Mục lục
Chương 1. Các bất đẳng thức trong tam giác và tứ giác 6
1.1. Các bất đẳng thức đại số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Các đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản trong tam giác . 8
1.2.1. Các đẳng thức cơ bản trong tam giác . . . . . . . 8
1.2.2. Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác . . . . . 10
1.3. Bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1. Bất đẳng thức về độ dài các cạnh . . . . . . . . . 11
1.3.2. Bất đẳng thức về các đại lượng đặc biệt . . . . . 14
1.4. Các bất đẳng thức sinh ra từ các công thức hình học . . 17
1.5. Bất đẳng thức trong các tam giác đặc biệt . . . . . . . . 23
1.5.1. Các bất đẳng thức trong tam giác đều . . . . . . 23
1.5.2. Các bất đẳng thức trong tam giác vuông và tamgiác cân
1.6. Các bất đẳng thức khác trong tam giác . . . . . . . . . . 29
1.7. Các bất đẳng thức trong tứ giác . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7.1. Các bất đẳng thức cơ bản trong tứ giác . . . . . . 41
1.7.2. Các bất đẳng thức khác trong tứ giác . . . . . . . 45
Chương 2. Bất đẳng thức Ptolemy và các mở rộng 48
2.1. Định lí Ptolemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2. Bất đẳng thức Ptolemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3. Định lí Bretschneider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4. Định lí Casey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5. Mở rộng bất đẳng thức Ptolemy trong không gian . . . . 682
Chương 3. Bất đẳng thức Erdos-Mordell và các mở rộng 70
3.1. Bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tam giác . . . . . . . 70
3.2. Bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tam giác mở rộng . . 79
3.3. Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tứ giác . . . 85
3.4. Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong đa giác . . . 87
3.5. Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tứ diện . . . 90
Chương 4. Các bất đẳng thức có trọng 92
4.1. Bất đẳng thức dạng Hayashi và các hệ quả . . . . . . . . 92
4.1.1. Bất đẳng thức Hayashi . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.2. Các hệ quả của bất đẳng thức hyashi . . . . . . . 94
4.1.3. Bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2. Bất đẳng thức Weizenbock suy rộng và các hệ quả . . . 96
4.2.1. Bất đẳng thức Weizenbock suy rộng . . . . . . . 96
4.2.2. Các hệ quả của bất đẳng thức Weizenbock suy rộng101
4.3. Bất đẳng thức Klamkin và các hệ quả . . . . . . . . . . 105
4.3.1. Bất đẳng thức Klamkin . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3.2. Các hệ quả của bất đẳng thức Klamkin . . . . . . 106
4.4. Bất đẳng thức Jian Liu và các hệ quả . . . . . . . . . . 108
4.4.1. Bất đẳng thức Jian Liu . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4.2. Các hệ quả của bất đẳng thức Jian Liu . . . . . . 110
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
120 trang |
Chia sẻ: maiphuongtl | Lượt xem: 2117 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Một số bất đẳng thức hình học, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
R1 +R2 +R3 ≥
2 (r1 + r2 + r3).
Định lý 3.3. Cho P là một điểm tùy ý nằm trong tam giác ABC. Khi
đó với mọi số thực x, y, z ≥ 0 bất đẳng thức sau luôn đúng
R1x
2 +R1y
2 +R3z
2 ≥ 2 (r1yz + r2zx+ r3xy) .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều, P là trực tâm và
x = y = z.
Chứng minh. Với P là điểm nằm trong tam giác ABC, theo (3.2), (3.3)
và (3.4) ta có các bất đẳng thức
R1x
2 ≥ r2 c
a
x2 + r3
b
a
x2, R2y
2 ≥ r3a
b
y2 + r1
c
b
y2, R3z
2 ≥ r1b
c
z2 + r2
a
c
z2.
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, sau đó áp dụng bất đẳng thức
AM −GM ta được
R1x
2 +R2y
2 +R3z
2 ≥ r1
(
c
b
y2 +
b
c
z2
)
+ r2
(a
c
z2 +
c
a
x2
)
+ r3
(
a
b
y2 +
b
a
x2
)
≥ 2 (r1yz + r2zx+ r3xy) .
Sau đây ta sẽ mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell đối với hai điểm
tùy ý nằm trong tam giác, để có kết quả đó trước hết ta xét các bổ đề
sau.
www.VNMATH.com
81
Bổ đề 3.2. Với mọi số thực x1, x2, x3, y1, y2, y3 thỏa mãn x1x2 + x2x3 +
x3x1 ≥ 0 và y1y2 + y2y3 + y3y1 ≥ 0 ta luôn có bất đẳng thức sau
(x2 + x3) y1 + (x3 + x1) y2 + (x1 + x2) y3
≥ 2
√
(x1x2 + x2x3 + x3x1) (y1y2 + y2y3 + y3y1)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x1
y1
=
x2
y2
=
x3
y3
.
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được
(x2 + x3) y1 + (x3 + x1) y2 + (x1 + x2) y3
=(x1 + x2 + x3) (y1 + y2 + y3)− (x1y1 + x2y2 + x3y3)
=
√[
x21 + x
2
2 + x
2
3 + 2 (x1x2 + x2x3 + x3x1)
] [
y21 + y
2
2 + y
2
3 + 2 (y1y2 + y2y3 + y3y1)
]
− (x1y1 + x2y2 + x3y3)
≥2
√
(y1y2 + y2y3 + y3y1) (x1x2 + x2x3 + x3x1) +
√(
x21 + x
2
2 + x
2
3
) (
y21 + y
2
2 + y
2
3
)
− (x1y1 + x2y2 + x3y3)
≥2
√
(y1y2 + y2y3 + y3y1) (x1x2 + x2x3 + x3x1).
Bổ đề 3.3. Cho tam giác ABC và x, y, z là các số thực dương. Bất đẳng
thức sau luôn đúng
x sinA+ y sinB + z sinC ≤ 1
2
(xy + yz + zx)
√
x+ y + z
xyz
. (3.19)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z và ABC là tam giác đều.
Chứng minh. Trước hết ta có
x2 + y2 + z2 + 2yz cos 2A+ 2zx cos 2B + 2xy cos 2C ≥ 0. (3.20)
Vì x2 + y2 + z2 + 2yz cos 2A + 2zx cos 2B + 2xy cos 2C =
(x+ z cos 2B + y cos 2C)2 + (z sin 2B − y sin 2C)2 ≥ 0.
Trong (3.20) thay (x, y, z) bằng
(
1
x
,
1
y
,
1
z
)
, ta được bất đẳng thức
x cos 2A+ y cos 2B + z cos 2C ≥ −1
2
(
yz
x
+
zx
y
+
xy
z
)
. (3.21)
www.VNMATH.com
82
Thay cos 2A = 1− 2 sin2A, cos 2B = 1− 2 sin2B, cos 2C = 1− 2 sin2C
vào (3.21), ta được
2
(
xsin2A+ ysin2B + zsin2C
) ≤ x+ y + z + 1
2
(
yz
x
+
zx
y
+
xy
z
)
hay
xsin2A+ ysin2B + zsin2C ≤ (yz + zx+ xy)
2
4xyz
. (3.22)
Bây giờ, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và sử dụng (3.22), ta
được
(x sinA+ y sinB + z sinC)2 ≤ (xsin2A+ ysin2B + zsin2C) (x+ y + z)
≤(yz + zx+ xy)
2
4xyz
(x+ y + z) .
Suy ra x sinA+ y sinB + z sinC ≤ 1
2
(yz + zx + xy)
√
x+ y + z
xyz
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x+ z cos 2B + y cos 2C = 0
z sin 2B − y sin 2C = 0
sinA = sinB = sinC
⇔
{
x = y = z
A = B = C
⇔
{
x = y = z
∆ABC đều.
Bổ đề 3.4. Cho tam giác ABC và điểm P tùy ý trong nó, ta luôn có
bất đẳng thức√
abr1r2 + bcr2r3 + car3r1 ≥ 2 (r1r2 + r2r3 + r3r1) . (3.23)
Chứng minh. Đặt x = [PBC] , y = [PCA] , z = [PAB], ta có
x
x+ y + z
=
[PBC]
[ABC]
=
r1a
bc sinA
=
2r1
bc
.
a
2 sinA
=
2Rr1
bc
.
Suy ra r1 =
bc
2R
.
x
x+ y + z
.
Tương tự r2 =
ca
2R
.
y
x+ y + z
, r3 =
ab
2R
.
z
x+ y + z
.
Do đó bất đẳng thức (3.23) tương đương với
abc
2R(x+ y + z)
√
xy + yz + zx ≥ abc
R(x+ y + z)2
(
a
2R
yz +
b
2R
zx+
c
2R
xy
)
www.VNMATH.com
83
hay
1
2
(x+ y + z)
√
xy + yz + zx ≥ yz sinA+ zx sinB + xy sinC. (3.24)
Bất đẳng thức (3.24) suy ra từ bổ đề 3.3 bằng cách thay (x, y, z) bằng(
1
x ,
1
y ,
1
z
)
. Hoàn thành chứng minh bổ đề 3.4.
Định lý 3.4. Cho P,Q là hai điểm tùy ý nằm trong tam giác ABC.
Gọi R1, R2, R3 và r1, r2, r3 lần lượt là các khoảng cách từ P tới các đỉnh
A,B,C và các cạnh BC,CA,AB. Đối với điểm Q định nghĩa D1, D2, D3
và d1, d2, d3 một cách tương tự. Khi đó ta có các bất đẳng thức sau.
R1D1 +R2D2 +R3D3 ≥ 4 (r1r2 + r2r3 + r3r1) , (3.25)
R1D1 +R2D2 +R3D3 ≥ 4 (d1d2 + d2d3 + d3d1) . (3.26)
Chứng minh.
Hình 3.9
Theo các bất đẳng thức (3.2), (3.3), (3.4), bổ đề 3.2, bổ đề 3.4 và định
lí 4.1 ta có
R1D1 +R2D2 +R3D3 = aR1.
D1
a
+ bR2.
D2
b
+ cR3.
