Khóa luận Một số tìm hiểu về hình học phi Euclide

nh n2k1k a,...a,a ++ nói trong tiên đề (E * 4). Nếu l > k thì Vl và Vn–k sẽ giao nhau theo một không gian vectơ có số chiều ít nhất là l – k, ta gọi cθ ≠ ∈ Vl ∩ Vn–k thì: ∑ ∑ = += == l 1i n 1ki iiii aµbλc . Do đó ∑∑ ∑ == = >== ll l 1i ii 2 i 1i 1i iiii 0b*bλ)bλ(*)bλ(c*c GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 16 Mặt khác 0a*aµ)aµ(*)aµ(c*c i n 1ki i 2 i n 1ki ii n 1ki ii <== ∑∑∑ +=+=+= (vô lý). Tương tự như vậy, ta chứng minh rằng l < k là không thể được. Tóm lại, l = k và định lý đã được chứng minh. ˆ 2.3. Định nghĩa Cho hai không gian con P và Q của không gian vectơ giả Euclide knΕ (P là không gian con của knΕ nếu P cùng với tích vô hướng trên knΕ cũng làm thành không gian vectơ giả Euclide n- chiều chỉ số k) , P và Q gọi là vuông góc nhau nếu với mọi vectơ ∈x P đều vuông góc với vectơ ∈y Q, tức là ∈x P, ∈y Q thì ⊥x y ( ⊥x y ⇔ x 0y∗ =r r ) . Kí hiệu P⊥Q. Nếu hai không gian con P và Q vuông góc với nhau và knΕ = P⊕Q thì ta nói rằng P là phần bù vuông góc của Q và ngược lại. Ký hiệu: P = ⊥Q . 2.4 . Định nghĩa Cho hai không gian con P và Q của knΕ (các không gian con cũng là không gian vectơ giả Euclide với tích vô hướng như không gian vectơ giả Euclide knΕ ), P và Q gọi là đối vuông góc nếu phần bù vuông góc của P vuông góc với phần bù vuông góc của Q. Ký hiệu: P đối ⊥Q. Nếu hai không gian con P và Q đối vuông góc với nhau và PIQ = (O ) thì ta nói P đối bù vuông góc với Q. Ký hiệu: P đối bù⊥Q. 2.4.1 . Mệnh đề 1). P đối ⊥Q⇔ Q đối ⊥ P. 2). P đối bù⊥Q⇔ Q đối bù⊥ P. 3). P đối bù⊥Q⇒P đối ⊥Q. 2.4.2 . Định lý Trong không gian knΕ , µ là dạng song tuyến tính không suy biến của knΕ , P và Q là hai không gian con không suy biến. P đối bù vuông góc với Q khi và chỉ khi P bù vuông góc với Q. Chứng minh P đối bù⊥Q⇒ P đối ⊥Q PIQ = (O ) ⎩⎨ ⎧ GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 17 P đối ⊥Q⇒ ⊥P ⊥ ⊥Q ⇒ ⊥P ⊂ ( ⊥Q ) ⊥ . Mặt khác ta có: ⊥Q ⊂ ( ⊥Q ) ⊥ và vì µ không suy biến ⇒dimQ + dim ⊥Q = n. Mà dim ⊥Q + dim( ⊥Q ) ⊥ = n ⇒ dimQ = dim( ⊥Q ) ⊥ Do đó Q = ( ⊥Q ) ⊥ ⇒ ⊥P ⊂Q (*). PIQ = (O ) ⇒ dim(PIQ ) = 0. Từ (*) ⇒P + Q ⊃ P + ⊥P . Vì P không suy biến nên ta có ∈x PI ⊥P ⇒ ∈x ⊥P ⇒ ⊥x y , ∀ ∈y P ⇒ µ ( ,x y ) = 0 ⇒ x 0=r r ⇒ PI ⊥P = (O ) . Mặt khác: dimP + dim ⊥P = n ⇒P + ⊥P = knΕ ⇒ knΕ ⊂P + Q. Ta lại có: P+Q⊂ knΕ . Do đó P+Q = knΕ ⇒ dim(P + Q ) = dim knΕ ⇒ dim knΕ = dimP + dimQ – dim (PIQ ) = dimP + dimQ (1’) Ta có: P + ⊥P = knΕ và PI ⊥P = (O ) Nêndim knE =dim(P+ ⊥P ) = dimP+dim ⊥P –dim(PI ⊥P )=dimP+dim ⊥P (2) Từ (1’) và (2’) ⇒dimQ = dim ⊥P (**). Từ (*) và (**) ta suy ra: Q = ⊥P Mặt khác: P bù ⊥ ⊥P ⇒ P bù ⊥Q . Ngược lại ta có: P bù ⊥Q thì PIQ = (O ) và ⊥P = Q. Tương tự: ⊥Q = P. Do đó: Từ P⊥Q ⇒ ⊥P ⊥ ⊥Q ⇒ P đối ⊥Q và PIQ = (O ) ⇒ P đối bù ⊥Q. Vậy định lý đã được chứng minh.‰ 2.4.3 . Hệ quả Tồn tại duy nhất một không gian con đối bù vuông góc với không gian đã cho của knΕ với giả thiết dạng song tuyến tính của knΕ không suy biến. 2.4.4. Định lý Trong không gian knΕ cho mục tiêu giả trực chuẩn { } n1,i0 E;E , , và mục tiêu { }' '0 j 1,nE ;E , ({ } n1,i0 E;E là mục tiêu giả trực chuẩn khi : : dim knΕ =dim(P+ ⊥P ) = dimP + dim ⊥P – dim(PI ⊥P )=dimP + dim ⊥P (2’) GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 18 0 j 0 jE' E' *E' E' = uuuuur uuuuur 1 nếu j ≤ k 0 i 0 jE' E *E' E' = uuuuur uuuuur 0 nếu i≠ j 0 j 0 jE' E' *E' E' = uuuuur uuuuur –1 nếu j > k) Gọi A là ma trận chuyển từ { } n1,i0 E;E sang { }'0 j 1,nE ;E' thế thì{ }'0 j 1,nE ;E' là mục tiêu giả trực chuẩn khi và chỉ khi A là ma trận giả trực giao, tức là A* knI A = knI , knI là ma trận giả đơn vị cấp n, chỉ số k có dạng Chứng minh Gọi i0 E'E' có tọa độ là (ai1, ai2, …, ain) đối với mục tiêu { } n1,i0 E;E . Khi đó A chính là ma trận [ aij]. Mục tiêu { }' '0 j 1,nE ;E là mục tiêu giả trực chuẩn khi 0 j 0 jE' E' *E' E' = uuuuur uuuuur 1 nếu j ≤ k 0 i 0 jE' E *E' E' = uuuuur uuuuur 0 nếu i≠ j 0 j 0 jE' E' *E' E' = uuuuur uuuuur –1 nếu j > k Ta có k0 1 jkj0 EEaE'E' ∑ = = n k h0 1 jhj0 EEaE'E' ∑ = = n h Vì 0 j 0 jE' E' *E' E' i ijε δ= uuuuur uuuuur (với iε = 1 nếu i ≤ k, iε = –1 nếu i > k) k ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ kn − ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ dòng dòng 1 0 . . 0 . 1 0 . . . 0 . 0 . . . . . . . 1 0 . . . 0 0 1 0 . . 0 . 0 . . . . . . 0 0 0 0 . . 0 1 k nI ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 19 Nên suy ra: ik jh 0 k 0 h i ik jh i , 1 1 a a E E *E E a a n n ij ij h k k ε δ ε δ = = = ⇔ =∑ ∑uuuuur uuuuur ⇔ A* knI A = knI . Tức A là ma trận giả trực giao. Với ijδ : các ký hiệu kronecker ⎢⎢⎣ ⎡ = = 1δ 0δ ij ij 2.5 . Modul của vectơ – độ dài đoạn thẳng 2.5.1 . Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Giả sử trong knΕ đã chọn một mục tiêu trực chuẩn thỏa điều kiện (1). Nếu u và v là hai vectơ có tọa độ (u 1, u2,…, un) và (v1,v2,…, vn ) thì rõ ràng là tích vô hướng u * v cho bởi công thức: u* v = ∑ ∑ = += −k 1i n 1ki iiii vuvu (2) Đặc biệt u * u =∑ ∑ = += −k 1i n 1ki 2 i 2 i uu (3) Như vậy tích vô huớng u * u có thể là một số dương, số âm hoặc bằng 0. 2.5.2 . Modul của vectơ Ta định nghĩa modul của u là số | u | sao cho: | u | = u*u , nếu u * u > 0 | u | = i )u*u(− , nếu u * u < 0 .(trong đó i là đơn vị ảo) (4) Trong cả hai trường hợp ta đều ký hiệu | u | = u*u Như vậy modul của một vectơ có thể là một số thực dương, bằng 0, hoặc một số thuần ảo. 2.5.3 . Độ dài đoạn thẳng Trong knΕ , ta chọn một mục tiêu giả trực chuẩn { iEE ;0 } và giả sử A, B đối với mục tiêu đó có toạ độ lần lượt là ( ix ), ( iy ). Khi đó vectơ ABcó toạ độ là ( iy – ix ). Nên độ dài của một đoạn thẳng hay khoảng cách giữa hai điểm A, B được định nghĩa bằng | AB | và ký hiệu d(A,B). d(A,B) = | AB |= ( )2iin 1i i 2 xyAB −ε= ∑ = nếu i≠ j nếu i=j GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 20 Với 1=iε nếu i k≤ 1−=iε nếu ki > Bởi vậy độ dài đoạn thẳng có thể là một số thực dương, bằng 0, hoặc một số thuần ảo. 2.5.4. Một số khái niệm khác • Hai vectơ u và v vuông góc nhau nếu tích vô hướng u * vr = 0. Ta thấy rằng có những vectơ khác θ mà lại vuông góc với chính nó. Những vectơ như vậy gọi là vectơ đẳng hướng. Ví dụ: ( ) ( ) ( ) ( )1 1,0,.....,0 0,0,.....,1 1,0,....,0,1 0,0,....,0nu e e= + = + = ≠rr r Nhưng ( ) ( ) 01....011,0,...,0,1 222 =−++==ur Một vectơ được gọi là đẳng hướng nếu: 0a*a,0a =≠ rrrr • Một đường thẳng gọi là đường thẳng đẳng hướng nếu phương của nó sinh ra bởi vectơ đẳng hướng.