Thống kê cơ bản - Tương quan và hồi quy tuyến tính

TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY TUYẾN TÍNH Mục tiêu: Sau khi nghiên cứu chủ đề học viên có khả năng: - Vẽ phân tán đồ và sử dụng phân tán đồ để lí giải sự tương quan giữa hai biến số - Trình bày được công thức và tính được hệ số tương quan của hai biến số định lượng - Xây dựng được phương trình hồi quy tuyến tính của biến số phụ thuộc theo một biến số độc lập. - Trình bày công thức và lí giải ý nghĩa của sai số chuẩn hồi quy. - Trình bày công thức của sai số chuẩn của hệ số tương quan, hệ số góc, điểm chặn và giá trị tiên đóan thể và áp dụng trong kiểm định và ước lượng các số thống kê trên. Mục tiêu: Sau khi nghiên cứu bài này học viên có khả năng: - Nêu được 2 phương pháp mô tả sự quan hệ giữa hai biến số định lượng: đồ thị và hệ số tương quan - Trình bày và lí giải được mối quan hệ giữa hai biến số bằng phân tán đồ - Nêu được ý nghĩa của hệ số tương quan, tính hệ số tương quan giữa hai biến số (trong trường hợp số liệu đơn giản) với máy tính cầm tay - Xây dựng phương trình hồi quy giữa hai biến số sử dụng máy tính cầm tay - Kiểm định giả thuyết hệ số góc của phương trình hồi quy tuyến tính bằng không. 1. Giới thiệu Trong bài này chúng ta quan tâm đến liên hệ giữa hai biến số định lượng và tập trung chủ yếu đến phương pháp tương quan và hồi quy tuyến tính để xác định mối liên hệ tuyến tính (linear) giữa hai biến liên tục. Tương quan (correlation) đo lường sự chặt chẽ của mối liên hệ trong khi hồi quy tuyến tính (linear regression) cho biết phương trình đường thẳng mô tả sự liên hệ tốt nhất và cho phép tiên đoán biến số này từ biến số khác. Bảng 9.1 Thể tích huyết tương và trọng lượng cơ thể của 8 người đàn ông khỏe mạnh Ðối tượng trọng lượng cơ thể (kg) Thể tích huyết tương (lít) 1 58,0 2,75 2 70,0 2,86 3 74,0 3,37 4 63,5 2,76 5 62,0 2,62 6 70,5 3,49 7 71,0 3,05 8 66,0 3,12 Hình 9.1 Phân tán đồ của thể tích huyết tương và trọng lượng cơ thể cùng với đường hồi quy tuyến tính (a) Không tương quan (b) mối liên hệ không tuyến tính (c) Tương quan dương không hoàn toàn (d) Tương quan dương hoàn toàn (e) Tương quan âm không hoàn toàn (f) Tương quan âm hoàn toàn Hình 9.2 phân tán đồ minh họa các giá trị khác nhau của hê số tương quan. Trong đây cũng có các đường hồi quy. 2. Tương quan Bảng 9.1 trình bày trọng lượng cơ thể và thể tích huyết tương của 8 người đàn ông khỏe mạnh. Để đánh giá sự liên quan giữa hai biến số định lượng trọng lượng cơ thể và thể tích huyết tương chúng ta có thể sử dụng phân tán đồ hay hệ số tương quan r: Phân tán đồ Phân tán đồ là đồ thị thể hiện các giá trị của các quan sát bằng kí hiệu trên hệ toạ độ gồm hai trục: trục hoành thể hiện cho biến số độc lập và trục tung thể hiện biến số phụ thuộc. Hình 9.1 trình bày phân tán đồ của thể tích huyết tương lớn có liên quan đến trọng lượng cơ thể cao. Hình dạng của phân tán đồ thể hiện mối liên hệ giữa hai biến số. Nếu phân tán đồ có dạng một đám mây nằm ngang thì không có sự liên hệ giữa hai biến số (hình 9.2 a). Nếu phân tán đồ có hình dạng ellipse đi từ dưới bên trái lên phía trên bên phải thì hai biến số có liên hệ thuận (hình 9.2 c và d). Nếu phân tán đồ có hình dạng ellipse đi từ phía trên bên trái xuống phía dưới bên