Luận văn Phương trình sóng phi tuyến Kirchhoff - Carrier trong màng tròn đơn vị

13 Chương 2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 2.1. Giới thiệu Trong chương này, chúng tôi xét bài toán: ( ) ( )20 1 , , , 0 1, 0 ,tt r rr ru u u u f r t u r t Trµ  − + = < < < <   (2.1) ( ) 0 lim , , +→ < +∞r r ru r t ( ) ( )1, 1, 0,+ =ru t hu t (2.2) ( ) ( ) ( )0 1,0 , ,0 ,tu r u r u r u= =ɶ ɶ (2.3) ( ) 1 22 0 0 , ,= ∫r ru r u r t dr (2.4) trong ñó 0 1, , ,f u uµ ɶ ɶ là các hàm cho trước thỏa các ñiều kiện ñược chỉ ra dưới ñây. Trong chương này, ta thiết lập ñịnh lí tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (2.1) – (2.4) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu. 2.2. Thuật giải xấp xỉ tuyến tính Với hàm ( ) ( ), , ,f f r t u= µ = µ ξ ta giả sử rằng: 1(H ) 1 1 0 2, ,u V u V∈ ∈ɶ ɶ 2(H ) 1(R )+µ ∈C với 0( ) 0, 0,µ ξ ≥ µ > ∀ξ ≥ ( )3H 1( R R).+∈ Ω× ×f C Cho trước *0, 0> >M T ta ñặt: ( ) ( ){ }20 0 , sup : 0 ,= µ = µ ξ ≤ ξ ≤ɶ ɶK K M M ( ) 21 1 , sup : 0 ,K K M M ∂µ= µ = ≤ ξ ≤ ∂ξ  ɶ ɶ ( ) ( ) ( ) * 0 0 , , , sup , , , ∈ = = r t u A K K M f f r t u 14 ( ) ( ) ( ) * 1 1 , , , sup , , , ∈   ∂ ∂ = = +  ∂ ∂  r t u A f fK K M f r t u r u trong ñó: ( ) ( )* ** 1, , , : 0 1,0 , 2 .2 = = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ +  A A M T r t u r t T u M Cho trước * 0T > với mỗi 0>M và ( *0, ∈ T T ta ñặt: ( ) ( ) ( ) ( ){ 22 1 0, 0, ; : 0, ; , 0, ; ,∞ ∞= ∈ ∈ ∈ɺ ɺɺW M T v L T V v L T V v L T V với ( ) ( ) ( ) }22 1 00, ; 0, ; 0, ;, , ,∞ ∞ ≤ɺ ɺɺL T V L T V L T Vv v v M ( ) ( ){ }1 0, , : (0, ; ) .∞= ∈ ∈ɺɺW M T v W M T v L T V Tiếp theo, ta xây dựng dãy { }mu trong 1( , )W M T bằng quy nạp. Dãy { }mu sẽ ñược chứng minh hội tụ về lời giải bài toán (1.1) (1.3)− trong 1( , )W M T (với sự lựa chọn M, T thích hợp). Chọn số hạng ñầu 0 1( , ).∈u W M T Giả sử rằng 1 1( , ).− ∈mu W M T Ta liên kết bài toán (2.1) (2.4)− với bài toán biến phân tuyến tính sau: Tìm 1( , )∈mu W M T thỏa : ( ) 1, ( ) ( ), ( ), , ,+ µ = ∀ ∈ɺɺm m m mu v t a u t v F t v v V (2.5) 0 1(0) , (0) ,= =ɶ ɺ ɶm mu u u u (2.6) với ( ) 12 21 10 0 ( ) ( , ) ( , ) , − −   µ = µ ∇ = µ ∇    ∫m m mt u r t r u r t dr (2.7) 1( , ) ( , , ( )).m mF r t f r t u t−= (2.8) Sự tồn tại của mu cho bởi ñịnh lí dưới ñây 15 ðịnh lí 2.1. Giả sử các ñiều kiện 1 3(H ) (H )− ñúng. Khi ñó, tồn tại 0>M phụ thuộc vào 0 1, , ,µɶ ɶu u h và 0>T phụ thuộc vào 0 1, , , ,µɶ ɶu u h f sao cho, với 0 0 ,= ɶu u tồn tại dãy { } 1( , )⊂mu W M T thỏa (2.5) (2.8).