D3
c
≥ (cr2 + br3) D1
a
+ (ar3 + cr1)
D2
b
+ (br1 + ar2)
D3
c
≥2
√
(abr1r2 + bcr2r3 + ca3r1)
(
D1D2
ab
+
D2D3
bc
+
D3D1
ca
)
≥2
√
abr1r2 + bcr2r3 + car3r1
≥4 (r1r2 + r2r3 + r3r1) .
www.VNMATH.com
84
Bất đẳng thức (3.25) được chứng minh. Còn bất đẳng thức (3.26) được
chứng minh tương tự.
Hệ quả 3.2. Với mọi tam giác ABC và hai điểm trong nó P,Q, ta có
R1D1 +R2D2 +R3D3 ≥ 4
√
(r1r2 + r2r3 + r3r1) (d1d2 + d2d3 + d3d1).
(3.27)
Chứng minh. Cộng theo vế hai bất đẳng thức (3.25) và (3.26), sau đó áp
dụng bất đẳng thức AM −GM , ta thu được bất đẳng thức (3.27).
Định lý 3.5. Cho tam giác ABC bất kỳ với độ dài các cạnh là a, b, c
và P là điểm nằm trong tam giác. Kí hiệu R1, R2, R3 là khoảng cách từ
P tương ứng đến các đỉnh A,B,C và r1, r2, r3 tương ứng là khoảng cách
từ P đến các cạnh BC,CA,AB. Với mọi số thực α ∈ [0, 1] ta luôn có
Rα1 +R
α
2 +R
α
3 ≥ 2α (rα1 + rα2 + rα3 ) .
Trước hết ta xét bổ đề sau:
Bổ đề 3.5. Với mọi số dương x, y và với mọi số thực α thỏa mãn 0 <
α ≤ 1 ta có
(x+ y)α ≥ 2α−1 (xα + yα) . (3.28)
Chứng minh. Ta có bất đẳng thức (3.28) tương đương với(
x
y
+ 1
)α
≥ 2α−1
((
x
y
)α
+ 1
)
. (3.29)
Đặt t =
x
y
> 0, bất đẳng thức (3.29) trở thành (t+ 1)α ≥ 2α−1 (tα + 1) .
Xét f(t) = (t+ 1)α− 2α−1 (tα + 1), t > 0. Ta chỉ cần xét với 0 < α < 1
(vì nếu α = 1 thì (3.28) hiển nhiên đúng).
Ta có f ′(t) = α (t+ 1)
α−1 − αtα−12α−1 = α
[
(t+ 1)α−1 − (2t)α−1
]
.
f ′(t) = 0⇔ t = 1.
Từ bảng xét dấu suy ra f(t) ≥ 0, với mọi t > 0. Vậy bổ đề được chứng
minh.
Bây giờ ta chứng minh định lý 3.5: Áp dụng (3.2) và bổ đề (3.5) ta
có Rα1 ≥
(
r2c
a +
r3b
a
)α ≥ 2α−1 [(r2ca )α + (r3ba )α] ,
www.VNMATH.com
85
Hình 3.10 Bảng xét dấu
tương tự Rα2 ≥ 2α−1
[(
r3a
b
)α
+
(
r1c
b
)α]
, Rα3 ≥ 2α−1
[(
r1b
c
)α
+
(
r2a
c
)α]
.
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, sau đó áp dụng bất đẳng thức
AM −GM ta được
Rα1 +R
α
2 +R
α
3 ≥2α−1
[(r1c
b
)α
+
(
r1b
c
)α]
+ 2α−1
[(r2c
a
)α
+
(r2a
c
)α]
+
+2α−1
[(r3a
b
)α
+
(
r3b
a
)α]
≥ 2α (rα1 + rα2 + rα3 ) .
3.3. Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tứ giác
Định lý 3.2 cho ta ý tưởng xây dựng bất đẳng thức Erdos-Mordell mở
rộng trong tứ giác
Bổ đề 3.6. Giả sử x1, x2, x3, x4, θ1, θ2, θ3, θ4, là các số thực tùy ý và
θ1 + θ2 + θ3 + θ4 = pi. Khi đó ta có bất đẳng thức
√
2 (x1x2 cos θ1 + x2x3 cos θ2 + x3x4 cos θ3 + x4x1 cos θ4) ≤ x21 + x22 + x23 + x24.
(3.30)
Chứng minh. Từ nhận xét θ1+θ2+(θ3 + θ4) = pi và θ3+θ4+(θ1 + θ2) = pi,
áp dụng bổ đề 3.1 ta được
x1√
2
x2 cos θ1 + x2
x3√
2
cos θ2 +
x1√
2
x3√
2
cos (θ3 + θ4) ≤ 1
2
(
x21
2
+ x22 +
x23
2
)
,
x3√
2
x4 cos θ3 + x4
x1√
2
cos θ4 +
x3√
2
x1√
2
cos (θ1 + θ2) ≤ 1
2
(
x23
2
+ x24 +
x21
2
)
.
Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên, với lưu ý rằng cos (θ3 + θ4) +
cos (θ1 + θ2) = 0, ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
www.VNMATH.com
86
Định lý 3.6. Tứ giác lồi ABCD, P là một điểm nằm trong nó.
Kí hiệu R1, R2, R3, R4 lần lượt là khoảng cách từ P tới các đỉnh
A,B,C,D và l1, l2, l3, l4 độ dài các đường phân giác của các góc
ÂPB, B̂PC, ĈPD, D̂PA, tương ứng. Khi đó
R1 +R2 +R3 +R4 ≥
√
2 (l1 + l2 + l3 + l4) . (3.31)
Chứng minh. Đặt ÂPB = 2α, B̂PC = 2β, ĈPD = 2γ, D̂PA = 2δ, ta có
α + β + γ + δ = pi.
Hình 3.11
Sử dụng công thức đường phân giác
và bất đẳng thức AM −GM ta có
l1 =
2R1R2
R1 +R2
cosα ≤
√
R1R2 cosα,
l2 =
2R2R3
R2 +R3
cos β ≤
√
R2R3 cos β,
l3 =
2R3R4
R3 +R4
cos γ ≤
√
R3R4 cos γ,
l4 =
2R4R1
R4 +R1
cos δ ≤
√
R4R1 cos δ.
Từ 4 bất đẳng thức trên và áp dụng
bổ đề 3.6 ta có
√
2 (l1 + l2 + l3 + l4) ≤
√
2(
√
R1R2 cosα +
√
R2R3 cos β+
+
√
R3R4 cos γ+
√
R4R1 cos δ) ≤ R1 +R2 +R3 +R4.
Chú ý 3.2. Ta luôn có l1 ≥ r1, l2 ≥ r2, l3 ≥ r3, l4 ≥ r4 trong đó
r1, r2, r3, r4 lần lượt là khoảng cách từ P tới các cạnh AB,BC,CD,DA
của tứ giác lồi ABCD. Do đó, từ bất đẳng thức (3.31) ta có
R1 +R2 +R3 +R4 ≥
√
2 (r1 + r2 + r3 + r4) . (3.32)
Bất đẳng thức (3.32) được xem là bất đẳng thức Erdos - Mordell
trong tứ giác.
www.VNMATH.com
87
3.4. Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong đa giác
Bổ đề 3.7. Với mọi dãy số thực x1, x2, · · · , xn ta luôn có
cos
pi
n
n∑
k=1
x2k −
n−1∑
k=1
xkxk+1 + x1xn =
=
n−2∑
k=1
1
2 sin kpin sin
(k+1)pi
n
(
sin
(k + 1) pi
n
xk − sin kpi
n
xk+1 + sin
pi
n
xn
)2
.
Chứng minh. Bằng cách so sánh các hệ số của x2k và xkxk+1. Chẳng hạn,
hệ số của x2k là
sin (k+1)pin
2 sin kpin
+
sin (k−1)pin
2 sin kpin
=
2 sin kpin cos
pi
n
2 sin kpin
= cos
pi
n
,
với k = 2, 3, · · · , n− 2 và hệ số của x21 là
sin 2pin
2 sin pin
= cos pin , hệ số của x
2
n−1
là
sin (n−2)pin
2 sin (n−1)pin
=
sin 2pin
2 sin pin
= cospin và hệ số của x
2
n là
n−2∑
k=1
sin2 pin
2 sin kpin sin
(k+1)pi
n
=
n−2∑
k=1
sin pin
2
(
cot
kpi
n
− cot (k + 1) pi
n
)
=
sin pin
2
(
cot
pi
n
− cot (n− 1) pi
n
)
= cos
pi
n
.
Hệ số của xkxk+1 là
− sin (k+1)pin sin kpin
2 sin kpin sin
(k+1)pi
n
= −1 với k = 1, 2, · · · , n−2 và hệ
số của xn−1xn là
−2 sin (n−2)pin sin pin
2 sin (n−2)pin sin
(n−1)pi
n
=
− sin pin
sin pin
= −1. Hệ số của x1xn
là
2 sin 2pin sin
pi
n
2 sin pin sin
2pi
n
= 1 và hệ số của xkxn với k = 2, 3, · · · , n− 2 là
n−2∑
k=2
2 sin (k+1)pin sin
pi
n
2 sin kpin sin
(k+1)pi
n
−
n−3∑
k=1
2 sin kpin sin
pi
n
2 sin kpin sin
(k+1)pi
n
=
n−2∑
k=2
sin pin
sin kpin
=
n−3∑
k=2
sin pin
sin (k+1)pin
= 0.
www.VNMATH.com
88
Hệ quả 3.3. Với mọi dãy số thực x1, x2, · · · , xn ta luôn có
cos
pi
n
n∑
k=1
x2k −
n−1∑
k=1
xkxk+1 + x1xn ≥ 0. (3.33)
Chứng minh. Vì sin kpin > 0, sin
(k+1)pi
n > 0 với mọi k = 1, 2, · · · , n nên
n−2∑
k=1
1
2 sin kpin sin
(k+1)pi
n
(
sin
(k + 1) pi
n
xk − sin kpi
n
xk+1 + sin
pi
n
xn
)2
≥ 0.
Từ bất đẳng thức trên và bổ đề 3.7 được bất đẳng thức (3.33)
Bổ đề 3.8. (Wolstenholme-Lenhard) Với mọi dãy số thực
R1, R2, · · · , Rn,Rn+1 = R1 và mọi dãy θ1, θ2, · · · , θn thỏa mãn
n∑
k=1
θk = (2r + 1) pi, r ∈ N, bất đẳng thức sau luôn đúng
cos
pi
n
n∑
k=1
R2k ≥
n∑
k=1
RkRk+1 cos θk. (3.34)
Chứng minh. Áp dụng hệ quả 3.3, tương tự ta có
cos
pi
n
n∑
k=1
y2k −
n−1∑
k=1
ykyk+1 + y1yn ≥ 0. (3.35)
với mọi dãy số thực y1, y2, · · · , yn.