(Những vectơ 0a ≠r sao cho 0a =r ) • Tập hợp tất cả các đường thẳng đẳng hướng cùng đi qua một điểm gọi là nón đẳng hướng. • Góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ 0 rr ≠a và 0rr ≠b . Số ϕ xác định bởi công thức cos b.a b*a rr rr =ϕ sẽ gọi là số đo góc của hai vectơ ar và br (cosϕ được định nghĩa một cách giải tích là tổng của cấp số: (1 ......) !6!4!2 642 +−+− ϕϕϕ Ta có các trường hợp sau: 1) –1 1cos ≤≤ ϕ 2) cos 1ϕ 〉 lúc đó ta có thể viết: θθϕ ich coscos == . Do đó: θϕ i= (θ thực) Vậy trong trường hợp này ϕ là thuần ảo mặc dù ar và br đều thực 3) 1cos −<ϕ lúc này ta có thể viết: ( )θπθθϕ iich −=−=−= coscoscos Do đó: θπϕ i−= (θ thực) 4) ϕcos thuần ảo lúc này ta có thể viết: GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 21 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −==−= θπθθϕ iiish 2 cossincos Do đó: θπϕ i−= 2 (θ thực) Tóm lại: trong không gian giả Euclide, ngoài các góc có số đo thực còn có các góc (của những vectơ thực) có số đo thuần ảo hay có số đo phức với phần thực là π hoặc 2 π Nhận xét Trong không gian giả Euclide ta có thể đưa ra những khái niệm tương tự trong không gian Euclide như: các phẳng vuông góc, phép dời, phép đồng dạng, siêu cầu, …. Đặc biệt có thể chứng minh rằng, các phép dời trong knΕ , cũng như các phép đồng dạng lập thành một nhóm. Hình học giả Euclide được định nghĩa là hình học của nhóm dời (hay nhóm đồng dạng) của không gian knΕ . 2.6 . Định nghĩa Ánh xạ f: knΕ → knΕ của các không gian giả Euclide knΕ và knΕ gọi là ánh xạ đẳng cự nếu f là ánh xạ afin mà ánh xạ tuyến tính liên kết : f : knΕ → knΕ là ánh xạ tuyến tính trực giao của knΕ và knΕ . 2.6.1 . Định lý Ánh xạ f: knΕ → knΕ giữa các không gian giả Euclide knΕ và knΕ . f là ánh xạ đẳng cự khi và chỉ khi f bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Chứng minh Giả sử f: knΕ → knΕ là ánh xạ đẳng cự, với cặp điểm M, N thuộc knΕ và M’ = f(M), N’ = f(N). Khi đó d(f(M), f(N)) = f(M)f(N) = )MN(f = | MN | = d(M, N) hay d(M’, N’) = d(M, N). Ngược lại f bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Lấy M ∈ knΕ , M’ = f(M). Xét ánh xạ liên kết f : knΕ → knΕ xác định như sau: Nếu ∈u knΕ , ta lấy điểm I ∈ knΕ sao cho uMI = và f ( u ) = I'M' với I’= f(I). Ta cần chứng minh f là ánh xạ tuyến tính trực giao. GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 22 Thật vậy, giả sử ta có thêm vectơ v ∈ knΕ , lấy điểm N∈ knΕ sao cho IN= v và f ( v ) = N'I' , trong đó N’ = f(N). Vì f bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm nên d(M, N) = d(M’, N’), suy ra 2 MN = 2 N'M' ⇒ ( IN– IM )2 = ( N'I' – M'I' )2 ⇒ IN2 + IM2 – 2 IN* IM = I’N’2 + I’M’2 – 2 N'I' * M'I' (*) Vì f bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ nên từ (*) ta có IN* IM = N'I' * M'I' hay, f ( u )* f ( v )= u * v ⇒ f bảo tồn tích vô hướng ⇒ f là ánh xạ tuyến tính trực giao và f là ánh xạ liên kết của f . Vậy f là ánh xạ đẳng cự. ˆ 2.6.2 . Mệnh đề Ánh xạ đẳng cự bảo tồn: a). Số chiều của các phẳng. b). Tính trực giao của các phẳng. c). Số đo góc. d). Tỷ số giữa hai khoảng cách. 2.6.3 . Định lý Phép afin f là ánh xạ đẳng cự khi và chỉ khi ma trận của nó đối với mục tiêu giả trực chuẩn là ma trận giả trực giao chỉ số k.] Chứng minh Trong knΕ chọn mục tiêu giả trực chuẩn {S0; e } và xét phép biến đổi afin f của knΕ có biểu thức tọa độ (đối với mục tiêu đó) là: X’ = A.X +b (trong đó A là ma trận vuông cấp n không suy biến X, X’ là ma trận cột tọa độ của điểm và tạo ảnh của điểm đó, b là ma trận cột tọa độ điểm f(S0)). Khi đó ánh xạ tuyến tính f liên kết với f sẽ có biểu thức tọa độ: X’ = A.X (đối với cơ sở giả trực chuẩn ở trên). Phép afin f là phép đẳng cự khi và chỉ khi f biến mỗi vectơ X thành 'X sao cho || X || = || 'X || ⇔ (X)I(X) kn* = )(X'I)(X' kn* ⇔ * knX I X = )(X'I)(X' kn* = (AX)I(AX) kn* ⇔ XIX kn* = AXIAX kn** ⇔ knI = AIA kn* GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 23 ⇔ A là ma trận giả trực giao. Định lý đã được chứng minh.‰ Mọi ánh xạ đẳng cự là một đơn ánh và tích những ánh xạ đẳng cự là ánh xạ đẳng cự nên ánh xạ đẳng cự từ một không gian giả Euclide đến chính nó là một song ánh và ánh xạ ngược cũng là một ánh xạ đẳng cự, nó được gọi là một biến đổi đẳng cự của không gian đó. Như vậy ta có tập hợp các phép biến đổi đẳng cự của không gian giả Euclide lập thành một nhóm con của nhóm biến đổi afin của không gian giả Euclide. 2.7 . Mô hình xạ ảnh của không gian giả knΕ 2.7.1 . Xây dựng mô hình Trong không gian xạ ảnh Pn ta chọn một siêu phẳng Pn–1 là siêu phẳng vô tận và gọi An là không gian afin tương ứng. Ta làm cho An trở thành một không gian giả Euclide knΕ bằng cách xác định một tích vô hướng thỏa mãn các tiên đề (E*1,..., E*4). Vậy ta được một mô hình knΕ gọi là mô hình xạ ảnh của không gian giả Euclide knΕ . Gọi { } n1,i1n E;A + là một mục tiêu trực chuẩn của knΕ sinh ra bởi mục tiêu xạ ảnh { } 1n1,i E;A + của Pn. Gọi T* là siêu mặt bậc hai của siêu phẳng vô tận Pn–1 có phương trình ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =− + +== ∑∑ 0x 0xx 1n n 1kj 2 j k 1i 2 i (5) T* gọi là cái tuyệt đối của Pn . Nếu n ≥ 3 thì T* chính là mặt trái xoan hoặc là mặt kẻ (ở đây ta không xét k = n, đó là trường hợp của không gian Euclide). Nếu n = 2, T* là cặp điểm trên đường thẳng vô tận có tọa độ xạ ảnh là (1:1:0) và (1:-1:0). 