2u1 + h2u1)(g2u2 + h2u2) = E(1 + a2 + b2)− b2 − a2b2 + (g2u1 + h2u1)(g2u2 + h2u2). Từ (13) và đồng nhất thức Lagrange ta có E2 = E(1 + a2 + b2)− b2 + J2φ, trong đó Jφ là định thức Jacobi của φ = (g, h). Từ (12) ta có Jφ = bJf nên nếu Jf bị chặn thì Jφ bị chặn và do đó E bị chặn. Mặt khác theo định lí Gauss (Gauss’s Theorema Egregium) áp dụng cho tham số hóa trực giao ta có K = −∆ ln √ E E . Từ (11) ta có K ≤ 0 nên ∆ ln√E ≥ 0 hay ln√E là hàm điều hòa dưới. Kết hợp với ln√E xác định trên toàn bộ mặt phẳng và bị chặn nên ln √ E là hàm hằng. Từ đó suy ra K = 0. Từ (11) suy ra Gf trắc địa hoàn toàn (xem [3]) hay Gf là mặt phẳng. 89 Nguyen Le Tram/ Định lí kiểu Bernstein trong R42 với định thức Jacobi bị chặn Lời cảm ơn: Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ Phát triển khoa học và công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) trong đề tài mã số 101.04.2014.26. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A. L. Albujer, L. J. Alías, Calabi - Bernstein result for maximal surfaces in Lorentzian product space, J. Geometry Phys. 50, 2009, 620-631. [2] S. Y. Cheng, S. T. Yau, Maximal Spacelike Hypersurface in Lorentz-Minkowski Spaces, Ann. of Math. 3, 1976, 407-419. [3] M. P. Do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall Profes- sional Technical Reference, 1976. [4] K. Ecker, G. Huisken, A Bernstein result for minimal graphs of controlled growth, J.Diff. Geom. 31, 1990, 397-400. [5] L. Guanghan , M. C. Salavessa, Mean curvature flow of spacelike graphs, Math. Z. 269, no. 3-4, 2011, 697–719. [6] F. R. Harvey, H. B. Lawson, Calibrated Geometry, Acta Math. V.148, 1982, 47-157. [7] Th. Hasanis, A. Savas-Halilaj, Th. Vlachos, Minimal graphs in R4 with bounded Jaco- bian, Pro. Am. Math. Soc., 137, 2009, 3463-3471. [8] J. Jost, J. L. Xin, Bernstein type theorem for higher codimention canculus, Var. PDE 9, 1999, 277-296. [9] J. Moser, On Hanack’s theorem for elliptic differential equations, Comm. Pure Appl. Math.14, 1961, 577-591. [10] S. Nishikawa, On maximal spacelike hypersurfaces in a Lorentzian manifold, Nagoya Math. J. 95, 1984, 117-124. [11] R. Osserman, A Survey of Minimal Surfaces, Van Nostrand-Reinhold, New York, 1969. SUMMARY Bernstein type theorem in R42 with bounded Jacobians In this paper, we prove a Bernstein type theorem for spacelike two dimentionl maximal surfaces in R42 with bounded Jacobians. 90