Đặt xk = Rk cos βk và yk = Rk sin βk trong đó Rk ∈ R và βk ∈ R .
Cộng theo vế hai bất đẳng thức (3.33) và (3.35) ta được
cos
pi
n
n∑
k=1
R2k −
n−1∑
k=1
RkRk+1 [cosβkcosβk+1 + sin βk sin βk+1]
+R1Rn [cosβ1cosβn + sin β1 sin βn] ≥ 0
hay cos pin
n∑
k=1
R2k −
n−1∑
k=1
RkRk+1 cos (βk − βk+1) +R1Rncos (β1 − βn) ≥ 0.
Đặt βk − βk+1 = θk với k = 1, 2, · · · , n − 1 và β1 − βn = (2r + 1) pi −
θn, r ∈ N ta được bất đẳng thức cos pi
n
n∑
k=1
R2k ≥
n∑
k=1
RkRk+1 cos θk, trong
đó Rk ∈ R, θk ∈ R và
n∑
k=1
θk = (2r + 1) pi, r ∈ N.
www.VNMATH.com
89
Định lý 3.7. (Bất đẳng thức Erdos-Mordell cho đa giác) Cho
A1A2 · · ·An, (n ≥ 3) là đa giác lồi và P là một điểm tùy ý nằm
trong nó. Gọi R1, R2, · · · , Rn lần lượt là khoảng cách tù P tới các đỉnh
A1, A2, · · · , An và r1, r2, · · · , rn lần lượt là khoảng cách từ điểm P tới
các cạnh A1A2, A2A3, · · · , AnA1. Ta luôn có bất đẳng thức
n∑
k=1
Rk ≥ 1
cos
pi
n
n∑
k=1
rk, (3.36)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A1A2 · · ·An là đa giác đều và P là tâm
của nó.
Chứng minh. Gọi l1, l2, · · · , ln lần lượt là độ dài các đường phân giác
của các góc Â1PA2, Â2PA3, · · · , ÂnPA1. Đặt Â1PA2 = 2θ1, Â2PA3 =
2θ2, · · · , ÂnPA1 = 2θn, ta có θ1 + θ2 + · · ·+ θn = pi.
Theo công thức đường phân giác và bất đẳng thức AM −GM ta có
l1 =
2R1R2
R1 +R2
cos θ1 ≤
√
R1R2 cos θ1,
l2 =
2R2R3
R2 +R3
cos θ2 ≤
√
R2R3 cos θ2,
........................................................
ln =
2RnR1
Rn +R1
cos θn ≤
√
R4R1 cos θn.
Từ n bất đẳng thức trên và áp dụng bổ đề 3.8 ta có
1
cos
1
n
n∑
k=1
lk ≤ 1
cos
1
n
n∑
k=1
√
RkRk+1. cos θk ≤
n∑
k=1
Rk.
Vì l1 ≥ r1, l2 ≥ r2, · · · , ln ≥ rn nên từ bất đẳng thức trên, ta có
n∑
k=1
Rk ≥ 1
cos
pi
n
n∑
k=1
rk.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A1A2 · · ·An là đa giác đều và P là tâm
của nó.
www.VNMATH.com
90
3.5. Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tứ diện
Bài toán 3.9. Cho tứ diện ABCD và P là một điểm tùy ý nằm
trong nó. Gọi d1, d2, d3, d4 lần lượt là khoảng cách từ P đến các đỉnh
A,B,C,D và h1, h2, h3, h4 lần lượt là khoảng cách từ điểm P đến các
mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC). Chứng minh rằng
d1 + d2 + d3 + d4 ≥ 2
(√
h1h2 +
√
h1h3 +
√
h1h4 +
√
h2h3 +
√
h2h4 +
√
h3h4
)
. (3.37)
Giải. Gọi
Hình 3.12
ha là độ dài đường cao của tứ
diện hạ từ đỉnh A xuống mặt đáy
BCD. S1, S2, S3, S4 lần lượt là
diện tích của các tam giác BCD,
CDA,DAB, ABC. V1, V2, V3, V4,
V lần lượt là thể tích của các khối
tứ diện PBCD, PCDA, PDAB,
PABC, ABCD.
Ta có d1 + h1 ≥ ha ⇒ d1S1 +
h1S1 ≥ haS1 ⇒ d1S1 + 3V1 ≥
3V = 3 (V1 + V2 + V3 + V4) ⇒
d1S1 ≥ 3V2 + 3V3 + 3V4 = h2S2 +
h3S3 + h4S4 ⇒ d1 ≥ h2S2
S1
+ h3
S3
S1
+ h4
S4
S1
. Tương tự d2 ≥ h1S1
S2
+ h3
S3
S2
+
h4
S4
S2
, d3 ≥ h1S1
S3
+ h2
S3
S3
+ h4
S4
S3
, d4 ≥ h1S1
S4
+ h2
S3
S4
+ h4
S3
S4
.
Cộng theo vế 4 bất đẳng thức trên và áp dụng bất đẳng thức AM−GM
được
d1 + d2+d3 + d4 ≥
(
h1
S1
S2
+ h2
S2
S1
)
+
(
h1
S1
S3
+ h3
S3
S1
)
+
(
h1
S1
S4
+ h4
S4
S1
)
+
(
h2
S2
S3
+ h3
S3
S2
)
+
(
h2
S2
S4
+ h4
S4
S2
)
+
(
h3
S3
S4
+ h4
S4
S3
)
.
≥2
(√
h1h2 +
√
h1h3 +
√
h1h4 +
√
h2h3 +
√
h2h4 +
√
h3h4
)
Nhận xét 3.2. Đặc biệt hóa điểm P và tứ diện ABCD ta thu được các
kết quả sau:
www.VNMATH.com
91
+ Nếu P ≡ I (I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD) thì từ (3.37)
ta có
d1 + d2 + d3 + d4 ≥ 12r, (3.38)
trong đó r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện.
+ Nếu ABCD là tứ diện gần đều (AB = CD,BC = AD,AC = BD)
có diện tích một mặt là S thì từ (3.37) ta có
d1 + d2 + d3 + d4 ≥ 3h, (3.39)
trong đó h là chiều cao của tứ diện gần đều ABCD.
+ Nếu ABCD là tứ diện đều, cạnh a thì từ (3.39) ta có
d1 + d2 + d3 + d4 ≥ a
√
6. (3.40)
+ Nếu ABCD là tứ diện vuông tại A (tức là AB⊥AC, AB⊥AD,
AC⊥AD) và P ≡ I thì d1 = IA =
√
3r kết hợp với (3.38) ta được
d2 + d3 + d4 ≥
(
12−
√
3
)
r. (3.41)
www.VNMATH.com
92
Chương 4
Các bất đẳng thức có trọng
Chương này trình bày một số bất đẳng thức có trọng và làm đặc biệt
hóa để thu được các bất đẳng thức hình học mới liên quan đến khoảng
cách từ một điểm nằm trong tam giác đến các đỉnh và các cạnh. Nội
dung chủ yếu của chương được hình thành từ các tài liệu [9], [13] và [14].
4.1. Bất đẳng thức dạng Hayashi và các hệ quả
4.1.1. Bất đẳng thức Hayashi
Định lý 4.1. (Bất đẳng thức Hayashi) Cho M là một điểm tùy ý trong
mặt phẳng chứa tam giác ABC với độ dài các cạnh là a, b, c. Khi đó
aMB.MC + bMC.MA+ cMA.MB ≥ abc. (4.1)
Đây là một định lý có cách chứng minh hình học khá phức tạp. Sau
đây bằng cách dùng số phức sẽ cho ta một cách chứng minh định lý rất
ngắn gọn và ấn tượng. Chỉ cần dùng một đồng nhất thức đại số quen
thuộc và biểu diễn hình học của số phức.
Chứng minh. Ta đặt tam giác ABC lên mặt phẳng phức và gọi m,α, β, γ
tương ứng là toạ vị của M,A,B,C. Từ đồng nhất đại số
(m− β)(m− γ)
(α− β)(α− γ) +
(m− γ)(m− α)
(β − γ)(β − α) +
(m− α)(m− β)
(γ − α)(γ − β) = 1, (4.2)
đúng với mọi α, β, γ đôi một khác nhau và với mọi m. Đồng nhất thức
này có thể chứng minh bằng cách để ý vế trái là một tam thức bậc hai
theo m và có giá trị bằng 1 tại ba điểm phân biệt α, β, γ , do đó đồng
nhất 1.
Từ đồng nhất (4.2) chuyển qua modul ta được
|m− β| |m− γ|
|α− β| |α− γ| +
|m− γ| |m− α|
|β − γ| |β − α| +
|m− α| |m− β|
|γ − α| |γ − β| ≥ 1. (4.3)
www.VNMATH.com
93
Theo cách đặt trên ta được MA = |m − α|,MB = |m − β|, |MC| =
|m− γ|, c = AB = |α− β|, a = BC = |β − γ|, b = CA = |γ − α|. Khi đó
(4.3) tương đương với
MB.MC
bc
+
MC.MA
ca
+
MA.MB
ab
≥ 1.
Chú ý 4.1. Trường hợp xảy ra dấu đẳng thức ta sẽ xét đến trong bài
toán 4.1 ở mục dưới.
Định lý 4.2. ChoM là một điểm tùy ý trong mặt phẳng chứa tam giác
ABC với độ dài các cạnh là a, b, c. Khi đó
aMA2 + bMB2 + cMC2 ≥ abc. (4.4)
Chứng minh. Xét gốc của mặt phẳng phức ở M và gọi α, β, γ là tọa vị
các đỉnh A,B,C của tam giác ABC. Từ đồng nhất thức
α2
(α− β) (α− γ) +
β2
(β − α) (β − γ) +
γ2
(γ − α) (γ − β) = 1, (4.5)
đúng với mọi α, β, γ đôi một khác nhau. Chuyển qua modul ta được
1 =
∣∣∣∣∣∑
cyc
α2
(α− β) (α− γ)
∣∣∣∣∣ ≤∑
cyc
|α|2
|α− β| |α− γ| . (4.6)
Theo cách đặt trên ta được |α| = PA, |β| = PB, |γ| = PC và |β − γ| =
a, |γ − α| = b, |α− β| = c, bất đẳng thức (4.6) tương đương với bất
đẳng thức aMA2 + bMB2 + cMC2 ≥ abc.