2.7.2. Thể hiện khái niệm giả Euclide trên mô hình + Định lý Hai đường thẳng của knΕ vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai điểm vô tận của nó liên hợp với cái tuyệt đối T*. GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 24 + Định nghĩa siêu cầu trong không gian knΕ Trong không gian giả Euclide knΕ cho một điểm O cố định. Tập hợp tất cả các điểm X sao cho d(O, X) = R (R là số thực không âm hoặc là số thuần ảo) gọi là siêu cầu tâm O bán kính R. Trong knΕ , chọn mục tiêu giả trực chuẩn { } n1,i0 E;E . Khi đó điểm O có tọa độ là: O(a1, a2, …, an) Gọi tọa độ điểm X đối với mục tiêu đó là X = (x1, x2, …, xn). Khi đó điều kiện cần và đủ để điểm X thuộc siêu cầu tâm O, bán kính R là: d(O, X) = R ⇔ ∑ = −n 1i 2 iii )x(aε = R (trong đó iε = 1 nếu i ≤ k, iε = –1 nếu i > k) ⇔ ∑ = −n 1i 2 iii )x(aε = R 2 ⇔ ∑∑∑ === +− n 1i 2 ii n 1i iii n 1i 2 ii xεxaε2aε = R 2 ⇔ ∑∑∑ === +− n 1i 2 ii n 1i iii n 1i 2 ii aεxaε2xε – R 2 = 0 (*) (*) chính là phương trình của siêu cầu. Như vậy siêu cầu là siêu mặt bậc hai. Nhận xét Phương trình (*) có hai đặc điểm • Các hệ số 2ix đều bằng 1 hoặc – 1 • Các hệ số ji xx đều bằng 0 với i ≠ j Như vậy một siêu mặt bậc hai trong trường hợp nào sẽ trở thành siêu cầu . Giả sử S là siêu mặt bậc hai nào đó của knΕ có phương trình đối với cơ sở giả trực chuẩn {E0; Ei} là 0aXa2XXa 0 0 n 1i i0 i n 1ji, jiij =++ ∑∑ == Bằng cách chuyển sang tọa độ xạ ảnh ta có phương trình n+1 ij i j i, j 1 a x x 0 = =∑ (**) Trong phương trình (**) nếu ija = m ijiε δ Trong đó iε = 1 nếu i ≤ k iε = –1 nếu i > k GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 25 ijδ = 1 nếu i =j ijδ = 0 nếu i ≠ j Khi đó (**) tương đương với m n n 2 i i i 0 i 0 0 i 1 i 1 ε X 2 a X a 0 = = + + =∑ ∑ Trong hệ tọa độ trực chuẩn, phương trình của siêu cầu có dạng 2 n 1kj 20 j k 1i 20 ii R)X(Xj)X(X =−−− ∑∑ +== (6) Trong đó (X01,X02, …., X0n ) là tọa độ của điểm O. Đây chính là phương trình tổng quát của siêu cầu. Vậy siêu mặt bậc hai S nếu có ija = m ijiε δ thì trở thành siêu cầu. Tương tự như trong không gian Euclide ta có định lý sau + Định lý Một siêu mặt bậc hai trong không gian giả Euclide knΕ là một siêu cầu khi và chỉ khi nó cắt siêu phẳng vô tận theo cái tuyệt đối T*. + Mệnh đề Trong không gian giả Euclide knΕ , có một và chỉ một siêu cầu qua (n+1) điểm độc lập. Chứng minh Giả sử cho siêu cầu S(O, R) và (n + 1) điểm độc lập A1, A2, …, An+1 thuộc siêu cầu S. Trong không gian giả Euclide chọn hệ mục tiêu giả trực chuẩn ε . Khi đó giả sử O có tọa độ với ε là 1n1,i )(X + , 1n1,i )(A + thuộc siêu cầu S nên ta có: d(O, Ai)= R với mọi i = 1,n 1+ Xét hệ phương trình ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ += = = )1nA d(O, )1A d(O, .............................. )3A d(O, )1A d(O, )2A d(O, )1A d(O, ( I ) Do 1n1,i )(A + độc lập nên hệ ( I ) là hệ phương trình Cramer. Do đó hệ ( I ) có nghiệm và duy nhất. Từ đó ta tìm được R = d( O, A1).Vậy ta có điều phải chứng minh‰. GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 26 Miền trong (miền ngoài) xác định bởi siêu cầu là tập hợp điểm M thuộc knΕ mà d(O, M) R). + Mệnh đề Đoạn thẳng nối một điểm thuộc miền trong và một điểm thuộc miền ngoài sẽ cắt siêu cầu tại một điểm. Chứng minh Gọi siêu cầu là S(O, R), P là một điểm thuộc miền trong của S(O, R) ⇒ OH tOP (1-t) OQ= +uuur uuur uuur (0 1t ≤≤ ) ⇒ 2 2OH [tOP (1-t) OQ]= +uuur uuur uuur ⇒ 2 2 22 2OH t OP (1-t) OQ 2t(1-t)OP *OQ= + +uuur uuur uuur uuur uuur ⇒ 2 2 2 2 2 2 2d (O,H)- R t d (O,P) (1-t) d (O,Q) 2t(t 1) OP *OQ R= + + − −uuur uuur Xét tam thức bậc hai: f(t) – R2 Trong đó: f(t) 2 2 2 2t d (O,P) (1-t) d (O,Q) 2t(t 1) OP *OQ= + + − uuur uuur Ta có: f(0) – R2 = d2(O, Q) – R2 > 0 f(1) – R2 = d2(O, P) – R2 < 0. Do đó f(0).f(1) < 0⇒ tồn tại t ∈ (0, 1) sao cho f(t) – R2 = 0 Hay tồn tại t ∈(0, 1) sao cho d2(O, H) – R2 = 0 ⇔ d2(O, H) = R2 ⇔ H thuộc siêu cầu S(O, R). Vậy PQ cắt siêu cầu tại một điểm. ‰ + Định lý Phép biến đổi afin f: knΕ → knΕ của không gian giả Euclide knΕ biến siêu cầu thành siêu cầu thì f là phép đồng dạng. Chứng minh Trong không gian giả Euclide knΕ cho hai siêu cầu S(O, R) và S’(O’, R’) và chọn hệ tọa độ trực chuẩn gốc là tâm O của S(O, R) (O; A1, A2, …, An) với Ai ∈S(O, R). Khi đó f(O) = O’, f(Ai) = Ai’. Vì Ai ∈S(O, R) ⇒ d(O, Ai) = R không đổi A’i ∈ S’(O’, R’) ⇒d(O’, A’i) = R’ không đổi. Do đó ta có: d(O’, Ai’) = R R' d(O, Ai). GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 27 Đặt k = R R' 0≠ ⇒ kd(O’, A’i) = d(O, Ai) ⇒ f là phép đồng dạng ‰ 2.8 . Phép đồng dạng trong không gian knΕ – Hình học giả Euclide Ta ký hiệu Kn là nhóm các phép biến đổi xạ ảnh của không gian Pn và khi đó hình học xạ ảnh là hình học của nhóm Kn. Nếu trong Pn ta chọn siêu phẳng Pn–1 làm siêu phẳng vô tận thì tập hợp các phép biến đổi xạ ảnh bảo tồn Pn–1 làm thành một nhóm con của Kn. Nhóm này đẳng cấu với nhóm An của tất cả các phép afin của không gian afin An = Pn\Pn–1 . Ta gọi knAˆ là tập tất cả các phép biến đổi xạ ảnh của Pn giữ nguyên Pn–1 và giữ nguyên cái tuyệt đối T* thì knAˆ là một nhóm con của nhóm xạ ảnh Kn. Mỗi phép biến đổi của nhóm knAˆ , nếu xem như tác dụng lên không gian knΕ sẽ gọi là phép đồng dạng của knΕ Hình học của nhóm knAˆ gọi là hình học giả Euclide n – chiều chỉ số k. 2.8.1. Phương trình của phép đồng dạng – phép dời trong knΕ Giả sử ta có một phép afin có phương trình đối với mục tiêu trực chuẩn trong knΕ là n i ij i n 1 j 1 X' b b , i 1,njX += = + =∑ . (7) Ta tìm điều kiện cần và đủ để (7) là một phép đồng dạng của knΕ . Ta có phép afin (7) được sinh ra bởi phép biến đổi xạ ảnh sau: n+1 i ij j j 1 n 1 n 1 x' b x , i 1,n x' x = + + ⎧ = =∑⎪⎨⎪ =⎩ (8) Đến lượt (8) lại sinh ra trong siêu phẳng vô tận phép biến đổi xạ ảnh: [x’] = B[x] hay [x] = B–1[x’] (9) trong đó [x] và [ x’] là các ma trận: và [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = nx x x x ' '2 1' ' M . ijB b⎡ ⎤= ⎣ ⎦ [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = nx x x x M 2 1 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 28 Phương trình của cái tuyệt đối trong Pn–1 có thể viết được dưới dạng: [x]* Ik [x] = 0 (10) Trong đó: Như vậy, phép biến đổi (9) sẽ biến cái tuyệt đối (10) thành siêu mặt có phương trình: [x’]* (B*)–1 Ik B–1[x’] = 0. (11) Muốn cái tuyệt đối T* không thay đổi, điều kiện cần và đủ là phương trình (10) trùng với phương trình (11) hay là: (B*)–1 Ik B–1 = λ Ik với λ ≠ 0. (12) Chú ý rằng (Ik)–1 = Ik nên điều kiện (12) tương đương với B.Ik..B* = λ Ik (13) Từ (13) ta suy ra (det B)2. det Ik = λ .det Ik hay λ = (det B)2. Vậy nếu ta đặt B = λ A , thì A phải thỏa mãn điều kiện: A.Ik.A* = Ik (14) Ma trận A thỏa mãn điều kiện (14) gọi là ma trận k – trực giao. Như vậy ta có định lý sau đây: + Định lý Muốn cho phép biến đổi afin (7) là phép đồng dạng điều kiện cần và đủ là B = mA k ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ kn − ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ dòng dòng ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 10..0000 .. .... 