Giáo trình môn học Giải tích 1

m b a 0 =∫ ε− →ε 1 1 1 1 1 1 1aa dx x a x α α α α α α α +∞ +∞ − − +∞ <  = =  − > − ∫ Môn: Giải Tích 1 42 và viết: =∫ b a dx)x(f .dx)x(flim b a 0 ∫ ε− →ε Nếu tồn tại giới hạn I thì nói tích phân suy rộng ∫ b a dx)x(f hội tụ nếu ngược lại thì phân kì. 3.3.3. Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của tích phân: Định lí: Cho f, g là hai hàm số khả tích trên mọi khoảng hữu hạn [a, b] (a )b≤ và 0 ≤ f(x) ≤ g(x), x a≥ Khi đó: i) Nếu ∫ +∞ a dx)x(g hội tụ thì ∫ +∞ a dx)x(f hội tụ. ii) Nếu ∫ +∞ a dx)x(f phân kì thì ∫ +∞ a dxxg )( phân kì. iii) Nếu ;)( )(lim k xg xf x = +∞→ 0 < k < +∞ thì các tích phân suy rộng ∫ +∞ a dx)x(f và ∫ +∞ a dxxg )( cùng tính chất hội tụ hoặc phân kì. Hệ quả: + Nếu 0)( )(lim = +∞→ xg xf x và ∫ +∞ a dx)x(g hội tụ thì ∫ +∞ a dx)x(f hội tụ. + Nếu +∞= ∞→ )( )(lim xg xf x và ∫ +∞ a dx)x(g phân kì thì ∫ +∞ a dx)x(f phân kì. BÀI TẬP 1. Tính các tích phân 1/ dx)x5(x 42 −∫ 2/ ∫       ++ dx x y x y x y 3 3 2 2 3/ ∫ + dx x 1x 4/ ∫       − dxxx x 11 2 5/ ∫ −+ − dx 10 52 x 1x1x 6/ ∫ + + dx e e x x 1 13 7/ ∫ − 2 5)2x5( dx 8/ ∫ − 2x32 dx 9/ ∫ − 23 2x dx 2. Tính các tích phân Môn: Giải Tích 1 43 1/ ∫ arctgxdx 2/ ∫ − + dx 1xsin xcos1 3/ ∫ xtg dx 3 4/ dx1ex − 5/ ∫ xdxcosxsin 46 6/ ∫ +− + dx 6x5x 2x 2 7/ ∫ ++ 2xx xdx 2 8/ ∫ −+− dx2x3xx 2 9/ ∫ xdxcosxsin 32 10/ ∫ ++ 22 )5x2x( dx 3. Tính các tích phân: 1/ ∫ e e 1 dxxln 2/ ∫ − 1 0 249 dxx 3/ dxe)5x2x( 1 0 2 x2 ∫ − +− 4/ ∫ − ++ 2 1 2 1 2 5x4x4 dx 5/ ∫ + 1 0 32 )x1( dx 6/ ∫ pi 4 0 4 xdxtg 7/ ∫ 2 0 coscos pi nxdxxn 8/ ∫ 2 0 )( dxxf nếu    ≤≤− ≤≤ = 212 10)( 2 xkhix xkhix xf 4. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1. Đường cong y = x2 và đường thẳng x = 0 và y = 4 2. Đường parabol y = x2+ 4 và đường thẳng x - y + 4 = 0 5. Tìm thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường: 1. y2+ x - 4 = 0 khi quay quanh trục Oy. 2. xy = 4 , y = 0, x = 1 và x = 4 khi quay quanh Ox. 3. y = x2, y = 4 khi quay quanh đường thẳng x = -2. 6. Xét sự hội tụ và tính (trong trường hợp hội tụ) các tích phân sau: 1/ ∫ ∞− 0 xdxxe 2/ ∫ +∞ 0 xdxcos 3/ ∫ +∞ ∞− + 22 )1x( dx 4/ ∫ − 2 0 2)1x( dx 5/ ∫ − 1 0 )x1(x dx 6/ ∫ 1 0 2 xlnx Môn: Giải Tích 1 44 CHƯƠNG.4. LÝ THUYẾT CHUỖI 4.1. CHUỖI SỐ 4.1.1. Các khái niệm cơ bản * Định nghĩa: Giả sử (xn)n là một dãy số. Ta lập một dãy mới, kí hiệu (sn)n được xác đinh bởi: s1 = x1 s2 = x1 + x2 sn = x1 + x2 + + xn = 1 n i i x = ∑ Khi ấy, dãy số (sn)n được gọi là một chuỗi số và cũng được kí hiệu là 1 i i x ∞ = ∑ hay x1 + x2 + + xn + Ta gọi sn là tổng riêng thứ n của chuỗi, xn là số hạng tổng quát (thứ n) của chuỗi. Chuỗi số 1 i i x ∞ = ∑ được gọi là hội tụ nếu dãy tổng riêng (sn)n hội tụ. Lúc ấy đặt s = lim n n s →∞ và gọi s là tổng của chuỗi. Ta viết: s = 1 i i x ∞ = ∑ . Như vậy, với cùng một kí hiệu 1 i i x ∞ = ∑ , ta vừa dùng để chỉ một chuỗi, vừa chỉ tổng của nó nếu chuỗi này hội tụ. Một chuỗi không hội tụ thì gọi là chuỗi phân kì. Trong trường hợp chuỗi hội tụ, ta có phần dư thứ n. Kí hiệu: rn = xn+1 + xn+2 + Theo định nghĩa ta có lim n n r →∞ = 0. * Điều kiện cần để chuỗi hội tụ: Định lý: Nếu 1 n n x ∞ = ∑ hội tụ thì lim n n x →∞ = 0. Chú ý: Định lý trên chỉ là điều kiện cần, điều ngược lại không đúng. Ví dụ 4.1: Cho chuỗi số 1 1 ( 1)n n n ∞ = + ∑ . Ta có: 1 1 1( 1) 1n n n n= −+ + , n N∈ . Do đó, Môn: Giải Tích 1 45 1 1 1 ... 1.2 2.3 ( 1) 1 1 1 1 1 1 = 1 ... 1 2 2 3 1 1 n s n n n n n = + + + +       − + − + + − = −     + +      Vậy 1lim lim 1 1 1nn n s n→∞ →∞   = − = +  nên chuỗi đã cho là hội tụ và tổng 1 1 1( 1)n n n ∞ = = + ∑ . Lưu ý: 1 1 n n ∞ = ∑ là chuỗi điều hòa phân kì. Hệ quả: Nếu lim 0 n n x →∞ ≠ thì 1 n n x ∞ = ∑ phân kì. * Tính chất: Tính chất 1: Nếu chuỗi 1 n n x ∞ = ∑ hội tụ về s thì 1 . n n c x ∞ = ∑ sẽ hội tụ về c.s (với c là hằng số). Tính chất 2: Nếu chuỗi 1 n n x ∞ = ∑ hội tụ về s và chuỗi 1 n n y ∞ = ∑ hội tụ về v thì ( ) 1 n n n x y ∞ = ±∑ hội tụ về ( )s v± . Tính chất 3: Tính hội tụ hay phân kì của một chuỗi không thay đổi nếu ta thêm vào hoặc bớt đi một số hữu hạn các số hạng của nó. 4.1.2. Chuỗi số dương * Định nghĩa: Chuỗi số dương là chuỗi số mà tất cả các số hạng của nó đều dương. Nếu xn ≤ 0 với mọi n∈N thì bằng cách nhân với (-1) ta đưa được về theo chuỗi số dương tương ứng. Tổng riêng: sn = x1 + x2 + + xn có dãy tổng riêng {sn} đơn điệu tăng. Định lý: Nếu {sn} bị chặn trên thì chuỗi 1 n n x ∞ = ∑ hội tụ. Ví dụ 4.2: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 1 1 n n ∞ = ∑ . Ta có, với mọi n∈N Môn: Giải Tích 1 46 2 2 2 1 1 11 ... 2 3 1 1 1 1 ... 1.2 2.3 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 2 3 1 1 2 2 n s n n n n n n = + + + + ≤ + + + + − ≤ + − + − + + − − ≤ − ≤ Vậy chuỗi số đã cho bị chặn trên bởi 2 nên hội tụ. * Các tiêu chuẩn hội tụ Tiêu chuẩn so sánh 1 Định lý: Cho 2 chuỗi số dương và . Giả sử Nếu hội tụ thì hội tụ. Nếu phân kì thì phân kì. Ví dụ 4.3: Xét sự hội tụ của chuỗi số dương 2 3 1 1 1 n n n n x n ∞ ∞ = = + =∑ ∑ . Ta có ( ) 2 2 3 3 1 1 1n n n n x y n nn n + = > = = ∀ ≥ Mà 1 n n y ∞ = ∑ phân kì nên 1 n n x ∞ = ∑ phân kì. Tiêu chuẩn so sánh 2 Định lý: Cho 2 chuỗi số dương 1 n n x ∞ = ∑ và 1 n n y ∞ = ∑ . Giả sử ( )lim 0n n n x k k y→∞ = < <+∞ . Khi đó, cả 2 chuỗi 1 n n x ∞ = ∑ và 1 n n y ∞ = ∑ cùng hội tụ hoặc cùng phân kì. Lưu ý: 1 1 n n α ∞ = ∑ là chuỗi hội tụ nếu α > 1, phân kì nếu 0 < α ≤ 1. 1 n n x ∞ = ∑ 1 n n y ∞ = ∑ ( )0n nx y n n≤ ∀ ≥ 1 n n y ∞ = ∑ 1 n n x ∞ = ∑ 1 n n x ∞ = ∑ 1 n n y ∞ = ∑ Môn: Giải Tích 1 47 Ví dụ 4.4: Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số dương sau ( ) ( )2 21 1 1 2 1 2 1 n n n x n n ∞ ∞ = = = − + ∑ ∑ Ta chọn 4 1 1 1 n n n y n ∞ ∞ = = =∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 2 4 1 2 1 2 1 1lim lim lim1 162 1 2 1 n n n nn n nx n y n n n →∞ →∞ →∞ − + = = = − + Vì 4 1 1 n n ∞ = ∑ hội tụ nên ( ) ( )2 21 1 2 1 2 1n n n ∞ = − + ∑ hội tụ. Tiêu chuẩn Dalembert Định lý: Cho chuỗi số dương 1 n n x ∞ = ∑ . Đặt 1lim n n n x D x + →∞ = . * Nếu 0 1D≤ < thì chuỗi số 1 n n x ∞ = ∑ hội tụ. * Nếu D > 1 thì chuỗi số 1 n n x ∞ = ∑ phân kì. * Nếu D = 1 thì không kết luận hội tụ, phân kì của chuỗi số 1 n n x ∞ = ∑ . Ví dụ 4.5: Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số dương sau 1 2 ! n n n ∞ = ∑ . Đặt ( ) ( ) 1 1 2 1 ! 