phải thì hai biến số có liên hệ nghịch (hình 9.2 e và f). Trục ngắn của ellipse càng ngắn thì mối liên hệ càng mạnh và nếu ellipse bị biến thành một đường thẳng thì mối tương quan được xem như là hoàn toàn (hình 9.2 d và f). Nếu hình dạng của phân tán đồ không phải là dạng ellipse hay đường thẳng thì hai biến số cũng có mối liên hệ nhưng sự tương quan này được gọi là không tuyến tính (hình 9.2 b). Áp dụng lí luận trên chúng ta có thể xác định giữa thể tích huyết tương và trọng lượng cơ thể có tương quan tuyến tính, thuận và không hoàn toàn. Hệ số tương quan Nếu hai biến số định lượng có quan hệ tuyến tính thì chúng ta có thể đo lường mức độ tương quan một cách chính xác hơn bằng cách tính hệ số tương quan (correllation coefficient), r. Công thức tính r thể hiện bản chất của hệ số tương quan như sau: Để tính hệ số tương quan dễ dàng hơn Chúng ta có thể sử dụng công thức tính hệ số tương quan như sau: Trong đó x là biến số độc lập (trọng lượng), y là biến số phụ thuộc (thể tích huyết tương), `x và `y là các số trung bình tương ứng. Phân tán đồ minh họa những hệ số tương quan khác nhau đươc trình bày trong hình 9.2. Sử dụng công thức này để tính toán r, trước tiên chúng ta hãy tính trung bình và độ lệch chuẩn của biến số x và y: Trọng lượng cơ thể: `x=66.875 s=5.4166 n=8 Thể tích huyết tương `x=3.0025 s=0.31121 n=8 Tích của hai biến số `x=201.91 s=34.849 n=8 Sau đó hãy tính toán hệ số tương quan. Lí giải ý nghĩa của hệ số tương quan: - Hệ số tương quan luôn luôn nằm trong đoạn [-1,1] - Hệ số tương quan r dương chứng tỏ hai biến số là đồng biến; hệ số tương quan r âm chứng tỏ hai biến số là nghịch biến; hệ số tương quan bằng zero nếu hai biến không liên hệ. - Trị số tuyệt đối của hệ số tương quan r nói lên mức độ liên quan giữa hai biến số. Nếu trị tuyệt đối của r bằng 1 (r=1 hay r=-1), quan hệ hoàn toàn tuyến tính nghĩa là tất cả các điểm nằm trên đường hồi quy (Hình 9.2 d và 9.2f). Nếu trị tuyệt đối của r nhỏ hơn 1 sẽ có các điểm số liệu phân tán chung quanh đường hồi quy (hình 9.2 c và 9.2e). - Bình phương của hệ số tương quan (r2) thể hiện tỉ lệ biến thiên của biến số phụ thuộc được giải thích bằng sự biến thiên của biến số độc lập (nếu mối liên hệ này là nhân quả) - Nếu r=0, không có mối liên hệ tuyến tính giữa hai biến số. Ðiều này có nghĩa là (1) không có mối liên hệ gì giữa hai biến số hoặc (hình 9.2a) (2) mối liên hệ giữa hai biến số không phải là tuyến tính (hình 9.2b) - Theo quy ước, quan hệ với r từ 0,1 đến 0,3 là quan hệ yếu, từ 0,3 đến 0,5 quan hệ trung bình và trên 0,5 là quan hệ mạnh. Ðiều quan trọng là sự tương quan giữa hai biến số cho thấy sự liên hệ nhưng không nhất thiết có nghĩa là cá quan hệ 'nhân quả'. 3. Hồi quy tuyến tính Hồi quy tuyến tính cho phương trình đường thẳng mô tả nếu biến x tăng thì biến y tăng như thế nào. Không giống như tương quan, việc lựa chọn biến nào để làm biến y là quan trọng bởi vì hai phương pháp không cùng cho một kết quả, y thường được gọi là biến số phụ thuộc (dependent variable) và x là biến số độc lập hay giải thích (independent or explanatory variable). Trong thí dụ này, rõ ràng chúng ta cần quan tâm sự phụ thuộc thể tích huyết tương và trọng lượng cơ thể. Phương trình hồi quy là y = a + bx a: là điểm chặn (intercept) hay hằng số (constant) b: là độ dốc (slope) của đường thẳng hay hệ số (coefficient) của phương trình (Hình 9.3). Giá trị đối với a và b được tính sao cho cực tiểu hóa bình phương khoảng cách theo chiều đứng từ các điểm số liệu tới đường thẳng. Nó được gọi là phù hợp bình phương tối thiểu (least squares fit) (Hình 9.4). Ðộ dốc b đôi khi được gọi là hệ số hồi quy (regression coefficient). Nó có cùng dấu với hệ số tương quan. Khi không có sự tương quan, b bằng zero, tương ứng với một đường thẳng hồi quy nằm ngang đi qua điểm y. và a = `y - b`x Hình 9.3 Giao điểm và độ dốc của phương trình hồi quy y = a + bx. Giao điểm a là điểm mà đường thẳng cắt trục y và cho giá trị y ở x = 0. Ðộ dốc b là mức tăng của y tương ứng với sự gia tăng một đơn vị của x. Trong thí dụ này b = 8,96/205,38 = 0,0435 Và: a = 3,0025 - 0,04354 ´ 66,875 = 0,0907 Do đó sự phụ thuộc của thể tích huyết tương vào trọng lượng cơ thể được mô tả bằng Thể tích huyết tương = 0,0907 + 0,0435 × trọng lượng và được vẽ trên Hình 9.1. Ðường hồi quy được vẽ bằng cách tính tọa độ của hai điểm của đường thẳng. Thí dụ chúng ta có thể tính toạ độ của đường thẳng tại giá trị x = 60 và x = 70 x = 60, y = 0,0907 + 0,0435 ´ 60 = 2,7032 Và x = 70, y = 0,0907 + 0,0435 ´ 70 = 3,1386 Như vậy đường thẳng hồi quy phải đi qua điểm (60, 2.7) và (70, 3.1). Hiển nhiên đường thẳng phải đi qua điểm (`x,`y) = (66.9 , 3.0) 4. Kiểm định và ước lượng trong tương quan và hồi quy Khái niệm về phương sai phần dư Hình 9.4 Ðường thẳng hồi quy tuyến tính, y = a + bx, được làm phù hợp bằng bình phương tối thiểu, a và b được tính để cực tiểu hóa tổng bình phương của các độ lệch thẳng đứng (vẽ bằng các đường thẳng đứng) của các điểm đối với đường thẳng, mỗi độ lệch bằng hiệu số giữa số y quan sát và tiểm tương ứng trên đường thẳng a + bx Do các giá trị của các quan sát không nằm trên một đường thẳng nên chúng có một khoảng cách áo với phương trình hồi quy. Con số thể hiện mức độ phân tán của số liệu quanh đường thẳng hồi quy được gọi là sai số chuẩn của hồi quy (standard error of regression). Sai số chuẩn của hồi quy được tính theo công thức sau: Sai số chuẩn của hồi quy còn được triển khai thêm như sau s là độ lệch chuẩn của các điểm số liệu so với đường thẳng, có (n-2) độ tự do. hoặc Điều này có nghĩa là nếu ta áp dụng phương trình hồi quy để tiên đoán thể tích huyết tương thì chúng ta không thể tiên đoán một cách chính xác: chúng ta sẽ mắc một sai số trung bình là 0.218. Bình phương của sai số hồi quy được gọi là phương sai phần dư: Kiểm định ý nghĩa hệ số tương quan Khi chúng ta đã có hệ số tương quan, có hai phương pháp kiểm định hệ số tương quan này. Một phương pháp để kiểm định giả thuyết Ho: hệ số tương quan r = 0 và một phương pháp kiểm định giả thuyết Ho: hệ số tương quan r = r (với r ¹ 0) - Kiểm định t được dùng để xem r có khác zero một cách có ý nghĩa hay không. Nói cách khác đi, kiểm định này để xem sự tương quan quan sát được có phải là thực sự này chỉ do tình cờ. Việc kiểm định này dựa trên cơ sở của công thức ước lượng sai số chuẩn của r: s.e.