0. 0..010 0...01. .. ... .0. 0...01. 0..01 kI GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 29 Trong đó m là một số dương, còn A là ma trận k – trực giao, số m gọi là tỉ số đồng dạng. Nếu m = 1, phép đồng dạng gọi là phép dời. Cố nhiên tập hợp các phép dời làm thành một nhóm con của nhóm knAˆ . + Định lý Nếu u , v là hai vectơ bất kỳ, và 'u , 'v là ảnh của chúng qua nền của phép đồng dạng tỷ số m thì: 'u * 'v = m2( u * v ). Chứng minh Giả sử ma trận của phép đồng dạng là mA, trong đó A là ma trận k – trực giao. Ta có: [u’] = mA[u], và [v’] = mA[v]. Do đó: 'u * 'v = [u’]*.Ik.[v’] = m[u]*A*.Ik. mA[v] = m2 [u]*A*.Ik.A[v]. Nhưng vì: A*. Ik. A = A. Ik.A* = Ik. Nên 'u * 'v = m2 [u]*.Ik.[v] = m2( u * v ). Vậy định lý được chứng minh. ˆ + Hệ quả (1) Phép đồng dạng tỷ số m biến một đoạn thẳng AB thành một đoạn thẳng A’B’, sao cho d(A’,B’) = md(A,B). (2) Phép đồng dạng bất kỳ không làm thay đổi tỷ số độ dài của hai đoạn thẳng tùy ý. Vậy tỷ số độ dài của hai đoạn thẳng là một đối tượng nghiên cứu của hình học giả Euclide. (3) Phép dời hình không làm thay đổi độ dài đoạn thẳng. 2.8.2. Phép dời trong không gian giả Euclide 12Ε Trước hết ta hãy xét ma trận dạng 1 – trực giao. Giả sử ta có ma trận A = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ δγ βα Ta có A là ma trận 1 – trực giao khi và chỉ khi ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ δγ βα ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −10 01 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ δβ γα = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −10 01 Từ đó suy ra ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −=− =− =− 12δ2γ 0δβγα 12β2α (15) GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 30 Phương trình thứ hai của (15) có thể viết dưới dạng: λαδλβ,γ == (trong đó λ là một ẩn số mới). (16) Thay các biểu thức của (16) vào phương trình cuối của (15) ta được (17) Như vậy λ= 1± 2 2 2 2 2 2γ δ λ (β α ) λ 1− = − = = − Bây giờ dùng phương trình 12β2α =− ta thấy rằng nghiệm tổng quát của nó có dạng shθβchθα ±=±= (18) Kết hợp (16) và (18) với chú ý λ= 1± . Ta thấy rằng ma trận A sẽ có các dạng sau đây (a) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ chθshθ shθchθ (b) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ chθ-shθ- shθ-chθ- (c) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ chθ-shθ- shθchθ (d) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ chθshθ shθ-chθ- (a’) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ++= ++= bchθ2Xshθ1X ' 2X ashθ2Xchθ1X ' 1X (b’) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−−= +−−= bchθ2Xshθ1X ' 2X ashθ2Xchθ1X ' 1X (c’) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−−= ++= bchθ2Xshθ1X ' 2X ashθ2Xchθ1X ' 1X (d’) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ++= +−−= bchθ2Xshθ1X ' 2X ashθ2Xchθ1X ' 1X Các phép dời loại (a’), nếu a = b = 0 sẽ gọi là phép quay hyperbolic với góc quay là θ .Vì vậy các phép dời loại (a’) là tích của một phép quay hyperbolic và một phép tịnh tiến. Phép quay hyperbolic biến một đường tròn (tức là các đường bậc hai dạng 2 2 21 2X X R− = ± ) thành chính nó và biến hai đường thẳng đẳng hướng X1 = X2 và X1= –X2 thành chính nó. Nếu a = b = 0 thì phép dời loại (b’) là tích của phép quay hyperbol với phép đối xứng qua gốc tọa độ. GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 31 Nếu a = b = 0 thì phép dời loại (c’) (tương ứng loại (d’)) là phép đối xứng qua đường thẳng 0XX 2 θth 12 =+ (tương ứng 0X2 θthX 12 =+ ). 3. Hình học Lobachevsky 3.1. Định nghĩa không gian Lobachevsky và hình học Lobachevsky Trong không gian xạ ảnh Pn với mục tiêu đã chọn, ta lấy một siêu mặt trái xoan có phương trình: 0xx...xx 2 1n 2 n 2 2 2 1 =−+++ + (1) và nó gọi là cái tuyệt đối T. Ta ký hiệu Hn, là tập hợp các điểm nằm trong cái tuyệt đối T. Tập hợp Hn sẽ gọi là không gian Lobachevsky n – chiều. Mỗi tập hợp Hn ∩Pr, trong đó Pr là r – phẳng xạ ảnh của Pn, sẽ gọi là r – phẳng của Hn.. Gọi L là nhóm tất cả các phép biến đổi xạ ảnh bảo tồn cái tuyệt đối T. Như vậy L là nhóm con của nhóm các phép biến đổi xạ ảnh K. Mỗi phép biến đổi của nhóm L cũng biến Hn thành chính nó. Mỗi phép biến đổi của L được gọi là một phép dời của Hn. Hình học của nhóm L trên Hn gọi là hình học Lobachevsky n – chiều. Tất nhiên mỗi phép biến đổi của nhóm L cũng biến r – phẳng của Hn thành r – phẳng của Hn, cho nên r – phẳng là đối tượng nghiên cứu của hình học Lobachevsky. 3.2. Một số quy ước Ta quy ước gọi các điểm thuộc Hn là các điểm thông thường, những điểm nằm trên cái tuyệt đối T gọi là điểm vô tận, còn những điểm nằm ngoài T gọi là điểm lý tưởng. Như vậy một điểm X có toạ độ xạ ảnh là ( 1 2 n 1x : x : ... : x + ), thì X là điểm thông thường, điểm vô tận, hay điểm lý tưởng tuỳ theo đại lượng 2 1n 2 n 2 2 2 1 xx...xx +−+++ là số âm, bằng 0, hay số dương. Một r – phẳng xạ ảnh Pr sẽ gọi là thông thường nếu nó cắt cái tuyệt đối T, gọi là r – phẳng vô tận nếu nó tiếp xúc với cái tuyệt đối T, và gọi là r – phẳng lý tưởng nếu nó không cắt cái tuyệt đối T. Như vậy nếu Pr là r – phẳng xạ ảnh thông thường thì Pr∩Hn là một r – phẳng Hr của không gian Lobachevsky. Ta quy ước xem các điểm vô tận và lý tưởng của Pr cũng nằm trên Hr. GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 32 3.3. Các định nghĩa Cho hai cái phẳng của không gian Lobachevsky Hr = Pr∩Hn và Hs = Ps ∩ Hn. Nếu Pr và Ps cắt nhau theo một cái