Định lý 4.3. ChoM là một điểm tùy ý trong mặt phẳng chứa tam giác
ABC với độ dài các cạnh là a, b, c. Khi đó
aMA3 + bMB3 + cMC3 ≥ abc.MG. (4.7)
Trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC.
Chứng minh. Từ đồng nhất thức
x3 (y − z) + y3 (z − x) + z3 (x− y) = (x− y) (y − z) (z − x) (x+ y + z) , (4.8)
đúng với mọi số phức x, y, z. Chuyển qua modul, ta được
|x|3 |y − z|+ |y|3 |z − x|+ |z|3 |x− y| ≥ |x− y| |y − z| |z − x| |x+ y + z| . (4.9)
Xét gốc của mặt phẳng phức ở G và gọi α, β, γ,m là tọa vị của các điểm
A,B,C,M tương ứng. Trong bất đẳng thức (4.9) xét x = m − α, y =
m− β, z = m− γ ta thu được bất đẳng thức (4.7).
www.VNMATH.com
94
4.1.2. Các hệ quả của bất đẳng thức hyashi
Hệ quả 4.1. (Bất đẳng thức Euler) Kí hiệu R, r lần lượt là bán kính
đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. Khi đó R ≥ 2r.
Chứng minh. Xét trường hợp M ≡ O (trong đó O là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC), bất đẳng thức (4.1) tương đương với
R2 (a+ b+ c) ≥ abc. Do đó R2 ≥ abc
a+ b+ c
=
abc
2p
=
4R.S
2.Sr
= 2Rr, từ đó
R ≥ 2r.
Hệ quả 4.2. Kí hiệuma,mb,mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến
xuất phát từ các đỉnh A,B,C của tam giác ABC. Khi đó
mamb
ab
+
mbmc
bc
+
mcma
ca
≥ 9
4
.
Chứng minh. Xét trường hợp M ≡ G (G là trọng tâm của tam giác
ABC), từ bất đẳng thức (4.1) ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
4.1.3. Bài toán áp dụng
Bài toán 4.1. (Olympic toán Trung Quốc 1998) Cho ABC là tam giác
nhọn và cho P là một điểm trong nó. Chứng minh rằng
aPB.PC + bPC.PA+ bPA.PB ≥ abc. (4.10)
Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu P là trực tâm của tam giác ABC.
Giải. Giả sử P là gốc của mặt phẳng phức và đặt α, β, γ là tọa vị của
A,B,C, tương ứng. Khi đó với mọi α, β, γ ta có đồng nhất thức sau
αβ (α− β) + βγ (β − γ) + γα (γ − α) = − (α− β) (β − γ) (γ − α) . (4.11)
Lấy modul hai vế đồng nhất trên ta được bất đẳng thức
|αβ (α− β)|+ |βγ (β − γ)|+ |γα (γ − α)| ≥ |(α− β) (β − γ) (γ − α)| . (4.12)
Theo cách đặt trên ta có PA = |α| , PB = |β| , PC = |γ| , c =
|α− β| , a = |β − γ| , b = |γ − α|. Do đó được bất đẳng thức
aPB.PC + bPC.PA+ bPA.PB ≥ abc.
www.VNMATH.com
95
Bây giờ, ta xác định xem khi nào đẳng thức xảy ra. Đặt
z1 =
αβ
(α− γ) (β − γ) , z2 =
βγ
(β − α) (γ − α) , z3 =
γα
(γ − β) (α− β) ,
với cách đặt này, từ (4.11) và (4.12) ta có các đẳng thức và bất đẳng
thức sau z1 + z2 + z3 = 1, |z1|+ |z2|+ |z3| ≥ 1.
Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z1, z2, z3 là các số thực dương.
Ta chứng minh z1, z2, z3 là các số thực dương khi và chỉ khi P là trực
tâm của tam giác ABC. Thật vậy, giả sử z1, z2, z3 là các số thực dương.
Vì
−z1z2
z3
=
(
β
γ − α
)2
,−z2z3
z1
=
(
γ
α− β
)2
,−z3z1
z2
=
(
α
β − γ
)2
.
Từ số phức αβ−γ có bình phương là số một số thực âm nên là các số thuần
ảo; vậy góc tạo bởi giữa các véc tơ biểu diễn α là
−→
PA và véc tơ biểu diễn
β − γ là −−→BC là góc có số đo 900, suy ra PA⊥BC. Tương tự βγ−α là số
thuần ảo, suy ra PB⊥CA. Vậy P là trực tâm của tam giác ABC.
Đảo lại, nếu P là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Điểm P ở bên
trong tam giác và PA⊥BC nên góc tạo bởi giữa véc tơ −→PA và −−→BC có
số đo −900, suy ra tồn tại số thực dương r1 sao cho αβ−γ = −r1i. Tương
tự, tồn tại các số thực dương r2, r3 sao cho
β
γ−α = −r2i, γα−β = −r3i. Vậy
z1, z2, z3 là các số thực dương. Từ các kết quả trên ta kết luận đẳng thức
xảy ra khi và chỉ khi P là trực tâm của tam giác ABC.
Bài toán 4.2. Cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Gọi R1, R2, R3, R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác GBC,GCA,GAB,ABC
tương ứng. Chứng minh rằng R1 +R2 +R3 ≥ 3R.
Giải. Áp dụng định lí 4.1 với G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có
aGB.GC + bGC.GA+ cGA.GB ≥ abc, (4.13)
trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Mặt khác, ta có aGB.GC = 4R1. [GBC] =
4
3R1. [ABC]. Tương tự
bGC.GA = 43R2. [ABC] , cGA.GB =
4
3R3. [ABC] . Từ đó (4.13) tương
đương với 43 (R1 +R2 +R3) . [ABC] ≥ 4R. [ABC]. Suy ra R1+R2+R3 ≥
3R.
www.VNMATH.com
96
Bài toán 4.3. (Chọn đội tuyển IMO Rumani 2004) Cho tam giác ABC
và P là một điểm trong nó. Gọi R1, R2, R3, R là bán kính đường tròn
ngoại tiếp các tam giác PBC,PCA, PAB,ABC tương ứng. Các đường
thẳng PA, PB, PC lần lượt cắt các cạnh BC,CA,AB tại A1, B1, C1. Ký
hiệu k1 =
PA1
AA1
, k2 =
PB1
BB1
, k2 =
PC1
CC1
. Chứng minh rằng k1R1 + k2R2 +
k3R3 ≥ R.
Giải.
Hình 4.1
Ta có k1 =
PA1
AA1
= [PA1B][AA1B] =
[PA1C]
[AA1C]
=
[PA1B]+[PA1C]
[AA1B]+[AA1C]
= [PBC][ABC] , tương tự k2 =
[PCA]
[ABC] , k3 =
[PAB]
[ABC] .
Mặt khác [ABC] = abc4R , [PBC] =
aPB.PC
4R1
, [PCA] = bPC.PA4R2 , [PAB] =
cPA.PB
4R3
.
Bất đẳng thức Hayashi áp dụng cho
tam giác ABC và điểm P nằm trong
nó tương đương với bất đẳng thức sau
aPB.PC
4R1
.R1 +
bPC.PA
4R2
.R2 +
cPA.PB
4R3
.R3 ≥ R.abc
4R
.
Do đó, ta được [PBC] .R1 + [PCA] .R2 + [PAB] .R3 ≥ R. [ABC] hay
[PBC]
[ABC] .R1 +
[PCA]
[ABC] .R2 +
[PAB]
[ABC] .R3 ≥ R. Từ đó, được bất đẳng thức cần
chứng minh k1R1 + k2R2 + k3R3 ≥ R.
4.2. Bất đẳng thức Weizenbock suy rộng và các hệ quả
4.2.1. Bất đẳng thức Weizenbock suy rộng
Chúng ta đã biết các bất đẳng thức sau đây: Giả sử a, b, c là độ dài
ba cạnh, còn S là diện tích của một tam giác thì
a2 + b2 + c2 ≥ (a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2 + 4
√
3S. (4.14)
a2 + b2 + c2 ≥ 4
√
3S. (4.15)
Bất đẳng thức (4.14) được gọi là bất đẳng thức Hadwiger - Finsler, còn
bất đẳng thức (4.15) là bất đẳng thức Weizenbock là hệ quả của bất
www.VNMATH.com
97
đẳng thức Hadwiger - Finsler. Trong mục này xét sự mở rộng của bất
đẳng thức Weizenbock.
Định lý 4.4. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn các điều kiện x+y, y+
z, z + x, xy + yz + zx ≥ 0. Đặt a, b, c là độ dài ba cạnh và S là diện tích
của tam giác ABC. Khi đó
xa2 + yb2 + zc2 ≥ 4√xy + yz + zx.S. (4.16)
Chứng minh. Áp dụng định lý hàm số cosin c2 = a2 + b2 − 2ab cosC và
công thức diện tích S = 12ab sinC, ta có
xa2 + yb2 + zc2 ≥ 4√xy + yz + zx.S
⇔xa2 + yb2 + z (a2 + b2 − 2ab cosC) ≥ √xy + yz + zx.2ab sinC
⇔ (x+ z) a2 + (y + z) b2 ≥ 2ab [√xy + yz + zx sinC + z cosC]
⇔ (x+ z) a
b
+ (y + z)
b
a
≥ 2 [sinC√xy + yz + zx+ z cosC] . (4.17)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có[
sinC
√
xy + yz + zx+ z cosC
]2 ≤ (xy + yz + zx+ z2) (sin2C + cos2C)
= xy + yz + zx+ z2 = (x+ z) (y + z) .
Mặt khác
[
(x+ z)
a
b
+ (y + z)
b
a
]2
≥ 4 (x+ z) (y + z) .