2 . ! 2lim lim lim 0 1 12 2 . 1 ! ! n n n nn n n n nD nn n + + →∞ →∞ →∞ + = = = = < ++ Vậy 1 2 ! n n n ∞ = ∑ hội tụ. Môn: Giải Tích 1 48 Tiêu chuẩn Cauchy Định lý: Cho chuỗi số dương 1 n n x ∞ = ∑ . Giả sử lim n n n C x →∞ = . * Nếu 0 1C≤ < thì chuỗi số 1 n n x ∞ = ∑ hội tụ. * Nếu C > 1 thì chuỗi số 1 n n x ∞ = ∑ phân kì. * Nếu C = 1 thì không kết luận hội tụ, phân kì của chuỗi số 1 n n x ∞ = ∑ . Ví dụ 4.6: Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số dương 1 2 1 3 2 n n n n ∞ =  +    +∑ . Ta có 2 1 2 1 2lim lim lim 1 3 2 3 2 3 n n n n n n n n nC x n n→∞ →∞ →∞  + += = = = <  + + . Vậy chuỗi số 1 2 1 3 2 n n n n ∞ =  +    +∑ hội tụ. Tiêu chuẩn tích phân Định lý: Giả sử hàm f(x) liên tục, đơn điệu giảm, dương với mọi x [ )1;∈ +∞ . Chuỗi 1 n n x ∞ = ∑ có xn = f(n) với mọi n = 1, 2, Khi đó, 1 n n x ∞ = ∑ và tích phân suy rộng 1 ( )f x dx +∞ ∫ cùng hội tụ hoặc cùng phân kì. Ví dụ 4.7: Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi 1 1 n n ∞ = ∑ . Cho hàm [ )1( ) 1;f x x x = ∀ ∈ +∞ . f(x) liên tục, đơn điệu giảm, dương [ )1;x∀ ∈ +∞ . 1 1 1 1 1lim lim (ln x) lim (ln ln1) b b b b b dx dx b x x +∞ →+∞ →+∞ →+∞ = = = − = +∞∫ ∫ Môn: Giải Tích 1 49 Do đó, chuỗi 1 1 n n ∞ = ∑ phân kì. 4.1.3. Chuỗi với số hạng có dấu bất kì * Chuỗi đan dấu Định nghĩa: Chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng: x1 – x2 + x3 - + (- 1)n+1xn + = 1 1 ( 1)n n n x ∞ + = −∑ hoặc - x1 + x2 - x3 + + (- 1)nxn + = 1 ( 1)n n n x ∞ = −∑ Trong đó x1, x2 > 0. Tiêu chuẩn Leibniz: Cho chuỗi đan dấu 1 ( 1)n n n x ∞ = −∑ . Giả sử (xn)n là một dãy giảm và lim 0n n x →∞ = . Khi ấy chuỗi 1 ( 1)n n n x ∞ = −∑ hội tụ và có tổng không vượt quá số hạng đầu x1. Ví dụ 4.8: Xét chuỗi 1 1 1 1 1( 1) 1 ... 2 3 n n n ∞ − = − = − + −∑ Có x1 = 1 > x2 = 1 2 > > xn = 1 n > 1lim lim 0n n n x n→∞ →∞ = = nên chuỗi đã cho hội tụ. * Chuỗi bất kì: Định nghĩa: là chuỗi mà các số hạng của nó có dấu tùy ý. Định lý: Nếu chuỗi 1 n n x ∞ = ∑ hội tụ thì 1 n n x ∞ = ∑ cũng hội tụ và được gọi là hội tụ tuyệt đối. Chú ý: Điều ngược lại của định lý trên không đúng. Nghĩa là có những chuỗi mà 1 n n x ∞ = ∑ phân kì, còn 1 n n x ∞ = ∑ hội tụ. Và khi đó gọi là chuỗi bán hội tụ. Ví dụ 4.9: Môn: Giải Tích 1 50 Chuỗi 1 1 1( 1)n n n ∞ + = −∑ hội tụ, chuỗi 1 1 1 1 1( 1)n n n n n ∞ ∞ + = = − =∑ ∑ phân kì nên chuỗi 1 1 n n ∞ = ∑ bán hội tụ. 4.2. DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM 4.2.1. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa dãy hàm: Giả sử X R⊂ . Kí hiệu ( )Xℑ là tập hợp tất cả các hàm số thực xác định trên X. Ánh xạ: : ( ) ( ) ( )n x N X n x n x X → ℑ = ∈ ℑ֏ được gọi là một dãy hàm xác định trên X. Định nghĩa chuỗi hàm: Giả sử (φn(t))n là một dãy hàm xác định trên X ⊂ R. Lập dãy hàm mới kí hiệu (sn(t))n xác định bởi: s1(t) = x1(t) s2(t) = x1(t) + x2(t) sn(t) = x1(t) + x2(t) + + xn(t) = ( ) 1 n i i x t = ∑ Khi ấy, dãy hàm (sn(t))n được gọi là chuỗi hàm, hạng tử tổng quát là xn(t) và tổng riêng thứ n là sn(t). Ta cũng kí hiệu chuỗi hàm là ( ) 1 n n x t ∞ = ∑ . Hàm (fn(x))n hội tụ đều về hàm f(x) trên X0 được kí hiệu: 4.2.2. Hội tụ đều Định nghĩa: Cho dãy hàm (fn(x))n xác định trên X ⊂ R. (fn(x))n hội tụ về f(x) trên X0 ⊂ X nếu: 0 : lim ( ) ( )n n x X f x f x →∞ ∀ ∈ = . Dãy hàm (fn(x))n được gọi là hội tụ đều về hàm f(x) trên X0 ⊂ X nếu: 0 0 00, , , : ( ) ( )nn n n x X f x f xε ε∀ > ∃ ∀ ≥ ∀ ∈ − < . Điều kiện hội tụ đều: Định lý (tiêu chuẩn Cauchy): Môn: Giải Tích 1 51 Cho (fn(x))n là một dãy hàm xác định trên X. Điều kiện cần và đủ để 0 ( ) ( ) nf x f x x →  là: 0 0 00, , , , : ( ) ( )n mn n m n x X f x f xε ε∀ > ∃ ∀ ≥ ∀ ∈ − < Đối với chuỗi hàm, tiêu chuẩn Cauchy được phát biểu như sau: Điều kiện cần và đủ để chuỗi hàm 1 ( )n n x t ∞ = ∑ hội tụ đều trên X0 là: Với mọi ϵ > 0, tồn tại 0n N∈ sao cho 0 0 1 , , : ( ) n p m m n n n p N x X x t ε + = + ∀ ≥ ∀ ∈ ∀ ∈ <∑ Định lý (Dấu hiệu Weierstrass) Cho chuỗi hàm 1 ( )n n x t ∞ = ∑ xác định trên X R⊂ . Giả sử tồn tại một dãy số dương (an)n sao cho 0 , ( ) , 1,2,...n nx X x t a n∀ ∈ ≤ = và 1 n n a ∞ = ∑ hội tụ. Khi đó chuỗi hàm 1 ( )n n x t ∞ = ∑ hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều trên tập 0X X⊂ . Ví dụ 4.10: Xét sự hội tụ đều của dãy hàm sau sin( ) ,n xf x x R n = ∈ Ta có sin, lim ( ) lim 0n n n x x R f x n→∞ →∞ ∀ ∈ = = . Vậy ( ) 0n Rf x → . Tiếp theo, với ϵ > 0 tùy ý ta chọn 0 1 1n ε   = +   , khi đó 0 ,n n x R∀ ≥ ∀ ∈ ta có 0 sin 1 10x n n n ε− ≤ ≤ < . Vậy sin 0 R x n → . Chuỗi lũy thừa Định nghĩa: Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng Môn: Giải Tích 1 52 a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 + + an(x – x0)n + = ( )0 0 n n n a x x ∞ = −∑ Nếu đặt X = (x – x0) thì chuỗi lũy thừa trở thành 0 n n n a X ∞ = ∑ . Do vậy, ta chỉ xét chuỗi lũy thừa ở dạng 0 n n n a x ∞ = ∑ . Định lý Abel: Xét chuỗi lũy thừa 0 n n n a x ∞ = ∑ . Nếu nó hội tụ tại x = x0 ≠ 0 thì sẽ hội tụ tuyệt đối tại mọi x thỏa mãn 0x x< . Chú ý: Nếu x0 = 0: chuỗi hội tụ về 0. Hệ quả: Nếu chuỗi lũy thừa 0 n n n a x ∞ = ∑ phân kì tại điểm x = x1 thì nó cũng phân kì tại mọi x thỏa mãn 1x x> . Miền hội tụ - bán kính hội tụ: Từ định lý Abel và hệ quả của nó, ta thấy tồn tại số thực r > 0 để chuỗi lũy thừa hội tụ thì - r < x < r với mọi x, phân kì thì x r r x−∞ < < − ∨ < < +∞ với mọi x. - Tại x r= ± chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kì. - r được gọi là bán kính hội tụ. - Khoảng - r < x < r gọi là miền hội tụ. Quy tắc tìm bán kính hội tụ, miền hội tụ. Xét chuỗi lũy thừa 0 0 n n n n n a x u ∞ ∞ = = =∑ ∑ . Định lý: Giả sử 1lim n n n a a δ + →∞ = hoặc lim n n n uδ →∞ = . Khi đó, bán