− Chứng minh. ðịnh lí ñược chứng minh theo ba bước. Bước 1: Xấp xỉ Galerkin. Theo bổ ñề 1.4, ta gọi { }jw là cơ sở trực chuẩn của 1V , với .= λ j j j w w ðặt: ( ) ( ) 1 ( ) ( ) = =∑ k k k m mj j j u t c t w . (2.9) Trong ñó ( ) ( )kmjc t thỏa mãn hệ phương trình vi phân tuyến tính sau: ( ) ( )( ), ( ) ( ( ), ) ( ), , 1 ,k km j m m j m ju t w t a u t w F t w j k+ µ = ≤ ≤ɺɺ (2.10) ( ) ( ) 0 1(0) , ( ) ,k km k m ku u u t u= =ɶ ɺ ɶ (2.11) với 0 0→ɶ ɶku u mạnh trong 2V , 1 1→ɶ ɶku u mạnh trong 1V . Ta chuyển bài toán (2.10) – (2.11) thành bài toán tìm ( ) ( )k mjc t : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), ,+ λ µ = λɺɺ kkmj j m mj j m jc t t c t F t w (2.12) ( ) ( ) ( ) ( )(0) , (0) .k k k k mj mj mj mjc c= α = βɺ (2.13) Bỏ qua chỉ số m, k ta viết ( ), ,j j jc t α β thay cho ( ) ( ) ( )( ), ,k k kmj mj mjc t α β . Từ (2.12) bằng việc lấy tích phân, ta có: 0 0 ( ) ( ), t j j j j m jc t t d F s w ds τ = α + β + λ τ∫ ∫ 16 0 0 ( ) ( ) , 1 t j m jd s c s ds j k τ −λ τ µ ≤ ≤∫ ∫ . (2.14) Ta viết (2.14) thành phương trình sau: ( ) ( )( ) ( ), 0 .kmc t Uc t t T= ≤ ≤ (2.15) Trong ñó ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2, ,... ; , ,... ;k kc c c c Uc Uc Uc Uc= = ( ) ( )( ) ( ) ( ),= γ +jj jUc t t Vc t với 0 0 ( ) ( ), , τ γ = α + β + λ τ∫ ∫ t j j j j m jt t d F s w ds (2.16) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) , 1 . t j m jjVc t d s c s ds j k τ = −λ τ µ ≤ ≤∫ ∫ (2.17) Ở ñây ( )0 ( ): , 0, ;R → =  k kmU X X X C T và ta dùng chuẩn trong X là: ( ) ( )0 1 sup ( ) . ≤ ≤ = = ∑ k m k jX t T j c c t Ta ñặt: { }/ .= ∈ ≤ ρXS c X c Ta sẽ chứng minh rằng với ( ), , kmn Tρ ñược chọn thích hợp thì ánh xạ :U i) biến S thành chính nó; ii) 1 :− ≡ → n nU U U S S là ánh xạ co. Thật vậy, ta ñặt 1 2( ) ( ( ), ( ),..., ( )),= kq t q t q t q t với ( ) ( ),= γj jq t t (2.18) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) . τ ≤ λ τ∫ ∫ɶ t j jjVc t K d c s ds (2.19) Chứng minh i) và ii). i) Từ ( ) ( )2.18 , 2.19 ta ñược: 17 ( ) ( )2 2( ) ( )0 01 1 ,2 2≤ + λ ≤ + λɶ ɶk kk m k mX X X T XUc q K T c q K T c với 0 1 sup ( ) . ≤ ≤ = = ∑ k jT t T j q q t Ta chọn ρ > T q và ( ]( ) 0,∈kmT T sao cho: ( )( ) 0 20 .< < ρ − ρλ ɶ k m T k T q K Từ ñó , .≤ ρ ∀ ∈ X Uc c S Tức là U biến S thành chính nó. ii) Ta chứng minh bằng quy nạp rằng : ( ) ( ) ( )2 1 1( ) ( ) ,(2 )! = − ≤ −∑ k n n n Xj jj U c t U d t Dt c d n với 0. .