phẳng thông thường thì Hr và Hs gọi là cắt nhau. Nếu Pr và Ps cắt nhau theo một cái phẳng vô tận thì Hr và Hs gọi là song song với nhau. Nếu Pr và Ps cắt nhau theo một cái phẳng lý tưởng thì Hr và Hs gọi là phân kỳ. Rõ ràng các khái niệm cắt nhau, song song và phân kỳ của các phẳng là những bất biến của nhóm L, và do đó là đối tượng nghiên cứu của hình học Lobachevsky. Các kết quả sau đây dễ dàng chứng minh dựa vào định nghĩa. Định lý (1) Cho một r – phẳng Hr và một điểm A ngoài nó. Qua A có hai đường thẳng song song với Hr nếu r = 1, và có vô số đường thẳng song song với Hr nếu r ≥2. (Tập hợp các đường thẳng song song đó gọi là nón song song với Hr và có đỉnh tại A, ký hiệu N(A, Hr). (2) Nếu cái phẳng Hs song song với cái phẳng Hr thì qua mỗi điểm A thuộc Hs có một và chỉ một đường thẳng d nằm trong Hs và song song với Hr. Do đó Hs luôn cắt mặt nón N(A, Hr) theo một đường sinh với mọi A thuộc Hs. (3) Nếu Hs cắt Hr thì qua mỗi điểm A thuộc Hs có hai đường thẳng d và d’ phân biệt, nằm trong Hs và song song với Hr. Do đó, Hs luôn cắt mặt nón N(A, Hr) theo hai đường sinh phân biệt với mọi A thuộc Hs . (4) Nếu Hs và Hr phân kỳ, thì mọi đường thẳng nằm trong Hs đều phân kỳ với Hr. Do đó Hs luôn cắt mặt nón N(A, Hr) theo một điểm A duy nhất. 3.4. Khái niệm vuông góc Cho siêu phẳng Hn–1 = Hn ∩ Pn–1. Ta gọi điểm P là cực của siêu phẳng xạ ảnh Pn–1 đối với cái tuyệt đối T. Đường thẳng H1 = Hn ∩ P1, gọi là vuông góc với siêu phẳng Hn–1 nếu P1 đi qua điểm P. Hai đường thẳng cắt nhau a và b của không gian Hn gọi là vuông góc với nhau nếu a vuông góc với một siêu phẳng nào đó đi qua b (và do đó b cũng vuông góc với một siêu phẳng nào đó đi qua A). Nếu đường thẳng a và cái phẳng Hr cắt nhau thì a gọi là vuông góc với Hr nếu a vuông góc với mọi đường thẳng của Hr đi qua giao điểm của Hr và a. Ta dễ thấy rằng, các khái niệm vuông góc nói trên đều là bất biến của nhóm L, và do đó chúng là đối tượng nghiên cứu của hình học Lobachevsky. Định lý GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 33 (1) Điều kiện cần và đủ để hai cái phẳng Hr và Hs phân kỳ là chúng cùng vuông góc với một đường thẳng. (2) Hai cái phẳng phân kỳ chỉ có duy nhất một đường vuông góc chung. (3) Các đường vuông góc với một siêu phẳng đã cho đi qua một điểm lý tưởng nào đó, và do đó chúng là những đường thẳng phân kỳ với nhau. Tập hợp các đường thẳng đó gọi là chùm phân kỳ. Ngoài ra, tập hợp các đường thẳng đi qua một điểm vô tận gọi là chùm song song, còn tập hợp các đường thẳng đi qua một điểm thông thường gọi là chùm hội tụ. 3.5. Phương trình của phép dời hình trong Hn Xét phép biến đổi xạ ảnh của Pn : [x] = B[x’] (2) Muốn cho phép biến đổi (2) giữ nguyên cái tuyệt đối T có phương trình (1), điều kiện cần và đủ là B = mA (3) trong đó A là một ma trận n – trực giao (A là ma trận vuông cấp n+1),và m là một số dương. Như vậy phương trình của phép dời hình trong Hn là phương trình (2) với điều kiện (3). Chú ý Hai ma trận B = mA và B’ = m’ A với m và m’ khác nhau cùng xác định cho ta một phép dời, bởi vậy ta có thể luôn luôn lấy ma trận của phép dời là ma trận n – trực giao A. Khi đó det A = ± 1. • Nếu det A = 1 phép dời gọi là phép dời loại 1. • Nếu det A = –1 phép dời gọi là phép dời loại 2. 3.6. Khoảng cách giữa hai điểm trong Hn Cho hai điểm A và B của Hn, đường thẳng AB cắt cái tuyệt đối T tại hai điểm U, V. Khoảng cách giữa hai điểm A và B được ký hiệu là d(A, B) và được định nghĩa bằng biểu thức: d(A, B) = |ln(ABUV)| (4) Từ định nghĩa ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau đây: Định lý (1) d(A, B) ≥0, d(A, B) = 0 ⇔ A ≡ B. (2) d(A, B) = d(B, A). (3) Nếu A, B, C thẳng hàng thì một trong ba số và d(A, B), d(C, A ), d(B, C) là tổng của hai số kia. GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 34 Nếu là ba điểm A, B, C thẳng hàng và d(A, C) = d(A, B) + d(B, C) thì ta nói rằng điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Tập hợp gồm hai điểm A, C và những điểm nằm giữa chúng gọi là đoạn thẳng AC. Khoảng cách d(A, C) còn gọi là độ dài của đoạn thẳng AC. (4) Độ dài d(A, B) không thay đổi qua phép dời. 3.7.Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b của không gian Hn . Ta gọi u và v là hai cát tuyến của cái tuyệt đối T cùng xuất phát từ giao điểm của a và b, và cùng nằm trong mặt phẳng chứa a, b. Khi đó u và v là hai đường thẳng ảo liên hợp đi qua C, I và C, J. Số đo góc giữa hai đường thẳng a và b, được ký hiệu là b)(a,ϕ , và được định nghĩa là : A= C* a∩ B= C* b∩ ,IJ= AB nH∩ 1(a, b) ln(ABIJ) 2 ϕ = và 2 πb)(a,0 ≤≤ ϕ (5) Chú ý Vì (a,b,u,v) là tỷ số của hai số phức liên hợp, nên có dạng )k2(i e π+θ Vậy 2 θv)u,b,ln(a, 2 1 = + kπ Điều kiện thứ hai trong (5) chứng tỏ rằng nếu chọn θ sao cho πθ0 ≤≤ thì 2 θb)(a, =ϕ Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra: Định lý (1) 0b)(a, =ϕ ba ≡⇔ (2) a)(b,b)(a, ϕϕ = (3) b)(a,ϕ không thay đổi qua phép dời. (4) 2 πb)(a, =ϕ khi và chỉ khi a và b vuông góc với nhau. Chương III: MẪU ĐĨA POINCARE VÀ MẪU NỬA TRÊN MẶT PHẲNG POINCARE GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 35 1. Mẫu đĩa Poincare và hình học Lobachevsky Định đề đặc trưng của hình học Lobachevsky: ƒ Qua hai điểm tồn tại duy nhất một đường thẳng chứa nó. ƒ Cho một đường thẳng bất kỳ, một đoạn với chiều dài bất kỳ có thể định nghĩa được trên nó. ƒ Với một điểm bất kỳ làm tâm và với bán kính tùy ý, có thể vẽ được một đường tròn. ƒ Tất cả các góc vuông đều bằng nhau. ƒ Qua một điểm không nằm trên đường thẳng có thể vẽ được ít nhất hai đường thẳng song song với nó. Nếu ta chấp nhận được định đề 5 của Hình học Lobachevsky thì ta có: ƒ Tổng ba góc của một tam giác bé hơn 1800. ƒ Không tồn tại một đường thẳng nào cách đều một đường thẳng khác. ƒ Nếu ba góc của một hình tứ giác là vuông thì góc thứ tư bé hơn một vuông. ƒ Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó có thể không cắt đường kia. ƒ Những đường thẳng song song với cùng một đường thì có thể không song song với nhau. 1.1 . Mặt phẳng Hyperbolic trong mẫu đĩa Poincare Các định nghĩa Định