Ngân hàng câu hỏi môn xử lý số tín hiệu I

Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc NGÂN HÀNG CÂU HỎI Môn: Xử lý số tín hiệu I Số đơn vị học trình: 3 Nội dung chính: 1. Hình thức thi: Thi lý thuyết 2. Thời gian thi (chuẩn bị): 90 phút (không kể thời gian giao đề) 3. Đề thi: (3 câu hỏi /1 đề) 4. Phương án làm đề: Mỗi đề thi gồm 3 câu: 2 câu loại 3 điểm, 1 câu loại 4 điểm. 5. Nội dung câu hỏi 5.1 Loại câu 3 điểm (20 câu) Câu 1. Chứng minh hệ thống được định nghĩa bởi quan hệ: là một hệ thống tuyến tính. Câu 2. Chứng minh rằng hệ thống được định nghĩa bởi quan hệ: y(n) = x(M.n) với -∞ < n < ∞ và M là một số nguyên dương không phải là một hệ thống bất biến Câu 3. Tính tự tương quan của dãy x(n) = u(n) – u(n – 4). Câu 4. Xét trường hợp tín hiệu là tổng của hai hàm mũ thực:                         x(n) = (1/2)nu(n) - (-3)nu(-n-1)  (*)                                                     Tính biến đổi Z. Câu 5.  Xác định biến đổi Z của tín hiệu x(n) = nanu(n). Câu 6. Giả sử x(n) có biến đổi z là: với ROC là |z| > 1. Tìm x(n). Câu 7. Hãy xác định dãy nhân quả x(n) có biến đổi z là:  Câu 8. Hãy xác định dãy x(n) mà biến dổi z của nó là: Câu 9. Hãy xác định biến đổi Z ngược của: khi: (a) ROC là |z| > 1  (b) ROC là |z| < 0.5 Câu 10. Đáp ứng xung của một hệ thống LTI nghỉ là h(n) = anu(n), với |a| < 1. Hãy xác định đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào là tín hiệu nhảy bậc đơn vị khi n ® ¥. Câu 11. Xác định và vẽ phổ mật độ năng lượng Sxx(ω) của tín hiệu :               x(n) = anu(n) với -1 < a < 1, cụ thể : a = 0,5 và a = -0,5 Câu 12. Xác định tín hiệu x(n), biết rằng phổ của nó là : Câu 13. Xác định biến đổi Fourier và phổ mật độ năng lượng của dãy Đồ thị của tín hiệu này được vẽ trong hình vẽ Câu 14. Xác định biến đổi Fourier của tín hiệu Câu 15. Xét một dãy có chiều dài hữu hạn L được định nghĩa như sau : Xác định DFT N điểm của dãy này với  N ≥ L Câu 16. Hãy xác định tín hiệu ra của hệ thống có đáp ứng xung là : Với tín hiệu vào là 1 dãy hàm mũ phức :  Câu 17. Hãy xác định biên độ và pha của H(w) cho một hệ thống được biểu diễn bởi quan hệ vào ra như sau : Và vẽ đồ thị của 2 hàm này với 0 £ w £ p. Câu 18. Hãy xác định đáp ứng của hệ thống có đáp ứng xung là : với tín hiệu vào là : Câu 19. Cho một hệ thống LTI được đặc tả bởi đáp ứng xung : Xác định phổ và phổ mật độ năng lượng của tín hiệu ra, khi hệ thống được kích thích bởi tín hiệu : Câu 20 Xác định và vẽ đồ thị đáp ứng biên độ, đáp ứng pha của hệ thống FIR được đặc tả bởi phương trình sai phân: 5.1 Loại câu 4 điểm (10 câu) Câu 1. Cho một hệ thống LTI có đáp ứng xung là : tín hiệu vào là: x(n) = an u(n). Tính đáp ứng y(n) của hệ thống, với N> 0 và |a| <1. Câu 2. Xác định đáp ứng với tín hiệu vào x(n) = 0 của một hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc 2 như sau: y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = 0 Câu 3. Tìm đáp ứng y(n), với n ≥ 0, của hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc hai như sau: y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = x(n) + 2x(n-1) tín hiệu vào là: x(n) = 4nu(n). Hãy