(r) = (1-r2)/(n-2) Thí dụ để kiểm định giả thuyết hệ số tương quan giữa thể tích huyết tương và trọng lượng cơ thể bằng không, chúng ta tiến hành các tính toán sau: Ðiều này có ý nghĩa ở mức 5% xác nhận ý nghĩa của sự liên hệ giữa thể tích huyết tương và trọng lượng cơ thể Mức ý nghĩa phụ thuộc của cả vào độ lớn của mối tương quan và số các quan sát. Lưu ý rằng tương quan yếu có thể có ý nghĩa thống kê nếu nó dựa trên một số lớn quan sát, trong khi sự tương quan mạnh có thể không đạt được mức ý nghĩa nếu chỉ có một ít quan sát. - Kiểm định z để kiểm định giả thuyết Ho: hệ số tương quan r = r (với r ¹ 0) Trước tiên chúng ta tìm hiểu về phép biến đổi z của Fisher. Fisher đã chứng minh z(r) (đọc là hàm số z của hệ số tương quan r): sẽ có phân phối bình thường với trung bình là z(r) và độ lệch chuẩn là Ö1/(n-3) Như vậy để kiểm định hệ số tương quan r = r (với r ¹ 0), chúng ta phải tính: (chúng ta lưu ý nếu r = 0 thì hàm số z của r sẽ trở thành không xác định) và Thí dụ giả sử tác giả X tìm được hệ số tương quan giữa thể tích huyết tương và trọng lượng cơ thể là 0.4, hãy kiểm định xem hệ số tương quan chúng ta đã tìm ra có thực sự lớn hơn hệ số tương quan được báo cáo do tác giả X hay không: Chúng ta tính được: và Tra bảng phân phối chuẩn một đuôi chúng ta tính được giá trị p > 0.05 vì vậy chúng ta không có bằng chứng thống kê để cho rằng hệ số tương quan của chúng ta tìm ra thực sự lớn hơn 0.4. Sai số chuẩn của các ước lượng dùng phương trình hồi quy Đường thẳng hồi quy cũng tương tự như các giá trị thống kê các đều có khả năng bị sai số và phương trình hồi quy được tính từ một mẫu chỉ là ước lượng cho phương trình hồi quy thực sự của toàn bộ dân số. Giá trị a và b là các ước lượng mẫu của giá trị giao điểm và độ dốc của đường thẳng hồi quy mô tả mối liên hệ tuyến tính giữa x và y trong toàn bộ dân số. Do đó chúng bị các biến thiên lấy mẫu và độ chính xác của chúng có thể đo lường bằng sai số chuẩn. Từ sai số chuẩn chúng ta có thể dễ dàng tính được khoảng tin cậy của các ước lượng này hay kiểm định chúng có khác với một giá trị cụ thể nào hay không Sai số chuẩn của a Sai số chuẩn của a được tính theo công thức sau khoảng tin cậy của a : a ± tc × s.e.(a) Và để kiểm định a có khác so với a Áp dụng vào thí dụ ở trên ta có Khoảng tin cậy 95% của điểm chặn a bằng: Khoảng tin cậy 95% : a ± tc × s.e.(a) = 0.0857 ± 2.45 × 1.3197 = -3.148 – 3.319 Một nghiên cứu trước đây đã báo cáo phương trình hồi quy của thể tích huyết tương theo cân nặng với giá trị điểm chặn a là 2.1. Có thể kiểm định giá trị điểm chặn trong nghiên cứu của chúng ta có khác với giá trị 2.1 đã báo cáo hay không bằng phép kiểm t: tra bảng ta có p >0.05 (p = 0.177) chúng ta không thể bác bỏ giả thuyết Ho và như vậy chúng ta có thể kết luận không có sự khác biệt có ý nghĩa thống kê về giá trị điểm chặn của nghiên cứu của chúng ta và nghiên cứu đã báo cáo. Sai số chuẩn của b Sai số chuẩn của b được tính theo công thức sau khoảng tin cậy của b : b ± tc × s.e.