kính hội tụ được xét : 1 0 0 0 khi r khi khi δδ δ δ  < < +∞  = = +∞  ∞ =   Môn: Giải Tích 1 53 Tại x = ± r thì chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kì, khi đó ta xét trực tiếp. Ví dụ 4.11: Tìm bán kính hội tụ, miền hội tụ của 1 1 n n x n ∞ = ∑ . Giả sử 1 1 1lim lim lim 11 1 n n n nn a nn a n n δ + →∞ →∞ →∞ + = = = = + . r = 1 δ = 1 nên 0 δ< < +∞ Do đó r = 1 là bán kính hội tụ. * Khi x = -1: ( ) ( ) 1 1 0 1 11 1n n n n n n ∞ ∞ + = = − = −∑ ∑ : là chuỗi đan dấu hội tụ. * Khi x = 1: 0 1 n n ∞ = ∑ : chuỗi phân kì. Do đó, miền hội tụ của chuỗi trên là 1 1x− ≤ < . Ví dụ 4.12: Tìm bán kính hội tụ, miền hội tụ của ( ) ( )1 1 5 1 .3 n n n n x n ∞ − = − −∑ . Giả sử ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 .3 1lim lim lim 3 1 31 .3 n n n nn n nn n na n a n n δ + + −→∞ →∞ →∞ − + − = = = = + − . r = 1 δ = 3 nên 0 δ< < +∞ Do đó r = 3 là bán kính hội tụ. * Khi x = -3: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 1 1 13 .3 n n n n n n n n nn − −∞ ∞ ∞ = = = − − − − = =∑ ∑ ∑ : chuỗi phân kì. * Khi x = 3: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 3 .3 n n n n n n nn − −∞ ∞ = = − − =∑ ∑ : chuỗi đan dấu hội tụ. Môn: Giải Tích 1 54 Do đó, miền hội tụ của chuỗi trên là 3 3 3 5 3 2 8X x x− < ≤ ⇔ − < − ≤ ⇔ < ≤ . BÀI TẬP 1. Khảo sát sự hội của các chuỗi số có số hạng tổng quát sau: 2 2 n n2 2 n n n2 n 3 n n2 2 n n2 n n2 2n 1 a. u b. u n n n n n 1 n 1 2 n c. u d. u n 1 3 n 3 (n 1)(n 2) e. u f . u 1 c n (n 3) 1 1g. u ln 1 tg h. u sin n n 2n n(n 2) 2 ci. u j. u ( 0) n 3ln n arctg 1 os n osn n α + = = + − + + − + = = + + + + + = = − + pi  = + =    + + = = α > + 2. Tính tổng (nếu có) của các chuỗi số sau đây 2 n 1 n 1 2 2 4 2 n 1 n 1 2 n 1 n 1 1 1 a. b.(2n 1)(2n 1) n n 2n 1 n c. d. n (n 1) n n 1 1 e. f . ln 1 n 1 n2 1 acrtg n ∞ ∞ = = ∞ ∞ = = ∞ ∞ = = − + + + + + +   − + +   ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau: 2 2n 1 n 1 n 1 1 n a. b.(2n 1).2 n! ∞ ∞ − = =− ∑ ∑ 2n 2 n n n 1 n 1 11 n n c. d. 2 n 2 ∞ ∞ = =   +    + ∑ ∑ n n ln n2 2 n 1 n 1 2n 1 n 1 e. f . 3n 2 2n 1 ∞ ∞ = =  − −    + −   ∑ ∑ n 2n 1 n 1 n 1 1g. h.(2n 1).2 ∞ ∞ − = =     −   ∑ ∑ 1 arctg n n 2 n 1 1 1i. k. n ln n n ln(n 1) ∞ ∞ = = + ∑ ∑ Môn: Giải Tích 1 55 4. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của các chuỗi: 1 . 4 n n n x a n ∞ = ∑ 1 ! . n n n n xb n ∞ = ∑ 1 . n n n x c n ∞ = ∑ 1 . 1 2 n n n xd n ∞ =    +   ∑ ( ) 1 2 . n n x e n n ∞ = + ∑ ( ) 2 1 1 . 1 1 n n n f x n ∞ =   + −    ∑ Môn: Giải Tích 1 56 CHƯƠNG.5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 5.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 5.1.1. Định nghĩa về phương trình vi phân cấp 1 – Nghiệm của phương trình vi phân * Định nghĩa Một phương trình chứa hàm số phải tìm dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân các cấp gọi là phương trình vi phân. Phương trình vi phân với hàm số phải tìm là hàm số một biến số. Ví dụ 5.1: y' = y2 + x2 (1) xdy - y2dx = 0 (2) 2 2 dx yd = - a2y (3) Là các phương trình vi phân thường. Ví dụ 5.2: y uy x u x ∂ ∂ + ∂ ∂ = u (4) 2 2 2 2 y u x u ∂ ∂ + ∂ ∂ = 0 (5) Là các phương trình đạo hàm riêng. * Cấp của phương trình vi phân Cấp của một phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm hoặc vi phân có mặt trong phương trình đó. + Phương trình (1) và (2) là phương trình vi phân cấp 1. + Phương trình (3) là phương trình vi phân cấp 2. + Phương trình (4) là phương trình đạo hàm riêng cấp 1. + Phương trình (5) là phương trình đạo hàm riêng cấp 2. * Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình thường được cho dưới dạng: + Dạng tổng quát: F(x,y,y') = 0 (6) + Dạng đã giải theo đạo hàm: y ' = f(x,y) (7) + Dạng đối xứng: M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0 (8) Môn: Giải Tích 1 57 * Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 Nghiệm của một phương trình vi phân là một hàm số khi thay hàm số đó cùng với đạo hàm hoặc vi phân của nó vào phương trình ta được một đồng nhất thức. Chẳng hạn y = ϕ (x) là nghệm của phương trình (7) ⇔ ϕ'(x) = f(x,ϕ(x)). Nhiều khi nghiệm của phương trình vi phân được viết dưới dạng ẩn: Φ(x,y) = 0 (9) Trong trường hợp này phương trình hữu hạn (9) được gọi là tích phân của phương trình vi phân. Ví dụ 5.3: y' = f(x) có nghiệm là y = ∫ dx)x(f Ví dụ 5.4: y = Cex với C là hằng số bất kì, là nghiệm của phương trình y'= y do (Cex)' = Cex * Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng Họ hàm số y = ϕ (x, C) mà khi gán cho hằng số C các giá trị bằng số khác nhau ta nhận được tất cả các nghiệm thông thường của một phương trình vi phân cấp một, được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình đó. Mỗi nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi gán cho hằng số C một giá trị nhất định gọi là một nghiệm riêng của phương trình. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân viết dưới dạng ẩn: Φ(x,y,C) = 0. Gọi là tích phân tổng quát của phương trình đó. Mỗi tích phân ứng với một giá trị xác định của C được gọi là tích phân riêng của phương trình. Ví dụ 5.5: y' = x2 có nghiệm tổng quát là: y = 3 1 x 3 + C; Nghiệm y = 3 1 x 3 (C= 0) là một nghiệm riêng. * Bài toán Cauchy Xét phương trình vi phân cấp một dưới dạng: y' = f(x,y) (10) Bài toán tìm nghiệm riêng của phương trình (10) thỏa mãn điều kiện y = yo khi x = xo (11) Môn: Giải Tích 1 58 được gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện (11) gọi là điều kiện ban đầu. Người ta chứng minh được rằng nếu hàm số f(x,y) xác định và liên tục trên miền: D = {(x,y): xo -a ≤≤ x xo + a; yo - b ≤≤ y yo + b } thì tồn tại ít nhất một nghiệm của phương trình (10) thỏa mãn điều kiện (11). 5.1.2. Phương trình vi phân dạng tách biến Đó là phương trình có dạng: f(x) dx = g(y)dy. Lấy tích phân hai vế ta được: ∫ dx)x(f = ∫ dy)y(g hay F (x) = G (y) + C Trong đó: F(x) là một nguyên hàm của f(x). G(y) là một nguyên hàm của g(y). Ví dụ 5.6: Giải phương trình: x 0dyx1ydxy1 22 =−+− Với x ≠ 1± ; y ≠ .1± Chia hai vế cho 22 x1.y1 −− ta được: 0dy y1 ydx x1 x 22 = − + − Lấy tích phân hai vế: Cdy y1 ydx x1 x 22 = − + − ∫∫ ⇔ 22 y1x1 −+− = C là nghiệm tổng quát của phương trình. Các nghiệm x = 1± , y = 1± cũng là nghiệm của phương trình. 