xác định nghiệm riêng của pt. Câu 4. Tìm đáp ứng y(n), với n < 0, của hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc hai y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = x(n) + 2x(n-1) x(n) = 4nu(n) với điều kiện đầu là y(-1) = y(-2) = 0. Câu 5. Hãy xác định tương quan chéo rxy(n) của 2 dãy sau: x(n) = { …, 0, 0, 2, -1, 3, 7, 1, 2, -3, 0, 0, …} y(n) = { …, 0, 0, 1, -1, 2, -2, 4, 1, -2, 5, 0, 0, …} Câu 6. Xác định biến đổi Z của tín hiệu: (a) x(n) = (cosw0n)u(n) (b) x(n) = (sinw0n)u(n) Câu 7. Câu 8. Xác định đáp ứng với hàm nhảy bậc đơn vị của hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau: y(n)=0,9y(n-1) - 0,81y(n-2) + x(n) với các điều kiện đầu như sau: (a)       y(-1) = y(-2) = 0 (b)       y(-1) = y(-2) = 1 Câu 9 Xét tín hiệu : x(n) = anu(n) , 0 < a < 1 phổ của tín hiệu này được lấy mẫu ở các tần số (k =, k = 0, 1, ..., N-1. Xác định phổ được khôi phục với a=0,8 khi N=5 và N = 50. Câu 10. Một hệ thống LTI được mô tả bởi phương trình sai phân như sau :                                 y(n) = ay(n-1) + bx(n),  0 < a < 1 (a) Xác định biên độ và pha của đáp ứng tần số của hệ thống. (b) Chọn tham số b sao cho giá trị cực đại của |H(ω)| là đơn vị, vẽ đồ thị |H(ω)| và Ð H(ω) với a = 0,9. (c) Xác định đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào là : 6. ĐÁP ÁN 6.1 Loại câu 3 điểm (20 câu) Câu 1. = a.y1(n) + b.y2(n) với a và b là các hằng số bất kỳ. Vậy hệ thống này là một hệ thống tuyến tính. Câu 2. Chứng minh: Gọi y1(n) là đáp ứng của tác động x1(n), với x1(n) = x(n – nd), thì: y1(n) = x1(Mn) = x(Mn – nd) Nhưng: y(n-nd) = x[M(n-nd)] ( y1(n) Ta thấy x1(n) bằng x(n) được dịch nd mẫu, nhưng y1(n) không bằng với y(n) trong cùng phép dịch đó. Vậy hệ thống này không là hệ thống bất biến, trừ khi M = 1. Câu 3. Giải: Cách tính tự tương quan bằng đồ thị được trình bày trong hình vẽ. Câu 4. Giải: Để X(z) hội tụ, hai tổng trong pt (*) phải hội tụ, điều kiện là: |(1/2)z-1| 1/2  và |z|  <3 .  Vì vậy, ROC là miền 1/2 < |z| < 3.  Đồ thị cực-zero và ROC được trình bày trong hình 2. Và: Câu 5. Giải: Đặt x1(n) = anu(n), ta được  x(n) = nx1(n) . Ta đã biết: Câu 6. Giải: Từ ROC của X(z), ta thấy x(n) là một dãy bên phải. Vì M = N và tất cả các cực đều là bậc nhất. Ta có thể biểu diễn X(z) dưới dạng sau.                        (Hệ số B0 được tìm bởi phép chia đa thức tử số cho đa thức mẫu số) X(z) được viết lại:   Đặt, ta sẽ khai triển Xht(z) thành tổng của 2 phân thức đơn giản, các hệ số A1 và A2 được tính như sau:            Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:                                     x(n) = 2d(n) – 9 (1/2)nu(n) + 8 u(n) Câu 7. Giải:  Ta thấy X(z) có một nghiệm kép bậc 2 tại z = 1, ta viết lại X(z) dưới dạng: Các hệ số A và C2 có thể tính được một cách dễ dàng như sau: Để tính C1, ta viết lại: Áp dụng phương pháp tra bảng kết hợp với các tính chất tuyến tính, vi phân trong miền z, với x(n) là một dãy nhân quả, ta thu được:             X(n) = ¼ (-1)nu(n) + ¾ u(n) + ½ n u(n) = [¼ (-1)n + ¾  + n/2]u(n) Câu 8. Ta thấy X(z) cũng có dạng hàm hữu tỉ, nhưng chỉ có một cực là z = 0, Ta có thể