(b) Và để kiểm định b có khác so với b Thí dụ: Áp dụng vào trường hợp phương trình hồi quy của thể tích huyết tương theo cân nặng ta được: Giả sử chúng ta muốn kiểm định xem b có khác biệt có ý nghĩa với zero hay không. Kiểm định này cho kết quả Lưu ý kết quả này giống như kết quả của kiểm định hệ số tương quan có kác không hay không. Với giá trị 2,85 chúng ta có thể kết luận thể tích huyết tương tăng có ý nghĩa (P<0,05) đối với trọng lượng cơ thể. Giả sử có tài liệu cho rằng khi trọng lượng tăng 1 kg thì thể tích huyết tương tăng 0.03 L (nói cách khác phương trình hồi quy của thể tích huyết tương theo cân nặng là 0.03) và chúng ta muốn kiểm tra hệ số góc trong nghiên cứu của chúng ta có khác tài liệu nêu trên hay không chúng ta cũng có thể sử dụng phép kiểm t: tra bảng ta có p >0.05 (p = 0.41) chúng ta không thể bác bỏ giả thuyết Ho và như vậy chúng ta có thể kết luận không có sự khác biệt về hệ số góc của phương trình hồi quy của chúng ta với tài liệu nêu trên. Khoảng tin cậy 95% của hệ số góc b bằng: Khoảng tin cậy 95% : b ± tc × s.e.(b) = 0.0436 ± 2.45 × 0.0153 = 0.006 – 0.081 Tiên đoán Trong một số tình huống, có thể sử dụng phương trình hồi quy để tiên đoán giá trị y cho một giá trị đặc biệt của x được gọi là x'. Giá trị tiên đoán là: y' = a + bx' Và sai số chuẩn của nó là Sai số chuẩn này tối thiểu khi x' gần với trung bình x. Nói chung phải thận trọng khi sử dụng đường hồi quy để tính các giá trị ngoài phạm vi của x trong số liệu gốc, bởi vì quan hệ tuyến tính không nhất thiết sẽ đúng ở ngoài phạm vi mà nó được làm phù hợp. Khoảng tin cậy của tiên đoán: y' ± tc × s.e.(y') với tc tra từ bảng t (student) với n-2 độ tự do Trong thí dụ này, sự đo lường thể tích huyết tương tốn nhiều thời gian và do đó trong một số trường hợp, có thể tiên đoán từ trọng lượng cơ thể. Thí dụ thể tích plasma huyết tương của một người đàn ông nặng 66 kg là 0,0832 + 0,0436 × 66 = 2,96 lít Và sai số chuẩn bằng Khoảng tin cậy 95% của giá trị tiên đoán y' là y ± tc´s.e.(y') với tc được tra từ bảng t (hai đuôi) với n-2 độ tự do 5. Giả thiết Có hai giả thiết nền tảng trong phương pháp hồi quy tuyến tính. Giả thiết thứ nhất là đối với bất cứ giá trị x nào, y có phân phối bình thường. Giả thiết thứ hai là độ phân tán của các điểm quanh đường thẳng là như nhau trong suốt đoạn thẳng. Ðộ phân tán được đo lường bằng độ lệch chuẩn s của các điểm số liệu so với đường thẳng như đã định nghĩa ở trên. Sự thay đổi thang đo có thể thích hợp nếu các giả thuyết trên không thỏa hay quan hệ dường như phi tuyến tính (xem Chương 19). Các quan hệ phi tuyến được thảo luận ở chương 10. 6. Bài tập Bài tập1: Một nhà nghiên cứu tìm hiểu mối liên hệ giữa hai biến số: biến số giải thích x là lượng chì trong máu tính bằng µm /100mL và biến số phụ thuộc y: số bất thường nhiễm sắc thể trong 100 tế bào (Forni et al., 1995) trên 30 nữ công nhân nhà máy acquy. Số liệu ghi nhận được như sau: `x = 36.37; `y = 5,97; Sxy=6974,237; Sx2 = 42986,28 ; Sy2 = 1502,20. a. H ãy tính hệ số tương quan r b. Kiểm định hệ số tương quan này có thực sự khác không hay không? c. Viết phương trình hồi quy của số bất thường nhiễm sắc thể trong 100 tế bào theo lượng chì trong máu. d. Tính sai số chuẩn của độ dốc của phương trình hồi quy. e. Kiểm định giả thuyết: độ dốc của phương trình hồi quy bằng zero (hai đuôi) Bài làm bài tập 1 a. Từ các thông tin kể trên chúng ta có thể xây dựng bảng các giá trị thống kê như sau: n=30; Sxy=6974,237 ước lượng Biến độc lập: Lượng chì trong máu Biến phụ thuộc: Số đột biến nhiễm sắc thể Trung bình 36.67 5.97 độ lệch chuẩn 9.5513 3.8639 Căn Tổng bình phương độ lệch 51.435 20.808 và tính được hệ số tương quan r b. Kiểm định r=0 - Xây dựng