Do đó (4.17) đúng.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
(x+ z)
a
b
= (y + z)
b
a
cosC
z
=
sinC√
xy + yz + zx
⇔
a√
y + z
=
b√
x+ z
cos2C
z2
=
sin2C
xy + yz + zx
=
sin2C + cos2C
xy + yz + zx+ z2
=
1
(x+ z) (y + z)
.
www.VNMATH.com
98
Thay b và cosC tương ứng vào biểu thức c2 = a2 + b2 − 2bc cosC ta
được
c2 = a2 + a2
x+ z
y + z
− 2a2
√
x+ z
y + z
z√
(x+ z) (y + z)
⇔
( c
a
)2
= 1 +
x+ z
y + z
− 2 z
y + z
⇔ c
a
=
√
x+ y
y + z
⇔ a√
y + z
=
c√
x+ y
.
Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a√
y+z
=
b√
x+ z
=
c√
x+ y
.
Bất đẳng thức (4.16) được gọi là bất đẳng thức weizenbock suy rộng.
Tiếp theo, ta sẽ mở rộng bất đẳng thức Hadwiger - Finsler.
Định lý 4.5. Cho x, y, z là các số thực dương. Bất đẳng thức sau luôn
đúng
(y + z) a2 + (z + x) b2 + (x+ y) c2 ≥8√xy + yz + zxS + (x+ y) (a− b)2
+ (y + z) (b− c)2 + (z + x) (c− a)2 . (4.18)
Chứng minh.
Hình 4.2
Gọi A′, B′, C ′ lần lượt là
tâm đường tròn bàng tiếp
các góc A,B,C. Dễ dàng
chứng minh được bộ ba điểm
(A′B,C ′) , (B′, C, A′) , (C ′, A,B′)
thẳng hàng. Gọi K,H là
chân đường cao hạ từ C ′
xuống AB và từ B′ xuống
AC. Áp dụng định lí 4.4
vào tam giác A′B′C ′ ta có
zA′B′2 + xB′C ′2 + yC ′A′2 ≥
4
√
xy + yz + zxSA′B′C ′.
Ta có
B′C ′ =B′A+ AC ′ =
AH
cos
(
pi
2 − A2
) + AK
cos
(
pi
2 − A2
) = AH +HK
cos
(
pi
2 − A2
)
www.VNMATH.com
99
=
p− c+ p− b
cos
(
pi
2 − A2
) = a
sin A2
=
2R sinA
sin A2
= 4R cos
A
2
.
Tương tự A′B′ = 4R cos
C
2
, C ′A′ = 4R cos
B
2
. Do đó
SA′B′C ′ =
1
2
.B′C ′.A′B′. sinB′ =
1
2
.4R cos
A
2
.4R cos
C
2
. cos
B
2
=8R2 cos
A
2
cos
C
2
cos
B
2
=
R2 sin A sinB sinC
sin A2 sin
B
2 sin
C
2
=
1
8R
.
2R sinA.2R sinB.2R sinC
sin A2 sin
B
2 sin
C
2
=
abc
2r
=
abc
4R
.
2R
r
=
2S.R
r
.
Theo công thức vòng tròn bàng tiếp, ta có
ra + rb = p
[
tan
A
2
+ tan
B
2
]
= p
(
r
p− a +
r
p− b
)
=
prc
(p− a) (p− b) .
Mặt khác, từ công thức diện tích tam giác lại có
pr.
abc
4R
= p (p− a) (p− b) (p− c)⇒ prc
(p− a) (p− b) = 4R
p (p− c)
ab
,
nên ra + rb =
prc
(p− a) (p− b) = 4R
p (p− c)
ab
= 4R cos2
C
2
.
Tương tự rb + rc = 4R cos
2 A
2
, rc + ra = 4R cos
2 B
2
.
Từ các kết quả trên ta có
zA′B′2 + xB′C ′2 + yC ′A′2
=z.16R2 cos2
C
2
+ x.16R2 cos2
A
2
+ y.16R2 cos2
B
2
=4R
(
z.4R. cos2
C
2
)
+ 4R
(
x.4R. cos2
A
2
)
+ 4R
(
y.4R. cos2
B
2
)
=4R [z (ra + rb) + x (rb + rc) + y (rc + ra)] .
Suy ra 4R [z (ra + rb) + x (rb + rc) + y (rc + ra)] ≥ 4√xy + yz + zx.2SRr .
Biết rằng ra(p− a) = rb(p− b) = rc(p− c) = pr = S, nên bất đẳng thức
trên tương đương với
⇔r [ra (y + z) + rb (z + x) + rc (z + x)] ≥ 2S
√
xy + yz + zx
www.VNMATH.com
100
⇔4 (y + z) S
2
p (p− a) + 4 (z + x)
S2
p (p− b) + 4 (x+ y)
S2
p (p− c)
≥ 8S√xy + yz + zx
⇔4 (y + z) (p− b) (p− c) + 4 (z + x) (p− c) (p− a) + 4 (x+ y) (p− a) (p− b)
≥ 8S√xy + yz + zx
⇔ (y + z) a2 + (z + x) b2 + (x+ y) c2 ≥ 8S√xy + yz + zx+ (x+ y) (a− b)2
+ (y + z) (b− c)2 + (z + x) (c− a)2.
Nhận xét 4.1. Ở bất đẳng thức (4.18) nếu đặt y + z = x1, z + x =
y1, x+ y = z1 thì bất đẳng thức sẽ trở thành
x1a
2 + y1b
2 + z1c
2 ≥4
√
x21 + y
2
1 + z
2
1 − (x1 − y1)2 − (y1 − z1)2 − (z1 − x1)2S
+x1(b− c)2 + y1(c− a)2 + z1(a− b)2. (4.19)
Như vậy bất đẳng thức (4.19) đúng với x1, y1, z1 là độ dài ba cạnh của
một tam giác. Vấn đề đặt ra là liệu bất đẳng thức (4.19) có còn đúng với
mọi x1, y1, z1 là các số thực dương hay không ? Câu trả lời là có, được
thể hiện thông qua định lí sau đây:
Định lý 4.6. Với x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng
xa2 + yb2 + zc2 ≥4
√
x2 + y2 + z2 − (x− y)2 − (y − z)2 − (z − x)2S
+x(b− c)2 + y(c− a)2 + z(a− b)2. (4.20)
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức (4.16) cho tam giác A′B′C ′ ta có
(−x+ y + z)B′C ′2 + (x− y + z)C ′A′2 + (x+ y − z)A′B′2
≥4
√
x2 + y2 + z2 − (x− y)2 − (y − z)2 − (z − x)2.SA′B′C ′.
Mặt khác, ta lại có
(−x+ y + z)B′C ′2 + (x− y + z)C ′A′2 + (x+ y − z)A′B′2
=(−x+ y + z) 16R2 cos2 A
2
+ (x− y + z) 16R2 cos2 B
2
+ (x+ y − z) 16R2 cos2 C
2
=4R [(−x+ y + z) (rb + rc) + (x− y + z) (rc + ra) + (x+ y − z) (ra + rb)]
=8R (xra + yrb + zrc) =
8R
r
(xrra + yrrb + zrrc)
www.VNMATH.com
101
=
8R
r
[x (p− b) (p− c) + y (p− c) (p− a) + z (p− a) (p− b)] .
và
4
√
x2 + y2 + z2 − (x− y)2 + (y − z)2 + (z − x)2.SA′B′C ′
=4
√
x2 + y2 + z2 − (x− y)2 + (y − z)2 + (z − x)2.2S.R
r
.
Suy ra
xa2 + yb2 + zc2 ≥ 4
√
x2 + y2 + z2 − (x− y)2 − (y − z)2 − (z − x)2S
+x(b− c)2 + y(c− a)2 + z(a− b)2.
4.2.2. Các hệ quả của bất đẳng thức Weizenbock suy rộng
Hệ quả 4.3. Với mọi số thực dương x, y, z. Khi đó bất đẳng thức sau
luôn đúng
xab+ ybc+ zca ≥ 4√xy + yz + zx.S (4.21)
Chứng minh. Vì bất đẳng thức Weizenbock suy rộng (4.16) đúng với mọi
số thực dương x, y, z nên thay x→ x ba , y → y cb , z → z ac ta được
xab+ ybc+ zca ≥ 4
√
xy
c
a
+ yz
a
b
+ zx
b
c
.S
hay
(xab+ ybc+ zca)2 ≥ 16S2
(
xy
c
a
+ yz
a
b
+ zx
b
c
)
. (4.22)
Lại thay x → z c
a
, y → xa
b
, z → yb
c
vào bất đẳng thức Weizenbock suy
rộng, sau đó bình phương hai vế , ta được bất đẳng thức
(xab+ ybc+ zca)2 ≥ 16S2
(
xy
a
c
+ yz
b
a
+ zx
c
b
)
. (4.23)
www.VNMATH.com
102
Cộng theo vế 2 bất đẳng thức (4.22) và (4.23), rồi áp dụng bất đẳng
thức AM −GM , ta được
2 (xab+ ybc+ zca)2 ≥ 16S2
[
xy
(a
c
+
c
a
)
+ yz
(
b
a
+
a
b
)
+ zx
(
b
c
+
c
b
)]
≥ 2.16S2 (xy + yz + zx) .
Suy ra xab+ ybc+ zca ≥ 4√xy + yz + zx.S.
Trong các bất đẳng thức (4.16) và (4.21) có xuất hiện những biến số
x, y, z dương tùy ý. Ta nghĩ đến việc thay các số x, y, z bằng các biến
MA,MB,MC sẽ thu được một số kết quả sau
Hệ quả 4.4. Cho M là một điểm tùy ý trong tam giác ABC. Khi đó
bất đẳng thức sau luôn đúng
aMA+ bMB + cMC ≥ 4S. (4.24)
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Weizenbock suy rộng với x =
MA
a , y =
MB
b , z =
MC
c , ta có aMA + bMB + cMC =
MA
a a
2 + MBb b
2 +
MC
c c
2 ≥ 4
√
MA
a
MB
b +
MB
b
MC
c +
MC
c
MA
a .S. Mặt khác, ta có
MA
a
MB
b +
MB
b
MC
c +
MC
c
MA
a ≥ 1 nên aMA+ bMB + cMC ≥ 4S.
Hệ quả 4.5. Cho M là một điểm tùy ý trong tam giác ABC. Khi đó
bất đẳng thức sau luôn đúng
bc
a
MA+
ca
b
MB +
ab
c
MC ≥ 4S. (4.25)
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức (4.21) hệ quả 4.3 với x =
MC
c , y =
MA
a , z =
MB
b , ta có
bc
aMA +
ca
bMB +
ab
cMC ≥
4
√
MA
a
MB
b +
MB
b
MC
c +
MC
c
MA
a .S ≥ 4S.
