Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỉ

Nguyễn Phi Hùng - Võ Thành Văn Đại học Khoa học Huế ************** Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ A. Lời nói đầu Qua bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu cho các bạn một số kĩ năng đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ. Như chúng ta đã biết có nhiều trường hợp giải một phương trình vô tỷ mà ta biến đổi tương đương sẽ ra một phương trình phức tạp , có thể là bậc quá cao ...Có lẽ phương pháp hữu hiệu nhất để giải quyết vấn đề này chính là đặt ẩn phụ để chuyển về một phương trình đơn giản và dễ giải quyết hơn . Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này : - Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ - Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ Tiến hành giải quyết phương trình vừa tạo ra này . Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp. - Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm * Nhận xét : - Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ở bước đầu tiên . Lí do là nó quyết định đến toàn bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toán . - Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi muốn nêu ra trong bài viết này đó là : + PP Lượng giác hoá + PP dùng ẩn phụ không triệt để + PP dùng ẩn phụ đưa về dạng tích + PP dùng ẩn phụ đưa về hệ 2B. Nội dung phương pháp I. Phương pháp lượng giác hoá : 1. Nếu |x| a thì ta có thể đặt tax sin ,t      2 ; 2  hoặc  ;0,cos  ttax Ví dụ 1 : Giải phương trình: )121(11 22 xxx  Lời giải : ĐK :| 1|x Đặt      2 ; 2 ,sin  ttx Phương trình đã cho trở thành :              2 cos 2 3 sin22sinsin 2 cos2)cos21(sincos1 tt tt t ttt                                 3 4 6 )12( 2 1 2 3 sin 0 2 cos 0)1 2 3 sin2( 2 cos   kt kt t t tt Kết hợ p với điều kiện của t suy ra : 6 t Vậy phương trình có 1 nghiệm : 2 1 6 sin      x Ví dụ 2 : Giải phương trình:   3 1 3 2 )1()1(11 2 332 xxxx  Lời giải : ĐK : 1|| x Khi đó VP > 0 . Nếu   0)1()1(:0;1 33  xxx Nếu   0)1()1(:1;0 33  xxx . Đặt tx cos , với     2 ;0  t ta có : ttt tttt sin2sin 2 1 1cos62sin2 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin62 33                                   6 1 cos0sin21cos6  ttt Vậy nghiệm của phương trình là 6 1x Ví dụ 3 : Giải phương trình: x x x x xx 21 21 21 21 2121     Lời giải : ĐK : 2 1 || x Đặt  ;0,cos2  ttx phương trình đã cho trở thành :   0cos02sinsin sin 4 sin12 2 cot 2 tan2 2 cos 2 sin 23 2                      ttt t t t an ttt Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 0x 3Ví dụ 4 (THTT): Giải phương trình: 233  xxx (1) Hướng dẫn : Nếu 2x : phương trình không xác định . Chú ý với 2x ta có :   243 23  xxxxxxx Vậy để giải phương trình (1) ta chỉ cần xét với  2;2x Đặt  ;0,cos2  ttx khi đó phương trình đã cho trở thành :      2 cos3cos t t 2. Nếu ax || thì ta có thể đặt : 0, 2 ; 2 , sin      tt t a x  hoặc   2 ;;0, cos   tt t a x Ví dụ 5 : Giải phương trình: 1 1 1 1 2 2       x x Lời giải : ĐK : 1|| x Đặt      2 ; 2 , sin 1  t t x Phương trình đã cho trở thành :   0 sin 1 coscoscotcos1cot1 sin 1 2 2       t ttanttant t         ktt t 122 1 2sin 0cos kết hợp với điều kiện của t suy ra 12 t Vậy phương trình có 1 nghiệm :  132 12 sin 1        x Tổng quát: Giải phương trình a x ax       1 1 2 2 Ví dụ 6 : Giải phương trình: 2 9 3 2    x