Lý thuyết phân phối giá trị trong trường hợp không ácsimét

Kỷ yếu công trình khoa học 2014 – Phần I Trường Đại học Thăng Long 22 LÝ THUYẾT PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ TRONG TRƯỜNG HỢP KHÔNG ÁCSIMÉT GS. TSKH. VS Hà Huy Khoái Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Thăng Long Tóm tắt: Trong báo cáo này, chúng tôi trình bày một tổng quan ngắn về lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình, trên trường phức và trường số p-adic. Ngoài ra, báo cáo cũng giới thiệu một số kết quả nhận được trong những năm gần đây, tập trung vào những bài toán như sự xác định hàm bởi nghịch ảnh, giả thuyết Hayman về toán tử vi phân xác định bởi hàm phân hình. I. Lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình. Ra đời vào khoảng những năm 1930-40, lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình được đánh giá là một trong những lý thuyết sâu sắc nhất của giải tích toán học thế kỷ 20. Tư tưởng chính của nó bắt đầu từ Định lý cơ bản của đại số: Định lý: Giả sử f(z) = aozn+ a1zn-1++ an là đa thức hệ số phức, bậc ≥ 1. Khi đó với mọi giá trị phức a, phương trình f(z) = a có đúng n nghiệm (kể cả bội). Câu hỏi tự nhiên đặt ra là: nếu f (z) là hàm chỉnh hình, hay hàm phân hình, thì có thể nói gì về số nghiệm của phương trình f( z) = a ? Định lý cơ bản của đại số nói rằng, số nghiệm của phương trình đúng bằng bậc của đa thức. Tuy nhiên trong trường hợp hàm chỉnh hình hay hàm phân hình, khái niệm bậc không tồn tại nữa. Để mở rộng sang trường hợp này, ta cần nhìn nhận định lý cơ bản của đại số như là sự khẳng định mối liên quan giữa số nghiệm của phương trình với cấp tăng của đa thức. Như vậy, đối với hàm chỉnh hình hay hàm phân hình f(z), cần xét mối liên quan giữa số nghiệm của phương trình f(z)= a trong hình tròn bán kính r với cấp tăng của hàm. Kết quả quan trọng đầu tiên theo hướng trên được cho bởi định lý Hadamard: Định lý (Hadamard). Giả sử f(z) là hàm chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức, a là một giá trị phức tùy ý. Khi đó ta có {Số nghiệm của phương trình f(z)=a, |z|≤ r} ≤ log max {|f(z)|, |z|≤ r} + O(1), trong đó O(1) là đại lượng giới nội khi r→∞. Như vậy, định lý Hadamard cho một tương tự của Định lý cơ bản của đại số đối với trường hợp các hàm chỉnh hình. Tuy nhiên, so với Định lý cơ bản của đại số thì có thể nhận thấy Định lý Hadamard có hai thiếu sót lớn: 1/ Tồn tại những hàm không có không điểm, nhưng cấp tăng rất lớn (chẳng hạn hàm f (z) = ez. Khi đó vế trái của bất đẳng thức bằng 0 và định lý trở nên tầm thường. 2/ Khi f (z) là hàm phân hình (có cực điểm) thì vế phải bằng ∞ và định lý không cho một ước lượng gì về số nghiệm của phương trình. Lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình (còn gọi là Lý thuyết Nevanlinna) ra đời nhằm khắc phục hai thiếu sót trên. Kỷ yếu công trình khoa học 2014 – Phần I Trường Đại học Thăng Long 23 Đối với thiếu sót thứ nhất, Nevanlinna nhận xét rằng: trong khi hàm mũ không nhận giá trị 0, nó nhận rất nhiều giá trị “gần 0”. Vì thế, Nevanlinna định nghĩa hàm xấp xỉ m(f, a, r) nhằm “đo độ lớn tập hợp các giá trị tại đó f(z) gần với 0” (khi hàm càng gần giá trị a thì m(f, a, r) càng lớn). Như thường lệ, hàm đếm N (f, a, r) dùng để tính số nghiệm của phương trình đang xét trong hình tròn bán kính r. Như vậy, hàm đặc trưng T(f, a, r) = m (f,a,r) + N (f, a, r) cho biết “độ lớn của tập hợp các điểm tại đó hàm nhận