Hệ quả 4.6. Cho tam giác ABC với độ dài các cạnh a, b, c diện tích S
và tam giác A′B′C ′ với độ dài các cạnh a′, b′, c′ diện tích S ′ ; M là một
điểm tùy ý trong mặt phẳng. Khi đó bất đẳng thức sau luôn đúng
a′2
a
MA+
b′2
b
MB +
c′2
c
MC ≥ 4S ′. (4.26)
www.VNMATH.com
103
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Weizenbock suy rộng cho tam giác
A′B′C ′ với x = MAa , y =
MB
b , z =
MC
c , ta có
a′2
a
MA+
b′2
b
MB +
c′2
c
MC ≥ 4
√
MA
a
MB
b
+
MB
b
MC
c
+
MC
c
MA
a
.S′ ≥ 4S′.
Các bất đẳng thức trên là khá khó và đẹp. Thế nhưng ta để ý rằng các
hệ số tổng quát x, y, z không xuất hiện. Các hệ số đã được thế bởi các
biến MA,MB,MC. Để vẫn xuất hiện các hệ số x, y, z, ta sử dụng bất
đẳng thức Hyashi MA.MBab +
MB.MC
bc +
MC.MA
ca ≥ 1 thu được kết quả sau
Hệ quả 4.7. Cho tam giác ABC với độ dài các cạnh a, b, c và tam giác
A′B′C ′ với độ dài các cạnh a′, b′, c′ diện tích S ′. Với M là một điểm tùy
ý trong mặt phẳng và x, y, z là các số thực dương, ta có
x
a′2
a2
MA2 + y
b′2
b2
MB2 + z
c′2
c2
MC2 ≥ 4
√
xyz
x+ y + z
.S ′.
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Weizenbock suy rộng cho tam giác
A′B′C ′, ta có
x
a′2
a2
MA2 + y
b′2
b2
MB2 + z
c′2
c2
MC2 =
x
a2
MA2.a′2 +
y
b2
MB2.b′2 +
z
c2
MC2.c′2
≥4
√
yz
MB2
b2
.
MC2
c2
+ zx
MC2
c2
.
MA2
a2
+ xy
MA2
a2
.
MB2
b2
.S ′. (4.27)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có(
yz
MB2
b2
.
MC2
c2
+ zx
MC2
c2
.
MA2
a2
+ xy
MA2
a2
.
MB2
b2
)(
1
yz
+
1
zx
+
1
xy
)
≥
(
MB.MC
bc
+
MC.MA
ca
+
MA.MB
ab
)2
≥ 1.
Suy ra
yz
MB2
b2
.
MC2
c2
+ zx
MC2
c2
.
MA2
a2
+ xy
MA2
a2
.
MB2
b2
≥ xyz
x+ y + z
. (4.28)
Từ (4.27) và (4.28) ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
www.VNMATH.com
104
Hệ quả 4.8. Cho tam giác ABC, M là một điểm tùy ý trong mặt
phẳng. Khi đó bất đẳng thức sau luôn đúng
(MA.MB +MB.MC +MC.MA)
(
a
MA
+
b
MB
+
c
MC
)
≥ 12S.
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức (4.21), ta có
MA.MB +MB.MC +MC.MA
=
MA
a
.
MB
b
.ab+
MB
b
.
MC
c
.bc+
MC
c
.
MA
a
.ca
≥4
√
MA.MB.MC
abc
(
MA
a
+
MB
b
+
MC
c
)
.S.
Để chứng minh bất đẳng thức đã cho ta cần chứng minh
MA.MB.MC
abc
(
MA
a
+
MB
b
+
MC
c
)(
a
MA
+
b
MB
+
c
MC
)2
≥ 9.
Thật vậy, ta có(
MA
a
+
MB
b
+
MC
c
)(
a
MA
+
b
MB
+
c
MC
)
≥ 9 (4.29)
và
MA.MB.MC
abc
(
a
MA
+
b
MB
+
c
MC
)
=
MB.MC
bc
+
MC.MA
ca
+
MA.MB
ab
≥ 1. (4.30)
Từ (4.29) và (4.30) ta có điều phải chứng minh.
Hình 4.3
Ta thử mở rộng theo hướng khác
để xuất hiện các hệ số x, y, z. Với chú
ý rằng: Nếu gọi A′, B′, C ′ là hình chiếu
của M trên BC,CA,AB thì
MA =
2R.B′C ′
a
, MB =
2R.C ′A′
b
,
MC =
2R.A′B′
c
.
www.VNMATH.com
105
Như thế, ta đã quy các biến MA,MB,MC về độ dài 3 cạnh của một
tam giác. Ta có kết quả sau
Hệ quả 4.9. Cho tam giác ABC với độ dài các cạnh a, b, c nội tiếp
đường tròn (O,R). M là một điểm bất kì trong tam giác. Khi đó với
mọi số thực dương x, y, z ta có
x
MB.MC
a
+ y
MC.MA
b
+ z
MA.MB
c
≥ √xy + yz + zx.
(
R2 −OM 2)
R
.
Chứng minh. Gọi A′, B′, C ′ là hình chiếu của M trên BC,CA,AB theo
định lý Euler ta có
[A′B′C ′] =
1
4
(
1− OM
2
R2
)
. [ABC]
Áp dụng hệ quả 4.3 cho tam giác A′B′C ′ với lưu ý MA =
2R.B′C ′
a
,
MB =
2R.C ′A′
b
, MC =
2R.A′B′
c
, ta có
√
xy + yz + zx.
(
R2 −OM 2)
R
= 4R.
√
xy + yz + zx.
[A′B′C ′]
[ABC]
≤R.xA
′B′.A′C ′ + yB′C ′.B′A′ + zC ′A′.C ′B′
[ABC]
=
xMC.MB.cb+ yMA.MC.ac+ zMB.MA.ba
4R [ABC]
=
xMC.MB.cb+ yMA.MC.ac+ zMB.MA.ba
abc
=x
MB.MC
a
+ y
MC.MA
b
+ z
MA.MB
c
.
4.3. Bất đẳng thức Klamkin và các hệ quả
4.3.1. Bất đẳng thức Klamkin
Vào năm 1975, M.S. Klamkin đã thiết lập định lý sau đây:
Định lý 4.7. Cho ABC là một tam giác tùy ý với độ dài các cạnh lần
lượt là a, b, c và P là điểm bất kỳ trong mặt phẳng chứa tam giác. Với
các số thực x, y, z ta có
(x+ y + z)
(
xPA2 + yPB2 + zPC2
) ≥ yza2 + zxb2 + xyc2. (4.31)
www.VNMATH.com
106
Chứng minh. Ta có
x
−→
PA+ y
−−→
PB + z
−→
PC ≥ 0⇔ (x2PA2 + y2PB2 + z2PC2)+
+
(
2xy
−→
PA.
−−→
PB + 2yz
−−→
PB.
−→
PC + 2zx
−→
PC.
−→
PA
)
≥ 0. (4.32)
Theo định lí hàm số cosin ta có
2
−→
PA.
−−→
PB = 2PA.PB cos
(−→
PA,
−−→
PB
)
= PA2 + PB2 − c2,
2
−−→
PB.
−→
PC = 2PB.PC cos
(−−→
PB,
−→
PC
)
= PB2 + PC2 − a2,
2
−→
PC.
−→
PA = 2PC.PA cos
(−→
PC,
−→
PA
)
= PC2 + PA2 − b2.
thay các bất đẳng thức trên vào (4.32) ta được thu được bất đẳng thức
(x+ y + z)
(
xPA2 + yPB2 + zPC2
) ≥ yza2 + zxb2 + xyc2.
Đẳng thức trong (4.31) xảy ra khi và chỉ khi x
−→
PA+y
−−→
PB+z
−→
PC =
−→
0 ,
tức là P là tâm tỉ cự của hệ điểm {A,B,C}.
4.3.2. Các hệ quả của bất đẳng thức Klamkin
Hệ quả 4.10. Trong tam giác ABC với G là trọng tâm, ta có các bất
đẳng thức sau
1. PA2 + PB2 + PC2 ≥ a
2 + b2 + c2
3
. (4.33)
2. PA2 + PB2 + PC2 ≥ 4
9
(
m2a +m
2
b +m
2
c
)
. (4.34)
3. PA2 + PB2 + PC2 ≥ GA2 +GB2 +GC2. (4.35)
Chứng minh. Khi x = y = z, bất đẳng thức 4.31 trở thành
3
(
PA2 + PB2 + PC2
) ≥ a2 + b2 + c2.
Suy ra bất đẳng thức (4.33). Tiếp theo ta biến đổi bất đẳng thức (4.33)
như sau
PA2 + PB2 + PC2 ≥ 2
(
b2 + c2
)− a2
9
+
2
(
c2 + a2
)− b2
9
+
2
(
a2 + b2
)− c2
9
.
Từ đây suy ra các bất đẳng thức (4.34) và (4.35).
www.VNMATH.com
107
Hệ quả 4.11. Trong tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau
1.
PA2
a2
+
PB2
b2
+
PC2
c2
≥ a
4 + b4 + c4
a2b2 + b2c2 + c2a2
≥ 1. (4.36)
2.
PA2
b2
+
PB2
c2
+
PC2
a2
≥ 1. (4.37)
3.
PA2
c2
+
PB2
a2
+
PC2
b2
≥ 1. (4.38)
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Klamkin với x =
1
a2
, y =
1
b2
, z =
1
c2
ta thu được bất đẳng thức (4.36). Nếu cho x =
1
b2
, y =
1
c2
, z =
1
a2
thì ta
có bất đẳng thức (4.37), còn nếu cho x =
1
c2
, y =
1
a2
, z =
1
b2
ta sẽ có bất
đẳng thức (4.38).
Hệ quả 4.12. Trong tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau
1.
m2a
a2
+
m2b
b2
+
m2c
c2
≥ 9
4
. (4.39)
2.
mamb
ab
+
mbmc
bc
+
mcma
ca
≥ 9
4
. (4.40)
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Klamkin với P ≡ G, x = 1
a2
,
y =
1
b2
, z =
1
c2
ta thu được bất đẳng thức (4.39). Nếu cho P ≡ G,
x =
a
ma
, y =
b
mb
, z =
c
mc
, ta sẽ có bất đẳng thức (4.40).