khai triển thành một chuỗi lũy thừa như sau: Câu 9. Giải: (a)     Từ ROC của X(z) ta thấy x(n) là một dãy bên phải. Vì vậy , ta sẽ tìm một khai triển chuỗi lũy thừa với số mũ âm. Bằng cách chia tử cho mẫu xếp theo số mũ âm dần, ta được:        Ta được: (b)   Từ ROC của X(z), ta thấy x(n) là một dãy bên trái. Vì vậy, ta phải thực hiện phép chia sao cho thu được khai triển lũy thừa dương của z. Muốn vậy, ta xếp các đa thức tử số và mẫu số theo thứ tự sao cho lũy thừa của z-1 giảm dần (tức số mũ ít âm dần cho đến 0). Ta thực hiện phép chia như sau: Ta thu được:               Câu 10. Giải:  Đáp ứng của hệ thống là:                                                             y(n) = h(n)*x(n) với : x(n) = u(n). Rõ ràng, nếu ta kích thích một hệ thống nhân quả với một tín hiệu vào nhân quả thì tín hiệu ra cũng nhân quả. Vì x(n), h(n) và y(n) đều là các dãy nhân quả, nên biến đổi Z một phía và biến đổi Z hai phía là đồng nhất. Áp dụng tính chất chập ta được: Vì |a| < 1 nên ROC của (z-1)Y(z) chứa vòng tròn đơn vị. Áp dụng định lý giá trị cuối, ta được:           Câu 11. Giải Biến đổi Z của x(n) là:  X(z) = , với ROC : êzï> êaï Vì |a|< 1 nên ROC của X(z) chứa vòng tròn đơn vị, vì vậy biến đổi Fourier tồn tại. Ta thay z = ejω để có được biến đổi Fourier của x(n), đó là : Mật độ phổ năng lượng : Ta thấy Sxx(-ω) = Sxx(ω). Hình 3 vẽ tín hiệu x(n) và phổ tương ứng với a = 0,5 và a = -0,5. Ta thấy với a=-0,5 tín hiệu biến đổi nhanh hơn và kết quả là phổ của nó tập trung ở vùng tần số cao. Câu 12. Giải : Ta có :  Khi n = 0, ta có :         Vậy:                                                      Cặp biến đổi Fourier được minh họa trong hình vẽ. Ta thấy, x(n) là một tín hiệu có năng lượng hữu hạn và Ex =. Câu 13. Giải : Tín hiệu đã cho là tín hiệu khả tổng tuyệt đối thật vậy : Do đó biến đổi Fourier của nó tồn tại. Hơn nữa, đây là một tín hiệu có năng lượng hữu hạn, ta tính được Ex = êAï2L Biến đổi Fourier của tín hiệu có thể được tính như sau : Cho ω = 0, ta có X(0) = AL (dùng qui tắc L’Hospital) Phổ biên độ của x(n) là :              Hình vẽ trình bày phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu với A = 1 và L=5 phổ mật độ năng lượng chỉ là bình phương của phổ biên độ. Câu 14. Giải : Rõ ràng x(-n) = x(n). Vậy x(n) là một tín hiệu thực và chẳn. Vì X(ω) là thực, nên phổ biên độ và pha được tính như sau : Câu 15. Giải : Biến đổi Fourier của dãy này là : Biên độ và pha của X(ω) được vẽ trong hình vẽ với L = 10. DFT N điểm của x(n) đơn giản là giá trị của X(ω) tại tập N tần số ωk =, k = 0,1, ..N-1 , vậy : Nếu N được chọn sao cho N = L, thì DFT trở thành :                             Câu 16. Giải : Đáp ứng tần số : Câu 17. Giải : Đáp ứng xung của hệ thống là : Đáp ứng tần số (sử dụng tính chất dịch trong miền thời gian) Kết quả : Câu 18. Giải : Đáp ứng tần số của hệ thống đã được cho trong phương trình Số hạng đầu tiên của tín hiệu vào là một tín hiệu hằng, có tần số ω = 0, ở tần số này:          Vậy đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào x(n) là : Câu 19. Giải : Câu 20. Giải : Đồ thị của đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của hệ thống này 6.2 Loại câu 4 điểm (10 câu) Câu 1. Giải: - Với n < 0: Hình 1(a). trình bày hai dãy x(k) và h(n-k) trong trường hợp n < 0 (với N = 4 và n = -3). Ta thấy trong trường hợp này, các thành phần khác 0 của x(k) và h(n-k) không trùng nhau, vì vậy: y(n) = 0, với mọi n < 0. - Với 0 ≤ n < N-1: Hình 1(b). trình bày hai dãy x(k) và h(n-k), trong trường này, ta thấy: x(k).h(n-k) = ak nên: Ta thấy, y(n) chính là tổng (n+1) số hạng của một chuỗi hình học có công bội là a, áp dụng công thức tính tổng hữu hạn của chuỗi hình học, đó là: Hình 1: Các dãy xuất hiện trong quá trình tổng chập. (a);(b);(c)Các dãy x(k) và h(n-k) như là một hàm của k với các giá trị khác nhau cảu n (chỉ các mẫu khác 0 mới được trình bày ); (d) Tổng chập y(n) = x(n) * h(n). - Với (N-1) < n: Hình 1(b). trình bày hai dãy x(k) và h(n-k), tương tự như trên ta có: x(k).h(n-k) = ak Câu 2. Giải: Ta biết nghiệm của pt có dạng: yh(n) = n, thay vào pt, ta thu được: ln - 3ln-1 - 4ln-2 = 0 hay ln -2 (l2 - 3l - 4) = 0 và phương trình đặc tính là: (l2 - 3l - 4) = 0 Ta có 2 nghiệm l1 = -1 và l2 = 4, nghiệm của phương trình thuần nhất có dạng tổng quát là: yh(n) = C1ln1 + C2ln2 = C1(-1)n + C2(4)n Đáp của hệ thống với tín hiệu vào bằng 0 có thể thu được bằng cách tính giá trị các hằng số C1 và C2 dựa vào các điều kiện đầu. Các điều kiện đầu được cho thường là giá trị của đáp ứng ở các thời điểm n=-1; n = -2;...; n = -N. Ở đây, ta có N=2, và các điều kiện đầu được cho là y(- 1) và y(-2), ta thu được: y(0) = 3y(-1) + 4y(-2) y(1) = 3y(0) - 4y(-1) = 13y(-1) + 12y(-2) Ta có: y(0) = C1 + C2 y(1) = -C1 + 4C2 Suy ra: C1 + C2 = 3y(-1) + 4y(-2) -C1 + 4C2 = 13y(-1) + 12y(-2) Giải hệ 2 phương trình trên ta được: C1 = (-1/5)y(-1) + (4/5)y(-2) C2 = (16/5)y(-1) + (16/5)y(-2) Vậy đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào bằng 0 là: yh(n) = [(-1/5)y(-1) + (4/5)y(-2)](-1)n + [(16/5)y(-1) + (16/5)y(-2)](4)n Giả sử, y(-2)=0 và y(-1)=5, thì C1=-1 và C2 =16. Ta được: yh(n) = (-1)n+1 + (4)n+2 , với n ³ 0 Câu 3 Giải: Nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất cho hệ thống này như trong câu hỏi 3.: yh (n) = C1(-1)n + C2(4)n Nghiệm riêng của được giả thiết có dạng hàm mũ: yp(n) = K(4)nu(n). Tuy nhiên chúng ta thấy dạng nghiệm này đã được chứa trong nghiệm thuần nhất.Vì vậy, nghiệm riêng này là thừa ta không xác định được K. Ta chọn một dạng nghiệm riêng khác độc lập tuyến tính với các số hạng chứa trong nghiệm thuần nhất. Trong trường hợp này, ta xử lý giống như trường hợp có nghiệm kép trong phương trình đặc tính. Nghĩa là ta phải giả thiết nghiệm riêng có dạng: yp(n) = Kn(4)nu(n). Thế vào pt: Kn(4)nu(n) - 3K(n-1)(4)n-1u(n-1) - 4 K(n-2)(4)n-2u(n-2) = (4)nu(n) + 2(4)n-1u(n-1). Để xác định K, ta ước lượng phương trình này với mọi n ≥ 2, nghĩa là với những giá trị của n sao cho hàm nhãy bậc đơn vị trong phương trình trên không bị triệt tiêu. Để đơn giản về mặt toán học, ta chọn n = 2 và tính được K = 6/5. Vậy: yp(n) = (6/5)n(4)nu(n) Câu 4 Giải: Nghiệm tổng quát của pt là: y(n) = yh(n) + yP(n) = C1(-1)n + C2(4)n + (6/5)n(4)n, với n≥0 với các