= λ ɶkD K Thật vậy, ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) τ − ≤ λ τ µ −∫ ∫ t j j jj jUc t Ud t d s c s d s ds 0 0 0 ( ) ( ) τ ≤ λ τ −∫ ∫ɶ t k j jK d c s d s ds . Suy ra ( ) ( ) ( )220 1 1 1( ) ( ) . 2 (2.1)! = − ≤ λ − = −∑ ɶ k kj j X X j Uc t Ud t K t c d Dt c d Giả sử rằng với 1,≥n ( ) ( ) ( )2 1 1( ) ( ) .(2 )! = − ≤ −∑ k n n n Xj jj U c t U d t Dt c d n Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) τ + + − ≤ λ τ µ −∫ ∫ t n n n n j mj j j j U c t U d t d s U c s U d s ds ( ) ( )0 0 0 ( ) ( ) . τ ≤ λ τ −∫ ∫ɶ t n n k j j K d U c s U d s ds 18 Suy ra ( ) ( ) ( )2 21 1 2 1 0 0 1( ) ( ) (2 )! τ+ + + = − ≤ − τ∑ ∫ ∫ tk n n n n Xj jj U c t U d t Dt c d d s ds n ( ) ( ) 2 21 . 2 2 ! + ≤ − + n X Dt c d n Vậy ( )21 .(2 )!− ≤ −nX XUc Ud DT c dn Vì ( )21lim 0,(2 )!→+∞ =nn DTn nên có n sao cho: ( )21 1.(2 )! <nDTn Vậy :nU S S→ là ánh xạ co. Do ñó, theo nguyên lí ánh xạ co, nU có duy nhất một ñiểm bất ñộng trên S. Tức là hệ (2.10) (2.11)− có nghiệm duy nhất ( ) ( )kmu t trên ( )0, .   k mT Bước 2: ðánh giá tiên nghiệm ðánh giá thứ nhất: Từ (2.10) thay jw bởi ( ) ( )ɺ kmj jc t w rồi lấy tổng theo j, ta thu ñược: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) .+ µ =ɺɺ ɺ ɺ ɺk k k k km m m m m m mu t u t t a u t u t F t u t (2.20) Ta có: ( )1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1( ), ( ) ( ). ( ) ( ) , 2 = =∫ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺ k k k k k m m m m m d u t u t ru t u t dr u t dt (2.21) ( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ), ( ) (1). (1) ( ). ( )= + ∇ ∇∫ɺ ɺ ɺk k k k k km m m m m ma u t u t hu u r u t u t dr ( )( )( ) ( )1 ( ), ( ) .2= k km md a u t u tdt (2.22) 19 Từ (2.20) (2.22)− suy ra: ( ) ( )2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0( ) (0) ( ) ( ), ( ) (0) (0), (0)− + µ − µɺ ɺk k k k k km m m m m m m mu t u t a u t u t a u u ( )( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ), ( ) 2 ( ), ( ) .′− µ =∫ ∫ ɺ t t k k k m m m m ms a u s u s ds F s u s ds Hay ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) (0) ( ) ( ), ( ) 2 ( ), ( ) .′= + µ +∫ ∫ ɺ t t k k k k k m m m m m m mX t X s a u s u s ds F s u s ds (2.23) Trong ñó, ( ) ( )2( ) ( ) ( ) ( )0( ) ( ) ( ), ( ) .k k k km m m m mX t u t t a u t u t= + µɺ ðánh giá thứ hai: Từ (2.10) thay jw bởi jAw , với chú ý ( )( ) ( ) ( )( ), ( ), ( ), ,= λ =ɺɺ ɺɺ ɺɺk k km j j m j m ju t Aw u t w a u t w ( )( ), ( ), ( ), .= λ =m j j m j m jF t Aw F t w a F t w ta ñược: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) .