giả thuyết Ho: r=0; đối thuyết Ha: r0 - Sử dụng kiểm định t 2 đuôi với độ tự do = 28; Ta có thể xác định t tới hạn: tc=2,05 - Tính giá trị t - Tìm p: tra bảng t (bảng student) với 28 độ tự do ta có p <0,05 Hoặc dựa vào t > tc= 2.05 ta kết luận p <0.05 - Kết luận: Bác bỏ giả thuyết Ho với mức ý nghĩa p<0,05 hay nói khác đi có sự tương quan có ý nghĩa thống kê giữa lượng chì trong máu và số lượng đột biến. c. Phương trình hồi quy: Hệ số góc b: và a = `y - b`x = 5,97 - 0,1537×36,37 = 0,3338 Như vậy phương trình hồi quy của số lượng bất thường nhiễm sắc thể theo lượng chì trong máu là: Số lượng bất thường NST (/100 tế bào) = 0,3338 + 0,1537 x lượng chì trong máu (µg/100mL) d. Sai số chuẩn của độ dốc: Độ lệch chuẩn hồi quy bằng: Như vậy sai số chuẩn của độ dốc là 0.0707 e. Kiểm định b=0 - Xây dựng giả thuyết Ho: b=0: Ha: b0 - Sử dụng kiểm định t 2 đuôi với độ tự do = 28 Ta có thể xác định t tới hạn: tc=2,05 - Tính giá trị t - Tìm p: tra bảng t (bảng student) với 28 độ tự do ta có p <0,05 Hoặc dựa vào t > tc= 2.05 ta kết luận p <0.05 - Kết luận: Bác bỏ giả thuyết Ho với mức ý nghĩa p<0,05 Bài tập 2: Một nhà nghiên cứu nghiên cứu trẻ em bị hồng cầu liềm thể đồng hợp tử và ghi nhận chiều cao của đứa trẻ 5 tuổi bị bệnh hồng cầu và mức độ cốt hoá của xương (được tính bằng thang điểm dựa trên 20 điểm cốt hoá của bàn tay và cổ tay). Kết quả như sau: Chiều cao Mức độ cốt hoá Chiều cao Mức độ cốt hoá 111.6 47 107.9 53 109.8 42 113.2 51 105.0 31 102.1 41 107.0 33 105.0 37 104.2 33 99.0 26 108.9 52 101.7 18 103.3 45 100.3 29 104.5 47 107.9 51 108.3 42 114.5 41 99.7 50 106.0 34 108.1 41 Với mục tiêu là xem có phải trẻ bị chậm trưởng thành xương (mô tả bằng biến số giải thích) có liên quan đến rối loạn phát triển chiều cao (biến số đáp ứng) hãy tính: a. Hệ số tương quan giữa chiều cao và mức độ cốt hoá b. Có phải có sự tương quan thuận giữa mức độ cốt hoá và chiều cao hay không? c. Viết phương trình hồi quy của chiều cao theo điểm cốt hoá d. Tính sai số chuẩn của độ dốc của phương trình hồi quy. e. Ở trẻ em bình thường (không bị hồng cầu liềm) độ dốc của phương trình hồi quy chiều cao theo mức độ cốt hoá là 0.4 cm/điểm cốt hoá. Có phải độ dốc của phương trình ở trẻ bị hồng cầu liềm thấp hơn ở trẻ bình thường? Bài làm bài tập 2 a. Từ các số liệu trên ta có thể tính các số thống kê như sau: n=21; Sxy/n=4283.2 ước lượng Biến độc lập: Mức độ cốt hoá Biến phụ thuộc: Chiều cao Trung bình 40.19 106.1 độ lệch chuẩn 9.5217 4.276 Căn Tổng bình phương độ lệch 42.582 19.123 và tính được hệ số tương quan r b. Kiểm định r=0 - Xây dựng giả thuyết Ho: r=0; đối thuyết Ha: r>0 - Sử dụng kiểm định t một đuôi với độ tự do = 19 ta có giá trị t tới hạn tc =1.73 - Tính giá trị t - Tìm p: tra bảng t (bảng student) với 19 độ tự do ta có p <0,025 Hoặc tính từ t > tc = 1.73 nên p < 0.05 - Kết luận: Bác bỏ giả thuyết Ho với mức ý nghĩa p<0,025 Như vậy có tương quan thuận giữa mức độ cốt hoá và chiều cao c. Phương trình hồi quy: Hệ số góc b: và a = `y - b`x = 106.1 - 0,2205× 40,19 = 97,24 Như vậy phương trình hồi quy của chi ều cao theo mức độ cốt hóa bàn tay là Chiều cao (cm) = 97,1 + 0,222 × Ðiểm cốt hóa d. Sai số chuẩn của độ dốc: Độ lệch chuẩn hồi quy bằng: Sai số chuẩn của độ dốc b: e. Để trả lời câu