Hệ quả 4.13. Trong tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau
1.
cos2A
sinB sinC
+
cos2B
sinC sinA
+
cos2C
sinA sinB
≥ 1. (4.41)
2. 4R2 ≥ a
3 + b3 + c3 + abc
a+ b+ c
. (4.42)
3.
2R− r
r
≥ a
3 + b3 + c3
abc
. (4.43)
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Klamkin với x = a, y = b, z = c,
P ≡ H (H là trực tâm của tam giác). Để ý rằng HA = |2R cosA| ,
www.VNMATH.com
108
HB = |2R cosB| , HC = |2R cosC| và sử dụng định lý hàm số sin ta
dễ dàng nhận được bất đẳng thức (4.41). Sử dụng các biến đổi HA2 =
4R2 cos2A = 4R2
(
1− sin2A) = 4R2 − a2, HB2 = 4R2 − b2, HC2 =
4R2 − c2, sau một số biến đổi ta nhận được bất đẳng thức (4.42). Sử
dụng công thức abc = 4Rrp ta biến đổi bất đẳng thức (4.42) về bất đẳng
thức (4.43).
4.4. Bất đẳng thức Jian Liu và các hệ quả
4.4.1. Bất đẳng thức Jian Liu
Jian Liu đã chứng minh định lí 4.8 dưới đây. Để chứng minh định lí
4.8 ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 4.1. Cho ABC là một tam giác tùy ý và P là một điểm bất kỳ
trong mặt phẳng chứa tam giác ABC. Nếu bất đẳng thức sau đây
f (a, b, c, R1, R2, R3) ≥ 0 (4.44)
đúng, thì bất đẳng thức sau cũng đúng
f (aR1, bR2, cR3, R2R3, R3R1, R1R2) ≥ 0, (4.45)
trong đó R1, R2, R3 lần lượt là khoảng cách từ P đến các đỉnh A,B,C.
Chứng minh. Xét phép nghịch đảo N tâm P , hệ số R1.R2.R3, ta có
N : A→ A′, B → B′, C → C ′
Khi đó ta có PA′ = PB.PC = R2R3, tương tự PB′ = R3R1,
PC ′ = R1R2 và B′C ′ = R1R2R3. BCPB.PC = aR1, tương tự C
′A′ =
bR2, A
′B′ = cR3. Vì f (a, b, c, R1, R2, R3) ≥ 0 đúng với mọi tam
giác ABC và mọi P nên áp dụng điều kiện này cho tam giác
A′B′C ′ và điểm P ta được f (B′C ′, C ′A′, A′B′, PA′, PB′, PC ′) ≥ 0 hay
f (aR1, bR2, cR3, R2R3, R3R1, R1R2) ≥ 0.
Định lý 4.8. Cho x, y, z là các số dương. Khi đó, với tam giác ABC
tùy ý và P là điểm bất kỳ trong mặt phẳng chứa ∆ABC, bất đẳng thức
www.VNMATH.com
109
sau đúng
R21
x
+
R22
y
+
R23
z
≥ aR1 + bR2 + cR3√
xy + yz + zx
, (4.46)
trong đó R1 = PA,R2 = PB,R3 = PC.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác nhọn, P trùng với
trực tâm H và x : y : z = cotA : cotB : cotC.
Chứng minh. Nếu P trùng với một trong các đỉnh của ∆ABC, chẳng
hạn, P ≡ A, thì PA = 0, PB = c, PC = b và bất đẳng thức (4.46) trở
thành tầm thường. Trong trường hợp này, dấu đẳng thức trong (4.46)
rõ ràng là không xảy ra.
Tiếp theo, giả sử P không trùng với một trong các đỉnh của ∆ABC.
Nếu x, y, z là các số dương thì bất đẳng thức (4.31) tương đương với bất
đẳng thức sau(
xR21 + yR
2
2 + zR
2
3
)( 1
yz
+
1
zx
+
1
xy
)
≥ a
2
x
+
b2
y
+
c2
z
.
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có
a2
x
+
b2
y
+
c2
z
≥ (a+ b+ c)
2
x+ y + z
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x : y : z = a : b : c.
Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức(
xR21 + yR
2
2 + zR
2
3
)( 1
yz
+
1
zx
+
1
xy
)
≥ (a+ b+ c)
2
x+ y + z
. (4.47)
Dấu đẳng thức trong (4.47) xảy ra khi và chỉ khi x : y : z = a : b : c và
P là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bây giờ, áp dụng phép nghịch đảo trong bổ đề 4.1 cho bất đẳng thức
(4.47), ta thu được[
x(R2R3)
2 + y(R3R1)
2 + z(R1R2)
2]( 1
yz
+
1
zx
+
1
xy
)
≥ (aR1 + bR2 + cR3)
2
x+ y + z
,
hay
(R2R3)
2
yz
+
(R3R1)
2
zx
+
(R1R2)
2
xy
≥
(
aR1 + bR2 + cR3
x+ y + z
)2
. (4.48)
www.VNMATH.com
110
Thay x→ xR21, y → yR22, z → zR23, ta được
1
yz
+
1
zx
+
1
xy
≥
(
aR1 + bR2 + cR3
xR21 + yR
2
2 + zR
2
3
)2
. (4.49)
Lại một lần nữa thay x → 1
x
, y → 1
y
, z → 1
z
, ta được bất đẳng thức
(4.46) cần chứng minh.
Nếu đẳng thức trong (4.44) chỉ xảy ra khi P là tâm của đường tròn nội
tiếp ∆ABC, thì đẳng thức trong (4.45) xảy ra chỉ khi ∆ABC là nhọn
và P là trực tâm của nó. Theo điều này và điều kiện để đẳng thức trong
(4.47) xảy ra, ta có đẳng thức trong (4.46) xảy ra khi và chỉ khi ∆ABC
là nhọn, P là trực tâm của nó và
R1
xa
=
R2
yb
=
R3
zc
. (4.50)
Khi P là trực tâm của tam giác nhọn ABC, ta có R1 : R2 : R3 = cosA :
cosB : cosC. Do đó, trong trường hợp này, từ (4.50) ta có x : y : z =
cotA : cotB : cotC. Vì vậy, đẳng thức trong (4.46) xảy ra khi và chỉ khi
∆ABC là nhọn, P trùng với trực tâm của nó và xcotA =
y
cotB =
z
cotC .
4.4.2. Các hệ quả của bất đẳng thức Jian Liu
Hệ quả 4.14. Với P tùy ý nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC
và với mọi số dương x, y, z, bất đẳng thức sau luôn đúng
R21
x
+
R22
y
+
R23
z
≥ 4S√
xy + yz + zx
. (4.51)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x : y : z = cotA : cotB : cotC và P là
trực tâm của tam giác nhọn ABC.
Chứng minh. Từ bất đẳng thức (4.24) và bất đẳng thức Jian Liu (4.46)
ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh (4.51).
Hệ quả 4.15. Cho tam giác ABC và P là một điểm tùy ý trong mặt
phẳng chứa tam giác. Khi đó bất đẳng thức sau đúng
R21 +R
2
2 +R
2
3 ≥
3√
3
S. (4.52)
www.VNMATH.com
111
Chứng minh. Trong bất đẳng thức (4.51) cho x = y = z sẽ thu được bất
đẳng thức (4.52).
Hệ quả 4.16. Với P tùy ý nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC
và với mọi số dương x, y, z, bất đẳng thức sau luôn đúng
aR21 + bR
2
2 + cR
2
3
aR1 + bR2 + cR3
≥
√
2Rr. (4.53)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều và P là trực tâm
của nó.
Chứng minh. Trong bất đẳng thức Jian Liu (4.46) ta thay x =
1
a
, y =
1
b
,
z =
1
c
và sử dụng kết quả
1
bc
+
1
ca
+
1
ab
=
1
2Rr
, ta thu được bất đẳng
thức cần chứng minh (4.53).
Hệ quả 4.17. (Bất đẳng thức Hayashi) Nếu P là một điểm tùy ý và
không trùng với các đỉnh của tam giác ABC, thì
R2R3
bc
+
R3R1
ca
+
R1R2
ab
≥ 1. (4.54)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC nhọn và P là trực tâm
của nó.
Chứng minh. Trong bất đẳng thức (4.48), thay x = aR1, y = bR2,
z = cR3 ta được bất đẳng thức (4.54).
Hệ quả 4.18. Nếu P là một điểm tùy ý và không trùng với các đỉnh
của tam giác ABC, thì
(R2R3 +R3R1 +R1R2)
2
(
1
R2R3
+
1
R3R1
+
1
R1R2
)
≥ 4p2. (4.55)
Trong đó p là nửa chu vi của tam giác ABC. Đẳng thức xảy ra khi và
chỉ khi tam giác ABC nhọn và P là trực tâm của nó.
Chứng minh. Trong (4.48) thay x → xaR1, y → ybR2, z → zcR3 . Khi
đó ta được
R2R3
yzbc
+
R3R1
zxca
+
R1R2
xyab
≥
(
aR1 + bR2 + cR3
xaR1 + ybR2 + zcR3
)2
. (4.56)
www.VNMATH.com
112
Tiếp tục thay x =
1
a
, y =
1
b
, z =
1
c
, ta được
(R2R3 +R3R1 +R1R2) (R1 +R2 +R3)
2 ≥ (aR1 + bR2 + cR3)2. (4.57)
Áp dụng phương pháp biến đổi nghịch đảo của bổ đề 4.1 cho bất đẳng
thức (4.57), sau đó chia cả hai vế cho (R1R2R3)
2 ta được bất đẳng thức
(4.55).
Hệ quả 4.19. Cho P là một điểm nằm trong tam giác ABC, khi đó bất
đẳng thức sau luôn đúng
(R2R3)
2
r2r3
+
(R3R1)
2
r3r1
+
(R1R2)
2
r1r2
≥ 16
9
p2. (4.58)
Trong đó p là nửa chu vi của tam giác ABC.
Chứng minh. Với P là một điểm tùy ý nằm trong tam giác ABC, ta có
các bất đẳng thức sau
aR1 ≥ br3 + cr2, bR2 ≥ cr1 + ar3, cR3 ≥ ar2 + br1.