+ µ =ɺɺ k km j m m j m ja u t w t a u t Aw t a F t w t (2.24) Trong (2.24) thay jw bởi ( ) ( )ɺ km jc t w ta ñược: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) .k k k k km m m m m m ma u t u t t a u t Au t a F t u t+ µ =ɺɺ ɺ ɺ ɺ (2.25) Ta có: ( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ), ( ) ( ) ( ) (1). (1)= ∇ ∇ +∫ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ ɺk k k k k km m m m m ma u t u t r u t u t dr hu u ( )( )( ) ( )1 ( ), ( ) ,2= ɺ ɺk km md a u t u tdt ( ) ( )2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01( ), ( ) ( ), ( ) ( ) .2= =ɺ ɺk k k k km m m m mda u t Au t Au t Au t Au tdt Do ñó, (2.25) ñược viết lại: ( ) ( ) 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0( ), ( ) (0), (0) ( ) ( ) (0) (0)− + µ − µɺ ɺ ɺ ɺk k k k k km m m m m m m ma u t u t a u u t Au t Au 20 ( )2( ) ( )0 0 0 ( ) ( ) 2 ( ), ( ) .′− µ =∫ ∫ ɺ t t k k m m m ms Au s ds a F s u s ds Hay ( )2( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 ( ) (0) ( ) ( ) 2 ( ), ( ) . t t k k k k m m m m m mY t Y s Au s ds a F s u s ds′= + µ +∫ ∫ ɺ (2.26) Trong ñó, ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ), ( ) ( ) ( ) .= + µɺ ɺk k k km m m m mY t a u t u t t Au t ðặt 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) .= + + ∫ ɺɺ t k k k k m m m mS t X t Y t u s ds Từ ( ) ( )2.23 , 2.26 cho ta: ( )( )2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) (0) (0) ( ) ( ), ( ) ( )′= + + µ +∫ t k k k k k k m m m m m mS t X Y s a u s u s Au s ds ( ) 2( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 ( ), ( ) 2 ( ), ( ) ( )+ + +∫ ∫ ∫ɺ ɺ ɺɺ t t t k k k m m m m mF s u s ds a F s u s ds u s ds ( ) ( ) 1 2 3 4(0) (0) .= + + + + +k km mX Y I I I I Ta sẽ ñánh giá từng tích phân: * ðánh giá 1I . Do ( )1 1 ,mu W M T− ∈ nên: 1 10 0 ( ) , ( )m mu t M u t M− −∇ ≤ ∇ ≤ɺ a.e [ ]0; .∈t T Suy ra ( )21 1 10( ) 2 ( ) ( ), ( )− − −∂µ′µ = ∇ ∇ ∇∂ξ ɺm m m mt u t u t u t 2 1 1 1 10 0 2 ( ) ( ) 2 . − − ≤ ∇ ∇ ≤ɶ ɶɺm mK u t u t K M Vậy ( ) 2 2 ( )1 1 1 00 0 ( ) 22 ( ) .( )≤ ≤µ µ∫ ∫ ɶ ɶ t tk km m m S s K MI K M ds S s ds s (2.27) * ðánh giá 2I . Ta có: 21 ( ) ( ) 2 0 0 0 0 2 ( ), ( ) 2 ( ) ( ) , t t k k m m m mI F s u s ds F s u s ds= ≤∫ ∫ɺ ɺ (2.28) và ( ) ( ) ( ) 00 0 ( ) , ( ) ( ).≤ ≤ɺk k k m m m F s K u s S s Từ (2.28) ta suy ra: ( ) 2 0 0 ( ) .