hỏi trên chúng ta phải kiểm định giả thuyết độ dốc phương trình ở trẻ hồng cầu liềm bằng với độ dốc phương trình ở trẻ em bình thường = 0.4 - Xây dựng giả thuyết Ho: b=0.4: Ha: b<0.5 - Sử dụng kiểm định t 1 đuôi với độ tự do = 19 Ta có thể xác định t tới hạn: tc=1.73 - Tính giá trị t - Tìm p: tra bảng t (bảng student) với 19 độ tự do ta có p <0,05 Hoặc dựa vào t > tc= 1.73 ta kết luận p <0.05 - Kết luận: Giá trị t nói trên giúp chúng ta bác bỏ giả thuyết Ho. Chúng ta có thể kết luận mức độ tăng trưởng chiều cao so với mức độ cốt hoá ở trẻ hồng câu liềm thấp hơn trẻ bình thường (p<0,05) Bài tập 3: Một nhà nghiên cứu đo đạc chiều cao và cân nặng trên 8 đối tượng nhằm tìm mối liên hệ giữa hai biến số trên. Kết quả được ghi nhận như sau: Chiều cao (cm) 172.9 162.7 165.3 162.7 150 155.1 162.7 152.6 Cân nặng (kg) 68.5 50.8 58 55.8 42.2 44.4 50.3 42.2 a. Hãy tính hệ số tương quan giữa chiều cao và cân nặng? b. Theo anh chị, có phải hệ số tương quan tính được là lớn hơn giá trị 0,75 là hệ số tương quan giữa cân nặng và chiều cao thường được báo cáo trong y văn. c. Viết phương trình hồi quy của cân nặng dựa trên chiều cao. d. Hãy tính khoảng tin cậy 95% của trọng lượng tiên đoán của một người có chiều cao 160 cm. Bài làm bài tập 3 a. Từ các số liệu trên ta có thể tính các số thống kê như sau: n=8; Sxy/n=8326.9 ước lượng Biến độc lập: Chiều cao Biến phụ thuộc: Cân nặng Trung bình 160.5 51.525 độ lệch chuẩn 7.4943 9.0637 Căn Tổng bình phương độ lệch 19.828 23.98 và tính được hệ số tương quan r b. Ðể xác định hệ số tương quan tính được r = 0,96 có lớn hơn giá trị 0,75, ta có thể sử dụng kiểm định z (một đuôi) và phép biến đổi Fisher z(r)= ln[(1+r)/(1-r)]/2 - Xây dựng giả thuyết Ho: z(r)=z(0,75); Ha: z(r)>z(0.75) - Sử dụng kiểm định z một đuôi; giá trị tới hạn zc=1.64 - Tính giá trị z - Tìm p: tra bảng z ta có p =P(|z|>2,19) <0,025 Hoặc dựa vào z > zc = 1.64 chúng ta kế luận p <0.05 - Kết luận: Bác bỏ giả thuyết Ho với mức ý nghĩa p<0,025 nghĩa là hệ số tương quan tìm được trong nghiên cứu này cao hơn số liệu được báo cáo trong y văn (p <0.025) c. Phương trình hồi quy: Ta có `x =160,5; `y=51,525 Hệ số góc b: và a = `y - b`x = 51,525 - 1,163 × 160,5 = -135,1 Như vậy phương trình hồi quy của chi ều cao theo mức độ cốt hóa bàn tay là Cân nặng (kg) = -135.1 + 1,163 × Chiều cao d.Khoảng tin cậy 95% của trọng lượng tiên đoán của một người cao 160 cm. Độ lệch chuẩn hồi quy bằng: Sai số chuẩn của tiên đoán: Ứng với chiều cao là 160, trọng lượng tiên đoán là: Cân nặng (kg) = -135.1 + 1,163 × 160 = 50,98 Vì vậy khoảng tin cậy 95% của trọng lượng tiên đoán là: y ± tc´s.e.(y') với tc được tra từ bảng t (hai đuôi) với n-2 độ tự do 50.98 ± 2.45 ´ 2.8601 = 43,97 đến 57,99 kg Bài tập 4: Ghi nhận trọng lượng (kg) và tuổi thai (tuần tuổi) của 515 trẻ sơ sinh sinh tại trung tâm y tế huyện X được trình bày trong bảng sau: Tuần tuổi 2.5-3.0 3.0-3.5 3.5-4.0 Tổng cộng 34-36 14 1 0 15 36-38 42 20 9 71 38-40 60 138 71 269 40-42 20 81 59 160 Tổng cộng 136 240 139 515 a. Hãy tính hệ số tương quan giữa tuổi thai và trọng lượng sơ sinh. b. Có phải có sự tương quan thuận giữa tuổi thai và trọng lượng sơ sinh hay không? c. Viết phương trình hồi quy của cân nặng so sinh dựa trên tuần tuổi. d. Hãy tính khoảng