nghĩa điểm của mặt hyperbolic Cho một đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Euclide, điểm của mặt hyperbolic là những điểm nằm bên trong đường tròn đơn vị. H2 = { (x,y) | x2 + y2 < 1}. Những điểm nằm trên đường tròn được gọi là điểm vô tận Những điểm nằm ngoài được gọi là điểm lý tưởng A B O P Γ Ω GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 36 Định nghĩa đường của mặt hyperbolic. Cho một đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Euclide, những đường thẳng của mặt hyperbolic là những cung của đường tròn trực giao với đường tròn đơn vị đã cho và nằm bên trong đường tròn đơn vị. Cách dựng đường của mặt hyperbolic. + Cho đường tròn Γ tâm là O. + Dựng bán kính OA. + Dựng đường vuông góc với OA tại A. + Chọn một điểm P bất kỳ trên d, kẻ đường tròn (P, PA). Đặt B = (P, PA)∩ Γ ⇒ AB là một đường thẳng trong mẫu đĩa Poincare. Chúng ta cần dựng những đường thẳng trong các trường hợp khác với A, B là hai điểm hyperbolic bất kỳ. Ta có ba trường hợp: + Trường hợp 1: A, B ∈Γ . Dựng đoạn PA, PB với P là tâm của đường tròn Γ . Dựng đường vuông góc với PA tại A và PB tại B. Lấy Q là giao diểm của hai đường này. Gọi Ω là đường tròn tâm Q bán kính QA cắt Γ ở A và B. Đường thẳng AB chính là cung AB của Ω nằm trong Γ . + Trường hợp 2: A ∈Γ , B nằm trong Γ Gọi P là tâm của đường tròn Γ . Nối P với A và B. Dựng tiếp tuyến của Γ tại A. Vẽ đoạn AB và dựng đường trung trực đoạn AB. Gọi Q là giao điểm của tiếp tuyến của Γ tại A và trung trực đoạn AB. Gọi Ω là đường tròn tâm Q, bán kính QA chứa A và B. Đường AB là cung AB của Ω và nằm trong Γ + Trường hợp 3: A, B nằm trong Γ . Cho đường tròn Γ tâm P, dựng đoạn PA, dựng đường vuông góc với PA tại A, đường này cắt Γ tại hai điểm X và Y. Dựng hai tiếp tuyến với Γ tại X và Y. Gọi C là giao điểm của hai tiếp tuyến này. Ω là đường tròn tâm Q qua A, P Q A B P Q B A Γ Ω B Γ P C X Y P A B Q GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 37 B, C. Đường thẳng AB là cung AB của Ω và nằm trong Γ . Khoảng cách mêtric trên mặt hyperbolic Ta định nghĩa khoảng cách mêtric trên mặt hyperbolic bởi: dρ= 2r1 dr2 − (*) trong đó ρ đặc trưng cho khoảng cách hyperbolic, và r là khoảng cách Euclide từ tâm của đường tròn. Từ (*) ta thấy dρ ∞→ khi r→1, điều đó có nghĩa là đường thẳng sẽ được mở rộng ra vô hạn. Sự liên hệ giữa khoảng cách Euclide của một điểm từ tâm của đường tròn và khoảng cách hyperbolic là: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − +=−=ρ ∫ r1 r1ln u1 du2r 0 2 Bây giờ, ta có thể định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm trong một đường Poincare. Cho hai điểm hyperbolic A và B, giao điểm của AB cắt đường tròn tại hai điểm vô tận P và Q. Đặt (AB, PQ) = BQ/BP AQ/AP = BP.AQ BQ.AP là tỉ số của A và B với P và Q, AP được gọi là độ dài cung Euclide. Định nghĩa khoảng cách hyperbolic từ A đến B d(A, B) = |ln(AB,PQ)| + Định lý Nếu một điểm A nằm trong đường tròn đơn vị thì d(A, O) = ln r1 r1 − + ( r: khoảng cách Euclide từ A đến tâm của đường tròn). Chứng minh d(A, O) = ln|AP,OQ| = .ln . AP OQ AQ OP = OP.AQ OQ.APln =ln r1 r1 − + .‰ + Định lý GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 38 Khoảng cách hyperbolic từ một điểm bất kỳ trong đường tròn đơn vị đến chính nó thì kéo dài ra vô tận. Những đường thẳng song song Cho đường thẳng AB và một điểm D∉AB. Ta có thể vẽ ít nhất hai đường thẳng qua D và không cắt AB. Gọi những đường thẳng qua D là l1 và l2. Ta có l1 song song AB, l2 song song AB nhưng l1 không song song với l2 . Chú ý: l2 cắt một trong những đường thẳng song song với l1 nhưng không cắt những đường song song với AB. Nhận thấy rằng đường AB cắt đường tròn đơn vị ở hai điểm vô tận Λ và Ω . Định lý Cho đường thẳng AB cắt đường tròn đơn vị tại Λ và Ω . Một điểm D nằm ngoài đường thẳng AB, từ D kẻ đường thẳng vuông góc xuống đường thẳng AB tại M thì ta có ΛDM =ΩDM Chứng minh c1 M D A B Chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Giả sử ΛDM ≠ ΩDM o Trường hợp :ΛDM <ΩDM Do đó sẽ có một điểm E nằm trong ΩDM để cho ΛDM = EDM Đường ED phải cắt AB tại một điểm vì DΩ là đường giới hạn song song của AB. D A B Λ Ω GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 39 Lấy điểm F = DE∩AB. Chọn điểm G trên AB là đối xứng với F qua DM. Do đó GM = FM Suy ra: ∆GMD ~∆FMD ⇒GDM = FDM = ΛDM. Điều này có nghĩa là: DΛ cắt AB ở G (G∈ H2) (vô lý) vì DΛ là đường giới hạn song song. Vậy ΛDM =ΩDM o Trường hợp :ΛDM >ΩDM (chứng minh tương tự).‰ 1.1.6 Định lý Góc được định nghĩa như định nghĩa 1.1.5 là góc nhọn. Chứng minh Giả sử MDΩ > 900. Gọi E là một điểm nằm trong MDΩ để cho MDE = 900. Khi đó vì DE và AB cùng vuông góc DM nên DE song song AB. Thật vậy, DE không cắt AB, trong khi DΩ là đường giới hạn song song của AB (vô lý). Do đó MDΩ ≤ 900. Nếu MDΩ = 900 ta có Hình học Euclide.‰ 1.1.7. Định lý Lobachevsky Cho một điểm D và gọi d là khoảng cách hyperbolic từ D đến AB. Khi đó góc song song θ của D và dường thẳng AB thỏa mãn e–d = tan 2 θ Chứng minh Cho đường thẳng AB và một điểm D không thuộc AB. Dựng đường thẳng qua D vuông góc với AB. Gọi R là giao điểm của AB và đường vuông góc qua D. Gọi d = d(D, R). Ta di chuyển điểm D để nó trở thành tâm của đường tròn đơn vị và di chuyển đường thẳng để đường vuông góc với AB trở thành bán kính của đường tròn đơn vị. Dựng bán kính từ D đến hai điểm vô tận A và B. Dựng tiếp tuyến của đường tròn đơn vị tại A và B, hai tiếp tuyến này cắt nhau tại Q và Q ∈ DR. Như vậy nếu r là khoảng cách Euclide từ D đến R thì ta có : d = ln r1 r1 − + GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 40 (r là khoảng cách Euclide từ R đến tâm D) (định lý 1.2.2) Hoặc ed = r1 r1 − + hoặc e–d = r1 r1 + − Bây giờ ta nói về khoảng cách Euclide (r) và sử dụng tam giác trong mặt phẳng Euclide với bán kính bằng 1, ta có: r = QD – QR = QD – QA = secQDA – tanQDA = secθ– tanθ= θ θ− cos sin1 . Như trên ta có: e–d = r1 r1 + − = θ θ−+ θ θ−− cos sin11 cos sin11 = 1sincos 1sincos +θ−θ −θ+θ . 