≤ + ∫ t k mI K T S s ds (2.29) * ðánh giá 3I . Ta có: ( ) ( )1 22 2 2 2 2 20 1 1 0 11 0 1 1( ) 2 1 ( ) 1 2 , 2 2m m F s K K r u s dr K K M − ≤ + + ∇ ≤ + +∫ ( )2( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1 1( ) ( ), ( ) ( ).≤ ≤ɺ ɺ ɺk k k km m m mu s a u s u s S sC C Từ ñó ( ) 1 22 2 2 ( )1 3 0 1 00 1 1 2 ( ) 2 t k m CI K K M S s ds C  ≤ + +   ∫ (2.30) * ðánh giá 4I . Ta có: ( )( ) ( )( ), ( ), ,=k km j m ja u t w Au t w nên (2.10)có thể viết lại là: ( ) ( )( ), ( ) ( ), ( ), .k km j m m j m ju t w t Au t w F t w+ µ =ɺɺ (2.31) Từ (2.31) thay jw bởi ( ) ( )ɺɺ kmu t ta ñược: 2( ) ( ) ( ) ( ) 00 0 0 0 ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) .≤ µ +ɺɺ ɺɺ ɺɺk k k k m m m m m m u s s Au s u s F s u s Từ ñó 22 2( ) 4 00 0 0 2 ( ) . ( ) 2 ( ) t t k m m mI s Au s ds F s ds≤ µ +∫ ∫ ( ) 2 0 0 0 2 ( ) 2 t k mK S s ds K T≤ +∫ɶ (2.32) 22 * ðánh giá ( ) ( )(0) (0)+k km mX Y . Ta có: ( )2( ) ( ) 1 1 10(0) (0) ,+ = + +ɶ ɶ ɶk km m k k kX Y u a u u ( ) ( )2 2( )1 0 00 0(0) , (0) ,−  +µ ∇ +  ɶ ɶ km k k mu a u u Au nên tồn tại 0>M không phụ thuộc vào ,m k sao cho 2 ( ) ( )(0) (0) . 2 k k m m MX Y+ ≤ (2.33) Từ (2.27), (2.28), (2.30), (2.32), (2.33) ta ñược: 2 ( ) ( ) 1 2 0 ( ) ( , ) ( ) ( ) . 2 ≤ + + ∫ t k k m m MS t d M T d M S s ds Với, ( )22 2 2 211 0 0 0 1 0 1( , ) 2 1 2 , 2 2 Cd M T K T K T T K K M C   = + + + +    ( ) 2 2 0 0 1 0 3 2 2 . 2 Md M K K K b = + +ɶ ɶ Từ bổ ñề Gronwall’s ta suy ra: { } 2 ( ) 1 2( ) ( , ) exp ( ) .2 k m MS t d M T Td M ≤ +    (2.34) Do { } 2 2 1 20 lim ( , ) exp ( ) , 2 2+→   + =   T M Md M T Td M nên có thể chọn ñược 0>T ñủ nhỏ ñể: { } 2 2 1 2( , ) exp ( , ) ,2 M d M T Td M T M + ≤    (2.35) ( )2 1 1 0 0 11 2Tk M K K TC   = + +   µ  ɶ 21 1 1 0 0 1 exp 1 1. 2 CTK M TK b C     × + + <       ɶ (2.36) 23 Từ (2.34) , (2.35) suy ra: ( ) 2 ( )( ) , 0; , ≤ ∀ ∈  k km mS t M t T Vậy ta có thể chọn ( ) =kmT T với mọi k và m. Và do ñó: ( ) 1( , )∈kmu W M T , với mọi k, m. Bước 3: Qua giới hạn. Vì { } ( )( ) 1 ,kmu W M T⊂ nên tồn tại dãy con ( ){ }ikmu sao cho: ( ) →ikm mu u yếu * trong ( )20, ; ,∞L T V ( ) →ɺ ɺikm mu u yếu * trong ( )10, ;∞L T V , ( ) →ɺɺ ɺɺikm mu u yếu trong ( )2 00, ; .L T V Ta ñặt ( ) ( ){ }2 21 10, ; : 0, ;TW v L T V v L T V ′= ∈ ∈ , với chuẩn ( ) ( )2 21 10, ; 0, ; .