5.1.3. Phương trình vi phân dạng đẳng cấp. * Các phương trình đưa được về dạng phân li biến số Phương trình thuần nhất Phương trình vi phân )y,x(f dx dy = được gọi là phương trình thuần nhất nếu f(x,y) = φ y x       Đặt z = x y lấy t = ; x 1 f(x,y) = f(tx,ty) = f(1, x y ) = ϕ ( x y ). Môn: Giải Tích 1 59 ⇒ Phương trình vi phân thuần nhất có dạng: y'= ϕ ( x y ). * Cách giải: Đổi biến y = xz Xét phương trình: M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, là phương trình thuần nhất nếu M(x,y) và N(x,y) là các hàm số thuần nhất cùng bậc. Viết lại phương trình dưới dạng. = dx dy - )y,x(N )y,x(M f(tx,ty) = - )y,x(f)y,x(N )y,x(M )y,x(Nt )y,x(Mt )ty,tx(N )ty,tx(M m m =−=−= Ví dụ 5.7: Giải phương trình: x y tg x y dx dy += Đặt y = zx: dx dz xz dx dy += thay vào ta có: z + x tgzz dx dz += ⇔ x tgz dx dz = ⇔ xdz = tgzdx. Chia hai vế cho xtgz: ⇔ cotgzdz = x 1 dx ⇔ ∫ gzdzcot = ∫ x 1 dx ⇔ ln(sinz) = lnx +lnC sinz = Cx Vậy sin x y = Cx. Với C là hằng số bất kỳ. Phương trình dạng: = dx dy f(ax+by) (a) Đặt z = ax + by: (a) ⇔ dx dyba dx dz += . Trong đó: Môn: Giải Tích 1 60 )z(f)byax(f dx dy =+= Ta được: )z(bfa dx dz += Ví dụ 5.8: Giải phương trình: .yx2 dx dy += Đặt z = 2x + y: . dx dy2 dx dz += Trong đó zyx2 dx dy =+= Suy ra z2 dx dz += dz = 2dx+ z dx. Chia cả hai vế cho (2 + z): ∫ ∫=+ dx z2 dz ⇔ -lnC + ln(z+2) = x ln C 2z + = x C ex = z z = Cex - 2. Thay z = 2x + y ta có nghiệm tổng quát: y = Cex - 2(x+1). 5.1.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Có dạng: y' + p(x)y = q(x) (a) Với p(x) ,q(x) là các hàm số cho trước. Xét phương trình: y' + p(x)y = 0 (b) Phương trình (b) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với phương trình (a). Nghiệm của phương trình (b) là phương trình phân ly biến số. ∫ ∫−=⇒−= =+ dx)x(p y dydx)x(p y dy 0dx)x(p y dy Môn: Giải Tích 1 61 ln|y| = - ∫ dx)x(p + lnC ln ∫ −= dx)x(pc y y = C ( )p x dxe−∫ = ϕ (x,C). C là hằng số. (c) * Phương trình (a) giải bằng phương pháp biến thiên hằng số: Bước 1: Giải phương trình tuyến tính liên kết (b). Nghiệm TQ có dạng (c). Bước 2: Tìm nghiệm của (a) dưới dạng (c) nhưng C không là hằng số. Thay y = ϕ [x,C(x)] và y' = ϕ'x + ϕ'c dx )x(dC vào phương trình (a) cho phép tìm C(x) để y = ϕ [x,C(x)] là một nghiệm của (a). Ví dụ 5.9: Giải phương trình: 2x x y dx dy =− Giải: Ta có 0 x y dx dy =− ⇔ x dy -ydx = 0 x dx y dy = ⇔ ln y = lnx + ln C y = Cx Xem C = C(x).x y' = C(x) + x dx ))x(C(d Thay vào phương trình ban đầu: C(x) + x 2x x x).x(C dx ))x(C(d =− ⇒ x dx )x(dC = C(x) = ∫ xdx = 2 2 x + C1. Vậy nghiệm tổng quát là: y = ( 2 x 2 + C1) x 5.1.5. Phương trình Becnuli Phương trình Becnuli là phương trình dạng: y' + p(x)y = ynq(x) (*) Trong đó: n hằng số, n ∈ R, n ≠ 0, n ≠ 1. Môn: Giải Tích 1 62 Phương trình Becnuli (*) có thể đưa về dạng phương trình tuyến tính. Chia hai vế cho yn ta được: y-ny' + p(x) y1-n = q(x) (**) Đặt z = y1-n. (**) ⇔ . dx dyy)n1( dx dz n− −= Thay vào phương trình (**): dx dzy n1 1y nn − − + p(x)z = q(x) dx dz n− ⇔ 1 1 + p(x)z = q(x) zxpn dx dz )()1( −+⇔ = q(x) dx dz ⇔ + (1-n)p(x) z = (1-n) q(x). Đây là phương trình tuyến tính với hàm số phải tìm là z. Ví dụ 5.10: Giải phương trình: 2322 yxxy dx dy =− (5.1) Chia hai vế cho y2 (y ≠ 0): 312 x2xy2 dx dyy =− −− (5.2) Đặt z = y-1: dx dyy dx dz 2− −= thay vào (5.2) ta có: y-2(-y2) dx dz - 2xz = 2x3 dx dz + 2xz = - 2x3 (5.3) Ta giải: dx dz + 2xzdx = 0 ⇔ z dz +2xdx = 0 ⇔ lnz - lnC = -2 2 x 2 ⇔ lnz - lnC = - x2 Môn: Giải Tích 1 63 z = 2xCe− Nghiệm của phương trình (5.3) có dạng: z= C(x) 2xe− dx )x(dC ee)x(xC2 dx dz 22 xx −− +−= Thế vào phương trình (5.3): 3xxx x2e)x(xC2 dx )x(dC ee)x(xC2 222 −=++− −−− 2 x3 e.x2 dx )x(dC −= C = - ∫ dxex2 2 x3 = - 1 2x2x C)x1(e)1x)(e( 22 +−=− Nghiệm tổng quát của phương trình (5.1) là: y = 2x 1 x1eC 1 2 −+− Với y = 0 cũng là nghiệm của phương trình (5.1) 5.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI 5.2.1. Định nghĩa về phương trình vi phân cấp hai – Nghiệm của phương trình vi phân cấp hai Định nghĩa Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng F(x,y,y',y") = 0 (1) Định lí về sự tồn tại nghiệm Cho phương trình: y" = f(x,y,y') (2) Nếu f(x,y,y'), )'y.y,x( y f ∂ ∂ và )'y,y,x( 'y f ∂ ∂ liên tục trong một miền D nào đó trong R3 và nếu (xo, yo, yo') là một điểm thuộc D thì trong một lân cận nào đó của điểm x = xo, tồn tại một nghiệm duy nhất y = y(x) của phương trình (2) thỏa mãn các điều kiện: 0xx yy 0 == 0xx 'y'y 0 == Nghiệm của phương trình vi phân cấp hai Môn: Giải Tích 1 64 Người ta gọi nghiệm tổng quát của phương trình (2) là hàm số y = ϕ (x,C1,C2) trong đó C1, C2 là những hằng số tuỳ ý thỏa mãn các điều kiện sau: i) Nó thỏa mãn phương trình (2) ∀ C1, C2. ii) ∀(xo , yo , yo') ở đó các điều kiện của định lí tồn tại và duy nhất nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được các giá trị xác định C1= 02201 CC,C = sao cho hàm số y = ϕ (x, 0201 C,C ) thỏa mãn: 0xx yy 0 == ; 0xx 'y'y 0 == Φ (x,y, C1,C2 ) gọi là tích phân tổng quát của (2) ϕ (x , 0201 C,C ) là một nghiệm riêng của phương trình (2) Φ (x ,y, 0201 C,C ) = 0 là tích phân riêng. * Phương trình khuyết Phương trình khuyết y, y': * Dạng: F(x,y") = 0 * Cách giải: + Đặt y' = p; y" = p' + Ta được F(x,p') = 0. Nếu có nghiệm là: p = f(x,C1 ) thì y = g(x,C1 )+ C2; g(x,C1) là một nguyên hàm của f(x,C1). Ví dụ 5.11: Giải phương trình: y" = cosxsinx - ex Đặt y' = p ⇒ y" = p' p' = cosx sinx - ex dp dx = cosx sinx - ex p = (cosx sinx - ex )dx∫ = 1 xx Ce)x2(cos 4 1dx)ex2sin 2 1( +−−=−∫ = 1 x Cex2cos 4 1 +−− y = ∫ +−− 1 x Cex2cos 4 1( )dx ⇒ y = +−− xex2sin 8 1 C1x +C2 Phương trình khuyết y: Môn: Giải Tích 1 65 * Dạng: F(x,y',y") = 0 * Cách giải: Đặt p = y'; p' = y" ⇒ Phương trình trở thành F(x,p,p') = 0. Ví dụ 5.12: Giải phương trình vi phân: y" = y' + x. Đặt p = y' ⇒ y" = p' Phương trình đã cho trở thành: p' = p + x ⇔ p' - p = x p = C1 dxe− −∫ + dxe− −∫ . dx xe dx−∫∫ p = C1 .x x xe e xe dx−+ ∫ = C1 ( )x x x xe e xe e dx− −+ − + ∫ p = C1ex + ex (-xe-x - e-x ) = C1ex – x – 1 y' = C1ex - x - 1 y = 1( 1)xC e x dx− −∫ = C1ex - 2 2 x - x + C2 là nghiệm của phương trình. Phương trình khuyết x * Dạng: F (y,y',y") = 0 Đặt y' = p; y" = p'. Mà y''= . dy dp .pp. dy dp dx dy . dy dp dx dp === ⇒ Phương trình trở thành: F(y, p, p dy dp ) = 0 Ví dụ 5.13: Giải phương trình: 2yy'' = y'2 + 1 Đặt y' = p ⇒ y'' = p dy dp ta được: 2yp dy dp = p2+ 1 ⇔ 2yp dp = (p2 + 1)dy. Chia hai vế cho y(p2 + 1): ⇔ 1p pdp2 2 + = y dy . Tích phân hai vế: Môn: Giải Tích 1 66 ⇔ ln|y| = ln(1+ p2) + ln|C1| ⇔ y = C1(1+ p2 ); p = dx dy ⇒ dx = p dy = dpC2 p pdpC2 1 1 = ⇒ dp = dx C2 1 1 ; p = 1C2 x + C2 Nghiệm tổng quát là: y = C1[1 + 2 1 C C2 x( + )2 ] = C1+ 1 2 21 C4 )CC2x( + Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Định nghĩa: Phương trình vi phân tuyến cấp hai có dạng: y'' + a1(x) y' + a2(x) y = f(x) (3) Trong đó a1(x), a2(x), f(x) là những hàm số liên tục. + Nếu f(x) = 0 là phương trình tuyến tính thuần nhất. + Nếu f(x) ≠ 0 là phương trình tuyến tính không thuần nhất * Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất y'' + a1(x).y' + a2(x).y = 0 (4) Định lý 1: Nếu y1(x) và y2(x) là hai nghiệm của phương trình (4) thì C1y1(x) + C2y2(x) trong đó C1, C2 là hai hằng số cũng là nghiệm của phương trình đó. Định nghĩa 1: Hai hàm số y1(x), y2(x) được gọi là độc lập tuyến tính trên đoạn [a,b] nếu tỉ số )x(y )x(y 1 2 ≠ k (k hằng số ) trên đoạn đó. Nếu k)x(y )x(y 1 2 = thì hai hàm số đó gọi là phụ thuộc tuyến tính. Định nghĩa 2: Cho hai hàm số y1(x), y2(x). Định thức ' 2 ' 1 21 yy yy = y1y'2 - y2y'1 được gọi là định thức Wronsky của y1.y2 kí hiệu là W(y1.y2). Định lý 2: Nếu hai hàm số y1(x) và y2(x) phụ thuộc tuyến tính trên [a,b] thì W(y1.y2) = 0 trên đoạn đó. Định lý 3: Nếu định thức W(y1,y2) của hai nghiệm y1, y2 của phương trình tuyến tính thuần nhất (4) khác 0 tại một giá trị x = xo nào đó của đoạn [a,b] trên đó các hệ số a1(x), a2(x) liên tục thì nó khác 0 với mọi x trên đoạn đó. Môn: Giải Tích 1 67 Định lý 4: Nếu các nghiệm y1, y2 của phương trình (4) là độc lập tuyến tính trên đoạn [a,b] thì định thức Wronsky W(y1,y2) khác 0 tại mọi điểm của đoạn ấy. Định lý 5: Nếu y1(x), y2(x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (4) thì nghiệm tổng quát của (4) là: y = C1y1(x) + C2y2(x) Trong đó C1 , C2 là những hằng số tuỳ ý. Định lý 6: Nếu đã biết một nghiệm riêng y1(x) ≠ 0 của phương trình tuyến tính thuần nhất (4), ta có thể tìm được một nghiệm riêng y2(x) của phương trình đó độc lập tuyến tính với y1(x) có dạng: y2(x) = y1(x).u(x). Ví dụ 5.14: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: (1 - x2 )y" +2xy' -2y = 0. * Đoán nghiệm: Ta thấy y1 = x là một nghiệm của phương trình. Nghiệm y2 có dạng x.u(x). Thế vào phương trình đã cho ta được: y2' = u(x) + x u'(x) y2" = u'(x) +u'(x) +xu"(x) (1-x2) (u'(x) + u'(x) + xu"(x)) + 2x(u(x) + xu'(x))-2xu(x) = 0 (1-x2)(2u'(x) +xu"(x)) +2xu(x) +2x2u'(x) -2xu(x) = 0 (1-x2)xu"(x) + 2u'(x) = 0. Đặt u'(x) = v; u"(x) = v' ⇒ (1-x2)xv' + 2v = 0. ⇔ (1-x2 )x dx dv + 2v = 0 ⇔ (1-x2) xdv = -2vdx )x1(x dx2 v dv 2 − − = ∫ ∫ − −= )x1(x dx2 v dv 2 lnv = ln 2 2 x x1− + lnK1 v = K1 . x x1 2 2 − Môn: Giải Tích 1 68 Chọn K1 = -1 ⇒ v = 1- 2x 1 . Do đó: u = x + x 1 + K2. Chọn K2 = 0 ⇒ u = x + x 1 ⇒ y2 = xu(x) = x2 + 1. Ta có x và x2 + 1 là độc lập tuyến tính. Vậy y = C1x + C2(x2+1) là nghiệm tổng quát của phương trình (C1,C2 là những hằng số tuỳ ý). * Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất * Dạng: y" + a1(x) y' + a2(x) y = f(x) (3) Định lý 1: Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (4) với một nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3). Định lý 2: Nguyên lí chồng chất nghiệm Cho phương trình: y" + a1(x) y' + a2(x) y = f1(x) + f2(x). Nếu y1(x) là một nghiệm riêng của phương trình: y" + a1(x) y' + a2(x) y = f1(x) y2(x) là một nghiệm riêng của phương trình: y" + a1(x) y' + a2(x) y = f2(x) Thì y1(x) + y2(x) là một nghiệm riêng của phương trình đã cho. * Phương pháp biến thiên hằng số: Giả sử đã biết nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất (4) là: y = C1y1 + C2y2 (5) Trong đó C1, C2 là hai hằng số tuỳ ý. Xem C1, C2 là hai hàm số ta tìm C1(x), C2(x) để cho (5) là một nghiệm của phương trình không thuần nhất (3). C1(x) ,C2(x) thỏa mãn:     =+ =+ )x(f)x(y).x(C)x(y).x(C 0)x(y)x(C)x(y)x(C ' 2 ' 2 ' 1 ' 1 2 ' 21 ' 1 Giải hệ trên ta được:     ϕ= ϕ= )x()x(C )x()x(C 2 ' 2 1 ' 1 ⇒ C1(x) = ∫ϕ dx)x(1 = Φ1(x) + K1; C2(x) = ∫ϕ dx)x(2 = Φ2(x) + K2 Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (3) là: Môn: Giải Tích 1 69 y = K1y1 + K2y2 + Φ1(x) y1 + Φ2(x) y2. Ví dụ 5.15: Giải phương trình: (1-x2 ) y" + 2xy' -2y = 1-x2. Nếu x ≠ ± 1 phương trình tương đương với: y" + 1y x1 2 'y x1 x2 22 = − − − . Từ ví dụ 5.9 nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là: y = C1x + C2 (x2 + 1 ). Coi C1 = C1(x); C2 = C2(x) ⇒ y = C1(x).x + C2(x) (x2+1). Ta có C1(x), C2(x) thỏa mãn hệ:     =+ =++ 1x2).x(C)x(C 0)1x)(x(Cx).x(C ' 2 ' 1 2' 2 ' 1 Giải hệ ta có: 1x x)x(C x)x21x)(x(C 2 ' 2 22' 2 − = −=−+ 1x x21x 1x x .x21)x(C 2 22 2 ' 1 − −− = − −= ) 1x 21( 1x 1x)x(C 22 2 ' 1 − +−= − + −= C1(x) = 12 K)1x 1xlnx(dx) 1x 21( + + − +−= − +−∫ C2(x) = 222 K1xln2 1dx 1x x +−= − ∫ Nghiệm tổng quát phải tìm là: y = -x(x + ln 1K1x 1x + + − ) + )1x( 2 1 2 + (ln| x2 - 1| +K2). 5.