giá trị a hoặc gần a”. Định lý cơ bản thứ nhất. Giả sử f là hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Khi đó tồn tại hàm T (f, r) sao cho với mọi giá trị phức a ta có: T(f, a, r) = T(f, r) + 0(1), trong đó 0(1) là đại lượng giới nội khi r → ∞. Do vế trái có thể xem là không phụ thuộc a nên Định lý cơ bản thứ nhất nói rằng, số điểm tại đó hàm nhận giá trị a hoặc gần a không phụ thuộc vào a, và được tính bằng hàm đặc trưng T(f,r). Như vậy đây đúng là một tương tự của Định lý cơ bản của đại số (trong đó hàm đặc trưng đóng vai trò như bậc của đa thức). Tuy nhiên, để nhận được tương tự của Định lý cơ bản của đại số, ngoài hàm N(f,a,r) tính số nghiệm của phương trình, Nevanlinna đã phải thêm vào hàm xấp xỉ m(f,a,r). Nếu phần thêm này mà lớn thì định lý nói trên trở nên ít ý nghĩa. Nevanlinna chứng minh một định lý sâu sắc hơn rất nhiều, mà một cách sơ lược, có thể phát biểu như sau : Định lý cơ bản thứ hai. Nhìn chung, đại lượng m(f,a,r) rất nhỏ so với N(f,a,r). Với hai Định lý cơ bản trên đây, ta có một tương tự hoàn hảo của Định lý cơ bản của đại số cho trường hợp các hàm phân hình. Chính vì thế mà lý thuyết hàm phân hình được phát triển dựa trên hai định lý cơ bản của Nevanlinna. Trong khỏang 30 năm gần đây, người ta phát hiện ra nhiều mối liên quan chặt chẽ giữa lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình và lý thuyết xấp xỉ Diophant trong số học. Nhiều giả thuyết lớn của số học có thể được phát biểu như là một kết quả của “lý thuyết Nevanlinna số học”. Vì thế nhu cầu xây dựng một lý thuyết như vậy trở nên cấp thiết. Trên tinh thần của nguyên lý địa phương – toàn cục Hasse-Minkovski, ta hy vọng có một kết quả “số học” nếu có nó trên trường thực, phức và p-adic. Lý thuyết Nevanlinna p-adic (tổng quát hơn, trên trường không Acsimét) được xây dựng lần đầu tiên trong [ ], và được phát triển trong nhiều công trình tiếp theo của nhiều nhà toán học khác (xem, chẳng hạn). Trong lý thuyết Nevanlinna p-adic, chúng tôi đã chứng minh các định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai, đồng thời xây dựng lý thuyết này cho trường hợp nhiều chiều (xem). II. Sự xác định hàm phân hình theo nghịch ảnh. Một trong những kết quả nổi tiếng của lý thuyết Nevanlinna là định lý sau đây, nổi tiếng với tên gọi “Định lý 5 điểm” Kỷ yếu công trình khoa học 2014 – Phần I Trường Đại học Thăng Long 24 Định lý 5 điểm. Giả sử f, g là hai hàm phân hình trên toàn mặt phẳng. Khi đó nếu tồn tại 5 giá trị phân biệt ai i=1,2,3,4,5 sao cho f-1(ai) = g-1(ai) thì f và g trùng nhau, hoặc f, g là hằng số. Định lý trên đây đã mở đầu cho một hướng nghiên cứu mới, bắt đầu từ những năm 1980, về việc tìm những tập hợp xác định duy nhất hàm phân hình. Định nghĩa. Tập con S trong mặt phẳng phức mở rộng được gọi là tập xác định duy nhất các hàm phân hình nếu với hai hàm phân hình f, g, điều kiện f-1(S) = g-1(S) kéo theo f=f hoặc f, g là hằng số. Vấn đề đặt ra là tìm những tập xác định duy nhất hàm phân hình với số điểm càng ít càng tốt, và cho những đặc trưng của các tập hợp xác định duy nhất hàm phân hình. Vấn đề nêu trên đã được nghiên cứu đối với trường hợp p-adic trong những công trình của nhiều tác giả (xem). Gần đây, bài toán tìm những tập xác định duy nhất được mở rộng sang cho trường hợp chiều cao. Cụ thể, chúng tôi xét những tập xác định duy nhất các đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh (xem). Vấn đề nêu trên cũng liên