′= + ɺTW L T V L T Vv v v Áp dụng bổ ñề compact Lions với : 1V ֓ 0V ֓ 1V ′ thì phép nhúng TW ֓ ( )2 00, ;L T V là compact. Do ñó, trong ( ){ }ikmu trích ra ñược một dãy con vẫn kí hiệu là ( ){ }ikmu sao cho ( )ikmu hội tụ mạnh ñến mu trong ( )2 00, ; .L T V Ta chứng minh mu thỏa (2.5). Vì ( ) →ɺɺ ɺɺikm mu u yếu trong ( )2 00, ;L T V nên : ( ) , , ik m j m ju w u w→ɺɺ ɺɺ yếu trong ( )2 0,L T . Suy ra, ( ) , , k m j m ju w u w→ɺɺ ɺɺ trong ( )0,D T′ . Ta lại có: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 10 0 0 0 , , i T T k m m j m m ju a u w t dt u a u w t dt− −∇ − ∇∫ ∫µ ϕ µ ϕ 24 ( ) ( )( ) ( )2 20 0, 0,,ikm m jL T L TK a u u w≤ −ɶ ϕ ( ) ( ) ( )2 2 00 0, 0 0, ; 0ikj j m mL T L T VK w u u≤ − → ɶ ϕ λ với mọi ( )0,D Tϕ ∈ . Tức là, ( ) ( )( ) ( ) ( )2 21 10 0, ,ikm m j m m ju a u w u a u w− −∇ → ∇µ µ trong ( )0,D T′ . Tóm lại, ta có mu thỏa mãn (2.5) trong ( )0,D T′ . Kiểm tra mu thỏa mãn (2.6). Chọn hàm trơn ϕ sao cho ( ) ( )0 0, 0Tϕ ϕ≠ = . Từ (2.5) nhân hai vế cho ( )tϕ rồi lấy tích phân theo t trên [ ]0,T ta ñược: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )21 0 0 0 0 , 0 , , T T m m m mu v u t v t dt u t Au t v t dtϕ ϕ µ ϕ−′= − + ∇∫ ∫ɺ ɺ ( )( ) ( )1 0 , , , . − −∫ T mf r t u t v t dtϕ (2.37) Tương tự, từ (2.10) ta ñược: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )21 1 0 0 0 , 0 , , T T k k k m m mu v u t v t dt u t Au t v t dtϕ ϕ µ ϕ−′= − + ∇∫ ∫ɶ ɺ ( )( ) ( )1 0 , , , . − −∫ T mf r t u t v t dtϕ (2.38) Do 1 1ku u→ɶ mạnh trong 1,V ( )ik m m u u→ɺ ɺ yếu* trong ( )10, ; ,∞L T V ( ) ( ) ( )2 21 10 0, ,ikm m j m m ju Au w u Au wµ µ− −∇ → ∇ trong ( )0, ,′D T nên từ (2.37), (2.38) ta ñược: ( ) 1 10 , , , .mu v u v v V= ∀ ∈ɺ ɶ Suy ra, ( ) 10mu u=ɺ ɶ a.e .∈ Ωr 25 Bằng kỹ thuật tương tự, ta kiểm tra ñược: ( ) 00 .mu u= ɶ Ngoài ra, ( ) ( )m m m mu t Au F t= −µ +ɺɺ a.e ( ) ( ), 0, .∈Ω×r t T Do ñó, 0(0, ; ).∞∈ɺɺmu L T V Vậy, 1( , ).∈mu W M T ■ 2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu ðịnh lí 2.2. Giả sử các ñiều kiện 1 3(H ) (H )− ñúng. Khi ñó, i) Tồn tại các hằng số 0, 0> >T M thỏa (2.36) sao cho bài toán (2.1) – (2.4) có một nghiệm yếu duy nhất 1( , )∈u W M T ; ii) Hơn nữa, dãy quy nạp tuyến tính { }mu thỏa (2.5) (2.8)− hội tụ ñến u trong 1( )W T , với: ( ) ( ){ }1 1 0( ) 0, ; | 0, ; .∞ ∞= ∈ ∈ɺW T v L T V v L T V Ta có ñánh giá: ( ) ( )1 00, ; 0, ; , 1.∞ ∞− + − ≤ ∀ ≥ɺ ɺ m m m TL T V L T V u u u u Ck m Với 2 21 1 1 1 1 0 00 0 1 11 2 exp 1 1, 2       = + + + + <      µµ      ɶ ɶ T Ck M TK TK K T M TK CC và 0>C là hằng số chỉ phụ thuộc vào 0 1, , , .TT u u k Chứng minh. Ta chứng minh ñịnh lí theo hai bước. Bước 1: Chứng minh sự tồn tại của nghiệm yếu. Xét chuẩn trong 1( )W T như sau: ( ) ( )1 1 0( ) 0, ; 0, ; .