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên với lưu ý là a+ b+ c = 2p, ar1 + br2 +
cr3 = 2rp, ta thu được bất đẳng thức
aR1 + bR2 + cR3 ≥ 2p (r1 + r2 + r3)− 2rp.
Nhân cả hai vế với bất đẳng thức trên với 2, sau đó cộng với bất đẳng
thức aR1 + bR2 + cR3 ≥ 4S, với lưu ý là S = rp ta thu được
3 (aR1 + bR2 + cR3) ≥ 4p (r1 + r2 + r3) , (4.59)
hay
aR1 + bR2 + cR3
r1 + r2 + r3
≥ 4
3
p. (4.60)
Mặt khác, trong bất đẳng thức (4.48) cho x = r1, y = r2, z = r3 ta thu
được bất đẳng thức
(R1R2)
2
r2r3
+
(R3R1)
2
r3r1
+
(R1R2)
2
r1r2
≥
(
aR1 + bR2 + cR3
r1 + r2 + r3
)2
. (4.61)
Từ hai bất đẳng thức (4.60) và (4.61) ta được bất đẳng thức (4.58).
www.VNMATH.com
113
Hệ quả 4.20. Cho P là một điểm nằm trong tam giác ABC, khi đó bất
đẳng thức sau luôn đúng
(R1 +R2 +R3)
2
r1 + r2 + r3
≥ 4√
3
p. (4.62)
Chứng minh. Từ bất đẳng thức (4.57) và (4.60) ta suy ra
(R2R3 +R3R1 +R1R2) (R1 +R2 +R3)
2 ≥ 16
9
p2 (r1 + r2 + r3)
2 .
Mặt khác, ta có
3 (R2R3 +R3R1 +R1R2) ≤ (R1 +R2 +R3)2 .
Từ hai bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức (4.62).
Hệ quả 4.21. Cho P là một điểm nằm trong tam giác ABC, khi đó bất
đẳng thức sau luôn đúng
R21
ra
+
R22
rb
+
R23
rc
≥ 4
3
(r1 + r2 + r3) . (4.63)
Chứng minh. Trong bất đẳng thức (4.46) thay x → ra, y → rb, z → rc
với lưu ý là rbrc + rcra + rarb = p
2, ta có
R21
ra
+
R22
rb
+
R23
rc
≥ 1
p
(aR1 + bR2 + cR3) . (4.64)
Từ bất đẳng thức (4.60) và (4.64) ta được bất đẳng thức (4.63).
Hệ quả 4.22. Cho P là một điểm nằm trong tam giác ABC, khi đó bất
đẳng thức sau luôn đúng
R21
ra
+
R22
rb
+
R23
rc
≥ r1 + r2 + r3 + r. (4.65)
Chứng minh. Cộng theo vế các bất đẳng thức (4.59) và aR1+bR2+cR3 ≥
4S, sau đó chia cả hai vế cho 4, ta có
aR1 + bR2 + cR3 ≥ p (r1 + r2 + r3 + r) . (4.66)
Từ bất đẳng thức (4.64) và (4.66) ta được bất đẳng thức (4.65).
www.VNMATH.com
114
Hệ quả 4.23. Cho P là một điểm nằm trong tam giác ABC. Gọi
ha, hb, hc lần lượt là độ dài đường cao hạ từ A,B,C. Khi đó
R21
ha
+
R22
hb
+
R23
hc
≥ 4r. (4.67)
Trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Chứng minh. Ta biết rằng 1ha +
1
hb
+ 1hc =
1
r hay hahb + hbhc + hcha =
hahbhc
r =
8S3
abcr =
2S2
rR . Vì R ≥ 2r nên
hahb + hbhc + hcha ≤ S
2
r2
. (4.68)
Trong (4.51) cho x = ha, y = hb, z = hc và sử dụng (4.68) ta được
R21
ha
+
R22
hb
+
R23
hc
≥ 4S√
S2
r2
= 4r.
Hệ quả 4.24. Cho P là một điểm nằm trong tam giác ABC. Khi đó
bất đẳng thức sau luôn đúng
aR21 + bR
2
2 + cR
2
3 ≥
2
√
S3
4
√
27
(4.69)
Chứng minh. Theo bài toán 1.6 ta có 4
√
3 ≤ 9abc
a+ b+ c
hay
1
ab
+
1
bc
+
1
ca
≤ 3
√
3
4S
. (4.70)
Bây giờ trong (4.51) cho x =
1
a
, y =
1
b
, z =
1
c
và sử dụng (4.4.2.) ta được
aR21 + bR
2
2 + cR
2
3 ≥ 4S√ 3√3
4S
= 2
√
S3
4
√
27
.
Hệ quả 4.25. Cho P là một điểm nằm trong tam giác ABC. Gọi
ma,mb,mc lần lượt là độ dài trung tuyến xuất phát từ A,B,C. Khi
đó bất đẳng thức sau luôn đúng
maR
2
1 +mbR
2
2 +mcR
2
3 ≥
4S
√
S
4
√
3
. (4.71)
www.VNMATH.com
115
Chứng minh. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB.
Dựng tam giác AA1M sao cho M đối xứng với C1 qua B1. Dễ thấy
ma,mb,mc là độ dài các cạnh của tam giác MAA1 (ma = AA1,mb =
MA1,mc = MA) và [MAA1] =
3
4S. Áp dụng bất đẳng thức ta được
1
mamb
+
1
mbmc
+
1
mcma
≤ 4S
√
S
4
√
3
=
√
3
S
. (4.72)
Bây giờ trong (4.51) cho x =
1
ma
, y =
1
mb
, z =
1
mc
và sử dụng bất đẳng
thức (4.72) ta được maR
2
1 +mbR
2
2 +mcR
2
3 ≥
4S√√
3
S
=
4S
√
S
4
√
3
.
www.VNMATH.com
116
Kết luận
Luận văn đã trình bày và đạt được một số kết quả sau:
1. Trình bày một số bất đẳng thức trong tam giác và trong tứ giác từ
cơ bản đến nâng cao.
2. Giới thiệu hai bất đẳng thức quen thuộc và có nhiều áp dụng trong
các đề thi học sinh giỏi đó là bất đẳng thức Erdos-modell và bất đẳng
thức Ptolemy. Đồng thời cũng xây dựng một số mở rộng của hai bất
đẳng thức này.
3. Trình bày một số bất đẳng thức có trọng, các mở rộng và áp dụng,
đồng thời đặc biệt hóa để có các bài toán bất đẳng thức hình học mới
liên quan đến khoảng cách từ một điểm đến các đỉnh và các cạnh của
tam giác.
4. Tác giả đã nêu và chứng minh được một số bổ đề giúp cho việc chứng
minh các bất đẳng quan trọng trong luận văn như bất đẳng thức hình
bình hành, bất đẳng thức Erdos-Modell mở rộng đối với 2 điểm trong
tam giác, mở rộng trong tứ giác và đa giác, bất đẳng thức Jian Liu v.v..
Ngoài ra, khai thác một số bất đẳng thức tác giả đã đặc biệt hóa để thu
được nhiều bất đẳng thức hay và đẹp.
5. Luận văn đã chọn lọc giới thiệu một số đề thi học sinh giỏi trong
nước, khu vực và quốc tế liên quan đến các bất đẳng thức trong tam
giác và trong tứ giác. Các bất đẳng thức hình học áp dụng trực tiếp hai
bất đẳng thức nổi tiếng đó là bất đẳng thức Erdos-Modell và bất đẳng
thức Ptolemy.
www.VNMATH.com
117
Tài liệu tham khảo
[1] Bộ giáo dục và đào tạo-Hội toán học Việt Nam (2009), Các bài toán
chọn lọc - 45 năm Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, NXB Giáo Dục.
[2] Nguyễn Minh Hà, Suy nghĩ mới từ một bài toán quen thuộc, Tuyển
tập 5 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ, NXB Giáo Dục (1995).
[3] Vũ Đình Hòa (2005), Bất đẳng thức hình học, NXB Giáo Dục.
[4] Phan Huy Khải, Nguyễn Đạo Phương (1994), Hệ thức lượng trong
tam giác và tứ giác, NXB Giáo Dục.
[5] Nguyễn Văn Nho (2011), Những định lí chọn lọc trong hình học
phẳng qua các kì thi Olympic, NXB Đại Học Sư Phạm.
[6] Nguyễn Đức Tấn (2000), Chuyên đề bất đẳng thức và cực trị trong
hình học phẳng, NXB Giáo dục.
[7] Nguyễn Thượng Võ (1989), 200 bài toán chọn lọc về hệ thức lượng
trong tam giác, NXB Giáo dục.
[8] Trần Nam Dũng, Ptolemy’s inequality and its applications, Kỷ yếu
hội nghị khoa học, Việt Trì (2011).
[9] Titu Andreescu and Dorin Andrica, Proving some geometric in-
equalities by using complex numbers, Educatia Matematica Vol.1,
N2, (2005), 19-26.
[10] Dusan Djukic, Vladimir Jankovic, Ivan Matic, Nikola Petrovic, The
IMO Compendium A Collection of Problems Suggested for the Inter-
national Mathematical Olympiads:1959–2004, Springer Publishers,
2004.
[11] Yu-Dong Wu, Chun-Lei Yu Zhi-Hua Zhang, A geometric inequality
of the generalized Erdos-Modell type, Journal of inequalities in pure
and applied mathematics, Vol.10, Iss.4, Ar.106, 2009.
[12] Radmila Bulajich Manfrino, José Antonio Gómez Ortega, Rogelio
Valdez Delgado, Inequalities A Mathematical Olympiad Approach,
Birkhauser Publishers, 2009.
www.VNMATH.com
118
[13] D.S Mitrinovic, J.E.Pecaric and V.Volenec, Recent Advances in
Geometric Inequalities, Kluwer Academic publishers, Dordrecht,
Netherlands, 1989.
[14] Jian Liu, A weighted geometric inequality and its applications, Jour-
nal of inequalities in pure and applied mathematics, Vol.9, Iss.2,
Ar.58, 2008.
[15] József Sándor, On the geometry of equilateral triangles, Forum Ge-
ometricorum, Vol.5 (2005) 107–117.
www.VNMATH.com
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- LV-BAT-DANG-THUC-HINH-HOC-.pdf