Giáo trình Giải tích 1 - Chương 5: Đạo hàm riêng, vi phân và cực trị của hàm đa biến

TÀI LIỆU MÔN GIẢI TÍCH 1 LÝ THUYẾT CHƯƠNG 5: ĐẠO HÀM RIÊNG, VI PHÂN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA BIẾN 5.1 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm đa biến 5.1.1 Định nghĩa đạo hàm riêng Cho hàm số u = f(x,y) xác định trong miền D và M0 (x0, y0) ∈ D. Cố định y = y0 trong hàm số đã cho sẽ nhận được hàm số một biến số u = f(x,y0). Nếu hàm số có đạo hàm tại x0 thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f(x,y) đối với x tại M0 (x0, y0) và ký hiệu như sau: ' 0 0( , y )xu x hay 0 0( , y ) u x x   hay ' 0 0( , y )xf x hay 0 0( , y ) f x x   Đặt 0 0 0 0 0 0( , y ) ( , y ) ( , y )x xf x f x f x     gọi đó là số gia riêng của hàm f(x,y) theo biến x tại (x0, y0) và ta có: 0 0 0 0 0 ( , y ) ( , y ) lim x x x f xf x x       Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số đối với y tại M0 (x0, y0) và ký hiệu: ' ' 0 0 0 0 0 0 0 0( , y ), ( , y ), ( , y ), ( , y )y y u f u x x f x x y y     Chú ý: Có thể chuyển toàn bộ các phép tính đạo hàm của hàm một biến số: cộng, trừ, nhân, chia,... sang phép tính đạo hàm riêng. 5.1.2 Vi phân toàn phần a. Định nghĩa Cho hàm số u = f(x,y) xác định trong miền D chứa (x0, y0). Nếu số gia toàn phần của hàm số tại (x0, y0) ứng với số gia ∆x, ∆y của các đối số có dạng: 0 0( , )f x y A x B y x y          (5.1.1) trong đó A, B là những số chỉ phụ thuộc vào (x0, y0) còn α, β dần đến 0 khi M → M0 tức là khi ∆x → 0, ∆y → 0 thì nói rằng hàm số f(x,y) khả vi tại M0, còn biểu thức A x B y   được gọi là vi phân toàn phần của hàm số tại M0 và kí hiệu là df(x0, y0) hay du(x0, y0). Như vậy df(x0, y0) A x B y    . Hàm số u = f(x,y) được gọi là hàm khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền D. b. Điều kiện cần của hàm số khả vi Định lý (5.1.1): Nếu f(x,y) khả vi tại (x0, y0) thì liên tục tại đó. Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 1 Từ (5.1.1) suy ra 0 0( , ) 0f x y  khi 0, 0x y    . Định lý (5.1.2): Nếu f(x,y) khả vi tại (x0, y0) thì hàm số có các đạo hàm riêng tại (x0, y0) và ' ' 0 0 0 0( , ),B ( , )x yA f x y f x y  . Chứng minh: Từ (5.1.1) suy ra: 0 0 0 0f( , ) f( , ), x x y y x y A B x y           Vậy: ' 0 0( , ) Axf x y  , ' 0 0( , ) Byf x y  chứng tỏ: ' ' 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x ydf x y f x y x f x y y    c. Điều kiện đủ của hàm số khả vi Định lý (5.1.3): Nếu hàm số u = f(x,y) có các đạo hàm riêng ' '( , ), ( , )x yf x y f x y liên tục tại M0 (x0, y0) thì f(x,y) khả vi tại M0 (x0, y0) Chứng minh: Ta có 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )f x y f x x y y f x y       0 0 0 0 0 0 0 0[ ( , ) ( , )] [ ( , ) ( , )]f x x y y f x y y f x y y f x y           Áp dụng công thức số gia hữu hạn (công thức Lagrange) cho hàm một biến số 0( , )f x y y  tại lân cận x0 và f(x0,y) ở lân cận y0 sẽ nhận được: ' 0 0 0 0 0 1 0( , ) ( , ) ( x, )xf x x y y f x y y f x y y x             ' 0 0 0 0 0 0 2( , ) ( , ) ( , y )yf x y y f x y f x y y       Trong đó: 1 20 1,0 1     Cũng theo giả thiết ' '( , ), ( , )x yf x y f x y liên tục tại (x0, y0) nên: ' ' 0 1 0 0 0( x, ) ( , ) ( x, y)x xf x y y f x y         ' ' 0 0 2 0 0( , y ) ( , ) ( x, yy yf x y f x y       ) Trong đó 0, 0   khi 0, 0x y    . Từ đó nhận được: ' ' 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x yf x y f x y x f x y y x y          chứng tỏ hàm số khả vi tại (x0, y0). Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 2 Vậy vi phân toàn phần của hàm số f(x,y) tại (x0, y0) có thể viết dưới dạng: ' ' 0 0 0 0 0 0( , ) ( , )d ( , )dx ydf x y f x y x f x y y  5.1.3 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm số hợp a. Đạo hàm của hàm số hợp Cho nD R và các ánh xạ : mD R  : (D) Rf   Hay u = u(y1, y2,...,ym) với 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 (x , x ,..., x ) (x , x ,..., x ) .................................. (x , x ,..., x ) n n m m n y y y y y y        Ánh xạ tích :f D R  cụ thể là ( ( )), , ( ) mu f M M D M R    gọi là hàm số hợp. Để cho đơn giản, sau đây ta xét n = 2, m = 2, khi đó hàm hợp f  xác định trên miền phẳng D Định lý (5.1.4): Cho u = f(x,y) với x = x(s,t); y = y(s,t) thỏa mãn: - Các biến trung gian x(s,t), y(s,t) có đạo hàm riêng cấp 1 tại (a,b), - f(x,y) khả vi tại điểm (x0, y0) = [x(a,b),y(a,b)] Khi đó hàm hợp u = u(s,t) có đạo hàm riêng cấp 1 tại (a,b) tính theo công thức: u u x u y s x s y s u u x u y t x t y t                         (5.1.2) Công thức (5.1.2) có thể viết dưới dạng ma trận: x u u u u s ys t x y s                      x t y t          x s y s        x t y t          được gọi là ma trận Jacobi của x, y đối với t, s; còn định thức của ma trận này gọi là định thức Jacobi của x, y đối với t, s hay Jacobian của x, y đối với t,s và kí hiệu: Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 3 ( , ) (s, t) x D x y s yD s      x t y t     b. Vi phân của hàm số hợp Xét hàm hợp u = f(x,y), x = x(s,t); y = y(s,t). Nếu hàm hợp có các đạo hàm riêng , u u s t     liên tục thì nó khả vi và ta có: u u du ds dt s t          Bây giờ ta biểu diễn du qua biến trung gian x, y theo công thức (5.1.2) có: u x u y u x u y du ds dt x s y s x t y t                              = u x x u y y ds dt ds dt x s t y s t                         = u u dx dy x y      Như vậy, dạng của công thức vi phân cấp 1 không đổi dù x, y là các biến độc lập hay là hàm của các biến s, t. Tính chất này gọi là tính chất bất biến của vi phân cấp 1. Chú ý: Cũng như hàm một biến số, vi phân cấp cao không có tính bất biến dạng. 5.1.5 Đạo hàm của hàm số ẩn a. Hàm ẩn một biến Cho một hệ thức giữa hai biến x, y dạng: F(x,y) = 0 (5.1.3) trong đó F(x,y) là hàm hai biến xác định trong miền mở D chứa (x0, y0) và F(x0,y0) = 0. Giả sử rằng 0 0( , ),x x x     ( )y x sao cho (x, y(x)) ∈ D và F(x,y(x)) = 0. Hàm số y = y(x) gọi là hàm ẩn của x xác định bởi phương trình (5.5.1). Định lý 5.1.5: Nếu F(x,y) thỏa mãn các điều kiện: - F liên tục trong lân cận 0( )M và F(M0) = 0. - Các đạo hàm riêng , F F x y     liên tục và  0 0 0, x F y y    trong lân cận 0( )M thì phương trình (5.1.3) xác định một hàm ẩn y(x) khả vi liên tục trong khoảng 0 0( , )x x   và ta có: Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 4 '' x y Fdy dx F   (5.1.4) Chú ý: Để nhận được công thức (5.1.4) chúng ta chỉ việc lấy vi phân 2 vế của (5.1.3) trong đó có y = y(x) và áp dụng tính tính bất biến của dạng vi phân cấp 1. b. Hàm ẩn hai biến Định lý (5.1.6): Cho phương trình hàm ẩn F(x,y,z) = 0 và F(x,y,z) thỏa mãn điều kiện: F(x,y,z) liên tục trong hình cầu mở 0( )M và F(M0) = F(x0,y0,z0) = 0; Các đạo hàm riêng ' ' ', ,x y zF F F liên tục và   ' 0 0 0, ,zF x y z ≠ 0 trong hình cầu 0( )M . Khi đó phương trình hàm ẩn xác định một hàm ẩn z = z(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận 0 0( ),x y đồng thời: '' ' ' , yx z z FFz z x yF F         (5.1.5) 5.2 Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao 5.2.1 Đạo hàm riêng cấp cao Đạo hàm riêng cấp hai của một hàm là đạo hàm riêng các đạo hàm cấp một của nó. Hàm hai biến f(x,y) có 4 đạo hàm riêng cấp hai sau đây: 2 " x f f x x          , " xy f f y x          , " yx f f y y          , 2 " y f f y y          hay 2 2 2 2 2 2 , , , f f f f x y y xx y          Hoàn toàn tương tự ta cũng có các định nghĩa đạo hàm riêng cấp cao hơn của hàm nhiều biến hơn. Định lý (5.2.1) (Schwarz): Nếu f(x,y) có các đạo hàm riêng hỗn hợp " ",xy yxf f trong lân cận 0( )M và liên tục tại M0 (x0, y0) thì các đạo hàm hỗn hợp bằng nhau tại M0. " " 0 0(M ) ( )xy yxf f M Chứng minh: Lấy t, s đủ bé. Lập các hàm số sau đây trong lân cận M0 ( , ) ( , ) ( , ) h( , ) ( , ) ( , ) g x y f x t y f x y x y f x y s f x y       Rõ ràng 0 0 0 0 0 0 0 0( , s) g( , ) ( t, ) ( , )g x y x y h x y h x y     . Áp dụng định lý Lagrange cho hàm 0( , )g x y tại y0 nhận được: ' 0 0 0 0 0 0 1( , s) g( , ) . ( , s)yg x y x y s g x y     Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 5 ' ' 0 0 1 0 0 1[ ( t, s) ( , s ]y ys f x y f x y     Tiếp tục áp dụng định lý Lagrange cho hàm ' 0 1( , s)yf x y  tại x0 nhận được: " 0 0 0 0 0 2 0 1( , s) g( , ) .f ( t, s)yxg x y x y st x y      Hoàn toàn tương tự cũng có: " 0 0 0 0 0 1 0 2h( t, ) h( , ) .f ( t, s)xyx y x y st x y      Cho t, s → 0, do tính liên tục nhận được " "0 0 0 0( , ) ( , )xy yxf x y f x y Chú ý: Định lý trên cũng mở rộng cho các đạo hàm cấp cao hơn và hàm nhiều biến hơn. 5.2.2 Vi phân cấp cao Ta nhận thấy ' '( , ) f ( , ) f ( , )x ydf x y x y dx x y dy  cũng là một hàm số của x, y nên có thể xét vi phân của nó. Nếu df(x,y) khả vi thì vi phân của nó gọi là vi phân cấp hai của f(x,y), kí hiệu 2 ( , ) ( ( , ))d f x y d df x y và nói rằng f(x,y) khả vi đến cấp hai tại (x,y). Tổng quát vi phân cấp n, nếu có sẽ kí hiệu: 1( , ) ( ( , ))n nd f x y d d f x y Công thức vi phân cấp hai như sau: 2 ( , ) ( ( , )) f f f f d f x y d df x y dx dy dx dx dy dy x x y y x y                           2 2 2 2 2 2 2 2 f f f f dx dxdy dy x y y xx y                 Giả sử các đạo hàm riêng hỗn hợp liên tục, theo định lý Schwarz ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) f f f f d f x y dx dxdy dy x y y xx y                 Người ta dùng kí hiệu lũy thừa tượng trưng để viết gọn như sau: ( , ) ( , )df x y dx dy f x y x y          Tổng quát có ( , ) ( , ) n nd f x y dx dy f x y x y          Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 6