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng * Phương trình thuần nhất: * Dạng: y" + a1y' +a2 y = 0 (6) a1, a2 là hằng số. Ta sẽ tìm nghiệm của (6) dưới dạng: y = ekx (7) trong đó k là một hằng số nào đó. Môn: Giải Tích 1 70 Ta có: y' = kekx y" = k2 ekx. Thế vào (6) ta được: ekx (k2 +a1k + a2 ) = 0. Vì ekx ≠ 0 ⇒ k2 +a1k + a2 = 0 (8) Nếu k thỏa mãn (8) thì y = ekx là một nghiệm của (6). Phương trình (8) gọi là phương trình đặc trưng, nó có 2 nghiệm k1, k2 thực hoặc phức: • Hai số k1, k2∈ R, k1 ≠ k2 phương trình (6) có hai nghiệm: y1 = xk1e ; y2 = xk 2e ⇒ Nghiệm tổng quát là: y = C1 xk1e + C2 ;e xk2 C1, C2 là hằng số tùy ý. Ví dụ 5.16: Giải phương trình y" + y' -2y = 0 thỏa mãn điều kiện ;0y 0x == 1'y 0x == Phương trình đặc trưng: k2 + k -2 = 0, phương trình này có hai nghiệm:    −= = 2k 1k 2 1 Vậy nghiệm tổng quát là: y = C1 ex + C2e-2x y' = C1 ex -2 C2e-2x 0xy = = 0 ⇔ C1 + C2 = 0 0x'y = = 1 ⇔ y' = C1 -2C2 = 1 ⇒ C1 = 3 1 ; C2 = - 3 1 . Vậy nghiệm riêng tổng quát phải tìm là: y = 1 3 ex - 1 3 e-2x • k1, k2 ∈ R: k1 = k2 Ta có một nghiệm riêng y1(x) = .e xk1 Vậy ta phải tìm một nghiệm y2(x) độc lập tuyến tính với y1(x). y2(x) = y1(x) u(x) = u(x) xk1e xk' 2 1e'uy = + k1u ;e xk1 '' 2y = u'' xk1e + k1u' xk1e + k1u' xk1e + 21k u .e xk1 '' 2y = u'' xk1e +2k1u' xk1e + 21k u xk1e . Thế vào phương trình (6) ta được: xk1e [u'' + (2k1 + a1)u' + ( 21k +a1k1+a2 ) u ] = 0. Môn: Giải Tích 1 71 Do: 21k + a1k1+a2 = 0; k1 = - 2 a1 ⇒ xk1e u'' = 0. Do đó: u = Ax + B. Chọn: A = 1; B = 0 ⇒ y2(x) = x .e xk1 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (6) là: y = xk1e (C1 + C2x). Ví dụ 5.17: Giải phương trình: y" + 6y' + 9y = 0 Phương trình đặc trưng là: k2 + 6k + 9 = 0 có nghiệm k1 = k2 = 3. Nghiệm tổng quát là: y = x3e (C1x + C2). • k1, k2 là hai số phức liên hợp: k1 = α + iβ k2 = α - iβ Có nghiệm tổng quát là: y = xe α (C1cosβ x + C2sin βx ). Ví dụ 5.18: Giải phương trình: y" - 2y' + 5y = 0 Phương trình đặc trưng: k2 - 2k + 5 = 0 Giải phương trình đặc trưng ta được nghiệm là: k1 = 1 + 2i k2 = 1 - 2i Nghiệm tổng quát là: y = ex ( C1cos2x + C2sin2x) * Phương trình không thuần nhất: * Dạng: y" + a1y' + a2y = f(x) (9) trong đó a1, a2 là những hằng số. Ta đã tìm được nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng, ta chỉ việc áp dụng phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm của phương trình (9). • Trường hợp 1: f(x) = xe α .Pn(x). Trong đó Pn(x) là một đa thức bậc n, từ phương trình đặc trưng (8) ta tìm nghiệm riêng của (9) có dạng: Y = xe α Qn(x). Ta có: Y' = α Qn(x) xe α + xe α Q'n(x) Y" = α2 Qn(x) xe α + 2α Q'n(x) xe α + Q"n(x) xe α Môn: Giải Tích 1 72 Thế vào (9) α2 Qn(x) xe α + 2αQ'n(x) xe α + Q"n(x) xe α + a1[αQn(x) xe α + xe α Q'n(x)] + a2 xe α Qn(x) = xe α .Pn(x). ⇔ xe α [Q"n(x) + (2α + a1 ) Q'n(x) + (α2 + a1α + a2 ) Qn(x)] = xe α .Pn(x). Vậy Q"n(x) +(2α + a1 ) Q'n(x) + (α2 + a1α + a2 ) Qn(x) = Pn(x). Vì α không là nghiệm của α2 + a1α + a2 = 0. Do đó bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta tìm được các hệ số của đa thức Qn(x). + Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì ta tìm một nghiệm riêng của (9) dưới dạng: Y = x xe α Qn(x) + Nếu α là nghiệm kép của phương trình α2 + a1α + a2 = 0 thì 2α + a1 = 0. Ta phải tìm một nghiệm riêng của (9) dưới dạng: Y = x2 xe α Qn(x) Ví dụ 5.19: Giải phương trình: y" + 3y' - 4y = x Phương trình đặc trưng: k2 + 3k - 4 = 0 Có nghiệm: k1 = 1; k2 = -4 Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng là: y = C1ex + C2e-4x. f(x) = x = xe α P1(x). Do đó α = 0; P1(x) = x. α = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng ta tìm nghiệm có dạng: Y = ax + b Y'= a Y"= 0 Thế vào phương trình ban đầu: 3a - 4(ax+ b ) = x ⇔ -4ax +3a - 4b = x Đồng nhất hệ số:    =− =− 0b4a3 1a4 ⇔       −= −= 16 3b 4 1 a ⇒ Y= 16 3 x 4 1 −− Nghiệm tổng quát là: y = C1ex + C2e-4x 16 3 x 4 1 −− Ví dụ 5.20: Môn: Giải Tích 1 73 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y" - y' = ex(x+1) Phương trình đặc trưng: k2 - k = 0 k(k-1) = 0 ⇔    = = 1k 0k Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng là: y = C1e0x + C2ex = C1 + C2ex Vế phải của phương trình đã cho có dạng: f(x) = ex (x + 1) = xe α P1(x) Với α = 1 ; P1(x) = x + 1 Ta có α = 1 là một nghiệm của phương trình đặc trưng ta tìm nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng: Y = x.ex (ax + b ) Y = ex (ax2 + bx) Y' = ex (ax2+ bx ) + ex (2ax + b ) Y" = ex (ax2 + bx ) + 2ex (2ax + b) + ex .2a Thay vào phương trình ban đầu: ex (ax2 + bx ) + 2ex (2ax + b) + ex .2a - ex (ax2+ bx ) - ex (2ax + b ) = ex (x + 1) ⇔ ex (2ax + b + 2a ) = ex (x + 1 ). Đồng nhất hệ số:    =+ = 1ba2 1a2 ⇔     = = 0b 2 1 a Vậy Y = x. ex x 2 1 = .ex 2 1 x2 Nghiệm tổng quát là: y = C1 + C2 ex + x2ex2 1 Ví dụ 5.21: Giải phương trình: y'' - 6y' + 9y = xe3x Phương trình đặc trưng là: k2 -6k + 9 = 0 (*) Có nghiệm k = 3 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là: y = (C1 + C2x) e3x f(x) = xe3x = xe α (P1(x)). Môn: Giải Tích 1 74 α = 3 là nghiệm kép của (*). Ta tìm nghiệm riêng của phương trình đã cho dưới dạng: Y = x2e3x (ax + b )= e3x (ax3 + bx2 ) Y' = 3e3x (ax3 + bx2 + e3x (3ax2+ 2bx) Y" = 9 e3x (ax3 + bx2 ) + 6 e3x ( 3ax2 + 2bx ) + e3x (6ax + 2b ) Thay vào phương trình ban đầu: e3x[ (6a - 10b) x + 2b ] = x e3x. Đồng nhất hệ số:    = =− 0b2 1b10a6 ⇔     = = 0b 6 1 a Y = x2e3x ( 6 1)x 6 1 = x 3e3x. Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: y = (C1+ C2x ) e3x + 6 1 x 3e3x • Trường hợp 2: f(x) = Pm(x)cos βx + Pn(x) sin β x, trong đó Pm(x), Pn(x) là những đa thức bậc m, n, β là hằng số. + Nếu ± iβ không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì có thể tìm một nghiệm riêng của phương trình (9) dưới dạng: Y = QL(x) cosβ x + RL(x)sin βx Trong đó QL(x), RL(x) là những đa thức bậc L; L = max (m, n) + Nếu ± iβ là nghiệm của phương trình đặc trưng thì có thể tìm một nghiệm riêng của phương trình (9) dưới dạng: Y = x[QL(x)cosβx + RL(x)sinβx] Ví dụ 5.22: Giải phương trình: y" + y = x sinx Phương trình đặc trưng: k2 +1 = 0 có nghiệm ± i. Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng là: Y = C1cosx + C2sinx x.sinx = Q1(x) cosβ x + R1(x)sin βx ⇒ R1(x) = x; β = 1; ± iβ = ± i là một nghiệm của phương trình đặc trưng. Vậy một nghiệm riêng có dạng: Y = x[ (ax + b )cosx + (a1x + b1)sinx] Môn: Giải Tích 1 75 Y' = [(ax + b )cosx + (a1x + b1)sinx] + x[acosx- (ax + b)sinx + a1sinx + (a1x + b1)cosx] Y' = cosx(2ax + b + a1x2 + b1x] + sinx(2a1x + b1-ax2-bx). Tính Y" thay vào ta có: [4a1x + 2(a+b1)]cosx + [-4ax + 2(a1- b)]sinx = xsinx        =− =− =+ = 1a4 0ba 0ba 0a4 1 1 1 ⇔ a = - 4 1 ; b1 = 4 1 ; a1 = 0; b = 0 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: y = C1cosx + C2sinx + 4 x (sinx - xcosx ). BÀI TẬP 1. Chứng minh hàm số y = x12 1 + C1x5+ C2x là nghiệm của phương trình: x 2y" - 5xy' + 5y = x 1 2. Giải các phương trình vi phân có biến số phân li sau: a) xydx + (x + 1)dy = 0 b) 4 xydydx1y2 =+ c) (x2- 1)y' + 2xy2 = 0 với y(0) = 1 d) 2x2yy' + y2 = 2 e) y'cotgx + y = 2 với y(0) = -1 f) y' - xy' = 2xy 3. Giải các phương trình vi phân đưa được về dạng phân li biến số sau: a) y' = cos(y - x) b) y' - y = 2x - 3 c) (x +2y)dx -xdy = 0 d) (x - y)dx + (x + y)dy = 0 e) (y2 - 2xy)dx + x2dy = 0 f) 3x3y' = y(2x2 - y2) g) y2 + x2y' = xyy' h) (x2 + y2)y' = 2xy k) xy' - y = xtg( x y ) 4. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu: a) x dxy1 2+ + y dyx1 2+ = 0, 0xy = = 1 b) (1 + e2x)y2dy = exdx, 0xy = = 0 c) sinx dy - ylnydx = 0, 0xy = = 1 Môn: Giải Tích 1 76 d) (x2+ 1) y' = y2+ 4, 0xy = = 2 5. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp một: a) 2x(x-1)y' + (2x - 1)y + 1 = 0 b) x(1+x2)y' - (x2-1)y + 2x = 0 c) y' + 2xy = x 2xe− d) (1 + x2)y' -2xy = (1+x2)2 e) y'- )1x( y2 + = (x + 1)3, 0xy = = 1/2 f) (1 + x2)y' + xy = 1, 0xy = = 0 6. Giải các phương trình cấp hai khuyết: a) xy" - y' = x2ex b) y" - 0)1x(x 1x 'y =−− − , 2x y = = 1, 2x'y = = -1 c) y" + 2y' (1 - 2y) = 0 , 0xy = = 0, 0x'y = = 2 1 7. Giải các phương trình vi phân sau: a) x2(lnx - 1)y" - xy' + y = 0 Biết rằng nó có một nghiệm riêng dạng y1(x) = xα, α ∈ R. b) (2x + 1)y" + (4x - 2)y' - 8y = 0 Biết rằng nó có một nghiệm riêng dạng y1(x) = eα x, α ∈ R. c) (x2- 1 )y" - 6y = 0 Biết rằng nó có một nghiệm riêng y1(x) dạng đa thức. 8. Giải phương trình (2x - x2) y" + 2(x - 1)y' - 2y = -2 Biết rằng nó có hai nghiệm riêng y1(x) = 1, y2(x) = x. 9. Giải phương trình x(x+1)y" + (x + 2)y' - y = x + x 1 Biết rằng phương trình thuần nhất tương ứng của nó có một nghiệm riêng dạng đa thức. 10. Giải các phương trình a) y" - y = 1e e x x + b) y" + 2y' + y = 3 1xe x +− c) y" + y = tgx d) y" + 5y' + 6y = - x2e1 1 + Môn: Giải Tích 1 77 11. Giải các phương trình sau: a) y" - 7y' + 6y = sinx b) y" + 9y = 6e3x c) y" - 3y' = 2 - 6x d) y" -2y' + 3y = e-xcosx e) y" + 4y = 2sin2x f) y" + 2y' + y = 4e-x g) y" - 9y' +20y = x2e4x h) y" + 4y' - 5y = 2ex i) y" + 2y' + 5y = 2xe-xcos2x k) y" + y = x2cos2x l) y" - 3y' = e3x - 18x m) y" + y = cos3x n) y" - 4y' + 4y = e2xcos2x o) y" + 6y' + 9y = xeαx Môn: Giải Tích 1 78 MỤC LỤC Trang CHƯƠNG.1. HÀM SỐ ............................................................................................ 1 1.1. HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ ........................................................................ 1 1.1.1. Định nghĩa ................................................................................... 1 1.1.2. Hàm số hợp .................................................................................. 1 1.1.3. Hàm số ngược .............................................................................. 1 1.2. CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN .......................................................... 2 1.2.1. Hàm số lũy thừa y = xα (α∈ R*) ............................................ 2 1.2.2. Hàm số mũ y = ax (a > 0 , a ≠ 1) ................................................. 2 1.2.3. Hàm số logarit y = logax (a > 0, a ≠ 1) ..................................... 3 1.2.4. Các hàm số lượng giác ................................................................ 4 1.2.5. Các hàm số lượng giác ngược ..................................................... 5 1.2.6. Các hàm số sơ cấp ....................................................................... 6 1.2.7. Hệ tọa độ cực ............................................................................... 6 1.3. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ..................................................................... 6 1.3.1. Định nghĩa ................................................................................... 6 1.3.2. Các phép toán về giới hạn ........................................................... 7 1.3.3. Hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn .................................................... 8 1.3.4. Vô cùng bé và vô cùng lớn......................................................... 10 1.3.5. Các dạng vô định và cách khử .................................................. 12 1.4. HÀM LIÊN TỤC – TÍNH CHẤT CỦA HÀM LIÊN TỤC ................ 14 1.4.1. Định nghĩa ................................................................................. 14 1.4.2. Các tính chất của hàm liên tục .................................................. 15 CHƯƠNG.2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN .............................................................. 18 2.1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM – CÁC PHÉP TÍNH CỦA ĐẠO HÀM – ĐẠO HÀM CẤP CAO .................................................................................. 18 2.1.1. Định nghĩa đạo hàm .................................................................. 18 2.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm .......................................................... 20 2.1.3. Đạo hàm cấp cao ....................................................................... 21 2.2. VI PHÂN – VI PHÂN CẤP CAO ......................................................... 23 2.2.1. Vi phân hàm một biến ................................................................ 