∞ ∞= + ɺW T L T V L T Vv v v Ta dễ thấy rằng 1( )W T là không gian Banach. ● Bây giờ, ta sẽ chứng minh { }mu là dãy Cauchy trong 1( )W T . Ta ñặt: 1+= −m m mv u u . Ta có, 26 ( ) ( )1 1( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ),+ ++ µ + µ − µɺɺm m m m m mv t w t a v t w t t Au t w 1 1( ) ( ), , ,m mF t F t w w V+= − ∀ ∈ (2.39) với (0) (0) 0.= =ɺm mv v ðặt ( )2 10( ) ( ) ( ) ( ), ( ) .+= + µɺm m m m mX t v t t a v t v t Từ (2.39) thay w bằng mvɺ thì: ( ) ( )1 1 0 0 ( ) ( ) ( ), ( ) 2 ( ) ( ) ( ), ( )+ +′= µ − µ − µ∫ ∫ ɺ t t m m m m m m m mX t s a v s v s ds s s Au s v s ds 1 0 2 ( ) ( ), ( ) .++ −∫ ɺ t m m mF s F s v s ds Vì : { }2 2 21 1 10 0( ) ( ) ( ) 2 ,+′µ ≤ ∇ + ∇ ≤ɶ ɶɺm m ms K u s u s M K { }11 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( )m m m m ms s K r v s u s u s dr+ − −µ − µ ≤ ∇ ∇ + ∇∫ɶ 1 1 02 ( ) ,mK M v s−≤ ∇ɶ ( ) ( ) 1 22 1 10 0 ( ) ( ) , , ( ) , , ( )m m m mF s F s r f r s u s f r s u s dr+ −− = −∫ 22 1 1 1 ( ) , m K v s − ≤ nên 2 2 22 0 0 1 10 1 1 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) t m m m mv t C v t X t M K C v s ds+ µ ≤ ≤ ∫ɶɺ ( )1 1 1 11 0 1 00 0 0 4 ( ) . . ( ) 2 ( ) . ( ) t t m m m m mMK v s Au s v s ds K v s v s ds− −+ +∫ ∫ɶ ɺ ɺ 2 221 1 1 0 00 1 0 0 0 2 1 ( ) ( ) t m m C K M K v s C v s ds C      ≤ + + + µ    µ    ∫ɶ ɺ ( ) 1 22 1 1 1 ( )2 .−+ +ɶ m W TT M K K v 27 Theo bổ ñề Gronwall’s ta suy ra: ( ) 1 2 2 22 0 0 1 1 10 1 ( )( ) ( ) 2m m m W Tv t C v t M K K T v −+ µ ≤ +ɶɺ 21 1 1 0 0 exp 2 1 .CT K M K C      × + +   µ     ɶ Ta chọn ñược 0>T sao cho: ( )2 211 1 1 1 0 00 0 1 11 2 .exp 1 1. 2T Ck M K K T TK M TK CC       = + + + + <      µµ      ɶ ɶ Suy ra, 1 1 1( ) ( ) , 1.−≤ ∀ ≥m T mW T W Tv k v m Vậy, 11 1 0 ( )( ) . 1+ − ≤ − − m T m p m W TW T T k u u u u k ðiều ñó có nghĩa { }mu là dãy Cauchy trong 1( )W T . Vậy, tồn tại 1( )∈u W T sao cho →mu u trong 1( ).W T ● Ta có thể trích ra từ { }mu dãy con { }jmu sao cho: → jm u u yếu* trong 2(0, ; ),∞L T V jm u u→ɺ ɺ yếu* trong 1(0, ; ),∞L T V →ɺɺ ɺɺ jm u u yếu* trong 0(0, ; ).∞L T V ● Chứng minh u thỏa (2.5) – (2.8). Với 1( )∈u W T . Ta có: ( )20 0 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) T m mt Au t u t Au t w t dtµ − µ ∇∫ ( ) 10 0 ( ) ( ) ( ) ( ) T m mt A u t u t w t dt≤ µ −∫ ( )( )20 1 00 ( ) ( ) ( ) ( )+ µ − µ ∇∫ T m t u t Au t w t dt 28 ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 11 11 0 1 10, ; 0, ;0, ; 0, ;2 ,∞∞ ∞−≤ − + −ɶ ɶm mL T V L T VL T V L T VC w K u u MK u u u với mọi ( )1 10, ;∈w L T V . Suy ra, ( )20( ) ( ) ( ) ( )µ → µ ∇m mt Au t u t Au t yếu* trong 1(0, ; ).