điều kiện đầu là các giá trị y(-1) = y(-2) = 0, ta tính y(0) và y(1) và thành lập được hệ phân trình: C1 + C2 = 1 -C1 + 4C2 + 24/5 = 9 suy ra: C1 = -1/25 và C2 = 26/25. Cuối cùng ta thu được đáp ứng y(n) của hệ thống với các điều kiện đầu bằng 0, với tín hiệu vào là x(n) = (4)nu(n) có dạng: Câu 5 Giải: Theo định nghĩa ta tính rxy với từng giá trị n ·      v0(k) = x(k)y(k) = {…, 0, 0, 2, 1, 6, -14, 4, 2, 6, 0, 0,…} Sau đó lấy tổng tất cả các mẫu của v0(k), ta được: rxy(0) = 7 ·      Với n > 0, ta dịch y(k) sang phải n mẫu, tính tích vn(k) = x(k)y(k-n) và sau đó cộng tất cả các mẫu của vn(k), ta thu được: rxy(1) = 13 rxy(2) = -18 rxy(3) = 16 rxy(4) = -7 rxy(5) = 5 rxy(6) = -3 và rxy(n) = 0, với n ≥ 7 ·      Với n < 0, ta dịch y(k) sang trái n mẫu, tính tích vn(k) = x(k)y(k-n) và sau đó cộng tất cả các mẫu của vn(k), ta thu được: rxy(-1) = 0 rxy(-2) = 33 rxy(-3) = 14 rxy(-4) = 36 rxy(-5) = 19 rxy(-6) = -9 rxy(-7) = 10 và rxy(n) = 0, với n≤-8 Kết quả tương quan chéo của hai dãy x(n) và y(n) là: rxy(n) = {…, 0, 0, 10, -9, 19, 36, -14, 33, 0, 7, 13, -18, 16, -7, 5, -3, 0, 0,…} Câu 6 Giải: (a) Tín hiệu x(n) có thể được biểu diễn bởi các hàm mũ phức theo công thức Euler: Sau một số thao tác đại số được kết quả: (b) Tương tự , tín hiệu x(n) có thể được biểu diễn bởi các hàm mũ phức theo công thức Euler: Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được: Sau một số thao tác đại số được kết quả: Câu 7 Đường cong kín C nằm trong ROC của X(z) nên có bán kính lớn hơn |a|. - Với n ≥ 0, C bao quanh một cực duy nhất tại z = a, ta có: kết quả là:                     x(n) = an - Với n < 0 , có cực kép bậc n tại z = 0. - Khi n = -1, có 2 cực trong C là z = a và z = 0             Kết quả là x(-1) =  a-1 - a-1 = 0 - Khi n = -2, có 1 cực đơn z = a và một cực kép bậc 2 tại z = 0 trong C.  Kết quả là x(-2) = 0 Tính tiếp tục với n = -3, -4, -5,… ta thấy x(n) = 0, với mọi n < 0. Vậy, kết quả cuối cùng là: x(n) = anu(n). Câu 8 Giải: đáp ứng trạng thái zero: (a) Vì điều kiện đầu bằng 0 nên y(n) = yzs(n). (b) Với điều iện đầu y(-1) = y(-2) = 1, thành phần thêm vào trong biến đổi z là: Kết quả, đáp ứng tín hiệu vào bằng 0 là: Trong trường hợp này, đáp ứng tổng có biến đổi z là:            Y(z) = Yzs(z) + Yzi(z) Lấy biến đổi z ngược ta có đáp ứng tổng: Câu 9 Giải : Biến đổi Fourier của dãy x(n) là :  Thay a = 0,8 và w = wk = , ta được : Dãy tuần hoàn xp(n) tương ứng với các mẫu X(), k = 0, 1, ..., N-1               với n = 0, 1, ..., N-1 Kết quả được minh họa trong hình vẽ với N = 5 và N = 50. Để có sự so sánh, dãy nguyên thủy x(n) và phổ của nó cũng được vẽ. Ảnh hưởng của hiện tượng chồng mẫu khá rõ trong trường hợp N = 5. Trong trường hợp N=50 ảnh hưởng do sự chồng mẫu rất yếu và kết quả x’(n) » x(n), với n=0, 1, 2, ..., N-1. Câu 10 Giải : Đáp ứng xung của hệ thống là :                                 h(n) = ban u(n) Vì |a|< 1, nên hệ thống là BIBO, vì vậy H(ω) tồn tại  (b) Vì tham số a là dương, mẫu số của  |H(ω)| cựa tiểu khi ω = 0. Vậy  |H(ω)| sẽ cựa đại tại ω = 0. Ở tần số này ta có :                     q (p) = 0 Tín hiệu ra của hệ thống là :