1sincos 1sincos +θ+θ +θ+θ = 1cos2sincos 1sinsincos2cos 2 22 +θ+θ−θ −θ+θθ+θ = θ+θ θθ cos2cos2 cossin2 2 = θ+ θ cos1 sin = 2 cos2 2 cos 2 sin2 2 θ θθ = tan 2 θ .‰ 1.1.8 Định lý Các góc ở đỉnh của một tứ giác saccheri thì nhọn. Chứng minh Gọi Ω là điểm vô tận của đường thẳng AB. Ta có: EΩ và FΩ là đường giới hạn song song tại Ω . Gọi BE ≅AF. BEΩ là góc song song tạo nên bởi BE và EΩ . C F A B E Ω P R B B A D GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 41 Tương tự AFΩ là góc song song tạo nên bởi AF và FΩ . Ta lại có: BEΩ +ΩEC = AFE. Mặt khác: AFE + AFΩ +Ω FC = 1800 Thế vào ta được: BEΩ +ΩEC + BEΩ + Ω FC = 1800 (vì AFE = BEΩ +ΩEC, AFΩ = BEΩ (định lý Lobachevsky) Mà ΩEC < Ω FC Khi đó: BEΩ +ΩEC + BEΩ + ΩEC < 1800 ⇒2BEΩ + 2ΩEC < 1800 ⇒2BEF < 1800 ⇒BEF = BEΩ +ΩEC < 900 Vậy góc ở đỉnh của một tứ giác saccheri là góc nhọn‰. 1.1.9. Định lý (Tổng các góc của tam giác Hyperbolic) Tổng các góc bất kỳ tam giác Hyperbolic nào cũng bé hơn 1800. Chứng minh Ta xét 3 trường hợp. o Trường hợp 1: ABC∆ nhọn. Gọi D và E là trung điểm của AB và AC. Dựng BG, AF và CH vuông góc với DE. Ta có: BDG≅ADF (đối đỉnh) Theo định lý SAA: Trong tam giác ABC và tam giác DEF, cho AC≅DE, Aˆ ≅ Dˆ , Bˆ ≅ Eˆ thì ABC∆ ≅ DEF∆ . Ta có: BGD∆ ≅ ADF∆ . Từ đó suy ra BG≅AF (1) Tương tự ta cũng có: CHE∆ ≅ AEF∆ ⇒CH≅AF. Từ (1) và (2) suy ra: BG≅CH và BGHC là một tứ giác saccheri. Ta có: ABC +ACB +BAC = ABC + ACB + (DAF + FAE) =ABC + DBG + (ACB +ECH) = GBC + HCB. Như vậy, tổng ba góc của tam giác ABC bằng với tổng các góc ở đỉnh của môt tứ giác saccheri nên trong trường hợp tam giác ABC∆ nhọn thì tổng các góc của ABC∆ nhỏ hơn 1800. o Trường hợp 2: ABC∆ tù. Trong trường hợp này ACB là góc tù. D C A B C E F B D HG A GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 42 Vẽ đường vuông góc từ C đến AB . Đường này sẽ cắt AB ở điểm D nằm giữa A và B. Đồng thời nó cũng chia tam giác tù ABC thành hai tam giác nhọn: ACD∆ và BCD∆ . Ta có: ABC + ACB + BAC = DBC + DAC + DCA + DCB = (DBC + DCB) + (DAC + DCA) + (ADC + BDC – 1800 ) < 1800 +1800 – 1800 = 1800. o Trường hợp 3: ABC∆ vuông (chứng minh tương tự)‰. 1.1.10. Định lý Tổng của tất cả các góc nhọn của một tam giác vuông thì bé hơn 900. 1.1.11. Định lý Tổng tất cả các góc của một tứ giác saccheri bé hơn 3600. 1.1.12. Định lý Pythagorean Hyperbolic Trong tam giác vuông ABC với các cạnh a, b và cạnhh huyền c thì cosh(c) = cosh(a)cosh(b) 2. Mẫu nửa trên mặt phẳng Poincare 2.1. Các định nghĩa Trong mặt phẳng Euclide, ta hãy lấy một đường thẳng x nào đó nằm ngang. Đường thẳng x xác định hai nửa mặt phẳng, ta quy ước gọi một trong hai nửa đó là “nửa trên”. 2.1.1 . Điểm Các điểm của nửa trên gọi là các điểm phi Euclide. 2.1.2 . Đường thẳng Đường thẳng phi Euclide là các nửa vòng tròn Euclide nằm trong nửa trên và trực giao với x (nghĩa là có tâm trên x ) và cả những tia Euclide thuộc nửa trên, xuất phát từ x và tạo với x một góc vuông. 2.1.3. Phép nghịch đảo Cho một vòng tròn (S) tâm O, bán kính r và một điểm M bất kỳ trong mặt phẳng. M' MO GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 43 Nếu M không trùng với O thì ứng với nó bao giờ cũng có một điểm M’ duy nhất nằm trên tia OM và xác định bởi điều kiện: OM’.OM = r2. Điểm M’ gọi là biến điểm của M trong phép nghịch đảo đối với vòng tròn (S), hay gọi tắt là điểm nghịch đảo của M. Ngoài ra, ta quy ước gọi M’ là nghịch đảo của M đối với một đường thẳng u nếu M’ đối xứng với M qua u. * Các tính chất của phép nghịch đảo Nếu M’ là nghịch đảo của M thì M là nghịch đảo của M’. Vậy phép nghịch đảo trùng với phép biến hình đảo ngược. + Trong phép nghịch đảo các điểm ở ngoài vòng tròn (S) biến thành những điểm ở trong, và các điểm ở trong thành những điểm ở ngoài. + Mỗi điểm của (S) trùng với điểm ngịch đảo của nó. + Hình nghịch đảo của một vòng tròn là một vòng tròn. + Nếu trong một phép biến hình tạo nên bởi tích của một số chẵn những phép nghịch đảo ta có ba điểm bất biến (nghĩa là mỗi điểm biến thành chính nó) thì phép biến hình đó là một phép biến hình đồng nhất. + Trong một phép biến hình tạo nên bởi tích của một số lẻ những phép nghịch đảo,nếu ta có ba điểm bất biến thì phép biến hình đó là một phép nghịch đảo đối với vòng tròn đi qua ba điểm đó. + Nếu hai vòng tròn cắt nhau thì các góc của chúng bao giờ cũng bằng góc tạo nên bởi các hình nghịch đảo của chúng trong bất cứ phép nghịch đảo nào. 2.1.4. Góc Góc là tập hợp hai tia phi Euclide cùng xuất phát từ một điểm. 2.1.5. Sự bằng nhau của các đoạn thẳng và các góc trong mẫu nửa trên mặt phẳng Poincare Bây giờ ta định nghĩa khái niệm “ở giữa” trên một đường thẳng phi Euclide: Cho 3 điểm A, B, C trên một đường thẳng phi Euclide (biểu diễn bằng một nửa vòng tròn a). Ta nói rằng điểm B ở giữa (theo nghĩa phi Euclide) A và C nếu B ở giữa A và C (theo nghĩa Euclide) trên nửa vòng tròn a, nói cách khác, thứ tự các điểm trên đường thẳng phi Euclide trùng với thứ tự các điểm trên nửa vòng tròn Euclide biểu diễn đường thẳng đó. Trong trường hợp mà nửa vòng tròn biểu diễn đường thẳng phi Euclide không suy biến thành một tia Euclide thì ta có thể xác định thứ tự các điểm trên một đường thẳng phi Euclide như sau: GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 44 C'B'A' A C Giả sử một nửa vòng tròn a, tâm O (O không phải là một điểm phi Euclide nào đó biểu diễn một đường thẳng phi Euclide). Ta hãy lấy một đường thẳng Euclide u song song với x. Mọi đường thẳng Euclide đi qua O (trừ x) đều cắt nửa vòng tròn a ở một điểm M, và đường thẳng u ở một điểm M’ mà ta gọi là điểm tương ứng của M. Như thế thì trong 3 điểm A, B, C trên đường thẳng phi Euclide biểu diễn nửa vòng tròn a, điểm B sẽ ở giữa (theo nghĩa phi Euclide) A và C. Khi đó 3 điểm A’, B’, C’ tương ứng trên đường thẳng Euclide u, điểm B’ ở giữa A’ và C’. Theo định nghĩa đó thì thứ tự các điểm trên đường thẳng phi Euclide trùng với thứ tự các điểm trên nửa vòng tròn Euclide biểu diễn đường thẳng phi Euclide đó. Vì vậy, một đoạn thẳng phi Euclide AB được biểu diễn bởi cung có các đầu mút ở A và B của nửa vòng tròn, một tia Euclide xuất phát từ một điểm O được biểu diễn bởi cung OX mà đầu