∞ ′L T V Vì 1 10 1( ) ( , , ( ) ( ) ( ) .−− ≤ −m mF t f r t u t K u t u t nên 0 11 1(0, ; ). (0, ; ) ( , , ) . ∞ ∞ − − ≤ −m mL T V L T VF f r t u K u u Vậy ( ), ,→mF f r t u trong 0(0, ; ).∞L T V Suy ra, với = → +∞jm m , tồn tại ( , )∈u W M T thỏa: ( ) ( ) ( )2 10( ), ( ) ( ), , , , , .+ µ ∇ = ∀ ∈ɺɺu t w u t a u t w f r t u w w V ● Với kỹ thuật tương tự trên ta kiểm tra ñược: 0 1(0) , (0) .= =ɶ ɺ ɶu u u u Hơn nữa, ( ) ( ) ( )2 00( ) , , 0, ; .∞= −µ ∇ + ∈ɺɺu u t Au f r t u L T V Do ñó, 1( , ).∈u W M T Bước 2: Chứng minh sự duy nhất nghiệm.Giả sử 1 2,u u là hai nghiệm của bài toán, với 1 2 1, ( , )∈u u W M T . Khi ñó, 1 2= −w u u thỏa mãn bài toán: ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 21 2 20 0 0( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ),+ µ ∇ + µ ∇ − µ ∇ɺɺw t v u t a w t v u t u t Au t v 1 2 1( , , ) ( , , ), , .f r t u f r t u v v V= − ∀ ∈ (2.40) Từ (2.40) thay v bởi wɺ , ta ñược: ( ) ( ) ( )( )2 210 0( ) ( ) ( ), ( )d dw t u t a w t w tdt dt+ µ ∇ɺ 29 ( ) ( )( )2 21 2 20 02 ( ) ( ) ( ), ( )u t u t Au t w t+ µ ∇ − µ ∇ ɺ ( ) ( )1 22 , , ( ) , , ( ) , ( ) .f r t u t f r t u t w t= − ɺ (2.41) Lấy tích phân hai vế (2.41) ta ñược: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 10 0 0 0 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( )′+ µ ∇ = µ ∇∫ɺ t w t u t a w t w t u s a w s w s ds ( ) ( )( )2 21 2 20 0 0 2 ( ) ( ) ( ), ( )− µ ∇ − µ ∇∫ ɺ t u s u s Au s w s ds ( ) ( )1 2 0 2 , , ( ) , , ( ) , ( ) .+ −∫ ɺ t f r s u s f r s u s w s ds Ta ñặt: 2 20 00 1( ) ( ) ( ) .X t w t C w t= + µɺ Ta có: ( ) ( ) 12 2 21 1 1 1 10 0 0 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ,ξ′ ′µ ∇ ≤ µ ∇ ∇ ∇ ≤∫ ɶɺu s u s r u s u s dr M K ( ) ( )2 21 20 0( ) ( )u s u sµ ∇ − µ ∇ ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 1 1 0 ( ) ( ) 2 ( ) ,K r u s u s dr MK w s≤ ∇ − ∇ ≤∫ɶ ɶ 2 2 1 2 10 1( , , ( )) ( , , ( )) ( ) .− ≤f r s u s f r s u s K w s Từ ñó, 22 1 1 1 21 1 0 0 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( ), ( )≤ +∫ ∫ɶ ɶ ɺ t t X t M K C w s ds MK w s Au s w s ds 22 1 1 11 0 1 0 0 2 ( ) . ( ) 2 ( ) t t K w s w s ds M K C w s ds+ ≤∫ ∫ɶɺ ( ) { }2 22 1 1 1 0 0 2 ( ) ( ) t M K K w s w s ds+ + +∫ɶ ɺ ( ) ( )2 1 1 12 1 1 0 0 0 2 1 2 ( ) . tM K C K M K K X s ds C  + + ≤ + + µ   ∫ ɶ ɶ Theo bổ ñề Gronwall thì ( ) 0.=X t Tức là, 1 2.=u u ■