quan trực tiếp đến câu hỏi: bao giờ phương trình P(f)= P(g) (trong đó P là đa thức) có các nghiệm là những hàm phân hình khác hằng? Vấn đề tổng quát hơn đối với phương trình P(f) = Q(g) được xét lần đầu tiên năm 2004 ([ ]). Gần đây, trong [ ] đã nghiên cứu bài toán trên, trong đó các hàm phân hình được thay bởi các đường cong trong không gian xạ ảnh. III. Giả thuyết Hayman trên trường không Acsimét. Liên quan đến những vấn đề nêu trên, năm 1967 Hayman đưa ra giả thuyết sau: Giả thuyết Hayman. Nếu hàm chỉnh hình f(z) thỏa mãn điều kiện fn(z) f’(z )≠ 1 với số nguyên dương n nào đó và z tùy ý, thì f hàm hàm hằng. Giả thuyết trên có nhiều tương tự cho trường hợp các hàm phân hình trên trường không Acsimét. Trong [] chúng tôi thiết lập kết quả sau: Định lý. Giả sử f là hàm phân hình trên trường không Acsimét K, thỏa mãn điều kiện (fn)(k) ≠ 1 nguyên dương n nào đó và z tùy ý, thì f hàm hàm hằng. Chứng minh chi tiết có thể xem trong những công trình được liệt kê ở phần Tai liệu tham khảo. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Vu Hoai An and Tran Dinh Duc, Uniqueness theorems and uniqueness polynomials for holomorphic curves; Complex Variables and Elliptic Equations, Vol. 56, N. 1-4, pp.253- 262. [2]. D. Barsky. Theorie de Nevanlinna p-adique d’apres Ha Huy Khoai. Groupe d’Etude Analyse Ultrametrique, 1984. [3] Ha Huy Khoai. On p -adic meromorphic functions. Duke Math. J., Vol. 50, 1983. Kỷ yếu công trình khoa học 2014 – Phần I Trường Đại học Thăng Long 25 [4]. Ha Huy Khoai and My Vinh Quang. p-adic Nevanlinna Theory. Lecture Notes in Math. 1351, 138-152. [5] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu. P -adic Nevanlinna-Cartan Theorem, Internat. J. Math, Vol.6, N.5, 1995, 710-731. [6]. Ha Huy Khoai and Ta Thi Hoai An. On uniqueness polynomials and bi-URS for p- adic meromorphic functions. Journal of Number Theory, Vol. 87 (2001), N.2, 211-221. [7]. Ha Huy Khoai and Vu Hoai An. Value Distribution for p-adic hypersurfaces. Taiwanese J. Math., Vol. 7, N.1, 2003. [8]. Ha Huy Khoai. Some remarks on the genericity of unique range sets for meromorphic functions. Sci in China, Ser. A. 2005. Vol. 48, 62-267. [9] Ha Huy Khoai and Ta Thi Hoai An. A survey on uniqueness polynomials and unique range sets. Mathematics Monograph Series 11, Sci. Press, Beijing, 2008, pp. 161-180, [10] Ha Huy Khoai. Unique range sets and decomposition of meromorphic functions. Contemp. Math. Vol. 475, 2008; pp. 95-105. [11] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An. Value distribution problem for p-adic meromorphic functions and their derivatives, Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse,T. 2, 2011, 137-151, [12] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An. Value sharing problem for p-adic meromorphic function and their difference polynomials. Ukranian Math. J., Vol.64, N.2, 2012, 147-164, [13] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai. Value sharing problem and uniqueness for p-adic meromorphic functions. Ann. Univ. Budapest, Sect Comp. 38, 2012, 71- 92. [14] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Lê Quang Ninh.Uuniqueness theorems for holomorphic curves with hypersurfaces of Fermat-Waring type. Complex Anal. Oper. Theory, 2014 (to appear). [15]. Ha Huy Khoai and C.-C., Yang. On the functional equation P(f)=Q(g). Adv. Complex Anal. Appl., 3, Kluwer Acad. Publ., Boston, MA, 2004.