mút X nằm trên đường thẳng x ( X không kể là một điểm của tia phi Euclide). • Sự bằng nhau của các đoạn thẳng và các góc trong mẫu nửa trên Poincare. Ta quy ước chỉ xét những phép nghịch đảo đối với những vòng tròn trực giao với đường thẳng x. Với những phép nghịch đảo như thế thì các điểm nằm trong nửa mặt phẳng trên đều biến thành những điểm của nửa đó. • Ta nói rằng một đoạn phi Euclide AB bằng một đoạn phi Euclide A’B’ nếu có một dãy phép nghịch đảo sao cho tích của chúng biến cung tròn Euclide AB thành cung tròn Euclide A’B’. • Cũng như vậy, góc phi Euclide (h, k) sẽ gọi là bằng góc phi Euclide (h’, k’) nếu có một dãy phép nghịch đảo sao cho tích của chúng biến các cạnh của góc thứ nhất thành các cạnh của góc thứ hai. Chú ý : Các góc bằng nhau theo định nghĩa trên cũng không bằng nhau theo nghĩa mà ta vẫn hiểu trong Hình học Euclide đối với các góc cong. Trái lại các cung tròn biểu diễn các đoạn phi Euclide bằng nhau hoàn toàn không bằng nhau theo nghĩa Euclide vì phép nghịch đảo giữ nguyên góc chứ không giữ nguyên kích thước hình. + Mệnh đề Một phép nghịch đảo về phương diện phi Euclide chính là phép đối xứng đối với một đường thẳng X O A B B x u x GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 45 Chứng minh Giả sử AB là một cung tròn biểu diễn một đoạn thẳng phi Euclide. Gọi S là giao điểm của đường thẳng Euclide AB với x (giả thiết là chúng cắt nhau). Vẽ tiếp tuyến SC của cung AB. Ta có: SA.SC = SC2. Nên phép nghịch đảo đối với nửa vòng tròn u tâm S, bán kính SC sẽ biến A thành B, và biến B thành A, còn C thì bất biến. Vậy cung AB biến thành chính nó, cung AC thành cung BC, cung BC thành cung AC. Vì hai cung AC và BC là nghịch đảo của nhau nên chúng biểu diễn hai đoạn phi Euclide bằng nhau. Nói cách khác C là trung điểm của đoạn phi Euclide AB. Ta lại có: AB trực giao với nửa vòng tròn u. Vậy u biểu diễn đường trung trực của đoạn phi Euclide AB, hay A và B là đối xứng của nhau (theo nghĩa phi Euclide) đối với đường thẳng phi Euclide biểu diễn bởi u. Bây giờ ta xét một vài sự kiện trong Hình học Lobachevsky thể hiện ra trên nửa mặt phẳng Euclide : Cho một đường thẳng phi Euclide dưới dạng một nửa vòng tròn a trực giao x, và một điểm A nằm ngoài a. Các đường thẳng phi Euclide đi qua A không cắt đường thẳng đã cho được biểu diễn bằng nửa vòng tròn đi qua A trực giao với x, và không cắt nửa vòng tròn a. Trong tất cả các đường đó phải có hai giới tuyến gọi là hai đường song song với đường đã cho theo hai hướng của đường này. Trên hình vẽ, các đường song song được biểu diễn bởi hai nửa vòng tròn b1 và b2 tiếp xúc với nửa vòng tròn a ở hai đầu mút X1 và X2. Vì các điểm Euclide trên đường thẳng x, không kể là những điểm phi Euclide nên ta phải xem các đường thẳng phi Euclide b1, b2 như là không có điểm chung với đường thẳng phi Euclide a Qua A ta vẽ nửa vòng tròn trực giao với x, và cắt nửa vòng tròn a ở P dưới một góc vuông. Cung AP biểu diễn đường vuông góc phi Euclide hạ từ A xuống đường thẳng phi Euclide a, góc mà nó tạo nên với cung b1 chính là góc song song đối với đoạn thẳng AP. Trong Hình học Lobachevsky, AP là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng phi Euclide b1 và b2 (suy ra được từ phép nghịch đảo). Tuy nhiên, trong Hình học Euclide, sự bằng nhau của hai góc tạo bởi cung AP với hai cung b1 và b2 phải chứng minh khá vất vả. c P X1 X2 x a b1 b2 A X C B uA S GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 46 Vì vậy, ta có thể chứng minh một số định lý của Hình học Euclide nhờ vào hình học phi Euclide. Chẳng hạn định lý sau đây của hình học Euclide “Nếu một tam giác có ba cạnh là ba cung tròn thuộc ba vòng tròn có tâm thẳng hàng thì tổng các góc của tam giác đó nhỏ hơn hai vuông” là tương ứng với định lý: “Tổng các góc của một tam giác nhỏ hơn hai vuông” của hình học phi Euclide. Sau khi đã xây dựng xong các đối tượng cơ bản của mẫu nửa trên mặt phẳng Poincare ta kiểm tra lại các tiên đề của Hình học Hyperbolic thì thấy mẫu nửa trên mặt phẳng Poincare thỏa mãn các tiên đề, cụ thể: + Tiên đề 1: Qua hai điểm ở nửa trên mẫu Poincare ta có thể vẽ duy nhất nửa đường tròn. + Tiên đề 2: Một đường thẳng có thể kéo dài ra vô tận. Thật vậy, vì luôn tồn tại một nửa đường tròn hoặc một đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ trong mặt phẳng . + Tiên đề 3: Từ các định nghĩa ta suy ra rằng có thể vẽ một nửa đường tròn từ một điểm và một bán kính bất kỳ. (căn cứ vào số đo khoảng cách, ta có thể vẽ nửa đường tròn). + Tiên đề 4: Ta biết phép đẳng cự bảo tồn số đo góc Euclide, mà định nghĩa số đo góc trong không gian Hyperbolic giống như số đo góc Euclide cho nên bất cứ hai góc vuông nào cũng bằng nhau. + Tiên đề 5: Cho bất kỳ đường l nào và một điểm P∉l thì qua P có ít nhất hai đường l1 và l2 không cắt l. KẾT LUẬN Sau một thời gian làm việc và nghiên cứu với sự hướng dẫn của cô Phạm Thị Thu Hoa, tôi đã thực hiện khá hoàn chỉnh đề tài nghiên cứu của mình. Khoá luận này tôi trình bày những vấn đề về Hình học phi Euclide, những lý thuyết cơ bản về Hình học giả Euclide, Hình học Lobachevsky, Và những mẫu trên mặt GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 47 phẳng Lobachevsky, đó là mẫu đĩa Poincare và mẫu nửa trên mặt phẳng Poincare. Do sự hạn chế về thời gian và khả năng nghiên cứu nên việc hoàn thành đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế nhất định, kính mong quý thầy cô và các bạn góp ý kiến chỉ bảo. Tôi chân thành cảm ơn !. Long Xuyên, tháng 5 năm 2008 Tác giả TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương, Hình Học Xạ Ảnh, NXBGD 1999. [2] Văn Như Cương – Kiều Huy Luân, Hình Học Cao Cấp, NXBGD 1976 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 48 [3] Nguyễn Cảnh Toàn, Hình Học Cao Cấp, NXBGD 1979 [4] Văn Như Cương, Hình Học Cao Cấp, NXB Đại Học Sư Phạm 2005 [5] Nguyễn Đăng Phất, Bài Tập Hình Học Cao Cấp Tập I – Cơ Sở Hình Học, NXBGD 1964. [6] Nguyễn Cảnh Toàn, Hình Học Cao Cấp Phần thứ I – Cơ Sở Hình Học, NXBGD 1962. [7] C.Royster, Non–Euclidean Geometry, Course Spring 2002.