tin cậy 95% của trọng lượng tiên đoán của trẻ sơ sinh có tuổi thai là 40 tuần. e. Hãy ước lượng khoảng tin cậy 95% của hệ số góc của phương trình hồi quy. Lí giải khoảng tin cậy nói trên. Bài làm bài tập 4 a. Sử dụng giá trị trung bình của mỗi nhóm là giá trị của tất cả các quan sát trong một nhóm, ta có thể trình bày số liệu như sau: Tuần tuổi 2.75 3.25 3.75 Tổng cộng 35 14 1 0 15 37 42 20 9 71 39 60 138 71 269 41 20 81 59 160 Tổng cộng 136 240 139 515 Sử dụng máy tính cầm tay với chức năng thống kê để tính `x, sx, `y, sy. - Sử dụng chức năng nhớ của máy tính để tính tổng åxy = 35 ´ 14 ´ 2.75 + 35 ´ 1 ´ 3.25 + .....+ 41 ´ 59 ´ 3.5 = 65 818.25 (gồm tổng cộng 12 số hạng) a. Từ các số liệu trên ta có thể tính các số thống kê như sau: n=515; åxy = 65818.25 ; åxy/n=127.80 ước lượng Biến độc lập: Tuổi thai (tuần) Biến phụ thuộc: Cân nặng (kg) Trung bình 39.229 3.2529 độ lệch chuẩn 1.4873 0.36571 Căn Tổng bình phương độ lệch 19.828 23.98 và tính được hệ số tương quan r b. Kiểm định r=0 - Xây dựng giả thuyết Ho: r=0 (không có sự tương quan giữa tuổi thai và trọng lượng sơ sinh): Ha: r>0 (trọng lượng sơ sinh và tuổi thai có tương quan thuận) - Sử dụng kiểm định t (một đuôi) với 513 độ tự do. Phân phối t với 513 độ tự do có thể được xem là phân phối chuẩn. Giá trị t tới hạn: tc = 1.64 - Tính giá trị t - Tìm p: tra bảng t (bảng student) với vô cực độ tự do ta có p <0,0001 Hoặc dựa vào t = 8.563 > tc = 1.64, ta kết luận p <0.05 - Kết luận: Bác bỏ giả thuyết Ho với mức ý nghĩa p<0,0001 Như vậy có sự tương quan thuận giữa tuổi thai và trọng lượng sơ sinh (p <0.001). Nếu chúng ta dựa vào t tới hạn (tc) chúng ta có thể kết luận có sự tương quan thuận giữa tuổi thai và trọng lượng sơ sinh (p<0.05). Lưu ý: trong trường hợp này việc tra bảng để tìm ra giá trị p cho kết luận mạnh hơn so với chỉ dựa vào giá trị t tới hạn. Vì vậy nếu điều kiện cho phép, khi viết báo cáo khoa học, chúng ta nên tra bảng thống kê (hoặc sử dụng chương trình máy tính) để xác định được giá trị p. c. Phương trình hồi quy: Ta có `x =39,229; `y=3,2529 Hệ số góc b: và a = `y - b`x = 3,2529 - 0,08696 × 39,2229 = -0,1585 Như vậy phương trình hồi quy của cân nặng theo tuổi thai là Cân nặng (kg) = -0,1585 + 0,08696 × tuổi thai d. Khoảng tin cậy 95% của trọng lượng tiên đoán của trẻ sơ sinh với 40 tuần tuổi thai. Độ lệch chuẩn hồi quy bằng: Sai số chuẩn của tiên đoán: Ứng với tuổi thai tính theo tuần là 40, trọng lượng tiên đoán là: Cân nặng (kg) = -0.1585 + 0.08696 × 40 = 3.3199 Vì vậy khoảng tin cậy 95% của trọng lượng tiên đoán là: y' ± tc´s.e.(y') với tc được tra từ bảng t (hai đuôi) với n-2=513 (xem như là vô cực) độ tự do. tc=1.96 3.3199 ± 1.96 ´ 0.34283 = 2.648 đến 3.992 kg e. Khoảng tin cậy 95% của hệ số góc Sai số chuẩn của hệ số góc của phương trình hồi quy cân nặng theo tuổi thai Vì vậy khoảng tin cậy 95% của độ dốc phương trình hồi quy cân nặng theo tuổi thai là: b ± tc´s.e.(b) với tc được tra từ bảng t (hai đuôi) với n-2=513 (xem như là vô cực) độ tự do. tc=1.96 0.08696 ± 1.96 ´ 0.001032 = 0.08494 đến 0.08898 kg/tuần tuổi thai. Lí giải của khoảng tin cậy trên như sau:Với mức độ tin cậy 95%, khi tuổi thai tăng thêm 1 tuần tuổi, tăng trọng trung bình sẽ nằm trong khoảng từ là 84,94 gram đến 88,98 gram.