x x Lời giải : ĐK : 3|| x Đặt   2 ,;0, cos 3   tt t x , phương trình đã cho trở thành : 23 4 cos 3 4 12sin2sin22sin122 sin 1 cos 1 2          xtttt tt (thoả mãn) Tổng quát: Giải phương trình: b ax ax x    22 với ba, là các hằng số cho trước 3. Đặt      2 ; 2 ,tan  ttx để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn : Ví dụ 7 : Giải phương trình: 03333 23  xxx (1) 4Lời giải : Do 3 1x không là nghiệm của phương trình nên (1) 3 31 3 2 3    x xx (2) Đặt      2 ; 2 ,tan  ttx , Khi đó (2) trở thành : 39 33tan  ktt  Suy ra (1) có 3 nghiệm :              9 7 tan; 9 4 tan; 9 tan  xxx Ví dụ 8 : Giải phương trình:   2 222 2 12 1 2 1 1 xx x x x x   Lời giải : ĐK : 1;0  xx Đặt 4 ;0, 2 ; 2 ,tan       tttx , phương trình đã cho trở thành : 012cos2cos.sin20 2cos.sin2 1 sin2 1 1 cos 1 4sin 2 2sin 1 cos 1       ttt ttttttt                         2 6 2 2 2 1 sin 1sin 0sin 0sin2sin1sin0sin2sin21sin2 222 kt kt t t t tttttt Kết hợp với điều kiện suy ra : 6 t Vậy phương trình có 1 nghiệm : 3 1 6 tan      x 4. Mặc định điều kiện : ax || . Sau khi tìm được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương trình và kết luận : Ví dụ 9 : Giải phương trình: xx 2163  Lời giải : Phương trình đã cho tương đương với : 168 3  xx (1) Đặt  ;0,cos  ttx , Lúc đó (1) trở thành :  Zkktt  3 2 92 1 3cos  Suy ra (1) có tập nghiệm :                  9 7 cos; 9 5 cos; 9 cos  S Vậy nghiệm của phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để * Nội dung phương pháp : Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho : Đưa phương trình về dạng sau :         xxPxfxQxf ..  khi đó : Đặt   0,  ttxf . Phương trình viết thành :     0.2  xPxQtt Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương trình   txf  sau khi đã đơn giản hóa và kết luận Ví dụ 10 : Giải phương trình 16924422 2  xxx (1) Lời giải : ĐK : 2|| x 5Đặt  242 xt  Lúc đó :(1)           xxxxxxxx 84216481692164216424 22222  Phương trình trở thành : 08164 22  xxtt Giải phương trình trên với ẩn t , ta tìm được : 4 2 ; 2 21  xtxt Do 2|| x nên 02 t không thỏa điều kiện 0t Với 2 x t  thì :        3 24 48 0 2 42 22 2 x xx xx x ( thỏa mãn điều kiên 2|| x ) Ví dụ 11 :Giải phương trình 361122  xxx Lời giải : ĐK : 1x Đặt 01  xt ,phương trình đã cho trở thành : x t ttxt 66 036122  * Với x t t 66  , ta có :   66  tx (vô nghiệm vì : 0;0  VPVT ) * Với x t t 66  , ta có : tx)6(6  Do 6x không là nghiệm của phương trình nên : x x x t     6 6 1 6 6 Bình phương hai vế và rút gọn ta được : 3x (thỏa mãn) Tổng quát: Giải phương trình: 22 2 baxbaxx  Ví dụ 12 : Giải phương trình:    128311123 22  xxxx Lời giải : Đặt 112 2  tx Phương trình đã cho viết thành :       03383831313 2222  xxtxtxtxtxt Từ đó ta tìm được 3 x t  hoặc xt 31 Giải ra được : 0x * Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn . Ví dụ 13 : Giải phương trình: 342007342008 2  xxxx Lời giải : ĐK : 4 3x Đặt 034  tx phương trình đã cho trở thành : 020072008 22  txtx Giải ra : tx  hoặc 2008 t x  (loại) * tx  ta có :     3 1 0342 x x xx Vậy 3,1  xx là các nghiệm của phương trình đã cho . Ví dụ 14 : Giải phương trình:   122114 33  xxxx 6Lời giải : ĐK : 1x Đặt 13  xt ,Phương trình đã cho trở thành       012142141212 22  xtxttxxt Phương trình trên đã khá đơn giản !!!!!!! III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích 1. Dùng một