23 Môn: Giải Tích 1 79 2.2.2. Vi phân cấp cao ......................................................................... 23 2.2.3. Ứng dụng vi phân để tính gần đúng .......................................... 23 2.3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI ...................................................... 24 2.3.1. Định lý Fermat: ......................................................................... 24 2.3.2. Định lý Rolle: ............................................................................ 24 2.3.3. Định lý Cauchy: ......................................................................... 24 2.3.4. Định lý Lagrange: ..................................................................... 24 2.3.5. Định lý (về tính đơn điệu): ........................................................ 24 2.3.6. Định lý (cần và đủ để là hàm hằng): ......................................... 24 2.3.7. Định lý (cực trị): ........................................................................ 24 2.4. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ............................................................. 24 CHƯƠNG.3. TÍCH PHÂN ................................................................................... 27 3.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ...................................................................... 27 3.1.1. Tích phân bất định ..................................................................... 27 3.1.2. Các phương pháp tính tích phân ............................................... 29 3.2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ...................................................................... 35 3.2.1. Định nghĩa tích phân xác định .................................................. 35 3.2.2. Các tính chất của tích phân xác định ........................................ 36 3.2.3. Các phép tính tích phân xác định .............................................. 38 3.3. TÍCH PHÂN SUY RỘNG ..................................................................... 40 3.3.1. Trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn (Tích phân suy rộng loại I) ........................................................................................................................ 40 3.3.2. Trường hợp hàm số lấy tích phân không bị chặn (Tích phân suy rộng loại II) ............................................................................................................. 41 3.3.3. Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của tích phân: .............................. 42 CHƯƠNG.4. LÝ THUYẾT CHUỖI .................................................................... 44 4.1. CHUỖI SỐ .............................................................................................. 44 4.1.1. Các khái niệm cơ bản ................................................................ 44 4.1.2. Chuỗi số dương ......................................................................... 45 4.1.3. Chuỗi với số hạng có dấu bất kì ................................................ 49 4.2. DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM .............................................................. 50 4.2.1. Các khái niệm cơ bản ................................................................ 50 4.2.2. Hội tụ đều .................................................................................. 50 Môn: Giải Tích 1 80 CHƯƠNG.5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ........................................................ 56 5.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 .................................................... 56 5.1.1. Định nghĩa về phương trình vi phân cấp 1 – Nghiệm của phương trình vi phân .................................................................................................... 56 5.1.2. Phương trình vi phân dạng tách biến ........................................ 58 5.1.3. Phương trình vi phân dạng đẳng cấp. ....................................... 58 5.1.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 ...................................... 60 5.1.5. Phương trình Becnuli ................................................................ 61 5.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI .............................................. 63 5.2.1. Định nghĩa về phương trình vi phân cấp hai – Nghiệm của phương trình vi phân cấp hai ....................................................................................... 63 5.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng ................. 69 Môn: Giải Tích 1 81 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Hình 1.1: Đồ thị hàm số lũy thừa y = xα (α∈ R*) ......................................................... 2 Hình 1.2: Đồ thị hàm số y = ax....................................................................................... 3 Hình 1.3: Đồ thị hàm số logarit y = logax ....................................................................... 3 Hình 1.4: Đồ thị hàm số lượng giác ................................................................................ 4 Hình 1.5: Đồ thị hàm số lượng giác tgx .......................................................................... 4 Hình 1.6: Đồ thị hàm số lượng giác cotgx ...................................................................... 4 Hình 1.7: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arcsinx ................................................... 5 Hình 1.8: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arcosx .................................................... 5 Hình 1.9: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arctgx .................................................... 5 Hình 1.10: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arcotgx ................................................ 5