ẩn phụ Ví dụ 15 : Giải phương trình: 4 9 2 32  xx (1) Lời giải : ĐK : 2 3x Đặt 0 2 3  tx phương trình (1) trở thành :             2013 0 013 4 9 2 3 3 3 2 2 tt t ttttt (2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I : Đặt  ;0,cos2  ttx để đưa về dạng : 2 1 3cos t Tổng quát: Giải phương trình: 22 aaxx  với a là hắng số cho trước . Ví dụ 16 :Giải phương trình:    16223 323 xxxx  Lời giải : ĐK : 2x Viết lại (1) dưới dạng :      202223 33  xxxx Đặt 02  xt , Khi đó (2) trở thành :               22 2 2 02023 2323 xx xx tx tx txtxtxtx                      322 2 084 0 02 0 2 2 x x xx x xx x Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : 322,2  xx Ví dụ 17 : Giải phương trình : 015  xx Lời giải : ĐK :  6;1x (1) Đặt 01  xt (2) , phương trình đã cho trở thành : 552  tt (3)    05402010 2224  ttttttt Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra : 2 1711x Ví dụ 18 : Giải phương trình:   2112006   xxx Lời giải : ĐK :  1;0x (1) Đặt 101  txt , Khi đó :  222 1,1 txtx  ,phương trình đã cho trở thành :                 010031212007111120061 222222222  tttttttttt Vì 10  t nên 010032  tt Do đó phương trình tương đương với : 101  tt Do vậy 0x (thỏa (1)) 72. Dùng 2 ẩn phụ . Ví dụ 19 : Giải phương trình: 3912154 22  xxxxx Lời giải : Đặt 12;154 22  xxbxxa    0139 2222  babababaxba                                  65 56 0 3 1 292 39 3 1 01 0 x x x xa xba x ba ba Vậy tập nghiệm của pt là     65 56 ;0; 3 1 S Ví dụ 20 : Giải phương trình:   83232 32  xxx (1) Lời giải : ĐK :     2 12 x x (*) Đặt 2,422  xvxxu ta có : 2322  xxvu Lúc đó (1) trở thành :      vuvuvuuvvu 202232 22  (Do 02  vu ) Tìm x ta giải : 1330462242 22  xxxxxx (Thỏa (*)) Vậy (1) có 2 nghiệm : 1332,1 x Ví dụ 21 : Giải phương trình: 15209145 22  xxxxx Lời giải : ĐK : 5x Chuyển vế rồi bình phương hai vế phương trình mới ,ta có:               045454354215410524951 222  xxxxxxxxxxxxx (2) Đặt 0,,4,542  vuxvxxu ,thì : (2)              056254 095 32 0320532 2 2 22 xx xx vu vu vuvuuvvu Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn : 8; 2 615 21   xx Ví dụ 22 : Giải phương trình:      4 24 34 34 2 1111 xxxxxxxx  Lời giải : ĐK : 10  x Đặt :             1 0 0 1 44 4 4 vu v u xv xu Từ phương trình ta được :         1 0 01232322 vu vu vuvuvuvuuvvuvu ( Do 0 vu ) từ đó ta giải ra được các nghiệm : 2 1 ;1;0  xxx 3. Dùng 3 ẩn phụ . Ví dụ 23 : Giải phương trình: 218817 3 23 23  xxxxx 8Lời giải : Đặt 3 23 23 18,8,17  xxcxxbxa ta có :                2818817 182 22333 3 xxxxxcba cbacba Từ (1) và (2) ta có :         033333  accbbacbacba Nên :              ac cb ba accbba 0 từ đó dễ dàng tìm ra 4 nghiệm của phương trình :  9;1;0;1S Ví dụ 24 : Giải phương trình: 03492513 3333  xxxx (1) Lời giải : Đặt 333 92,5,13  xcxbxa ,ta có: 34333  xcba khi đó từ (1) ta có :       03333  accbbacbacba Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương trình : 5 8 ;4;3  xxx IV. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ 1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế . a. Dùng một ẩn phụ . Ví dụ 25 : Giải phương trình: 552  xx Lời giải : ĐK : 5x Đặt 0,5  txt Ta có : 52  tx                                                          2 211 2 211 1 5 0 5 01 5 0 5 5 5 2 2 2 22 2 2 2 x x tx tx tx tx txtx tx xttx tx xt tx Tổng quát: Giải phương trình: aaxx 2 b. Dùng 2 ẩn phụ . * Nội Dung :     cxfbxfa nm  * Cách giải : Đặt :    nm xfbvxfau  , Như vậy ta có hệ :      bavu cvu nm Ví dụ 26 : Giải phương trình: 54057 44  xx (1) Lời giải : ĐK : 5740  x Đặt 44 40,,57  xvxu Khi đó :(1)                  0528102 5 9722 5 97 5 2222244 uvuv vu vuuvvu vu vu vu 9                              2 3 3 2 6 5 44 6 5 v u v u uv vu uv uv vu (Do hệ      44 5 uv vu vô nghiệm) Đến đây chỉ việc thay vào để tìm nghiệm của phương trình ban đầu . Ví dụ 27 : Giải phương trình: 4 4 2 1 12  xx Lời giải : ĐK : 120  x Đặt :      vx ux 4 12 với      4 120 120 v u (*) Như vậy ta được hệ :                     )1(12 2 1 2 1 12 2 1 4 2 4 4 42 4 vv vu vu vu Giải (1) :(1)    0 2 3 2 4 1 0 2 1 10 2 1 1 2,1 4 2,14 2 2 4 22         vvvvvv Vậy 2,1v thỏa (*) chính là 2 nghiệm của phương trình đã cho . Ví dụ 28 : Giải phương trình:  22 11 4 7 xxx  Lời giải : Đặt :                   (*)1 4 7 1 1 1 4 7 1 4 7 1 1 0 4444 yyy zy yxzy zy xz xy Giải phương trình (*),ta có:                   16 9 0 4 3 0 0 4 3 4 2 x x y y yy 2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng Dạng 1 : Giải phương trình: nn baxabx  Cách giải: Đặt n baxt  ta có hệ :      axbt atbx n n Việc giải hệ này đã trở nên dễ dàng Ví dụ 29 : Giải phương trình: 33 1221  xx Lời giải : Đặt : 3 12  xt ta có hệ :                    02 21 2 21 21 21 22 3 33 3 3 3 txtxtx tx xttx tx xt tx                                     2 51 1 04 011 2 02 21 1 012 2 222 2 22 3 3 x x txxt xxx txtx tx xx tx 10 Vậy tập nghiệm của phương trình là :      2 51 ;1S Dạng 2 : Giải phương trình: xaax  Cách giải : Đặt xat  ,phương trình đã cho tương đương với      xat tax Ví dụ 30 : Giải phương trình: xx  20072007 Lời giải : ĐK : 0x Đặt : xt  2007 (1), PT Lấy (3) trừ (2) ta được :    txxtxtxttx  01 (1) 4 802928030 02007  xxx (Do 0x ) Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược : Ví dụ 31 : Giải phương trình: 12222  xxx Lời giải : ĐK : 2 1x Đặt bayx 12 Chọn a, b để hệ :       12 22 2 2 xbay bayxx       1, 2 1 yx (*) là hệ đối xứng . Lấy 1,1  ba ta được hệ :                0 122 122 122 22 2 2 2 yx yxx xyy yxx Giải hệ trên ta được : 22  yx Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất của phương trình là : 22 x Dạng 4 : Nội dung phương pháp : Cho phương trình :     xedxcbax nn với các hệ số thỏa mãn :        bce acd Cách giải : Đặt n baxedy  Ví dụ 32 : Giải phương trình: 77 28 94 2  xx Lời giải : ĐK : 4 9x PT 4 7 2 1 7 28 94 2       xx - Kiểm tra : 4 7 ,0, 2 1 ,1,7, 28 9 , 7 1  edcba (thoả mãn)  Đặt : yyxxyyxyyxy 77 2 1 4 9 4 7 77 28 94 4 1 28 94 2 1 222  (1) 11 Mặt khác : xxy 77 2 1 2  (2) Từ (1) và (2) ta có hệ :        xxy yyx 77 2 1 77 2 1 2 2 Đây là hệ đối xứng loại II đã biết cách giải . Ví dụ 33 : Giải phương trình: 3,3362  xxxx Lời giải : PT   363 2  xx - Kiểm tra : 6,0,3,1,1,3,1  edcba Đặt : 36339633 22  yyxxyyxy (1) Mặt khác : 363 2  xxy (2) Từ (1) và (2) ta có hệ :      363 363 2 2 xxy yyx Đến đây đã khá dễ dàng Ví dụ 34 : Giải phương trình: 255336853 233  xxxx Lời giải : PT     232532272.9.33.4.3253 33233  xxxxxxxx - Kiểm tra : 2,1,3,2,1,5,3  edcba (thoả mãn)  Đặt : 3325533685327543685332 23233  yxyyyxyyyxy (1) Mặt khác : 322553368 23  yxxx (2) Từ (1) và (2) ta có hệ :      322553368 332553368 23 23 yxxx yxyyy Giải hệ trên đã thật đơn giản !!!!!!!!!  Huế , ngày 15 tháng 4 năm 2007